Đường thẳng Nagel đi qua tâm Spieker - Lê Phúc Lữ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (889.47 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề B.

ĐƯỜNG THẲNG NAGEL ĐI QUA TÂM SPIEKER

Trong tam giác ABC, ta đã biết rằng trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp và tâm Euler là bốn điểm
thẳng hàng quen thuộc; nhưng còn có bốn điểm quen thuộc khác cũng thẳng hàng nữa là: trọng
tâm G, tâm nội tiếp I , điểm Nagel N và tâm Spierker S. Xin nhắc lại:

- Điểm Nagel là điểm đồng quy của 3 đoạn thẳng nối đỉnh và tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp 
góc tương ứng lên cạnh đối diện.

- Tâm Spierker là tâm nội tiếp của tam giác có ba đỉnh là ba trung điểm. 
Ta sẽ chứng minh hai ý:

(1) , ,I G N thẳng hàng.
(2) , ,I G S thẳng hàng.

Để chứng minh rằng , ,I G N thẳng hàng, ta có thể dùng tâm tỷ cự nhanh gọn với chú ý rằng:
( , , ), (1,1,1)

I a b c G và N p a p b p c(  ,  ,  ).
Có một cách sơ cấp hơn bằng việc chứng minh bổ đề sau:

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD với ,E F di động trên BA BC, sao cho AECF thì giao điểm
của AF CE, sẽ nằm trên đường thẳng cố định, đó là phân giác của góc D.

Thật vậy, đặt K  AFCE H,  ADCE thì theo định lý Thales, ta có

KH AH AH CB AH CB DH

KC CF AE BE AE BE DC



    

 .

Suy ra DK là phân giác của ADC.

Trở lại bài toán,

Dựng tam giác DEF sao cho , ,A B C lần lượt là trung điểm của EF FD DE, , . Vì N là điểm Nagel
của tam giác ABC nên nếu đặt RNBAC S, NCAB thì CRBS.

H

K

F
B
A

D C

E

S
R N

A
B
C

D

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Theo bổ đề thì N thuộc phân giác trong góc D. Tương tự thì N cũng thuộc phân giác trong của
các góc ,E F nên N là tâm nội tiếp tam giác DEF.

Dễ thấy hai tam giác ABC DEF, có cùng trọng tâm G nên xét phép vị tự tâm G, tỷ số 2 biến
ABCDEF nên sẽ biến I N. Do đó, , ,I G N thẳng hàng.

(2) Để chứng minh , ,I G S thẳng hàng, ta có thể dễ dàng dùng phép vị tự tâm G, tỷ số 1
2

 biến
tam giác ABC thành tam giác XYZ (trung điểm ba cạnh). Do đó, phép vị tự đó sẽ biến I thành

S và khi đó , ,I G S cũng thẳng hàng. Kết quả được chứng minh.

Liên quan đến đường thẳng Nagel, trong kỳ thi hình học Sharygin cũng có vài lần nhắc đến:
Bài 2. (Vòng loại Sharygin 2016) Cho tam giác ABC có O M N lần lượt là tâm ngoại tiếp, , ,
trọng tâm và điểm Nagel. Chứng minh rằng MON 90 khi và chỉ khi một trong các góc của 
tam giác ABC bằng 60 .

Lời giải.

Giả sử MON 90 thì gọi I H E, , lần lượt là tâm nội tiếp, trực tâm và tâm Euler của tam giác
.

ABC Từ các tỷ lệ quen thuộc, ta có IE ON.

 

S

N
I

G
A

B C

E
H

M N

I

O
A

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Giả sử I nằm trong tam giác AHO thì hai tam giác AIO và AIH có AI chung, IHIO và
90

IAH IAO

     (do tính đẳng giác của AO AH, ) nên dễ dàng suy ra hai tam giác này bằng
nhau hay AH AO2RcosA   R A 60 .

Chiều ngược lại cũng tương tự như trên (thậm chí cịn dễ thấy hơn).

Bài 3. (Vòng loại Sharygin 2018) Dựng tam giác ABC biết điểm Nagel N đỉnh , B và chân đường 
cao H kẻ từ B đến AC.

Trong một lần muốn chế biến đề bài liên quan đến (1), tác giả bài viết này đã "vẽ hình sai" và đi 
đến một bài tốn khá thú vị (cái sai là vẽ nhầm đường phân giác của góc):

Bài 4. Cho tam giác ABC khơng cân có M N P, , lần lượt là trung điểm BC CA AB, , . Giả sử I là
giao điểm của phân giác BPM,MNP và J là giao điểm của phân giác CNM,MPN.
Đường tròn tâm I tiếp xúc với MP tại D, đường tròn tâm J tiếp xúc với MN tại .E Chứng
minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn ( )I và ( )J chia đôi đoạn thẳng DE.

Lời giải. Mấu chốt là cần chứng minh rằng DE song song với BC.

Đặt BAC2 , ABC2 , BCA2 thì      90 . Ta tính được
180 ( 2 ) 90 .

NIP    

        

Rõ ràng hai tam giác PID và NJE đồng dạng nên DP IP
EN  JN .

Theo định lý sin thì sin .

sin sin cos

NP IP

IP NP

NIP INP




  

  Tương tự,

sin
.
cos

JN  NP



 Chia hai
vế của các đẳng thức trên, ta có sin cos sin .

sin cos sin

IP B

JN C

 
 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

sin

, .

2 2 sin

AC AB MP AC B

MP MN

MN AB C

    

Do đó, MP IP PD

MN  JN  EN , điều này chứng tỏ DE NP hay DE BC.

