Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.52 MB, 109 trang )
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
Contents
I. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG .......................... 1
II. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC ................................................... 6
III.PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .................................................. 11
1.
ĐẶT ẨN PHỤ HỒN TỒN .............................................................................................................. 11
2.
ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN .............................................................................................. 14
3.
ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ............................................................................. 14
4.
ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ ................................................................................................................ 15
IV. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP .......................................................................................... 19
1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CĨ SẴN TRONG
PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................................................... 19
2.
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT HẰNG SỐ ............................................. 22
3.
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT BIỂU THỨC BẬC NHẤT .................... 25
V. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ.......................................................... 26
VI. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐƯA VỀ DẠNG f u f v ...................................................................... 32
VII. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT ĐỂ ĐÁNH GIÁ ................................................................. 38
VIII. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT BUNHIACOPXKI ........................................................... 42
IX. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT COSI ................................................................................... 46
X. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ............................................... 50
XI. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG THẲNG .. 65
XII. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA .................................... 70
XI. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CĨ THAM SỐ ................................................................................................ 71
XIV. TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ .......................................................................................... 78
I. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Phƣơng pháp chung
B 0
AB
.
2
A B
B 0
.
A B
A
B
A 0
B 0
A B
.
B 0
A B 2
Trần Mạnh Tường
/>
1
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
B 0
A B A 0 .
A B2
B 0
.
A B
A B
L
Đố
ớ
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
,
ứ
ẩ
,
ệ
ớ
B ớ
B ớ
B ớ
.
.
.
Đ
C
B
ề
ệ
ể ế
ứ
ế ề
ế ể ử
2 x 1 x 2 3x 1 0
Bài 1: Gi
.
.
ứ .
1
( Khối D – 2006)
Lời giải
A B.
x 2 3x 1 0
2
(1) 2 x 1 x 3x 1
2
2
2 x 1 ( x 3x 1)
x 2 3x 1 0
x 2 3 x 1 0
x 1
4
3
2
2
2
( x 1) ( x 4 x 2) 0
x 2 2
x 6 x 11x 8 x 2 0
X
là
Kết luậ
P
ng
ã
Nhận xét: P
ệm x 1, x 2 2.
ng tổng quát:
mx n ax2 bx c, (m, a 0)
ều gi
ợc theo d ng
lũ
ừ
ợc nghiệm h u tỷ thì sẽ tiế à
H
ể phân tích thành tích
A B. Nế
số ( ầ
i, nhân tới, cộng chéo). Cịn nếu ra nghiệm vơ tỷ ta sẽ tiến hành sử dụng chứ
l ủa máy
tính bỏ ú ể
l ợng nhân tử chung bậ
,
ứ ể
ề d ng tích số bậc hai nhân bậc
hai mà dễ à
ợc nghiệm.
trình: x3 x 2 x 5 x 4 x 2 2
Bài 2: Gi
Lời giải
Đ ều kiệ x
ịnh: x 2 .
Ta có: x3 x 2 x 5 x 4 x 2 x3 x2 x 5 x 4 x 2
2
2
x 6 2 x 5 x 4 9 x 3 x 2 22 x 7 0
Vậy: x2 3x 1 x 4 x3 3x 2 x 7 0
Vì x4 x3 3x 2 x 7 x 2 x 2 x 1 2 x 2 x 7 0x
.
(*) x 2 3 x 1 0
3 13
Với x 2 3x 1 0 x
.
2
3 13
Thử l i nghiệ
ợc x
là nghiệm duy nh t thỏa mãn.
2
3 13
Kết luận: P
ệm duy nh t x
.
2
D
Nhận xét: ể phân tích ta dùng máy tính casio
Trần Mạnh Tường
/>
2
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
Sử dụng máy tính Casio ta thu được: x1 3.302775638, x2 0.3027756377
Tư duy Viet đảo: x1 x2 3, x1 x2 1
Nhân tử thu được: x 2 3 x 1
x 6 2 x5 x 4 9 x3 x 2 22 x 7
Nhập máy tính:
Calc 100
x 2 3x 1
7 x2 x x 5 3 2 x x2
Bài 3: Gi
Lời giải
3 2 x x 0
()
2
2
7 x x x 5 3 2 x x
3 x 1
)
x 2 (do x 0 không là nghiệm củ
x 5 x
3 x 1
3 x 1
2 x 0
x2
0
2 x 0
x 1 x 1.
x
x3 x 2 16 x 16 0
x 4
2
2
2
x ( x 5) ( x 2)
2
P
Kết luậ
P
ệm duy nh t x 1.
A 0 hay B 0
n: A B
,
A B
ã
Nhận xét: P
A 0 hay B 0. D
B 3 2x x2 0
Bài 4: Gi
à
3
ọn
ểm của bài toán, ta nên chọ
à
n nh t, tức chọn
x 1 3 x 2 3 2 x 3.
Lời giải
P
ã
3
x 1 3 x 2
3
ới:
2 x 3 3 3 x 1 x 2
3
x 1 3 x 2 0
x 1
3 3 x 1 x 2 2 x 3 0 x 2
3
x
2
Thử l i ta th y các giá trị x 1; x 2; x
1
Đ ều kiện x . P
2
Trần Mạnh Tường
ều thỏ
ã
- Kết luận. Tập nghiệm củ
Bài 5. Gi
3
2
ã
ã
.
3
là T 1; 2; .
2
x3 8
x 2 x 2 - 2 x 4 2 x 1.
