Full 8 chuyên đề hình học ôn thi vào 10

Trang 1 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Contents
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ..................................................... 5
. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG ........... 5
. Lý thuyết .......................................................................................................................... 5
. Bài tập ............................................................................................................................... 5
. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN .................................................................. 13
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 13
. Bài tập ............................................................................................................................. 14
. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG ......... 19
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 19
. Bài tập ............................................................................................................................. 19
. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ........... 21
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 21
. Bài tập ............................................................................................................................. 21
. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM ..................................................................................... 24
B. GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN ............................................................................................... 30
. GĨC Ở TÂM .................................................................................................................... 30
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 30
. Bài tập ............................................................................................................................. 32
. GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG....................... 34
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 34
. Bài tập. ............................................................................................................................ 36
. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN ...................... 41
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 41
. Bài tập. ............................................................................................................................ 42
. MỘT SỐ BÀI TẬP .......................................................................................................... 43
DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . 43

FB: Toán Họa

0986 915 960


Trang 2 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 .......................................................................................... 47
DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN .... 53
HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2 .......................................................................................... 55
C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN . 61
. TỨ GIÁC NỘI TIẾP ....................................................................................................... 61
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 61
. Bài tập ............................................................................................................................. 63
. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN ................. 70
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 70
. Bài tập. ............................................................................................................................ 70
. BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) ............................................................................. 73
Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 73
Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 ................................................. 74
Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện ..... 76
Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ...................................................... 76
Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn .......................................... 77
D. CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC ................................ 79
. LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC .................................... 81
A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU ............................................... 81
Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau ........................................................................ 81

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt ........................................... 84
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. ............ 85
Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường trịn. ........................... 86
Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … ........................................... 87
B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ ................................................................ 88
1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng ......................................................................... 88
3. Đường trung bình. .......................................................................................................... 88
4. Định lý Talet:.................................................................................................................... 89
FB: Toán Họa

0986 915 960


Trang 3 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

5. Tính chất đường phân giác của tam giác. ................................................................... 90
6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác..................................................................... 91
7. Hệ thức lượng trong tam giác vng. .......................................................................... 92
8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. ...................................................................................... 93
. PHẦN BÀI TẬP. .............................................................................................................. 94
E. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG ....................... 114
10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng ........................................................... 115
Ví dụ minh họa ...................................................................................................................... 115
Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh
bằng 180 độ) ........................................................................................................................ 115
Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành) 116
Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường trịn ......................... 116
Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được

một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. ........................... 117
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường
thẳng vng góc với đường thẳng đã cho. ................................................................... 118
Một số bài tập. ........................................................................................................................ 124
F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ......................................................... 136
Bài tập có giải ......................................................................................................................... 137
Một số bài tập tự rèn: ............................................................................................................ 151
F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC ........................................ 152
A. Phương pháp giải bài tốn cực trị hình học. ............................................................... 153
1. Dạng chung của bài tốn cực trị hình học: ............................................................... 153
2. Hướng giải bài tốn cực trị hình học: ....................................................................... 153
3. Cách trình bày lời giải bài tốn cực trị hình học . .................................................. 153
B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. ...................................... 154
1. Sử dụng quan hệ giữa đường vng góc, đường xiên, hình chiếu. .................... 154
2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. ..................................... 158

FB: Toán Họa

0986 915 960


Trang 4 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. ......................................................... 160
4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai ............................................................ 161
5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si . ..................................................................................... 163
6. Sử dụng tỉ số lượng giác. ............................................................................................. 166
C. Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn....................................................................... 169

D. Bài tập tự luyện ................................................................................................................ 187
E. Rèn luyện tổng hợp .......................................................................................................... 192
H. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN .......................................................................................... 202
. HÌNH TRỤ ...................................................................................................................... 203
. Lý thuyết ...................................................................................................................... 203
. Bài tập ........................................................................................................................... 203
. HÌNH NĨN ..................................................................................................................... 212
. Lý thuyết ...................................................................................................................... 212
. Bài tập ........................................................................................................................... 213
. HÌNH CẦU ...................................................................................................................... 221
. Lý thuyết ...................................................................................................................... 221
. Bài tập ........................................................................................................................... 222
. BÀI TẬP TỔNG HỢP .................................................................................................. 229


Chủ đề

Trang 5 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

HỆ THỨC LƯỢNG

1

TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
. Lý thuyết

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:
1. AB 2  BH .BC hay c 2  ac '
2

