Bài tập trắc nghiệm TÍCH PHÂN hay và khó, có LỜI GIẢI chi tiết

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

GIẢI CHI TIẾT TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO

Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa

Câu

1.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

₂_{f x}

_{ }

__{3 1}_f

_

_{  }_x

_

₁ _x2_.

_Giá

_trị

_của

_tích

_phân

 

1

0
' d
f x x



bằng

A

.

0.

B

.

1.

2

C

.

1.

D

.

3
.
2

Lời

giải

Ta

có

_{ }

_{ }

_{   }

1 ₁

0
0

d 1 0 .

f x x  f x  f f



Từ

_{ }

_

_

 

 

 

 

 

 

2

2
0

2 0 3 1 1 ₅

2 3 1 1 .

3

2 1 3 0 0 ₁

5
f

f f

f x f x x

f f _f

  


   _

 

    _ _ _ _

 

 _ 

Vậy

_{ }

_{   }

1

0

3 2

' d 1 0 1.

5 5
I

_

f x xf f   

Đáp

án

C

Câu

2.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

0 _ f

_{ }

1 _1.

Biết

rằng

 

 

1

0

d .

x

e f x_ f x _ x ae b



Tính

2018 2018_.

Qa b

A

.

_Q_₂2017_₁

_.

_B

_.

_Q_₂

_.

_C

_.

_Q_₀

_.

_D

_.

_Q_₂2017_₁

_.

Lời

giải

Ta

có

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

_{   }

   

1 1 ₁ ₀ _{1 1}

/

0

0 0

d d 1 0 f f 1.

x x x

e f x_ f x _ x __e f x __ x__e f x __ ef f   e





Suy

ra

1 2018 2018 ₁2018

_{ }

₁2018 _2.

1
a

Q a b

b
 

 __{ } _ _ _{ } _

 


Đáp

án

B

Câu

3.

Cho

các

hàm

số

y_ f x

_{ }

, y_g x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;2

và

thỏa

mãn

_{   }

2

0

' d 2,

f x g x x



   

2

0

' d 3.
f x g x x



Tính

tích

phân

2

_{   }

/

0

d .
I_{ }



f x g x _ x

A

.

I 1.

B

.

I1.

C

.

I5.

D

.

I6.

Lời

giải

Ta

có

2

_{   }

/ 2

_{   }

_{   }

0 0

d ' ' d

I



_f x g x _ x



_f x g x f x g x _ x

   

   

2 2

0 0

' d ' d 2 3 5.

f x g x x f x g x x



_



_

  

Đáp

án

C

Câu

4.

Cho

hàm

số

y_ f x

_{ }

liên

tục

trên

_

0;_

_

và

thỏa

_{ }

_{ }

2

0

d .sin
x

f t tx x



.

Tính

1

4
f   _{ }

 

.

A

.

1 .

4 2

f  _{ }_ 

 

B

.

f     14 12.

C

.

1

1.
4
f   _{ }_

 

D

.

f 14 1 2.

 
  
 
 

Lời

giải

Từ

 

 

2

0

d .sin
x

f t t_x _x



,

đạo

hàm

hai

vế

ta

được

₂_{xf x}

 

2 __sin

_{ }

__x ___x_cos

_{ }

__x _.

Cho

1

2

x

ta

được

2. .1 1 sin cos 1 1 1.

2 f 4 2 2 2 f 4

  

 _  _

 __ _ _{ }_  __

 _  _

 

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Câu

5.

Cho

hàm

số

f x

 

liên

tục

trên



a;



với

a0

và

thỏa

 

2 d 6 2
x

a
f t

t x

t  



với

mọi

xa.

Tính

f

 

4 .

A

.

f

_{ }

4 _2.

B

.

f

_{ }

4 _4.

C

.

f

_{ }

4 _8.

D

.

f

_{ }

4 _16.

Lời

giải

Từ

 

2 d 6 2
x

a
f t

t x

t  



,

đạo

hàm

hai

vế

ta

được

 

2

1
.

f x

x  x

Suy

ra

f x

_{ }

x x f

_{ }

4 4 48.

Đáp

án

C

Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến

Câu

6.

Cho

_{ }

2017

0

d 2

f x x



.

Tính

tích

phân





2017 ₁

2
2

0

. ln 1 d .
1

e
x

I f x x

x


 

 __  __





A

.

I1.

B

.

I2.

C

.

I4.

D

.

I5.

Lời

giải

Đặt

_t__ln



_x2__{1 ,}



_suy

_ra

2 2

2 d d d

d .

2

1 1

x x x x t

t

x x

 _  _ 

Đổi

cận:

0 ₂₀₁₇ 0 .

1 2017

x t

x e t

   


    



Khi

đó

_{ }

_{ }

2017 2017

0 0

1 1 1

d d .2 1.

2 2 2

I

_

f t t

_

f x x 

Đáp

án

A

Câu

7.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên



và

 

_

_

9 2

1 0

d 4, sin cos d 2.
f x

x f x x x

x



 





Tính

tích

phân

3

_{ }

0

d .
I



f x x

A

.

I2.

B

.

I6.

C

.

I4.

D

.

I10.

Lời

giải



Xét

 

9

1

d 4.
f x

x

x 



Đặt

_t_ _x_{ }_t2 _x_,

_suy

_ra

_{2 d}_{t t}__{d .}_x

Đổi

cận

1 1.

9 3

x t

x t

   



   



Suy

ra

 

_{ }

_{ }

9 3 3

1 1 1

4 f x dx 2 f t 2dt f t td 2.
x



_



_



_





Xét

2

_

_

0

sin cos d 2.

f x x x







Đặt

usin ,x

suy

ra

ducos d .x x

Đổi

cận

0 0.

1
2

x u

x  u
   


   



Suy

ra





 

1
2

0 0

2 f sinx cos dx x f t td .










Vậy

3

_{ }

1

_{ }

3

_{ }

0 0 1

d d d 4.

I



f x x



f x x



f x x

Đáp

án

C

Câu

8.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên



và

_

_

 

1 2
4

2

0 0

tan d 4, d 2.

1
x f x

f x x x

x


 _ 





Tính

tích

phân

_{ }

1

0

d .
I

_

f x x

A

.

I6.

B

.

I2.

C

.

I3.

D

.

I1.

Lời

giải

Xét

4

_

_

0

tan d 4.

f x x







Đặt

ttan ,x

suy

ra



2



2 2

1 d

d d tan 1 d d .

cos 1

t

t x x x x

x t

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Đổi

cận:

0 0.
1
4

x t

x  t
   


   



Khi

đó





 

 

1 1

4

2 2

0 0 0

4 tan d d d .

1 1

f t f x

f x x t x

t x



  

 







Từ

đó

suy

ra

_{ }

 

 

1 1 1 2

2 2

0 0 0

d d d 4 2 6.

1 1

f x x f x

I f x x x x

x x

     

 







Đáp

án

A

Câu

9.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên



và

thỏa

mãn

4



2



0

tan . cosx f x xd 1,






 

2 _ln2

d 1.

ln

e

e

f x

x

x x 



Tính

tích

phân

 

2

1
4

2
d .
f x

I x

x


_

A

.

I1.

B

.

I2.

C

.

I3.

D

.

I4.

Lời

giải

●

Xét

4



2



0

tan . cos d 1

A x f x x





_



.

Đặt

_t__{cos .}2_x

Suy

ra

_d _{2 sin cos d} _{2 cos}2 _{tan d} _{2 .tan d} _{tan d} d _.

2
t

t x x x x x x t x x x x

t

        

Đổi

cận:

0 1₁.

4 2

x t

x  t

   


   


Khi

đó

 

 

 

 

1

1 1 1

2

1 1 1

1

2 2 2

1 1 1

1 d d d d 2.

2 2 2

f t f t f x f x

A t t x x

t t x x

  

















●

Xét

 

2 _ln2

d 1.
ln

e

e

f x

B x

x x



_



Đặt

_u__{ln .}2_x

Suy

ra

d 2 ln d 2 ln2 d 2 d d du.

ln ln ln 2

x x u x

u x x x

x x x x x x x u

    

Đổi

cận:

₂ 1 .

4

x e u

x e u

   


   


Khi

đó

 

 

 

4 4 4

1 1 1

1 1

1 d d d 2.

2 2

f u f x f x

B u x x

u x x

 

_



_



_



●

Xét

tích

phân

cần

tính

 

2

1
2

2
d .
f x

I x

x




Đặt

v2 ,x

suy

ra

1

d d

2 _.
2

x v

v
x
 

 _


Đổi

cận:

1 1

.

4 2

2 4

x v

x v

   


   


Khi

đó

 

 

 

 

4 4 1 4

1 1 1 1

2 2 2

d d d d 2 2 4.

f v f x f x f x

I v x x x

v x x x

















  

Đáp

án

D

Câu

10.

Cho

hàm

số

y_ f x

_{ }

xác

định

và

liên

tục

trên

1;2 ,
2

 
 
 

 

thỏa

 

2
2

1 1

2.

f x f x

x x

 


 _{ }_{ }  

Tính

tích

phân

 

2

2
1
2

d .
1
f x

I x

x




_

A

.

3.

2

I

B

.

I2.

C

.

5.

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Lời

giải

Đặt

x 1,
t



suy

ra

dx 1₂d .t
t

 

Đổi

cận:

1

2

2 _.

1
2

2

x t

x t

   


 _{ }_{ }


Khi

đó

1

2 2

2

2 2 2

1 1

2

2 ₂ ₂

1 1 1

1

. d d d .

1 ₁ 1 1

f f f

t t x

I t t x

t t x

t

 _  _  _

 _  _  _

 _  _  _

    

  _ _    

 _ __  _  _








Suy

ra

 

 

2

2 2 2 2 ₂

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

2

2 d d d d

1 1 1 1

f f x f x

f x x x _x

I x x x x

x x x x

 _  _

 _ _  _ _ _

 _  _

 

   

   

   









2 2 2 2

1

2 2

2

1 1

2 2

1 1 1 3

d 1 d 3 .

2
x

x x x I

x

x x

   

 _ _ _ _









__  __  __ __   

Đáp

án

A

Câu

11.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên



và

thỏa

f x

_{ }

  f

_{ }

x 2 2 cos 2 x

với

mọi

x 

.

Tính

_{ }

3
2

3

2

d
I f x x








_

.

A

.

I 6

.

B

.

I0

.

C

.

I 2

.

D

.

I6

.

Lời

giải

Đặt

t  x  dx d .t

Đổi

cận:

3 3

2 _{2 .}

3 3

2 2

x t

x t

 

 

   


 _ _{  }


Khi

đó

_{ }

_{ }

_{ }

3 3 3

2 2 2

3 3 3

2 2 2

d d d .

I f t t f t t f x x

  

  



 

 

_

 

_

 

_



Suy

ra

_{ }

_{ }

3 3 3

2 2 2 _CASIO

3 3 3

2 2 2

2I f t f t dt 2 2 cos 2 dt t 2 cos dt t 12 I 6.

  

  

  

 



_

_   _ 

_

 

_

  

Đáp

án

D

Câu

12.

Cho

hàm

số

y_f x

 

xác

định

và

liên

tục

trên

,

thỏa

_{f x}



5_₄_x_{ }₃



₂_x_₁

_với

_mọi

_x_{ }_.

_Tích

_phân

 

8

2
d
f x x




bằng

A

.

2.

B

.

10.

C

.

32.

3

D

.

72.

Lời

giải

Đặt

_x_{  }_t5 ₄_t _3,

_suy

_ra

_d_x_



₅_t4__{4 d .}



_t

_Đổi

_cận

2 1_.

8 1

x t

x t

     


   


Khi

đó

_{ }







_

_





8 1 1

5 4 4

2 1 1

d 4 3 5 4 d 2 1 5 4 d 10.

f x x f t t t t t t t

  

       







Đáp

án

B

Câu

13.

Cho

các

hàm

số

f x

_{ }

, g x

 

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

m f x.

_{ }

_n f. 1

_

_{ }x

_

g x

_{ }

với

m n,

là

số

thực

khác

0

và

_{ }

_{ }

1 1

0 0

d d 1.

f x x g x x





Tính

m n .

A

.

m n 0.

B

.

1.
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Lời

giải

Từ

giả

thiết

m f x.

_{ }

n f. 1

_

 x

_{  }

g x

,

lấy

tích

phân

hai

vế

ta

được

 





1 1

0 0

. . 1 d ( )d

m f x n f x x g x x

 _ _  _

 





Suy

ra

_

_

1

0

1 d 1

m n

_

f x x

(do

_{ }

_{ }

1 1

0 0

d d 1

f x x g x x





)

.

_{ }

1

Xét

tích

phân

_

_

1

0

1 d .
f x x



Đặt

t 1 x

,

suy

ra

dt d .x

Đổi

cận:

0 1.

1 0

x t

x t

   


   


Khi

đó

_

_

_{ }

_{ }

_{ }

1 0 1 1

0 1 0 0

1 d d d d 1.

f x x  f t t f t t f x x









 

2

Từ

_{ }

1

và

_{ }

2 ,

suy

ra

m n 1

.

Đáp

án

C

Câu

14.

Cho

hàm

số

f x

 

xác

định

và

liên

tục

trên

 

0;1 ,

thỏa

mãn

f x'

 

 f' 1



x



với

mọi

x

 

0;1 .

Biết

rằng

 

0 1, 1

 

41.

f _ f _

Tính

tích

phân

_{ }

1

0

d .
I



f x x

A

.

I 41.

B

.

I21.

C

.

I41.

D

.

I42.

Lời

giải

Ta

có

f x'

_{ }

_ f' 1

_

_{ }x

_

_f x

_{ }

_{ }f

_

1_{ }x

_

C.

Suy

ra

_{ }

_{ }

 0 1, 1  41.

0 1 f f 42.

f  f  C    C

Suy

ra

f x

 

 f



1  x



42 f x

 

f



1 x



42

 





1 1

0 0

1 d 42d 42.

f x f x x x

 



_

_   _ 

_



_{ }

1

Vì

_{ }

_

_

1

_{ }

1

_

_

0 0

' ' 1 d 1 d .

f x f  x 



f x x



f x x

 

2

Từ

_{ }

1

và

_{ }

2 ,

suy

ra

_{ }

_

_

1 1

0 0

d 1 d 21.

f x x f x x





Đáp

án

B

Câu

15.

Cho

hàm

số

y_ f x

_{ }

liên

tục

trên



và

thỏa

mãn

_f3

_{ }

_x __{f x}

_{ }

__x

_với

_mọi

_x_{ }_.

_Tính

 

2

0

d .
I

_

f x x

A

.

4.

5

I 

B

.

4.

5

I

C

.

5.

4

I 

D

.

5.

4
I

Lời

giải

Đặt

u_ f x

_{ }

,

ta

thu

được

_u3_{ }_u _x_.

_Suy

_ra



₃_u2__{1 d}



_u__{d .}_x

Từ

_u3_{ }_u _x

_,

_ta

_đổi

_cận

0 0_.

2 1

x u

x u

   


   



Khi

đó





1
2

0

5

3 1 d .

4
I

_

u u  u

Đáp

án

D

Cách

khác.

Nếu

bài

toán

cho

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

thì

ta

làm

như

sau:

Từ

giả

thiết

_{ }

_{ }

 

 

 

 

 

 

3
3

3

0 0 0 0 0

.
2 1

2 2 2

f f f

f x f x x

f

f f

 

    

 



  _ _ _

 

 _



 

*

Cũng

từ

giả

thiết

_f3

_{ }

_x __{f x}

_{ }

__x

_,

_ta

_có

_{f x f}_'

   

_. 3 _x __{f x f x}_'

   

_. __{x f x}_{. '}

 

_.

Lấy

tích

phân

hai

vế

2

_{   }

3

_{   }

2

_{ }

0 0

' . ' . d . ' d

f x f x f x f x x x f x x

 _  _

 

 





 

 

_{ }

_{ }

 

_{ }

4 2 ₂ ₂

2 2

*

0 0 ₀ ₀

5

d d .

4 2 4

f x f x

xf x f x x f x x

_ _ _ _{ }
_ _ _ _ _

 _

__  __    

 





</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Câu

16.

Cho

hàm

số

f x

 

thỏa

mãn

3

_{ }

 
0

. . f xd 8

x f x e x



và

f

 

3 ln 3

.

Tính

3  
0

d .
f x
I



e x

A

.

I1.

B

.

I11.

C

.

I 8 ln 3.

D

.

I 8 ln 3.

Lời

giải

Đặt

 

   

d d

.

d . f xd f x

u x u x

v f x e x v e

   

 

 _

 

    

 



Khi

đó

 

     

3 ₃ 3

0

0 0

. . f xd . f x f xd .
x f x e xx e  e x





Suy

ra

 3 3   3  

0 0

8 3. f f xd f xd 9 8 1.

e e x e x

 







  

Đáp

án

A

Câu

17.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

0; ,
2

 
 
 

 

thỏa

mãn

 

2

2

0

' cos d 10
f x x x






và

f

_{ }

0 _3.

Tích

phân

 

2

0

sin 2 d
f x x x




bằng

A

.

I 13.

B

.

I 7.

C

.

I7.

D

.

I13.

Lời

giải

Xét

2

_{ }

2
0

' cos d 10
f x x x






,

đặt

 

 

2

2

d sin 2 d
cos

.

d ' cos d

u x x

u x

v f x
v f x x x

 

    

 _

 

   

 



Khi

đó

2

_{ }

2 2

_{ }

2 2

_{ }

0

0 0

10 f x' cos dx x cos xf x f x sin 2 dx x

 





_

 

_

 

2

 

2

 

 

0 0

10 f 0 f x sin 2 dx x f x sin 2 dx x 10 f 0 13.

 

   







  

Đáp

án

D

Câu

18.

Cho

hàm

số

yf x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

2

_

_

1

1 d 3

f x x



và

f

_{ }

1 4.

Tích

phân

 

1

3 2

0

' d
x f x x



bằng

A

.

1.

B

.

1.
2



C

.

1.

2

D

.

1.

Lời

giải

Ta

có

_

_

_{ }

2 1

1

1 0

1 d 3 t x d 3

f x x   f t t





hay

_{ }

1

0

d 3.
f x x



Xét

1 ₃

 

₂ 2 1

_{ }

1

_{ }

0 0 0

1 1

' d ' d ' d .

2 2

t x

x f x x_ _ tf t t_ xf x x







Đặt

 

 

d d

.

d ' d

u x u x

v f x x v f x

   

 

 _

 

   

 

 

Khi

đó

1 ₃

 

₂ 2 1

_{ }

_{ }

1 1

_{ }

_

_

0

0 0 0

1 1 1 1

' d ' d d 4 3 .

2 2 2 2

t x

x f x x_ _ tf t t_ xf x _ f x x_ _{ }

 

 

 







Đáp

án

C

Câu

19.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

dương,

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;2 .

Biết

f

_{ }

0 1

và

  



₂ 2 ₄

2 x x

f x f  x e 

với

mọi

x_

 

0;2 .

Tính

tích

phân





 

 

3 2

2

0

3 '

d .
x x f x

I x

f x





A

.

14.

3

I 

B

.

32.

5

I 

C

.

16.

3

I 

D

.

16.

