Tải Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 - 2013 môn Toán (Có đáp án) - Sở GD-ĐT Bắc Ninh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Bài 1 (2,0điểm)</b></i>

1) Tìm giá trị của x để các biểu thức có nghĩa:

3<i>x </i> 2
4

2<i>x </i>1_;
2) Rút gọn biểu thức:

(2 3) 2 3

2 3

<i>A</i>  


<i><b>Bài 2 (2,0 điểm)</b></i>

Cho phương trình: mx2_{– (4m -2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).}
1) Giải phương trình (1) khi m = 2.

2) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
3) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên.
<i><b>Bài 3 (2,0 điểm)</b></i>

<i>Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:</i>

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thì diện
tích tăng thêm 45m2_{. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.}

<i><b>Bài 4 (3,0 điểm)</b></i>

Cho đường tròn O. Từ A là một điểm nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AM và AN với (O) ( M; N là các
tiếp điểm ).

1) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính AO.

2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại B và C (B nằm giữa A và C ). Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh I cũng thuộc đường tròn đường kính AO.

3) Gọi K là giao điểm của MN và BC . Chứng minh rằng AK.AI = AB.AC.
<i><b>Bài 5 (1,0 điểm)</b></i>

 _{Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x + y = 1.}
Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x2_{+ y}2_.

- Hết
---§Ị chÝnh thøc

<b>UBND tØnh b¾c ninh</b>

<b>Sở giáo dục và đào tạo</b> <b>đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thptNăm học 2012 - 2013</b>
<b>Mơn thi: Tốn (Dành cho tất cả thí sinh)</b>
<i><b>Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Câu 1: </b>
3<i>x </i> 2 

2

0 3 2

3

<i>x</i> <i>x</i>

    

a) có nghĩa 3x – 2
4

2<i>x </i> 1

1

2 1 0 2 1

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

      

có nghĩa

2 2 2

2 2

(2 3) (2 3)

(2 3) 2 3 (2 3)(2 3) 2 3

1
1

2 3 (2 3)(2 3) 2 3

<i>A</i>           

    _b)

2 ₍₄ ₂₎ ₃ _{2 0 (1)}

<i>mx</i>  <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>  <b>_{Câu 2:}</b>

1.Thay m = 2 vào pt ta có:

2 2

(1) 2<i>x</i>  6<i>x</i>  4 0 <i>x</i>  3<i>x</i> 2 0
1 0; 2 2

<i>x</i>  <i>x</i>  _{Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm:}
(1) 2<i>x</i> 2 0  <i>x</i>1_{2. * Nếu m = 0 thì .}

Suy ra: Pt ln có nghiệm với m=0

*Nếu m 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x.

2 2 2 2

' (2<i>m</i> 1) <i>m m</i>(3 2) 4<i>m</i> 4<i>m</i> 1 3<i>m</i> 2<i>m</i> (<i>m</i> 1) 0 <i>m</i> 0

               _{Ta có:}

Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp ta có: pt ln có nghiệm với mọi m (đpcm)
(1) 2<i>x</i> 2 0  <i>x</i>1_{3. * Nếu m = 0 thì nguyên}

Suy ra: Với m = 0 pt có nghiệm nguyên

1

2

2 1 1

1

2 1 1 3 2

<i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i> <i>m</i>

  


 




   

 _ _

 _{* Nếu m # 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Từ ý 2 ta có: pt có 2 nghiệm:}

2

<i>x</i> 3<i>m_m</i> 2 <i>Z</i> 3 <i>_m</i>2 <i>Z m</i>( 0) 2 <i>m</i>


       

 _{Để pt (1) có nghiệm ngun thì nghiệm phải nguyên hay m là}
ước của 2 m = {-2; -1; 1; 2}

1; 2;0

  _{Kết luận: Với m = {} thì pt có nghiệm ngun}
<b>Câu 3: </b>

Gọi chiều dài hcn là x (m); chiều rộng là y (m) (0 < x, y < 17)

