Skkn các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phải nói rằng: Tốn học là một mơn khoa học tự nhiên lý thú. Nó cuốn hút
con người ngay từ khi cịn rất nhỏ. Chính vì vậy, mong muốn nắm vững kiến thức
về toán học để học khá và học giỏi mơn tốn là nguyện vọng của rất nhiều học
sinh. Trong giảng dạy mơn tốn, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản,
biết khai thác và mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là
điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc
sáng tạo, sự nhanh nhạy khi giải tốn ngay từ khi học mơn đại số lớp 7. Đó là tiền
đề để các em học tốt môn đại số sau này.
Trong toán học, “Toán luỹ thừa” là một mảng kiến thức khá rộng lớn, chứa
đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài tốn về luỹ thừa
không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học
sinh lớp 7 các em mới được làm quen với mơn đại số và mới được tiếp cận với
tốn luỹ thừa nên chưa có cơng cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số,
ít phương pháp, kĩ năng tính tốn... Qua q trình cơng tác giảng dạy bộ mơn tốn
lớp 7 nhiều năm, tơi nhân thấy các em rất “sợ” dạng tốn lũy thừa. Đứng trước
những khó khăn đó của học sinh tơi khơng khỏi băn khoăn, trăn trở làm thế nào
để các em có phương pháp giải và mạnh dạn giải dạng toán lũy thừa này. Từ đó
tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của
một số hữu tỉ” với mong muốn giúp các em học sinh giải quyết được các bài
toán về lũy thừa cơ bản và nâng cao. Bên cạnh đó đề tài này cịn nhằm cung cấp
những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp
giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh, giúp các em học sinh rèn luyện các
thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các em học sinh
u tốn nói chung và tốn luỹ thừa nói riêng.

Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
1

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. TÌNH HÌNH CHUNG
1. Thuận lợi
Nhà trường được trang bị đầy đủ phịng học thống mát, đầy đủ bàn ghế,
máy vi tính. Bên cạnh đó bản thân tơi cịn nhận được sự quan tâm chỉ đạo kịp thời
của ban giám hiệu, sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong
cơng tác giảng dạy.
2. Khó khăn
Địa bàn dân cư nằm rải rác, kinh tế địa phương cịn nhiều khó khăn. Trình
độ dân trí còn hạn chế, sự quan tâm đến việc học của phụ huynh cịn chưa đúng
mức, từ đó ảnh hưởng đến chất lượng học tập nói chung và chất lượng học tập
mơn tốn nói riêng.
Tận dụng những thuận lợi và vượt qua những khó khăn trên, tơi nghiên cứu
chun đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần tốn luỹ thừa, giúp
các em khơng cịn thấy sợ khi gặp một bài tốn luỹ thừa, từ đó giúp các em học
tốn lũy thừa nói riêng và mơn tốn nói chung tốt hơn. Hi vọng rằng đây sẽ là tài
liệu tham khảo bổ ích cho các học sinh lớp 7 khi học và đào sâu kiến thức toán
luỹ thừa dưới các dạng bài tập.
II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC GIẢI QUYẾT
1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản
2. Kiến thức mở rộng, nâng cao
3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải
3.1. Dạng1: Tìm số chưa biết
3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa
3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa
3.1.3. Một số trường hợp khác
3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa
3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
2


3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng
3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên
3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa
3.4. Dạng 4. Tính tốn trên các luỹ thừa
3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừ
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản
Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, các em học sinh cần phải hiểu, nhớ
các công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập từ cơ
bản đến nâng cao.
a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên:
a.a.........a
an =      (n  N*)

n thừa số
b) Một số tính chất:
Với a, b, m, n  N






am. an = am+n,
am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)

(a.b)m = am. bm (m ≠ 0)
(am)n = am.n (m,n ≠ 0)
am. an . ap = am+n+p (p  N)