A

2

AC  CH .BC hay b  ab '
c

2. HA 2 = HB.HC hay h 2  c ' b '

b
h

3. AB. AC  BC. AH hay cb  ah
1
1
1
1
1 1
4.
hay 2  2  2 .


2
2
2
AH

AB
AC
h
c b

B

c'

b'

H

C

a

5. BC 2  AB2  AC 2 (Định lí Pitago)
. Bài tập
Vận dụng hệ thức 1:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
góc vng trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Vẽ đường cao AH.
Ta có

HB 9
HB HC HB  HC 20
 




HC 16
9
16
9  16
25

Suy ra HB 

9.20
16.20
 7, 2 (cm); HC 
 12,8 (cm)
25
25

Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
AB 2  BC.BH  20.7, 2  144  AB = 12 (cm);
AC 2  BC.CH  20.12,8  256  AC = 16 (cm).

1
2

1
2

Vậy diện tích ABC là S  ABAC  12.16  96 (cm2).

Trang 6 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Cách giải khác:
Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo cơng thức: AH 2  HB.HC (hệ thức 2).
AH 2  7, 2.12,8  92,16  AH = 9,6 (cm).

1
2

1
2

Diện tích ABC là S  BCAH   20.9,6  96 (cm2).
Bài 2:

Cho tam giác vng với các cạnh góc vng có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ

đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia
ra trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABC:
BC 2  AB 2  AC 2  32  4 2  25  BC  5 cm

A

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
BA2

32
9
BA  BH .BC  BH 
 BH   BH  (cm)
BC
5
5
CA2
42
16
(cm)
CA  CH .CB  CH 
 CH 
 CH 
CB
5
5
2

4

3

2

B

H

C

9 16
12
AH 2  HB.HC  AH 2  .  AH 
(cm)
5 5
5

(Có thể tính đường cao AH bởi công thức
Bài 3:

1
1
1


)
2
2
AH
AB
AC 2

Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau

tại O. Biết OA  2 3 cm, OB = 2cm, tính độ dài AB.
Hướng dẫn giải
Qua A vẽ một đường thẳng vng góc với AB cắt tia BO tại D.
B
  90 

  90
Ta có D
AOD  B
1
2


B
 nên 
mà B
AOD  D
1
2

Do đó AOD cân tại A. Suy ra AD  AO  2 3 (cm).
Vẽ AH  OD thì HO = HD.


Trang 7 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Ta đặt HO  HD  x thì BD  2 x  2.
Xét ABD vng tại A, đường cao AH, ta có AD 2  BD.HD.
Suy ra (2 3)2  x(2 x  2) Từ đó ta được phương trình:
2 x 2  2 x – 12  0  (x – 2)(x + 3) = 0  x = 2 hoặc x = 3.

Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = 3 bị loại.
Do đó BD  2  2  2  6 (cm). Suy ra AB  6 2  (2 3)2  24  2 6 (cm).
Vận dụng hệ thức 2:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH
và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC.
Hướng dẫn giải
Ta có S ABH 

1
AHBH  54
2

Suy ra AH .BH  108 .
SACH 

(1)

1
AH.CH  96 Suy ra AH .CH  192 . (2)
2

Từ (1) và (2) ta được: AH 2 .BH .CH  108.192.
Mặt khác AH 2  BH .CH (hệ thức 2). Suy ra AH 4  124  AH = 12 (cm).
1
2

Ta có S ABC  54  96  150 (cm2) mà S ABC  BCAH nên

1
BCAH  150
2

Suy ra BC 

150.2
 25 (cm).
12

Bài 2:

  900 Hai đường chéo vng góc với nhau tại
Cho hình thang ABCD, A  D

O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm.
a) Tính diện tích hình thang;
b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Tính độ dài MN.