34 : 2 17 12

( 3)( 2) 45 5

<i>x y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>y</i>

   

 



 

    

  _{Theo bài ra ta có hpt : (thỏa mãn đk)}
Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m

<b>Câu 4 : </b>

1. Theo tính chất tiếp tuyến vng góc với bán kính
<i>_{AMO ANO}</i> ₉₀<i>O</i>

  _{tại tiếp điểm ta có :}

<i>AMO</i>

   _{vng tại M A, M , O thuộc đường tròn}
đường kính AO ( Vì AO là cạnh huyền)

<i>ANO</i>

  _{vng tại N A, N, O thuộc đường trịn}
đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2.  <i>OI</i> <i>BC</i>_{Vì I là trung điểm của BC (theo gt) (tc)}

<i>AIO</i>

  _{vuông tại I A, I, O thuộc đường trịn}
đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền)

Vậy I cũng thuộc đường trịn đường kính AO (đpcm)
3. Nối M với B, C.

&

<i>AMB</i> <i>AMC</i>

  <i>MAC</i>_{Xét có chung}

  1

2
<i>MCB AMB</i> 

<i>MB</i> _sđ

~
<i>AMB</i> <i>ACM</i>
  
2
.
<i>AB</i> <i>AM</i>

<i>AB AC</i> <i>AM</i>

<i>AM</i> <i>AC</i>

   

(g.g) (1)
&

<i>AKM</i> <i>AIM</i>

  <i>MAK</i> _{Xét có chung}

 

<i>AIM</i> <i>AMK</i> <i>AIM</i> <i>ANM</i> <i>AM</i> _{(Vì: cùng chắn}

 

<i>AMK</i> <i>ANM</i> _{và )}

~
<i>AMK</i> <i>AIM</i>
  
2
.
<i>AK</i> <i>AM</i>

<i>AK AI</i> <i>AM</i>

<i>AM</i> <i>AI</i>

   

(g.g) (2)
Từ (1) và (2) ta có: AK.AI = AB.AC (đpcm)

<b>Câu 5:</b>
* Tìm Min A

<i> Cách 1: </i>









2 ₂ ₂

2 2 2

2 1

2 0

<i>x y</i> <i>x</i> <i>xy y</i>

<i>x y</i> <i>x</i> <i>xy y</i>

    

    

Ta có:



2 2





2 2



1 1

2 1

2 2

<i>x</i> <i>y</i>   <i>x</i> <i>y</i>   <i>A</i>

Cộng vế với vế ta có:
1

2
1

2_{Vậy Min A = . Dấu “=” xảy ra khi x = y =}

<i>Cách 2</i>

1 1

<i>x y</i>   <i>x</i>  <i>y</i>_{Từ Thay vào A ta có :}



₁



2 2 ₂ 2 ₂ _{1 2(} 1₎2 1 1

2 2 2

<i>A</i>  <i>y</i> <i>y</i>  <i>y</i>  <i>y</i>  <i>y</i>   <i>y</i>
1

2_{Dấu « = » xảy ra khi : x = y =}
1

2
1

2_{Vậy Min A = Dấu “=” xảy ra khi x = y =}
* Tìm Max A

2
2 2
2
0 1
1

0 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>

<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>


  
 
     
 
   

  _{Từ giả thiết suy ra}

Vậy : Max A = 1 khi x = 0, y

GIẢI CÂU 05

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN BẮC NINH
2012-2013

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

CÂU 05 :

<i>0 ; y ≥ 0</i> Cho các số x ; y thoả mãn x và x+ y = 1

.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2_{+ y}2
I- TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CÁCH 01 :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Ta có x + y = 1 nên y = - x + 1 thay vào A = x2_{+ y}2_{ta có :}
x2_{+ ( -x + 1)}2_{- A = 0 hay 2x}2_{- 2x + ( 1- A) = 0 (*)}