5
I 

Lời

giải

Từ

giả

thiết

_{  }

_

₂ 2 ₄ ₂

_{ }

2 x x x 2 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta

có





 

 

3 2

2

0

3 '

d .
x x f x

I x

f x






Đặt

_{ }

 





 

3 2

2
3

d 3 6 d

.
'

d d ln

u x x _u _x _{x x}

f x

v x _v _{f x}

f x

   _

 _{ } _

 

 _

 

   _

 _



Khi

đó



3 2



_{ }

2 2



2



_{ }

 2 1 2



2



_{ }

0 0 0

3 ln 3 6 ln d 3 2 ln d 3 .

f

I x  x f x 



x  x f x x  



x  x f x x  J

Ta

có





_{ }

_

_

_

_

_

_{ }

_

2 ₂ 0

2
2

0 2

2 ln d x t 2 2 2 ln 2 d 2

J

_

x  x f x x  

_

__  t t __ f t t











 











0 2

2 2

2 0

2 x 2 2 x ln f 2 x d 2 x x 2 lnx f 2 x d .x

 





__    __   



 

Suy

ra





_{ }





_

_





_{  }

_

2 2 2

2 2 2

0 0 0

2J

_

x 2 lnx f x dx

_

x 2 lnx f 2x dx

_

x 2 lnx f x f 2x dx





2







2 2

2 2 4 2 2

0 0

32 16

2 ln d 2 2 4 d .

15 15

x x

x x e  x x x x x x J





 



    

Vậy

3 16.

5
I   J

Đáp

án

D

Câu

20.

Cho

biểu

thức

_

_

2

2

2 cot

4

ln 1 2 sin 2 xd ,
n

m

S x e x





 _

 _

 _

 



 __   _



 _

 







với

số

thực

m0.

Chọn

khẳng

định

đúng

trong

các

khẳng

định

sau.

A

.

S5.

B

.

S9.

C

.

S 2 cot ₄ _m2 2 ln sin₄ _m2 .

 _  _

 

 __ _ __ __ _ __

D

.

S 2 tan ₄ _m2 2 ln ₄ _m2 .

 _  _

 

 __ _ __ __ _ __

Lời

giải

Ta

có

_

_

2 2 2

2 2 2

2 cot 2 cot 2 cot

4 4 4

2 sin 2 xd 2 xd sin 2 xd .

m m m

x e x e x xe x

  

  

  

  







 

1

Xét





2

2 2 2

2 2 2

2 cot 2 cot 2 2 2 cot 2 2 2 cot

2
4

4 4 4

2

sin 2 d d sin sin . sin d

sin

x x x x

m

m m m

xe x e x x e x e x

x

  




   

  

 _



   _ __







2
2

2
2 2 cot 2 2 cot

4
4

sin . x 2 xd .

m

m

x e e x










 

_

 

2

Từ

_{ }

1

và

_{ }

2 ,

suy

ra

2

2

2 cot

2 2 cot 2 2 4

2
4

sin . 1 sin . .

4

x m

m

I x e e

m



  



   



2

2 cot

2 4

2 2 2

ln sin . 2 cot 2 ln sin .

4 4 4

m

S e

m m m



   

 _ _ _ _ _

 _ _ _ _ _



  __ _ __ _ _ _ _ _ _

Đáp

án

C

Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân

Câu

21.

Biết





2

2

1

ln 9x dxaln 5bln 2c



với

a b c, ,  .

Tính

P_{  }a b c.

A

.

P13.

B

.

P18.

C

.

P26.

D

.

P34.

Lời

giải

Đặt



2



2

2
ln 9

.
9

3
x

u x du dx

x

dv dx _v _x

 



    

 

 _ _

 

 _ 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Khi

đó

_

_









2 2

2
2

2

1 ₁ ₁

3 3

3 ln 9 2 d 5ln 5 4 ln 8 2 1 d

3
9

x x

I x x x x

x
x

 _ _

   



_   



_  _ __





₁2 5

5ln 5 12 ln 2 2 3ln 3 5 ln 5 6 ln 2 2 6 13.
2

a

x x b P

c
 


            _

  


Đáp

án

A

Nhận

xét.

Ở

đây

chọn

v x 3

thay

bởi

x

để

rút

gọn

cho

_{9 x}_ 2

_,

_giảm

_thiểu

_biến

_đổi.

Câu

22.

Biết

1 3 3

0

2 2 1 1

d .ln

ln
.2

x x

x

x ex e

x p

m e n e

e





 

  _{ } _ _ __

 _

  




với

m n p, ,

là

các

số

nguyên

dương.

Tính

tổng

.
P_{  }m n p

A

.

P5.

B

.

P6.

C

.

P7.

D

.

P8.

Lời

giải

Ta

có

1 3 3 1 1

3 4

0

0 0

2 2 2 1 1

d d .

4 4

.2 .2

x x x

x x

x ex

I x x x x A A

e e



 

 

  _ __

 _  __  _ __    

 





Tính

1

0
2

d .
.2
x

x

A x

e







Đặt

.2 d .ln 2.2 d 2 d 1 d .

ln 2

x x x

t e t e x x t

e


     

Đổi

cận:

0 .

1 2

x t e

x t e



    


    


Khi

đó

1 . 2 d 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 1 .

.ln 2 .ln 2 ln 2 ln 2

e _e

e
e

t e e

A t

e t e e e e e

 _






 

 _




 

 _ _





  _  _  _ __

Vậy

4

1 1

ln 1 2 7.

4 ln 2

1
m
e

I n P m n p

e e

p


 


 _ _



  __  _ __      _
 



Đáp

án

C

Câu

23.

Biết

2 2





2

0

2 cos cos 1 sin

d ln

cos

x x x x x c

x a b

x x







    _ _{ }





với

a b c, ,

là

các

số

hữu

tỉ.

Tính

_P__ac3__b_.

A

.

5.

4

P

B

.

3.

2

P

C

.

P2.

D

.

P3.

Lời

giải

Ta

có









2 2

2

0

2 cos cos 1 sin
d
cos

x x x x x

I x

x x



   





_





2

_

_





2 2 2 2

0 0 0 0

cos 1 sin d cos

d d cos d

cos cos cos

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

   

  



_

_ 

_

_ 

_

 

_

_

2

2 2 2

0

1 1 1 2

sin ln cos 1 ln 1 ln

2x x x x 8 2 8





 



 _



_    __      

3
1

8

1 2.

2
a

b P ac b

c
 



  _    
 



Đáp

án

C

Câu

24.

Biết

ln 8

2
ln 3

1 1

d 1 ln
2
1

x x

b

x a a b

a

e _{ }e    



với

a b,  .

Tính

P a b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Ta

có





ln 8 ln 8 ln 8 ln 8

2 2

2

ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

1

d 1 d 1d d .

1

x x x x

x x

I x e e x e x e x

e e

      

 











ln 8 ln 8

ln 3
ln 3

d 2 2 3.

x x

e xe  





ln 8
2

ln 3

1d .

x
e _ x



Đặt

_t_ _e2x_{  }₁ _t2 _e2x_₁

_,

_suy

_ra

2

2 2

d d

2 d 2 d d .

1

x

x

t t t t
t t e x x

e t

   



Đổi

cận:

ln 3 2.

ln 8 3

x t

x t

   



   



Khi

đó

ln 8 3 2 3 3

2

2 2

2

2 2

ln 3

d 1 1 1 1 3

1d 1 d ln 1 ln .

2 1 2 2

1 1

x t t t

e x dt t t

t

t t

 

 _ _ _{ }

 _

             







Vậy

1 1ln3 2 2 3 2 5.

3
2 2

a

I P a b

b
 


    _{ }    


Đáp

án

D

Câu

25.

Biết





2

1

d

1 1

x

a b c
x xx x   



với

a b c, , _{ }.

_Tính

_P_{  }_{a b c}

_.

A

.

P12

.

B

.

P18

.

C

.

P24

.

D

.

P46

.

Lời

giải

Ta

có









_

_

_

_

2 2

2

1 1

d 1

d .

1 1 ₁ ₁

x x x

I x

x x x x _{x x} _x _x

 

 

   _ _{ }





Đặt

u x 1 x

,

suy

ra





1 1 1

d d 2d d .

2 1 2 1

x x

u x u x

x x x x

 _ _ _

 _

__ _  ___  



Đổi

cận

2 3 2.

1 2 1

x u

x u

    


    



Khi

đó

3 2
3 2

2

2 1
2 1

d 2 1 1

2 2

3 2 2 1

u
I

u

u







 _

 _

     __  ___

 



32

3 2 2 1

2 32 12 2 12 46.

3 2 2 1

2
a

b P

c
 


 _ _ _ _

 _ 



  __{ }  _ ___    _  
 



Đáp

án

D

Câu

26.

Biết

4 ₂ ₂

0

sin 4 _d 2 6

6

cos 1 sin 1

x a b c

x

x x



 



  



với

a b c, , _{ }.

Tính

P_{  }a b c.

A

.

P10.

B

.

P12.

C

.

P14.

D

.

P36.

Lời

giải

Ta

có

4 ₂ ₂ 4

0 0

sin 4 2 sin 2 cos 2

d 2 d .

3 cos 2 3 cos 2

cos 1 sin 1

x x x

I x x

x x

x x

 

 

  

  





Đặt

tcos 2x  dt 2sin 2 d .x x

Đổi

cận:

0 1.
0
4

x t

x  t
   


   


Khi

đó

0 1 1





1 0 0

1

2 d 2 d 3 3 d

3 3 3 3 2

t t

I t t t t t

t t t t

      

     











3





3 1

0

16

1 2 2 16 2 12 6 8

3 3 12 36.

3 3 6

2

8
a

t t b P

c
 


    _

 

 _    _      _

  _{ }



Đáp

án

D

Câu

27.

Biết

4

2

1

1

d
4

x

b c
x

x e

x a e e

x xe



   



với

a b c, ,  .

Tính

P  a b c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Lời

giải

Ta

có









2

4 4 2 4

2 2

2

1 1 1

2

1 4 4

d d d

4 4 ₂

x

x x x

x

x _x

e x

x e e x e x

x x x

x xe xe _e _x



  

  







4 4 4

1 4
4

1

1 1

2 1 1 1 1 1

d d 1 1

2 2

x

x x

x

e x

x x x e e

e

e e e

e x x

 

   

 _ __ _ _









           
1

1 4.

4
a

b P a b c

c

 


   _      
  



Đáp

án

B

Câu

28.

Biết

2

0
2

d 2

2
x

x a b c

x 

 _{ } _





với

a b c, ,  .

Tính

P  a b c.

A

.

P 1.

B

.

P2.

C

.

P3.

D

.

P4.

Lời

giải

Đặt

x 2 cosu

với

0;
2
u_{  }_ _

 

.

Suy

ra

2

4 cos d 4 sin 2 d .
x u x u u

Đổi

cận

0 2 .

2

4

x u

x u



   


 _{ }_{ }


Khi

đó

2 2

4 4

cos

2 2 cos ₂

4 sin 2 d 8 .sin .cos d

2 2 cos _sin

2
u
u

I u u u u u

u
u

 

 



 















2 2 2 2

2

4 4 4 4

16 cos .cos d 8 1 cos .cos d 8 cos d 4 1 cos 2 d
2

u

u u u u u u u u u

   

   



_



_

 

_



_







2 2

4 4

1

8sin 4 2.sin 2 4 2 6 4 3.

6
a

u x u b P

c

 

  

 


         _  

 


Đáp

án

C

Câu

29.

Biết









2

3 2

1

ln ln 1

d

ln 1 2

e

x x b

I x

a

x x e



  

  



với

a b,  .

Tính

P b a.

A

.

P 8.

B

.

P 6.

C

.

P6.

D

.

P10.

Lời

giải

Ta

có









2

3 2

1 1

ln ln ln 1 ln

d . d .

ln 1

ln 1 ln 1

e e

x x x x

x x

x x

x x x x

 _ 

 

   





Đặt





/

2

ln 1 ln 1 ln

d d d .

ln 1 ln 1 _ln ₁

x x x

t t x x

x x x x x x

 

 _ _{ }

 _{ }  _ _{ } __  

 

Đổi

cận:

1
1

2 _.
2

2

x t

x e t
e
   


 _{  }

 _



Khi

đó





2 2

2 2

2

2
1

1

2
2

1 1 2

d .

2 8 2

e e

I t t t

e

 

     





Đáp

án

B

Câu

30.

Biết

6 ₂ 2

6

cos 3

d
1

x x

x a

b c
x x





 



  
 



với

a b c, ,

là

các

số

nguyên.

Tính

P  a b c.

A

.

P 37.

B

.

P 35.

C

.

P35.

D

.

P41.

Lời

giải

Ta

có

6 6



2



6



2



2

6 6 6

cos

d cos 1 d 1 cos d .

1
x x

I x x x x x x x x x x x

x x

  

  

  

      

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Lại

có

   

 

 

6 6 6

2 2 2

6 6 6

cos

cos cos

d d d

1 1 1

x t t t

x x t t

I x t t

x x t t t t

  

  

 




 

   

      















6 6

2 2

6 6

1 cos d 1 cos d .

t t t t t x x x x x

 

 

 

 



   



 

Suy

ra

6



2



6



2



6 2

6 6 6

2I x 1 x x cos dx x x 1 x x cos dx x 2 x cos dx x

  

  

  





  



   



6

2

6

cos d .

I x x x






  

_

Tích

phân

từng

phần

hai

lần

ta

được

2 2 3
36 3
I    

 

2

36 35.

3
a

b P a b c

c
 



   _     
  



Đáp

án

C

Vấn đề 5. Tính tích phân hàm phân nhánh

Câu

31.

Cho

hàm

số

_{ }

₂ 1 khi 0.
khi 0
x

x x

f x

e x

  



 _ 

Tính

tích

phân

 

2

1

d .

I f x x




_

A

.

2 2

3 1

.
2
e
I

e




B

.

2 2

7 1

.
2
e
I

e




C

.

2 2

9 1

.
2
e
I

e




D

.

2 2

11 11
.
2
e
I

e



Lời

giải

Ta

có

0

_{ }

2

_{ }

0 2 2

_

_

2

2

1 0 1 0

9 1

d d d 1 d .

2

x e

I f x x f x x e x x x

e

 



















 

Đáp

án

C

Câu

32.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

xác

định

trên

\ 1 ,
2
 
 
 
 
 
 
 



thỏa

_{ }

2 , 0

_{ }

1

2 1

f x f

x

  



và

f

 

1 2.

Giá

trị

của

biểu

thức

 

1

 

3

f _{ }f

bằng

A

.

ln15.

B

.

2 ln15._

C

.

3 ln15._

D

.

4 ln15._

Lời

giải

Ta

có

_{ }

2

2 1
f x

x
 



 









1

2

1

ln 1 2 ;

2 _d _{ln 2} ₁ 2

1
2 1

l

.

n 2 1 ;

2

x C x

f x x x C

x

x C x

  

     

 _





  







f

 

0 _{ }1 _ln 1 2.0



_



_{   }C₁ 1 C₁ 1.



f

 

1  2 ln 2.1 1



    



C2 2 C2 2.

Do

đó

_{ }









 

 

1

ln 1 2 1 khi ₁ _{ln 3 1}

2

1 3 ln 5 2
ln 2 1 2 khi

2

x x _f

f x

f

x x

    _

    

 



_ _ _ _

 _{ } _ _



 

1

 

3 3 ln 5 ln 3 3 ln15.

f f

       

Đáp

án

C

Câu

33.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

xác

định

trên

\

_

2;1

_

,

thỏa

mãn

_{ }

₂ 1

2
f x

x x
 

 

,

f

   

 3 f 3 0

và

 

1
0 .

3
f 

Giá

trị

biểu

thức

f

_{ }

_{   }4 f

_{   }

1 f 4

bằng

A

.

1ln 20 1.

3 3

B

.

1 1

ln 2 .

3 3

C

.

ln 80 1.

D

.

1 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Lời

giải

Ta

có

_{ }

2

1 1 1 1

3 1 2

2
f x

x x

x x

 _



  _{ }  _ _  _ __

 

























1

2
2

3
1

ln 1 ln 2 ; 2

3

1 1

d ln 1 ln 2 ; 2 1

3
2

1

ln 1 ln 2 ; 1

3

.

x x C x

f x x x x C x

x x

x x C x

      

 

 

   _       





 

   





 

 _


 







 









2 2

1 1 1 1 1

0 ln 1 0 ln 0 2 ln 2 .

3 3 3 3 3

f   _      _ C  C 



   

1 3

1 1

3 3 0 ln .

3 10
f  f    C C

Ta

có

_{ }

_{   }

2 1 3

1 5 1 1 1 1 1

4 1 4 ln ln 2 ln ln 2 .

3 2 3 3 2 3 3

f    f f       C C C 

Đáp

án

B

Câu

34.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

xác

định

trên

_

0;

_{  }

\ e ,

thỏa

mãn

_{ }



ln1 1



,

f x

x x
 

 2

1
ln 6
f

e
 
 __
 

 

và

f e

 

2 3.

Giá

trị

biểu

thức

_f 1 _{f e}

 

3
e

 
 
 

 

bằng

A

.

3 ln 2 1 .

_

_

_

B

.

2 ln 2.

C

.

3 ln 2 1.

D

.

ln 2 3.

Lời

giải

Ta

có

_{ }



ln1 1



f x

x x
 



 

_

_

_



_





_



_

1

 

_

_

2

ln 1 ln khi 0;
d ln 1

1

d ln ln 1 .

ln 1 ln 1 ln ln 1 khi ;

x C x e

x

f x x x C

x x x x C x e

   

 _

  _  _  _{   }

   









2 2 1 1

1 1

ln 6 ln 1 ln ln 6 ln 2.

f C C

e e

 _  _

 __ __  _ __{ } _{ }

 _  _

 

   



 

2



2



2 2

3 ln ln 1 3 3.

f e   e    C C 

Do

đó

_{ }





 









_{ }

3

1

ln 2 ln 2
ln 1 ln ln 2 khi 0;

ln ln 1 3 khi ;

ln 2 3
f

x x e

e
f x

x x e

f e
  
 _
 

  

    _{  }_

 _{  }

_ _{ } _{ } _

 

 _ _ _

 

3





1

3 ln 2 1 .

f f e

e
 


 _{ }_{ }  

Đáp

án

C

Câu

35.

Cho

F x

 

là

một

nguyên

hàm

của

hàm

số

1

1 sin 2
y

x




với

x \ 4 k k, .

 _

 

 

 

 _   _

 

 

 

Biết

 

0 1,

 

0

F _ F _ _

,

tính

giá

trị

biểu

thức

11 .

12 12

P_{ }F__ ___F__ __

   

A

.

P0.

B

.

P 2 3.

C

.

P1.

D

.

Không

tồn

tại

P.

Lời

giải

Với

x

thuộc

vào

mỗi

khoảng

; ,

4 k 4 k k

 _  _

 _

     

 _

  

ta

có

 





2

2

d d d 1

tan .

1 sin 2 sin cos _{2 cos} 2 4

4

x x x

F x x C

x x x _x


  
 _  _  _ _ __  __


  
 _
 









0; ;

12 4 4
 _  _

  _ __

nên

  0  0 1

12

1 1 3 3 3

0 tan .

12 2 4 2 2 12 2 2

F

F F  x  _  F 



 _  _  _

  

 __ ___ __  ___     __ ___ 



;11 ;5
12 4 4

  

 _ __

nên

    0

11
12

11 1_tan 1 3 11 1 3_.

12 2 4 2 2 12 2 2

F

F  _F_ ___ _x_____{  } _ F_ ___{ }

 __  __  __

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Vậy

11 1.

12 12

P_{ }F__ ___F__ ___

   

Đáp

án

C

Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất

Câu

36.

Cho

hàm

số

f x 

là

hàm

số

lẻ,

liên

tục

trên

4;4 .

Biết

rằng

0 _{ }

2

d 2

f x x



 



và

2 _ _

1

2 d 4.

f  x x



Tính

tích

phân

4  

0

d .
I

_

f x x

A

.

I10.

B

.

I6.

C

.

I6.

D

.

I10.

Lời

giải

Do

f x_{ }

là

hàm

lẻ

nên

f   x f x .



Xét

0 _{ }

2

d 2.

A f x x





_

 

Đặt

t  x   dt d .x

Đổi

cận:

2 2.

0 0

x t

x t

   


   


Khi

đó

0 _{ } 2 _{ } 2 _{ }

2 0 0

d d d .

