đề toán chuyên- tuyển sinh 10 Lâm Đồng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2010
LÂM ĐỒNG Khóa ngày 25 tháng 6 năm 2010
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,75điểm). Tính giá trị của biểu thức:
4 9
9 4 5 9 4 5
A = +
− +
.
Câu 2: (1,75điểm). Giải phương trình:
4 3 2
10 25 36 0x x x− + − =
.
Câu 3: (1,5điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính CD. Gọi H là điểm trên đoạn OC
( ; )H O H C≠ ≠
, qua H vẽ dây AB vuông góc CD.
Chứng minh:
2 2 2
4OH CD AB= −
.
Câu 4: (1,75điểm). Cho
2 3tg
α
= −
(
α
là góc nhọn) .
Không dùng máy tính, hãy tính:

2cos sin
cos 2sin
B
α α
α α
−
=
+
.
Câu 5: (1,75điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2 2
2 7 0x xy y− − − =
.
Câu 6: (1,75điểm). Giải hệ phương trình:
( )
3 3
2
2
x y
xy x y

+ =


+ =


Câu 7: (1,5điểm). Cho
2 3 2010
1 2 2 2 2C = − + − + +

. Tính giá trị của biếu thức:
2011
3 2C −
.
Câu 8: (1,75điểm). Cho hai số a, b thỏa mãn hệ thức:
2 2
5 6a b ab+ =
;
( )
0; 0;a b a b≠ ≠ ≠
. Tính
giá trị biểu thức:
a b
D
a b
−
=
+
.
Câu 9: (1,5điểm). Cho tam giác ABC. Qua trọng tâm G của tam giác vẽ đường thẳng d cắt hai
cạnh AB và AC lần lượt tại M và N
( )
;M N A≠
.
Chứng minh:
3
AB AC
AM AN
+ =
.

Câu 10: (1,75điểm).Chứng minh với mọi số thực a, b ta luôn có:
2 2
1a b ab a b+ + ≥ + +
.
Câu 11: (1,5điểm). Cho tam giác ABC có
·
0
120BAC =
,
6 , 3AB cm AC cm= =
. Vẽ phân giác AD
của
·
BAC
( )
D BC∈
. Tính AD.
Câu 12: (1,75điểm).Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D
( )
,D A D B≠ ≠
,
vẽ đường tròn
( )
;D R
tiếp xúc với cạnh BC ( R < DA). Từ C dựng tiếp
tuyến thứ hai CE với đường tròn này (E là tiếp điểm). Trung tuyến AM của
tam giác ABC
( )M BC∈
cắt CE tại I. Chứng minh:
IA IE=

.
Hết
Họ và tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: …………………….
Chữ ký của giám thị 1:…………………Chữ ký của giám thị 2:…………………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2010
LÂM ĐỒNG Khóa ngày 25 tháng 6 năm 2010
Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN
BIỂU
ĐIỂM
ĐÁP ÁN
BIỂU
ĐIỂM
Câu 1: (1,75điểm). Tính:

( ) ( )
2 3
2 5 2 5
2 3
5 2 5 2
2 5 2 3 5 2
5 5 2
A = +
− +
= +
− +
= + + −
= −
Câu 2: (1,75điểm). Giải phương trình:

4 3 2
10 25 36 0x x x− + − =
* Biến đổi dẫn đến phương trình
( )
( ) ( )
2
2
2 2
5 36 0
5 6 5 6 0
x x
x x x x
− − =
⇔ − + − − =
* Tìm được tập nghiệm của phương trình:

{ }
1;2;3;6S = −
Câu 3: (1,5điểm).