2x 1
Lời giải
ã
ới:
/>
3
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
x 8
2 x 1 x2 2 x 4 x 2
2x 1
x3 8
2 x3 8 2 x 1 x 2 2 x 4 2 x 2 x 2 2 x 4 x 2
2x 1
x 1
x 3
Thử l i ta th y nghiệm củ
ã
ỉ có giá trị x 1.
3
x3 1
x 3 x 2 x 1 x 1 là
x3
C. 2 .
D. 1 .
Bài 6. Tổng các nghiệm củ
B. 2 .
A. 0 .
x3 5 x 2 7 x 3 0
Lời giải
Đáp án: B
Đ ều kiện x 1. P
2
ã
ới:
2
x3 1
x 3 x2 x 1 x 1
x3
3
x 1
2 x3 1 x 3 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 x 1
x3
x3 1
x 2 x 1 x 2 2 x 2 0 x 1 3.
x3
- Tập nghiệm củ
ã
là T 1 3;1 3 . „
Vậy tổng các nghiệm là: 1 3 1 3 2
27 x3 18x 2 9 x 27 x 2 2 x 1 2 x 1 125 0 . Gi sử nghiệm củ
Bài 7: C
a b
với a, b, c là các số
c
trình có d ng x
S a bc.
A. S 46 .
à
B. S 47 .
a
tối gi n. Tính
c
C. S 48 .
D. S 49 .
Lời giải
Đáp án: B
Ta có:
27 x3 18x 2 9 x 27 x 2 2 x 1 2 x 1 125 0
3
2 x 1 3x 125
2 x 1 3x 5
16 22
9
Suy ra: a 16, b 22, c 9
x
Vậy S 47
x3 x 4 4 x x2 2 x 2020 2 1009 3x 2 có một nghiệ
Bài 8: Biết rằ
nh t d ng x a
bằng:
Trần Mạnh Tường
b c d
e
a , b, d
, c, e là các số nguyên tố. K
a bc d e
/>
4
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
A. 901.
B. 902 .
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
C. 903 .
D. 904 .
Lời giải
Đáp án: C
x3 x 4 4 x x 2 2 x 2020 2 1009 3x 2
x 1
4
x 1
2
x 1 x 1
4
2
2019 2019
1
2
x 1 2019
4
2
1
1
2
2
x 1 x 1 2019
2
2
1
1
2
2
x 1 x 1 2019
2
2
4
2
x 1 x 1 2018 0
x 1
2
x 1
2
2019
1
4
2
1 3 897
2
1 3 897
x 1
2
x 1 1 3 897
2
Vậy a 1, b 1, c 3, d 897, e 2 a b c d e 904.
Bài 9: Gi sử
a, b, c * . K
2 x 1 x 2 3x 1 0 có một nghiêm có d ng x a b c
a b c có kết qu là
B. 1 .
A. 5.
C. 0 .
D. 4 .
Lời giải
1
Đ ều kiện x . P
2
ã
ới:
2
x 3x 1 0
x 3x 1 2 x 1 2
2
x 3x 1 2 x 1.
2
x 2 3x 1 0
x 3x 1 0
4
2
2
3
2
x 6 x 11x 8 x 2 0
x 2 x 1 x 4 x 2 0
2
3 5
3 5
x
x 1
2
2
x 1
x 2 2.
x 2 2
Vậy a 2, b 1, c 2 a b c 5.
Bài 10: C
8 x2
1 1 2 1 1
x
16 2
16 2
x2
1 1 2 1
1
x x
4 x 3 5 x 2 5 x 1 (1)
16 2
2
16
2018 can
Tổ
Trần Mạnh Tường
ệm củ
ằng
/>
5
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
25 8 5
25 8 5
A.
.
B.
.
16
16
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
49
C.
.
D. 3.
16
Lời giải
Chọn B
4 x 3 5 x 2 5 x 1 4 x 1 x 2 x 1 0 x
( )
Từ
1
4
Ta có
(1) 8 x 2
1 1 2 1 1
x
16 2
16 2
x2
1 1
1
x
16 2
4
2
4 x3 5 x 2 5 x 1
2018 can
8 x2
1 1 2 1 1
x
16 2
16 2
x2
1
1
x
4 x3 5 x 2 5 x 1
2
16
2017 can
1
8 x 4 x 1 x 2 x 1
4
1
1
8 x2 x
4 x3 5 x 2 5 x 1
2
16
1
x 4
4 x 1 x 2 x 1 0
5 1
x 2
D
ổ
25 8 5
16
ệm bằng
II. PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC
4 x 2 14 x 1 4 6 x 10
Lời gi i
Bài 1: Gi
4 x 2 14 x 1 4 6 x 10
4 x 2 20 x 25 6 x 10 4 6 x 10 4
2 x 5
2
6 x 10 2
2
2 x 5 6 x 10 2
Bài 2.
3x 2 6 x 3
x7
3
Lời giải
Cách 1: Đ t t
Đ t y x 1 hệ
Trần Mạnh Tường
x7
t 0 ta có:
3
2
3x 6 x 3 t
.
2
3
t
7
x
3 y 2 6 t
ở thành 2
.
3t 6 y
/>
6
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
3x 21
x2 6 x 3
Cách 2: P
ã
ớ
9
49
1
9 x 2 18 x 9 3x 21 9 x 2 21x
3 x 21 3 x 21
4
4
2
7
1
3x 3x 21
2
2
: 1) 7 x 2 7 x
Bài tậ
Bài 3.
2
4x 9
.
28
2) 2 x 2 4 x
x3
.
2
3) 27 x 2 18 x x
4
.
