Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

Chủ đề 2

bất phơng trình vô tỉ
Mở đầu
Lợc đồ để giải các bất phơng trình vô tỉ có thể đợc minh hoạ sơ bộ theo các
bớc:
Bớc1:
Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình.
Bớc2:

Lựa chọn phơng pháp thực hiện:
Phơng pháp 1:

Biến đổi tơng đơng.

Phơng pháp 2:

Đặt ẩn phụ, bao gồm:

Phơng pháp 3:

a. Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển bất phơng
trình ban đầu thành một bất phơng trình với
một ẩn phụ.
b. Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển bất phơng
trình ban đầu thành 1 bất phơng trình với
một ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x.
c. Sử dụng k ẩn phụ chuyển bất phơng
trình ban đầu thành một bất phơng trình hoặc
một hệ bất phơng trình với k ẩn phụ.
Hàm số, bao gồm:

Phơng pháp 4:

a. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
b. Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số.
Đồ thị.

Phơng pháp 5:

Điều kiện cần và đủ.

Phơng pháp 6:

Đánh giá.

Chú ý:
1. Trong trờng hợp sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng, chúng ta có thể
bỏ qua bớc 1 để giảm thiểu độ phức tạp.
2. Nếu lựa chọn phơng pháp đặt ẩn phụ thì:
a. Với phơng trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện
hẹp cho ẩn phụ.
b. Với phơng trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho Èn phô.

91


bài toán 1

sử dụng phơng pháp

biến đổi tơng đơng
I. phơng pháp
Với các dạng phơng trình cơ bản:
Dạng 1: Bất phơng tr×nh:

f( x )

 g(x) > 0
< g(x) ⇔ 
 0 f (x) < g2 (x)

Dạng 2: Bất phơng trình:

f( x )

  g(x) < 0

  f( x ) ≥ 0
> g(x) ⇔
 g(x) ≥ 0 .
 
  f(x) > g 2 (x)


Lu ý:
1. Trong c¸c phÐp biÕn đổi trên ta luôn giả sử f(x) và g(x) đà có nghĩa.
2. Với các bất phơng trình có chứa tham số ta thực hiện theo các bớc:
Bớc1:
Đặt điều kiện (nếu cần).
Bớc2:

Bớc3:

Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng chuyển bất phơng trình về
hệ bất phơng trình đại số, từ đó xác định nghiệm x.
Kiểm tra điều kiện cho nghiệm x tìm đợc.

Bớc4:

Kết luận.

II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
92

Giải bất phơng trình:


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

2( x 2 )
1

x + 1.

(1)

Giải
Bất phơng trình tơng đơng với:

x + 1 ≥ 0

⇔

2
2
 0 ≤ 2(x − 1) ≤ (x + 1)

x ≥ −1

⇔
 | x |≥ 1
 2
 x − 2x − 3 ≤ 0

x ≥ −1

 | x |≥ 1 ⇔
− 1≤ x ≤ 3


x
1
 =−

1
 x 3

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là tập { 1} [1, 3].
Ví dụ 2:
Giải bất phơng trình:
1

x
4

x+

1
.
2

(1)

Giải
Biến đổi tơng đơng bất phơng trình về dạng:

93


(1) ⇔

 1
 1
x≤ − 2
x≤ − 2


 1
 1
x> − 2
x> − 2


 1
  1

x+ 2 ≤ 0
 x< 4
 1

 
 1
x< 4
2
⇔  
x+ 2 > 0
1  1  ⇔    

 
2   − x≥  x+ 
    x 2 + 2x ≤ 0
 1
 1   4  2


 − x ≥  x+ 
 2   1
  4
 1
  x≥
    x ≥ 4
 4
 


 
2   2 1
  1  1   x + ≤ 0
    x − 4 ≥  x + 2      2
  

x 0.
Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x 0.
Ví dụ 3:
Giải và biện luận bất phơng trình:
m + 2 x

> x + m.

(1)

Giải
Biến đổi tơng đơng (1) thµnh:

 x+ m < 0

 m+ 2− x ≥ 0


94

Giải biện luận (I)

(I)

hoặc

x + m 0

m + 2 − x > (x + m)2

(II)


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

x< m
(I) 
 x ≤ m+ 2
-

Víi − m < m + 2 m > 1, bất phơng trình có nghiƯm x < − m.

-

Víi − m ≥ m + 2 m 1, bất phơng trình có nghiƯm x ≤ m + 2.