A 

_

f t t

_

f t t

_

f x x



Xét

2 _ _ 2 _{ }

1 1

2 d 2 d .

B



f  x x 



f x x

Đặt

u2x du 2d .x

Đổi

cận:

1 2.

2 4

x u

x u

   


   


Khi

đó

4 _{ } 4 _{ } 4 _{ }

2 2 2

1 1

d d d 2 2.4 8.

2 2

B 

_

f u u 

_

f x x

_

f x x   B  

Vậy

4 _{ } 2 _{ } 4 _{ }

0 0 2

d d d 2 8 6.

I

_

f x x

_

f x x

_

f x x   

Đáp

án

B

Câu

37.

Cho

hàm

số

f x_{ }

là

hàm

số

chẵn,

liên

tục

trên

_1;6 .

Biết

rằng

 

2
1

d 8

f x x







và

3 _ _

1

2 d 3.

f  x x



Tính

tích

phân

6  

1

d .

I f x x





_

A

.

I2.

B

.

I5.

C

.

I11.

D

.

I14.

Lời

giải

Vì

f x_{ }

là

hàm

số

chẵn

nên

   

3 3

1 1

2 d 2 d 3.

f  x x f x x





Xét

3 _{ }

1

2 d 3.

K

_

f x x

Đặt

t2x dt 2d .x

Đổi

cận:

1 2.

3 6

x t

x t

   


   


Khi

đó

6 _{ } 6 _{ } 6 _{ }

2 2 2

1 _d 1 _d _d ₂ _6.

2 2

K

_

f t t

_

f x x

_

f x x K

Vậy

6   2   6  

1 1 2

d d d 8 6 14.

I f x x f x x f x x

 



_



_



_

  

Đáp

án

D

Câu

38.

Cho

hàm

số

f x 

liên

tục

trên

 3;7 ,

thỏa

mãn

f x f10x

với

mọi

x 3;7

và

7  

3

d 4.

f x x



Tính

tích

phân

7  

3

d .
I

_

xf x x

A

.

I20.

B

.

I40.

C

.

I60.

D

.

I80.

Lời

giải

Đặt

t   _3 7_ x   dt d .x

Đổi

cận

7 3.

3 7

x t

x t

   


   


Khi

đó

3_ _{ } _ 7_ _{ } _ 7_ _{ } _

7 3 3

10 10 d 10 10 d 10 10 d

I 



t f t t



t f t t



x f x x

   

         

7 7 7 7

10

3 3 3 3

10 d 10 d d 10 d .

f x f x

x f x x f x x xf x x f x x I

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Suy

ra

7 _{ }

3

2I10



f x xd 10.4 40  I 20.

Đáp

án

A

Câu

39.

Cho

hàm

số

yf x 

là

hàm

số

chẵn

và

liên

tục

trên

đoạn

__{ }; ,

thỏa

mãn

 

0

d 2018.

f x x







Giá

trị

của

tích

phân

  d

2018x 1
f x

I  x










bằng

A

.

I0.

B

.

1 .
2018

I

C

.

I2018.

D

.

I4036.

Lời

giải

Đặt

x  t   dx d .t

Đổi

cận

x t .

x t

 

 

   


   


Khi

đó

  d   d 2018  d 2018  d .

2018 1 2018 1 1 2018 1 2018

t x

t t t x

f t f t f t f x

I  t  t  t  x

   



 

  

   

    

   









Vì

yf x 

là

hàm

số

chẵn

trên

đoạn

 ; 

nên

_{ } _{ } 2018  d .

2018 1

x
x

f x

f x f x I x





   





Vậy

    _{ } _{ }

0

2018

2 d d d 2 d 2.2018 2018.

2018 1 2018 1

x

x x

f x f x

I x x f x x f x x I

   

  

  

      

 









Đáp

án

C

Câu

40.

Biết

2018 2018 2018
0

sin _d

sin cos

a

x x _x

x x b

 _






với

a b, _.

_Tính

_P_{ }₂_{a b}_.

A

.

P6.

B

.

P8.

C

.

P10.

D

.

P12.

Lời

giải

Gọi

2018 2018 2018
0

sin _d

sin cos

x x

I x

x x









Đặt

t   x   dt d .x

Đổi

cận

0 .
0

x t

x t



   


   


Khi

đó

   

       

0 2018 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

0 0

sin sin sin

d d d .

sin cos sin cos sin cos

t t t t x x

I t t x

t t t t x x

 



   

 

   

   

    







Suy

ra

2018 2018 2018 2018  20182018 2018 2018 2018

0 0 0

sin

sin sin

2 d d d

sin cos sin cos sin cos

x x

x x x

I x x x

x x x x x x

  __  _

  

  







2

2018 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

0 0

2

sin _d sin _d sin _{d .}

2 sin cos 2 sin cos sin cos

x x x

I x x x

x x x x x x



 



 _ _

   _  _

 _   _

 

 







Đặt

2

x u 

ta

suy

ra

₂₀₁₈ 2018 ₂₀₁₈ 2 ₂₀₁₈ 2018 ₂₀₁₈ ₂₀₁₈ 2018 ₂₀₁₈

0

2 2

sin _d cos _d cos _{d .}

sin cos sin cos sin cos

x _x u _u x _x

x x u u x x



 

 

 

  







Vậy

2 2

0

2

d 8.

4

2 4

a

I x P

b



   _

  _{ }  





Đáp

án

B

Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm

Câu

41.

Cho

hàm

số

yf x

_{ }

liên

tục

trên

;
2 2
 

 

 

 

 

và

thỏa

mãn

2f x

 

  f

 

x cos .x

Tính

tích

phân

 

2

2

d .
I f x x








_

A

.

I 2.

B

.

2.
3

I

C

.

3.

2

I

D

.

I2.

Lời

giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Do

đó

ta

có

hệ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos 4 2 2 cos ₁

cos .
3

2 cos 2 cos

f x f x x f x f x x

f x x

f x f x x f x f x x

 

       

 _ __ _

 

 _{ } _  _ _{ }

 

 

Khi

đó

2

_{ }

2 2

2

2 2

1 1 2

d cos d sin .

3 3 3

I f x x x x x

 




  

 









 

Đáp

án

B

Câu

42.

Cho

hàm

số

y_f x

_{ }

liên

tục

trên

_

_2;2

_

và

thỏa

mãn

2

_{ }

3

_{ }

1 ₂.
4
f x f x

x
  



Tính

tích

phân

 

2

2

d .
I f x x






A

.

.

10

I 

B

.

.

20

I  

C

.

.

20

I 

D

.

.

10
I 

Lời

giải

Từ

giả

thiết,

thay

x

bằng

x

ta

được

_{ }

_{ }

2

1

2 3 .

4
f x f x

x

  



Do

đó

ta

có

hệ

 

 

 

 

 

 

 

 

 





2 2

2

2 2

1 2

2 3 4 6

1

4 4 _.

1 3 5 4

2 3 9 6

4 4

f x f x f x f x

x x _{f x}

x

f x f x f x f x

x x

 

 

       

 

   

 _ __ _

 

  

 _{ } _  _ _{ }

 

 _  _

 

 

Khi

đó

2

_{ }

2 ₂

2 2

1 1

d d .

5 4 20

I f x x x

x



 

  







Đáp

án

C

Câu

43.

Cho

hàm

số

y f x

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0;1

và

thỏa

mãn

_{x f x}2

_{ }

__f

_

₁_{  }_x

_

₂_{x x}4_.

_Tính

_tích

_phân

 

1

0

d .
I

_

f x x

A

.

1.

2

I

B

.

3.

5

I

C

.

2.

3

I

D

.

4.

3
I

Lời

giải

Từ

giả

thiết,

thay

x

bằng

1 x

ta

được

_

_{ }

2

_

_{  }

_{ }

_

4

1x f 1 x f x 2 1  x 1 x



_x2 ₂_x ₁



_f



₁ _x



_{f x}

 

_{1 2}_x ₆_x2 ₄_x3 _x4_.

         

 

1

Ta

có

_{x f x}2

_{ }

__f

_

₁_{   }_x

_

₂_{x x}4 __f

_

₁_{   }_x

_

₂_{x x}4 _{x f x}2

_{ }

_.

_Thay

_vào

 

₁

_ta

_được



_x2_{ }₂_x _{1 2}



 _x_{ }_x4 _{x f x}2

 

__{f x}

 

_{  }_{1 2}_x ₆_x2_₄_x3__x4

 

 



₁ _x2 ₂_x3 _x4



_{f x}

 

_x6 ₂_x5 ₂_x3 ₂_x2 ₁

        





 







 

2 3 4 2 2 3 4

2

1 2 1 1 2

1 .

x x x f x x x x x

f x x

        

  

Vậy

_{ }





1 1 1

2 3

0

0 0

1 2

d 1 d .

3 3

I



f x x



x x _x x __ 

Đáp

án

C

Câu

44.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

1;2
2
 
 
 

 

và

thỏa

mãn

 

1

2 3 .

f x f x

x
 



 _{ }_{ }

Tính

tích

phân

 

2

1
2

d .
f x

I x

x


_

A

.

1.

2

I

B

.

3.

2

I

C

.

5.

2

I

D

.

7.

2
I

Lời

giải

Từ

giả

thiết,

thay

x

bằng

1

x

ta

được

 

1 3

2 .

f f x

x x

 

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Do

đó

ta

có

hệ

 

 

 

 

 

1 1

2 3 2 3

2
.

1 3 1 6

2 4 2

f x f x f x f x

x x

f x x

x

f f x f x f

x x x x

     

 _  _

 _  __  _  __

 _ _  _ _

     

 

 _ __ _{ }

 

     

  _ _  _  _

  _   _

 _{ }  _{ }

 

 

 

Khi

đó

 

2 2 2

1
2

2

1 1

2 2

2 2 3

1 .

2
f x

I dx dx x

x x x

 _  _

 









__  __   __ __ 

Đáp

án

B

Cách

khác.

Từ

f x

_{ }

2f 1 3x f x

_{ }

3x 2f 1 .

x x

 _  _

 

 __{ }_    __{ }_

Khi

đó

 

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

d 3 2 d 3 d 2 d .

f f

f x x x

I x x x x

x x x

  _  

  __  _

    

 _{ }_ _{ }

 



  __  _  



 _

 _

 









Xét

2

1
2

1
d .
f

x

J x

x
 
 
 
 



_

Đặt

t 1

x



,

suy

ra

2

2 2

1 1

dt dx t xd dx d .t

x t

      

Đổi

cận:

1
2

2 _.

1
2

2

x t

x t

   


 _{  }


Khi

đó

_{ }

 

 

1

2 2

2

2

1 1

2

2 2

1

d f t dt f x d .

J tf t t x I

t x

t
 _






_ __ 









Vậy

2 2

1 1

2 2

3

3 d 2 d .

2
I_



x_{ }I _{ }I



x_

Câu

45.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0;1

và

thỏa

mãn

₂_{f x}

_{ }

__{3 1}_f

_

_{  }_x

_

₁ _x2_.

_Tính

_tích

_phân

 

1

0

d .
I



f x x

A

.

.

20


B

.

.
16



C

.

.
6


_D.

_.

4


Lời

giải

Từ

giả

thiết,

thay

x

bằng

1 x_

ta

được

_{2 1}_f

_

_{ }_x

_

₃_{f x}

_{ }

_ ₂_{x x}_ 2_.

Do

đó

ta

có

hệ

 









 

 





 





2 2

2 2

2 3 1 1 4 6 1 2 1

2 1 3 2 9 6 1 3 2

f x f x x f x f x x

f x f x x x f x f x x x

 

 _ _{  }  _ _{ } _

 

 _

 

 

         

 

 

 

3 2 2 2 1 2.

5

x x x

f x   

 

Vậy

1



2 2



0
1

3 2 2 1 d .

5 20

I



x x  x x 

Đáp

án

A

Cách

khác.

Từ

₂

_{ }

_{3 1}

_

_

₁ 2

_{ }

1 ₁ 2 _{3 1}

_

_

_.
2

f x  f    x x f x  __  x f x __

Khi

đó

 





1 1 1

2

0 0 0

1

d 1 d 3 1 d .

2

I_ f x x_ _ _x x_ f _x x_

 

 







Xét

1

_

_

0

1 d .

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Đổi

cận:

0 1.

1 0

x t

x t

   


   



Khi

đó

 

 

 

0 1 1

1 0 0

dt dt d .

J 



f t 



f t 



f x xI

Vậy

1 1

2 2

0 0

1 1

1 d 3 1 d .

2 5 20

I_ _ _x x_ I___{ }I _x x_ 

 









Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi

Câu

46.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

thỏa

_{f x f x}

_{   }

_ _₃_x5__{6 .}_x2

_Biết

_rằng

_f

 

₀ __2,

_tính

_f2

 

_{2 .}

A

.

_f2

_{ }

₂ __64.

_B

_.

_f2

 

₂ __81.

_C

_.

_f2

 

₂ __100.

_D

_.

_f2

 

₂ __144.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có

_{   }

_. _d



₃ 5 ₆ 2



_d 2

 

6 ₂ 3 _.

2 2

f x x

f x f x x  x  x x   x C





Thay

x0

vào

hai

vế,

ta

được

2

 

0 2.
2

f

C C

  

Suy

ra

_f2

_{ }

_x _{ }_x6 ₄_x3_{ }₄ __f2

_{ }

₂ _{ }₂6 _4.23_{ }_{4 100.}

Đáp

án

C

Câu

47.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

f x'

_{ }

liên

tục

và

nhận

giá

trị

không

âm

trên

_

1;

_

,

thỏa

f

_{ }

1 0,
 

_{ }

2

2f x_. ₄ 2 ₄ ₁

e _f x _  x  x

với

mọi

x 

_

1;

_

.

Mệnh

đề

nào

sau

đây

đúng?

A

.

_{ }1 f

_{ }

4 _0.

B

.

0_f

_{ }

4 _1.

C

.

1_ f

_{ }

4 _2.

D

.

2_ f

_{ }

4 _3.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

suy

ra

_ef x _{f x}_

_{ }

_{ }₂_x ₁

_(do

_{f x}_'

 

_không

_âm

_trên



_1;_



₎



 

_{ }

_d

_

₂ _{1 d}

_

  2 _.

f x f x

e f x x x x e x x C









    

Thay

x1

vào

hai

vế,

ta

được

_ef 1 _{    }₁2 ₁ _C _C _1.

Suy

ra

  2

_{ }



2



_{ }

_{ }

2

2 1 7

1 ln 1 4 .

13
1

f x x

e x x f x x x f x f

x x


 

          

 

Đáp

án

B

Câu

48.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

thỏa

mãn

_{ }

2

_{   }

₄

. 15 12

f x f x f x x x

      

 

với

mọi

x 

và

f

 

0  f

 

0 1.

Giá

trị

của

_f2

_{ }

₁

_bằng

A

.

5.

2

B

.

9
.

2

C

.

8.

D

.

10.

Lời

giải

Nhận

thấy

được

_{ }

2

_{   }

_{   }

. . .

f x f x f x f x f x 

       

   

Do

đó

giả

thiết

tương

đương

với

_{f x f x}

_{   }

_. _ _₁₅_x4__{12 .}_x

 

Suy

ra

_{   }

_.



₁₅ 4 _{12 d}



₃ 5 ₆ 2 f 0 f 0 1. ₁

f x f x 



x  x x x  x   C    C

   

_. ₃ 5 ₆ 2 ₁

f x f x x x

   

   

_. _d



₃ 5 ₆ 2 _{1 d}



2

 

6 ₂ 3 _'.

2 2

f x x

f x f x x x x x x x C









      

Thay

x0

vào

hai

vế

ta

được

2

 

0 ' ' 1.

2 2

f

C C

  

Vậy

_f2

_{ }

_x _{ }_x6 ₄_x3_{  }₂_x ₁ __f2

_{ }

₁ __8.

Đáp

án

C

Câu

49.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

đoạn

_{ }

1;2

và

thỏa

mãn

f x

_{ }

  0, x

_{ }

1;2 .

Biết

rằng

 

2

1

d 10
f x x 



và

 

 

2

1

d ln 2.
f x

x
f x







Tính

f

_{ }

2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Lời

giải

Ta

có

_{ }

_{ }

_{   }

2 ₂

1
1

d 10 10 2 1 10.

f x x   f x   f f 



 

1

Lại

có

 

 

 

 

2 ₂ ₂

1 1

1

d ln 2 ln ln 2 ln ln 2

f x

x f x f x

f x

 _ _

    _ _ 



(do

f x

 

  0, x

 

1;2

)

 

 

 

_{ }

2

 

_{ }

2

ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 2.

1 1

f f

f f

f f

      

 

2

Từ

_{ }

1

và

_{ }

2

,

suy

ra

f

_{ }

2 _20.

Đáp

án

B

Câu

50.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên



_1;1



,

thỏa

mãn

f x

 

   0, x

và

f x'

 

2f x

 

0

.

Biết

rằng

f

_{ }

1 _1

,

giá

trị

của

f

_{ }

_1

bằng

A

.

_e2_.

_B

_.

_e3_.

_C

_.

_e4_.

_D

_.

_3.

Lời

giải

Ta

có

 

 

 

 

 

 

'

' 2 0 ' 2 f x 2

f x f x f x f x

f x

      

(do

f x

 

0

)

 

 

 

'

d 2d ln 2

f x

x x f x x C

f x



_

 

_

   

(do

f x

_{ }

0

)

.

Mà

_f

 

₁ _{   }₁ _C ₂ _ln_{f x}

 

_{   }₂_x ₂ __{f x}

 

__e 2x 2__{  }_f

 

₁ _e4_.

Đáp

án

C

Câu

51.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

xác

định

và

liên

tục

trên



đồng

thời

thỏa

mãn

 

 

 

 

2
0,

' , .

1
0

2
x

f x x

f x e f x x
f

   

 _{ } _{ }


 _






Tính

giá

trị

của

f

_{ }

ln 2 .

A

.

_{ }

ln 2 1.

4

f 

B

.

_{ }

ln 2 1.

3

f 

C

.

_{ }

ln 2 ln 2 1.
2

f  

D

.

_{ }

_{ln 2} _{ln 2}2 1_.
2

f  

Lời

giải

Ta

có

_{ }

_{ }

 

 

2

2
'

' x f x x

f x e f x e

f x

    

(do

f x

_{ }

_0

)

 

 

 

 

2

' 1 1

d xd x .

x
f x

x e x e C f x

f x

f x e C





 



       _

Thay

x0

ta

được

_{ }

 0 12
0

1

0 f 1.

f C

e C


 _   

Vậy

_{ }

_{ }

ln 2

1 1 1 1

ln 2 .

2 1 3

1 1

x

f x f

e e

    



 

Đáp

án

B

Câu

52.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_

0;_

_

,

biết

_{f x}_'

_{  }

_ ₂_x_₃

_{  }

_f2 _x __0, _{f x}

 

_₀

_với

_mọi

0

x

và

_{ }

1 1.
6

f 

Tính

P 1 f

 

1f

 

2  ... f



2018 .



A

.

1009.

2020

P

B

.

2019.

2020

P

C

.

3029.

2020

P

D

.

4039.

2020
P

Lời

giải

Ta

có

_{  }

_{  }

 

 





2

2
'

' 2 3 0 f x 2 3

f x x f x x

f x

      

(do

f x

_{ }

_0

)

 

 





 

2

 

2 2

' 1 1

d 2 3 d 3 .

3
f x

x x x x x C f x

f x

f x x x C

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Mà

_{ }

1 1 1 ₂ 1 2

_{ }

₂ 1 1 1 .

6 6 1 3.1 3 2 1 2

f C f x

x x

C x x

         

 

   

Suy

ra

1 1 1 1 1 ... 1 1 3029.