3
[phƣơng pháp nhóm thành hằng đẳng thức]
G
x y 2 4 z y 2 5 z 11
2
y z 2 4 x z 5 x 11
2
z x 2 4 y x 5 y 11
ệ
Lời giải
ĐK 2 x 4
ới 2 và cộng với vế theo vé, ta có
Cách 1: Nhân 2 vế của mỗ
2x 2 y 2z 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 4 x 2 4 y 2 4 z
2 x 2 2 y 2 2 z 2 10 x 10 y 10 z 66
[Dạng toán hoặc dạng phƣơng pháp đã ghi chú bằng mực đỏ]
2 x 3 2 y 3 2 z 3
2
2
2
4 x 1
2
2
4 y 1
2
x 2 1
2
y 2 1
2
z 2 1
2
4 z 1 0
x y z 3.
Cách 2: Đánh giá bằng bất đẳng thức
x 2 4 x y 2 4 y z 2 4 z x 2 6 x 11 y 2 6 y 11 z 2 6 z 11*
Ta có:
x2 4 x
2
2 x 2 4 x 4 x 2 4 x 2
Suy ra VT * 6 , d u " " x y ra khi x y z 3 .
M t khác, VP * 6 , d
“=” x y ra khi x y z 3 .
Vậy x y z 3 .
8 x 2 8 x 3 8 x 2 x 2 3x 1 có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 ( x1 x2 x3 ) Tính
Bài 4: Biế
T x1 ( 7 1) x2 x3 ?
A. T
5 7
.
4
B. T
3
.
2
C. T 3 .
D. T 8 .
Lời giải
Đáp án: C
Đ ều kiện : 2 x 2 3x 1 0
Pt 8 x 2 8 x 3 8 x 2 x 2 3 x 1 4( x 2 x 2 3 x 1) 2 (2 x 1) 2
Trần Mạnh Tường
/>
7
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
3 3
x
2 2 x 2 3x 1 1
4
2
2 2 x 3 x 1 4 x 1
7 1
x
4
3 3
7 1 3 3
Vậy T
7 1
3
4
4
4
( x 3) x 2 8 x 48 x 24 có d ng x m n p (với
Bài 5: Nghiệm nhỏ nh t của
m, n
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
và p là số nguyên tố). Tính giá trị T m n p .
A. T 25 .
B. T 27 .
C. T 3 .
D. T 7 .
Lời giải
Đáp án: A
Đ ều kiện: 12 x 4 .
P
ới 2 x 3 x 2 8 x 48 2 x 24
ã
x2 6 x 9 2 x 3 x2 8x 48 x 2 8x 48 9
2
x 3 x 2 8 x 48 9
x 3 x 2 8 x 48 3 1
x 3 x 2 8 x 48 3 2
x 0
x 0
x 2 2
1 2
2 x 8 x 48 0
x 2 2
x 6
x
6
x 5
2 2
2 x 20 x 12 0
x 5
Nghiệm nhỏ nh t sẽ là x 5 31 . D
7 x 2 2 7 (thỏa mãn).
7
31 x 5 31 (thỏa mãn).
31
m n p 5 1 31 25 .
[Các Bài phân tích hằng đẳng thức]
Bài 6.
2 x 3 9 x2 x 4 .
Bài 7.
x 2 9x 20 2 3x 10 . HD: PT 3x 10 2 3x 10 1 x 2 6 x 9 0 .
Bài 8.
Bài 9.
2 x 1 x 2 3x 1 .
HD: PT x 3 2 x 3 1 9 x 2
2
x 3 1 9x2 .
HD: PT 4 2 x 1 4 2 x 1 1 4 x 2 4 x 1 .
x 2 x 10 1 80 x 10 .
HD: PT 4 x 2 4 x 40 1 80 x 40 4 x 2 2.2 x.19 192 1 80 x 40 1 80 x 400
2 x 19
2
Bài 10.
7 x2 7 x
2
1 80 x 20 .
4x 9
.
28
HD: PT 196 x 2 196 x 28. 4 x 9 196 x 2 196 x 2. 28 x 63
Trần Mạnh Tường
/>
8
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
2
196 x 224 x 64 28 x 63 2. 28 x 63 1
14 x 8
2
2
28 x 63 1 .
4 3 10 3x x 2 .
Bài 11.
x 2
HD: PT
.
2
4 3 10 3 x x 2 *
+ * 3 10 3 x x 2 4 x 12 10 3 x 4 x 2 16 x
4 10 3 x 12 10 3 x 9 4 x 2 28 x 49
2 10 3x 3 2 x 7 .
Bài 12.
4 x 1
2
2
x2 1 2x2 2x 1 .
HD: PT 8 4 x 1 x 2 1 16 x 2 16 x 8
4 x 1 8 4 x 1 x2 1 16 x 2 1 16 x 2 24 x 9
2
4x 1 4 x2 1
Bài 13.
2
4 x 3 .
2
Giải phƣơng trình x x 2 x 1 2 3x 1 x 2 x 3 1 .
Lời giải
1 2 x
x 2 x 1 4 3x 1 2 x 2 2 x 6
x 2 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 3x 1 2 3x 1 1 0
2
x x2 x 1
2
3x 1 1 0
x x 2 x 1 0 1 x 0
x 1
.
3x 1 1 x 0
3x 1 1 0
ã
Vậy
ệm.
Hệ thống bài tập tƣơng tự:
1. 2 2 x 1 x 2 2 x .
2.
x 1 x2 4x 5 .
3. x 2 2 x 2 .
4. x 2 x 12 x 1 36 .
5. 2 x 2 2 x 1 4 x 1 .
6.
3x 2 4 x 2 21x 22 .
7. x 4 x 2 3 3 .
