Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p # 2)

Đại học quốc gia hà nội
trờng đại học khoa học tự nhiên

Đặng Anh Tuấn
Bài toán biên giả vi phân
trong không gian
H
,p
(p =2)
Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 05
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học
Hà Nội
2007
đại học quốc gia hà nội
trờng đại học khoa học tự nhiên





đặng anh tuấn




bI toán biên giả vi phân
trong không gian H
,p

(p 2)

Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 05



Luận án tiến sĩ Toán học




Ngời hớng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Nguyễn Minh Chơng

Pgs. Ts. h tiến ngoạn





Hà Nội-2007

Mở đầu
Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đợc nghiên cứu đầu tiên
trong các công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace nh một
công cụ chính để mô tả cơ học cũng nh là mô hình giải tích của vật lý. Vào
giữa thế kỷ 19, đặc biệt với công trình của Riemann, Lý thuyết Phơng trình

vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành
toán học. Cuối thế kỷ 19, H. Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa
Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác.
Sang thế kỷ 20, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển
mạnh mẽ nhờ công cụ Giải tích hàm. Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng
đợc xây dựng bởi S. L. Sobolev, L. Schwartz đợc kết hợp với Giải tích
Fourier nhiều bài toán đã đợc giải quyết. Chẳng hạn bài toán biên elliptic
tuyến tính đợc giải quyết khá trọn vẹn. Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng các
kết quả từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, còn đợc gọi là
phơng trình tiến hóa, cũng đã đợc nghiên cứu bởi E. Hille, K. Yosida, F.
E. Browder, H. Brezis, J. L. Lions, E. Magnes, E. B. Davies, .v.v. . Bài toán
hyperbolic cũng đã có đợc những kết quả đẹp qua các công trình của I. G.
Petrovski, J. Leray, L. Garding, .v.v. . Theo L. Hormander, các công trình về
toán tử hyperbolic của I. G. Petrovski nh một điều dự báo về sự ra đời của
Lý thuyết toán tử Giả vi phân (GVP), một trong những công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyến
tính mà cả với phi tuyến.
Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp
với Giải tích Fourier. Một trong những kết quả đẹp dựa một phần trên Lý
thuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữa
nhiều ngành toán học Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng, Lý
thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình học- Đại số. Dựa vào Lý thuyết toán
tử GVP, F. Treves, L. Nirenberg đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải
đợc địa phơng cho toán tử vi phân kiểu chính (chú ý rằng nói chung không
thể giải đợc toàn cục, chẳng hạn đối với phơng trình elliptic ngời ta cũng
1
chỉ có thể giải đợc một cách địa phơng). Gần đây, cùng với nhiều công
trình trớc đó của L. Hormander, Yu. V. Egorov, R. Beals, C. Fefferman,
N. Lerner, .v.v., cuối cùng là N. Dencker mới giải quyết trọn vẹn bài toán về
tính giải đợc địa phơng cho toán tử GVP kiểu chính. Một kết quả lý thú

khác về tính subelliptic, tính chất nằm giữa elliptic và hyperbolic, là Yu. V.
Egorov đã đa ra đợc điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic.
Kết quả này đợc bắt nguồn từ công trình viết chung với V. A. Kondratiev
về bài toán đạo hàm nghiêng. Khi khảo sát một vài lớp bài toán đạo hàm
nghiêng cụ thể bằng cách chuyển thành toán tử GVP cùng với sự nghiên cứu
các kết quả trớc đó của L. Hormander, Yu. V. Egorov đã tìm ra đợc phép
biến đổi chính tắc, rồi từ đó đi đến điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP
là subelliptic.
Bài toán đạo hàm nghiêng là bài toán biên cho phơng trình vi phân cấp
2, chẳng hạn phơng trình Laplace u = f , với điều kiện biên đạo hàm
nghiêng
u





= g trong miền bị chặn trong không gian có số chiều lớn
hơn 2, với biên trơn , theo Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev đợc đặt
ra bởi H. Poincare. Tuy nhiên, cho đến trớc năm 1963, bài toán đạo hàm
nghiêng chỉ đợc xét khi trờng véc-tơ D

=


không tiếp xúc với biên.
Đến năm 1963, A. V. Bisadze xét bài toán đạo hàm nghiêng khi trờng véc-tơ
D

tiếp xúc với biên, cụ thể A. V. Bisadze xét bài toán biên cho phơng

trình Laplace trong hình cầu B = {(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
| x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
1}
với điều kiện biên (x
1
a)
u
x
1
+ x
2
u
x
2
+ x

3
u
x
3
= g trên mặt cầu S =
{(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
| x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
=1}, trong đó, a R là hằng số. Khi
|a| > 1, trờng véc-tơ

(x
1
a)

x

1
,x
2

x
2
,x
3

x
3

tiếp xúc với biên trên
đờng tròn c = {(x
1
,x
2
,x
3
) S | x
1
=
1
a
,x
2
2
+ x
2
3

=
a
2
1
a
2
} trên mặt
cầu S. Để thuận tiện, chúng tôi xin đợc gọi bài toán đạo hàm nghiêng
mà trờng véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên là bài toán đạo hàm
nghiêng không cổ điển phân biệt với các bài toán đạo hàm nghiêng đợc
trớc năm 1963. Việc nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển
2
gặp nhiều khó khăn. Một trong những khó khăn là loại bài toán đạo hàm
nghiêng không cổ điển này không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski
nh các bài toán biên Dirichlet, Neuman hay các bài toán đạo hàm nghiêng
cổ điển. Chúng tôi cũng xin đợc gọi bài toán biên không thỏa mãn Điều
kiện Shapiro- Lopatinski là bài toán biên không cổ điển để phân biệt với bài
toán biên thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski. Sau công trình của A. V.
Bisadze và nhiều tác giả khác nh R. Borrelli, L. Hormander, Yu. V. Egorov,
V. A. Kondratiev, M. B. Malyutov, V. G. Mazya, Nguyễn Minh Chơng,
Lê Quang Trung, .v.v. , cũng có những kết quả lý thú về bài toán đạo hàm
nghiêng không cổ điển. Một trong các kết quả lý thú đạt đợc bởi Yu. V.
Egorov- V. A. Kondratiev vào năm 1969. Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev
đã giải quyết khá trọn vẹn bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển, cụ thể
là bài toán biên cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 trong miền bị
chặn trong không gian với số chiều lớn hơn 2, với điều kiện biên đạo hàm
nghiêng D

u = g trên biên trơn , khi trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên
tại những điểm thuộc đa tạp con trơn (n 2) chiều
0
của biên . Để
giải quyết bài toán này, các tác giả đã phân
0
thành ba loại, tùy theo hình
dáng của nó đối với trờng véc-tơ D