2 3 3 4 2019 2020 2020

P_{      }__ _ _ __ __ __ _ ___

     

Đáp

án

C

Câu

53.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

_0; 3 ,_

 

thỏa

mãn

f x

 

1, f

 

0 0

và

f x

 

x2 1 2x f x

 

1.

Giá

trị

của

f

 

3

bằng

A

.

0.

B

.

3.

C

.

7.

D

.

9.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

suy

ra

 

 

2

 

 

2

2 2

d d

1 1 1 1

f x x f x x

x x

f x x f x x

 

  

 









 

 





 

/
2

2
2

1

2 d 2 d 2 1 2 1

2 1 2 1

x
f x

x x f x x C

f x x




      

 





Mà

_f

_{ }

₀ _{   }₀ _C ₀ _{f x}

_{ }

__x2___f

 

₃ __3.

Đáp

án

B

Câu

54.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

và

liên

tục

trên

_{ }

1;4 ,

đồng

biến

trên

_{ }

1;4 ,

thoản

mãn

_{ }

_{ }

2
2

x xf x _{ }f x _

với

mọi

x

_{ }

1;4 .

Biết

rằng

_{ }

1 3,
2

f 

tính

tích

phân

_{ }

4

1

d .
I

_

f x x

A

.

1186.

45

I

B

.

1187.

45

I

C

.

1188.

45

I

D

.

9.

2
I

Lời

giải

Nhận

xét:

Do

f x

 

đồng

biến

trên

 

1;4

nên

f x'

 

  0, x

 

1;4

.

Từ

giả

thiết

ta

có

_{ }

_{ }

2

_{ }

_{ }

_{ }

1 2 ' . 1 2 , 1;4

x_  f x_{ }  f x _ f x  x  f x  x

 

 

 

 

 

2 2 2

d d 1 2 .

3

2 1 2 2 1 2

f x f x

x x x x f x x x C

f x f x

 

       









Mà

_{ }

_{ }

2

3

2 4

1

3 4 3 3 2 8 7

1

2 3 2 9 9 18

x x

f C f x x x x

 _

 _ _ _

 _

 

       

 

4

1

1186

d .

45
f x x







Đáp

án

A

Câu

55.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục,

không

âm

trên

0;
2

 
 

 

 

,

thỏa

   

 

2
. ' cos 1

f x f x  x f x

với

mọi

0;
2
x_{  } 

 

và

 

0 3.

f 

Giá

trị

của

2
f   _{ }

 

bằng

A

.

0.

B

.

1.

C

.

2.

D

.

2 2.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có

   

 

2

2 .

cos , 0;
2
2 1

f x f x

x x
f x



 _ _ _

   _ _


   

 

 

2
2

2 .

d cos d 1 sin .

2 1
f x f x

x x x f x x C

f x


     







Mà

 

₀ ₃ ₂

  

_sin ₂



2 ₁ _sin2 _{4 sin} _3, _0;

2
f    C f x  x   x x    x  

 
2 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Câu

56.

Cho

hàm

số

f x

 

liên

tục,

không

âm

trên

 

0;3 ,

thỏa

_{f x f x}

_{   }

_. _ _₂_{x f}2

_{ }

_x _₁

_với

_mọi

_x_

 

_0;3

_và

 

0 0.

f _

Giá

trị

của

f

_{ }

3

bằng

A

.

0.

B

.

1.

C

.

3.

D

.

3 11.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có

   

 

 

2

2 .

2 , 0;3
2 1

f x f x

x x
f x



  



   

 

 

2 2

2

2 .

d 2 d 1 .

2 1
f x f x

x x x f x x C

f x


     







Mà

_{ }

_{ }



₂



2 ₄ ₂

_{ }

0 0 1 1 1 2 , 0;3

f    C f x  x    x  x  x

 

3 3 11.
f

 

Đáp

án

D

Câu

57.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

không

âm

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f x

_{ }

0

với

mọi

x

_{ }

0;1

và

 

4

 

2



₂



 

3

. ' . 1 1 .

f x f x x f x

    _{  } 

     

Biết

f

 

0 2,

hãy

chọn

khẳng

định

đúng

trong

các

khẳng

định

sau

đây.

A

.

3

_{ }

1 2.

2f 

B

.

 

5

2 1 .

2
f

 

C

.

5

_{ }

1 3.

2f 

D

.

 

7

3 1 .

2
f

 

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có

_{ }

_{ }

_{ }

 

 

 

2

2 ₂ 3

3 2

. ' 1

. ' . 1 1

1
1

f x f x

f x f x x f x

x
f x

 
 

  _{  }  _ _

    _ _ _

  

 

 

 

 





 

3
2

1 1 1 1

3 2 3 2

0 0 0 0

d 1

. ' ₁ ₂ ₁

d d d

3

1 1

1 2 1

f x
f x f x

x x x

x x

f x f x

 


  _ _

 

    

 

   

_ _ _ _









 

3 1



2



1  0 2

_{ }

0 0

2

1 ln 1 1 2,605.

3

f

f x x x  f

 

  _ _     

Đáp

án

C

Câu

58.

Cho

hàm

số

f x

 

liên

tục

trên

_\



0; 1_



,

thỏa

mãn

_{x x}



__{1 .}

  

_{f x} __{f x}

 

_{ }_x2 _x

_với

_mọi

_x___\



_{0; 1}_



và

f

_{ }

1  2 ln 2.

Biết

f

_{ }

2  a bln 3

với

a b,  

,

tính

_P_{ }_a2 _b2_.

A

.

1.

2

P

B

.

3.

4

P

C

.

13.

4

P

D

.

9.

2
P

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có

 





2

 

\





1

, 0; 1 .

1 ₁ 1

x x

f x f x x

x   x_ x   

Nhận

thấy

_{ }





2

 

 

1 _. _.

1 1 1

x x

f x f x f x

x x x



 

  _{ } _

    

Do

đó

giả

thiết

tương

đương

với

 

. ,



0;



.

1 1 \ 1

x x

f x x

x x



 

     

   

  

Suy

ra

_{ }

. d 1 d ln 1 .

1 1 1

x x

f x x x x x C

x x x

 _



  _  __    











Mà

_{ }

1 2 ln 2 1

_{ }

. ln 1 1.
1

x

f C f x x x

x

         



Cho

x2

ta

được

_{ }

_{ }

3

2 3 3 2 9

2 . 2 ln 3 1 2 ln 3 .

3

3 2 2 2

2
a

f f P

b
 


      _  
 



</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Câu

59.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

xác

định,

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

0 _1

và

 

 

 

2

0

f x f x

f x

    
 
  



với

mọi

x_

_{ }

0;1 .

Đặt

P_ f

_{   }

1 _f 0

,

khẳng

định

nào

sau

đây

đúng?

A

.

_{  }2 P 1.

B

.

_{  }1 P 0.

C

.

0_{ }P 1.

D

.

1_{ }P 2.

Lời

giải

Nhận

thấy

_{   }

_{ }

1

0

1 0 d

P f f 



f x x

nên

ta

cần

tìm

f x

 

.

Từ

giả

thiết

ta

có

 

 

 

 

 

 

2 2

1 1

1 d 1d .

f x f x

x x x C f x

f x x C

f x f x

 



     _     



     

 



 



Mà

_{ }

0 1 1

_{ }

1 .

1

f C f x

x
        



Vậy

1

_{ }

1

0 0

1

d d ln 2 0,69.

1

P f x x x

x


      







Đáp

án

B

Câu

60.

Cho

hai

hàm

số

f x

_{ }

và

g x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;2 ,

thỏa

mãn

f ' 0 . ' 2

_{   }

f _0

và

   

. '



2



x.

g x f x x x e

Tính

tích

phân

_{   }

2

0

. ' d .
I



f x g x x

A

.

I 4.

B

.

I4.

C

.

I e 2.

D

.

I 2 e.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

_{   }

 

 

' 0 0

' 0 . ' 2 0 .

' 2 0
f

f f

f

 


 _ _



Do

đó

từ

_{g x f x}

_{   }

. ' __{x x}

_

_2

_

_ex

_,

_suy

_ra

 



_{ }



 



_{ }



2 2 2

2 0

' 2
.
0 0 2

0 0

' 0

x

x

e
g

f
e
g

f

 

 _ _




 _

  



Tích

phân

từng

phần

ta

được

_{   }

2 2

_{   }

0 ₀

. . d

I_f x g x _ 



g x f x x

       

2





2





0 0

2 . 2 0 . 0 2 xd 2 xd 4.

f g f g x x e x x x e x

  

_

  

_

 

Đáp

án

B

Câu

61.

Cho

hàm

số

f x

 

0

xác

định

và

có

đạo

hàm

trên

đoạn

 

0;1 ,

thỏa

mãn

 

 

 

 

0
2

1 2018 d

.
x

g x f t t

g x f x
 _{ }




 





_Tính

 

1

0

d .
I



g x x

A

.

1009.

2

I

B

.

I505.

C

.

1011.

2

I

D

.

2019.

2
I

Lời

giải

Từ

giả

thiết,

ta

có

 

 

 

   

 

   

' 2018

2018 2 ' .
' 2 ' .

g x f x

f x f x f x
g x f x f x

 

 __ _

 _


 

 

 

_{ }

0

 

_{ }

2 1009 ' 0 .

' 1009 1009

f x

f x f x

f x f x x C

 



 

 _  __{  }

   



loại

Thay

ngược

lại,

ta

được

_

_

_

_

2

0

1 2018 1009 d 1009
x

t C t x C

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>





2

2 2

0

1009

1 2018 1009 1.

2

x

t Ct x C C

 _



  _  __    

Suy

ra

f x

_{ }

_1009x_1

hoặc

f x

_{ }

_1009x_1

(loại

vì

f x

_{ }

_{  }0 x

_{ }

0;1

)

.

Khi

đó

1

_{ }

1

_{ }

1

_

_

0 0 0

1011

d d 1009 1 d .

2

I



g x x



f x x



x x

Đáp

án

C

Câu

62.

Cho

hai

hàm

f x

_{ }

và

g x

_{ }

có

đạo

hàm

trên

_{ }

1;4 ,

thỏa

mãn

   

 

 

 

 

1 1 4

f g

g x xf x
f x xg x

  

 _{ } _


   


với

mọi

x_

_{ }

1;4 .

Tính

tích

phân

4

_{   }

1

d .
I



_f x g x _ x

A

.

I3 ln 2.

B

.

I4 ln 2.

C

.

I6 ln 2.

D

.

I8 ln 2.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có

f x

   

g x  x f x. 

 

x g x. 

 

 

.

 

 

.

 

0 .

 

.

 

0

f x x f x g x x g x x f x  x g x 

         

_  _{ }  _ _ _ _ _ 

 

 

   

. . C.

x f x x g x C f x g x
x

     

Mà

_{   }

_{   }

4 4

1 1

4

1 1 4 4 d d 8 ln 2.

f g C I f x g x x x

x

 

     



_  _ 





Đáp

án

A

Câu

63.

Cho

hai

hàm

f x

_{ }

và

g x

_{ }

có

đạo

hàm

trên

_{ }

1;2 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

1 _g

_{ }

1 _0

và





 



  

 

 

 

2

3

2

2017 1

1

, 1;2 .
2018

1
x

g x x x f x

x

x
x

g x f x x

x

    

 

 _{ }



   

 


Tính

tích

phân

_{ }

_{ }

2

1

1

d .
1

x x

I g x f x x

x x

  

 

 _  _



 



A

.

1.

2

I

B

.

I1.

C

.

3.

2

I

D

.

I2.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có





  

  

 

 

 

2

2
1
1

2017

1 _, _{1;2 .}

1

2018
1

x

g x f x

x

x _x

x

g x f x

x x

 

 _ _ _{ }

 

 _{ }



   

 



Suy

ra

 2         2        

1 1

1 1 ₁ ₁

1 1

1

x x

x x

g x g x f x f x g x f x

x x x x x

x



         

   _{ }        

 _ _ _{ } _ __ _ __ _ _

     

 

  

1

  

.

1

x
x

g x f x x C

x x



 _   

Mà

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

_

_

2 2

1 1

1 1

1 1 0 1 d 1 d .

1 2

x x

f g C I g x f x x x x

x x

  

 

       _  _   



 





Đáp

án

A

Câu

64.

Cho

hàm

số

y f x

 

có

đạo

hàm

trên

 

0;3 ,

thỏa

mãn



  

 

3 . 1

1

f x f x
f x

  



 _{ }



với

mọi

x

 

0;3

và

 

1

0 .

2

f 

Tính

tích

phân

 





 

3

2 ₂
0

'

d .

1 3 .

xf x

I x

f x f x



   

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

A

.

1.
2

I

B

.

I1.

C

.

3.

2

I

D

.

5.

2
I

Lời

giải

Từ

giả

thiết



  

 

 

3

3 . 1

3 2.
1

0
2

x
f x f x

f
f



  

 __ _

 _


Ta

có

_

_

2 ₂

_{ }

3   . 1

_{ }

2

1 f 3 x .f x f x f x 1 f x .

       

   

Tích

phân

 

 

 

 

 

3 3 ₃ 3

2

0

0 0 0

' 1 1

d d d 1 .

1 1 1

1

xf x x

I x x x J

f x f x f x

f x

 _

 _



   _ __     

   

    

 







Tính

 













3 ₃ 0 3 3

0 3 0 0

1 1 1 1

d d d d .

1 1 3 1 3 1 3

t x

J x t t x

f x f t f t f x

 

    

      









Suy

ra

 





   

3 3 ₃ _. ₁ 3

0 0 0

1 1 3

2 d d 1.d 3 .

1 1 3 2

f x f x

J x x x J

f x f x

 

     

  







Vậy

1.

2
I

Đáp

án

A

Câu

65.

Cho

hàm

số

y_ f x

_{ }

liên

tục

trên

đoạn

_{ }

0;1

và

thỏa

mãn

af b

_{ }

_bf a

_{ }

_1

với

mọi

a b, _

_{ }

0;1 .

Tính

tích

phân

_{ }

1

0

d .

I



f x x

A

.

1.

2

I

B

.

1.

4

I

C

.

.

2

I

D

.

.

4
I

Lời

giải

Đặt

a_sin , x b_cosx

với

0; .
2
x_{  } 

 

Từ

giả

thiết,

suy

ra

sinxf



cosx



cosxf



sinx



1









2 2 2

0 0 0

sin cos d cos sin d 1d .

2

xf x x xf x x x

  

















 

1

Ta

có





 

 





 

 

0 1

2 _cos

0 1 0

1 1

2 _sin

0 0 0

sin cos d d d

.

cos sin d d d

t x

t x

xf x x f t t f x x

xf x x f t t f x x










 _{ } _






  















Do

đó

_{ }

_{ }

1

0

1 d .

4
f x x 







Đáp

án

D

Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng

Câu

66.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thoả

mãn

_{3 f x}

_{ }

__{xf x}_

_{ }

__x2018

_với

_mọi

_x_

 

_{0;1 .}

_Tính

 

1

0
d
I



f x x

.

A

.

1 .

2018 2021
I



B

.

1
.
2019 2020
I



C

.

1
.
2019 2021
I



D

.

1
.

2018 2019
I



Lời

giải

Từ

giả

thiết

₃_{f x}

_{ }

__{xf x}

_{ }

__x2018_,

_nhân

_hai

_vế

_cho

_x2

_ta

_được

 

 

 

2 3 2020 3 2020

3x f x x f x x __x f x __x .

Suy

ra

3

_{ }

2020_d 2021 _.
2021

x
x f x _



x x_ _C

Thay

x0

vào

hai

vế

ta

được

0

_{ }

2018.
2021
x
C_{ }_f x _

Vậy

1

_{ }

1 2018 20191

0

0 0

1 1 1 1

d d . .

2021 2021 2019 2021 2019

f x x x x x 



</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Đáp

án

C

Nhận

xét:

Ý

tưởng

nhân

hai

vế

cho

_x2

_là

_để

_thu

_được

_đạo

_hàm

_đúng

_dạng

 

_uv _'__{u v uv}_' _ _'.

Câu

67.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

0;4 ,

thỏa

mãn

_{f x}

_{ }

__{f x}_

_{ }

__ex 2_x_1

_với

_mọi

_x_

 

_{0;4 .}

Khẳng

định

nào

sau

đây

là

đúng?

A

.

4

_{ }

₄

_{ }

₀ 26_.

3

e f f 

B

.

_{e f}4

_{   }

₄ __f ₀ __{3 .}_e

_C

_.

_{e f}4

   

₄ __f ₀ _{ }_e4 _1.

_D

_.

_{e f}4

   

₄ __f ₀ __3.

Lời

giải

Nhân

hai

vế

cho

_ex

_để

_thu

_được

_đạo

_hàm

_đúng,

_ta

_được

 

 

 

/

' 2 1 2 1.

x x x

e f x e f x  x __e f x __  x

Suy

ra

_{ }

2 1d 1

_

2 1 2

_

1 .

3
x

e f x 



x x x x C

Vậy

4

_{ }

₄

_{ }

₀ 26_.

3
e f f 

Đáp

án

A

Câu

68.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

trên

_,

thỏa

mãn

_{f x}_'

_{ }

_₂₀₁₈_{f x}

_{ }

_₂₀₁₈_x2017 2018_e x

_với

_mọi

_x_{ }

_và

 

0 2018.

f 

Tính

giá

trị

f

_{ }

1 .

A

.

_f

 

₁ _₂₀₁₈_e2018_.

_B

_.

_f

_{ }

₁ _₂₀₁₇_e2018_.

_C

_.

_f

 

₁ _₂₀₁₈_e2018_.

_D

_.

_f

 

₁ _₂₀₁₉_e2018_.

Lời

giải

Nhân

hai

vế

cho

_e2018x

_để

_thu

_được

_đạo

_hàm

_đúng,

_ta

_được

 

2018x ₂₀₁₈

 

2018x ₂₀₁₈ 2017

 

2018x ₂₀₁₈ 2017_.

f x e_  _ f x e _ x _f x e _ x

 

 

Suy

ra

_{f x e}

_{ }

2018x_ ₂₀₁₈_x2017_d_x__x2018__C_.



Thay

x0

vào

hai

vế

ta

được

_C_₂₀₁₈___{f x}

_{ }

_



_x2018_₂₀₁₈



_e2018x_.

Vậy

_f

_{ }

₁ _₂₀₁₉_e2018_.

Đáp

án

D

Câu

69.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

và

liên

tục

trên

_,

thỏa

mãn

_{ }

_{ }

2

2 x

f x xf x  xe

và

f

_{ }

0 _2.

Tính

 

1 .
f

A

.

f

_{ }

1 _e.

B

.

f

_{ }

1 1.
e



C

.

f

_{ }

1 2.

e



D

.

f

_{ }

1 2.
e
 

Lời

giải

Nhân

hai

vế

cho

2

2
x

e

để

thu

được

đạo

hàm

đúng,

ta

được

 

 

 

2 2 2 2 2

2 2 ₂ 2 2 ₂ 2_.

x x x x x

f x e f x xe  xe _e f x _ xe

 

 

Suy

ra

_{ }

2 2 2

2 ₂ 2_d ₂ 2 _.

x x x

e f x 

_

xe x  e C

Thay

x0

vào

hai

vế

ta

được

_{ }

2

0 2 x.

C_{ }_f x _{ } e

Vậy

_f

_{ }

₁ ₂_e 1 2_.

e



   

Đáp

án

D

Câu

70.

Cho

hàm

số

f x

 

liên

tục

và

có

đạo

hàm

trên

0; ,
2


 _
 _
 _

 

thỏa

mãn

hệ

thức

 

tan

 

_cos3 .

x
f x xf x

x


 

Biết

rằng

3 3 ln 3

3 6

f__ ___f__ ___a_ _b

   

trong

đó

a b,  .

Tính

giá

trị

của

biểu

thức

P a b.

A

.

4.

9

P 

B

.

2.

