Lời giải đề thi chuyên Toán và Tin THPT chuyên Hùng Vương 2019-2020

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

LỜI GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN LỚP 10/2019

THPT CHUN HÙNG VƯƠNG

Tập thể lớp chun Tốn khóa 36

-7th June 2019

1

Đề thi

Bài 1(2,0 <i>điểm).</i>

a) Cho số thựcx thỏa mãn x+ 1

x = 3. Tính giá trị biểu thức
P =x3+ 1

x3.
b) Giải phương trình √ 1

x+ 1 +
1
√

x−1 = 1.
Bài 2(2,0 <i>điểm).</i>

a) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng
a

b +
b
c ≥

4a
a+c

b) Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn trịn. Chứng minh
rằng ln tồn tại 1 học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ.

Bài 3(2,0 <i>điểm).</i> Với mỗi số thực x, kí hiệu[x] là số ngun lớn nhất khơng vượt q x.
Ví dụ √2 = 1;

−3

2

=−2.

a) Chứng minh rằngx−1<[x]≤x <[x] + 1 = [x+ 1] với mọi x∈_R.
b) Có bao nhiêu số nguyên dương n≤840 thỏa mãn [√n] là ước củan?

Bài 4 (3,0 <i>điểm).</i> Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH (H ∈ AC). Gọi (ω) là
đường tròn tâmC bán kínhCB. GọiF là một điểm bất kì trên đoạn thẳng BH (F khácB và
H). Đường thẳng AF cắt (ω) tại hai điểm D, E (D nằm giữa A và E). Gọi K là trung điểm
của DE.

a) Chứng minh rằngF KCH là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằngAD·AE =AH ·AC =AF ·AK.

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K tiếp xúc với (ω)tại B.
Bài 5(1,0 <i>điểm).</i>Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho

n2019
2n <

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2

Lời giải

Bài 1 (2,0<i>điểm).</i>

a) Cho số thực xthỏa mãn x+ 1

x = 3. Tính giá trị biểu thức
P =x3+ 1

x3.
b) Giải phương trình √ 1

x+ 1 +
1
√

x−1 = 1.

Lời giải. a) Sử dụng hằng đẳng thức A3+B3 = (A+B)3−3AB(A+B) ta có

P =x3+ 1
x3 =

x+ 1

x
3

−3

x+ 1
x

·x· 1

x = 3

3₋₃2 _{= 18.}

b) Ta biến đổi phương trình thành
1
√

x+ 1 +
1
√

x−1 = 1
⇔

√

x−1 +√x+ 1
(√x+ 1)(√x−1) = 1

⇔ 2

√
x
x−1 = 1
Suy ra

(√x−1)2 = 2⇒x= 3 + 2√2.

Thử lại ta thấy thỏa mãn, kết luận phương trình có nghiệm duy nhất là x= 3 + 2√2.

Nhận xét. Hai phần trên đều là các bài cơ bản, quen thuộc mà ai cũng phải làm được. Có thể
nói đây là bài cho điểm. Ngồi ra nhiều bạn thắc mắc là những bài giải phương trình tại sao
khơng đặt điều kiện. Thực ra nó khơng cần thiết, bởi lẽ từ phương trình ban đầu ta biến đổi
ra kết quả xong có bước thử lại thì nó đã bao gồm điều kiện cần và đủ nên không nhất thiết
phải đặt điều kiện ban đầu (ta chỉ sử dụng trong quá trình loại các trường hợp).

Bài 2 (2,0<i>điểm).</i>

a) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng
a

b +
b
c ≥

4a

a+c

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

b) Ta giả sử phản chứng là không tồn tại bạn nào mà ngồi cạnh hai bạn nữ.

Ta quy ước một nhóm nam là một dãy các bạn nam ngồi liên tiếp với nhau và hai nhóm nam
được cách nhau bởi một nhóm nữ (một bạn nam cũng coi là một nhóm).

Tuy nhiên khơng có nhóm nam nào có 1 bạn, nếu khơng bạn học sinh đó sẽ ngồi cạnh hai
bạn nữ (trái với điều giả sử).

Vậy số học sinh trong một nhóm nam ít nhất ln là hai bạn học sinh nên số nhóm nam
tối đa là [15÷2] = 7 (nhóm).

Mặt khác nhóm nam và nhóm nữ xếp xen kẽ nhau và ngồi quanh 1 bàn tròn nên số nhóm
nam bằng số nhóm nữ và có tối đa là 7 nhóm.

