Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

CHANTHAVONG Ladda

TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

ḶN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phớ Hồ Chí Minh - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

CHANTHAVONG Ladda

TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
Chun ngành:
Mã sớ:

Toán Giải Tích
60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜNG HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Tìm hiểu về
phép tính vi phân trong không gian Banach ” do tôi thực hiện với sự hướng
dẫn của PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai. Nội dung
của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các ng̀n
sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn
chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình.
Thành phớ Hờ Chí Minh, tháng 06 năm 2018
Học viên thực hiện
CHANTHAVONG Ladda


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.
Nguyễn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tớt nhất để
tôi hoàn thành bài luận này. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới
Thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường
Đại học Sư phạm Thành phớ Hờ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi
nâng cao trình đợ chun mơn trong śt quá trình học cao học.
Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Cơng nghệ và
phịng Sau đại học, phịng Tổ chức hành chính, phịng Kế hoạch - Tài chính
Trường đại học Sư phạm TP Hờ Chí Minh đã tạo điều kiện tḥn lợi cho tơi
trong śt quá trình học tập và làm luận văn.
Và cũng cảm ơn các bạn Học viên K26 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều
về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn.
Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới quý thầy cô, anh

chị và các bạn!

CHANTHAVONG Ladda


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
MỞ ĐẦU.........................................................................................................................1
Chương 1. ĐẠO HÀM..................................................................................................2
1.1. Sự khả vi ...............................................................................................................2
1.2. Định lý số giá giới nội và ứng dụng .....................................................................9
1.2.1. Định lý số giá nội ...........................................................................................9
1.2.2. Một số ứng dụng ..........................................................................................11
1.3. Đạo hàm bậc cao, cơng thức Taylor ...................................................................18
1.3.1. Ánh xạ đa tuyến tính ....................................................................................18
1.3.2. Đạo hàm bậc hai ...........................................................................................20
1.3.3. Đạo hàm bậc cao ..........................................................................................23
1.3.4. Công thức Taylor .........................................................................................26
1.3.5. Đạo hàm cấp cao của một số ánh .................................................................29
1.4. Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn ..................................................................................40
Chương 2. CỰC TRỊ ...................................................................................................46
2.1. Cực trị địa phương ..............................................................................................46
2.2. Cực trị có điều kiện .............................................................................................50
2.2.1. Trường hợp riêng .........................................................................................50
2.2.2. Cực trị với ràng buộc phiếm hàm ................................................................53
2.2.3. Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát ........................................................54
2.3. Bài toán biến phân ..............................................................................................57
2.3.1. Trường hợp mợt biến. Phương trình Euler..................................................57

2.3.2. Trường hợp hàm nhiều biến. Phương trình Euler – Lagrange ...................64
KẾT LUẬN ..................................................................................................................72
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................73


1

MỞ ĐẦU
Khái niệm đạo hàm là khái niệm cơ sở nhất và quan trọng nhất của Toán
học nói riêng và khoa học nói chung. Nó có mặt trong những bài toán đơn gian
nhất cho đến các bài toán phức tạp nhất.
Đạo hàm được định nghĩa ban đầu cho hàm số một biến số, sau đó cho hàm
số nhiều biến số. Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như đề nghiên cứu
những bài toán mới phát sinh trong quá trình phát triển của khoa học – cơng
nghệ mà khái niệm đạo hàm và các vấn đề liên quan đã được mở rộng cho các
ánh xạ tác động trong các không gian Banach và rộng hơn là các không gian tơ
pơ tuyến tính. Đến nay đã hình thành mợt lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi
phân trong khơng gian Banach. Lí thuyết này tìm được những ứng dụng sâu sắc
và cơ bản trong lí thuyết phương tình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều
khiển, Tới ưu hoá, Toán kinh tế,...
Việc tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach giúp học viên
bổ sung cho mình những kiến thức mới hiện đại; thấy được phương pháp hình
thành và phát triển những khái niệm Toán học tổng quát hơn trên cơ sở những
khái niệm cũ, riêng biệt.
Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thớng các vấn đề cơ bản nhất của
phép tính vi phân trong không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các
không gian

như các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc

tính đạo hàm, cơng thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và công thức Taylor
các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến
phân,...
Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học
viên cao học. Khi học bộ mơn phép tính vi phân trong khơng gian hữu hạn chiều
và không gian Banach.


2

Chương 1. ĐẠO HÀM
1.1. Sự khả vi
Trong chương này, ta xét  E,  E  ,  F ,  F  là các không gian Banach trên
cùng một trường K ( K là R hoặc C ).
Định nghĩa
Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong E chứa điểm x và
f :D F.