Gi¶i biƯn ln (II)

 x ≥ − m
x≥ −m
(II) ⇔ 

⇔ 
2
2
 x + (2m + 1)x + m − m − 2 < 0  − m − 2 < x < − m + 1
⇔ −m≤x< −m+1
KÕt ln:
Víi m > − 1, nghiƯm của bất phơng trình là:

-

m
x <
x

m
m x < − +1

< − m + 1.

Víi m ≤ − 1, nghiệm của bất phơng trình là:

-

m
x m +2 −
x ≤ m +2
⇔ −m ≤ x < −m +1 .

m x < +1
m

Ví dụ 4:

Giải và biện luận bất phơng trình:
(m + 1) 2 x < 1.

Giải
Điều kiÖn:
2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.
Ta xÐt hai trêng hỵp:


NÕu m + 1 ≤ 0 ⇔ m 1,
Khi đó VT 0 và VP > 0 do đó bất phơng trình có nghiệm x2.



Nếu m + 1 > 0 ⇔ m > − 1,
Khi ®ã nhận xét rằng hai vế bất phơng trình dơng, bình phơng hai vế, ta đợc:
(m + 1)2(2 x) < 1 ⇔ (m + 1)2x > 2(m + 1)2 − 1
⇔x>

2( m +1) 2 −1
( m +1) 2

=2−

1

(m +1)2

< 2.

95


Do đó, bất phơng trình có nghiệm là: 2

1
(m +1)2

< x ≤ 2.

Tãm l¹i:
-

Víi m ≤ − 1, bÊt phơng trình có nghiệm x 2.

-

Với m > 1, bất phơng trình có nghiệm là 2

Ví dụ 5:

1
(m +1)2

< x 2.

Giải bất phơng trình:
5x +1



4 x 1

3 x .

(1)

Giải
Điều kiện:

5x + 1 0

4x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
x ≥ 0


1
.
4

(*)

BÊt ph¬ng trình tơng đơng với:
3 x + 4 x 1 5x +1 ⇔ 9x + (4x − 1) + 6
+1
⇔ 3 x( 4 x −1) ≥ 1 − 4x lu«n đúng bởi (*).

Vậy, bất phơng trình có nghiệm x
Ví dụ 6:

x( 4 x )
1

5x

1
.
4

Giải bất phơng trình:
x 2 −3x + 2

+

x 2 − 4 x +3

≥2

x 2 5x + 4

.

(1)

Giải
Điều kiện:
2

x 3x + 2 0

 2
 x − 4x + 3 ≥ 0
 2
 x − 5x + 4 ≥ 0


x
 ≥4

⇔  ≤1 .
x


Trờng hợp 1: Với x 4.
Khi đó:
(1)

x 3 ,
96

( x − )( x −2)
1

x −2

+

x −3

+

( x − )( x −3)
1

≥2 x −4 ⇔

≥2

x −2

−

( x − )(x −4)
1

x −4

≥ x −4 −


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

luôn đúng vì với x4 ta đợc VT > 0 và VP < 0.
Vậy x 4, là nghiệm bất phơng trình.
Trờng hợp 2: Víi x ≤ 1.
Khi ®ã:
(1) ⇔

(1 −x )(2 −x )

+

(1 −x )(3 −x )

≥2

(1 −x )( 4 −x )

Víi x = 1, bất phơng trình nghiệm đúng.
Với x < 1, bất phơng trình có dạng
2 x

+

3 x

2 4 −x ⇔

2 −x

−

4 −x

≥

4 −x

−

3 −x

NhËn xÐt r»ng víi x < 1 thì VT < 0 và VP > 0, phơng trình vô nghiệm.
Vậy, bất phơng trình có nghiệm x = 1 hoặc x 4.
Chú ý:
1. Không đợc nhầm lẫn:
xy

=

x

.

y

.

Nên nhớ rằng, điều trên chỉ đúng khi x, y 0, còn với x, y < 0 thì
xy

=

x

.

y

.

Phép nhân liên hợp trong nhiều trờng hợp tỏ ra rất hiệu qu¶. Cơ thĨ ta xÐt
vÝ dơ sau:
VÝ dơ 7:
Gi¶i bÊt phơng trình:
2.

1 1 4 x 2 < 3.
x

Giải
Điều kiÖn:

 1 − 4x2 ≥ 0 − 1 ≤ x < 0
 2
⇔ 
.