Từ giả thiết có 15 bạn học sinh nữ nên theo nguyên lý Dirichlet thì sẽ tồn tại ít nhất một
nhóm nữ có ba bạn trở lên, khi đó bạn ngồi giữa sẽ ngồi với hai bạn nữ (trái với giả thiết phản
chứng).

Vậy điều giả sử là sai hay ta có đpcm.

Nhận xét. Phần a) của bài tốn là bài bất đẳng thức khơng đối xứng nên chúng ta nghĩ đến
việc quy đồng, sau đó thì thực sụ là quá dễ kể cả đối với những bạn ít học bất đẳng thức. Phần
b) cũng không là bài tổ hợp quá khó nhưng ở bậc THCS tỉnh Phú Thọ chưa chú ý lắm phần
này nên số bạn làm được chắc cũng không nhiều và khi các bạn học sinh lên bậc THPT lại
xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Olympic Tốn do đó cầ cần sự chú trọng hơn về phần này
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

Bài 3 (2,0<i>điểm).</i>Với mỗi số thực x, kí hiệu [x]là số ngun lớn nhất khơng vượt q x.
Ví dụ √2= 1;

−3

2

=−2.

a) Chứng minh rằngx−1<[x]≤x <[x] + 1 = [x+ 1] với mọix∈_R.
b) Có bao nhiêu số nguyên dương n ≤840 thỏa mãn [√n] là ước củan?

Lời giải. a) Dựa vào định nghĩa kí hiệu [x]là số nguyên lớn nhất khơng vượt q x nên ta có
ngay [x]≤x.

Giả sử x≥[x] + 1 mà [x] + 1 >[x] điều này mâu thuẫn với định nghĩa về [x] là số nguyên
lớn nhất khơng vượt q x. Do đó x <[x] + 1 hay x−1<[x].

Bây giờ ta đặtx={x}+ [x]trong đó{x} được gọi là phần lẻ củax. Kết hợp các BĐT vừa
chứng minh thì ta có 0≤ {x}<1.

Khi đó [x+ 1] = [[x] + 1 +{x}] = [x] + 1.

Vậy suy ra x−1<[x]≤x <[x] + 1 = [x+ 1] với mọix∈_R.

b) Với mỗi số nguyên dương 1 ≤ n ≤ 840, ta đặt [√n] = a (a ∈ _N∗_{). Khi đó ta có}
a2 _≤_{n <}_(a_{+ 1)}2 _hay _a2 _≤_n_≤_a(a_{+ 2)}

Giả sử [√n] là ước của n, tức làa là ước củan khi đó n chỉ nhận ba giá trị là a2, a(a+ 1) và
a(a+ 2).

Do ba số thuộc trong nửa khoảng [a2_,_(a_{+ 1)}2₎ _{nên ta có với mỗi}_a _{nguyên dương ta lại có ba}
số n thỏa mãn điều kiện bài toán và phân biệt.

Mặt khác 1≤n≤840 nên a2 _≤₈₄₀ _hay ₁_≤_a_≤_28.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 4 (3,0<i>điểm).</i>

Cho tam giácABC vuông tại B, đường caoBH (H ∈AC). Gọi(ω)là đường trịn tâm C
bán kính CB. Gọi F là một điểm bất kì trên đường thẳng BH (F khác B và H). Đường
thẳng AF cắt (ω) tại hai điểmD, E (D nằm giữaA vàE). GọiK là trung điểm của DE.

a) Chứng minh rằngF KCH là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng AD·AE =AH·AC =AF ·AK.

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K tiếp xúc với (ω) tại B.

<i>K</i>
<i>D</i>

<i>E</i>
<i>H</i>

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>C</i>
<i>F</i>

Lời giải. a) Ta có _∠F HC =_∠F KC = 90◦ nên tứ giác F KCH là tứ giác nội tiếp.
b) Do AB là tiếp tuyến của ω kết hợp tứ giác F KCH nội tiếp ta có

AD·AE =AB2 =AH·AC =AF ·AK.

c) Do AF ·AK =AB2 _{nên ta có} _{4AF B} _{∼ 4ABK} _⇒_∠_ABF ₌_∠_AKB.

Từ đó, AB là tiếp tuyến của(BKF) nên suy ra(BF K)và (ω)cóAB là tiếp tuyến chung hay
hai đường tròn tiếp xúc với nhau tại B.