Quy ước:
 a1 = a
 a0 = 1 (a ≠ 0)
Với : x, y  Q; m, n  N; a, b  Z


x.x......... x
xn =     (x  N*)

n thừa số


n

an
a
   n (b ≠ 0, n ≠ 0)
b
b

Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
3





xo = 1
xm . xn = xm+n
xm
 x m n (x ≠ 0)
n
x
1
(x ≠ 0)
xn



x-n =



(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm. ym



n



�x � x n

� �  n (y ≠ 0)
�y � y

2. Kiến thức mở rộng, nâng cao
Đây là các kiến thức không được giới thiệu trong sách giáo khoa tốn 7
nhưng khi giải các bài tập nâng cao thì cần phải có những kiến thức này.
Với mọi x, y, z  Q:
 x < y <=> x + z < y + z
 Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z
 z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z
Với x  Q, n  N:


(-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1

Với a, b  Q:





a > b > 0 => an > bn
a > b <=> a2n +1 > b2n + 1
a > 1, m > n > 0 => am > an
0 < a < 1, m > n > 0 => am < an

3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải
3.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
3.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
Phương pháp chung: Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ.

Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
4


Bài 1. Tìm x biết rằng:
a) x3 = -27

b) (2x – 1)3 = 8

c) (x – 2)2 = 16

d) (2x – 3)2 = 9
Phương pháp giải

Đối với những bài toán dạng này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ
bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) và câu b), biểu thức có số mũ lẻ
thì ta áp dụng cơng thức tổng qt: A2n + 1 = B2n + 1  A = B
a) x3 = -27

b) (2x – 1)3 = 8

 x3 = (-3)3

 (2x – 1)3 = 23

 x = -3

 2x – 1 = 2

Vậy x = - 3

 2x = 2 + 1
 2x = 3
x=

3
2

Vậy x =

3
2

Còn đối với câu c) và câu d) thì biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng
công thức tổng quát: A2n = B2n  A = B hoặc A = -B
c) (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
2x  3  3
�
��
�
2 x  3  3
�

x3
�
. Vậy x = 3 hoặc x = 0.
�
x0

�

d) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42
x  2  4
x  2
�
�
��
��
. Vậy x = -2 hoặc x = 6
x2 4
x6
�
�

Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
5


Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5
Phương pháp giải
Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này khơng tránh
khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại
khác nhau. Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ “tìm mị” được x = 0
hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ khơng thuyết phục lắm bởi biết đâu cịn số x thỏa
mãn đề bài thì sao ?
Giáo viên có thể gợi ý:
 x 2 0

x2 = x5  x5 – x2 = 0  x2.(x3 - 1) = 0 => 

 x 0

=> 

 x 0

=> 
 x 1
 x 1

3

 x  1 0

3

Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau:
Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*)
Phương pháp giải
Hướng dẫn: Đặt 3y – 1 = x. Khi đó (*) trở thành: x10 = x20
 x 10 0
Giải tương tự bài 2 ở trên ta được:  10
 x  1 0

 x 0
 x 0


=>  10
=>  x  1
x

1

 x 1

Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu
tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y.
1
3
2
 Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1  3y = 2  y =
3

 Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0  3y = 1  y =

 Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1  3y = 0  y = 0
Vậy y =

1 2
; ;0
3 3

Bài 3. Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2
Phương pháp giải
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh

6


Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đã có số mũ đã biết giống nhau
nhưng cơ số chưa biết lại khác nhau. Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình
phương của hai lũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau.
� 3
x  5  1  3x
x
�
�� 2
Ta có: (x - 5) = (1 – 3x) � �
x  5  3x  1 �
�
x  2
�
2

2

Bài 4. Tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200  0 (*)
Phương pháp giải
Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa khơng giống nhau, lại
phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu “ �”, thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý
nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh (3x - 5) 100
và (2y +1)200 với 0.
Ta thấy: (3x - 5)100  0,  x Q
(2y +1)200  0,  x Q
=> Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, khơng thể nhỏ hơn 0.
Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi

(3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0
=> 3x – 5 = 2y + 1 = 0
x=

5
3

và y =

1
2

Bài 5. Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 3
Phương pháp giải
Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2  0,

 x

2(y – 3)2  0,

Z (1)

 x

Z (2)

Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
7

Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 3 ”, học sinh khơng biết làm thế nào. Giáo viên có
thể gợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để: (x + 2) 2 + 2(y – 3)2 < 3 thì chỉ có thể xảy ra
những trường hợp sau:
�x  2
�y  3

 Trường hợp 1: (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 0 � �

�x  2
�
y4
 Trường hợp 2: (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 1 � ��
��
y2
��
��
x  1
�
�
x  3
 Trường hợp 3: (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 0 � ��
�y  3
�
��
x  1
��
x  3
��

 Trường hợp 4: (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 1 � �
y4
��
��
y2
��

Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là :
x
y

-2
3

-2
4

-2
2

-1
3

-3
3

-1
4

-3

2

Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp,
bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau:
1) Tìm x biết:
a) (2x – 1)4 = 81

b) (x -2)2 = 1

c) (x - 1)5 = - 32

d) (4x - 3)3 = -125

2) Tìm y biết :
a) y200 = y

b) y2008 = y2010

c) (2y - 1)50 = 2y – 1

d) ( 3 -5 )2000 = ( 3 -5 )2008

y

y

3) Tìm a, b, c biết :
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
8


a) (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2  0
b) (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6  0
c) (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6  0
d) (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6  0
3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Phương pháp chung: đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
Bài 1. Tìm n  N, biết:
a) 2008n = 1

c) 32-n. 16n = 1024

b) 5n + 5n+2 = 650

d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
Phương pháp giải

Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a.
a) 2008n = 1  2008n = 20080  n = 0
Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa
có cùng cơ số nhưng khơng cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên:
b) 5n + 5n+2 = 650
 5n + 5n.52 = 650
 5n.(1 + 25) = 650
 5n = 650 : 26
 5n = 25 = 52
n=2

Theo hướng làm câu b) học sinh biết ngay cách làm câu c) và d).
c) 32-n. 16n = 1024
 (25)-n. (24)n = 1024
 2-5n. 24n = 210
 2-n = 210
 n = -10
d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
9


 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162
 6 . 3n - 1 = 162
 3n-1 = 27 = 33
n–1=3
n=4
Bài 2. Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n
Phương pháp giải
Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, khơng biết phải làm như thế nào
để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý :
2m + 2n = 2m+n
 2m+n – 2m – 2n = 0
 2m.2n - 2m - 2n + 1 = 1
 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1
 (2m - 1)(2n - 1) = 1 (*)
Vì 2m 1, 2n 1,

 m,

nN

 2 m  1 1
 2 m 2
 m 1
Nên từ (*) =>  n
=>  n
=> 
. Vậy: m = n = 1
 2  1 1
 2 2
 n 1

Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 < 3n  234
b) 8.16  2n  4
Phương pháp giải
Đây là dạng tốn tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên
hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số.
a) 3 < 3n  234  31 < 3n  35 => n   2;3;4;5
b) 8.16  2n  4  23.24  2n  22  27  2n  22 => n   2;3;4;5;6;7
Bài 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216
Phương pháp giải

Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
10

Với bài này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét về số mũ của các
lũy thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán:
415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216
 (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16
 3615 < 6n < 3616
 630 < 6n < 632 => n = 31
Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài tốn tương tự mà cịn có
thể tự ra các bài tốn dạng tương tự.
1) Tìm các số ngun n sao cho:
a) 9 . 27n = 35

b) (23 : 4) . 2n = 4

c) 3-2. 34. 3n = 37

d) 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25

2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
a) 125.5  5n  5.25

b) (n54)2 = n

c) 243  3n  9.27

d) 2n+3. 2n =144

3) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:
a) 2x+1 . 3y = 12x

b) 10x : 5y = 20y

4) Tìm số tự nhiên n biết rằng :
a) 411 . 2511  2n. 5n  2012.512
45  45  45  45 65  65  65  65  65  65
.
2 n
b)
5
5
5
5
5
3 3 3
2 2