1) Ta nói f khả vi theo Frechet hay F  khả vi tại x nếu tờn tại ánh xạ
tuyến tính liên tục A : E  F sao cho với mọi h  E mà x  h  D thì:
f  x  h  f  x  Ah  h

E

1 

  h  ,

với  xác định trong một lân cận của 0E có giá trị trong F ,

im   h   0F .

h0E

2) Ta nói f khả vi theo Gateaux hay G  khả vi tại x nếu tờn tại ánh xạ
tuyến tính liên tục A : E  F sao cho
im

t 0

f  x  th   f  x 
 A  h  , h  E .
t

 2

Mệnh đề 1.1
Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F .
1) Ánh xạ tuyến tính liên tục A thoả mãn 1 hoặc  2  , nếu tồn tại, sẽ duy
nhất, đặt f '  x   A và gọi là đạo hàm của f tại x .
2) Nếu f khả vi theo Frechet tại x  D thì f liên tục tại x .
Chứng minh
1) Ta chứng minh cho trường hợp là F  khả vi. Giả sử A1 , A2 là ánh xạ
tuyến tính liên tục thoả mãn 1 .
Với mọi u  E và t  0 sao cho x  tu  D, ta
có: f  x  tu   f  x   A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu  ,
với im 1  h   im 2  h   0F .
h0E

h0E

3

Do A1 , A2 tuyến tính và t  0 nên:
A1  tu   tu

E

 1  tu   A2  tu   tu

E

 2  tu   A1  u   A2  u   u

E

2  tu   1  tu   .

Cho t  0, ta có: A1  u   A2  u  , u  E.
Vậy

A1  A2

2) Từ 1 và tính liên tục của A suy ra:

im f  x  h   f  x  .

h0E

Vậy f liên tục tại x .
Từ 1 và A là tuyến tính, ta có:
im

t 0

f  x  th   f  x 
 im A  h  
t 0
t



t
t



h   th   A  h  .

Do đó f khả vi theo Gateaux tại x .
Định nghĩa
Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F .
Nếu f khả vi tại mọi x  D , ta nói f khả vi trên D hay f khả vi. Khi đó
ánh xạ

f ' : D  L  E, F 

f '  x   L  E, F 

biến mỗi x  D thành đạo hàm của

f

tại x ,

được gọi là ánh xạ đạo hàm của f .

Ghi chú
Nếu E  R , mọi ánh xạ tuyến tính

A: R  F

có dạng A  t   tw,

với w  F , w  A 1 . Ta đồng nhất ánh xạ tuyến tính A với A 1  w là vectơ trong
F . Khi đó với I là khoảng mở trong R , f : I  F , f khả vi tại t  I nếu tồn tại

phần tử w  F sao cho với h  R, t  h  I thì:
f  x  h   f  t   hw  h    h  , im   h   0 F hay
h 0

im

h 0

f  x  h  f t 
 w  f ' t  .
h

Mệnh đề .2
Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong

và f : D  F .


4

i) Nếu f là ánh xạ hằng thì f khả vi và f '  x   0L E ,F  , x  D.
ii) Nếu f là thu hẹp trên D của ánh xạ tuyến tính liên tục thì f khả vi và:
f '  x   f , x  D .

Chứng minh
i) Hiển nhiên.
ii) Do f tuyến tính liên tục nên
f  x  h  f  x  f h  h

E

  h  ,

với   h   0 F , h  E .

Định lý 1.1 (Công thức đạo hàm của ánh xạ hợp)
Cho E , F , G là không gian Banach, U là tập mở trong E , V là tập mở trong
F và f : U  V , g : V  G .

Giả sử f khả vi Frechet tại x và g khả vi Frechet tại y  f  x  thì g f
khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  .
'

Chứng minh
Đặt k  h   f  x  h   f  x  . Với h  E sao cho x  h U và f  x  h   V . Do g
khả vi tại f  x  nên
g  f  x  h    g  f  x    g '  f  x    k  h    k  h  F    k  , im   k   0G .
k 0F

Do f khả vi tại x nên:
k  h   f '  x  h   h E   h  , im  h   0F .
h0E

Suy ra
g  f  x  h    g  f  x     g '  f  x   f '  x    h   h E  g '  f  x     h    k  h  F    k 

Ta cần chứng minh:


k  h F
im  g '  f  x     h   
  k  h    0G .
h  E
hE



Điều này suy từ các đánh giá:


5

k  h

F

 f '  x  h E   h E   h

Khi h  0E , im k  h   0F và
h0E

nên

F

k h
h

F

 f '  x   h

F

bị chặn.