Nhận xét. Bài hình trong đề thi này khơng khó, học sinh phải đi chứng minh những kết quả
quen thuộc. Nếu bài này khơng có hai ý đầu và cho ln ý cuối thì bài này vẫn thuộc loại dễ,
khơng có gì mới lạ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Lời giải. Với n = 2k, k∈_N∗ ta có

(2k)2019
22k =

1
22k₋₂₀₁₉_k
Ta thấy với k = 15 thì ta có 215−2019×2015 = 2483>11.
Bằng quy nạp ta dễ có với mọi k≥15 thì ta có 2k₋_{2019k >} _11.

Do đó

(2k₎2019
22k =

1
22k₋₂₀₁₉_k <

1
211 <

1

2020,∀k ≥15.
Vậy tồn tại vô số n thỏa mãn đề bài.

Nhận xét. Bài này có nhiều cách để chứng minh theo hướng quy nạp. Trên đây là một cách
chọnn theo lũy thừa của2 để triệt tiêu tử số và mẫu số cho dễ làm. Đây là một kết quả quen
thuộc đối với học sinh cấp 3. Nó được phát biểu như sau:

Cho số thực a thỏa mãn |a|>1 và số nguyên dương k. Với mọi số dương ε > 0 thì tồn tại số

n0 sao cho ∀n > n0 ta có

nk
an < ε.

Nói theo cách khác thì ta có limn

k

an = 0.

Bình luận chung. Đề thi năm nay khơng nằm ngồi dự đốn của các tác giả. Đề thi khá dễ,
tuy có vài chỗ khó nhưng khơng hay, khơng thể phân loại học sinh. Mong năm sau người ra đề
sẽ chú trọng hơn về khâu đề thi. Chiều nay còn đề thi chuyên Tin nữa, các tác giả sẽ cố gắng
cập nhật sớm nhất có thể. Cho dù cuộc thi có thế nào thì các bạn học sinh vẫn cịn nhiều con
đường phía trước. Các tác giả mong các thí sinh vẫn giữ được tinh thần và niềm say mê đối
với Toán học. Đặc biệt cảm ơn các bạn Nguyễn Chí Long, Vũ Đình Toản, Hoàng Khải, Phạm
Quý Long, Đỗ Quang Mạnh,... đã rất hăng hái giải bài và đóng góp cho tài liệu. Tài liệu này
được chia sẻ công khai, nghiêm cấm các hành vi sao chép, buôn bán kinh doanh mà không có
sự đồng ý của các tác giả. Chân thành cảm ơn!

Email:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

LỜI GIẢI ĐỀ CHUYÊN TIN LỚP 10/2019

THPT CHUN HÙNG VƯƠNG

Tập thể lớp chun Tốn khóa 36

-7th June 2019

1

Đề thi

Bài 1(2,0 <i>điểm).</i>

a) Chứng minh rằng √ 1

2 +p2 +√3

+√ 1

2−p2−√3

=√2.

b) Giải phương trình (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7) = 9.

Bài 2(2,0 <i>điểm).</i> Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n.

a) Tính S(20192020).

b) Chứng minh rằngn ≥S(n) với mọi số nguyên dương n.

c) Tìm tất cả các số nguyên dươngn ≤1000 thỏa mãn n= 14S(n)−2.

Bài 3 (2,0 <i>điểm).</i> Cho số nguyên dương n. Tân và Dương cùng chơi một trò chơi như sau:
mỗi lượt chơi, một bạn sẽ viết lên bảng một số nguyên dương không vượt quán. Hai bạn luân
phiên thực hiện lượt chơi của mình (Tân thực hiện trước) thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Khơng có số nào được viết lên bảng q một lần;

ii) Khơng có hai số ngun dương liên tiếp được viết lên bảng;

iii) Ai đến lượt mình khơng thể viết thêm số lên bảng là người thua cuộc.

a) Với n= 4 hãy chỉ ra chiến thuật để bạn Dương chắc chắn thắng cuộc.

b) Với n = 2019, hãy chỉ ra chiến lược để bạn Tân chắc chắn thắng cuộc.

Bài 4 (3,0 <i>điểm).</i> Cho nửa đường tròn Γ tâm O đường kính AB. Gọi M, N lần lượt là các
điểm phân biệt nằm trên Γ sao cho M thuộc cungAN (M khácA, N khácB). GọiC là giao

điểm của các đường thẳng AM, BN;H là giao điểm của AN và BM.

a) Chứng minh rằngC, M,H, N cùng thuộc một đường trịn, kí hiệu là đường tròn(I).

b) Chứng minh rằngOM là tiếp tuyến của (I).

