Toán 11 Đề thi HK I số 1

http://ductam_tp.violet.vn/
ĐỀ THI HỌC KÌ I:
MÔN: Toán
Lớp: 11 Nâng cao
Thời gian: 90 phút.
Đề:
Câu 1: (2đ)
Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4x x x x
+ = +
(1đ)
b)
2 2
sin 5sin 2 3 os 3x x c x
+ + = −
(1đ)
Câu 2:(1.5đ)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 2
2 sin os sinx.cosx=m-1m x mc x
− + −
Câu 3: (1đ)
Xác định hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển :
18
3
2
2
2x

x
 
−
 ÷
 
.
Câu 4: (1đ)
Bốn quả cầu được chọn ngẫu nhiên (cùng một lúc) từ một cái hộp gồm 8 quả cầu đen
và 4 cầu trắng, Tính xác suất để chọn được ít nhất 2 quả cầu trắng.
Câu 5:(1đ)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số
được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 5 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt
đúng 1 lần?
Câu 6: (2đ)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. M là trọng tâm của tam
giác SBD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M, song song với SB và
AC.
Câu 7: (1.5đ)
Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABB’, ACC’ nằm về phía ngoài của tam
giác ABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của B’C, BC’.Chứng minh tam giác AIJ là tam
giác đều.

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
Câu Đáp án Thang
điểm
Câu 1a
(1đ)
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4
1 os2x 1 os4x 1 os6x 1 os8x

2 2 2 2
os2x+cos4x=cos6x+cos8x
2cos3x.cosx=2cosx.cos7x
cosx.sin5x.sin2x=0
osx=0
sin5x=0
sin2x=0
x x x x
c c c c
c
c
+ = +
− − − −
⇔ + = +
⇔
⇔
⇔


⇔




0,75đ
2
5
2
x k
k

x
k
x
π
π
π
π

= +



⇔ =



=


0,25đ
Câu 1b
(1đ)
2 2
2 2
2
sin 5sin 2 3 os 3
tan 10t anx+3= -3(1+tan x)
4tan 10t anx+6=0
tanx=-1
3

tanx=-
2
x x c x
x
x
+ + = −
⇔ +
⇔ +


⇔


4
3
arctan(- )+k
2
x k
x
π
π
π
−

= +

⇔


=



0,75đ
0,25đ
Câu 2
(1,5đ)
2 2
2 sin os sinx.cosx=m-1(1)
1+cos2x sin 2
-m(1-cos2x)+m 1
2 2
2 (1 os2x) (1 os2x) sin 2 2( 1)
3 os2x-sin2x=3m-2(2)
m x mc x
x
m
m c m c x m
mc
− + −
⇔ − = −
⇔ − − + + − = −
⇔
Pt (1 )
có nghiệm khi và chỉ khi Pt (2) có nghiệm
2 2
9 1 (3 2)m m⇔ + ≥ −
.

⇔

1
4
m ≥
1đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3
(1đ)
18
18 18
18 18 18 3
18 18
2 2
0 0
2 2
2 (2 ) ( ) 2
k k k k k
k k
x C x C x
x x
− −
= =
 
− = =
 ÷
 
∑ ∑
Số hạng không chứa x thì 18-3k=0.
Nên k=6
Hệ số:

18 6
18
2 C
.
1đ
Câu 4
(1đ)
A “Chọn được ít nhất hai quả cầu trắng”
Chọn 4 cầu trong số 12 cầu, có
4
12
C
cách chọn.
4
12
CΩ =
2 2 3 1 4
4 8 4 8 4
. .
A
C C C C C
Ω = + +
.
( )
A
P A
Ω
= =
Ω
2 2 3 1 4

4 8 4 8 4
4
12
. .C C C C C
C
+ +
1đ
Câu 5
(1đ)
Gọi số cần tìm là
1 2 9
.....a a a
Giả sử 9 chữ số của số của cần tìm là 9 vị trí.
Lấy chữ số 0 đặt vào một trong 8 vị trí ( trừ vị trí đầu tiên), có 8 cách đặt.
Lấy chữ số 5 đặt vào 3 trong 8 vị trí còn lại, có
3
8
C
cách.
5 số còn lại đặt vào 5 vị trí còn lại, có 5! Cách .
Vậy có 8.5!.
3
8
C
số cần tìm.
1đ
Câu 6
(2đ)
Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với SB và AC.
j

D
C
B
A
I
O
P
R
Q
N
M
S
Vì (P) song song với SB nên
( ) ( )P SBD d∩ =
, d đi qua M và song song
với SB, d cắt SD, BD lần lượt tại N, I.
Vì (P) // AC nên
( ) ( )P ABCD RQ∩ =
, RQ đi qua I và song song với
AC,
,Q AB R CB∈ ∈
.
Tương tự:
( ) ( ) //P SAB QP SB∩ =
, P thuộc SA.

( ) ( )P SAD NP∩ =

( ) ( ) //P SBC RO SB∩ =
, O thuộc SC.

( ) ( )P SDC NO∩ =
.
Vậy thiết diện cần tìm là ngủ giác NPQRO.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 7
(1,5đ)
J
I
C'
B'
C
A
B
0
0
( ,60 )
( ,60 )
( ') ,
( ') ,
A
A
Q B B
Q C C

=
=
Suy ra:
0
( ,60 )
( ' ')
A
Q B C BC
=
0,25đ
1,25đ
Qua phép quay tâm A, góc 60, trung điểm của B’C’ biến thành trung điểm
của BC.
0
( , ) 60
IA JA
IA JA
=

⇒

=

Vậy tam giác AIJ đều.