E

im   k  h    0G .

h0E

Vậy g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  .
'

Nhận xét
Nếu f khả vi Gateaux tại x và f khả vi theo Frechet tại y  f  x  thì
g f khả vi Gateaux tại x và

g

f   x   g '  f  x  f '  x .
'

Từ đây về sau nếu khơng nói gì thêm, ta hiểu sự khả vi là theo Frechet.
Định nghĩa
Cho F1 , F2 ,..., Fn là các không gian Banach. Đặt F  F1  F2  ...  Fn .
Mỗi y  F , y   y1 , y2 ,..., yn  , yi  Fi , i  1, 2,..., n ,
Đặt y

F

 y1

F1

 y2

F2

 ...  y n

Fn

. Khi đó  F , 

F

 là không

gian Banach.

Cho E , Fi , i  1, n là các không gian Banach, D là tập mở trong E và
f : D  F1  F2  ... Fn .

Khi đó f  x    f1  x  , f 2  x  ,..., f n  x   trong đó fi : D  Fi , i  1, 2,..., n là ánh
xạ thành phần thứ i của f . Ánh xạ f là tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi các
ánh xạ fi là tuyến tính, liên tục i  1, n .
Định lý 1.2
Cho E, F1 , F2 ,..., Fn là các không gian Banach, D là tập mở trong E và
f : D  F1  F2  ...  Fn , f   f1 , f 2 ,..., f n  .

Khi đó f khả vi tại x nếu và chỉ nếu các ánh xạ thành phần f1 , f2 ,..., fn
khả vi tại x . Hơn nữa:
f '  x  h    f1'  x  h  , f 2'  x  h  ,..., f n'  x  h   ,

trong

đó

f '  x   L  E, F 

với F  F1  F2  ...  Fn , f i '  x   L  E , Fi  , i  1, 2,..., n , nghĩa là f i '  x  chính là thành
phần thứ i của f '  x  .


6

Chứng minh
Giả sử f khả vi tại x . Với i  1, 2,..., n , đặt pi : F1  F2  ...  Fn  Fi định bởi
pi  y1 , y2 ,..., yn   yi , pi

là phép chiều thành phần thứ i thì pi là ánh xạ tuyến tính

liên tục và fi  pi f .
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, fi khả vi tại x và
f i '  x   pi'  f  x   f '  x   pi

f '  x .

Vậy f i '  x  chính là thành phần thứ i của f '  x  .
Ngược lại, giả sử f1 , f2 ,..., fn khả vi tại x . Với h  E mà x  h  D ta có:
 f1  x  h   f1  x    f1'  x  h   h E  1  h  


 
f  x  h  f  x  
...
...


'



 f n  x  h   f n  x  
 f n  x  h   h E  n  h  
 f1'  x  h  
1  h  





...
  h E   ...  ,
 f1'  x  h  
n  h  



với

fi '  L  E, Fi  , im i  h   0Fi , i  1, 2,..., n .
h0E

Đặt:
 fi '  x  
1  h  





A   ...  ,   h    ...  thì A  L  E , F  ,  xác định trong lân cận 0 E
 f n'  x  
 n  h  


im   h   0F .

và

h0E

Vậy f khả vi tại x và f '  x   A   f1'  x  , f 2'  x  ,..., f n'  x   .
Ví dụ 1.1
Xét không gian Banach E  C  a, b , R  với chuẩn
x







 sup x  t  : t   a, b . Cho

f :  a, b    a, b   R  R

liên tục, f  f  t , s, x  . Cho F : E  F định bởi:
b

với x  E và t   a, b , F  x  t    f  t , s, x  s  ds .

a


7

a) Khi đó F liên tục trên E .
b) Nếu

f
(đạo hàm riêng theo biến thứ 3) liên tục trên  a, b    a, b   R thì
x

F khả vi và với x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với

f
t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b  .
x
a

b

h  E thì F  x  h  t   
'

Chứng minh
a) Cho trước x  E và   0
Do f liên tục đều trên  a, b   a, b  
 x  1, x  1 nên tồn tại   0,   1
sao cho:  t, s, u   t ' , s' , u '    , t , s, t ' , s' a, b và u, u '  
 x  1, x  1 thì:

f  t , s , u   f  t ,' s ' , u '  


b  a 1

.

Với t , t '   a, b , t  t '   ta có:
b

F  x  t   F  x   t '    f  t , s, x  s    f  t ' , s, x  s   ds 
a

 b  a 
b  a 1

 .

Vậy F  x  liên tục trên  a , b  và F  x   E .
Với h  E , h     1, ta có: t   a, b  ,
b

F  x  h  t   F  x  t    f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s   ds 
a

 b  a 
b  a 1

 .