, và tập trung vào nghiên cứu bài toán
xung quanh
0
bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt. Gần đây,
các tác giả A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza đã giải quyết đợc bài
toán đạo hàm nghiêng không cổ điển khi trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên
trên một tập con của biên. Bài toán đạo hàm nghiêng đợc nghiên cứu theo
nhiều cách cho nhiều loại phơng trình khác nhau, Yu. V. Egorov, V. A.
Kondratiev nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân
elliptic tuyến tính cấp 2, trong Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên
cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân parabolic tuyến tính
cấp 2, Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán biên không
cổ điển trong không gian Sobolev cấp biến thiên, Lê Quang Trung nghiên
cứu bài toán biên không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic
cấp cao, Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán biên
3
không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic nửa tuyến tính cấp
cao. Đợc sự gợi ý của Giáo s Nguyễn Minh Chơng, tác giả nghiên cứu
bài toán biên không cổ điển cho phơng trình GVP cấp cao trong không gian

kiểu Sobolev H
,p
, 1 <p<.
Luận án này bao gồm các kết quả mà tác giả đã đạt đợc đối với các bài toán
biên cổ điển và không cổ điển cho phơng trình GVP elliptic, parabolic cấp
cao tuyến tính, nửa tuyến tính trong không gian H
,p
, 1 <p<.
Luận án đợc chia thành bốn chơng chính nh sau.
Trong Chơng 1, chúng tôi trình bày tổng quan về các kết quả cho bài toán
biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic và bài toán biên cổ điển đối
với phơng trình parabolic. Về bài toán biên không cổ điển đối với phơng
trình elliptic, các kết quả đa ra ở đây thuộc về các tác giả Yu. V. Egorov,
V. A. Kondratiev và các kết quả gần đây của các tác giả A. Maugeri , D. K.
Palagachev, C. Vitanza. Ngoài ra, chúng tôi cũng điểm qua các kết quả mà
chúng tôi đợc biết. Về bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic,
các kết quả đa ra ở đây đợc thuộc về các tác giả M. S. Agranovich, M.
I. Vishik và chúng tôi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tôi đợc biết,
chẳng hạn các kết quả gần đây của L. Softova.
Trong Chơng 2, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên cổ điển
đối với phơng trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không
gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với bài toán biên elliptic
tuyến tính, tính giải đợc đã đợc giải quyết trọn vẹn từ những năm 60 của
thế kỷ 20. Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là thứ nhất để bài toán giải đợc
thì vế phải phải thỏa mãn một số hữu hạn điều kiện (nghĩa là toán tử ứng
với bài toán biên không là toàn ánh), thứ hai nếu bài toán giải đợc thì số
nghiệm của bài toán có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài toán
biên không là đơn ánh). Khi đó, việc sử dụng phơng pháp tuyến tính hóa
để giải quyết bài toán nửa tuyến tính sẽ gặp nhiều trở ngại. Chúng tôi đã sử
dụng phơng pháp tham biến lớn để giải quyết trở ngại này, cụ thể là trong

không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với
4
mọi vế phải nằm trong không gian Sobolev thích hợp bài toán cổ điển đối
với phơng trình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm. Từ đó, bằng
phơng pháp tuyến tính hóa chúng tôi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệm
cho bài toán nửa tuyến tính.
Trong Chơng 3, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không
cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính
trong không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với
bài toán biên không cổ điển, bài toán biên không thỏa mãn Điều kiện
Shapiro- Lopatinski kiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic
mà không thể có đánh giá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau
||u||
,p,
C(||Uu||
+,p,,
+ ||u||
0,p,
), trong đó U là toán tử ứng với bài
toán biên, còn 0 <.Nếu U là toán tử ứng với bài toán biên elliptic thì ta
có đánh giá với =0. Do vậy, để nghiên cứu bài toán biên không cổ điển
chúng tôi xây dựng một lớp không gian mới kiểu Sobolev với chuẩn phụ
thuộc tham biến. Với lớp không gian kiểu Sobolev này chúng tôi đã có đợc
các kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp bài toán
biên không cổ điển tuyến tính. Từ đó, bằng các kỹ thuật của Giải tích phi
tuyến, chúng tôi cũng có những kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài
toán nửa tuyến tính.
Trong Chơng 4, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ
điển đối với phơng trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trong
không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Chẳng hạn, bằng

phơng pháp nửa nhóm ta chuyển bài toán biên parabolic dạng
u
t
= Au,
trong đó A là toán tử elliptic, về việc nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tử
elliptic A. Để nghiên cứu nửa nhóm này ngời ta nghiên cứu toán tử elliptic
A. Chúng tôi dùng phơng pháp sử dụng phép biến đổi Laplace để đa bài
toán biên parabolic về bài toán biên elliptic. Từ việc nghiên cứu bài toán
biên cổ điển và không cổ điển cho phơng trình elliptic ở các Chơng trớc,
chúng tôi thu đợc các kết quả cho bài toán biên parabolic tuyến tính và nửa
tuyến tính.
5
Chơng 1. Tổng quan
Trong Chơng này, chúng tôi trình bày một số kết quả nổi bật, mà chúng
tôi biết, về các bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình vi phân
elliptic của các tác giả Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev, và của các tác giả
A. Maugeri, D. K. Palagachev, C. Vitanza; cũng nh bài toán biên cổ điển
đối với phơng trình parabolic của M. S. Agranovich, M. I. Vishik, đợc xét
trong một tập mở, bị chặn, liên thông với biên trơn, trong không gian
R
n
với số chiều n 3. Ngoài ra, chúng tôi điểm qua các kết quả của các
tác giả Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng, Lê Quang Trung về các bài
toán biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic tuyến tính và nửa tuyến
tính cũng nh các kết quả của các tác giả Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh
Chơng, Lê Quang Trung, L. Softova bài toán biên cổ điển đối với phơng
trình parabolic.
Chơng 2. Bài toán biên cổ điển đối với
phơng trình GVP elliptic
2.1 Không gian hàm

2.1.1 Định nghĩa
Cho p, R, 1 <p<. Không gian H
,p
(R
n
) là không gian làm đầy
không gian C

0
(R
n
) bởi chuẩn
||u||
,p,R
n
=


R
n
(1 + ||||)
p
|F
n
u()|
p
d

1
p

.
Cho p, R, 0 , 1 <p<, là miền bị chặn với biên trơn,
trong R
n
. Các không gian H
,p
(

R
n
+
),H
,p
(),H
,p
() đợc xây dựng
nh truyền thống.
Lấy q C,p, R , 1 <p<, 0 , trong H
,p
(R
n
), H
,p
(),
H
,p
(

R
n

+
), H
,p
() ta định nghĩa chuẩn phụ thuộc tham biến q:
6
u
,p,q
=



u


p
,p
+ |q|
p


u


p
0,p

1/p
.
Khi đó ta kí hiệu các không gian với chuẩn phụ thuộc tham biến lần
lợt là H