8. 1 x 1 x 2 .
Trần Mạnh Tường
/>
9
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
9. x 2 5 x 4 2 x 1 .
10. 8 x 2 4 x
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
x3
.
2
11. x 2 1 2 x x 2 2 x .
12. x 3
4 x 12 x 28 x .
13. x 2 3x 1 x 3 x 2 1 .
14. x 1 x 2 3x 3 x 2 2 x 3 .
15. x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 1 .
16. x 1 x 2 2 x 3 x 2 1 .
17. 2 1 x x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 .
18. x 4 x 3 2 3 2 x 11 .
19.
2 x2 x 9 2 x2 x 1 x 4 .
20. 2 2 x 4 4 2 x 9 x 2 16 .
21. 4 x 2 3x 3 4 x x 3 2 2 x 1 .
22. 1 x 2 x 2 4 4 x 2 1 2 x 1 .
x x2 1
Bài 14: G
27 2
2
x 1 x 1
8
Lời giải
Ý tƣởng: Sử dụng phương pháp phân tích hằng đẳng thức + đặt ẩn phụ.
Đ ều kiện: x 1.
Nhân 2 vế với
ợc
2,
x 1 x 1
x 1 x 1
Chia c hai vế cho
2
x 1 2
x 1 x 1 x 1
27
2
x 1 x 1
4
27
2
x 1 x 1
4
27
2
x 1 x 1 (1)
4
x 1 ,
ợc
x 1
27
2
1 x 1 (2).
x 1
4
x 1 1
x 1
2
t t 0 t 2 1
.
2
x 1
x 1
4
t 2 1
2
Đ t
Trần Mạnh Tường
/>
10
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
27
2 t 1 2 2 t 2 t 4 3t 3 4t 2 6t 13 0
t 1
5
.
3
t 2 x
5
Vậy S .
3
III.PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phƣơng pháp chung
a. Đƣa phƣơng trình vơ tỷ về dạng phƣơng trình một ẩn at 2 bt c 0 a 0 .
b. Đƣa phƣơng trình vơ tỷ về phƣơng trình nhiều ẩn phụ.
c 0
Dạng 1. a. f x b. n f x
Dạng 2.
a. f x
Dạng 3.
b. g x
n
a
f x
n
A2
b
2ab. f x . g x
m
n
A.B
b
n
c
B2
0
Dạng 4.
a
Dạng 5.
a. f x
b. g x
c. f x .g x
Dạng 6.
a. f x
b. g x
c. d . f 2 x
Dạng 7.
f x
Dạng 8.
ax
Dạng 9.
x
n
b
b x
n
c
f x
a x
p. n cx
2a x
b
n
a2
a x
q.x
d
b
h x
e. g 2 x
f x
b x
r
x
2a x
b
a2
b
cx
d
Dạng 10. Đ t ẩn phụ khơng hồn tồn
1. ĐẶT ẨN PHỤ HỒN TỒN
Bài 1:
: x2 4 x 2 2 x2 4 x 5 .
Gi i
Bài 2:
Gi i
:
Bài 3:
Gi i
:
x 5 x 2 4 x 5
x2
3 0.
x5
S 22 2
3 53 3 85
S
;
2
2
7 x 7 7 x 6 2 49 x 2 7 x 42 181 14x .
Đ t t 7x 7 7x 6
Trần Mạnh Tường
/>
11
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
x 1 2 2 x 3 2 x 2 1
Bài 4. Gi i b
ĐK x 1
Đ t t x 1 x t 2 1 t 0
t 0
2t t 0
1
2
2
2 2t 1 2t t 4
t
3
2
2
4t 4t 7t 4 0
4t 4 4t 3 7t 2 4 0 2
ều kiện thì t 0 khơng thỏa mãn (2)
2
T
ợc b
+Với t 0 . Kết hợ
1
+Với t thì (2) t 2 4t 3 4t 2 t 2 0 t 2 x 1 2 x 3 TMDK
2
Tập nghiệm của b
là S 3;
3
Bài 5: Gi i b
ĐK x
7x 8 1
t2 1
t 0
2
K
2
7t 2 9
1 t 1
2
( ) ở thành
3
2
1
1
2
Đ t t 2x 1 x
2x 1 1
3
7t 2 9
t 2 2t 7t 2 9 2 t 2 2t
2
3
4t 3 2 t t 4t 3 0, t 0 .
t 1 t 3 2t 4 4t 3 2t 2 4t 3 0
Ta có 2t 4 4t 2 2t 2
2
2
( ) t 1 t 3 0 1 t 3
Từ
1 2x 1 3 1 x 5 .
7 x 7 7 x 6 2 49 x 2 7 x 42 181 14 x (1)
6
Đ ều kiện: x ,
7
Bài 6:
(1) 14 x 181 7 x 7 7 x 6 2 49 x 2 7 x 42 0
7 x 7 7 x 6 2
7x 7 7x 6
2
7 x 7 7 x 6
7 x 7 7 x 6 182 0
7 x 7 7 x 6 182 0 .
Đ t 7x 7 7x 6 t 0 ,
t 2 t 182 0 14 t 13 0 t 13 .
Suy ra 7 x 7 7 x 6 13 0 vì hàm số vế
7 x 7 7 x 6 13 0 x 6 .
ồng biến nên ta có
Bài 7: x 1 x 2 4 x 1 3 x (1) .
0 x 2 3
Đ ều kiện:
.
x 2 3
Nhận xét: x 0 là một nghiệm.
