Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI
———————————–

NGUYỄN THẾ LÂM

ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM
VÀ KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng

Hà Nội - 2013

i


Mục lục
Mục lục

ii

1 Độ đo xác suất trên không gian Metric

1

1.1

Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Giá của một độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Tính chất Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Độ đo hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5

Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo . . . . . . . . . . . . .

6

1.6

Tôpô yếu trong không gian các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7

Sự hội tụ của phân phối mẫu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Độ đo xác suất trên không gian Hilbert

21

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Hàm đặc trưng và tiêu chuẩn compact . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Một ước lượng của phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4

Phân phối chia vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5

Tiêu chuẩn compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.6

Luật kết hợp

46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Độ đo xác suất trên C[0,1]

51

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.2

Các độ đo xác suất trên C [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3

Một điều kiện cho sự tồn tại một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo
trong C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.4

Sự hội tụ tới chuyển động Brownian . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.5

Phân bố của biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian . .

60

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

ii


Lời mở đầu
Độ đo xác suất trên không gian metric là một lĩnh vực quan trọng của xác suất
thống kê. Để giúp độc giả hiểu rõ hơn về độ đo, các tính chất của độ đo, vai trị
của độ đo cũng như mối liên hệ của độ đo với các lĩnh vực tốn học khác, tơi đã
hồn thành luận văn này.
Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục tài
liệu tham khảo và phụ lục.
Chương 1: Trình bày về độ đo xác suất trên khơng gian metric.
Chương 2: Trình bày về độ đo xác suất trên khơng gian Hilbert.
Chương 3: Trình bày về độ đo xác suất trên C[0,1].
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH.Đặng
Hùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy về sự giúp đỡ khoa
học mà thầy đã dành cho tôi và đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tơi hồn
thành luận văn.
Nhân dịp này, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến các thầy phản biện,
những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tơi để luận văn được hồn thiện hơn.
Qua đây tơi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội đã tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để tơi
ngày một hồn thiện hơn về chun mơn. Cuối cùng tơi xin gửi lời c�ng minh. Cho
xnk = x

k
n

−x

k−1
n

(n)

x(n) (t) =

(−1)εnk xnk .

xnk ,x1 (t) =
k≤nt

k≤nt

61

,


(n)

(n)

Ở đó εnk = 0 nếu Sup x1 (j/n) /a ≤ 1 và εnk = 1 nếu Sup x1 (j/n) /a > 1.
j≤k−1

j≤k−1

Khi đó các biến ngẫu nhiên (−1)

εnk

xnk là độc lập và cùng phân phối. Điều này là

bởi vì xnk là độc lập với εnk , xn1 , ..., xnk−1 . Bởi vì xnk và −xnk là cùng phân phối
suy ra (−1)εnk xnk có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai n1 . Do đó các
(n)

phân phối hữu hạn chiều của quá trình x(n) (t) và x1 (t) trùng nhau. Bởi vì các
(n)

hàm x(n) (t) và x1 (t) lần lượt hội tụ đều tới x (t) và (Ta x) (t) với xác suất 1 khi
n → ∞, suy ra
W = WT−1
a .

Định lý 5.1. Cho a>0, W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d]
0≤t≤T

max[d,a]

1
=√
2πT

max[2a−c,a]

−u2
2T

exp

1
du + √
2πT

max[c,a]

exp

−u2
2T

du.

max[2a−d,a]

Chứng minh. Bởi vì W {x :x (T ) = a} = 0,

W

x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d]

= W {x : x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)}

0≤t≤T

+W

x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a]

(5.1)

0≤t≤T

Cho Ta là phép biến đổi được xác định trong bổ đề 5.2. Bởi vì theo chứng
minh của bổ đề 5.1, W x : max x (t) = a
0≤t≤T

= 0, theo bổ đề 5.2 ta có

W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a]
0≤t≤T

= W x : max (Ta x) (t) > a, (Ta x) (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a]
0≤t≤T

= W x : max x (t) ≥ a, x (T ) ∈ [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞]
0≤t≤T

Nhưng biến cố {x (T ) ∈ [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞]} bao hàm biến cố
Do đó
W x : max x (t) > a,x (T ) ∈ [c, d] ∩ [−∞, a)
0≤t≤T

62

max x (t) ≥ a .

0≤t≤T


max[2a−c,a]

1
=√
2πT

e

−u2
2T

du. (5.2)

max[2a−d,a]

Hơn nữa
W {x :x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)}
max[d,a]

√

=

1
exp

2πT

−u2
2T

du. (5.3)

max[c,a]

Các phương trình (5.1)-(5.3) hồn thành chứng minh định lí.

Trong định lí ở trên, nếu lấy [c, d] = (−∞, +∞) ta được
Hệ quả 5.1. Với a>0
∞

W x : max x (t) > a
0≤t≤T

2
=√
2πT

63

exp
a

−u2
2T

du.


KẾT LUẬN
Nội dung được trình bày trong luận văn là những kiến thức bổ ích về độ đo xác
suất trên không gian hàm và không gian Hilbert. Mỗi một bài trong chương đều
có định nghĩa, định lý và chứng minh khá chặt chẽ. Những độc giả đang học cao
học toán chuyên ngành ”lý thuyết xác suất và thống kê toán học” hồn tồn có thể
đọc và hiểu được luận văn này. Mặt khác nó cũng là tài liệu tham khảo tốt cho
những ai muốn nghiên cứu sâu về lĩnh vực xác suất thống kê. Do thời gian có hạn
nên những nội dung được trình bày trong luận văn vẫn cịn mang tính chất khái
qt. Vì vậy nếu bạn đọc muốn tìm hiểu sâu hơn về luận văn có thể tham khảo
thêm các tài liệu được trích ở cuối khóa luận này, các bạn có thể nghiên cứu thêm
phần ”Độ đo xác suất trên D[0, 1]”(chương VII), ”Độ đo xác suất trong một nhóm
metric (chương III)” trong [5].

64


Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Hùng Thắng (1998), Mở đầu về lý thuyết xác suất và ứng dụng, Nhà
xuất bản Giáo dục.

[2] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên,
Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm , Nhà xuất bản Đại Học Quốc
Gia Hà Nội.

[4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất và ứng dụng, phần III Giải

tích ngẫu nhiên , Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[5] K.R. PARTHASARATHY, ”Probability measures on metric spaces”, Ams
Chelsea Publishing, American Mathematical Society. Providence, Rhode
Island.

65


PHỤ LỤC
Định lý 1. Cho X là một không gian Metric, A, B là 2 tập con đóng rời nhau của
X. Khi đó tồn tại một hàm liên tục f (x) trên X thỏa mãn:
1)
2)
Nếu

0 ≤ f (x) ≤ 1
0,x ∈ A
f (x) =
1,x ∈ B
inf d (x, y) = δ > 0 thì hàm f có thể được chọn là liên tục đều.

x∈A,y∈B

Định lý 2. Hàm d (x, A) thỏa mãn bất đẳng thức |d (x, A) − d (y, A)| ≤ d (x, y) .
Đặc biệt d (x, A) là liên tục đều.
Định lý 3. Hàm ϕ xác định trên Y là hàm đặc trưng của một độ đo µ ∈ M (X) ⇔
các điều kiện sau là đúng
(1) ϕ (e) = 1; (2) ϕ là liên tục và (3) ϕ là xác định dương.

66