9

P 

C

.

7.

9

P

D

.

14.

9
P

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Từ

giả

thiết,

ta

có

cos

_{ }

sin

_{ }

₂ sin

_{ }

₂ .

cos cos

x x

xf x xf x xf x

x   x



  _ _ 

Suy

ra

sin

_{ }

_cos2 d tan ln cos .

x

xf x x x x x C

x



_

  



Với

3 . 3 ln 2 3 2. 3 2 ln 2 2 .

3 2 3 3 3 3

x   f_{ }_ _   f__{ } _    C



Với

1 . 3 1ln 3 ln 2 1. 3 ln 3 2 ln 2 2 .

6 2 6 6 3 2 6 9

x   f_{ }_ _    C f__{ } _     C

Suy

ra

3 5 3 ln 3 59 4.

3 6 9 ₁ 9

a

f f P a b

b

  _ 

 _  _ _ 

 __  __ _ ___ __{    }
 _  _

  

    _{ }



Đáp

án

A

Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1

Câu

71.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

0; ,
2

 
 
 

 

thỏa

 

 

2
2

0

2

2 2 sin d .

4 2

f x f x x x



 

 _ _ 

  _  _ 

  

 



Tính

tích

phân

 

2

0

d .
I f x x






A

.

I0.

B

.

.

4

I

C

.

I1.

D

.

.

2
I

Lời

giải

Ta

có

2 2
0

2

2 sin d .

4 2

x x



 

 _ 

    

 _

 



Do

đó

giả

thiết

tương

đương

với

2 2

_{ }

_{ }

2
0

2 2 sin 2 sin d 0

4 4

f x f x x x x



 

 _ _ _ _

  _  _ _  _ 

    

 



 

2

 

2

0

2 sin d 0 2 sin 0, 0; .

4 4 2

f x x x f x x x



  

 _ _ _ _  

   

 _  __  ___    __    __ _ _
 

 



Suy

ra

_{ }

2

_{ }

2

0 0

2 sin d 2 sin d 0.

4 4

f x x I f x x x x

 

 

 _  _

 

 __  __  







__  __ 

Đáp

án

A

Câu

72.

Cho

hàm

số

f x

 

liên

tục

trên

 

0;1

thỏa

_{ }

_{  }

_

1 1

2 2

0 0

2

2 ln d 2 ln 1 d .

f x x f x x x

e

  _ _

    _  _

 

 





Tích

phân

 

1

0

d .
I



f x x

A

.

ln

4
e

I

.

B

.

I ln4

e



.

C

.

ln

2

e

I

.

D

.

I ln2

e


.

Lời

giải

Bằng

phương

pháp

tích

phân

từng

phần

ta

tính

được





1 1

2 2 2

0 0

2 2

ln x 1 dx 2 ln 2 ln d .x

e e

  





Do

đó

giả

thiết

tương

đương

với

_{ }

_

_

_{ }

_

_

_{ }

1

2

0

ln 1 d 0 ln 1 , 0;1 .

f x x x f x x x

         

 



Suy

ra

_{ }

_

_

1 1

0 0

4

d ln 1 d ln

f x x x x

e

  





.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Câu

73.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

liên

tục

trên

_{ }

0;1 , f x

 

và

f x'

_{ }

đều

nhận

giá

trị

dương

trên

_{ }

0;1

và

thỏa

mãn

f

_{ }

0 _2

và

_{   }

_{   }

1 1

2

0 0

' . 1 d 2 ' . d .

f x f x x f x f x x

 _ _{ }  _

   

 





Tính

_{ }

1
3

0

d .
I 



f x _ x

A

.

15.

4

I

B

.

15.

2

I

C

.

17.

2

I

D

.

19.

2
I

Lời

giải

Giả

thiết

tương

đương

với

_{   }

1 ₂

0

' . 1 d 0

f x f x x

 _  _

 

 



   

 

   

2

   

2

' . 1, 0;1 ' 1 ' d d

f x f x x f x f x f x f x x x

      







 

 

3

0 2 8

.

3 3

f
f x

x C  C

    

Vậy

₃

_{ }

1

_{ }

3

0

19

3 8 d .

2
f x   x  I



_f x _ x

Đáp

án

D

Câu

74.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

dương,

liên

tục

trên

đoạn

 

0;1

và

thỏa

mãn

f

_{ }

0 1,

   

   

1 1

2

0 0

1

3 ' . d 2 ' . d .

9

f x f x x f x f x x

 _ _ 

 _ _   

 

 





Tính

_{ }

1
3

0

d .
I_{ }



f x _ x

A

.

3.

2

I

B

.

5.

4

I

C

.

5.

6

I

D

.

7.

6
I

Lời

giải

Giả

thiết

_{   }

_{   }

1 ₂ 1

0 0

1

3 ' . d 2 ' . d

3

f x f x x f x f x x

 



_

__ __  

_

   

   

   

1 ₂ 1 1 1 ₂

0 0 0 0

3 f x f x' . dx 2 3 f x f x x' . d dx 0 3 f x f x' . 1 dx 0

   



_

__ __ 

_



_

 

_

__  __ 

   

 

   

2

   

2

3 f x f x' . 1 0, x 0;1 9 'f x f. x 1 9 'f x f. x xd dx

       

_



_

 

 

3

0 1

9. 3.

3

f
f x

x C  C

    

Vậy

₃

_{ }

1

_{ }

3

0

1 7

1 d .

3 6

f x  x 



_f x _ x

Đáp

án

D

Câu

75.

Cho

hàm

số

y_ f x

_{ }

có

đạo

hàm

dương,

liên

tục

trên

đoạn

_{ }

0;1 ,

thỏa

f

_{   }

1 _f 0 _1

và

   

   

1 1

2

0 0

' 1 d 2 ' d .

f x f__ x  __ x f x f x x





Giá

trị

của

tích

phân

1

_{ }

3

0

d
f x x
 
 



bằng

A

.

3.

2

B

.

5 33 27
.
18



_C

_.

5 33

.

18

D

.

5 33 54
.
18



Lời

giải

Nhóm

hằng

đẳng

thức

ta

có

_{   }

_{   }

1 1

2

0 0

' 1 d 2 ' d

f x f__ x  __ x f x f x x





   

 

   

   

 

   

1 1

2

0 0

1 ₂ 1

0 0

0 vi 1 0 1

' ' d 2 ' d 0

' 1 d ' 1 d 0

f f

f x f x f x x f x f x x

f x f x x f x x

  

 

 __  __  

  _ _

 __  __  _  _ 











   

 

   

2

   

2

' . 1, 0;1 ' 1 ' d d

f x f x x f x f x f x f x x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

 

_{ }

   
3

1 0 1

3 ₃ ₃ 5 33 27_.

3 54

f f
f x

x C f x x C   C 

       

Vậy

_{ }

_{ }

1
3
3

0

5 33 27 5 33

3 d .

18 18

f x  x  

_

_f x _ x

Đáp

án

C

Vấn đề 11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2

Kỹ thuật Holder

Câu

76.

Cho

hàm

số

yf x 

liên

tục

trên

đoạn

 0;1 ,

thỏa

mãn

   

1 1

0 0

d d 1

f x x xf x x





và

1 _{ }2

0

d 4

f x x

  

 



.

Giá

trị

của

tích

phân

1 _{ }3
0

d

f x x

 

 



bằng

A

.

1.

B

.

8.

C

.

10.

D

.

80.

Lời

giải

Ở

đây

các

hàm

xuất

hiện

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }2 _{   }

, ,

f x xf x f x

 

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

 

2

.
f x x 

 _ _ 

 

Với

mỗi

số

thực

_{ },

ta

có

         

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

d d 2 d d

f x x  x f x x x  f x x x  x

          

   









  2 2

4 2 .

3


   

     

Ta

cần

tìm

_{ },

sao

cho

 

1

2
0

d 0

f x x  x

    

 



hay

_{4 2}  2 2 ₀

3



   

     

 

2 ₃ ₆ ₃ 2 ₆ ₁₂ _0.

    

      

Để

tồn

tại



thì

₃ ₆2 _{4 3}



2 ₆ ₁₂



₀

  

      

 2
2

3 12 12 0 3  2 0  2  6.

             

Vậy

1   2     1  3

0 0

6 2 d 0 6 2, 0;1 d 10.

f x x x f x x x f x x

             

   





Đáp

án

C

Câu

77.

Cho

hàm

số

yf x 

liên

tục

trên

đoạn

 0;1 ,

thỏa

mãn

   

1 1

0 0

d d 1

xf x x x f x x





và

1  2

0

d 5.

f x x

  

 



Giá

trị

của

tích

phân

1  3
0

d

f x x

 

 



bằng

A

.

5.

6

B

.

6
.

5

C

.

8.

D

.

10.

Lời

giải

Ở

đây

các

hàm

xuất

hiện

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }2 _{ } _{ }

, ,

f x xf x x f x

 

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

  2

.

f x x  x

 _ _ 

 

 

Với

mỗi

số

thực

_{ },

ta

có

   





 





1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

d d 2 d d

f x x  x x f x x x  x f x x x  x x

 _ _  _   _ _ _ _

   

 









  2 4 2

5 2 .

3 5 2

  

 

     

Ta

cần

tìm

 ,

sao

cho

1 _{ } 2
0

d 0

f x x  x x

 _ _  _

 

 



hay

5 2_ _ 2 4 2 0.

3 5 2

  

 

     

Tương

tự

như

bài

trước,

ta

tìm

được

 15, 10.

Vậy

1 _{ } 2 _{ } _{ } 1 _{ }3

0 0

5

15 10 d 0 15 10 , 0;1 d .

6

f x x x x f x x x x f x x

             

   

 





</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Câu

78.

Cho

hàm

số

yf x 

liên

tục

trên

đoạn

 0;1 ,

thỏa

mãn

   

1 1

2 2

0 0

1

d d .

16

xf x x x f x x





Giá

trị

của

tích

phân

 

1
0

d
f x x



bằng

A

.

1.

5

B

.

1
.

4

C

.

1
.

3

D

.

2
.
5

Lời

giải

Hàm

bình

phương

khơng

như

thơng

thường

là

_{ }2

f x

 

 

hoặc

f x' 2.

Ở

đây

các

hàm

xuất

hiện

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }2 _{ }
2

,
x f x x f x

 

 

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

  2      ₂

2

??? 2 ??? ??? .

x f x xf x x f x

 _  _ _ _

 

 

So

sánh

ta

thấy

được

??? 2 .

x x


Do

đó

giả

thiết

được

viết

lại

_{ }

2 2

1 1

0 0

1

d d 0.

2 2 16

x x x x

x f x x x

 _  _

 _  _

       

   

 

   





Suy

ra

      1  

0

1

, 0;1 d .

2 2 4

x x x

x f x   x f x  

_

f x x

Đáp

án

B

Câu

79.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

1;8

và

thỏa

mãn

 

 

 

2 2 8

2

3 3

1 1 1

2 38

d 2 d d .

3 15

f x x f x x f x x

  _ _ _

 

 







Tích

phân

_{ }

8

1
d
f x x



bằng

A

.

8 ln 2.

27

B

.

ln 2
.

27

C

.

4
.

3

D

.

3
.
2

Lời

giải

Nhận

thấy

có

một

tích

phân

khác

cận

là

8

_{ }

1

d .
f x x



Bằng

cách

đổi

biến

_x__t3

_ta

_thu

_được

_tích

_phân

 

 

2 2

2 3 2 3

1 1

3

_

t f t dt3

_

x f x d .x

Do

đó

giả

thiết

được

viết

lại

2

 

3 2 2

 

3 2 2

 

3

1 1 1

38

d 2 d 2 d .

15

f x x f x x x f x x

  _ _ _

 

 







 

*

Ở

đây

các

hàm

xuất

hiện

dưới

dấu

tích

phân

là

   

2

 

3 _, 3 _, 2 3

f x f x x f x

 

 

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

 

₃ ₂ 2

.

f x x 

 _ _ 

 

 

Tương

tự

như

các

bài

trên

ta

tìm

được

 1, 1.

Do

đó

_{ }

 





2 2

2 2

3 2 2

1 1

38

* 1 d 1 d 0

15

f x x x x x

 



_

__   __   

_

 

 

3 2

 

 

3 2

 

8

 

1

3

1, 1;2 1, 1;8 d .

2

f x x x f x x x f x x

          

_



Đáp

án

D

Câu

80.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

1 _0

,

1

_{ }

2
0

d 7
f x x
   

 



và

 

1
2

0

1

d .

3
x f x x



Tích

phân

_{ }

1

0
d
f x x



bằng

A

.

1

.

B

.

7

5

.

C

.

7

4

.

D

.

4

.

Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }

2 ₂

_{ }

,
f x x f x
  

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Dùng

tích

phân

từng

phần

ta

có

_{ }

_{ }

_{ }

1 3 1 1

2 3

0

0 0

1

d ' d .

3 3

x

x f x x f x  x f x x





Kết

hợp

với

giả

thiết

f

 

1 0

,

ta

suy

ra

1 3

_{ }

0

' d 1.

x f x x 



Bây

giờ

giả

thiết

được

đưa

về

 

 

1

2

0
1

3

0

d 7

.

' d 1

f x x
x f x x
    
  




 _{ }







Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_{ }

2 ₃

_{ }

, '

f x x f x
  

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

_{f x}_'

_{ }

___x32_.

 

 

Với

mỗi

số

thực

_

ta

có

1

_{ }

₃ 2 1

_{ }

2 1 ₃

_{ }

₂ 1 ₆

0 0 0 0

' d ' d 2 ' d d

f x x x f x x  x f x x  x x

       

   

 













2

2
1

7 2 7 .

7 7


 

    

Ta

cần

tìm



sao

cho

1

_{ }

₃ 2
0

' d 0

f x x x

 _  _

 

 



hay

1

_

_

2

7 0 7.

7    

Vậy

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

1

2

3 3 4

0

7

' 7 d 0 ' 7 , 0;1

4

f x x x f x x x f x x C

 _  _{ }_ _{ } _{ } __ _{ } _

 

 



 1 0

_{ }

4 1

_{ }

0

7 7 7 7

d .

4 4 4 5

f

C f x x f x x



      





Đáp

án

B

Cách

2.

Dùng

tích

phân

từng

phần

ta

có

1 2

_{ }

3

_{ }

1 1 3

_{ }

0

0 0

1

d ' d .

3 3

x

x f x x f x  x f x x





Kết

hợp

với

giả

thiết

 

1 0

f _

,

ta

suy

ra

_{ }

1
3

0

' d 1.

x f x x 



Theo

Holder

 

 

 

2

1 1 1 ₂ 7 1

2 3 6

0

0 0 0

1 ' d d . ' d .7 1.

7
x
x f x x x x f x x

 _

 _ _ _



 __



__ 





   

Vậy

đẳng

thức

xảy

ra

nên

ta

có

_{f x}_'

 

__kx3_,

_thay

_vào

 

1

3

0

' d 1

x f x x 



ta

được

k 7.

Suy

ra

_{f x}_'

_{ }

_{ }₇_x3

_(làm

_tiếp

_như

_trên)



Câu

81.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

0;1 ,

thỏa

mãn

f

 

1 1

,

_{ }

1
5

0

11
d

78
x f x x



và

 



 



1

0

4

d .

13
f x f x 



Tính

f

_{ }

2 .

A

.

f

 

2 2.

B

.

_{ }

2 251.
7

f 

C

.

_{ }

2 256.
7

f 

D

.

_{ }

2 261.
7
f 

Lời

giải

Viết

lại

1

_{ }



_{ }



1

_{ }

2

0 0

4 4

d d .

13 13

f x f x   _f x _ x





Dùng

tích

phân

từng

phần

ta

có

_{ }

_{ }

_{ }

1 6 1 1

5 6

0

0 0

1

d d .

6 6

x

x f x x f x  x f x x





Kết

hợp

với

giả

thiết

f

 

1 _1

,

ta

suy

ra

1 6

_{ }

0

2

d .

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Bây

giờ

giả

thiết

được

đưa

về

 

 

1

2

0
1

6

0

4
d

13
.
2
' d

13
f x x
x f x x
    

  




 _







Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_{ }

2 ₆

_{ }

, '
f x x f x
  

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

_{f x}_'

_{ }

___x62_.

 

 

Tương

tự

như

bài

trên

ta

tìm

được

 

6

 

2 7  1 1 5

2 2 .

7 7

f

f x x f x x C C

_{  }_ _ _ __ _ _{  }

Vậy

_{ }

2 7 5

_{ }

₂ 261_.

7 7 7

f x  x  f 

Đáp

án

D

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

2

2 1 1 1

2

6 12

0 0 0

2 1 4 4

d . d . .

13 x f x x x dx f x x 13 13 169

 

 _ _ _

          

     

  _



_





Câu

82.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

1 2, 0f

_{ }

0

và

 

1

2

0

' d 4.
f x x

  

 



.

Tích

phân

1 3

_{ }

0

2018 d .

f x x x

 _ 

 

 



bằng

A

.

0.

B

.

1011.

C

.

2018.

D

.

2022.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

f

_{ }

1 2, 0f

_{ }

0

suy

ra

_{ }

_{ }

1 ₁

0
0

' d 2.

f x x f x 



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }

2

_{ }

' , '
f x f x

 

 

nên

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

f x'

 

2.

Ta

tìm

được

_{ }

_{ }

 0 0

2 ' 2 2 f 0.

f x f x x C C

_{  }_ _{ }_ _ _{  }

Vậy

_{ }

_{ }

1
3

0

2 2018 d 1011.

f x  x



__f x  x x__ 

Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

2

1 1 1

2
2

0 0 0

2 _ f x x' d __  d .x _f x' _ dx1.44.

 







 

Câu

83.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

1;2 ,

thỏa

mãn

_

_{  }

2
2

1

1

1 d ,

3
x f x x 



f

 

2 _0

và

 

2

2

1

' d 7.
f x x

  _

 



Tích

phân

2

_{ }

1
d
f x x



bằng

A

.

7 .
20



B

.

7 .

20

C

.

7
.
5



D

.

7.

5

Lời

giải

Chuyển

thông

tin

_

_{  }

2
2

1

1 d

x f x x



sang

f x'

 

bằng

cách

tích

phân

từng

phần,

ta

được



  

2
3

1

1 ' d 1.
x f x x



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{  }

2

_{  }

3

' , 1 '

f x x f x

  

 

nên

liên

kết

với

  



2
3

' 1 .

f x  x

 _ _ 

 

 

Ta

tìm

được

_{  }

_

3

_{ }

7

_

_

4  2 0 7

7 ' 7 1 1 .

4 4

f

f x x f x x C C

_{  }_ _ _ __ _ _{    }

Vậy

_{ }

_

_

_{ }

2
4

1

7 7 7

1 d .

4 4 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Cách

2.

Theo

Holder



  





 

2

2 2 2

2

3 6

1

1 1 1

1

1 1 ' d 1 d ' d .7 1.

7

x f x x x x f x x

 

   

_  _   _ _  

 











Câu

84.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

_{ }

_{ }

1
2

0

9
1 1, ' d

5

f 

_

_f x _ x

và

 

1

0

2

d .

5
f x x



Tích

phân

1

_{ }

0
d
f x x



bằng

A

.

1.
5

I

B

.

1.

4

I

C

.

3.

5

I

D

.

3.

4
I

Lời

giải

Chuyển

thông

tin

 

1

0

d
f x x



sang

f x'

_{ }

bằng

cách:



Đặt

_{ }

1

0

1
d

5

t x 



tf t t

hay

_{ }

1

0

1

d .

5
xf x x





Tích

phân

từng

phần

_{ }

1

0

d ,

xf x x



ta

được

_{ }

1
2

0

3

' d .

5
x f x x



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }

2 ₂

_{ }

' , '
f x x f x

 

 

nên

liên

kết

với

f x'

 

x22.