,p,q
(R
n
), H
,p,q
(),H
,p,q
(

R
n
+
), H
,p,q
().
2.1.2 Tính chất
Dới đây là một số tính chất của không gian H
,p
.
Mệnh đề 2.1.1 khẳng định với , k, p R, 1 <p<,k <ta có các phép
nhúng sau là bị liên tục: H
,p
(R
n
) H
k,p
(R
n
),H
,p

(

R
n
+
) H
k,p
(

R
n
+
).
Đặc biệt, phép nhúng H
,p
() H
k,p
() là compact.
Nhận xét 2.1.2. Đối với không gian H
,p,q
có chuẩn phụ thuộc tham số q,
với >0 cho trớc, khi |q| đủ lớn, phép nhúng H
+1,p,q
trong H
,p,q
có chuẩn
nhỏ hơn .
Mệnh đề 2.1.3 khẳng định với p, R, 1 <p<, 0 , toán tử hạn
chế M từ R
n

xuống

R
n
+
là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p
(R
n
) vào
H
,p
(

R
n
+
). Với K là tập compact trong

R
n
+
, toán tử thác triển L biến mỗi
hàm u C

0
(

R
n

+
), mà supp u K, thành hàm Lu(x)=u(x) khi x
n
0
và Lu(x)=0khi x
n
< 0 là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian gồm
các hàm u H
,p
(

R
n
+
), supp u K vào H
,p
(R
n
).
Mệnh đề 2.1.4 khẳng định với p, R, 1 <p<, 0 < || <,toán
tử vi phân D

là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p
(R
n
) (hay H
,p
(

R
n
+
))
vào H
||,p
(R
n
) (hay H
||,p
(

R
n
+
)). Do đó, toán tử vi phân D

là toán tử
tuyến tính bị chặn từ H
,p
() vào H
||,p
(). Với (1
1
p
) <,toán tử
vết u u


x

n
=0
là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p
(R
n
) (hay H
,p
(

R
n
+
))
vào H
(1
1
p
),p
(R
n1
). Toán tử vết u u



là toán tử tuyến tính bị chặn từ
H
,p
() vào H
(1

1
p
),p
().
Nhận xét 2.1.5. Trong không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến
q, ta cũng có các Mệnh đề trên.
7
2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) trong R
n
Định nghĩa 2.2.1. Cho s Z
+
,
1
,
2
R,Q=

z C|
1
arg z
2

.
Toán tử GVP A(x,D,q) cấp s trong R
n
với tham biến q đợc xác định nh
sau
Au(x, q)=A(x,D,q)u(x, q)=(2)
n/2

R
n

e
ix,

A
(x,,q)F
n
u()d,
trong đó
A
(x,,q), đợc gọi là biểu trng của toán tử GVP A(x,D,q), có
dạng
A
(x,,q)=

||+s

a
(0)
,
()+a
(1)
,
(x, )



q

với (i) hàm a
(1)
,
(., ) C

0
(R
n
) với mỗi R
n
\{0},
(ii) các hàm a
(0)
,
(.),a
(0)
,
(x, .) C(R
n
\{0}), với mỗi x R
n
, và thuần
nhất dơng bậc 0 theo nghĩa là
a
(0)
,
(c)=a
(0)
,

(),a
(1)
,
(x, c)=a
(1)
,
(x, ), x R
n
, R
n
\{0}, c>0.
Toán tử GVP A đợc gọi là thuần nhất nếu biểu trng của nó
A
(x,,q) thuần
nhất theo (, q), nghĩa là
A
(x,,q)=

||+=s

a
(0)
,
()+a
(1)
,
(x, )

q

.
Định lý 2.2.3. Cho , p R,s Z
+
, 1 <p<. Toán tử GVP A cấp s là
toán tử tuyến tính bị chặn từ (C

0
(R
n
), || ã ||
,p,q,R
n
) vào H
s,p,q
(R
n
). Toán
tử GVP A có thể thác triển lên thành toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p,q
(R
n
)
vào H
s,p,q
(R
n
). Hơn nữa, ta có đánh giá
Au

s,p,q,R
n
Cu
,p,q,R
n
,u H
,p,q
(R
n
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Dới đây, ta quan tâm toán tử GVP cấp s thuần nhất A với biểu trng không
phụ thuộc x, nghĩa là
A
(, q)=

||+=s
a
(0)
,
()

q

.
Định lý 2.2.4. Cho , p R,s Z
+
, 1 <p<. Giả sử toán tử GVP thuần
nhất A với biểu trng không phụ thuộc x và thoả mãn
A

(, q) =0, khi
||||+|q|=0. Khi đó với q Q\{0}, toán tử A : H
,p,q
(R
n
) H
s,p,q
(R
n
)
là khả nghịch, mà toán tử nghịch đảo của nó A
1
là toán tử có dạng
A
1
u(x, q)=(2)

n
2

R
n
e
ix,

1
A
(, q)F
n
u()dx.

Hơn nữa, ta có đánh giá A
1
f
,p
Cf
s,p
, f H
s,p,q
(R
n
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc f , q.
8
2.3 Bài toán biên trên nửa không gian R
n
+
Định nghĩa 2.3.1. Cho s Z
+
,
1
,
2
R,Q=

z C|
1
arg z
2

.

Toán A đợc xác định bởi A = M

AL, trong đó
(i) M là toán tử hạn chế từ R
n
xuống R
n
+
,
(ii) L là toán tử thác triển từ R
n
+
lên R
n
(trong Mệnh đề 2.1.3),
(iii)

A là toán tử GVP cấp s trong R
n
với biểu trng


A
(x,,q),x R
n
, R
n
\{0},q Q
đợc gọi là toán tử GVP cấp s trong R
n

+
với biểu trng

A
(x,,q)=

A
(x,,q),x R
n
+
, R
n
\{0},q Q.
Toán tử A đợc gọi là thuần nhất nếu toán tử

A thuần nhất.
Toán tử A đợc gọi là chấp nhận đợc (admissible) nếu biểu trng của phần
chính của nó có dạng
A
0
(x

, 0,,q)=

s
k=0

A
0k
(x

,

,q)
k
,
trong đó
A
0k
(x

,

,q) thuần nhất dơng bậc (sk) theo (

,q),k =0, ,s,

A
0s
không phụ thuộc (

,q).
Dới đây, chúng ta nghiên cứu bài toán biên trên nửa không gian R
n
+
Cho s, m
1
, ,m
s
Z

+
,
1
,
2
R và Q =

z C|
1
arg z
2

.
Xét bài toán biên
Au(x, q)=A(x,D,q)u(x, q)=f(x, q),x
n
> 0, (2.9)
B
j
u(x, q)


x
n
=0
= B
j
(x,D,q)u(x, q)

x
n
=0
= g
j
(x

,q),j=1, ,s
(2.10)
trong đó q Q, A, B
j
là các toán tử GVP chấp nhận đợc cấp (tơng ứng)
là 2s, m
j
trong R
n
+
với biểu trng (tơng ứng)
A
(x,,q),
B
j
(x,,q).
Đặt
0
= max