<i>Δ' ≥ 0⇔1 −2 (1− A ) ≥0 ⇔ 2 A −1 ≥ 0 ⇔ A ≥</i>1
2

1
2

1
2

1

2 do đó để biểu thức A tồn tại giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm hay .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là khi
phương trình (*) có nghiệm kép hay x = mà x + y = 1 thì y = . Vậy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2 ( t/m)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 02 :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có 1 = x + y hay
2

(

<i>x</i>2

+<i>y</i>2

)

<i>⇔ x</i>2

+<i>y</i>2<i>≥</i>1

2 1= (x + y)2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y mà x + y =1 hay x
=y = 1/2 ( t/m)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 03 :

<i>a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .</i>

¿

<i>x=1− m</i>
<i>y=m</i>

¿{

¿

<i>0 ≤ m≤1</i> Khơng mất tính tổng qt ta đặt với

Mà A= x2_{+ y}2_{. Do đó A = ( 1- m)}2_{+ m}2_{hay A= 2m}2_{- 2m +1}
<i>A=(2 m− 1)</i>

2

2 +

1
2<i>≥</i>

1

2 hay 2A = (4m

2_{- 4m + 1) + 1 hay 2A = (2m- 1)}2_{+ 1 hay .}
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi m= 1/2 hay x = y = 1/2.

<i>b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.</i>

CÁCH 04 :

<i>a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .</i>

Ta có A = x2_{+ y}2_{= ( x+ y)}2_{- 2xy = 1 -2xy ( vì x + y =1 )}
<i>(x + y )</i>2

4 <i>⇔ xy ≤ 1</i>4<i>⇒− 2 xy ≥ − 1</i>2 <i>⇔1 −2 xy ≥ 1</i>2<i>⇒ A ≥ 1</i>2 mà xy .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.

<i>b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.</i>

CÁCH 05 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Xét bài tốn phụ sau : Với a , b bất kì và c ; d > 0 ta ln có :

<i>a</i>2

<i>c</i> +
<i>b</i>2

<i>d</i> <i>≥</i>
<i>(a+b )</i>2

<i>c +d</i>
<i>a</i>
<i>c</i>=

<i>b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(

√

<i>x</i>2+

√

<i>y</i>2

)

[

(

<i>a</i>

√

<i>x</i>

)

2

+

(

<i>b</i>

√

<i>y</i>

)

2

]

<i>≥</i>(<i>a+b</i>)2<i>⇔</i> <i>a</i>
2
<i>x</i>+

<i>b</i>2
<i>y</i> <i>≥</i>

<i>(a+b )</i>2

<i>x + y</i> Thật vậy : có (ĐPCM)
.ÁP DỤNG

<i>x</i>2
1+

<i>y</i>2
1 <i>≥</i>

<i>(x + y )</i>2

2 Cho a = x và b = y ,từ (*) có : A= x

2_{+ y}2_{= mà x+ y =1}
1

2 Nên A .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

CÁCH 06 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
<i>1 − A</i>

2 Ta có A = x2 + y2 hay xy = (*) mà x + y =1 (**)

¿

<i>x + y=1</i>
xy=<i>1 − A</i>

2

¿{

¿

<i>x ≥ 0 ; y ≥ 0⇔1 −2 (1 − A) ≥ 0 ⇔ A ≥</i>1
2

1

2 Vậy từ (*) ;(**) có hệ phương trình ,hệ này có

nghiệm . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x+ y =1 và x2_{+ y}2_{= hay x = y = 1/2.}
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

CÁCH 07 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Ta có A = x2_{+ y}2_{= x}2_{+ y}2_{+ 1 - 1 mà x + y =1 nên A = x}2_{+ y}2_{- x - y -1}

(

<i>x</i>2<i>− x+</i>1
4

)

+

(

<i>y</i>

2

<i>− y+</i>1
4

)