Ta

tìm

được

₃ _'

_{ }

₃ 2

_{ }

3 f 1 1 _0.

f x x f x x C C

_{  }_ _ __ _{   }

Vậy

_{ }

_{ }

1
3

0

1

d .

4
f x  x 

_

f x x

Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

2

2 1 1 1

2

2 4

0 0 0

3 1 9 9

' d d ' d . .

5 x f x x x x f x x 5 5 25

 

 _ _ _

       

 _ _ _ _ _

  









Câu

85.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

0;1 ,

thỏa

mãn

f

 

0 _f

 

1 _0,

   

1

0

' cos d
2
f x x x



và

 

1

2

0

1

d .

2
f x x



Tích

phân

1

_{ }

0
d
f x x



bằng

A

.

1.



B

.

2
.



C

.

.

D

.

3
.

2



Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_f2

 

_x

_và

_{f x}_'

   

_cos __x

_,

_khơng

_thấy

_liên

_kết.

Do

đó

ta

chuyển

thơng

tin

của

f x'

_{   }

cos _x

về

f x

_{ }

bằng

cách

tích

phân

từng

phần

của

   

1

0

' cos d
2
f x x x



cùng

với

kết

hợp

f

_{ }

0 f

_{ }

1 0,

ta

được

_{   }

1

0

1

sin d .

2

f x x x



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_f2

 

_x

_và

_{f x}

   

_sin __x

_nên

_ta

_sẽ

_liên

_kết

_với

_bình

_phương

 

 

2

sin .
f x  x

  

 

Ta

tìm

được

_{ }

_{ }

1

_{ }

0

2

1 f x sin x f x xd .

 



    





Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

   

 

 

2

2 1 1 1

2
2

0 0 0

1 1 1

sin d d . sin . .

2 f x x x f x x x dx 2 2

 

 _ _ _

       

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Câu

86.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

0; ,

thỏa

mãn

_{ }

0

' sin d 1
f x x x


 



và

2

_{ }

0

2

d .

f x x







Tích

phân

_{ }

0
d
xf x x




bằng

A

.

6.




B

.

4.





C

.

2.



D

.

4
.


Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_f2

_{ }

_x

_và

_{f x}_'

 

_sin_x

_,

_khơng

_thấy

_liên

_kết.

Do

đó

ta

chuyển

thơng

tin

của

f x'

_{ }

sinx

về

f x

 

bằng

cách

tích

phân

từng

phần

của

 

0

' sin d 1,
f x x x


 



ta

được

_{ }

0

cos d 1.
f x x x






Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_f2

 

_x

_và

_{f x}

 

_cos_x

_nên

_ta

_sẽ

_liên

_kết

_với

_bình

_phương

_{f x}

 

___cos_x2_.

 

Ta

tìm

được

_{ }

_{ }

0 0

2 2 2 cos 4

cos d x xd .

f x x xf x x x

 



   

    







 

Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

 

2

2 2 2

0 0 0

2

1 cos d d cos d . 1.

2

f x x x f x x x x

   _





_



_

_

 

Câu

87.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

_{ }

1

_{ }

2 2

0

1 0, ' d
8
f 



_f x _ x

và

 

1

0

1

cos d .

2 2

x

f x x


 

 _ _

 
 



Tích

phân

_{ }

1

0
d
f x x



bằng

A

.

1.



B

.

2
.



C

.

2.



_D

_.

__.

Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }

2
'
f x

 

 

và

cos 2

 

x

f x

 
 
 

 

,

khơng

thấy

liên

kết.

Do

đó

ta

chuyển

thơng

tin

của

cos

_{ }

2

x
f x

 
 
 

 

về

f x'

 

bằng

cách

tích

phân

từng

phần

của

 

1

0

1

cos d

2 2

x

f x x


 

 _ _

 
 



cùng

với

kết

hợp

f

_{ }

1 _0,

ta

được

1

_{ }

0

sin ' d .

2 4

x

f x x

 

 

 _ _{ }

 
 



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_f x'

_{ }

_2

và

sin '

 

2

x
f x

 
 
 

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

 

2

' sin .

2
x

f x  

 _{ }_ 

  _{ }_ 

  

 

Ta

tìm

được

_{ }

_{ }

 1 0

' sin cos 0.

2 2 2 2

f

x x

f x f x C C

   

_{ }_ _{ }  _ ___ _  _ __{  }

 _  _

 

   

Vậy

_{ }

_{ }

1

0

2

cos d .

2
x

f x  f x x


 



 _{ }_{ }





Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

2

2 1 1 1 2

2

2

0 0 0

1

sin ' d sin d . ' d . .

4 2 2 2 8

x x

f x x x f x x

     

 _   _   _

           

         

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Câu

88.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

0;1 ,

thỏa

mãn

_{   }

1

0

' sin d
f x x x



và

_{ }

1
2

0

d 2.
f x x



Tích

phân

1

0
d
2
x
f  _{ }_{ } x



bằng

A

.

6.




B

.

4.





C

.

4.



D

.

6
.


Lời

giải

Chuyển

thông

tin

của

f x'

_{   }

sin _x

về

f x

_{ }

bằng

cách

tích

phân

từng

phần

của

1

_{   }

0

' sin d ,

f x x x



ta

được

_{   }

1

0

cos d 1.

f x x x 



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_f2

_{ }

_x

_và

_{cos x f x}

   

_

_nên

_ta

_sẽ

_liên

_kết

_với

_bình

_phương

 

 

2

cos .

f x  x

  

 

Ta

tìm

được

_{ }

_{ }

1 1

0 0

4

2 2 cos d 2 cos d .

2 2

x x

f x x f x  x

 



 _  _

 

    



_{ }_ _  



__{ }_  

Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

 

   

 

 

2

1 1 1

2

2 2

0 0 0

1

1 cos d cos d d .2.

2
f x x x x x f x x

 

   

 _ _  _ _ 

 











Câu

89.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

0; ,
2

 
 
 

 

thỏa

 

2
2

0

0, d 3

2

f f x x



 _

 

  

 

 



và





0

sin d 6 .

2
x

x x f x




 

 _{ }_{ } 



Tích

phân

2

_{ }

3

0

d
f x x


  

 



bằng

A

.

2.




B

.

0.

C

.

3 .

D

.

9 .

Lời

giải

Tích

phân

từng

phần

của

_

_

0

sin d 6 ,

2
x

x x f x




 

 _{ }_{ } 



kết

hợp

với

0

2
f   _{ }_

 

ta

được

ta

được

2 2

_{ }

0

3

sin d .

4
xf x x







Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_f2

_{ }

_x

_và

_{sin xf x}2

 

_nên

_ta

_sẽ

_liên

_kết

_với

_bình

_phương

 

₂ 2

sin .

f x  x

 _ 

 

 

Ta

tìm

được

_{  }₄ __{f x}

_{ }

__{4 sin}2_x_ _{f x}_'

_{ }

__{4 sin 2}_x_ _f _''

_{ }

_x __{8cos 2 .}_x

Vậy

2

_{ }

3 2

_

_

3

0 0

d 8cos 2 d 0.

f x x x x

 

    

 





Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

2

2 2 2 2

2 4 2

0 0 0

3 3

sin d sin d d .3 .

4 xf x x x x f x x 16

  

   _{ }

   

 _ __ _ _ _

   

  _ __











Câu

90.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

đoạn

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

1 0

và

 



  

1 1 2

2

0 0

1

' d 1 d .

4

x e

f x x x e f x x 

  _ _ _

 





Tính

tích

phân

1

_{ }

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

A

.

1.
2
e

I 

B

.

2.

4
e

I

C

.

I e 2.

D

.

.

2
e
I

Lời

giải

Tích

phân

từng

phần

của

_

_{  }

1

0

1 x d ,
x e f x x



kết

hợp

với

f

_{ }

1 _0

ta

được

 

1 2

0

1

' d .

4

x e

xe f x x  



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_{ }

2
'
f x

 

 

và

xe f xx '

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

f x

 

xex2.

Ta

tìm

được

_{ }

_{ }

_

_

 1 0

1 _{f x}' _xex _{f x} _{xe x}xd 1 _{x e}x _C f _C 0.

_{ }_ _{ } __ _{ } _{ } _{  }



Vậy

_{  }

_

1

_{ }

1

_

_

0 0

1 x d 1 xd 2.

f x  x e 



f x x



x e x e

Đáp

án

C

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

2

2 1 1 1

2 2 2

2
2 2

0 0 0

1 1 1

' d d . ' d . .

4 4 4

x x

e  _{xe f x x} _{x e} _x _{f x} _x e e

 _ _ _ _ _ _

       

     

  

  

  









Câu

91.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

0 0, 1f

_{ }

1

và

 

2
1

0

' 1

d .

1
x

f x
x

e
e

 

  _





Tích

phân

_{ }

1

0
d
f x x



bằng

A

.

2.
1

e
e





B

.

1
.
2
e
e





D

.







1
.
1 2

e e

C

.

1.

Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

 

2
'

x
f x

e

 

 

_nên

_ta

_cần

_tìm

_một

_thơng

_tin

_liên

_quan

_{f x}_'

_{ }

_.

Từ

giả

thiết

f

_{ }

0 0, 1f

_{ }

1

ta

nghĩ

đến

1

_{ }

_{ }

1

_{   }

0
0

' d 1 0 1.

f x xf x  f f 



Do

đó

ta

có

hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

 

2
'

x
f x

e

 

 

_và

_{f x}_'

_{ }

_nên

_sẽ

_liên

_kết

_với

_bình

_phương

'

 

x 2_.
x

f x
e

e 

 

 _ 

 

 

 

Với

mỗi

số

thực



ta

có

 

2

 

2

_{ }

1 1 1 1

2

0 0 0 0

'

'

d d 2 ' d d

x x

x
x

f x
f x

e x x f x x e x

e

e   

 

  _ _

 _  _ _ _

 

 

 

















2

2

1 1

2 1 1 1 .

1 e 1 e

e   e   

     _   _

 

Ta

cần

tìm



sao

cho

 

2
1

0
'

d 0

x
x

f x

e x

e 

 

 _  _

 

 

 



hay

1

_

_

2 1

1 1 0 .

1 e 1

e         e

Với

1

1
e
  



thì

 

 

 

2
1

0

' 1 ' 1

d 0 , 0;1 .

1 1

x x

x x

f x f x

e x e x

e e

e e

 

 _  _{ } _ _{ }

 _  _

 

 



Suy

ra

_{ }

_{ }

 0 0, 1 1  1

' d .

1 1 1 1

x x x

f f

e e e

f x f x x C C

e e e e

 

       





  

Vậy

_{ }

_{ }

1

0

1 2

d .

1 1

x

e e

f x f x x

e e

 

  







Đáp

án

A

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

 





2 2 2

1 1 1 1

2

0 0 0 0

'

' 1

1 ' d . d d d . 1 1.

1

x x

x
x

f x
f x

f x x e x x e x e

e
e

e

    _ _

   

_ _ _ _    



   

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Câu

92.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

0 0, 1f

_{ }

1

và

 





1

2
2

0

1

1 ' d .

ln 1 2
x f x  x

 _ _ 





Tích

phân

 

1

2
0

d
1

f x
x
x




bằng

A

.

1_{ln 1}2



_{2 .}



2 

B

.





2
2 1

ln 1 2 .

2 

C

.





1

ln 1 2 .

2 

D

.



2 1 ln 1

 

 2 .



Lời

giải

Tương

tự

bài

trước,

ta

có

_{ }

_{ }

_{   }

1 ₁

0
0

' d 1 0 1.

f x x f x  f f 



Do

đó

ta

có

hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

₂

_{ }

2

1_{ }x f x' _

và

f x'

 

nên

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

 

2
2

4

2
4

1 ' .

1
x f x

x


 

 _ _ 

 _ 

 

 

Ta

tìm

được





 





2

1 1 1

' .

ln 1 2 f x ln 1 2 1 x

    

  

 

_

_

_

_



2



2

1 1 1

. d ln 1 .

ln 1 2 1 ln 1 2

f x x x x C

x

     





 

Mà

_{ }

_{ }

_{ }









2

ln 1

0 0, 1 1 0 .

ln 1 2

x x

f  f    C f x   


Vậy

 















 



2

1 1 1

2 2

2 2

0 0 0

ln 1

1 1

d d ln 1 d ln 1

ln 1 2 ln 1 2

1 1

x x

f x

x x x x x x

x x

  _ _

    _   _

 

 



















2 2 ₁

0

ln 1

1 1

. ln 1 2 .

2 2

ln 1 2

x x

  



Đáp

án

C

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

 

2

1 1 1 1

2

2 4 2 2

2 2

4

0 0 0 0

1 d

1 ' d 1 ' . d 1 ' d .

1 1

x

f x x x f x x x f x x

x x

 _

 _ _ _



__ __     _ _



















1

 

.ln 1 2



1.
ln 1 2

  



Câu

93.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_

_1;1 ,

_

thỏa

mãn

f

_{ }

_{ }1 0,

 

1

2

1

' d 112

f x x


  _

 



và

 

1
2

1

16

d .

3
x f x x






Tính

tích

phân

_{ }

1

1

d .
I f x x






A

.

84.

5

I

B

.

35.

2

I

C

.

35.

4

I

D

.

168.

5
I

Lời

giải

Như

các

bài

trước,

ta

chuyển

1 2

_{ }

1

16
d

3
x f x x






về

thông

tin

của

f x'

_{ }

bằng

cách

tích

phân

từng

phần.

Đặt

 

₃

 

2

d ' d

.

d d

3
u f x x
u f x

x

v x x v

 


  _

 _

 

 _  _

 

 _

Khi

đó

1 2

_{ }

3

_{ }

1 1 3

_{ }

_{ }

_{ }

1 3

_{ }

1

1 1 1

1 1 1 1

d ' d 1 1 ' d .

3 3 3 3 3

x

x f x x f x x f x x f f x f x x



  

     







Tới

đây

ta

bị

vướng

f

_{ }

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

 

₃

 

2

d ' d

d d

3
u f x x
u f x

x

v x x v k

 


  _

 _

 

 _  _ _

 

 _

với

k

là

hằng

số.

Khi

đó

1 2

_{ }

3

_{ }

1 1 3

_{ }

1

1 1

d ' d

3 3

x x

x f x x k f x k f x x



 

 _  _

 _  _

__  __  __  __

   





 

 

 

 

1 3

1
0 do 1 0

1 1

1 1 ' d .

3 3 3

f

x

k f k f k f x x


  

 

 _  _ _ _

  

     _{}  



  

Ta

chọn

k

sao

cho

1 0 1.
3    k k 3

Khi

đó

1 2

_{ }

1



3



_{ }

1



3



_{ }

1 1 1

16 1

d 1 ' d 1 ' d 16.

3 



_ x f x x 3_



x  f x x_



x  f x x 

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }

2



₃



_{ }

' , 1 '

f x x f x

  _

 

nên

ta

liên

kết

với

 





2
3

' 1

f x _ x

 _ _ 

 

 

.

Ta

tìm

được

₇ _'

_{ }

₇



3 ₁



_{ }

₇



3 _{1 d}



7 4 ₇
4

f x x f x x x x x C

        

_

    

 1 0 35

_{ }

7 4 ₇ 35_.

4 4 4

f

C f x x x

 

      

Vậy

1

_{ }

1

84

d .

5
I f x x









Cách

2.

Theo

Holder









 





 

2

1 1 1

2 2

2 3 3

1 1 1

16

16 1 ' d 1 d . ' d .112 256.

7

x f x x x x f x x

  

 _

 _ _ _



 __  __   _ _  











Câu

94.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

1 0, 1

 

2
0

3
' d 2 ln 2

2
f x x

  _{ }

 



và

 





1

2

0

3
d 2 ln 2 .

2
1

f x
x

x  



Tích

phân

_{ }

1

0
d
f x x



bằng

A

.

1 ln 2.
2



_B

_.

1 2 ln 2

.
2



_C

_.

3 2 ln 2

.
2



_D

_.

3 4 ln 2

.
2


Lời

giải

Như

các

bài

trước,

ta

chuyển

 





1

2
0

3
d 2 ln 2

2
1

f x
x

x  



về

thông

tin

của

f x'

_{ }

bằng

cách

tích

phân

từng

phần.

Đặt

 





 

2

d ' d

.

1 ₁

d d

1 1

u f x u f x x

v x _v

x x

  _{ }

 _

 _

 _

 _ 

 _{  }

 

  _ 



Khi

đó

 





 

 

 

 

 

1 ₁ 1 1

2

0

0 0 0

' 1 0 '

d d d .

1 1 2 1 1

1

f x f x f x f f f x

x x x

x x x

x          







Tới

đây

ta

bị

vướng

f

_{ }

0

vì

giả

thiết

khơng

cho.

Do

đó

ta

điều

chỉnh

lại

như

sau

 





 

2

d ' d

1 ₁

d d

1 1

u f x u f x x

v x _v _k

x x

  _{ }

 _

 _

 _

 _ 

 _{  } _

 

  _ 



với

k

là

hằng

số.

Khi

đó

 





 

 

1 ₁ 1

2

0

0 0

1 1

d ' d

1 1

1
f x

x k f x k f x x

x x

x

 _  _

 

 __ _  __  __ _  __ 






 



  

1

 

1 0

0
1

1 0 ' d .

1
f

k f k f x x

x

 _ _



     



_ _  __

Ta

chọn

k

sao

cho

    1 k 0 k 1.

Khi

đó

 





 

 

1 1 1

2

0 0 0

3 3

2 ln 2 d ' d ' d 2 ln 2.

2 1 1 1 2

f x x x

x f x x f x x

x x

x

      

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }

2

_{ }

' , '
1
x

f x f x

x
 

  _

nên

ta

liên

kết

với

 

2

' .

1
x
f x

x


 

  

  

 

Ta

tìm

được

1 '

_{ }

_{ }

d ln 1

1 1

x x

f x f x x x x C

x x

          







 1 0

_{ }

_

_

ln 2 1 ln 1 ln 2 1.
f

C f x x x



        

Vậy

1

_{ }

0

1 2 ln 2

d .

2
f x x 



Đáp

án

B

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

2

2 1 1 2 1

2

0 0 0

3 3 3

2 ln 2 ' d d ' d 2 ln 2 2 ln 2 .

2 1 1 2 2

x x

f x x x f x x

x x

 

 _ _ _  _  _ _

             

 _ _ _  _ _ _  _ _

   

  __



 __



  



  

Câu

95.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

1;2 ,

đồng

biến

trên

 

1;2 ,

thỏa

mãn

f

 

1 0

,

 

2

2

1

d 2

f x x
   

 



và

_{   }

2

1

. ' d 1.
f x f x x



Tích

phân

_{ }

2

1
d
f x x



bằng

A

.

2.

2

B

.

2.

C

.

2.

D

.

2 2.

Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{ }

2

_{   }

, .
f x f x f x

   

 

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

f x

 

f x

 

2.

Nhưng

khi

khai

triển

thì

vướng

2

_{ }

2
1

d
f x x
 
 



nên

hướng

này

khơng

khả

thi.

Ta

có

_{   }

 

 

 

 

_{ }

2 2 2 2 2 2

1
1

2 1 2 0

1 . ' d 2 2

2 2 2

f x f f f

f x f x x   f



_

    

(do

đồng

biến

trên

_{ }

1;2

nên

 

2

 

1 0
f _ f _

)

Từ

f

_{ }

1 0

và

f

_{ }

2  2

ta

nghĩ

đến

_{ }

_{ }

_{   }

2 ₂

1
1

' d 2 1 2 0 2.

f x x f x  f f   



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_f x

_{ }

_2, f x

_{ }

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

_f x

_{ }

_2.

Ta

tìm

được

_{ }

_{ }

 1 0

2 ' 2 2 f 2.

f x f x x C C

_{ } __ _ __ _ _{   }

Vậy

_{ }

_{ }

2

1

2

2 2 d .