Trang 8 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT
Hướng dẫn giải

* Tìm cách giải
Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có
thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính
OA và OC.
* Trình bày lời giải
a)  Xét ABD vng tại A có AO  BD nên OA2  OB.OD (hệ thức 2).
Do đó OA2  5, 4.15  81  OA = 9 (cm).
 Xét ACD vng tại D có OD  AC nên OD 2  OA.OC (hệ thức 2).
 OC 

OD 2 152

 25 (cm).
OA
9

Do đó AC  25  9  34 (cm); BD  5, 4  15  20, 4 (cm).
Diện tích hình thang ABCD là: S 
b) Xét ADC có OM // CD nên

ACBD 34.20, 4

 346,8 (cm2).
2
2

OM AO

(hệ quả của định lí Ta-lét). (1)
CD AC

Xét BDC có ON // CD nên

ON BN

(hệ quả của định lí Ta-lét).
CD BC

(2)

Xét ABC có ON // AB nên

AO BN

(định lí Ta-lét).
AC BC

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

OM ON

CD CD

Do đó OM = ON.
Xét AOD vng tại O, OM  AD nên
Do đó

1
1
1
 2  2  OM  7, 7 (cm).
2
OM
9 15

Suy ra MN  7, 7.2  15, 4 (cm).

1
1
1


(hệ thức 4).
2
2
OM
OA OD 2


Trang 9 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Vận dụng hệ thức 4:
Bài 1:

Cho hình vng ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia

AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức P 

1
1

2
AM AN 2

Hướng dẫn giải

* Tìm cách giải
Biểu thức

1
1
1
1 1

gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) 2  2  2 để giải. Muốn vậy
2
2
AM
AN
h
b c

phải tạo ra một tam giác vng có các cạnh góc vng bằng AM, AN.
* Trình bày lời giải

Qua A vẽ một đường thẳng vng góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.
 B
  90 AD = AB; 
 ).
 (cùng phụ với DAM
ADE và ABM có D
A1  A
2

Do đó ADE  ABM  g .c.g  . Suy ra AE = AM.
Xét AEN vng tại A có AD  EN nên

Mặt khác AE  AM ; AD  1 nên
Bài 2:
rằng :

1
1
1


2
2
AE AN
AD 2

1
1

1
2
AM
AN 2

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh
1
1
1


2
2

BK
BC
4 AH 2

Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức
lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức

1
1 1
 2  2 ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam
2
h
b c

giác vng có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác
vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vng là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường
phụ cần vẽ cạnh góc vng cịn lại.


Trang 10 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

* Trình bày lời giải
Qua B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D.
Vì  ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến  BH = HC.

Xét  BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (  BC )

D

 CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ).
A

Nên AH là đường trung bình của  BCD

1
 AH = AH  BD  BD = 2AH. (1)
2

K

B

H

C

  900 ; BK  CD ( K  CD )
Xét  BCD có DBC



1
1
1


(2)

2
2
BK
BC
BD 2

Từ (1) và (2) 

1
1
1


(đpcm)
2
2
BK
BC
4 AH 2

Vận dụng nhiều hệ thức
Bài 1:

Cho hình thang ABCD, Aˆ  Dˆ  90  hai đường chéo vuông góc với nhau

tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD.

Hướng dẫn giải
ADC vng tại D, theo định lí Py-ta-go ta có:
AC 2  AD 2  DC 2  12 2 16 2  400 .

Suy ra AC = 20 (cm).
ADC vuông tại D, DO là đường cao nên
AD.DC  AC.DO (hệ thức 3).

Suy ra OD 

ADDC 12.16

 9,6 (cm).
AC
20


Trang 11 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Ta lại có AD 2  AC . AO (hệ thức 1) nên OA 

AD 2 122

 7, 2 (cm).
AC
20

Do đó OC  20 – 7, 2  12,8 (cm).
Xét ABD vuông tại A, AO là đường cao nên AO 2  OB.OD (hệ thức 2).
 OB 

Bài 2:

AO2 7, 22

 5, 4 (cm).
OD
9,6

(Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau)

Cho tam giác ABC vuông tại

A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. )

A

Hướng dẫn giải
*Cách 1: Ta có ABC vng tại A nên :
BC 

AB 2  AC 2  82  6 2  10(cm ) (Định lý Pytago)

C

ABC vuông tại A, AH  BC, nên AH .BC  AB. AC  AH 

H

B

AB. AC
 4,8(cm)
BC

*Cách 2: ABC vuông tại A, AH  BC, nên:

AB 2 . AC 2
1
1
1
64.36
2



AH

 AH 
 4.8(cm)
2
2
2
2
2
AH
AB
AC
AB  AC
100
*Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có

BC 2  AB 2  AC 2  82  6 2  100 nên suy ra BC=10cm.

ABC vuông tại A nên: BH .BC  AB 2  BH 

AB 2
 6.4(cm) . Mà HC  BC  BH  3, 6 (cm)
BC

ABC vuông tại A, AH  BC, nên: AH 2  BH .HC  4.82  AH  4.8(cm)


Trang 12 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

*Cách 4: Gọi M là trung điểm BC.