Phương pháp giải
3) a) 2x+1 . 3y = 12x
2x+1 . 3y = 22x.3x


3 y 22x

3 x 2 x 1

3y-x = 2x-1
y-x =x-1=0y=x=1
b) 10x : 5y = 20y
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh

11


10x = 20y . 5y
10x = 100y
10x = 102y
 x = 2y
45  45  45  45 65  65  65  65  65  65
.
2 n
4) b)
5
5
5
5
5
3 3 3
2 2



4.4 5 6.6 5
. 5 2 n
5
3.3 2.2



46 66
. 6 2 n

6
3 2

 46 = 2n  212 = 2n  n = 12
3.1.3. Một số trường hợp khác
Bài 1. Tìm x biết: (x - 1) x+2 = (x - 1) x+4

(1)

Phương pháp giải
Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài tốn rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả
trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải. Nhưng chúng ta
có thể đưa về bài tốn quen thuộc bằng một phép biến đổi sau:
Đặt x - 1 = y ta có: x + 2 = y + 3
x+4=y+5
Khi đó (1) trở thành: yy+3 = yy+5
 yy+5 - yy+3 = 0
 yy+3(y2 – 1) = 0
�
y y3  0
 �2
y 1  0
�

* Nếu: yy+3 = 0 => y = 0 Khi đó: x – 1 = 0  x = 1.
y 1
�

* Nếu: y2 – 1 = 0  y2 = (±1)2 � �
y  1

�
Với y = 1 ta có: x – 1 = 1  x = 2
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
12


Với y = -1 ta có: x – 1 = -1  x = 0
Vậy: x   0;1;2
Bài 2. Tìm x biết: x(6 - x)2003 = (6 - x)2003
Phương pháp giải
Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngồi (khơng phải ở trong
số mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi
đó giáo viên hướng dẫn.
x. (6 - x)2003 = (6 - x)2003
 x. (6 - x)2003 - (6 - x)2003 = 0
 (6 - x)2003 (x - 1) = 0
2003
�
 6  x  0
�
�
 x  1  0
�

Nếu (6 - x)2003 = 0  (6 - x) = 0  x = 6
Nếu (x - 1) = 0  x = 1
Vậy: x  1;6
a) 2a + 124 = 5b

Bài 3. Tìm các số tự nhiên a, b biết:

b) 10a + 168 = b2
Phương pháp giải
Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con
đường bế tắc khơng có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào ?
Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng
để giải bài tốn này:
a) 2a + 124 = 5b (1)
Xét a = 0, khi đó (1) trở thành:
20 + 124 = 5b
 5b = 125
 5b = 53
Do đó a = 0 và b = 3
Người thực hiện: Trần Công Cảnh

Năm học 2014 - 2015
13


Xét a  1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là
số lẻ với mọi a  1, a, b  N, điều này vơ lí.
Kết luận: Vậy a = 0 và b = 3.
b) 10a + 168 = b2 (2)
Tương tự câu a.
Xét a = 0: khi đó (2) trở thành:
100 + 168 = b2
169 = b2
 (±13)2 = b2 => b = 13 (vì b  N)

Do đó a = 0 và b = 13.
Xét a  1:
Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a  1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0
nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b 2 có chữ số tận cùng là
8. Điều này vô lý.
Vậy: a = 0 và b = 13.
Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:
Tìm các số tự nhiên a, b để:
a) 3a + 9b = 183
b) 5a + 323 = b2
c) 2a + 342 = 7b
d) 2a + 80 = 3b
3.2. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng
Phương pháp chung: cần nhớ một số nhận xét sau:
 Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác
0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.
 Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số
tận cùng là một trong các chữ số đó.
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
14


 Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có
chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4,
những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số
tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9.
 Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số:
20002008; 11112008; 987654321; 204681012
Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án:
 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0
 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1
 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5
 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.
Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
20072008; 1358 2008; 23456; 5235; 204208; 20032005;
96
1975
2007
1024
9 9 ; 4 5 ; 9 ; 8 ; 2007 ; 1023 .
9

67

Phương pháp giải
Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0;
1; 5; 6.
 20072008 = (20074)502 = ( ......1 )502 = ......1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 1.
 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ......1 . 1357 = ......7 =>13 5725 có
chữ số tận cùng là 7.
 20072007 = 20072004. 20073 = (20074)501. ......3 = ( ......1 )501. ......3
= ......1 . ......3 => 20072007 có chữ số tận cùng là 3.
 23456 = (24)864 = 16864 = ......6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6 .
 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = ( ......6 )8 . ......8 = ......6 . ......8 = ......8 => 5235
có chữ số tận cùng là 8.

