Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2012-2013

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.58 MB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Võ Tiến Trình 1

Đề Tốn chun tuyển sinh trường Phổ Thơng Năng khiếu – Đại Học

Quốc Gia TP.HCM Năm 2012 – 2013.

Câu 1.

1)Giải hệphương trình













2 2

2
2
2

x y z z

y z x x

z x y y

   




  




  




2) Cho hình vng ABCD cạnh a. M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh AB và BC
sao cho AM CN x

AB  CB  với

0  

x

1

. Các đường thẳng qua M, N song song với BD lần

lượt cắt AD tại Q và CD tại P. Tình diện tích tứ giác MNPQ theo a và x. Tìm x sao cho
diện tích này lớn nhất.

Câu 2. Sốnguyên dương n được gọi là sốđiều hịa nếu như tổng các bình phương của
các ước dương của nó (kể cả1 và n) đúng bằng



n3



a) Chứng minh rằng số 287 là sốđiều hòa.

b) Chứng minh rằng số

n



p

nguyên tố) không phải là sốđiều hòa.

c) Chứng minh rằng nếu số

n



p q

.

(

p q

,

là các số nguyên tố khác nhau) là sốđiều
hịa thì

n



2

là sốchính phương.

Câu 3.

1)Tìm giá trị

x





thỏa mãn

x



5 x

 

4

2 x

 

1

0

2)Chứng minh rằng với các số không âm a b c, , thỏa mãn

a

  

b

c

3

ta có bất đẳng
thức

a



b



c



ab



bc



ca

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng vng góc với AB tại B ta lấy
điểm D di động cùng phía với C đối với đường thẳng AB.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Võ Tiến Trình 2

b) Giả sửđiều kiện trên được thỏa mãn. Đường thẳng qua A song song với MD cắt
đường thẳng qua B song song với MC tại F. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi
qua một điểm cốđịnh.

Câu 5.Cho đa giác đều n cạnh. Dùng 3 màu xanh, đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một
cách tùy ý(mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cảcác đỉnh đều được tô màu). Cho phép
thực hiện thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề nhau bất kì (nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác
màu và thay màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại.

a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn ln làm
cho các đỉnh của đa giác chỉ cịn được tô bởi hai màu.

b) Chứng minh rằng với

n



4

và

n



8

, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần
ta có thểlàm cho các đỉnh của đa giác chỉ cịn được tơ bởi một màu.

Hướng dẫn giải.
Câu 1. 
a)





 





 





 

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

1 2

2

3 x

y

z

x

y

z

xy

y

z

x

y

z

x

yz

x

y

z

y

xz

z

x

y



























































Ta có:

2 z

2 xy

2 x

2 yz



x

z



y

1 

0 y

1 x

z















  





Trường hợp: x z

- thay vào (3) ta có:

2

0

2 y







  





- thay vào (1) ta có:



x y



2 2xx2 (1’)
+ y0 thay vào (1’) ta có:

2

0

1 x







 





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Võ Tiến Trình 3

+y2 thay vào (1’) ta có:



2 

2

6

4

0

1

2 x















   





Hệ có nghiệm



x y z

; ;



là



1;2;1 , 2;2;2

 



Trường hợp y1 từ

 

3 



1 z

x

z

x

z

x

 







  

 



z

 

x

1

thay vào (2) ta có:

2

1

0 x







 





Hệ có nghiệm



x y z

; ;



là



1;1;2 , 0;1;1

 



z

 

x

1

thay vào (2) ta có:



2 

2

6

4

0

1

2 x















 

 





Hệ có nghiệm



x y z

; ;



là



1;1;0 , 2;1;1

 



Vậy hệ có 8 nghiệm



x y z

; ;



là:



0;0;0 , 1;0;1 , 0;1;1 , 1;1;0 , 1;2;1 , 1;1; 2 , 2;1;1 , 2;2;2

 



Ta có:

.

MQ

AM

x

MQ

x BD

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Võ Tiến Trình 4





1 1

MN MB AB AM

x MN x AC

AC AB AB



      













.

1 . .

1 .2

2 1

MNPQ ABCD

S



MN MQ





x AC x BD



x



x

S



x



x a

2 2 2

1 1 1

2a a x 2 2a

 

     

 

MNPQ

S

lớn nhất là

1

2 a

khi và chỉ khi

1

2 x



Câu 2.

287 1.2.41



. Ta có: 12 22 412 841002902 



2873



2
b) Giả sử

n



p

3 là sốđiều hòa.

Các ước dương của

p

3 là

1, ,

p p

,

p

3. Khi đó ta có:

   

2 2





2 2 2 3

1  p  p  p  p3





4 3 2 2 2

6

8

6

1

8 p







 







p

| 8

và p là số nguyên tố  p2

Tuy nhiên p2 thì

p



p



6 p



1 



4 4 12 1









 

28 

8

Vậy khơng có p để

p

3 là sốđiều hịa hay với mọi số ngun tố p thì

p

3 khơng là
sốđiều hịa.

n



p q

.

có các ước dương là 1, , ,p q pq

n là sốđiều hòa nên 12  p2 q2 



pq



2 



pq3





 



4 pq 2 p q

   

Do đó

4 |





2 |

2 p

q

p



q



p

 

q



là số nguyên

Do đó

2 2

p q

n  pq    

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Võ Tiến Trình 5

Câu 3.