A

1
Ta có : BM  AM  BC  5cm
2

+ Tính được BH=6.4cm

C

+ Nên MH  BH  BM  6, 4  5  1(cm)
Áp

dụng

định

lý

Pitago

vào

B

H M
HAM

vuông

tại

H:

AH  AM 2  MH 2  52  1, 42  4,8(cm)

Hệ thống phương pháp giải tốn thường gặp.
A
c

b
h

B

c'

b'

H

C

a

Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai
trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta ln tính được độ dài bốn đoạn
thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức 1  (5)
Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo
hướng:
Bước 1. Chọn các tam giác vng thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.
Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.
Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.
Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vng hoặc tạo thành đường cao
trong tam giác vng từ đó vận dụng các hệ thức.


Trang 13 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN
. Lý thuyết
1. Định nghĩa
 sin  

c¹nh ®èi
c¹nh hun

 cos  

c¹nh kỊ
c¹nh hun

 tan  

c¹nh ®èi
c¹nh kỊ

 cot  

c¹nh kỊ
c¹nh ®èi

Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác đều dương và sina  1; cosa  1.
2. Định lí
Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cơsin của góc kia, tang của góc này
bằng cơtang của góc kia.
3. Một số hệ thức cơ bản
tan  

sin 
cos 

tan  . cot   1

(1);

cot  

cos 
sin 

(2);

(3);

sin 2   cos 2   1

(4).

4. So sánh các tỉ số lượng giác
Cho  ,  là hai góc nhọn. Nếu    thì
 sin   sin  ; tan   tan  ;
 cos   cos  ; cot   cot  .
Bảng lượng giác một số góc đặc biệt
00

300

450

60 0

900

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

tan

0

3
3

1

3

cot

||

3

1

3
3

FB: Tốn Họa

0986 915 960

||

0


Trang 14 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Ví dụ minh họa: Cho tam giác vng tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính
các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C.
Hướng dẫn giải
Ta có AC = 9 dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có

B

BC  AC 2  AB 2  92  122  15 (dm)
12

Vậy sin B 

Cos B 

AC 9 3
 
BC 15 5

AB 12 4
  ;

BC 15 5

A

tan B 

9

C

AC 9 3
AB 12 4
  ; cot B 
 
AB 12 4
AC 9 3

Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:
3
4
3
4
Sin B  cos C  ; Cos B  sin C  ; tanB  cot C  ; cotB  tan C 
5
5
4
3

. Bài tập
Bài 1: Chứng minh các hệ thức:

a) 1  tan 2  

1
cos 2 

b) 1  cot 2  

1
sin 2 

Hướng dẫn giải
2

sin 2  cos 2   sin 2 
1
 sin  
a) Ta có 1  tan   1  


  1
2
2
cos 
cos 
cos 2 
 cos  
2

2

cos 2  sin 2   cos 2 
1
 cos  

1



a) Ta có 1  cot   1  

2
2
sin 
sin 
sin 2 
 sin  
2

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến
đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại.
Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.


Trang 15 |
Bài 2:

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Cho  là một góc nhọn. Chứng minh rằng:
a) sin   tan  ;

b) cos   cot  .
Hướng dẫn giải

a) Ta có sin  

AC
AC
AC AC

tan  
mà BC > AB nên
BC
AB
BC AB

Do đó sin   tan  ;
b) Ta có cos  

AB
AB
AB AB

cot  
mà BC > AC nên
BC
AC
BC AC

Do đó cos   cot 

Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác.
Bài 3:

Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ

với sin của các góc đối diện:

a
b
c


sin A sin B sin C

Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải:
Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vng với A là một
góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao.
* Trình bày lời giải:
Vẽ đường cao CH.
Xét ACH vng tại H ta có: sin A 

CH
AC

(1)

Xét BCH vng tại H ta có: sin B 

CH

BC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

sin A CH CH BC a
a
b


:

 . Do đó
sin B AC BC AC b
sin A sin B

Chứng minh tương tự ta được
Vậy

b
c

sin B sin C

a
b
c



sin A sin B sin C

Lưu ý:

  90 thì ta vẫn có:
Nếu ABC có C

a
b

sin A sin B


Trang 16 |
Bài 4:

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT
Tìm góc x, biết rằng:

a) tan x  3cot x;

b) sin x  cos x  2
Hướng dẫn giải

a) tan x  3cot x; . Suy ra tan x 

3
1
(vì cot x 
).

tan x
tan x

Do đó tan 2 x  3  tan x  3  tan 60 Vậy x  60o.
b) sin x  cos x  2 Bình phương hai vế ta được: sin 2 x  2 sin x.cos x  cos 2 x  2
 2sin x.cos x  1  2 (vì sin 2 x  cos 2 x  1 )
 2sin x.cos x  1  1 – 2sin x.cos x  0  sin 2 x  2 sin x.cos x  cos 2 x  0
2

  sin x – cos x   0 . Do đó sin x  cos x
 sin x  sin (90o – x) (vì cos x  sin (90o – x) )
Dẫn tới x  90o – x  2 x  90o  x  45o.
Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ
số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ
số lượng giác đó
Bài 5:

Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng

cách hợp lí:
a) P  sin 2 1  sin 2 2  sin 2 3    sin 2 88  sin 2 89
b) Q  tan150.tan 250.tan 350.tan 450.tan 550.tan 650.tan 750
c) Biết cos  

20
Tính sin  , tan  và cot  .
29

Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cơsin góc kia, tang của

góc này bằng cơtang góc kia, ta có:
a) P  sin 2 1  sin 2 2  sin 2 3    sin 2 88  sin 2 89



 







 sin 2 1  sin 2 89  sin 2 2  sin 2 88  ....  sin 2 44  sin 2 46  sin 2 45



 







 sin 2 1  cos 21  sin 2 2  cos 2 2  ....  sin 2 44  cos 2 44  sin 2 45


Trang 17 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT
2

 2
= 1  1  1  ...  1  
  44,5
 2 

b) Q  tan150.tan 250.tan 350.tan 450.tan 550.tan 650.tan 750
  tan150. tan 750  .  tan 250.tan 650  .  tan 350.tan 550  .tan 450
  tan150.cot150  .  tan 250.cot 650  .  tan 350.cot 350  . tan 450

 1.1.1.1  1
2

441
 20 
 
 29  841

c) Ta có sin 2  cos 2  1  sin 2   1  cos 2   1  
Do đó sin  
Bài 6:

21
sin  21 20 21
20
tan  

:


cos  
29
cos  29 29 20
21

Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH. Tính sin B , sin C biết rằng:

a) AB = 13 và BH = 5;

b) BH = 3 và CH = 4.

Hướng dẫn giải
A

a) Tam giác ABC vng tại A, đường cao
AH ta có
AB 2  BH .BC  BC 

AB 2 132

 33,8
BH
5

13

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác
vng ABC ta có: AC  BC 2  AB 2  31, 2
SinB 

AC 31, 2 12


BC 33,8 13

SinC 

AB
13
5


BC 33,8 13

5

B

C

H

A

b) Tam giác ABC vng tại A, đường cao AH ta
có AH 2  BH .CH  3.4  AH  2 3
Tam giác ABH vng. Theo định lý Pytago ta có
AB  HB 2  AH 2  32  12  21

SinB 

AH 2 3
2


AB
21
7

4

3

B

H

C


Trang 18 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Tam giác ABC vuông, BC  BH  HC  3  4  7

Theo định lý Pytago ta có AC  BC 2  AB 2  49  21  28  2 7
SinC 

AB
21

BC
7

Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có
AC  AH 2  HC 2  12  16  28

SinC 

AH
12
3
21



AC
7
7
28

Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng
từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vng.
Bài 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tan



ABC
AC

AB  BC
2

Hướng dẫn giải
Vẽ đường phân giác BD của  ABC ( D  AC ).
Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có :



AD AD  DC
AD
AC



.
AB AB  BC
AB AB  BC

A

AD
  900  tan 
ABD 
Xét  ABD có BAD

D

AB

 tan


ABC
AC

AB  BC
2

Vậy tan


ABC
AC

AB  BC
2

AD AB
AD DC



DC BC
AB BC

C

B


Trang 19 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG
. Lý thuyết
1. Định lí
Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng:
 Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cơsin góc kề;
 Cạnh góc vng kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cơtang góc kề.
Trong hình vẽ bên thì:
b  a.sin B  a.cos C ;

c  a.sin C  a.cos B ;

b  c.tan B  c.cot C ;

c  b.tan C  b.cot B ;

2. Giải tam giác vng
Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vng khi biết hai yếu tố của nó (trong
đó ít nhất có một yếu tố về độ dài).
. Bài tập
Bài 1:

  35 ; C
  50 và đường cao AH = 5,0cm.