 10231024 = (10234)256 = ( ......1 )256 = ......1 =>10231024 có chữ số tận cùng là 1.
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
15


 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ......1 )501. 2003 = ......1 .
2003 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3.
 204208 = (2042)104 = ( ......6 )104 = ......6 => 204208 có chữ số tận cùng là 6.
Ta thấy 5 6 là một số lẻ nên 4 5 có chữ số tận cùng là 4.
 1358 2008 = (13584)502 = ( ......6 )502 = ......6 => 1358 2008 có chữ số tận cùng là
67

7

6.
 81975 = 81972. 83 = (84)493. ......2 = ......6 . ......2 => 81975 có chữ số tận cùng là 2.
 996 = (94)24 =( ......1 )24 = ......1 => 996 có chữ số tận cùng là 1.
Ta thấy 99 là một số lẻ nên 9 9 có chữ số tận cùng là 9.
9

Bài 3. Cho A = 172008 – 112008 – 32008. Tìm chữ số hàng đơn vị của A.
Phương pháp giải
Đây là dạng tốn tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận
cùng của tong số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.
Tìm chữ số tận cùng của 172008; 112008; 32008 ta có:
A = 172008 – 112008 – 32008 = ......1 - ......1 - ......1 = ......0 - ......1 = ......9
Vậy A có chữ số tận cùng là 9.
Bài 4 : Cho M = 1725 + 244 – 1321. Chứng tỏ rằng: M  10

Phương pháp giải
Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ
M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0.
1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( ......1 )6.17 = ......1 .17 = ......7
244 = (242)2 = 5762 = .....6
1321 = (134)5.13 = ( ......1 )5.13 = ......1 . 13 = ......3
Vậy M = ......7 + .....6 - ......3 = ......0 => M  10
Đến đây, sau khi làm bài 2) bài 3) giáo viên có thể cho học sinh làm các bài
tốn tổng quát sau:
Bài 5. Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng:
a) A = 24n – 5 (n  N, n ≥ 1)
b) B = 24n + 2+ 1 (n  N)
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
16


c) C = 74n – 1 (n  N)
Hướng dẫn:
a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận cùng bằng 6.
=> 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1.
b) B = 24n + 2 + 1 (n  N)
Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4.
=> B = 24n + 2 + 1 có chữ số tận cùng là 5.
c) C = 74n – 1
Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1.
Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0.
Bài 6. Chứng tỏ rằng, các số có dạng:
a) A = 2 2  1 chia hết cho 5 (n  N, n ≥ 2)

n

b) B = 2 4  4 chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1)
n

c) H = 9 2  3 chia hết cho 2 (n  N, n ≥ 1)
n

Phương pháp giải
Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho
cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như
bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 2 2 , 2 4 ,
n

92

n

n

học sinh khơng biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm:

n

22  22 n ; 2 4 2 4 n ; 9 2 9 2 n …
n

n

Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau:

a) Với n  N, n ≥ 2, ta có :
2 2 = 2 2 .2
n

2

n 2

 

 24

2n 2

16 2

n 2

có chữ số tận cùng là 6.