2s, m
1
+1, ,m

s
+1

, U =

A, B
1


x
n
=0
, ,B
s


x
n
=0

,
khi
0
, 1 <p<,
H
,p,q
(R
n
+
, R

n1
)=H
2s,p,q
(

R
n
+
) ì
s

j=1
H
m
j
(1
1
p
),p,q
(R
n1
)
với chuẩn
9
(f, g
1
, ,g
s
)
,p,q,R

n
+
,R
n1
= f
2s,p,q,

R
n
+
+

s
=1
g
j

m
j
(1
1
p
),p,q,R
n1
.
Mệnh đề 2.3.2 khẳng định với p, R,
0
, 1 <p<,toán tử U là
toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p,q

(

R
n
+
) vào H
,p,q
(R
n
+
, R
n1
). Hơn nữa, ta
có đánh giá
Uu
,p,q,R
n
+
,R
n1
Cu
,p,q,

R
n
+
,u H
,p,q
(R
n

+
)
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Bây giờ, ta xét bài toán biên (2.9)(2.10) đối với toán tử thuần nhất A(D, q),
B
j
(D, q) với biểu trng
A
(x,,q),
B
j
(x,,q) không phụ thuộc x, nghĩa là

A
(x,,q)=
A
(, q)=
2s

k=0

A
k
(

,q)
k
n
,

B
j
(x,,q)=
B
j
(, q)=
m
j

k=0

B
jk
(

,q)
k
n
,
trong đó
A
k
thuần nhất dơng bậc (2s k),k =0, 1, ,2s,
B
jk
thuần
nhất dơng bậc (m
j
k),k =0, 1 , ,m
j

theo (

,q), và
A
2s
,
B
jm
j
không
phụ thuộc (

,q).
Toán tử A(D, q) đợc gọi là elliptic nếu
A
(, q) =0khi |||| + |q|=0.
Bài toán biên (2.9) (2.10) thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski nếu bài
toán

A
(

,i
d
dt
,q)v(t)=0,t>0, (2.11)

B
j
(

,i
d
dt
,q)v(t)


t=0
= h
j
,j=1, ,s, (2.12)
khi ||

|| + |q|=0, có duy nhất nghiệm trong không gian M các nghiệm ổn
định của phơng trình (2.11) với mọi h
j
.
Bài toán biên (2.9) (2.10) (hay toán tử U) đợc gọi là elliptic nếu toán
tử A(D, q) là elliptic, và bài toán biên (2.9) (2.10) thoả mãn điều kiện
Shapiro-Lopatinski.
Định lý 2.3.5. Cho p, R,
0
, 1 <p<, toán tử U là elliptic. Khi
đó ta có ớc lợng tiên nghiệm
||u||
,p,q,

R
n
+

C(||Uu||
,p,q,R
n
+
,R
n1
+ ||u||
0,p,q,

R
n
+
), u H
,p,q
(

R
n
+
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Khi q =0, ta có bất đẳng thức
10
||u||
,p,q,

R
n
+
C||Uu||

,p,q,R
n
+
,R
n1
, u H
,p,q
(

R
n
+
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Khi đó toán tử U là đơn ánh từ H
,p,q
(

R
n
+
) vào H
,p,q
(R
n
+
, R
n1
).
Định lý 2.3.6. Cho p, R,

0
, 1 <p<, toán tử U là elliptic. Các
khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu q Q \{0} thì toán tử U là khả nghịch, và toán tử nghịch đảo
U
1
là toán tử bị chặn từ H
,p,q
(

R
n
+
, R
n1
) vào H
,p,q
(

R
n
+
), không phụ thuộc
p, ,
(ii) Nếu q =0, có một toán tử bị chặn R từ H
,p,q
(R
n
+
, R

n1
) vào
H
,p,q
(

R
n
+
), không phụ thuộc p, sao cho UR = Id
1
+ T,
trong đó Id
1
là toán tử đồng nhất trên H
,p,q
(R
n
+
, R
n1
),T là toán tử bị chặn
từ H
,p,q
(R
n
+
, R
n1
) vào H

+1,p,q
(R
n
+
, R
n1
).
2.4 Bài toán biên trên miền bị chặn
Cho là một miền compact trong R
n
(n 3),với biên trơn và phân
hoạch đơn vị {U
j
,
j
}
N
j=1
.
Định nghĩa 2.4.1. Toán tử A tác động tuyến tính từ
0
H
,p,q
() vào

0
H
,p,q
() đợc gọi là toán tử GVP cấp s nếu
(i) với mỗi C

(), toán tử A A là toán tử tuyến tính bị chặn từ
H
+s,p,q
() vào H
+1,p,q
(), với mọi l 0,
(ii) với mỗi , C

() có giá cùng nằm trong U
j
nếu U
j
= thì trong hệ toạ độ địa phơng liên kết với U
j
có
A[]=A
j
[] trong đó A
j
là toán tử GVP cấp s trong R
n
,
nếu U
j
= thì trong hệ toạ độ địa phơng liên kết với U
j
có
A[]=A
j

[] trong đó A
j
là toán tử GVP cấp s trong

R
n
+
.
Toán tử A đợc gọi là chấp nhận đợc nếu với mọi , C

() có giá
nằm trong U
j
,màU
j
= , thì trong hệ toạ độ địa phơng liên kết với U
j
có A[.]=A
j
[.], với A
j
là chấp nhận đợc.
11
Xét bài toán biên
Au(x, q)=f(x, q),x , (2.18)
B
j
u(x, q)

= B
j
u(x, q)


x=x

= g
j
(x

,q),j=1, ,s, (2.19)
trong đó q Q, A, B
j
là các toán tử GVP chấp nhận đợc cấp 2s, m
j
trong
miền .
Đặt
0
= max

2s, m
1
+1, ,m
s
+1

, U =

A, B
1



, ,B
s




, và
khi
0
, 1 <p<, H
,p,q
(,) = H
2s,p,q
()ì
s

j=1
H
m
j
1+
1
p
,p,q

()
với chuẩn (f,g
1
, ,g
s
)
,p,q,,
= f
2s,p,q,
+
s

j=1
g
j

m
j
(1
1
p
),p,q,
.
Mệnh đề 2.4.2. Toán tử U là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p,q
() vào
H
,p,q
(,). Hơn nữa, có đánh giá
Uu

,p,q,,
Cu
,p,q,
, u H
,p,q
(),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Tính Elliptic.
Trong hệ toạ độ liên kết với mỗi lân cận U
j
toán tử A có dạng
A
j
là toán tử GVP trong R
n
hay