Giải tam giác ABC biết B

Hướng dẫn giải
Ta phải tìm A AB, AC và BC.
  180  (B
  C)
  95
A

 Xét ABH vng tại H ta có:
AH  AB.sin B  AB 

AH
5, 0

 8, 7(cm)
sin B sin 35

BH  AH .cot B  5, 0.cot 35o  7,1 (cm).

 Xét ACH vng tại H ta có
AH  AC.sin C  AC 

AH
5, 0

 6,5(cm)
sin C sin 50

CH  AH .cot C  5, 0.cot 50o  4, 2 (cm).

Do đó BC  BH  CH  7,1  4, 2  11, 3 (cm).
Vậy Aˆ  95 ; AB = 8,7cm; AC = 6,5cm và BC = 11,3cm.


Trang 20 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC:
BH  AB.cos B ; CH  AC.cos C.

Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được
chính xác hơn.
Bài 2:

  40o. Tính độ dài BC.
Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và B

Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải
Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh
và góc trong tam giác vng. Tính HB và HC từ đó
tính được BC.
* Trình bày lời giải
Vẽ đường cao AH. Xét ABH vng tại H có:
AH  AB.sin B  14.sin 40o  9, 0 (cm).
BH  AB.cos B  14.cos 40o  10, 7 (cm).

Xét AHC vng tại H có: HC  AC 2  AH 2  112  92  6,3 (cm).

 Nếu H nằm giữa B và C thì BC  BH  HC  10, 7  6,3  17 (cm).
 Nếu C' nằm giữa B và H thì BC '  BH – HC '  10, 7  6, 3  4, 4 (cm).
Lưu ý: Học sinh có thể chỉ giải một nghiệm hình là chưa đủ. Bài tốn có 2 nghiệm hình
Bài 3:

  70 Tính độ dài BC.
Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B

Hướng dẫn giải
Vẽ đường cao AH. Xét ABH vng tại H có:
AH  AB.sin B  3, 2.sin 70o  3, 0 (cm).
BH  AB.cos B  3, 2.cos 70o  1,1 (cm).

Xét AHC vuông tại H có:
HC  AC 2  AH 2  5, 02  3, 02  4, 0 (cm).


Trang 21 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp
điểm H nằm giữa B và C. Ta có BC  BH  HC  1,1  4, 0  5,1 (cm).

. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
. Lý thuyết
- Thường gọi độ dài một cạnh cần tìm là ẩn, từ đó thiết lập phương trình, giải phương
trình tính ra kết quả
. Bài tập
Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm.
Tính độ dài AH.
Hướng dẫn giải
Đặt BH  x . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao
A
2
2
AH. Ta được: AB  BH . BC hay 20  x  x  9  .
20

Thu gọn ta được phương trình : x 2  9 x – 400  0

9

x

B

Giải phương trình này ta được x1  16 ; x2  –25 (loại)

?

H

Dùng định lý Pitago tính được AH = 12 cm
Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.
Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả
  600 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ
Cho tam giác ABC , B

Bài 2:
dài cạnh AB.

Hướng dẫn giải
Kẻ AH  BC. Đặt AB  2 x . Từ đó tính được BH  x và AH  x 3 ; HC  8 – x
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vng tại H
Ta có: AC =

 x 3

2

2

 8  x  =

4 x 2  16 x  64

A

Do AB + AC = 12 nên 2 x  4 x 2  16 x  64  12
Giải PT trên ta được : x = 2,5
AB = 2.2,5 = 5cm

2x
B

60 
x

H 8cm

C

C


Trang 22 |
Chú ý:

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
Diện tích tam giác ABC = 10 3 cm.

Bài 3:
Cho tam giác ABC vng tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm;
BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

A

Bài giải sơ lược

1cm
D
10 cm

Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.
Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC 2  x 2  9 .