Giả sử đường thẳng DE cắt ( ), ( )I J lần lượt tại , .S T Ta sẽ chứng minh rằng DSET.
Dễ thấy rằng MDE2  IDS   90 PDS902 . Suy ra

2 cos 2 sin 2 2 sin sin 2 .
DS ID IDS ID   IP  
Theo a) thì sin ,

cos
IP  NP



 nên 2sin sin sin 2 4sin sin sin .
cos

DS    NP   NP



 

Tương tự, ET 4 sinsinsinNP nên DSET.

Gọi K là trung điểm DE thì K/( )I KD KS KE KT  K/( )J ,chứng tỏ rằng K thuộc trục đẳng
phương của ( ),( ).I J Ta có đpcm.

Tiếp theo, xét mơ hình sau trong đề chọn đội tuyển bổ sung 2005:

Bài 5. (VN TST 2005) Cho tam giác ABC có đường cao AD và E F, là hình chiếu của B C, lên
phân giác góc A. Gọi M là trung điểm BC. Khi đó, D E F M, , , cùng thuộc một đường trịn có
tâm nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC.

Lời giải.

Gọi N P, là trung điểm AB AC, thì dễ thấy nếu gọi B1 là giao điểm của BE AC, thì ABB1 cân
ở A nên E là trung điểm BB1, suy ra EMN. Tương tự FMP.

I

P
J

G

T

K
N

M
D

F
E
A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Khi đó DEF   B CMP DMF nên D E M F, , , cùng thuộc đường trịn. Bằng biến đổi
góc, ta cũng có MEMF.

Gọi T là điểm thuộc ( )O sao choAT BC và J là trung điểm cung lớn BC, ta có JAJT.

Xét phép vị tự tâm là G (trọng tâm tam giác ABC), tỷ số 1
2

 thì A M T, D (dễ chứng
minh) và ( )O biến thành đường tròn Euler (O). Khi đó, J K thì K(O) và K là trung điểm
cung DM . Ngồi ra, ta có AJ EF nên KM EF nên KEKF, mà KM KD nên K chính
là tâm đường trịn qua D E F M, , , . Bài toán được chứng minh.

Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC thì dễ dàng tính được phương tích từ I đến ( )K là r2. Do
đó, khi xây dựng các đường tròn tương tự với K là ( ), ( )R S ở các đỉnh B C, thì I chính là tâm

đẳng phương của ( ), ( ), ( )K R S .

Tiếp theo, ta cũng biết rằng điểm Nagel của tam giác MNP chính là tâm nội tiếp I của tam giác
ABC và ( )K chính là đường trịn có tâm là trung điểm cung lớn NP của (MNP) nên ta thu được
ngay kết quả sau, được giới thiệu bởi thầy Trần Quang Hùng:

Bài 5. Cho tam giác ABC có điểm Nagel N và D E F, , lần lượt là trung điểm các cung lớn
, ,

BC CA AB của đường tròn ngoại tiếp ( )O của tam giác ABC. Chứng minh rằng N là tâm đẳng
phương của ( ,D DA), ( ,E EB), ( ,F FC).

Trong các trường hợp đặc biệt, bạn Nguyễn Văn Linh cũng có giới thiệu các tính chất của điểm
Nagel trong kỷ yếu Gặp gỡ Toán học 2015 như sau:

(1) Nếu ABAC2BC thì NBNC và (NBC), ( )O đối xứng nhau qua BC.
(2) Nếu ABAC3BC thì N( )I và NI BC.

Tiếp theo, nói về tâm Spieker, ta có có nhiều tính chất thú vị như sau:
- Tâm Spieker chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn bàng tiếp.

- Tâm Spieker là trung điểm của đoạn nối trực tâm H và tâm đường tròn qua ba tâm bàng tiếp.
Để kết thúc chủ đề này, ta xét bài toán sau của thầy Lê Bá Khánh Trình bồi dưỡng đội tuyển PTNK. 
Lời giải có sự đóng góp của bạn Nguyễn Tiến Hoàng, PTNK TP HCM và Nguyễn Minh Uyên, 
THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Gọi ( ), ( ), ( )Ia Ib Ic là các đường trịn bàng tiếp góc , ,A B C của tam giác ABC. Ta biết rằng M
cách đều hai tiếp điểm ( ),( )I Ia lên BC nên M có cùng phương tích đến ( ), ( )I Ia . Do đó, d1 chính
là trục đẳng phương của hai đường trịn này.

Tương tự suy ra d d2, 3 lần lượt là trục đẳng phương của ( ), ( )I Ib và ( ), ( ).I Ic Suy ra Dd2d3
chính là tâm đẳng phương của ( ),( ),( )I Ib Ic hay /( ) /( )

b c

D I  D I .

Ngoài ra, /( ) /( )

b c

M I  M I nên MD chính là trục đẳng phương của ( ), ( )Ib Ic .

Vì trục đẳng phương vng góc với đường nối tâm nên

b c a

MDI I MD AI MDEF

Từ đó dễ dàng thấy rằng MD NE PF, , đồng quy tại trực tâm T của tam giác DEF. Rõ ràng T là
tâm nội tiếp của tam giác MNP, cũng chính là tâm Spieker của tam giác ABC.

Xét phép vị tự tâm G (là trọng tâm tam giác ABC), tỷ số 1
2

 biến ABCMNP, biến
,

I T H O nên IH TO và IH2TO (trong đó O là tâm ngoại tiếp tam giác ABC).
Hơn nữa, trung điểm HO và KT trùng nhau, cùng là tâm đường tròn Euler đi qua các điểm

, ,

M N P. Suy ra HK TO và HKTO.

K O

H

T

F

E

D

P

N

M
Ic

Ib