* Lập luận để có hệ thức:
2 2 2
OH AH OA+ =
* Dựa vào:
;
2 2
AB CD
AH OA= =
,

suy ra:
2 2
2
4 4
CD AB
OH = −

2 2 2
4OH CD AB⇒ = −
Câu 7: (1,5điểm).
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Câu 4: (1,75điểm).
cos sin
2
2cos sin
cos cos
cos sin
cos 2sin
2
cos cos

2
1 2
B
tg
B
tg
α α
α α
α α
α α
α α
α α
α
α
−
−
= =
+
+
−
=
+
* Thay giá trị
2 3tg
α
= −
vào biểu
thức B.
- Tính được:
6 5 3

13
B
+
=
.
Câu 5: (1,75điểm).
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 7 0
2 7
2 7
2 7
x xy y
x xy y
x x y y x y
x y x y
− − − =
⇔ − − =
⇔ + − + =
⇔ + − =
* Vì x, y nguyên dương,
Nên x +y > x – 2y >0
* Do đó:
7 5
2 1 2
x y x
x y y
+ = =

 
⇔
 
− = =
 
Câu 6: (1,75điểm).
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3
3
3
2
2
3 2
2
8
2
1
2
x y
xy x y
x y xy x y
xy x y
x y
x y
xy
xy x y


+ =


+ =



+ − + =

⇔

+ =



+ =
+ =


⇔ ⇔
 
=
+ =



* Suy ra x, y là nghiệm của phương
trình: X
2

– 2X +1 = 0. (*)
* Giải phương trình (*) tìm được:
X
1
= X
2
= 1
* Vậy nghiệm của hệ phương trình
là: .
1
1
x
y
=


=



0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ
2 3 2010
2 3 4 2011
2011
2011 2011 2011
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 2 1 2
3 2 1 2 2 1
C
C
C C C
C
= − + − + +
⇒ = − + − + +
⇒ = + = +
⇒ − = + − =
Câu 8: (1,75điểm).
* Từ:

( ) ( )
2 2
2 2
5 6
5 5 0
5 0
a b ab
a ab b ab
a b a b
+ =

⇔ − + − =
⇔ − − =
* Vì

0; 0;
5 0 5
a b a b
a b b a
≠ ≠ ≠
⇒ − = ⇔ =
Do đó:

5 2
5 3
a b a a
A
a b a a
− −
= = = −
+ +
Câu 9: (1,5điểm).
* Vẽ
BH // MN và CK // MN
( )
,H K tia AG∈
* Gọi I là giao điểm của AK và BC.
* Xét :
( )
//ABH MG BH∆

( )
1
AB AH
AM AG
⇒ =
* Xét :
( )
//ACK NG CK∆

( )
2
AC AK
AN AG
⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra:
AB AC AH AK
AM AN AG
+
+ =
(3)
* Mà HI =IK
( )
BHI CKI∆ = ∆
Suy ra: AH+AK = 3AG (4)
Từ (3) và (4), suy ra :
3
AB AC
AM AN
+ =
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ

Câu 10: (1,75điểm).
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 0
2 2 1
2 1 0
1 1 0
a b ab a b
a b ab a b
a b ab a b

a ab b a a
b b
a b a b
+ + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
⇔ + + − − − ≥
⇔ − + + − + +
+ − + ≥
⇔ − + − + − ≥
Bất đẳng thức luôn đúng với mọi
,a b R∈
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = 1.



Câu 11: (1,5điểm).
* Kẻ tia Bx //DA cắt đường thẳng AC
tại E.
* Tam giác ABE đều,
suy ra: AE = BE = AB = 6cm
* Xét :
( )
//BCE AD BE∆


3
2
9 6
CA AD
CE BE

AD
AD cm
⇒ =
⇒ = ⇒ =
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 12: (1,75điểm).
* Ta có:
·
·
0
0
90
90
DAC
DEC

=

⇒

=


AEDC nội tiếp.

* Chỉ ra :

·
·
( )
·
·
·
( )
1
2
ADC AEC
ADC DBC BCD
=
= +
Từ (1) và (2)
·
·
·
( )
*AEC DBC BCD⇒ = +
* Lại có:

·
·
·
·
·
·
·

·
·
·
( )
**
EAI EAD DAI
EAD BCD
DAI DBC
EAI BCD DBC

= +


=


=


⇒ = +
Từ (*) và (**)
·
·
AEC EAI⇒ =
Suy ra:
IAE∆
cân tại I, nên IA = IE.
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ
* Học sinh có thể giải bằng cách khác, nếu đúng thì căn cứ vào biểu điểm để cho điểm từng phần.