R
n
+
, tuỳ theo lân cận U
j
không giao hay giao
với biên , phần chính A
0j
là toán tử GVP có biểu trng
A
0j
(x,,q) là
phần thuần nhất dơng bậc 2s trong biểu trng

A
j
(x,,q). Toán tử A đợc
gọi là elliptic nếu trong mỗi lân cận U
j
, phần chính A
0j
là toán tử elliptic,
nghĩa là biểu trng
A
0j
(x,,q) =0, x U
j
, |||| + |q|=0.
Lấy y . Khi đó có một lân cận giao với biên U
j
chứa y. Trong hệ toạ độ
địa phơng liên kết với U
j
mà ở đó y trở thành gốc của hệ toạ độ, phần biên
U
j
trở thành một phần của siêu phẳng x
n
=0, và U
j
nằm ở nửa không
gian trên x
n
0, toán tử A, B

1
, ,B
s
có các phần chính A
0j
,B
01j
, ,B
0sj
với các biểu trng tơng ứng
A
0j
(x,,q),
B
01j
(x,,q), ,
B
0sj
(x,,q).
Toán tử U, hay bài toán biên (2.18) (2.19), đợc gọi là thoả mãn điều kiện
Shapiro- Lopatinski nếu bài toán Cauchy trên nửa đờng thẳng t 0

A
0j
(0,,
d
dt
,q)v(t)=0,t>0 (2.20)

B

0kj
(0,

, i
d
dt
,q)v(t)


t=0
=0 k =1, ,s, (2.21)
12
khi ||

|| + |q|=0, chỉ có nghiệm tầm thờng trong không gian các nghiệm
ổn định M của phơng trình (2.20).
Toán tử U, hay bài toán biên (2.18) (2.19), đợc gọi là elliptic nếu toán tử
A là elliptic, và toán tử U thoả mãn điều kiện Shapiro- Lopatinski.
Mệnh đề 2.4.3. Giả sử toán tử U là elliptic. Khi đó ta có ớc lợng tiên
nghiệm
u
,p,q,
C

Uu
,p,q,,
+ u
1,p,q,

, u H

,p,q
(),
trong đó hằng số C không phụ thuộc u, q.
Khi đó với |q| đủ lớn, toán tử U là đơn ánh từ H
,p,q
() vào H
,p,q
(,),
hay nói cách khác với mọi (f, g) H
,p,q
(,), nếu bài toán biên
(2.18) (2.19) có nghiệm thì nó có duy nhất nghiệm u H
,p,q
().
Định lý 2.4.5. Nếu toán tử U là elliptic , thì toán tử U là toán tử Noether từ
H
,p,q
() vào H
,p,q
(,) và có toán tử làm đều R là toán tử tuyến tính bị
chặn từ H
,p,q
(,) vào H
,p,q
() mà RU = Id
1
+ T
1
, UR = Id
2

+ T
2
,
trong đó Id
1
, Id
2
là toán tử đồng nhất trong H
,p,q
(), H
,p,q
(,),
T
1
là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p,q
() vào H
+1,p,q
(),
T
2
là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p,q
(,) vào H
+1,p,q
(,).
Định lý 2.4.6. Giả sử bài toán biên (2.18) (2.19) là elliptic. Khi đó, khi |q|
đủ lớn, với mọi (f, g) H
,p,q
(,) bài toán biên (2.18) (2.19) có duy

nhất nghiệm u H
,p,q
(). Hơn nữa, ta có đánh giá sau
C
1
||u||
,p,q,
||(f, g)||
,p,q,,
C||u||
,p,q,
,
trong đó C>1 là hằng số không phụ thuộc q và các hàm.
Dới đây, ta xét bài toán biên đối với phơng trình GVP elliptic nửa tuyến
tính
Au(x, q)=f(x, q, u(x, q)) trong , (2.29)
B
j
u(x, q)=g
j
(x, q, u
j
(x, q)) trên ,j =1, ,s, (2.30)
trong đó u (x, q)=(u(x, q),Du(x, q), ,D
2s1
u(x, q)),
u
j
(x, q)=(u(x, q),Du(x, q), ,D
m

j
1
u(x, q)),
13
các toán tử A, B
j
là các toán tử GVP trong bài toán biên tuyến tính
(2.18) (2.19).
Vế phải f, g
1
, ,g
s
của bài toán biên (2.29) (2.30) thỏa mãn các điều
kiện sau.
(i) Các ánh xạ (x, q, u) f(x, q, u) từ ì C ì C
N
vào C,
(x, q, u
j
) g
j
(x, q, u
j
) từ ì C ì C
N
j
vào C,
trong đó u =(u
1
, ,u

N
),u
j
=(u
1
, ,u
N
j
), thỏa mãn điều kiện
Caratheodory, nghĩa là liên tục theo u , u
j
( tơng ứng) với hầu hết (x, q) và
đo đợc theo (x, q) với mọi u , u
j
(tơng ứng),
(ii) ánh xạ u(x, q)

f(x, q, u(x, q)),g
j
(x, q, u
j
(x, q))

từ H
,p,q
() vào H
,p,q
(,), biến mỗi tập bị chặn thành tập compact
tơng đối,
(iii) 1 > inf

M>0
lim sup
|q|+
U
1
(f, g
j
)
M,q
, trong đó
(f, g
j
)
M,q
= sup{
1
M


f(x, q, u(x, q)),g
j
(x, q, u
j
(x, q))


,p,q,,

u
,p,q,
M}.
Định lý 2.4.10. Với các giả thiết của Định lý 2.4.5, và các giả thiết
(i)(ii)(iii) đợc thỏa mãn thì với |q| đủ lớn, bài toán biên (2.29)(2.30)
có nghiệm u H
,p,q
().
14
Chơng 3. Bài toán biên không cổ điển đối
với phơng trình elliptic
3.1 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
elliptic tuyến tính
Dới đây, ta nghiên cứu bài toán biên không cổ điển tuyến tính
Au = f(x) trong , (3.1)
B
j
u = B
j
(D

u)=g
j
trên ,j =1, 2, ,s, (3.2)
trong đó A, B
j
là các toán tử GVP chấp nhận đợc cấp, tơng ứng, 2s, m
j
(nh trong (2.18) (2.19)), D

là trờng véc-tơ trơn xác định trong một lân
cận của biên , tiếp xúc với biên tại những điểm thuộc đa tạp con, liên
thông, trơn, (n 2)chiều
0
và không tiếp xúc với
0
. Ngoài ra,
tại mỗi điểm của
0
đều có một lân cận trên biên mà
0
chia lân cận đó
thành hai tập liên thông.
Ta dùng cách phân loại
0
thành ba lớp I, II, III nh của Egorov- Kondratiev.
Khi
0
thuộc lớp I, ta thêm điều kiện
D
k
n
u = u
0k
trên
0
,k=0, 1, ,s 1. (3.3)
Bài toán biên (3.1)(3.2) (hay (3.1) (3.2) (3.3) khi
0
thuộc lớp I) đợc

