Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.71 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC</b>
——————
<b>ĐỀ CHÍNH THỨC</b>
<b>KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012</b>
<b>ĐỀ THI MƠN: TỐN</b>
<b>Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc</b>
<i>Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề</i>
————————————
<b>Câu 1 (3,0 điểm)</b>
1. Giải hệ phương trình:
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>y x</i> <i>xy</i>
2. Tìm tất cả hàm số <i>f</i> : thoả mãn:
( ) ( ) ,
<i>f x y</i> <i>f x</i> <i>y</i> <i>x y</i> <sub> và </sub> 2
1 ( )
0
<i>f x</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub>.</sub>
<b>Câu 2 (2,0 điểm)</b>
Tìm tất cả các số nguyên tố <i>p q</i>, sao cho
<i>p</i> <i>p</i> <i>q</i> <i>q</i>
chia hết cho <i>pq</i>.
<b>Câu 3 (2,0 điểm).</b>
<i>Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn. Một đường thẳng đường </i><i><sub> đi qua A cắt đoạn</sub></i>
<i>thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi I I</i>1, 2<sub> và </sub><i>I</i>3<sub> lần</sub>
<i>lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp tuyến của đường tròn</i>
1
( )<i>I</i> <i><sub> song song với CD (gần CD hơn) cắt </sub></i><sub></sub><i><sub> tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác</sub></i>
1 2 3.
<i>I I I</i>
<b>Câu 4 (2,0 điểm).</b>
Xét các số thực dương <i>a b c</i>, , thỏa mãn <i>a</i>2<i>b</i>3<i>c</i>20.<sub> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức </sub>
3 9 4
2
<i>L a b c</i>
<i>a</i> <i>b c</i>
<b>Câu 5 (1,0 điểm).</b>
<i>Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít</i>
nhất hai phần tử và với mọi <i>m n X m n</i>, , thì tồn tại <i>k</i><i>X</i> <sub> sao cho </sub><i>n mk</i> 2.
—Hết—
<i>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.</i>
<b>SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC</b> <b>KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC</b>
<b>NĂM HỌC 2011-2012</b>
<b>HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN</b>
———————————
<b>I. LƯU Ý CHUNG:</b>
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.
- Với bài hình học nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó.
<b>II. ĐÁP ÁN:</b>
<b>Câu Ý</b> <b>Nội dung trình bày</b> <b>Điểm</b>
<b>1</b> <b>1 2,0 điểm</b>
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)
4 (2)
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>y x</i> <i>xy</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Điều kiện xác định:
1 1
;
4 4
<i>x</i> <i>y</i>
(2) <i>x</i> <i>y x</i>(4 1) <i>x</i> 4<i>x</i> 1 <i>y</i> 4<i>y</i> 1
<i>y</i> <i>x</i>
thay vào (1) ta được
0,5
(2<i>x</i> 3) <i>x</i> (2<i>y</i> 3) <i>y</i> 2 (2<i>x</i> 3)(2<i>y</i> 3)
<i>y</i> <i>x</i>
0,5
Do
(2<i>x</i> 3) <i>x</i> (2<i>y</i> 3) <i>y</i> 2 (2<i>x</i> 3)(2<i>x</i> 3)
<i>y</i> <i>x</i>
<sub>0,5</sub>
Suy ra (1) <i>x x</i>(2 3)<i>y y</i>(2 3) (<i>x y</i> )(2<i>x</i>2<i>y</i>3) 0 <i>x</i><i>y</i> thay vào (2) ta
được
2
0 ( )
2 0 <sub>1</sub> <sub>1</sub>
2 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
lo¹i
Vậy hệ phương trình có nghiệm
1 1
;
2 2
<sub>.</sub>
0,5
<b>2 1,0 điểm</b>
Ta có: <i>f x y</i>
1 1 1
(0) 0.
<i>f</i> <i>f</i> <i>a</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Mặt khác 2 2 2
1 ( ) (0)
0
<i>f x</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>a x</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub> .</sub>
0,25
2
2
1
0 0 0.
<i>a x</i>
<i>a</i> <i>x</i> <i>ax</i> <i>a x</i> <i>a</i>
<i>x</i> <i>x</i>
0,25
<b>2</b> <b>2,0 điểm</b>
<i>p q</i><sub> đều khác </sub>2, 7<sub>. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử </sub><i>q</i><i>p</i><sub>. Khi đó từ giả thiết ta </sub>
được 7<i>p</i> 4<i>p</i><i>p</i> hoặc 7<i>q</i> 4<i>q</i><i>p</i>
0,5
TH1. 7<i>p</i> 4<i>p</i><i>p</i>, theo định lí Fermat ta có:
7<i>p</i> 4<i>p</i> 3 mod<i><sub>p</sub></i> 3 0 mod<i><sub>p</sub></i> <i><sub>p</sub></i> 3.
