Đề thi Toán HSG lớp 9 huyện Hậu Lộc năm học 2010 - 2011

PHÒNG GD & ĐT
HẬU LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,5 điểm): Cho biểu thức:
b ab a b a b
A a :
a b ab b ab a ab
 
− +
 
= + + −
 ÷
 ÷
+ + −
 
 
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết :
a 6 2 5= −
và
b 5=
.
Câu 2 (3,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình:
( ) ( )
2 1 m x 2 m y 2 0− + − + =
(m là tham số)
a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1).
b) Chứng minh rằng các đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá

trị của m.
c) Tìm m để đường thẳng (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Câu 3 (2,0 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5x 7y 112+ =
.
Câu 4 (3,0 điểm): Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1.
Chứng minh rằng :
1 1 4
a 1 b 1 3
+ ≥
+ +
.
Câu 5 (2,5 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích là S,
3
CD AB
2
=
.
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N
là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S.
Câu 6 (4,5 điểm): Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R và A là một điểm
trên nửa đường tròn đó. Vẽ AH vuông góc với BC. Gọi I và K lần lượt là các điểm
đối xứng của H qua AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm: I, A, K thẳng hàng.
b) Chứng minh IK là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
c) Xác định vị trí của điểm H trên BC để diện tích tứ giác BIKC đạt giá trị lớn
nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu 7 (1,0 điểm): Cho hai đa thức
9 25 49 81
P(x) 1 x x x x x= + + + + +

và
3
Q(x) x x= −
Tìm đa thức dư của phép chia P(x) cho Q(x).
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm về đề thi này
Họ tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ..................................