=> A = 2 2  1 có chữ số tận cùng là 5. Vậy A  5
n

b) Với n  N, n ≥ 1, ta có :
2 4 = 2 4 .4
n

n 1

 

 24

4n 1

16 4

n 1

có chữ số tận cùng là 6.
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
17


=> B = 2 4  4 có chữ số tận cùng là 0. Vậy B  10
n

c) Với n  N, n ≥ 1, ta có :
9 2 = 9 2 .2
n

 

n 1

 92

2n 1

812

có chữ số tận cùng là 1

n 1

=> H = 9 2  3 có tận cùng là 4. Vậy H  2
n

Bài tập luyện tập :
1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003;

20082004;

20052005;

20062006 ;

9992003;

20042004;

77772005;

1112006;

20002000;

20032005.

2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n
a) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5
b) 24n + 1 + 3 chia hết cho 5
c) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10
3) Chứng tỏ rằng các số có dạng:
a) 2 2 + 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n  N, n ≥ 2)
n

b) 2 4  1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n  N, n ≥ 1)
n

c) 3 2 + 4 chia hết cho 5 (n  N, n ≥ 2)
n

d) 3 4 - 1 chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1)
n

4) Tìm chữ số hàng đơn vị của:
a) A = 66661111 + 11111111 - 665555
b) B = 10n + 555n + 666n
c) H = 99992n + 9992n+1 + 10n (n  N*)
d) E = 20084n + 20094n + 20074n (n  N*)
5) Trong các số sau số nào chia hết cho 2, cho 5, cho 10?
a) 34n+1 + 1 (n  N)
b) 24n+1 - 2 (n  N)
c) 2 2 + 4 (n  N, n ≥ 2)
n

Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
18


d) 9 4 - 6 (n  N, n ≥ 1)
n

6) Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2 + 1  5
7) Tìm số tự nhiên n để n10 + 1  10
8) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n thì:
a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n  10 (n > 1)
b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2  6
Phương pháp giải
6) a2 + 1  5 => a2 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
=> a2 phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4.
=> a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8.
7) n10 + 1  10 => n10 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0.
=> n10 = (n2)5 phải có chữ số tận cùng là 9.
=> n2 phải có chữ số tận cùng là 9.
=> n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7.
8) a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n. (32 + 1) – 2n-1.( 23 + 2)
= 3n. 10 – 2n-1. 10
= 10 . (3n – 2n-1)  10,

 n N

b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n. (33 + 3) + 2n+1.( 22 + 2)
= 3n. 30 + 2n+1. 6

= 6. (5.3n + 2n+1)  6,  n N
3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa.
Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý
những số đặc biệt sau:
 Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận
cùng bằng chính nó.
 Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số
có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
 Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76.
 Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01.
 Số 26n (n  N, n >1).
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
19


Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100 ; 3100
Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này :
2100 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76
3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 5151

b) 9999

c) 6666

d) 14101.16101

Phương pháp giải
Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
a) 5151 = (512)25.51 = ( ......01 )25.51 = ......01 .51 = ......51
=> 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51.
Tương tự:
b) 9999 = (992)49.99 = ( ......01 )49.99 = ......01 .99 = ......99
c) 6666 = (65)133.6 = ( ......76 )133.6 = ......76 .6 = ......56
d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224
= ( ......76 )50.224 = ......76 .224 = ......24
Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài tốn tổng qt:
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 512k; 512k+1 (k N*)
b) 992n; 992n+1; 99 99 (n N*)
99

c) 65n; 65n+1; 6 66 (n N*)
66

Phương pháp giải
a) 512k = (512)k = ( ......01 )k
=> 512k+1 = 51. (512)k = 51.( ......01 )k
b) 992n = (992)n = ( ......01 )n
=> 992n+1 = 99. (992)n = 99.( ......01 )n
Người thực hiện: Trần Công Cảnh

Năm học 2014 - 2015
20


=> 99 99 , ta có 9999 là một số lẻ => 99 99 có dạng 992n+1 (Với n N, n > 1)

99

99

=> 99 99 = 99.(992)n = 99 . ( ......01 )n (Với n N, n > 1)
99

c) 65n = ( 65)n = ( ......76 )n
=> 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( ......76 )n
Xét 6 66 , ta có 6666 là một số có tận cùng là 6, => 6 66 có dạng 65n+1 (n N, n > 1)
66