Với x 0 , chia hai vế cho x ,
Trần Mạnh Tường
ợc
/>
12
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
1
1
1
1
x
x4 3 x
x 4 3 (2) .
x
x
x
x
1
1
t (t 2) x t 2 2 .
Đ t x
x
x
5
Từ (2), ta có t 2 6 3 t t .
2
1
1
x
x
1
5
2
Suy ra x
2x 5 x 2 0
4.
x 2
x 2
x 4
1
ập nghiệm là 0; 4; .
4
ã
Vậy b
Bài 8:
x x
1 2 x x 1
2
1 (1) .
Đ ều kiện: x 0 .
D
2 x2 x 1
Nhận xét:
x 1
2
2 x x 1 1 x
x2 1 1 1 2 x2 x 1 0 .
, ( ) x x 1 2 x 2 x 1
2
Ta có x 0 không ph i là nghiệm của b
Với x 0 , chia hai vế cho x
ợc
.
1
1
2 x 2
x 1
x
x
Đ t
1
1
x t x t2 2 . K
x
x
2t 2 2 t 1 t 1
x (2).
(3)
( ) ở thành
1
3 5
x 1 x
2
x
2 x 4 6 x3 10 x 2 6 x 8 x3 x x 2 1 x 2
Bài 9: G
1
Lời giải
4
3
2
x 2 1 2 x 2 6 x 8 0
2 x 6 x 10 x 6 x 8 0
x0.
Đ ều kiện: 3
x
x
0
x
0
( ) x 2 1. 2 x 2 6 x 8 x 2 1 x x 2 1 x 2 0
K
2x2 6x 8 x x 2 0
2
Nhận xét x 0 không ph i là nghiệm nên chia cho
4
2
2 x 6 1 x
0
x
x
Đ t
Ta có
x
x , ta có:
3
2
4
t x t2 4
x
x
t 1
2
2t 2 2 t 1 2
1 x 4.
t 1 x
x
t 2t 1 0
Trần Mạnh Tường
/>
13
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
2. ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN
Bài 1:
: 2012 x 2 4 x 3 2011x 4 x 3 .
Gi i
x t
Đ t t 4 x 3 2012 x 2011xt t 0
x t
2012
2
2
: x 1 x 2 2 x 3 x 2 1 .
Bài 2: Gi i
Đ t t x 2 2 x 3 x 1 t x 2 1 x 2 2 x 3 x 1 t 2 x 1 0
t 2
t 2 x 1 t 2 x 1 0
t x 2
3. ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Bài 1: [Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình tích] G
x 2010 x 1 1 x
2
.
Đ ều kiện: x 0 .
Đ t t 1 x 0 t 1
x 1 t 2 x 1 t 2 .
2
T
à
ầ
1 t 2011 t 1 t
2 2
2
ợc
2
2 1 t t 2 t 1005 0
2
1 t 0 (Vì 0 t 1 nên t 2 t 1005 0 )
2
2 x 2 2 5 x3 1
Bài 2: [Phƣơng trình tích] G
Đ t u x 1; v x 2 x 1
2 u 2 v 2 5uv u 2v 2u v 0 .
Bài 3: [Phƣơng trình tích] G
Đ
3
7 x 1 3 x 2 x 8 3 x 2 8x 1 2 .
a 3 7 x 1; b 3 x 2 x 8; c 3 x 2 8 x 1
a b c 2 a b c 8
3
Và a 3 b3 c 3 8
a b c a 3 b3 c 3 0
3
Trần Mạnh Tường
/>
14
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
3 a b b c c a 0
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
Bài 4: Giải bất phƣơng trình 2 2 x 2 1 1 x 2 1 x 4 3x 2 1
1
Lời giải
Đ ều kiện 1 x 1 .
x 2 1 a 0, 1 x 2 b 0
Đ t
Suy ra 3 x 2 1 2a 2 b 2 ; 1 x 4 ab .
Ta có: 2 2a b ab 2a 2 b2 2a b a b 2 0 .
Vì a b 0 2a b 0 . D
a b2 0
Suy ra 1 x 2 1 x 2 2 x 0 .
Bài 5: Giải bất phƣơng trình
x4 x2 1
x x 2 1
x2 x 1
x2 1
2
x2 1
x
1
Lời giải
Đ ều kiện x 0
Ta có 1
x2 x 1 x2 x 1
x2 x 1
x2 1
.
2 2
x2 1
x
x2 1
x
2
x2 x 1
x2 x 1
a
0,
b 0,
x2 1
x2 1
Đ t
x2 1
b2 1
x2
K
2 ab a 1 b2 b 1 a b 1 0 b 1
x2 x 1
2
1 x 1 0 ( ú )
x
là 0; .
Vậy nghiệm của b
4. ĐẶT ẨN PHỤ ĐƢA VỀ HỆ
Bài 1.
Đặt ẩn phụ đƣa về hệ bậc nhất hai ẩn
x 2 y 13 2 x y 5 3 1
.
x 2 y 1 2 2x y 1
9 x 2 y 21
5 x 11
Gi i hệ
Lời giải
Đ t
a 2 2b 2 11
x 2 y 1 a 0 x 2 y 1 a 2 x
5
1
2
2
2
2 x y 1 b 0 2 x y 1 b
y 2a b 3
5
Trần Mạnh Tường
/>
15
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
5 x 11 a 2 2b 2 ; 9 x 2 y 21 a 2 4b 2 .
a3 4b3 1
a 3 4b3 1
ở thành a 2b
2
2
2
2
2
2
2
a
2
b
a
4
b
a
2
b
a
4
b
a 2 2b 2
ệ ã
K
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
a 0
b 0
.
a 2b a 3 4b3 a 2 4b 2 a 2 2b 2 ab a b a 2b 0
a b
a 2b
1 113 2
2 x 2 y 1 0
x
1
63 2
.
