Tải Đề thi Olympic Toán học quốc tế IMO Colombia năm 2013 -

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đề thi Olympic Toán học quốc tế IMO 2013 Colombia</b>
<b>Ngày 1 (23/07/2013)</b>

<b>Bài 1. Chứng minh rằng</b>
với mọi số nguyên dương

k và n, tồn tại các số nguyên dương sao cho

<b>Bài 2. Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó khơng </b>
có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì
điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho khơng có bất kì vùng nào chứa
các điểm có hai màu khác nhau. Hỏi cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực
hiện được cách chia đó ?

<b>Bài 3. Cho tam giác ABC và , , lần lượt</b> là các điểm tiếp xúc của các đường tròn
bàng tiếp với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng, nếu tâm đường tròn ngoại tiếp
của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, thì ABC là tam giác
vuông.

<b>Ngày 2 (24/07/2013)</b>

<b>Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm</b> H, và W là một điểm trên cạnh BC, nằm
giữa B và C. Các điểm M và N theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh B và C.
Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN, và X là một điểm trên đường tròn sao cho
WX là đường kính của . Tương tự, là đường trịn ngoại tiếp của tam giác CWM, và Y là
điểm sao cho WY là đường kính của . Chứng minh rằng ba điểm X, Y và H thẳng hàng.
<b>Bài 5. Cho là tập hợp các số hữu</b>

tỉ dương, và là hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) với mọi ,

(ii) với mọi ,

(iii) Tồn tại số hữu tỉ sao cho f (a) = a.
Chứng minh rằng f(x) = x với mọi .
<b>Bài 6. Cho số nguyên và xét n+1</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Gọi M là số cách đánh số đẹp và N là

</div>

<!--links-->