+

1
2<i>≥</i>

1

2 Hay A = . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

CÁCH 08 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
<i>x</i>2+<i>y</i>2

1 =

<i>x</i>2+<i>y</i>2
<i>x + y</i> =

<i>x</i>2
<i>x + y</i>+

<i>y</i>2
<i>x + y≥</i>

<i>( x + y )</i>2
<i>2( x + y )</i>=

<i>x + y</i>

2 Ta có A= x2 + y2 =
1

2 Mà x + y =1 nên A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2. khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

CÁCH 09 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

√

<i>A</i> <i>0 ; y ≥ 0⇒</i> 1₂ Ta có x + y = 1 là một đường thẳng , còn x2 + y2 = A là một đường trịn có tâm là

gốc toạ độ O bán kín mà x thuộc góc phần tư thứ nhất của đường trịn trên . Do đó để tồn tại cực trị thì
khoảng cách từ O đến đường thẳng x + y =1 phải nhỏ hơn hay bằng bán kín đường trịn hay A . Vậy giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 10 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
<i>⇔ x+ y −</i>1

2=
1
2

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>x</i>2+<i>y</i>2<i>≥ x + y −</i>1

2 với A = x2 + y2 thì ta chỉ cần chứng minh .
Thật vậy :

<i>x</i>2+<i>y</i>2<i>≥ x + y −</i>1

2 Ta có 0

(

<i>x −</i>1

2

)

2

+

(

<i>y −</i>1
2

)

2

<i>≥ 0</i> 1

2 Hay ( luôn đúng ) Vậy A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x
= y =1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 11 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

¿

<i>x=2− m</i>
<i>y=m−1</i>
<i>⇒1 ≤m ≤2</i>

¿{

¿

Khơng mất tính tổng qt ta đặt

.Do đó A = x2_{+ y}2_{hay (2-m)}2_{+ (m-1)}2_{- A =0 hay 2m}2_{- 6m +5 = A}
<i>A=(2 m− 3)</i>

2

2 +

1
2<i>≥</i>

1

2 Hay .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

CÁCH 12 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

¿

<i>x=3 −m</i>
<i>y=m−2</i>
<i>⇒2 ≤m ≤3</i>

¿{

¿

Không mất tính tổng qt ta đặt

.Do đó A = x2_{+ y}2_{hay (3-m)}2_{+ (m-2)}2_{- A =0 hay 2m}2_{- 10m +13 = A}
<i>A=(2 m − 5)</i>

2

2 +

1
2<i>≥</i>

1

2 Hay .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

CÁCH 13 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Ta có x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = 3 mà A = x2_{+ y}2_hay
A = (x2_{+ 2x + 1) + ( y}2_{+ 2y +1) - 4 hay A = (x+1)}2_{+ ( y+1)}2_{- 4}

¿

<i>a=x +1</i>
<i>b= y +1</i>

<i>⇒</i>

¿<i>a≥ 1</i>

<i>b ≥ 1</i>

¿{

¿

,do đó ta đặt . Khi ta có bài toán mới sau :

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>ab ≤(a+ b)</i>
2

4 =

9
4

1

2 Mặt khác theo cơsi có : do đó A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y
= 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 14 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

¿

<i>x=a − m</i>
<i>y =m− b</i>
<i>⇒b ≤ m≤ a</i>

¿{

¿

Khơng mất tính tổng quát ta đặt

( với a > b vì a - b =1 hay a = b+ 1 hay a > b )
.Do đó A = x2_{+ y}2_{hay (a-m)}2_{+ (m-b)}2_{- A =0 hay}
2m2_{- 2m (a+b) +(a}2_{+ b}2_{) = A hay}

<i>2 A=</i>

_[

<i>2 m− (a+b )</i>

_]

2+2

(

<i>a</i>2

+<i>b</i>2

)