Suy ra: F  x  h   F  x     .
Vậy F liên tục tại x .
b) Cho trước x  E và   0
Do

f
x

liên tục đều trên  a, b   a, b  
 x  1, x  1 nên tồn tại

  0,   1 sao cho:

t, s, u   t ' , s' , u'    , t, s, t ' , s' a, b và

u, u '  
 x  1, x  1

thì:


8

f
f

với mọi t , s   a, b  .
 t , s, u    t , s, v  
x
x

b  a 1

Do định lí Lagrange tồn tại    0,1 , (  phụ thuộc vào s và t ) sao cho:
f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s   

f
 t , s, x  s    h  s    h  s  .
x

Khi đó với mọi t   a, b  ,
f
t , s, x  s   h  s  ds

x
a

b

F  x  h  t   F  x  t   

f


   f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s     t , s, x  s   h  s   ds
x

a 
b

h  b  a 

f
 f

    t , s, x  s    h  s     t , s, x  s   h  s   ds  
  h .
x
x
b  a 1

a 
b

Từ a), ánh xạ A : E  E định bởi : Với h  E ,
f
t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b , là ánh xạ tuyến tính liên tục.
x
a

b

A  h  t   

Vậy F khả vi tại x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với h  E thì
f
t , s, x  s    h  ds,
x
a

b

F  x  h  t   
'

t   a, b  .

Ví dụ 1.2
Cho D  R n là tập mở và f : D  Rm , f  x    f1  x  ,..., f m  x   với
f i : D  R, i  1, m

Khi đó f khả vi tại a khi và chỉ khi fi khả vi tại a , i  1, m . Ánh xạ tuyến
tính f '  a  : R n  R m có ma trận biểu diễn trong các cơ sở chính tắc của R n , R m với
hàng thứ i là
f  a  
 fi  a 
,..., i

 , i  1, m

x

x
1
n



1 


9

Chứng minh
Do định lí 1.2, ta có f khả vi tại a khi và chỉ khi mà hàm fi khả vi tại a .
Giả sử fi khả vi tại a . Ánh xạ fi '  a  : R n  R tuyến tính nên tờn tại
a1 ,..., an  R sao cho:
n

f1'  a  h     k hk ,

h   h1 ,..., hn   R n

k 1

và

n

fi  a  h   f i  a     k hk  h    h  , im   h    .
h 

k 1

Rn

Cho h  te j với e1 ,..., en  là cơ sở chính tắc của Rn , ta có
im

fi  a  te j   fi  a 

t 0

t

j

hay

fi  a 
  j , j  1, n
x j

Do
f '  a  h    f1'  a  h  ,..., f m'  a  h   , h  R n

nên ta suy ra f '  a  là ma trận có hàng thứ

là 1

1.2. Định lý số gia giới nội và ứng dụng
1.2.1. Định lý số gia giới nội
Định nghĩa
Cho E là không gian định chuẩn.Với a, b  E , ta kí hiệu

 a, b  1  t  a  tb / t  0,1
 a, b   1  t  a  tb / t   0,1
Định lý
Cho E , F là các không gian định chuẩn, D là tập mở trong E , a, b  E sao
cho  a, a  h   D . Giả sử f : D  F thỏa mãn
i) Thu hẹp của f trên  a, a  h  liên tục
ii) f là G  khả vi tại mọi x   a, a  h 

Khi đó


10

f  a  h  f  a 

F

 h

E

sup

x a , a  h 

f '  x .

Chứng minh
Đặt y  f  a  h   f  a  ,ta có thể coi y   . Áp dụng một hệ quả của định
lý Hahn – Banach ta tìm được phiếm hàm G  F  sao cho G  1, G  y   y . Xét
phiếm hàm g : F  R, g  x   Re G  x  ; ta có g là phiếm hàm thỏa mãn
g  x  y   g  x   g  y  , g   x    g  x  ,   R

và g  G .

Xét phiếm hàm  :  0,1  R,   t   g  f  a  th   . Ta có
  liên tục trên  0,1 do giả thiết i)
  khả vi trên  0,1 và  '  t   g  f '  a  th  h  .

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm  trên  0,1 ta tìm được sớ c   0,1
sao cho
 1    0    '  c   g  f '  a  ch  h   g  h  f '  a  ch   h sup

x a , a  h 

f '  x

Vì  1    0   g  y   G  y   y nên ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả
Giả sử ta có các giả thiết của định lý số gia nội và A  L  E , F  . Khi đó
f  a  h  f  a   Ah

F

 h  sup

x a , a  h 

f '  x  A .