nghiên cứu khi toán tử (A, B
j
|

) là elliptic, nghĩa là toán tử A là elliptic,
(A, B
j
|

) thoả mãn điều kiện Shapiro- Lopatinski, ngoài ra trong hệ tọa độ
z
1
, ,z
n
toán tử A có biểu trng
A
(0,,q)=

||+||=2s

A
,
()

q

,
với =(
2
, ,

n1
). Khi đó bài toán biên (3.1) (3.2) không elliptic,
cụ thể là nó không thoả mãn điều kiện Shapiro- Lopatinski tại những điểm
thuộc
0
.
Với
d
= {x |||x y|| d, y
0
}(d>0) là d-lân cận của
0
trong
, đặt N
d
= {y
d
|x
0
:

xy là pháp tuyến trong của biên tại x},
15
h = h
d
(x) là hàm thuộc lớp C

() bằng 0 khi x
d
, bằng 1 khi x d

2
.
Khi
1
= max{2s, m
j
+2},
0
thuộc lớp I, ta ký hiệu không gian

,p,q
() = {u H
,p,q
()



(hu)

H
,p,q
(); (hu)|
N
d
H
,p,q
(N
d
)}
với chuẩn ||u||

,p,q
()
=

||u||
p
,p,q,
+ ||
(hu)

||
p
,p,q,
+ ||(hu)|
N
||
p
,p,q,N

1
p
,
còn khi
0
thuộc lớp II, III ta ký hiệu không gian

,p,q
() =

u H
,p,q
()



(hu)

H
,p,q
()

với chuẩn ||u||

,p,q
()
=

||u||
p
,p,q,
+ ||
(hu)

||
p
,p,q,

1
p

,
và khi
0
thuộc lớp I, II hay III, ta ký hiệu không gian

,p,q
(,) = {(f,g)
2s,p,q
() ì
s
j=1
H
m
j
2+
1
p
,p,q
() |
(hg
j
) H
m
j
1+
1
p
,p,q
()}
với chuẩn ||(f,g)||

,p,q
(,)
=

||f||
p

2s.p,q
()
+
s

j=1

||g
j
||
p
m
j
2+
1
p
,p,q,
+||hg
j
||
p
m

j
1+
1
p
,p,q,


1
p
.
Dới đây ta xét bài toán khi
0
thuộc lớp I.
Định lý 3.1.4. Với mỗi u
,p,q
() ta có ớc lợng tiên nghiệm
||u||

,p,q
()
C(||(Au, B
j
u|

)||

,p,q
(,)
+
+

s1
k=0
||D
k
n
u|

0
||
k(1
1
p
),p,q,
0
+ ||u||

0,p,q
()
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Định lý 3.1.6. Toán tử U có toán tử làm đều R là toán tử tuyến tính bị chặn
từ
,p,q
(,) ì
s1
k=0
H
k(1
1

p
),p,q
(
0
) vào
,p,q
().
Hệ quả 3.1.7. Khi |q| đủ lớn, bài toán (3.1)(3.2)(3.3) có duy nhất nghiệm
trong
,p,q
() với bất kỳ vế phải trong
,p,q
(,) ì H
k(1
1
p
),p,q
(
0
).
Tơng tự đối với trờng hợp
0
thuộc lớp I, đối với trờng hợp
0
thuộc lớp
II, III ta cũng có ớc lợng tiên nghiệm. Đặc biệt, khi
0
thuộc lớp III ta
cũng tính làm đều của toán tử U =(A, B
j

|

), và khi |q| đủ lớn thì toán tử
U là một đẳng cấu giữa
,p,q
() và
,p,q
(,).
16
3.2 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
elliptic nửa tuyến tính
Dới đây, khi
0
thuộc lớp I hay III, ta nghiên cứu bài toán biên không cổ
điển cho phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính sau
Au(x, q)=f(x, q, u(x, q)) trong , (3.20)
B
j
(D

u(x, q)) = g
j
(x, q, u
j
(x, q)) trên ,j =1, ,s, (3.21)
trong đó u (x, q)=(u(x, q),Du(x, q), ,D
2s1
u(x, q)),
u
j

(x, q)=(u(x, q),Du(x, q), ,D
m
j
1
u(x, q)),
các toán tử A, B
j
là các toán tử GVP trong bài toán biên (3.1) (3.2).
Nếu
0
thuộc lớp I ta cần thêm điều kiện biên (3.3).
Vế phải f, g
1
, ,g
s
của bài toán biên (3.20) (3.21) thỏa mãn các điều
kiện sau.
(i) Các ánh xạ (x, q, u) f(x, q, u) từ ì C ì C
N
vào C,
(x, q, u
j
) g
j
(x, q, u
j
) từ ì C ì C
N
j
vào C,

trong đó u =(u
1
, ,u
N
),u
j
=(u
1
, ,u
N
j
), thỏa mãn điều kiện
Caratheodory, nghĩa là liên tục theo u , u
j
( tơng ứng) với hầu hết (x, q) và
đo đợc theo (x, q) với mọi u , u
j
(tơng ứng),
(ii) ánh xạ u(x, q)

f(x, q, u(x, q)),g
j
(x, q, u
j
(x, q))

từ
,p,q
() vào

,p,q
(,), biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tơng đối,
(iii) 1 > lim inf
M+
lim sup
|q|+
U
1
(f, g
j
)
M,q
, trong đó
(f, g
j
)
M,q
= sup{
1
M


f(x, q, u(x, q)),g
j
(x, q, u
j
(x, q))

,p,q
(,)


u

,p,q
()
M}.
Định lý 3.2.3. Giả sử
0
thuộc lớp I, các giả thiết (i) (ii) (iii) đợc thỏa
mãn. Cho u
0k
H
k1+1/p,p,q
(
0
),k =0, ,s 1. Khi đó với |q| đủ lớn,
bài toán biên (3.20) (3.22) có nghiệm u
,p,q
().
Khi
0
thuộc lớp III, điều kiện (iii) đợc giảm nhẹ thành điều kiện
(iii)' 1 > inf
M>0
lim sup
|q|
||U

1
|| || (f, g
j
)||
M,q
,
ta cũng có Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán biên (3.20) (3.21).
17
Chơng 4. Bài toán biên không cổ điển đối với
phơng trình parabolic
4.1 Không gian hàm
Để đơn giản ký hiệu, chúng tôi dùng

=ì (0, +),

= ì
(0, +).
4.1.1. Định nghĩa. Cho 0 , 0 <à, N, 1 p<.
Không gian P
,p
(, à, R
n
ì (0, +)) là không gian làm đầy không gian
P (R
n
ì(0, +)) =

u C

0

(R
n
ì(, +)) : supp u R
n
ì(0, +)

bởi chuẩn
u
P
,p
(,à,R
n
ì(0,+))
=


R
n+1
,

1+ + |q|
1/

p
ì
ì


F
n+1

e
àt
u(x, t)