B

x2  9 – 1

Do AD = 1 nên DC =

C

x

Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :
AB AD
3

hay 
BC DC
x

1
2

x  9 1

. Từ đó ta được phương trình 8 x 2 – 6 x – 90  0

Giải phương trình tìm được x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm
Bài 4:
Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

Hướng dẫn giải
Kẻ AH  CD ; BK  CD. Đặt AH = AB = x  HK = x
AHD  BKC (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra : DH  CK 

A

10  x
.
2

Vậy HC  HK  CK  x 

X

X

x  10
10  x
=
2
2

D

H

K
10cm

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
Ta có : AH 2  DH . CH hay x 2 

10  x 10  x
.
 5 x 2  100
2
2

Giải phương trình trên ta được x  2 5 và x  2 5 (loại)
Vậy : AH  2 5

B

C


Trang 23 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
Hướng dẫn giải
Đặt BC  2 x , từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH  x

A

Áp dụng định lí Pitago tính được AC  15, 62  x 2
Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:
BC KB

hay
AC AH

2x
2

15, 6  x

2



15,6

12
15, 6

K
12

//

B

Đưa về phương trình 15, 62  x 2  6, 76 x 2

H

//

C

2x

Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy BC  2.6, 5  13 (cm)
Bài 6:
Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vng tại A có hai đường trung
tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
Hướng dẫn giải
Đặt AB  x ; AN  y  AC  2 y .
A

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam
giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
BC  2 AM  2.6  12 (cm)
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vng ABC
và ABN vuông tại A
Ta được: x 2  4 y 2  144

1

và x 2  y 2  81  y 2  81– x 2

 2

/
6

B

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3 x 2  180

Trả lời: AB  2 5 cm

/

9

Thay  2  vào 1 ta được phương trình : x 2  4 81 – x 2   144

Nghiệm dương của phương trình : x  2 5

N

//

M

//

C


Trang 24 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM
BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG
PHẦN BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho ∆ABC vng tại A. Biết

AB 5
 . Đường cao AH = 15cm. Tính HB, HC.
AC 7

Bài 2: Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH.
Tính HD, HB, HC.
Bài 3: Cho ∆ABC vng tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm,
HB 1
 .
HC 4

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính
độ dài AH.
Bài 5: Cho tam giác ABC vng tại A có BD là phân giác góc B. Biết rằng AD = 1cm;
BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC ,

= 60 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vng góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Bài 8: a. Cho tam giác ABC có
ABC.

b. Cho tứ giác ABCD có
tích tứ giác.

= 60 ,
=

= 50 ,

= 90 ,

= 35

= 40 ,

. Tính diện tích tam giác

=4

,

=3

c. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết
5,
= 50 . Tính diện tích tứ giác ABCD.

. Tính diện
= 4,

=

Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi ∆AHB bằng 30cm, chu vi
∆ACH bằng 4dm. Tính BH, CH và chu vi ∆ABC.
Bài 10: Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.
a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vng.
b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, B  60 0 và A  900
a) Tính đường chéo BD.
b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC.
c) Tính HK.

d) Vẽ BE  DC kéo dài. Tính BE, CE và DC.


Trang 25 |

8 Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Bài 12: Cho  ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao
cho AD  DE  EC.
a) Chứng minh

DE DB

.
DB DC

c) Tính tổng

+

b) Chứng minh BDE đồng dạng  CDB.

.

Bài 13: Chình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vng
góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
a) Tính

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox  AB. Trên Ox lấy
a
2

điểm D sao cho OD  . Từ B kẽ BC vng góc với đường thẳng AD.
a) Tính AD, AC và BC theo a.
b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm
trên một đường tròn.
Bài 15: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB
và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
=
= 90 . Chứng minh: AM = AN.
Bài 16: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết

AB 20

và AH = 420. Tính
AC 21

chu vi tam giác ABC.
Bài 17: Cho hình thang ABCD vng góc tại A và D. Hai đường chéo vng góc với
nhau tại O. Biết
= 2√13; OA = 6. Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 18: Cho tam giác ABC vng tại A, BC = 3 5 cm. Hình vng ADEF cạnh bằng 2
4
9

cm có D  AB, E  BC, F  AC. Biết AB > AC và S ADEF  S ABC . Tính AB ; AC.
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C
trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI.
Bài 20: Qua đỉnh A của hình vng ABCD cạnh bằng a, vẽ đường thẳng cắt BC ở E và
cắt đường thẳng DC ở F. Chứng minh:

1
1
1


AE 2 AF2 a 2

Bài 21: Cho hình thang ABCD có = = 90 . Hai đường chéo vng góc với nhau
tại H. Biết AB = 3 5 cm, HA = 3cm. Chứng minh:
a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8
b)

1
1
1
1




2
2
2
AB CD
HB HC 2