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

2

Lời giải

Bài 1 (2,0<i>điểm).</i>

a) Chứng minh rằng _√ 1

2 +p2 +√3

+ _√ 1

2−p2 +√3

=√2.

b) Giải phương trình (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7) = 9.

Lời giải. a) Ta biến đổi như sau

1

√

2 +p2 +√3

+_√ 1

2−p2−√3
=

√

2
2 +p4 + 2√3

+

√

2
2−p4−2√3
=

√

2
2 +

q

(1 +√3)2

+

√

2
2−

q

(√3−1)2

=√2·

1
3 +√3 +

1
3−√3

=√2.
b) Ta có phương trình ban đầu tương đương với

(x2+ 8x+ 7)(x2+ 8x+ 15) = 9 (1)

Đặt x2_{+ 8}_x_{+ 11 =}_t_{, khi đó ta có (1) sẽ tương đương với} _t2₋_{16 = 9} _hay _t₌_±₅_.
Với mỗi t ta giải phương trình bậc hai tìm được x.

Kết luận phương trình có ba nghiệm là −4 +√10;−4−√10;−4 .

Bài 2 (2,0<i>điểm).</i>

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n)là tổng các chữ số của n.

a) Tính S(20192020).

b) Chứng minh rằng n≥S(n) với mọi số nguyên dương n.

c) Tìm tất cả các số nguyên dương n≤1000 thỏa mãn n = 14S(n)−2.

Lời giải. a) Ta có S(20192020) = 2 + 0 + 1 + 9 + 2 + 0 + 2 + 0 = 16.

b) Ta viết số n dưới dạng n =a1a2...ak trong đó k∈N∗.

Khi đó ta cón =a1a2...ak = 10k−1·a1+ 10k−2·a2+...+ak≥a1+a2+...+ak =S(n).

Vậy ta ln cón ≥S(n) với mọi số nguyên dươngn. Đẳng thức xảy ra khi n là số có một chữ
số hay n∈ {1; 2; 3;...; 9}.

c) Trước hết với n = 1000, thay vào ta thấy không thỏa mãn.
Ta xét các trường hợp

TH1. n là số có một chữ số. Khi đó n= 14n−2 hay 13n = 2 (vô lý).
Vậy trường hợp này loại.

TH2. n là số có hai chữ số. Viếtn =ab (a∈_N∗_,_b _∈

N; a, b≤9).

Ta có

ab= 14(a+b)−2⇔4a+ 13b = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

TH3. n là số có ba chữ số. Viếtn =abc.
Ta có

abc= 14(a+b+c)−2⇒86a+ 2 = 13c+ 4b.

Nếu a≥2thì 86a+ 2 ≥174>13·9 + 4·9≥13c+ 4b (vơ lý).

Do đóa = 1, thay vào ta có 13c+ 4b= 88. Dễ có c...4 nên c∈ {0; 4; 8}.
Thử từng trường hợp thì ta thấy thỏa mãn với c= 4 vàb = 9.

Kết luận có một số n thỏa mãn điều kiện bài toán là 194.

Bài 3(2,0<i>điểm).</i>Cho số nguyên dươngn. Tân và Dương cùng chơi một trò chơi như sau:
mỗi lượt chơi, một bạn sẽ viết lên bảng một số nguyên dương không vượt quá n. Hai bạn
luân phiên thực hiện lượt chơi của mình (Tân thực hiện trước) thỏa mãn các điều kiện
sau:

i) Khơng có số nào được viết lên bảng q một lần;

ii) Khơng có hai số nguyên dương liên tiếp được viết lên bảng;

iii) Ai đến lượt mình khơng thể viết thêm số lên bảng là người thua cuộc.

a) Với n = 4 hãy chỉ ra chiến thuật để bạn Dương chắc chắn thắng cuộc.

b) Với n= 2019, hãy chỉ ra chiến lược để bạn Tân chắc chắn thắng cuộc.

Lời giải. a) Nếu bạn Tân viết số 1 thì Dương viết số 3, do cịn hai số là 2 và 4 nên bạn Tân

không thể viết tiếp được theo điều kiện ii). Vậy bạn Dương thắng cuộc.

Với chiến thuật tương tự, Tân viết số 2 thì Dương viết số 4; Tân viết số 3 thì Dương viết số 1;
Tân viết số 4thì Dương viết số 2.

Vậy ta đã có chiến thuật với n = 4 thì bạn Dương ln ln thắng.

b) Với n = 2019. Bạn Tân viết số 1010 đầu tiên (ta hiểu nôm na là số ở giữa các số từ 1
đến 2019).