Chứng minh
Xét ánh xạ g : D  F , g  x   f  x   A  x  . Ta thấy các điều kiện của định lý
số gia giới nội đúng cho ánh xạ g . Do đó
g  a  h   g  a   h  sup

x a , a  h 

g'  x

Chú ý rằng:
g a  h  g a  f a  h  f a  Ah , g '  x  f '  x   A ,

điều phải chứng minh.

x   a, a  h 

ta có


11

1.2.2. Một số ứng dụng
a) Giới hạn của dãy ánh xạ khả vi
Ta nhắc lại rằng tập D trong không gian E gọi là tập liên thông nếu không
tồn tại hai tập mở O1 , O2 trong E sao cho:
D  O1  , D  O2  , D  O1  O2 , D  O1  O2  

Mệnh đề 2.3
Cho E là không gian Banach và D là tập mở trong E . Nếu D là tập liên
thơng thì với mọi x, y  D , tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk chứa
trong D sao cho:
x  B1 , Bi  Bi 1  , i  1, 2,..., k  1 ,

y  Bk .

 4

Chứng minh:
Ta định nghĩa quan hệ trên D như sau: Với x, y  D , ta nói

nếu và

chỉ nếu tồn tại một số quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk thoả mãn  4  . Khi đó

là quan

hệ tương đương trên D nghĩa là:
thì

và

Với x  D , đặt

thì

.

là lớp tương đương của x . Khi đó:

x , với x, y  D thì x  y   hoặt x  y .

D
xD

Ta chứng minh x là tập mở. Thật vậy; với y  x thì

nên tờn tại

mợt số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk thoả mãn  4  .

Khi đó, với z  Bk thì

hay z  x . Suy ra: Bk  x .

nên

Vậy x là tập mở. Cố định x  D , ta khẳng định x  D và như vậy mệnh
đề được chứng minh.
Giả sử

D \ x   . Đặt

O1  x

và

O2 

y
yD \ x

y  D \ x   nên O2 là tập mở khác rỗng và ta có:

D  O1  O2 , O1  O2   .

thì do y mở với mọi


12

Ta gặp mâu th̃n với tính liên thơng của D . Như vậy: x  D .
Hệ quả 2.2
Cho D là tập mở liên thông trong E . Khi đó với mọi x, y  D tồn tại đường
gấp khúc  gồm các đoạn  x, x1  ,  x1 , x2  ,...,  xk 1 , y  chứa trong D , nối x và y .
Định lý 2.4
Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông trong E và
f :D F.

Giả sử f khả vi và f '  x   0L E , F  , với mọi x  D . Khi đó f là ánh xạ hằng
trên D .
Chứng minh
Cố định x0  D . Với x  D , do Hệ quả 2.2, tồn tại đường gấp khúc  chứa
trong D , nối x0 và x . Gọi các đỉnh liên tiếp của  là x0 , x1 ,..., xk 1 , xk  x .
Trên đoạn  x0 , x1  áp dụng lý giá trị trung bình, ta có:
f  x1   f  x0 

F

 x1  x0

E

 sup

f

'

 z  , z  x0 , x1   0 .

Suy ra: f  x0   f  x1  .
Làm tương tự với các đoạn  xi , xi 1  , i  1, 2,..., k  1 , ta có:
f  x0   f  x1   ....  f  x  .

Vậy f là ánh xạ hằng.
Định lý 2.5
Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông trong E . Với
mọi tập con bị chặn K của D , dãy các ánh xạ đạo hàm

f 

'
n n

, f n' : D  L  E , F 

hội tụ đều về ánh xạ g : D  L  E , F  trên K và tồn tại a  D sao cho dãy các
phần tử

 f  a   hội tụ.
n

n

Khi đó tồn tại ánh xạ f : D  F khả vi trên D sao cho dãy  f n  n hội tụ
về f trên D và f '  x   g  x  , với mọi x  D .


13

Chứng minh:
Do D mở và a  D , tồn tại r  0 sao cho quả cầu mở B  a, r   D . Với
mọi x  B  a, r  , đoạn  a, x   B  a, r  và dãy ánh xạ đạo hàm

f 

hội tụ đều về

'
n n

g trên B  a , r  .

Với mọi n, p  N , ta có:

 f  x   f  a    f  x   f  a 
n p

n p

n

n

F





 x  a E sup f n' p  y   f n'  y  , y  a, x  .

Do  fn  a  n hôi tụ trong F và dãy  f n' n hội tụ đều về g trên B  a, r  nên

 f  x 
n

n

là dãy cơ bản trong B  a, r  .

Do F là không gian Banach nên  f n  n hội tụ đều trên B  a, r  về ánh xạ ghi là
f . Do  f n  n liên tục trên B  a , r  nên f liên tục trên B  a , r  .

