Tài liệu Đề thi olympic toán học sinh viên toàn quốc 2003 môn giải tích pdf

 thi Olympic Toán sinh viên toàn quc nm 2003
Môn gii tích

Câu 1: Tìm tt c các hàm s f(x) xác đnh và liên tc trên R tho mãn điu kin
Rxxfxf ∈∀−=++ ,2004)2003)()(2002(.

Câu 2: Xác đnh tt c các hàm s f(x) liên tc trên [0,1], kh vi trên (0,1) và tho mãn
các điu kin:



∈∀≥+
==
)1,0(,2004)(2004)('2003
1)1()0(
xxfxf
ff


Câu 3: Cho hàm s f(x) kh vi trên [a,b] (a<b) và tho mãn các điu kin
.0)
2
(),(
2
1
)(),(
2
1
)( ≠
+
−=−=

ba
fabbfbaaf

Chng minh rng luôn tn ti các s c
1,
c
2,
c
3
phân bit thuc (a,b) đ
1)(').(').('
321
=cfcfcf .

Câu 4: Cho dãy s {x
k
}vi
)!1(

!4
3
!3
2
!2
1
+
++++=
k
k
x

k
. Hãy tính gii hn
n
nnn
n
xxxJ
200321

lim
+++=
∞→


Câu 5: Cho hàm s f(x) liên tc trên [0, /2] sao cho f(0)>0 và
∫
<
2/
0
1)(
π
dxxf .
Chng minh rng phng trình f(x)=sinx có ít nht mt nghim trong khong (0, /2).

Câu 6: Cho hai hàm s f, g: [a,b]  [a,b] (a<b) liên tc trên [a,b] và tho mãn các điu
kin
[]
baxxfgxgf ,)),(())(( ∈∀= và f(x) là hàm đn điu trên [a,b].
Chng minh rng tn ti x
0
thuc [a,b] sao cho f(x

0
) = g(x
0
) = x
0
.

Ht.