TH1: a 0 b 3
1
3
4
2 x y 5 2 3 2
y 8 2 1
63 2
5
x
2 x 2 y 1 1
3.
TH2: b 0 a 1
2 x y 5 0
y 5
3
1
3 113 5
2x 2 y 1 3
x
1
5
63 5 .
TH3: a b 3
5
2 x y 5 1
y 4
3
5
3
2
4 113 12
x
y
2
2
1
x
3
2
12
6 3 12
TH4: a 2b 3
.
12
1 4 3 12
2 x y 5 1
3
y
12
3
Bài 2.
Đặt ẩn phụ đƣa về hệ bậc nhất hai ẩn
G
x y x 2 7 y 2 y 2 1 xy 2 y 2
2 x x 2 7 x y 2 y 2 1 3xy x 2
ệ
Lời giải
x 2 7 u
Đ t
.
2
2 y 1 v
K
ệ ã
ở thành
x y u yv xy 2 y 2
u 2 y
2
v
x
2
xu
x
y
v
3
xy
x
Bài 19.
[Đặt hai ẩn] G
Trần Mạnh Tường
3
x2 7 4 y 2
x2 9
x2 7 2 y
x 3
2 y 2 1 x 2
y2 4
.
y 2
2 y2 1 x
x 0
x 0
y 0
y 0
24 x 12 x 6 .
/>
16
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
Đ
u v 6
u 3 24 x ; v 12 x 2 2
.
36
u
v
ố S 88; 24;3 .
Đ
Bài 20.
x3 1 2t
.
t 3 2x 1 3
t 1 2 x
1 5
ố S 1;
.
2
Đ
x2 2 2 2x 1 .
[Đƣa về hệ đối xứng loại 2] G
Đ
x 2 2 x 2 y 1
.
y 1 2x 1 2
y 2 y 2 x 1
ố S 2 2 .
Đ
Bài 22.
x3 1 2 3 2 x 1 .
[Đƣa về hệ đối xứng loại 2] G
Đ
Bài 21.
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
Bài tập tự luyện
1) x 1 x 4 5 x 2 5 x 28 .
2) 4
3).
5 x
4 x 2 x x 2 2 x 12
5
2 x
2x
1
4
2x
3x 2 x 1 4 x 9 2 3x 2 5x 2 .
4).
x 1
3 0.
x 3
5).
x 3 x 1 4 x 3
6).
x2 3 x2 2 x 1 2 x2 2 .
7).
x 2 x 12 x 1 36 .
8).
2 1 x x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 .
9).
x 5 x 1 0 .
10).
x2 x
11).
x x 5 3 3 x 2 5 x 2 4 .
12).
13).
.
4
3 9
.
2 4
x x2 1 x x2 1 2 .
4 x 2 5x 1 2 x 2 x 1 9 x 3 .
Trần Mạnh Tường
/>
17
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
14).
2 x 2 3x 2 3 x 3 8 .
15).
x2 3 x2 1 x4 x2 1 .
5 x 2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1 .
16).
17).
3
20).
21).
3x 1 3 5 x 3 2 x 9 3 4 x 3 0 .
2 x. 3 x 3 x. 5 x 5 x. 2 x .
18).
19).
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
3
3 x 2 x 2011 3 3 x 2 7 x 2012 3 6 x 2013 3 2012 .
x. 3 25 x x 3 25 x 3 30 .
4
57 x 4 x 40 5 .
22).
x 2011 x 1 2012 .
23).
3
24).
x2 x 5 5 .
25).
x 2011 2011 x .
26).
2x2 6x 1 4x 5 .
27).
x 3 2 3 3 3x 2 .
28).
7x 2 7x
Bài 14.
3x 2 6 x 3
1
1
x
x 1.
2
2
4x 9
.
8
x7
3
Lời giải
Cách 1: Đ t t
2
x7
3x 6 x 3 t
.
t 0 ta có: 2
3
3t 7 x
2
3 y 6 t
ở thành 2
.
3
t
6
y
Đ t y x 1 hệ
Cách 2: P
ã
9 x 2 18 x 9 3x 21 9 x 2 21x
2
7
1
3x 3x 21
2
2
Bài tậ
Trần Mạnh Tường
: 1) 7 x 2 7 x
x2 6 x 3
ớ
3x 21
9
49
1
3 x 21 3 x 21
4
4
2
4x 9
.
28
2) 2 x 2 4 x
x3
.
2
3) 27 x 2 18 x x
/>
4
.
3
18
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
IV. PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP
1. PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CĨ SẴN
TRONG PHƢƠNG TRÌNH
Bài 1. Gi
T
ều kiệ x
K
2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
Hƣớng dẫn giải
2
2 x 1 0
ịnh: 2
.
x 3x 2 0
2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
2 x2 1 2 x2 2 x 3
2 x 4
2x2 1 2x2 2x 3
x 2 3x 2 x 2 x 2 0
2 x 4
x 2 3x 2 x 2 x 2
0
1
1
2 x 4
0
2
2
x 2 3x 2 x 2 x 2
2x 1 2x 2x 3
2 x 4 0 x 2.
Kết hợp vớ ều kiện và thử l
ợc nghiệm củ
là x 2 .