<i>−(a+b)</i>2<i>_{⇔ A=}</i>

[

<i>2 m− (a+b )</i>

]

2

2 +

1
2<i>≥</i>

1

2 Hay
(Vì a - b= 1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

CÁCH 15 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

0<i>⇔0 ≤ x ≤ 1</i> Ta có x + y =1 hay y = 1 - x mà y

Do đó x2_{+ y}2_{- A = 0 hay 2 x}2_{- 2x +( 1 - A ) = 0 .}
Khi đó ta có bài tốn mới sau :

<i>0 ≤ x</i>₁<i>≤ x</i>₂<i>≤ 1</i> Tìm A để phương trình 2 x2_{- 2x +( 1 - A ) = 0 (*) có nghiệm}
Với x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>0 ≤ x</i>₁<i>≤ x</i>₂<i>≤ 1⇔</i>

¿

<i>x</i>2<i>≥ x</i>1<i>≥0</i>
<i>x</i>₁<i>≤ x</i>₂<i>≤1</i>

<i>⇔</i>

¿<i>x</i>1<i>≥ 0</i>
<i>x</i>₂<i>≥0</i>

¿<i>x</i>₁<i>≤ 1</i>

<i>x</i>₂<i>≤1</i>

¿

<i>no</i>

¿<i>⇔</i>
¿<i>S ≥ 0</i>

<i>P≥ 0</i>

¿<i>S ≤ 2</i>

<i>P ≤1</i>

¿

<i>no</i>

¿<i>⇔</i>
¿<i>Δ' ≥ 0</i>

<i>S ≥ 0</i>
<i>P≥ 0</i>

¿<i>Δ' ≥ 0</i>

<i>S ≤2</i>
<i>P ≤1</i>

¿

<i>no</i>

¿<i>⇔ 1</i>

2<i>≤ A ≤ 1</i>

¿
¿{ {

{ {

¿{
{

¿{
{

¿
¿

¿
¿{

¿

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 .

II- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CÁCH 01 :

Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0

CÁCH 02 :
<i>1 − A</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0
CÁCH 03 :

¿

<i>x=sin</i>2<i>α ≥ 0</i>
<i>y=cos</i>2<i>α ≥ 0</i>

¿{

¿

Khơng mất tính tổng qt ta đặt

sin4<i>_{α +cos}</i>4<i>_{α=1− 2}</i>

(<i>sin α . cos α</i>)2<i>≤1</i> Do đó A = .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1

khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0

<b>“Bề dày thời gian tồn tại – Chất lượng giáo viên, lịng nhiệt tình - Số lượng lớn học sinh theo học và đạt</b>
<b>thành tích cao- Số lượng tài liệu khổng lồ được học sinh, giáo viên, phụ huynh sử dụng CHÍNH LÀ</b>

<b>NIỀM TỰ HÀO, SỰ KHẲNG ĐỊNH CỦA TT GIA SƯ – TT LUYỆN THI TẦM CAO MỚI”</b>
- Các em học sinh trên địa bàn Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận (Cam Lộ, Triệu Phong, Gio

Linh,…) hồn tồn có thể đăng kí và học tại nhà, để được hướng dẫn cụ thể các em hãy gọi theo số máy
trung tâm. Ngồi ra các em có thể học tại trung tâm hoặc học tại nhà các giáo viên của trung tâm.
- Các em có thế đăng kí học các mơn: Tốn, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Văn (các khối 9-12, Luyện thi đại học

cấp tốc, luyện thi vào lớp 10 cấp tốc, luyện thi tốt nghiệp 12 cấp tốc). Riêng các lớp học từ khối 8 trở
xuống, phụ huynh hay học sinh nào yêu cầu trung tâm sẽ cho giáo viên phù hợp về dạy kèm các em

- Đối với giáo viên muôn tham gia trung tâm hãy điện thoại để biết thêm chi tiết cụ thể

</div>

<!--links-->