Ta chứng minh f khả vi và
x  B  a, r 

f '  x  g  x

x  B  a, r  .

với mọi

Với

cố định và h  E sao cho x  h  B  a, r  , ta có:

f  x  h   f  x   g  x  h  E  f  x  h   f  x   f n  x  h   f n  x 
 f n  x  h   f n  x   f n'  x  h 

Với   0 cho trước, do

f 

'
n n

F

F

 f n'  x  h   g  x  h  .
F

hội tụ đều về g trên B  a, r  nên tồn tại

n0  N sao cho: với n  n0 và p  N thì:
sup

f

'
n p

 y   f n'  y 

f n'  y   g  y  



, y  B  a, r  


3



và

3

, y  B  a , r  .

Từ định lý giá trị trung bình, suy ra:

 f  x  h   f  x    f  x  h   f  x 
n p

n p

n

n

F

 h E  sup

f

'
n p

 y   f n'  y 

Cho p   , ta có:
f  x  h   f  x    fn  x  h   fn  x 

Mặt khác, do:

F




3



, y  B  a, r  

h E , n  n0 .


3

h

E

14

f n  x  h   f n  x   f n'  x  h 

F

 h F  n  h  với

im n  h   0F

h0E

nên tồn tại   0 sao cho với h  E , h E   , ta có:
f  x  h   f  x   g  x  h 

F

 h E .

Điều này chứng tỏ f khả vi tại x và f '  x   g  x  với mọi x  B  a, r  .
Với x  D bất kỳ, do D là tập mở liên thông trong E nên tồn tại một
số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk chứa trong D thoả mãn  3  , a  B1 , x  Bk lấy
x1  B1  B2 .

Lặp lại chứng minh trên bằng cách thay a bởi x1 và B  a, r  bởi B2 thì

 f n  n hợi tụ đều trên B2 về ánh xạ vẫn là f (do giới hạn là duy nhất nên chúng
bằng nhau trên B1  B2 , Sau một số hữu hạn bước, ta có dãy  f n  n hội tụ đều
về f trên Bk ), f khả vi và f '  x   g  x  . Định lý được chứng minh.

b) Đạo hàm riêng và sự khả vi
Định nghĩa
Cho E1 , E2 ,..., En , f là không gian Banach.
Đặt: E  E1  E2  ... En với chuẩn định bởi:
x

E

 x1

E1

 x2

E2

 ...  xn

En

với x  E ,  x1 , x2 ,..., xn  , x1  Ei , i  1, 2,..., n , Khi đó  E,  E  là không gian Banach .
Cho D là tập mở trong E và f : D  F . Với a  D , a   a1 , a2 ,..., an  , xem
ánh xạ i : Ei  E định bởi: Với x1  Ei , i  xi    a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an  thì i liên
tục , đơn ánh và i'  xi    O,..., O, I ; O,..., O  .
Ta có i liên tục i1  D  là tập mở trong Ei với I i là ánh xạ đồng nhất
trên Ei . Ánh xạ f i : i 1  D   F được gọi là ánh xạ riêng của f theo biến xi
tại a .
f i  xi   f  a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an  , xi  i1  D  .

15

Nếu ánh xạ riêng theo biến xi tại ai , f i khả vi tại ai , thì đạo hàm
'
 f i   ai  được gọi là đạo hàm riêng của

f theo biến xi tại a , ký hiệu

Di f  a  .

Khi đó Di f  a   L  Ei , F  .
Mệnh đề 2.4
Cho E  E1  E2  ... En với Ei , i  1, 2,..., n là không gian Banach, F là
không gian Banach và D là tập mở trong E . Cho f : D  F , a  D ,
a   a1 , a2 ,..., an  .

Nếu f khả vi tại a thì ánh xạ riêng f i khả vi tại ai với mọi
i  1, 2,..., n và với h  E , h   h1 , h2 ,..., hn  thì:
n

f '  a  h    Di f  a  hi  .
i 1

Chứng minh
Với i  1, 2,..., n , đặt pi : E  Ei định bởi: pi  x1 ,..., xi ,..., xn   xi , pi là phép
chiếu lên

.

Giả sử f khả vi tại a . Do i khả vi trên Ei và i'  xi    0,..., 0, I i , 0,..., 0 

nên ánh xạ riêng f i khả vi tại ai và  f i   ai   f '  a  i' .
'

Mặt khác ta có:
n


i 1

'
i

pi  I E

( ánh xạ đồng nhất trên E ). Suy
n

n

i 1

i 1

ra: f '  a    f '  a  i' pi   Di f  a  pi .
Vậy:
n

f '  a  h    Di f  a  hi  .
i 1

16

Định lý 2.6
Cho D là tập mở trong E  E1  E2  ... En và f : D  F . Giả sử các đạo
hàm riêng Di f  x  , i  1, 2,..., n tồn tại mọi x  D và các ánh xạ đạo hàm riêng
Di f liên tục tại a  D . Khi đó f khả vi tại a  D .