0,5
TH2. 7<i>q</i> 4<i>q</i><i>p</i>, ta có
<i>qv</i> <i>p</i> <i>u</i> 7<i>q</i> 4 mod<i>q</i>
7 4 mod <i>p</i> 3 0 mod <i>p</i> <i>p</i> 3.
0,5
Với <i>p </i>3, từ giả thiết ban đầu ta được:
<sub></sub> <i><sub>q</sub></i><sub></sub><sub>3,</sub><i><sub>q</sub></i><sub></sub><sub>31.</sub>
Vậy
0,5
<b>3</b> <b>2,0 điểm</b>
<i>Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường tròn </i>
0,5
<i>Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên</i>
<i>AD HL AD CK</i> <i>AD BC BK</i>
<i>AB CD BK</i> <i>AB BK CD AH HK CD</i>
<i>AH LC CD AH DL</i>
<i>Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với </i>( )<i>I</i>3
0,5
Vì <i>FD</i> <i>KH FH</i>; <i>HA</i>
nên các đường phân giác <i>HI</i>1<sub> của góc </sub><i>AHK</i><sub> và </sub><i>FI</i>3<sub> của</sub>
góc <i>HFD</i><sub> vng góc với nhau; hay </sub><i>I H</i>1 <i>I I</i>2 3<sub> (Do </sub><i>F I I</i>, ,2 3<sub> thẳng hàng) (1)</sub>
0,5
Chứng minh tương tự, cũng được <i>HI</i>3 <i>EI</i>2 hay <i>I H</i>3 <i>I I</i>1 2 (2)
<b>4</b> <b>2,0 điểm</b>
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
4 4 3 4
2 · 4 3,
4
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi </sub><i>a </i>2
9 9 1 9
2 · 6 3,
2
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi </sub><i>b </i>3
16 16 1 16
2 · 8 2,
4
<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>
<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi </sub><i>c </i>4
0,5
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được
3 3 9 4
8
4 2 4 2
<i>a b c</i>
<i>a</i> <i>b c</i>
(1)
Mặt khác, do <i>a</i>2<i>b</i>3<i>c</i>20<sub> nên </sub>
3
5
4 2 4
<i>a b</i> <i>c</i>
(chia hai vế cho 4) (2)
0,5
Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được
3 9 4
13.
2
<i>L a b c</i>
<i>a</i> <i>b c</i>
<sub>0,5</sub>
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <i>a</i>2,<i>b</i>3,<i>c</i>4. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
<i>L bằng 13, đạt được khi a</i>2,<i>b</i>3,<i>c</i>4. 0,5
<b>5</b> <b>1,0 điểm</b>
<i>Giả sử tìm được tập hợp X thỏa mãn và m n</i> <i><sub> là hai phần tử bé nhất của X. Khi đó, do </sub></i>
<i>cách xác định X nên tồn tại k</i><i>X</i> <sub> sao cho </sub><i>n mk</i> 2<sub>. Suy ra </sub><i>m k n</i> <sub> và do đó </sub><i>k m</i>
hoặc <i>k n</i> <sub>.</sub>
Với <i>k n</i> <i>n m n</i> . 2 <i>m n</i>. 1<sub> vô lí.</sub>
0,25
Với <i>k m</i> <i>m n m</i> 3 <i>m</i>1
+) Nếu |<i>X </i>| 2 thì tập hợp
<i>X</i> <i>m m m </i>
.
+) Nếu |<i>X </i>| 3, gọi <i>q</i> là phần tử bé thứ ba của <i>X</i> (tức là <i>m n q</i> ). Khi đó tồn tại
<i>X</i>
<sub> sao cho </sub><i>q m</i> 2.
0,25
Do <i>q </i> nên hoặc <i>m</i><sub> hoặc </sub><i>n</i><sub>.</sub>
Nếu <i>m</i><sub> thì </sub><i>q m</i> 3 <i>n</i><sub>, vô lý. Vậy </sub> <i>n m</i>3<sub> và </sub><i>q m</i> 2 <i>m</i>7. 0,25
Nhưng tồn tại <i>t X</i> <sub> sao cho </sub><i>q nt</i> 2<sub>, do đó </sub><i>t m</i> 2<sub>. Mà </sub><i>m m</i> 2 <i>m</i>3 <i>m</i>2 <i>X</i> <sub>, vô lý.</sub>
Vậy |<i>X </i>| 2 và
<i>X</i> <i>m m m </i>
.