0 < x ≤ 1
 x ≠ 0

2

Cách 1: Thực hiện phép nhân liên hợp:
2
2

(1) (1 − 1 − 4 x )(1 + 1 − 4 x ) < 3(1 +

x

⇔ 4x < 3 + 3

1 −4 x 2

⇔3

1 −4 x 2

1 −4 x 2

)

> 4x − 3

97


 3
  x <
  4x − 3 < 0
 4
 2
 1
 1 − 4x ≥ 0

  | x |< 2

⇔
⇔


 4x − 3 ≥ 0
 3

x≥

2
2   4
  9(1 − 4x ) > (4x − 3)  
  9(1 − 4x2 ) > (4x − 3)2
x≠ 0

←  →

 1
− 2 ≤ x < 0

.
0 < x ≤ 1

2


C¸ch 2: XÐt hai trêng hợp dựa trên điều kiện.
ã

Với

1
x < 0.
2

(1)

1 −4 x

2

 1 − 3x > 0
< 1 − 3x ⇔ 
 1 − 4x2 < (1 − 3x)2

 1
x <
3
⇔ 
⇔ x < 0.
 13x2 − 6x > 0

KÕt hợp với điều kiện đang xét đợc nghiệm là
ã

Với 0 < x ≤
(1) ⇔

98

1
.
2
1 −4 x 2

> 1 − 3x

1
≤ x < 0.
2


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

1
x >
  1 − 3x < 0
 3
 2
  1 1 1
1
 1 − 4x ≥ 0

  − 2 ≤ x ≤ 2 3 < x ≤ 2
⇔
⇔
⇔
⇔ 0 < x

0 < x ≤ 1



3

 1
  1 − 3x ≥ 0
x≤
 2
2   3
  1 − 4x > (1 − 3x)   2
 13x 6x < 0



1
.
2

Kết hợp với điều kiện đang xét đợc nghiệm là 0 < x
Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là [

1
.
2

1
1
, 0) (0.
].
2

2

Chú ý:
1. Trong cách giải 2 ta đà dựa vào ®iỊu kiƯn cđa Èn sè ®Ĩ biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng
bÊt phơng trình.
2. Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng hằng đẳng thức để khử dấu căn.
Ví dụ 8:
Giải bất phơng trình:
x +2

+

x
1

x 2

x
1

>

3
.
2

(1)
Giải
Viết lại bất phơng trình dới dạng:
x +2

1



x +1
1

( x 1 +1)2

+

+

x 2
1

(

Điều kiÖn x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Khi đó, phơng trình trở thành:

x +1
1

x )2
1 1

>

>

3
2

3
.
2

(*)

99


x −1

+ 1 + | x −1 − 1| >

3
2

 x− 1− 1≥ 0

3

2 x− 1 >
 
2 x ≥2
⇔ 
⇔  <2
x


 x− 1− 1< 0

2> 3
  2

⇔

∀x.
KÕt hợp với điều kiện (*) đợc x 1 là nghiệm của bất phơng trình.
Nhận xét: Trong ví dụ trên bằng việc thêm bớt 1 vào các biểu thức trong căn,
chúng ta đà nhận ra đợc rằng các biểu thức ®ã cã d¹ng A2 ®Ĩ råi A 2 = |A|,
tuy nhiên sẽ có những biểu thức nh vậy nhng dới dạng có ẩn hơn, ví dụ:
x

2ax a 2

bạn đọc hÃy thực hiện việc biến nó về dạng A2 để còn sử dụng trong phần bài
tập đề nghị.
III. Bài tập trắc nghiệm và tự luận
Bài tập 1: Bất phơng trình:
x 2 +4 x −3

> 2x − 5

cã nghiƯm lµ:
14
b. 1 ≤ x 3.
.
5

Bài tập 2: Bất phơng trình:
x +3 2 x 8 + 7 x
có nghiệm là:

c. Đáp số khác.

a. 4 x 5.
Bài tập 3: Bất phơng trình:

c. Đáp số khác.

a. 1 x <

2x
2 x +1 −1

b. 6 ≤ x ≤ 7.
> 2x + 2

cã nghiƯm lµ:
a. 0 < x <
100

1
.
2

b. −

1

< x < 0.
2

c. §¸p sè kh¸c.


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

Bài tập 4: Giải các bất phơng trình:
( x +1)( 4 x ) > x − 2.
a.
b.

x +1

>3−

x +4

.

c.
x + 2 − 3 x < 5 2 x .
Bài tập 5: Giải các bất phơng trình:
a.

x 2 + 3x + 2 +

x 2 + 6x + 5 ≤

b.
x 2 + x − 2 + x 2 + 2x − 3 ≤
Bµi tËp 6: Giải bất phơng trình:
4x2
(1 1 + 2 x )2

2x 2 + 9x + 7 .

x 2 + 4x − 5 .

< 2x + 9.

Bài tập 7: Giải và biện luận các bất phơng trình:
a.
x m < x 2.
b.