Chứng minh
Với h  D, h   h1 , h2 ,..., hn  sao cho a  h  D , ta chứng
n

minh: f  a  h   f  a    Di f  a  hi   h E    h  với
i 1

im   h   0F .

h0E

Ta có:
n

f  a  h   f  a    Di f  a  hi 
i 1

  f  a1  h1 , a2  h2 ,..., a n hn   f  a1 , a2 , h2 ,..., a n hn   D1 f  a  h1 

  f  a1 , a2  h2 ,..., an  hn   f  a1 , a2 , a3  h3 ,..., an  hn   Di f  a  h2  
...   f  a1 , a2 ,..., an1 , an  hn   f  a1 , a2 ,..., an   Dn f  a  hn 
n

   f  a1 ,..., ai 1 , ai  hi ,..., an  hn   f  a1 ,..., ai , ai 1  hi 1 ,..., an  hn 
i 1

n

 Di f  a1 ,..., ai , ai 1  hi 1 ,..., an  hn    hi     Di f  a1 ,..., ai , ai 1  hi 1 ,..., an  hn   Di f  a    hi 
i 1

. Với i  1, 2,..., n , đặt: ai'   a1 ,..., ai , ai 1  hi 1 ,..., an  hn  và

hi'   0,..., 0, hi , 0,..., 0  ,

ai'  D, hi'  E .

Đẳng thức trên được viết lại:
n

f  a  h   f  a    Di f  a  hi 
i 1

   f  ai'  hi'   f  ai'   Di f  ai'  hi'      Di f  ai'   Di f  a    hi 
.
i 1
i 1
n

n

Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có:

f  ai'  hi'   f  ai'   Di f  ai'   hi 

Do Di f liên tục tại

F

 hi

Ei





 sup Di f  y   Di f  ai'  , y  ai' , ai'  hi' 

nên với   0 bất kỳ, tồn tại   0 sao cho: với


17

xD , x  a

E



thì: Di f  x   Di f  a  



4n

, i  1, 2,..., n .

Với h  D , h   , ta có:
Di f  y   Di f  ai'   Di f  y   Di f  a   Di f  a   Di f  ai'  





Suy ra: sup Di f  y   Di f  ai'  , y   ai' , ai'  hi'  


2n


2n

, y   ai' , ai'  hi' 

với mọi i  1, 2,..., n .

Do đó, với h  E , h   , ta có:
n

f  a  h   f  a    Di f  a  hi 
i 1

F

   n
      hi
 2 4  i 1

Ei

  h

E

.

Như vậy, với h  E và a  h  D , ta có:
n

f  a  h   f  a    Di f  a  hi   h E    h  với
i 1

im n  h   0F .

h0E

Định lý được chứng minh.
c) Liên hệ giữa sự khả vi Gateaux và khả vi Frechet
Định lý 2.7
Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F là ánh
xạ liên tục. Giả sử f khả vi Gateaux tại x  D và u  x  là đạo hàm Gateaux
của f tại x .
Như vậy u  x   L  E , F  sao cho với mọi y  E ,

u  x  y   im
t 0

f  x  ty   f  x 
t

Giả sử thêm ánh xạ x  u  x  liên tục. Khi đó f khả vi liên tục trên D và
f '  x  u  x

Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh f khả vi trên D và f '  x   u  x  với mọi x  D .
Với x  D , do D là tập mở nên tồn tại r  0 sao cho B  x, r   D . Với y  E ,
y

E

r,

thì: g  t   f  x  ty  , t   1,1 , khả vi và:


18

g '  t   im

f  x   s  t  y   f  x  ty 

s 0

s

 u  x  ty  y  , t   1,1 .

h  t   f  x  ty   u  x  ty 

Với y cớ định, đặt

thì h khả vi và

h '  t   u  x  ty  y   u  x  y  , t   1,1 .

Áp dụng định lý giá trị trung bình cho h , ta có:
h 1  h  0 

F

 f  x  y   f  x   u  x  y 

 sup u  x  ty  y   u  x  y 
t0,1

F

F



 sup h' t 
t0,1



 y E  sup u  x  ty   u  x  , t  0,1 .