(, )


p
dd

1/p
,
trong đó q = à + i,
F
n+1

e
àt
u(x, t)

(, )=(2)

n+1
2

R
n+1
e
ix,itàt

u(x, t)dxdt.
Không gian E
,p
(, à, R
n
) là không gian làm đầy không gian LP (R
n
ì
(0, +)) = {Lu | u P(R
n
ì (0, +))} bởi chuẩn
U
E
,p
(,à,R
n
)
=


R

U
p
,p,q
1/
,R
n
d

1/p
,
trong đó q = à + i, Lu(x, q)=(2)

1
2

+
0
e
qt
u(x, t)dt.
Cho là miền bị chặn với biên trơn trong R
n
. Các không gian
P
,p
(, à,

R
n
+
ì (0, +)),E
,p
(, à,

R
n
+
),P

,p
(, à,

),E
,p
(, à, ), và
P
,p
(, à,

),E
,p
(, à, ) đợc xây dựng nh truyền thống.
4.1.2. Tính chất.
Ta cũng có các tính chất về phép nhúng liên tục giữa các không gian, tính
bị chặn của các toán tử vi phân cũng nh toán tử GVP, toán tử hạn chế M và
toán tử thác triển L, toán tử lấy vết |

.
18
Mệnh đề 4.1.2. (i) Nếu U(x, q) E
,p
(, à, ),q = à + i, thì U(x, q)
H
,p,q
1/
() với hầu hết q, q = à và ||U||
E
,p
(,à,)

=


R

||U||
p
,p,q
1/
,
d

1
p
.
Ngợc lại, nếu U(x, q) H
,p,q
1/
() với hầu hết q, q = à và

R

||U||
p
,p,q
1/
,
d < +
thì U(x, q) E
,p

(, à, ).
(ii) Toán tử vi phân

k
t
k
: P
,p
(, à, ì (0, +)) P
k,p
(, à, ì
(0, +)), 0 k


, là toán tử tuyến tính bị chặn.
(iii) Nếu u(x, t) P
,p
(, à, ì(0, +)) thì

k
u
t
k



t=0
=0, 0 k

.
Định lý 4.1.4. Phép biến đổi Laplace là toán tử đẳng cấu đẳng cự giữa các
cặp không gian sau: (i) P
,p
(, à,

R
n
+
ì (0, +)) và E
,p
(, à,

R
n
+
),
(ii) P
,p
(, à,

) và E
,p
(, à, ), (iii) P
,p
(, à,

) và E
,p
(, à, ).

4.2 Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình GVP
parabolic trên nửa trụ vô hạn
Xét bài toán biên trên nửa trụ vô hạn ì (0, +) :
A

x, D
x
,

t

u(x, t)=f(x, t),x ,t>0, (4.3)
B
j

x, D
x
,

t

u(x, t)=g
j
(x, t),x ,t>0,j =1, ,s, (4.4)
với điều kiện ban đầu

k
u(x, t)
t
k

t=0
=0,k =0, 1, ,
2s

1, (4.5)
trong đó s, m
1
, ,m
s
Z
+
,m
j
< 2s, j =1, ,s, còn là ớc số chẵn
của 2s, các toán tử A(x, D
x
,

t
),B
j
(x, D
x
,

t
) đợc xác định nh sau

A(x, D
x
,

t
)=

0k2s
A
k
(x, D
x
)

k
t
k
,
B
j
(x, D
x
,

t
)=

0km
j
B

jk
(x, D
x
)

k
t
k
,
19
với A
k
(x, D
x
),B
jk
(x, D
x
) là các toán tử GVP trên có cấp tơng ứng là
(2s k), (m
j
k) và biểu trng của phần chính, khi viết trong hệ tọa độ
địa phơng của lân cận biên mà trục 0x
n
là pháp tuyến trong của biên, là

A
k
(x, )=

||=2sk
a
k
(x,

)

,
B
jk
(x, )=

||=m
j
k
b
jk
(x,

)

,
các hàm a
k
(x,

),b
jk
(x,

) là các hàm khả vi vô hạn có giá compact theo
x với mỗi

R
n1
\{0}, thuần nhất dơng bậc 0 theo

với mỗi x ,
và a
k,(0, ,0,2sk)
(x,

),b
jk,(0, ,0,m
j
k)
(x,

) không phụ thuộc

.
Với điều kiện ban đầu (4.5), bằng việc áp dụng phép biến đổi Laplace
U(x, q)=L[u(x, t)](x, q) vào bài toán biên (4.3) (4.4) một cách hình
thức ta thu đợc bài toán biên
A(x, D
x
,q
1/
)U(x, q)=F (x, q),x , (4.6)
B

j
(x, D
x
,q
1/
)U(x, q)=G
j
(x, q),x ,j =1, ,s, (4.7)
với q
1/
là căn bậc của q với (q
1/
) > 0, (q
1/
) lớn nhất,
A(x, D
x
,q
1/
),B
j
(x, D
x
,q
1/
) là các toán tử GVP chấp nhận đợc trên
có cấp tơng ứng 2s, m
j
và biểu trng của phần chính, khi viết trong hệ tọa
độ địa phơng của lân cận biên mà trục 0x

n
là pháp tuyến trong của biên, là

A
(x,,q
1/
)=

||+k=2s
a
k
(x,

)

(q
1/
)
k
,

B
j
(x,,q
1/
)=

||+k=m
j
b

jk
(x,

)

(q
1/
)
k
.
Ta gọi bài toán biên (4.3) (4.4) với điều kiện ban đầu (4.5) là bài toán biên
parabolic nếu toán tử (A(x, D
x
,q
1/
),B
j
(x, D
x
,q
1/
)|

) là elliptic.
Mệnh đề 4.2.1. Giả sử toán tử (A(x, D
x
,q
1/
),B
j

(x, D
x
,q
1/
)|

) là
elliptic. Với
0
, 1 <p<, q = à đủ lớn, bài toán biên
(4.6) (4.7) có duy nhất nghiệm trong E
,p
(, à, ) với bất kỳ vế phải trong
E
2s,p
(, à, ) ì E
m
j
1+1/p,p
(, à, )
Định lý 4.2.3. Giả sử bài toán biên (4.1)(4.2) với điều kiện ban đầu (4.3) là
parabolic. Với
0
, 1 <p<, q = à đủ lớn, bài toán biên (4.1)(4.2)
với điều kiện ban đầu (4.3) có duy nhất nghiệm trong P
,p
(, à,