2
f x  x 

_

f x x

Đáp

án

A

Câu

96.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

1 _0

,

1 2

_{ }

0

d 1
f x x



và

 

 

1

2 ₂

0

3

d .

4
f x f x x

   

 



Giá

trị

của

_f2

 

₂

_bằng

A

.

3.

2



B

.

3.

2

C

.





3 1 2
.
2


D

.

3 1



2



.
2




Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_{f x}

_{ }

2 _f2

_{ }

_x

 

và

f2

 

x

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

   

 

2

.
f x f x f x

   

 

Nhưng

khi

khai

triển

thì

vướng

   

1
2

0

' d
f x f x x



nên

hướng

này

khơng

khả

thi.

Tích

phân

từng

phần

_{ }

1
2

0

d 1
f x x



kết

hợp

với

f

 

1 0,

ta

được

_{   }

1

0

1

' d .

2
xf x f x x 



Hàm

dưới

dấu

tích

phân

bây

giờ

là

_{ }

2 ₂

_{ }

f x f x
  

 

và

xf x f x

   

'

nên

ta

sẽ

liên

kết

với

bình

phương

   

2

' .

f x f x x

  

 

Ta

tìm

được

3

_{   }

_' 3

_{   }

_' _d 3 _d 2

 

3 2

2 2 2 2 4

f x

f x f x x f x f x x x x x C

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

 1 0 3 2

_{ }

3



₁ 2



2

 

₂ 3_.

4 2 2

f

C f x x f



       

Đáp

án

A

Câu

97.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;2 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

2 _1

,

2 2

_{ }

0

8
d

15
x f x x



và

 

2

4

0

32

' d .

5
f x x

  

 



Giá

trị

của

tích

phân

_{ }

2

0
d
f x x



bằng

A

.

3.
2



B

.

2.

3



C

.

7.

3



D

.

7.

3

Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

_{ }

4
'
f x
 

 

và

x f x2

 

.

Lời

khun

là

đừng

có

cố

liên

kết

với

bình

phương

nào,

vì

có

tìm

cũng

khơng

ra.

Tích

phân

từng

phần

_{ }

2
2

0

8
d

15
x f x x



kết

hợp

với

f

_{ }

2 _1

,

ta

được

_{ }

2
3

0

32

d .

5
x f x x 



Áp

dụng

Holder

2

lần

ta

được

 

 

 

4 4 2 2

4 2 2 2 2

2

3 2 4 2

0 0 0 0

32 _d _. _d _d _' _d

5 x f x x x xf x x x x x f x x

       

 _ _ _ _ _ _ _ _ _

             

           

  _



_ _



_ _



_{ }



_

 

 

2

2 2 2

4

4 4

0 0 0

3 ₄

2 2

4
4

0 0

d d . ' d

1048576 32

d ' d .

625 5

x x x x f x x

x x f x x

  _ _

 _  _ _ _

 

__ __ __ _ _ __

   

 _ _{ }

 _ _ _ _ _



__ __     _{ }











Dấu

'' ''

xảy

ra,

tức

là

_{xf x}_'

 

__kx2__{f x}_'

 

__kx

_thay

_vào

_{ }

2

4

0

32

' d

5
f x x

  

 



tìm

được

k1

 

 

2  2 1

' d 1.

2
f
x

f x x f x x x C  C

   



    

Vậy

_{ }

_{ }

2
2

0

2

1 d .

2 3

x

f x   



f x x 

Đáp

án

B

Cách

2.

Áp

dụng

bất

đẳng

thức

AM

-

GM

ta

có

 

4 ₄ ₄ ₄ ₃

 

' 4 ' .

f x x x x x f x

 _{    }

 

Do

vậy

_{ }

_{ }

2 2 2

4 ₄ ₃

0 0 0

' d 3 d 4 d .

f x x x x x f x x

    

 







Mà

giá

trị

của

hai

vế

bằng

nhau,

có

nghĩa

là

dấu

'' ''_

xảy

ra

nên

f x'

_{ }

_x.

(Làm

tiếp

như

trên)

.

Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM

Câu

98.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

dương

và

có

đạo

hàm

f x'

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

f

_{ }

1 ef

_{ }

0

và

 

 

1 1

2
2

0 0

d

' d 2.
x

f x x
f x    





Mệnh

đề

nào

sau

đây

đúng

?

A

.

_{ }

1 2 .
1
e
f

e




B

.

 





2 2

1 .

1
e
f

e


 _

C

.

_{ }

1 2₂ 2 .
1
e
f

e




D

.

 





2 2

1 .

1
e
f

e


 _

Lời

giải

Ta

có

 

 

 

 

 

 

1 1 1 _{AM GM} 1

2 2

2 2

0 0 0 0

'

d 1

' d ' d 2 f x d

x

f x x f x x x

f x

f x f x



 

 

   

 _ _  _ _ _ _ 

 

 









 

1

 

 

_{ }

 

0

1

2 ln 2 ln 1 2 ln 0 2 ln 2 ln 2.
0

f

f x f f e

f

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Mà

 

 

1 1

2
2

0 0

d

' d 2

x

f x x
f x    





nên

dấu

'' ''

xảy

ra,

tức

là

_{ }

 

   

1

' ' 1

f x f x f x

f x

  

   

' d d 2

 

 

2 2 .

2
f x

f x f x x x x x C f x x C









     

Theo

giả

thiết

f

_{ }

1 ef

_{ }

0

nên

ta

có

2

2

1

2 2 2 2 2 2

1

C e C C e C C

e

      



 

2

 

2 2 2

2 2 2

2 1 2 .

1 1 1

e

f x x f

e e e

      

  

Đáp

án

C

Câu

99.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

dương

trên

_{ }

0;1 ,

có

đạo

hàm

dương

và

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

 

0 1

f 

và

_{ }

_{ }

_{   }

1 1

3

3 2

0 0

4 ' d 3 ' d .

f x f x x f x f x x

 _ _ _  _

   

 





Tính

_{ }

1

0

d .
I



f x x

A

.

I2



e1 .



B

.

_I_₂



_e2__{1 .}



_C

_.

1_.

2
e

I_ 

D

.

2 1.

2
e
I 

Lời

giải

Áp

dụng

bất

đẳng

thức

AM GM_

cho

ba

số

dương

ta

có

 

 

3

 

3 3

 

3

 

 

3 3

   

3

   

3 ₄ _' ₄ _' _{3 4}3 _' _. _. _{3 '} 2 _.

2 2 2 2

f x f x f x f x

f x _ _f x _ _ _f x _ _ _ _ _f x _ _ f x f x

Suy

ra

1 ₃

_{ }

_{ }

3 1

_{   }

₂

0 0

4 ' d 3 ' d .

f x f x x f x f x x

 _ _ _  _

 _ _ 

 





Mà

_{ }

_{ }

_{   }

1 1

3

3 2

0 0

4 ' d 3 ' d

f x f x x f x f x x

 _ _ _  _

   

 





nên

dấu

'' ''

xảy

ra,

tức

là

 

3 3

 

3

 

 

1

 

4 ' '

2 2 2

f x f x

f x f x f x

     

 

 

 

 

 

 

 

1
2

' 1 ' 1 1

d d ln .

2 2 2

x C

f x f x

x x f x x C f x e

f x f x



  

_



_

    

Theo

giả

thiết

_{ }

_{ }

12 1

_{ }





0

0 1 0 x d 2 1 .

f    C f x e 



f x x e

Đáp

án

A

Câu

100.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

dương

trên

_{ }

0;1 ,

có

đạo

hàm

dương

liên

và

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

 

 

1

0
'

d 1
xf x

x
f x 



và

f

_{ }

0 _1, _f

 

₁ __e2_.

_Tính

_giá

_trị

_của

1 _.
2
f   _{ }_{ }

A

.

1 1.

2
f   _{ }_

 

B

.

f     12 4.

C

.

1

.
2
f   _{ }_ e

 

D

.

f    12 e.

Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

 

 

 

 

 

' '

. , 0;1 .

xf x f x

x x

f x  f x  

Điều

này

làm

ta

liên

tưởng

đến

đạo

hàm

đúng

 

 

'
f x

f x

,

muốn

vậy

ta

phải

đánh

giá

theo

AM GM

như

sau:

 

 

 

 

' '

2 .

f x xf x

mx m

f x   f x

với

m0

và

x

 

0;1 .

Do

đó

ta

cần

tìm

tham

số

m_0

sao

cho

 

 

 

 

1 1

0 0

' '

d 2 . d

f x xf x

mx x m x

f x f x

 

 _  _

 

 

 





hay

 

1 2 1

 

 

0 0

ln 2 .1 ln 1 ln 0 2 2 0 2 .

2 2 2

x m m

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Để

dấu

'' ''

xảy

ra

thì

ta

cần

có

2 0 2 4.
2

m

m m

    

Với

m4

thì

đẳng

thức

xảy

ra

nên

 

 

'
4
f x

x
f x 

 

 

 

 

2

2 2

'

d 4 d ln 2 x C.

f x

x x x f x x C f x e

f x











    

Theo

giả

thiết

 

 

 

2

2
2

0 1 ₁

0 .

2
1

x
f

C f x e f e

f e

   

 _{  }_ _ __  __

 _{ }_

   



Đáp

án

C

Cách

2.

Theo

Holder

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

1 1 1 1

2

0 0 0 0

' ' ' 1 1

1 d . d d . d .ln 1.

2 0

xf x f x f x f

x x x x x x

f x f x f x f

 _  _

 _  _

 

__ ___ __ ___   





 





 

Vậy

đẳng

thức

xảy

ra

nên

ta

có

 

 

'

,
f x

kx

f x 

thay

vào

 

 

1

0
'

d 1
xf x

x
f x 



ta

được

k4.

Suy

ra

 

 

'

4 .
f x

x

f x 

(làm

tiếp

như

trên)

Câu

101.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

1

_{   }

2
0

' d 1

f x f x x

  _

 



và

f

_{ }

0 _1, f

 

1  3.

Tính

giá

trị

của

1 .
2
f  _{ }

 

A

.

1 2.

2

f   _{ }_{ }_

B

.

1 3.

2

f   _{ }_{ }_

C

.

1 .
2

f   _{ }_{ }_ e

D

.

1 .
2
f  _{ }_{ }_ e

Lời

giải

Nhận

thấy

bài

này

ngược

dấu

bất

đẳng

thức

với

bài

trên.

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_f x f x

_{   }

' _2.

Điều

này

làm

ta

liên

tưởng

đến

đạo

hàm

đúng

f x f x

   

'

,

muốn

vậy

ta

phải

đánh

giá

theo

AM GM

như

sau:

   

2

   

' 2 . '

f x f x m m f x f x

 _{  }

 

với

m0.

Do

đó

ta

cần

tìm

tham

số

m0

sao

cho

   





   

1 1

2

0 0

' d 2 ' d .

f x f x m x m f x f x x

 _{ } _

 





hay

 

2 1

0

1 2 . 1 2 .

2
f x

m m m m

    

Để

dấu

'' ''_

xảy

ra

thì

ta

cần

có

1 m 2 m m 1.

Với

m1

thì

đẳng

thức

xảy

ra

nên

_{   }

   

   

2 ' 1

' 1 .

' 1

f x f x
f x f x

f x f x

 _



 _{   }

  _ _{ }



   

   

 

1 1 2 ₁ ₁

0 0

0 0

' 1 ' d d 1 1.

2
f x

f x f x   



f x f x x 



x  x   

(vô

lý)



   

   

 

 

2

' 1 ' d d 2 2 .

2
f x

f x f x  

_

f x f x x

_

x   x C f x  x C

Theo

giả

thiết

 

 

 

0 1 ₁ ₁

2 1 2.

2 2

1 3
f

C f x x f

f

   

 _{  }_ _ _{ }_  __

 _{ }_

   



Đáp

án

A

Cách

2.

Ta

có

_{   }

 

_{ }

_{ }

1 2 ₁

2 2

0
0

1

' d 1 0 1.

2 2

f x

f x f x x  __f f __



</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

   

   

2

1 1 1

2

2 2

0 0 0

1 __ 1.f x f x x' d __  1 d .x _f x f x' _ dx1.1 1.











Vậy

đẳng

thức

xảy

ra

nên

ta

có

f x f x'

_{   }

_k,

thay

vào

1

_{   }

0

' d 1

f x f x x



ta

được

k1.

Suy

ra

   

' 1.

f x f x 

(làm

tiếp

như

trên)

Câu

102.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

dương

và

có

đạo

hàm

f x'

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

1;2 ,

thỏa

mãn

 

 

2
2

1
'

d 24
f x

x
xf x

 

  _



và

f

_{ }

1 _1, f

 

2 _16.

Tính

giá

trị

của

f

 

2 .

A

.

f

 

2 1.

B

.

f

 

2  2.

C

.

f

 

2 2.

D

.

f

 

2 4.

Lời

giải

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

 

 

 

 

2 2

' ₁ '

. .

f x f x

xf x x f x

   

  _  

_Điều

_này

_làm

_ta

_liên

_tưởng

_đến

_đạo

_hàm

_đúng

 

 

'
f x

f x

,

muốn

vậy

ta

phải

đánh

giá

theo

AM GM

như

sau:

 

 

 

 

2

' '

2

f x f x

mx m

xf x _{f x}

 

 _{  }

_với

_m_₀

_và

x_

_{ }

1;2 .

Do

đó

ta

cần

tìm

tham

số

m0

sao

cho

 

 

 

 

2

2 2

1 1

' '

d 2 d

f x f x

mx x m x

xf x f x

_ _ _

_ _ _

 _ _ _

 _

 

 

 





hay

 

2

 

 

1

2 2 2

24 4 24 4 2 1 24 12 16.

3 3 3

m m m

m f x m f f  m m

     __  __    

Để

dấu

'' ''

xảy

ra

thì

ta

cần

có

24 2 12 16.
3

m

m m

   

Với

m16

thì

đẳng

thức

xảy

ra

nên

 

 

 

_{ }

2

' '

16 2

2

f x f x

x x

xf x f x

 

 _{ } _ _

 

 

 

 





2

2 2

'

d 2 d .

2
f x

x x x f x x C f x x C

f x









     

Theo

giả

thiết

 

 

 

4

 

1 1

0 2 4.

2 16
f

C f x x f

f
 

 _{  }_ _ __ _

 _


Đáp

án

D

Cách

2.

Ta

có

 

 

 

 

 

 

 

2 2 ₂

1

1 1

' '

d 2. d 2 2 2 1 6.

2

f x f x

x x f x f f

f x  f x     





Theo

Holder

 

 

 

 

 

 

2 2 ₂

2 1 2 2 _{2 2}

2

1

1 1 1 1

'

' '

6 d . d d . d .24 36.

2
f x

f x f x x

x x x x x x

xf x

f x xf x

 _  _ _ _

 _  _ _ _

 _  _

_ __ _ __   

   

 





 





 

Vậy

đẳng

thức

xảy

ra

nên

ta

có

 

 

 

 

' '

,

f x f x

k x kx

xf x   f x 

thay

vào

 

 

2

1
'

d 6

f x
x
f x 



ta

được

k4.

Suy

ra

 

 

'

4 .
f x

x

f x 

(làm

tiếp

như

trên)

Vấn đề 13. Tìm GTLN-GTNN của tích phân

Câu

103.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

,

có

đạo

hàm

cấp

hai

thỏa

mãn

_{x f}. 

_{ }

_x _{ }_ex _x

_và

_f 

 

₂ __{2 ,}_e

 

₀ 2_.

f _e

Mệnh

đề

nào

sau

đây

là

đúng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Lời

giải

Từ

giả

thiết

_{x f}. _

_{ }

_x _{ }_ex _x

_ta

_có

2

_{ }

2





0 . d 0 d .

x
x f x x e x x





 

1

Đặt

 

 

d d

.
d

u x u x

v f x v f x

   

 

 _

 

     

 

 

Khi

đó

_{ }

_{ }

_{ }

2
2

2 2

0

0 ₀

1 . d

2
x x
x f x f x x e 

  __  __





 

 

 

 

   

2

2 2 2

0 0 0

2
.

2

2. 2 0. 0 2 0 2 1

x x

x f x f x e

f f f f e

 _



 

  __  __


     

_  _{ }  _  

 

2 4 1

f e

  

(do

f 

_{ }

2 2 ,e _f

 

₀ __e2

₎

_.

_Chọn

_A

Câu

104.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

dương

và

liên

tục

trên

_{ }

1;3 ,

thỏa

 1;3

 

maxf x 2, _{ }1;3

 

1
min

2

f x 

và

biểu

thức

 

_{ }

3 3

1 1

1

d . d

S f x x x

f x







đạt

giá

trị

lớn

nhất,

khi

đó

hãy

tính

3

_{ }

1

d .
I



f x x

A

.

3.

5

B

.

7
.

5

C

.

7
.

2

D

.

5
.
2

Lời

giải

Từ

giả

thiết

ta

có

1

_{ }

2

2f x 

,

suy

ra

 

 

1 5
.
2
f x

f x

 

Suy

ra

_{ }

 

 

 

 

 

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

1 5 1 1

d d d d 5 d 5 d .

2

f x x x f x x x x f x x

f x f x f x

 

 _  _ _ _ _{ } _{ }

 

 

 













Khi

đó

_{ }

 

 

 

3 3 3 3

1 1 1 1

1 25

d . d d . 5 d .

4

S f x x x f x x f x x

f x

 _

 _



  __  ___

 









(dạng

_

_

2

2 5 25 25

5 5

2 4 4

t       t t t _t __  

)

Dấu

" "

xảy

ra

khi

và

chỉ

khi

3

_{ }

1

5

d .

2
f x x



Đáp

án

D

Câu

105.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

,

thỏa

mãn

f x

 

f x

 

1

với

mọi

x 

và

f

 

0 0.

Giá

trị

lớn

nhất

của

f

_{ }

1

bằng

A

.

e1.

B

.

e 1.
e



_C

_.

_.

1
e

e

D

.

e.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

f x

_{ }

_f x

_{ }

_1

,

nhân

thêm

hai

vế

cho

_ex

_để

_thu

_được

_đạo

_hàm

_đúng

_là

 

 

,

 

, .

x x x x x

e f x e f x e  x   __e f x __e  x 

Suy

ra

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

1 1 ₁ ₁

0 0

0 0

d d 1 1 1. 0 1

x x x

e f x  x e x e f x e ef f e

           

     

   





 0 0

_{ }

1

1 .

f e

f

e

 

 

Đáp

án

B

Câu

106.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

dương

và

có

đạo

hàm

f x

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

 

1 2018

 

0 .

f _ f

Giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

 

 

1 1

2
2

0 0

1

d d

M x f x x

f x   

 _{ } _

 
 





bằng

A

.

ln 2018.

B

.

2 ln 2018.

C

.

m2 .e

D

.

m2018 .e

Lời

giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1 ₁

2
2

0

0 0 0

1
1

d d 2 d 2 ln 2 ln 2 ln 2018.

0

f x f

M x f x x x f x

f x f

f x


  

  _ _    

 
 







Đáp

án

B

Câu

107.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

0;1

và

_

_{  }

1
2

0

1

1 d .

3
x f x x

  



Giá

trị

nhỏ

nhật

của

biểu

thức

1

_{ }

2

_{ }

0

d 0

f x x f

  _

 



bằng

A

.

1.

3

B

.

2
.

3

C

.

1
.
3



D

.

2.

3


Lời

giải

Tích

phân

từng

phần

1

_

_{  }

2

0

1

1 d

3
x f x x

  



,

ta

được

_{ }

1

_

_{  }

0
1

0 2 1 d .

3

f  



x f x x

Áp

dụng

bất

đẳng

thức

Cauchy,

ta

được



  





 

1 1 1

2
2

0 0 0

2



1x f x xd 



1x dx_{ }



f x_ d .x

Từ

đó

suy

ra

_{ }

_

_{  }

_

_

1 1 1

2 2

0 0 0

d 2 1 d 1 d

f x x x f x x x x

     

 







 

 





3

1 ₁

2

0
0

1
1

d 0 .