Đặt
  y   sup  u  x  ty   u  x  , t 0,1 ,

thì do ánh xạ x

u  x

liên tục nên

im   y   0 .

y 0E

Vậy ta đã chứng minh
f  a  h   f  a   u  x  y 

Do đó f khả vi tại

F

x

 y E    y  với

im   y   0 .

y 0E

và f '  x   u  x  với mọi x  D . Do u : D  L  E , F 

liên tục nên f ' liên tục, nghĩa là f khả vi liên tục.
1.3. Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor
1.3.1. Ánh xạ đa tuyến tính
Định nghĩa 1.3.1
1) Cho E1 , E2 ,..., En , F là không gian Banach. Ánh xạ
B : E1  E2  ...  En  F

gọi là

n

tuyến tính nếu B tuyến tính theo mỗi biến nếu

n  1 biến kia cố định, nghĩa là:

B  x1 ,..., xi  xi' ,..., xn   B  x1 ,..., xi ,..., xn   B  x1 ,..., xi' ,..., xn 
B  x1 ,..., axi ,..., xn   aB  x1 ,..., xi ,..., xn  .

2) Ánh xạ song tuyến tính A  E  E gọi là đối xứng nếu A  x, y   A  y, x  .


19

Tổng quát hơn ánh xạ

k

tuyến tính A : E ... E  F gọi là đối xứng

nếu : A  x1 , x2 ..., xk   A  x 1 , x  2 ..., x  k   trong đó  là phép hoán vị của tập

1, 2,..., k .
Ví dụ:
1) Cho ánh xạ B : R n  ...  R n  R (n lần) định bởi:
Với xi  x1i , x2i ,..., xni  , i  1, 2,..., n thì:
B   x1 , x 2 ,..., x n   det  x1 , x 2 ,..., x n  

Khi đó B là ánh xạ

n  tuyến

x11

x12

x12
...
x1n

x22 ... xn2
... ... ...
xn2 ... xnn

... x1n

tính

2) Cho A   aij  , i, j  1, 2,..., n là ma trận vuông cấp n , xét ánh xạ
B : R n  R n  R định bởi:

Với x   x1 , x2 ..., xn  , y   y1 , y2 ,..., yn  thì:
 y1 
n
B  x, y    x1 , x2 ..., xn  A  ...    aij xi y j .
i , j 1
 yn 

Khi đó B là ánh xạ song tuyến tính .
Ngược lại, giả sử B : R n  R n  R là ánh xạ song tuyến tính. Gọi

e1 ,..., en  là cơ sở chỉnh tắc của

Rn

Với x   x1 , x2 ..., xn  , y   y1 , y2 ,..., yn   n , ta có do B là song tuyến tính
n
 n
 n
B  x, y   B   xi ei ,  x j e j    xi y j B  ei , e j 
j 1
 i 1
 i , j 1

(1)

Đặt aij  B  ei , e j  thì B có dạng 1

Vậy, cho mợt ánh xạ song tuyến tính B : R n  ...  R n  R tương đương
việc cho ma trận vuông cấp

 

n , A  aij

và xác định B bởi công thức 1


20

3) Cho R n  R n  R p là ánh xạ song tuyến tính. Khi đó B có thể viết ở
dạng B  x, y    B1  x, y  ,..., Bp  x, y  

x, y  Rn trong đó Bk : R n  R n  R là song

tuyến tính, k  1,..., p .
Do ví dụ 2) thì Bk được cho bởi ma trận  aij k  . Do đó
"ma trận ba chiều"

a 
k
ij
1 i , j  n
1 k  n

được cho bởi

và xác định bởi:

Với x   x1 ,..., xn  , y   y1 ,..., yn  và B  x, y   z   z1 ,..., zn  thì
n

zk   aijk xi y j , k  1,..., p .
i , j 1

Mệnh đề 1.3.1
Cho E1 , E2 ,..., En , F là không gian Banach.
1) Giả sử ánh xạ B : E1  E2  ... En  F là ánh xạ

n

tuyến tính. Khi đó hai

mệnh đề sau tương đương:
a) B liên tục
b) Tồn tại hằng số c  0 sao cho:
B   x1 , x2 ,..., xn 

F

 c  x1

E1

x2

E2

... xn

2) Đặt Ln  E1  E2  ...  En , F  là không gian các ánh xạ

En

.

n

tuyến tính liên tục

với chuẩn định bởi:





A  Ln  E1  E2  ... En , F  , A  sup A  x1 , x2 ,..., xn  F , xi i  1 .

Khi đó  là chuẩn trên Ln  E1  E2  ...  En , F  và:  Ln  E1  E2  ...  En , F  ,  
là không gian Banach.
1.3.2. Đạo hàm bậc hai
Định nghĩa 1.3.2
Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F khả
vi trên D . Khi đó ta có ánh xạ đạo hàm f ' : D  L  E , F  , x

f '  x .