) với bất
kỳ vế phải trong P

2s,p
(, à,

) ì
s
j=1
P
m
j
1+1/p,p
(, à,

).
20
4.3 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
parabolic tuyến tính trên nửa trụ vô hạn
Trong lân cận của biên của tập compact, liên thông với biên trơn trong
R
n
xác định một trờng véc-tơ trơn chỉ tiếp xúc với biên tại những điểm
thuộc đa tạp con trơn, liên thông, (n 1)chiều
0
của biên . Với cách
phân loại
0
theo hình dáng của trờng véc-tơ thành ba lớp I, II, III nh
mục 3.1 của Chơng 3, ta xét bài toán biên không cổ điển đối với phơng
trình parabolic sau.
A(x, D
x

,

t
)u(x, t)=f(x, t),x ,t>0, (4.10)
B
j
(x, D
x
,

t
)(D

u(x, t))




= g
j
(x, t),t>0,j=1, ,s, (4.11)
thỏa mãn điều kiện ban đầu (4.5),
trong đó các toán tử GVP A(x, D
x
,

t
), B
j
(x, D

x
,

t
) đợc xác định nh
trong (4.3) (4.4).
Nếu
0
thuộc lớp I, ta thêm điều kiện biên
D
k
n
u(x, t)=u
0k
(x, t),x
0
,t>0,k=0, ,s 1. (4.13)
Bằng cách tơng tự nh trong mục trớc, với điều kiện ban đầu (4.5) bằng
phép biến đổi Laplace vào bài toán biên (4.10) (4.11) trở thành bài toán
biên
A(x, D
x
,q
1/
)U(x, q)=F (x, q),x , (4.14)
B
j
(x, D
x
,q

1/
)(D

U(x, q)) = G
j
(x, q),x ,j=1, ,s, (4.15)
và nếu
0
thuộc lớp I, ta thêm điều kiện
D
k
n
U(x, q)=U
0k
(x, q),x
0
,k=0, ,s 1. (4.16)
Ký hiệu toán tử U =(A(x, D
x
,

t
),B
j
(x, D
x
,

t
)D

).
Khi
1
= max{2s, m
j
+2}, 1 <p<, ta ký hiệu các không gian
E
,p
(, à, ), E
,p
(, à, ,), P
,p
(, à,

), P
,p
(, à,

,

) đợc xác
định một cách tơng tự nh không gian
,p,q
(),
,p,q

(,).
21
Mệnh đề 4.3.3. Giả sử
1
, 1 <p<,
0
thuộc lớp I, toán tử
(A(x, D
x
,q
1/
),B
j
(x, D
x
,q
1/
)|

) là elliptic. Khi đó, khi à = q đủ lớn,
bài toán biên (4.14) (4.16) có duy nhất nghiệm trong E
,p
(, à, ) với mọi
vế phải trong E
,p
(, à, ,) ì E
k1+
1
p
,p

(, à,
0
).
Định lý 4.3.5. Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 4.3.3 đợc thỏa mãn. Khi
đó, khi à = q đủ lớn, bài toán biên (4.10) (4.11) (4.13) với điều
kiện ban đầu (4.5) có duy nhất nghiệm trong P
,p
(, à,

) với mọi vế phải
P
,p
(, à,

,

) ì P
k1+
1
p
,p
(, à,
0
ì (0, +)).
Tơng tự trờng hợp
0
thuộc lớp I, ta cũng có Định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm cho bài toán (4.10) (4.11) với điều kiện ban đầu (4.5) khi
0
thuộc

lớp III.
4.4 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
parabolic nửa tuyến tính trên nửa trụ vô hạn
Dới đây, ta xét bài toán biên không cổ điển nửa tuyến tính sau
A(x, D
x
,

t
)u(x, t)=f(x, t, u(x, t)),x ,t > 0, (4.21)
B
j
(x, D
x
,

t
)(D

u(x, t))




= g
j
(x, t, u
j
(x, t)),t>0,j = 1,s, (4.22)
với điều kiện ban đầu (4.5),

trong đó các toán tử GVP A(x, D
x
,

t
), B
j
(x, D
x
,

t
) đợc xét nh trong
bài toán biên (4.10) (4.11) và u (x, t)=(u(x, t), ,D
2s1
x
u(x, t)),
u
j
(x, t)=(u(x, t), ,D
m
j
1
x
u(x, t)).
Nếu
0
thuộc lớp I, ta thêm điều kiện biên (4.13)
Vế phải (f, g) đợc giả thiết nh sau.
(i) Các ánh xạ (x, t, u) f(x, t, u) từ ì R

+
ì C
N
vào C,
(x, t, u
j
) g
j
(x, t, u
j
) từ ì R
+
ì C
N
j
vào C,
trong đó u =(u
1
, ,u
N
),u
j
=(u
1
, ,u
N
j
), thỏa mãn điều kiện
Caratheodory, nghĩa là, liên tục theo u , u
j

(tơng ứng) với hầu hết (x, t)
và đo đợc theo (x, t) với mọi u , u
j
(tơng ứng),
22
(ii) ánh xạ u(x, t)

f(x, t, u(x, t)),g
j
(x, t, u
j
(x, t))

từ P
l,p
(, à,

))
vào P
l,p
(, à,

,

), biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tơng đối,
(iii)1 > lim inf
M+
lim sup
à+
(A, B

j
)
1
(f, g
j
)
M,à
, trong đó
(f, g
j
)
M,à
= sup{
1
M


f(x, t, u(x, t)),g
j
(x, t, u
j
(x, t))


P
l,p
(,à,

,

)



u
P
l,p
(,à,

)
M}.
Định lý 4.4.2. Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 4.3.3 và các giả thiết (i)
(ii) (iii) đợc thỏa mãn. Cho u
0k
P
k1+1/p,p
(, à,
0
ì (0, +)),k =
0, ,s1. Khi đó với à = q đủ lớn, bài toán biên (4.21)(4.22)(4.13)
với điều kiện ban đầu (4.5) có nghiệm u P
,p
(, à,

).
Khi
0
thuộc lớp III, điều kiện (iii) đợc giảm nhẹ thành điều kiện
(iii)' 1 > inf
M>0

lim sup
à
||(A, B
j
)
1
|| || (f, g
j
)||
M,à
,
ta có kết quả sau.
Định lý 4.4.3. Giả sử các giả thiết của Định lý 4.3.6 và các giả thiết
(i) (ii) (iii)

đợc thỏa mãn. Khi đó, với à = q đủ lớn, bài toán biên
(4.21) (4.22) với điều kiện ban đầu (4.5) có nghiệm u P
,p
(, à,

).
Kết luận
Các kết quả chính của luận án:
Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic
Đa ra một lớp không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số

,p,q
(), 1 <p<.
Định tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên không cổ điển đối với
phơng trình GVP elliptic tuyến tính khi

0
thuộc lớp I, III. Còn khi
0
thuộc lớp II, khi |q| đủ lớn chúng tôi mới chỉ có kết quả về Định lý duy
nhất nghiệm.
Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán biên không cổ điển đối với phơng
trình GVP elliptic nửa tuyến tính khi
0
thuộc lớp I, III.
23