66

=> 6 66 = 6.( ......76 )n
66

Bài tập luyện tập:
1) Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 72003

b) 9 9

d) 182004

e) 682005

9

c) 742003

f) 742004

2) Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 492n ; 492n+1 (n N)
b) 24n . 38n (n N)
c) 23n . 3n; 23n+3. 3n+1 (n N)
d) 742n ; 742n+1 (n  N)
3) Chứng tỏ rằng:
a) A = 262n - 26 5 và  10 (n N, n > 1)
b) B = 242n+1 + 76  100 (Với n N)
c) M = 512000.742000.992000 có 2 chữ số tận cùng là 76.

3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên.
Phương pháp: Chú ý một số điểm sau:
 Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận
cùng bằng chính số đó.
 Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng
0625.
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
21


Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000.
Học sinh có thể làm phần này khơng mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ
các phần trước.
52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
Vậy: 52000 có ba chữ số tận cùng là 625 có bốn chữ số tận cùng là 0625.
Bài 2. Tìm ba chữ số tận cùng của:

a) 23n . 47n (n  N*)
b) 23n+3 . 47n+2 (n  N)
Phương pháp giải
Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài
này lại u cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất
khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên.
a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n
376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376.
b) 23n+3. 47n+2.
Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng
túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn:
23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47
= (23)(n+1) . 47n+1 . 47
= (8.47)n+1 . 47
= 47. 376n+1
Ta có: 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận
cùng là 672.
Bài 3. Chứng tỏ rằng:
a) 5 4 + 375  1000 (n N, n ≥ 1)
n

b) 5 2 - 25  100 (n N, n ≥ 2)
n

c) 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002.
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
22

Phương pháp giải
Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ khơng gặp
nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên
quan và kĩ năng biến đổi.
a) Ta có: 5 4 = 5 4.4 = 625 4
n

n 1

n 1

tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1)

=> 5 4 + 375 có tận cùng 000. Vậy: 5 4 + 375 1000
n

n

b) Ta có 5 2 = 5 2 .2 = 5 4  2 = 625 2 (n N, n ≥ 2)
n

2

n 2

n 2

n 2

Vậy 5 2 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. Do đó : 5 2 - 25 100
n

n

c) 2001n + 23n . 47n + 252n
Ta thấy: 2001n có tận cùng là 001.
23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376
252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625
Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002.
3.3 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa
Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai
lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung
gian để so sánh).
Lưu ý một số tính chất sau:
 Với a, b, m, n  N, ta có:
a > b  an > bn,  n N*
m > n  am > an, (a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (m.n 0)
 Với A, B là các biểu thức ta có:
An > Bn  A > B > 0
Am > An  m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1
Bài 1. So sánh
a) 33317 và 33323
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
23

b) 200710 và 200810
c) (2008 - 2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Phương pháp giải
Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có
cùng cơ số hoặc có cùng số mũ.
a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = 1 và (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999
Bài 2. So sánh
a) 2300 và 3200

e) 9920 và 999910

b) 3500 và 7300

f) 111979 và 371320

c) 85 và 3.47

g) 1010 và 48.505

d) 202303 và 303202

h) 199010 + 1990 9 và 199110
Phương pháp giải

Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy
thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
Hướng dẫn:

a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200
b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47
d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101
= (8.101.1012)101 = (808.101)101
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
24


303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202
e) Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910
f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
371320 = 372)660 = 1369660 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320
g) Ta có: 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*)
48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**)
Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505
h) Có: 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909
199110 = 1991. 19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110
Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528
Phương pháp giải
Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ không định hướng được cách làm, giáo

viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528
Ta có: 263 = (27)9 = 1289 và 527 = (53)9 = 1259
=> 263 > 527 (1)
Lại có: 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257
=> 263 < 528 (2)
Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52
Bài 4. So sánh: a) 10750 và 7375

b) 291 và 535
Phương pháp giải

Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ
sử dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm
ra lời giải cho bài tốn. Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian:
a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1)
Năm học 2014 - 2015

Người thực hiện: Trần Công Cảnh
25