Bài 2. Gi
T
ều kiệ x
2 x 2 16 x 18 x 2 1 2 x 4
Hƣớng dẫn giải
2
2 x 16 x 18 0
ịnh: 2
x 1 0
2 x 2 16 x 18 x 2 1 2 x 4
K
x 2 1 2 x 4 2 x 2 16 x 18
x 1
2 x 2 1
2
1
2 x 4 2 x 2 16 x 18
x2 1 0
2 x 2 1 2 x 4 2 x 2 16 x 18
Gi i (2):
2
3
x 2 1 0 x 1 .
4 x 8 0
ợc 3 x 2 1 4 x 8
2
2
9 x 1 4 x 8
x 2
32 3 57
x 2
32 3 57
x
2
x
.
7
7
7 x 64 x 73 0
x 32 3 57
7
Cộng (1) vớ ( )
Kết hợp vớ
ều kiện và thử à
Trần Mạnh Tường
ợc các nghiệm là x 1 và x
32 3 57
.
7
/>
19
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
Bài 3. Gi
3x 1 x 2
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
3x 2 7 x 2 4 4 x 2
Hƣớng dẫn giải
T
1
ịnh: x
3
ều kiệ x
3x 1 x 2
2 x 1
3x 2 7 x 2 4 4 x 2
3x 2 7 x 2 4 4 x 2
2 x 1 3 x 2 7 x 2 4 2
K
2 x 1
3x 1 2
3x 1 x 2
3x 1 x 2 0
1
x
2
x 2 2 0 x 1
x 2
1
, x 1 và x 2 .
2
1
1
x 1
4
4
2x 1
x2
x
ệm x
Vậ
Bài 4. Gi
4
T
K
ều kiệ x
4
x 2 4 2x 1
4
2 x 1 x 2
Hƣớng dẫn giải
ịnh: x 0 .
ới:
4
x 1
4
x
1 x
2 x 1 x 2 4 x 2
1 x
4 2 x 1 x 2
x 1.
3
4 x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 1 4 2 x 1
2
2
3
x 1
4
x
1
4
x 2
3
4 x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 1 4 2 x 1
2
2
3
1
4 0
x
ệm x 1 .
Vậy
Bài 5: Gi
3
2x
2
3
5x
Đ ều kiện x
14
3x
16
x
2
2
H ớng dẫn nhân chia liên hợp vế trái xu t hiện nhân tử chung 3x 16
Gi i ra nghiệm x
Bài 6: Gi
Trần Mạnh Tường
16
3
1
x2
x
2
1
x
2x
1
1
2
x
x
0
/>
20
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
1
1
2x 1
x 2
2
x
x
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
H ớng dẫn nhân chia liên hợp xu t hiện nhân tử chung x
Đ
ố x
1
1
x
Bài 7: Gi
2
3x
5
2x
3
H ớng dẫn nhân chia liên hợp vt xu t hiện nhân tử chung 2x
Đ
3
2
ố x
2x 2
Bài 8: Gi
x
2
3
3
y
9
2
2x
(1)
2x
thay vào (1)
7
2
0;
x2
Bài 9: Cho x ; y thỏa mãn : x
Tính x
21
2x
3
9
9
;0
2
ố:
9
x
H ớng dẫn th y
Đ
3
y2
2011 y
2011
2011
?
Ta có:
x
x2
2011
y2
2011 y
y
y2
2011
x2
2011 x
Cộng vế với vế ta có x
Luyện tập : Gi
1) 2 x 2
2x
2) 2 x
5
3)2
3
3
6x
1
x2
5)1
3x
4x
5
8
5
x
2 1
x
x
10)
1
11) 1
12)
1
1
x
x2
x2
2
3x 2
x
3
1
4
x2
7)
9) 2 x 2
9x
3
2
7x
1
3x
3x
8) 3 x 2
8
x2
15
0.
2
5x
4x
6) x 2
x
21 x
x2
x
8x
4) 10 x
1
y
1
2x
2x 2
2
x
7x
10
3x 2
5x
x2
2
4x
3
x2
1
3
3x
2x 2
4
4x
3
2
x2
x
2
1 x
1 4x 2
x
Trần Mạnh Tường
4
x
3
/>
21
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
xy x y
xy 2 x y y
x 1 y xy x 1 x 4
Bài 10: Gi
Ta có:
xy x y
xy 2 x y y
x 1 y xy x 1 x 4
(1) xy x y
x y y
xy 2 y x y 0
xy x y xy 2 y
xy 2
2
2
y xy x 1
x 1 2 2
x 1
Với x y .Từ ( )
Bài 11.
x y
0 x y
x y
[phƣơng pháp liên hợp] G
x 1 4 x 1 y 4 2 y 1
2
2
x 2 x y 1 y 6 x 1 0 2
ệ
Lời giải
2 4 y x y 1
1
2
y0
x 1 y4 2
x 1 y4 2
x 1 y4 2
4
y4 4 x 1
y4 x 1
y4 x 1
4
y4 4 x 1
y4 x 1 0 x y4 1
2
y 0
4 y y4 y 7
4
y 2y y 4
Nếu 0 y 1 thì y 7 2 y 4 y 4 . S
ệm
Nếu y 1 thì y 7 2 y 4 y 4 . S
ệm
2. PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT HẰNG SỐ
Bài 1.
x 2 5 3x x 2 12 5 .
G
Lời giải
Ta có:
Bài 2.
x 2 5 3 3x 6 4 x 2 12 0
Gi i hệ
Trần Mạnh Tường
/>
22
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
2
9 x 9 xy 5 x 4 y 9 y 7
2
x y 2 1 9 x y 7x 7 y
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
1
2
Lời giải
Đ ều kiện: y 0; x y 0.