Sau đó mỗi khi bạn Dương viết số nguyên dương a nào đó thì Tân sẽ viết số 2020−a.

Với cách viết này thì ta ln đảm bảo được rằng a và 2020−a không là hai số nguyên dương
liên tiếp (dễ chứng minh). Do đó chiến thuật này ln giúp bạn Tân giành chiến thắng.

Bài 4 (3,0 <i>điểm).</i> Cho nửa đường tròn Γ tâm O đường kính AB. Gọi M, N lần lượt là
các điểm phân biệt nằm trên Γ sao cho M thuộc cung AN (M khác A, N khác B). Gọi

C là giao điểm của các đường thẳng AM, BN; H là giao điểm củaAN và BM.

a) Chứng minh rằng C, M, H, N cùng thuộc một đường trịn, kí hiệu là đường tròn

(I).

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>C'</i>

<i>P</i>

<i>I</i>

<i>H</i>

<i>C</i>

<i>A</i>

<i>O</i>

<i>B</i>

<i>M</i>

<i>N</i>

Lời giải. a)Ta có_∠HM C =_∠HN C = 90◦ nên bốn điểmC,M,H,N cùng thuộc một đường
tròn tâm I là trung điểm CH.

b) Ta có OM =OB nên

∠OM B =_∠OBM =_∠ABM =_∠M CH.

Suy ra OM là tiếp tuyến của đường tròn (I).

c) Gọi C0 đối xứng với C quaO. Khi đó CAC0B là hình bình hành.
Mặt khác H là trực tâm tam giác CAB nên _∠HAC0 =_∠HBC0 = 90◦.

Do P ∈(I)nên ta cũng có _∠HP C0 =_∠HP C = 90◦.Vậy ta có năm điểm A, H, P, B, C0 thuộc
một đường tròn hay ta có tứ giácAHP B nội tiếp.

Suy ra

∠P BO =_∠P HN =_∠P CN =_∠P CB.

Do đó AB là tiếp tuyến của (BP C), tương tự ta có AB là tiếp tuyến của (AP C) hay ta có
đpcm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

bài tốn). Điểm P được gọi là điểm Humpty trong tam giác ABC ứng với đỉnh C. Các bạn
có thể tham khảo thêm một số tài liệu rất hay trên Internet về điểm này.

Bài 5(1,0<i>điểm).</i>Cho các số nguyêna,b. Giả sửx0 ∈Qlà một nghiệm của phương trình
x2+ax+b= 0. Chứng minh rằng x0 ∈Z.

Lời giải. Ta giả sử phản chứng x0 ∈/ Z. Ta đặt x0 =

x

y trong đó x ∈Z, y∈ N

∗ _và _{y >}₁_; _{x, y}
nguyên tố cùng nhau.

Gọi x1 là nghiệm thứ hai của phương trình trên (khơng nhất thiết phải khác x0).
Theo định lý Vi-ét ta có

x1 =−a−

x
y =

−ay−x
y

và

−ay−x

y ·

x

y =b ∈Z.

Do (x, y) = 1nên ta có (−ay−x, y) = 1mà y >1nên suy ra (−ay−x)·x

y2 ∈/ Z (Mâu thuẫn).
Vậy điều giả sử là sai hay ta có x0 phải là số nguyên.

Bình luận chung. Đề thi chuyên Tin nói chung là vừa sức với các em học sinh, thang điểm sẽ
hợp lí hơn. Mong rằng các thi sinh đã hồn thành bài thi hết sức mình và vẫn giữ vững được
tinh thần, niềm say mê với Toán và sẽ có một mùa hè bổ ích cho dù năm sau có vào trường nào
đi chăng nữa. Qua đợt làm đề thi này, tuy có nhiều thiếu sót nhưng các tác giả mong muốn
bạn đọc hiểu và thông cảm, đặc biệt mong các bạn đọc sẽ có một tài liệu bổ ích để tham khảo
thêm. Xin cảm ơn các bạn Hồng Khải, Nguyễn Chí Long, Phạm Q Long, Đỗ Quang Mạnh,
Vũ Đình Toản, Nguyễn Đăng Khoa,... đã có đóng góp rất nhiều trong nhóm giải đề để cho tài
liệu được hồn thiện hơn. Tài liệu này được chia sẻ cơng khai, nghiêm cấm các hành vi sao
chép, buôn bán kinh doanh mà khơng có sự đồng ý của các tác giả. Xin chân thành cảm ơn!

</div>

<!--links-->