a)Điều kiện:

x



1 







5 4 2 1 0 1 3 1 2 1 0

x  x  x   x  x  x 





1 1 3

1

2

0 x



x











 

 

















1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 2 0

x  x x x x x 

            

 









1 1 1 1 2 1 1 0

x  x x x 

        

 

 



 



1 1 1

1

2

0 x





 

 



Do đó bất phương trình đúng với mọi

x



1

b)Theo câu a) ta có:



x1



2 3



x1



2 x 1 0 với mọi

x



1

.
Đặt

a



x

 

1

0

ta có:

a



2 a



2 a

với mọi

a



0

Ta có :

a



b



c



ab



bc



ca









2 2 2 2 2 2

2 a

b

c

a

b

c

a

b

c

ab bc

ca













2 2 2

2 2 2 9

a a b b c c a b c

         

Ta có : a2 2 a 3 ,a b2 3 b 3 ,b c2 3 c 3c

Do đó :



a



2 a



b



2 b



c



2 c



3 

a

 

b

c





9

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Võ Tiến Trình 6

a)Gọi O là trung điểm CD và I là trung điểm của AB.
Gọi đường tròn đường kính CD là đường trịn (O)

Ta có tứ giác ACDB là hình thang vng có OI là đường trung bình

2 AC

BD

CD

OI









Do đó khoảng cách từ O tới đường thẳng AB là OI nhỏhơn bán kính của đường trịn
đường kính CD nên đường tròn (O) cắt AB tại hai điểm phân biệt M, N và

 

90 CMD



CND



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Võ Tiến Trình 7

Trong hình thang vng ACDB, vì

 

ACD



CDB



180

0 nên phải có một góc khơng nhỏ
hơn 900, giả sử



ACD



90

Do đó trong tam giác ACO thì



ACD

là góc lớn nhất tương ứng cạnh đối diện là OA sẽ là
cạnh lớn nhất nên

2 CD

OA



OC



(bán kính đường trịn (O)).

Vậy A, B nằm ngồi đường trịn (O) nên suy ra M, N thuộc cạnh AB.

b) Gọi E’ là giao điểm của đường thẳng qua A và song song với MD với CD.
P là giao điểm của MD với AC, Q là giao điểm của MC với BD.

Ta có:

CE

'

CA

BQ

BE

'/ /

MC

E

'

E

D E C

, ,

CD



CP



DQ







thẳng hàng

Do đó DE đi qua điểm cốđịnh C.

Câu 5.

a)Ta xét một dãy các đỉnh cùng màu, giả sửlà màu xanh được giới hạn bởi hai đỉnh A, B
( có thể trùng nhau) là AX X1 2...X Bk (

k



1

). Sử dụng thao tác đề cho ta đổi màu hai
đỉnh A và X1 thành màu thứ ba (khơng phải màu xanh), kí hiệu đỉnh X1 đã đổi màu là

1
'

X . Tiếp tục như vậy ta sẽđổi màu đỉnh X'1 và X2 (hiển nhiên không phải màu

xanh),… Như vậy ta đã làm mất màu xanh trong dãy các đỉnh liên tiếp có màu xanh. Tiếp
tục thực hiện như trên đối với các dãy màu xanh khác ta sẽ làm mất hết màu xanh trên
các đỉnh của đa giác, nghĩa là các đỉnh của đa giác chỉ cịn được tơ bởi hai màu là đỏ và
vàng.

b) Ta chỉ xét trường hợp các đỉnh của đa giác được tô bởi hai màu, giả sửlà vàng và đỏ.

Khi

n



4

Vì 4 đỉnh được tơ bởi hai màu nên ta có hai trường hợp.
Trường hợp 1: Hai đỉnh cùng màu:

ddvv



dxxv



vvxv



vddv



xxxx

hoặc

dvdv



dxxv



vvxv



vddv



xxxx

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Võ Tiến Trình 8 
Trường hợp 2: 3 đỉnh cùng màu và 1 đỉnh khác màu

dddv



ddxx



dvvx



xxvx



xddx



vvvv

Như vậy 3 đỉnh cùng màu sẽđược chuyển về màu của đỉnh còn lại.
Như vậy ta đã chuyển 4 đỉnh về cùng một màu.

Khi

n



8

Theo trường hợp trên, ta chia 8 đỉnh thành hai bộ4 đỉnh và chuyển mỗi bộ4 đỉnh về
cùng một màu. Nếu màu của hai bộ trùng nhau thì ta có điều phai chứng minh, ngược lại
hai bộ không trùng màu(giả sửlà xanh và đỏ) thì ta thực hiện biến đổi

Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2012-2013

<b>Đề Tốn chun tuyển sinh trường Phổ Thơng Năng khiếu – Đại Học </b>

<b>Quốc Gia TP.HCM Năm 2012 – 2013. </b>













0

 

<i>x</i>

1





<i>n</i>



<i>p</i>

<i>p</i>

<i>n</i>



<i>p q</i>

.

<i>p q</i>

,

<i>n</i>



2

<i>x</i>





<i>x</i>



5

<i>x</i>

 

4

2

<i>x</i>

 

1

0

<i>a</i>

  

<i>b</i>

<i>c</i>

3

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>



<i>ab</i>



<i>bc</i>



<i>ca</i>

<i>n</i>



4

<i>n</i>



8





 





 





 

2

1

<sub>2</sub>

<sub>2</sub>

2

2

2