Đ t: x y t 0 . Từ 2 t 2 1 9t 2 7t
2 3t 1
9t 2 1
0 t 0 (sử dụng nhân liên hợp).
7t t 2
1
1
x y y x .Thế vào 1 ta có:
3
3
1
1
1
9 x2 9 x x 5x 4 x 9 x 7
3
3
3
2
2x 9x 4 9x 4 9x 3 1 0
3
2
3
9x 4 2x
0.
3
9
x
3
1
x
Bài 3.
4
1
4 1
y . Vậy hệ có nghiệm: x; y ; .
9
9
9 9
Giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp liên hợp
6 x 2x 6 6x 5 x2 2x 5 .
Gi
Lời giải
Đ ều kiện
5
x 6.
6
P
ã
6 x 1
2x 6 4
6 x 5 5 x2 2 x 15
5 x
2 x 10
6 x 30
x 3 x 5
6 x 1
2x 6 4
6x 5 5
1
2
6
5 x
x 3 0 *
2x 6 4
6x 5 5
6 x 1
Với
2
6
2 6
5
3 3 0 .
x 6 ta có
6
4 5
2x 6 4
6x 5 5
* x 5 .
D
ệm duy nh t x 5 .
3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0 (4)
Vậ
Bài 4: Gi
(trích đề thi đại học khối B-2010)
Lời giải
1
Đ ều kiện: x 6
3
P
(4)
Trần Mạnh Tường
3x 1 4
1
6 x 3x 2 14 x 5 0
/>
23
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
3 x 5
x 5
3x 1 x 5 0
3x 1 4
6 x 1
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
x 5
3x 1 0
3
1
3x 1 4
6 x 1
3
1
3 x 1 0 vơ nghiệm vì
3x 1 4
6 x 1
Ta th
3
1
1
3x 1 0, x ;6
3x 1 4
6 x 1
3
ệm duy nh t x=5
2
ập số th c: x 1 x 1 x 2 0
Vậ
Bài 5: Gi i b
Lời giải
ịnh: x 1.
Đ ều kiệ x
Ta có: x 1 x 1 x 2 0 2 x 1 2 x 1 2 x 2 0
2
2
2x 2 5x 2 2
2 x 2
x 2 2x 1
x 1 1
2 x 2
x 2 2x 1
x 2 x 2 2 0
x 1 1 x 2 2 x 2 0
x 1 1
x 2 x 2
x2 2
0
2
x2
x 2 2x 1
0 .
x
1
1
x
2
2
Vì: 2x 1
2
x2
0, x 1 . D
x 1 1
x2 2
1 x 2.
S 1; 2 .
Kết luận: Tập nghiệm của b
3 3 x 2 x 2 8 2 x 2 15 . Gọi S là tổ
Bài 6: C
. Tí
ệm th c của
S.
A. S 0 .
B. S 1 .
C. S 2 .
D. S 4 .
Lời giải
Đáp án: C
Ta d
3
3
ợc nghiệm x 1 , và ta viết l
x2 1
x2 8 3
3 x 2 1
3
x4 3 x2 1
x 2 15 4
x2 1
x2 8 3
x2 1
1
3
3
4
x 3 x 2 1
x2 8 3
P
1 x 1 .
Gi
2 . Vì
Trần Mạnh Tường
x2 1
x 2 15 4
1
x 15 4
2
3
3
x4 3 x2 1
1
2
0;
/>
24
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
x 2 15 x 2 8 x 2 15 4 x 2 8 3
2 vơ nghiệm.
N
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
1
1
2
2
x 15 4
x 8 3
ệm x 1, x 1 . Suy ra S 12 1 2 .
2
Vậ
Bài 7: Gi i b
ập số th c: 3 x 2 3x 4 3 2x 1 x 3
Đ ợc tập nghiệm là S a; b . K
a.b có kết qu là.
B. 3 .
A. 3 .
C. 12 .
D. 12 .
Lời giải
Đáp án: C
Đ ều kiệ x
ịnh: x 3 .
Ta có: 3 x 2 3x 4 3 2x 1 x 3
3 x 4
3 x 4
3x 4 4 3
3 x 4
3x 4 4
2x 1 3
6 x 4
2x 1 3
x 3 1 0
x4
0
x 3 1
3
6
1
x 4 3
0
3x 4 4
2x 1 3
x 3 1
3
6
1
x 4
2
1
0
2x 1 3
x 3 1
3x 4 4
3
2 2x 1
x 3
x 4
0 3 x 4 .
3x
4
4
2x
1
3
x
3
1
S 3; 4 .
Kết luận: Tập nghiệm của b
3. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT BIỂU THỨC BẬC NHẤT
ập số th c: x3 3x 2 x 2 2 x 2 x 4 2 x 11
Bài 1: Gi i b
Lời giải
Đ ều kiệ x
ịnh: x 4 .
3
2
Ta có: x 3x x 2 2 x 2 x 4 2 x 11
x3 3x 2 x 2 2 x 2 x 4 2 x 11 0
x2 x 3 2 x 4 x 2 2 x 11 0
x2
x 3
2
4 x 4
x 2 2 x 11 0
2
x 3 2 x 4
x 2 2 x 11
2
2
x 2x 7
x 2x 7
x2
0
x 3 2 x 4 x 2 2 x 11
x2
1
x2 2x 7
0.
x 3 2 x 4 x 2 2 x 11
x 4
x 4
Đ ều kiện có nghiệm: 3
x 3 .
3
2
2
x 3x x 2 0 x 3x x 3 0
x 3 2 x 4 2 0
Vì x 3
x 2 2 x 11 1 5 0
Trần Mạnh Tường
/>
25