3 3

x

f x x f 

 



_

_ _   

Vậy

1

_{ }

2

_{ }

0

2

d 0 .

3
f x x f

  _ _

 



Đáp

án

D

Câu

108.

Cho

hàm

số

f x( )

liên

tục

trên

[0; 1]

thỏa

mãn

1

_{ }

0

d 0
xf x x



và

_{ }

[0; 1]

max f x 1.

Tích

phân

1

_{ }

0

d
x
e f x x



thuộc

khoảng

nào

trong

các

khoảng

sau

đây?

A

.

; 5 .
4

 _

  

 _

 

B

.

3
; 1 .
2 e

 _

 _{ }

 _

 

C

.

5 3
; .
4 2
 _
 

 _

 

D

.



e 1;



.

Lời

giải

Với

mỗi

số

thực

  

ta

có

 

 

 

1 1 1

0 0 0

d d d

x x

e f x x _ e f x x_ _xf x x







 





 

1 1 1

0 0 0

d . d d .

x x x

f x e _x x f x e _x x e _x x



_

 

_

 

_



Suy

ra

_{ }

   

1 1 1

0;1 0;1

0 0 0

3

d min d min d min 1 .

2 2

x x x

e f x x e x x e x x e e

  



 

  

 

 

 

     _   _ 

 

 









Đáp

án

C

Câu

109.

Cho

hàm

số

f x

 

nhận

giá

trị

không

âm

và

liên

tục

trên

 

0;1 .

Đặt

   

0

1 d .

x

g x  

_

f t t

Biết

g x

 

_ f x

 

với

mọi

x_

 

0;1

,

tích

phân

 

1

0
1

dx
g x



có

giá

trị

lớn

nhất

bằng

A

.

1.

3

B

.

1
.

2

C

.

2
.

2

D

.

1.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

_{ }

_{ }

0

1 d ,

x

g x  



f t t

ta

có

 

 

 

0 1
'
g

g x f x
 


 



và

g x

 

  0, x

 

0;1 .

Theo

giả

thiết

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

 

 

2

 

 

' '

' g x 1 g x 1.

g x f x g x g x

g x g x

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Suy

ra

 

 

 

 

 

 

 

2

0 0

0 0

' 1 1 1 1

d 1d , 0;1 1 .

0

t t _t _t

g x

x x t x t t

g x g t g g t

g x            





Do

đó

 





1 1

0 0

1 1

d 1 d .

2

x x x

g x   





Đáp

án

B

Câu

110.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

không

âm

và

liên

tục

trên

đoạn

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

 

 

 

2

0

1 3 d

x

f x  



f t tg x

với

mọi

x

 

0;1

,

tích

phân

_{ }

1

0

d
g x x



có

giá

trị

lớn

nhất

bằng

A

.

4.

3

B

.

7
.

4

C

.

9
.

5

D

.

5
.
2

Lời

giải

Từ

giả

thiết

_{ }

_{ }

0

1 3 d ,

x

g x  

_

f t t

ta

có

 

 

 

0 1

' 3

g

g x f x
 


 _



và

g x

 

  0, x

 

0;1 .

Theo

giả

thiết

_{ }

_{ }

_{ }

 

 

 

2

2 ' ' 3_.

9 ₂ 2

g x g x

g x f x g x

g x
 

 

    

Suy

ra

 

     0 0      

0 0

' _d 3_{d ,} _0;1 3 ₀ 3 3 _1.

2 2 2 2

2

t _{g x} t t t

x x t g x x g t g t g t t

g x           





Do

đó

_{ }

1 1

0 0

3 7

d 1 d .

2 4

g x x _ x __ x
 





Đáp

án

B

Câu

111.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

nhận

giá

trị

không

âm

và

liên

tục

trên

đoạn

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

_{ }

_{ }

0

2018 2 d

x
f x  

_

f t t

với

mọi

x

 

0;1 .

Biết

giá

trị

lớn

nhất

của

tích

phân

_{ }

1

0
d
f x x



có

dạng

2

ae b

với

a b,  .

Tính

a b .

A

.

0.

B

.

1009.

C

.

2018.

D

.

2020.

Lời

giải

Đặt

_{ }

_{ }

0

2018 2 d ,

x

g x  



f t t

ta

có

 

 

 

0 2018

' 2

g

g x f x
 


 



và

g x

 

  0, x

 

0;1 .

Theo

giả

thiết

_{ }

_{ }

_{ }

 

 

 

' '

2.
2

g x g x
g x f x g x

g x

    

Suy

ra

 

 

 

 

0 0

0 0

'

d 2d , 0;1 ln 2

t t _t _t

g x

x x t g x x

g x     





 

 

 

 

2

ln_{g t} ln_g 0 2_t ln_{g t} 2_t ln 2018 _{g t} 2018._e t

       

Do

đó

_{ }

_{ }

1 1 1 ₁

2 2 2

0

0 0 0

d d 2018 xd 1009 x 1009 1009.

f x x g x x e x e  e 







Đáp

án

A

Câu

112.

Cho

hàm

số

f x

 

nhận

giá

trị

không

âm

và

liên

tục

trên

đoạn

 

0;1 .

Đặt

_{ }

_{ }

2

0

1 d .

x

g x _{ }



f t t

Biết

 

₂

 

2

g x  xf x

với

mọi

x_

_{ }

0;1

,

tích

phân

1

_{ }

0
d
g x x



có

giá

trị

lớn

nhất

bằng

A

.

1.

B

.

e1.

C

.

2.

D

.

e1.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

 

 

2

0

1 d ,

x

g x  



f t t

ta

có

 

 

 

2

0 1
' 2
g

g x xf x
 


 _



và

g x

 

  0, x

 

0;1 .

Theo

giả

thiết

_{ }

 

_{ }

_{ }

 

 

2 '

2 ' g x 1.

g x xf x g x g x

g x

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Suy

ra

 

 

 

 

0 0

0 0

'

d 1d , 0;1 ln

t t _t _t

g x

x x t g x x

g x     





 

 

 

 

ln_{g t} ln_g 0 _t ln_{g t} _t _{g t} _et.

      

Do

đó

1

_{ }

1

0 0

d xd 1.

g x x e x e





Đáp

án

B

Nhận

xét.

Gọi

F t

_{ }

là

một

nguyên

hàm

của

hàm

số

f t

_{ }

trên

đoạn

_0;_x2_.
 
 

Khi

đó

_{ }

_{ }

 

_{ }

_{ }

     

 

2

/ /

2 2 2 / 2 2

0

1 x 1 0 ' 2 .

g x  F t  F x F g x __F x __  x F x  xf x

Câu

113.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

 

0;1 ,

thỏa

f x'

 

f x

 

  0, x

 

0;1 .

Giá

trị

lớn

nhất

của

biểu

thức

_{ }

 

1

0

1

0 . d

f x

f x



bằng

A

.

1.

B

.

e 1.
e



_C

_.

1

.
e

e



_D

_.

_e__1.

Lời

giải

Từ

giả

thiết

f x'

_{ }

f x

_{ }

  0, x

_{ }

0;1

ta

có

 

 

 

'

1, 0;1 .
f x

x
f x   

Suy

ra

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

0 0

'

d 1d , 0;1 ln ln ln 0 0 .

t t _t _t

t
f x

x x t f x x f t f t f t f e

f x          





Do

đó

_{ }

 

1 1

0 0

1 1 1

0 . d _xd e .

f x x

f x e e



 





Đáp

án

B

Câu

114.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0; ,_

thỏa

mãn

_{ }

_{ }

0 0

d cos d 1.

f x x xf x x

 

 





Giá

trị

nhỏ

nhất

của

tích

phân

2

_{ }

0

d
f x x




bằng

A

.

2.



B

.

3
.



C

.

4
.



D

.

3
.

2_

Lời

giải

Theo

Holder

 

 

 

 

2

2 2 2 2

0 0 0 0

1 cos d cos d . d . d .

2

xf x x x x f x x f x x

   _ 

 

 

_ _  

 













Suy

ra

2

_{ }

0

2

d .

f x x







(Đến

đây

bạn

đọc

có

thể

chọn

A)

Dấu

'' ''

xảy

ra

khi

f x

_{ }

_kcosx

thay

vào

_{ }

0

d 1
f x x






ta

được

 

0

0 0

1 f x xd k cos dx x k.sinx 0.

  _



_



_

 

Điều

này

hồn

tồn

vơ

lý.

Lời

giải

đúng.

Ta

có

_{ }

_{ }

 

 

0

0 0

0

cos d

d cos d 1

d
a a xf x x
f x x xf x x

b bf x x


 


 



  _

 










với

, ₂ ₂ .
0
a b
a b

 



  




Theo

Holder







  





 

2

2 2 2

0 0 0

cos d cos d d .

a b a x b f x x a x b x f x x

  

 

 

 _  _  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Lại

có





2



2 2



0

1

cos d 2 .

2

a x b x a b





  



Từ

đó

suy

ra

_{ }









2
2

2 2

0

2
d

2
a b
f x x

a b











với

mọi

a b,  

và

_a2_{ }_b2 _0.

Do

đó

_{ }





2
2

2 2

0

2 3

d .max .

2
a b
f x x

a b



 

 

 _ 

 

 

 _ _ _

 

 

 



Đáp

án

B

Nhận

xét:



Ta

nhân

thêm

a b,

vào

giả

thiết

được

gọi

là

phương

pháp

biến

thiên

hằng

số.



Cách

tìm

giá

trị

lớn

nhất

của





2

2 ₂ 2

a b
P

a b





ta

làm

như

sau:

Nếu

b 0  P 1.

(chính

là

đáp

án

sai

mà

mình

đã

làm

ở

trên)

Nếu





2

2 ₂

2 2 2 2

2 1

2 1

0 .

2 2

2
a
t

b

a a

a b b b t t

b P

a b a t

b


 

   
 



    

    

 _{ }_ _ 


 
 

Tới

đây

ta

khảo

sát

hàm

số

hoặc

dùng

MODE

7

dị

tìm.

Kết

quả

thu

được

GTLN

của

P

bằng

3

2

khi

2 2 2 .

a

t a b

b

    

Vậy

dấu

'' ''_

để

bài

toán

xảy

ra

khi

  



2

2 cos 1
a b

f x b x

 


  



thay

ngược

lại

điều

kiện,

ta

được





 

0

1 2 cos 1

2 cos 1 d 1 x .

b x x b f x



  

     



Lúc

này

2

_{ }

0 0

2 cos 1 3

d x d .

f x x x

 

 

 _{ }


 _ __ 





Cách

khác.

Đưa

về

bình

phương

Hàm

dưới

dấu

tích

phân

là

_f2

_{   }

_{x f x}_, _{, cos}_{xf x}

_{ }

_nên

_ta

_liến

_kết

_với

_{f x}

 

___cos_x__2_.

 

Với

mỗi

số

thực

 ,

ta

có

 

2 2

 



  





2

0 0 0 0

cos d 2 cos d cos d

f x x f x x x f x x x x

   

     

        

 









 





2 2 2

0

d 2 .

2
f x x

 _

   





   

Ta

cần

tìm

_{ },

sao

cho

₂

_

_

2 2
2



    

đạt

giá

trị

nhỏ

nhất.

Ta

có





2 2 2 2 1 2 3 3

2 .

2 2

 

      

   

 _  _

 

    __  __  __  __  

Vậy

với

 2;  1

 

   

thì

ta

có

 

2 2

 

0 0

2 1 3

cos d .

f x x f x x

 

  

 

     

 

 





Suy

ra

_{ }

_{ }

2
2

0 0

2 1 3 3

d cos .

f x x f x x

 

   

 

 

 _   _  

 





Dấu

'' ''

xảy

ra

khi

f x

_{ }

2 cosx 1.
 


Câu

115.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0; ,_

thỏa

mãn

_{ }

_{ }

0 0

sinxf x xd cosxf x xd 1.

 

 





Giá

trị

nhỏ

nhất

của

tích

phân

2

_{ }

0

d
f x x




bằng

A

.

2.



B

.

3
.



C

.

4
.



D

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Lời

giải

Liên

kết

với

bình

phương

_{ }

2

sin cos .

f x  x  x

   

 

Ta

có

_{ }

2

0

sin cos d

f x x x x



 

   

 



 



  





 





2 2

0 0 0

2 2

2

0

d 2 sin cos d sin cos d

d 2 .

2 2

f x x x x f x x x x x

f x x

  



   

 
 

 

 _ _    

 

 _ _    









Phân

tích

2

_

_

2 2 2 2 2 2 4.

2 2 2 2

   

   

  

 _  _

 

    __  __  __  __ 

Đáp

án

C

Câu

116.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0;1 ,

thỏa

mãn

1

_{ }

1

_{ }

0 0

d x d 1.

f x x e f x x





Gọi

m

là

giá

trị

nhỏ

nhất

của

tích

phân

_{ }

1
2

0

d .
f x x
 
 



Mệnh

đề

nào

sau

đây

đúng?

A

.

0 m 1.

B

.

1 m 2.

C

.

2 m 3.

D

.

3 m 4.

Lời

giải

Từ

giả

thiết,

ta

có

 

 

1

0
1

0

d
.
d
x
a ae f x x
b bf x x
 



 







Theo

Holder









 





 

2

1 1 1

2

2 2

0 0 0

d d d .

x x

a b _ ae b f x x_  ae b x f x x

 











Lại

có

















1 1

2 _{2 2} ₂ ₂ ₂ ₂

0 0

1

d 2 d 1 2 1 .

2

x x x

ae b x a e  abe b x e  a  e ab b





Suy

ra

_{ }













2
1

2

2 2 2

0

d
1

1 2 1

2

a b
f x x

e a e ab b




   



với

mọi

a b, _{ }

và

_a2_{ }_b2 _0.

Do

đó

_{ }













2
1

2

2 2 2

0

1 1

d max 1 3,1316.

1 ₁ ₂ ₁ 3 1

2

a b
f x x

e e

e a e ab b

 

 

 

  

 

 

 _ _   _  _ 

 _ _ _ _ 

 

 

 

 



Đáp

án

D

Câu

117.

Cho

hàm

số

f x

_{ }

liên

tục

trên

_{ }

0;1

thỏa

mãn

_{ }

_{ }

1 1

0 0

d d 1.

f x x x f x x





Giá

trị

nhỏ

nhất

của

tích

phân

_{ }

1
2

0

d
f x x



bằng

A

.

2.

3

B

.

1.

C

.

8
.

3

D

.

3.

Lời

giải

Từ

giả

thiết,

ta

có

 

 

1

0
1

0

d
.
d
a a x f x x
b bf x x
 



 






</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>









 





 

2

1 1 1

2

2 2

0 0 0

d d . d .

a b __ a xb f x x__  a xb x f x x











Lại

có





1 ₂ 2

2

0

4

d .

2 3

a ab
a xb x  b



Suy

ra

_{ }





2
1

2

2

2
0

d

4

2 3

a b
f x x

a ab
b



 



với

mọi

a b,  

và

_a2_{ }_b2 _0.

Do

đó

_{ }





2
1

2

2

2
0

d max 3.

4

2 3

a b
f x x

a ab _b

 

 

 

 _ 

 

 

 _ _

 _ _ 

 

 

 

 



Đáp

án

D

Cách

2.

Liên

kết

với

bình

phương

__f x

_{ }

__ x____2.

Ta

có

_{ }

2

0

d

f x x x



 

 _ _ 

 

 



 





 





 





2
2

0 0 0

2

2 ₂

0

d 2 d d

4

d 2 .

2 3

f x x x f x x x x

f x x

  



   



   

 

 _ _    

 

 _ _     









Phân

tích

_

_

_

_

2
2

2
2

4 2 1

2 1 6 3.

2 3 3 18



       _  __  

Câu

118.

Cho

hàm

số

yf x

_{ }

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

_{ }

1;2 ,

thỏa

2 3

_{ }

1

d 31.
x f x x



Giá

trị

nhỏ

nhất

của

tích

phân

_{ }

2
4

1

d
f x x



bằng

A

.

961.

B

.

3875.

C

.

148955.

D

.

923521.

Lời

giải

Ta

có

áp

dụng

hai

lần

liên

tiếp

bất

đẳng

thức

Holder

ta

được

 

 

 

 

2

4 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

4 3 2 4 2 2 4 4

1 1 1 1 1 1

31 



x f x xd  



x xf x x. d   



x xd    



x f x xd  



x xd 



f x xd .

Suy

ra

2 4

_{ }

4

3

2

1 ₄

1

31

d 3875.

d
f x x

x x

 

 _

 _

 _

 _

 

 





Dấu

'' ''

xảy

ra

khi

f x

_{ }

_kx

nên

2 4

_{ }

2
1

d 31 5 5 .

k x x



   k f x  x

Đáp

án

B

Câu

119.

Cho

hàm

số

f x

 

liên

tục

và

có

đạo

hàm

đến

cấp

2

trên

 

0;2

thỏa

f

 

0 2 1f

 

f

 

2 1.

Giá

trị

nhỏ

nhất

của

tích

phân

_{ }

2

2

0

'' d
f x x

 

 



bằng

A

.

2.

3

B

.

3
.

2

C

.

4
.

5

D

.

5
.
4

Lời

giải

Ta

có

_{ }

_{ }

_{ }

2

1 1 1 _Holder 1

2 ₂ 2

0 0 0 0

'' d 3 d . '' d 3 . '' d
f x x x x f x x  x f x x

       

    __ __

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

 



 

   

d '' d

2

3 ' 1 0 1 ;

u x
v f x x

f f f




 

 _   _

 





 



  

2 2 2 _Holder 2

2 2 2

1 1 1 1

'' d 3 2 d . '' d 3 2 . '' d 2

f x x x x f x x  x f x x

       _  

    __ __









 



 

   

2
d '' d

2

3 ' 1 2 1 .

u x
v f x x

f f f

 


 

 _   _

Suy

ra

_{ }

_{ }

_{   }

_{ }

_{   }

2

2 2 2

0

'' d 3 ' 1 0 1 3 ' 1 2 1

f x x f f f f f f

           

     



 

 

 

2

0 2 1 2 ₃

3. .

2 2

f f f

 _ _ 

 

 

Đáp

án

B

Nhận

xét:

Bài giải

trên

sử

dụng

bất

đẳng

thức

ở

bước

cuối

là





2

2 2 _.

2
a b
a  b 

Câu

120.

Cho

hàm

số

f x

 

có

đạo

hàm

trên

 

1;3

và

f

 

1 0,

 1;3

 

max f x  10.

Giá

trị

nhỏ

nhất

của

tích

phân

 

3

2

1

' d

f x x

 

 



bằng

A

.

1.

B

.

5.

C

.

10.

D

.

20.

Lời

giải

Vì

 

 

 

0
1;3

max f x  10 x 1;3

sao

cho

f x

_{ }

0  10

 1 0

_{ }

0 1;3
f

x



 

sao

cho

f x

_{ }

0  10.

Theo

Holder

 

 





 

0 2 0 0 0

2 2

2

0

1 1 1 1

' d 1 d . ' d 1 . ' d .

x x x x

f x x x f x x x f x x

 _

 _ _ _ _ _

    

 _ _ _ _ _

 













Mà

0

_{ }

_{ }

0



_{   }



2 2

2
0

1
1

' d 1 10.

x _x

f x x f x f x f

 _ _ _

   

      

 _ _ _

  

  







Từ

đó

suy

ra

0

_{ }

2
0
1

10
' d

1

x

f x x

x

  

  _



 

0

 

3

2 2

0

1 1

10 10

' d ' d

1 3 1

x

f x x f x x
x

   

 _ _  _ _  

 





.

</div>

<!--links-->