2 x 2 +3

c.

x 2 −1

< x − m.
> x − m.

d. m 1 −x < 1.
e.
x − x −1 > m.
f.

x +2 m

−

x −m

≥ 2m.

g.
x −m − x −2 m > x 3m .
Bài tập 8: Giải và biện luận bất phơng trình:
x + 2ax a 2

+

x 2ax a 2



2a

, a > 0.

IV. hớng dẫn và đáp số
Bài tập 1: Bất phơng trình tơng đơng với:

101

  2x − 5 < 0
 2
  − x + 4x − 3 ≥ 0
⇔

  2x − 5 ≥ 0
 2
 − x + 4x − 3 > (2x − 5)2


  x < 5/2

 1≤ x ≤ 3
⇔
  x ≥ 5/2
 
  5x2 − 24x + 28 < 0


1 ≤ x < 5 / 2

x ≥ 5/2
  2 < x < 14 / 5

1x<

14
.
5

Vậy, bất phơng trình có nghiệm 1 x <

14
.
5

Bài tËp 2: §iỊu kiƯn:

x+ 3 ≥ 0

 2x − 8 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ x ≤ 7.
7− x ≥ 0

(*)
Bất phơng trình tơng đơng với:
(2x 8) + (7 − x) + 2 (2 x −8)(7 −x) ≤ x + 3
⇔

x
 ≥6

≤ 2 ⇔ x2 − 11x + 30 0 5 .
x

Kết hợp với điều kiện (*) ta đợc
(2 x 8)(7 x )

4 x 5

6

x 7

.

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [4, 5] [6, 7].
Bài tập 3: Điều kiện:
102


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

2x + 1 ≥ 0
⇔ 0 ≤ 2x + 1 ≠ 1 ⇔ −

 2x + 1 − 1 ≠ 0

1
≤ x 0.
2

(*)

Trục căn thức, ta biến đổi bất phơng trình vỊ d¹ng:
2 x +1

+ 1 > 2x + 2 ⇔

2 x +1

> 2x + 1

Vậy, nghiệm của bất phơng trình lµ −

(*)

⇔ 4x

2

+ 2x < 0 ⇔ −

1
< x < 0.
2

1
< x < 0.
2

Bµi tËp 4: Häc sinh tù lµm.
Bµi tËp 5: Häc sinh tù lµm.
Bµi tËp 6: Häc sinh tự làm.
Bài tập 7:
a. Bất phơng trình đợc biến đổi tơng đơng thành:

x 2 > 0
x > 2


x ≥ m

x − m ≥ 0
 2

2
 x − 5x + 4 + m > 0
 x − m < ( x − 2)
Trêng hỵp 1: Víi m > 2, khi đó hệ có dạng:

x m
.
2
x − 5x + 4 + m > 0
Trêng hỵp 2: Với m 2, khi đó hệ có dạng:

x > 2
.
 2
 x − 5x + 4 + m > 0
Bµi tËp 8: Ta cã nhËn xÐt:
x + 2ax −a 2

=

2ax − a 2 + a 2
+ 2ax − a 2
2a
2ax − a 2 + 2a 2ax − a 2 + a 2 =
2a

=

|

2ax + a 2 + a |
2a

,

x − 2ax −a 2

2
= | 2ax + a − a | .

2a

103


Khi đó, (1) đợc biến đổi tơng đơng thành:
|

2ax + a 2 + a |
2a

⇔|
a>
0

⇔

2a

+ a| + | 2ax −a 2 − a| ≤ 2a
2ax −a 2 + a + | 2ax −a 2 − a| ≤ 2a

2ax −a 2

− a| ≤ a −

2ax −a 2

 2ax − a 2 ≥ 0
≤a⇔ 
 2ax − a 2 ≤ a 2

VËy, bất phơng trình có nghiệm

104

2a

2ax a 2



|

2
+ | 2ax + a − a | ≤

2ax −a 2

a
≤ x ≤ a.
2

⇔
a>
0

⇔

2ax −a 2

−a≤0

a
≤ x ≤ a.
2


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

bài toán 2

sử dụng phơng pháp
đặt ẩn phụ Dạng 1
I. phơng pháp
Mục đích chính của phơng pháp này là chuyển các bài toán đà cho về bất
phơng trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phơng trình bậc 2.
II.Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

Giải bất phơng trình:
(x 1) 2 x 1 3(x 1).

Giải
Điều kiện:
2x 1 0 x
Đặt t =

2 x 1

1
.
2

,t0x=

(*)
1 2
(t + 1).
2

Khi đó, bất phơng trình có dạng:
[

1 2
1
(t + 1) − 1]t ≤ 3[ (t2 + 1) − 1]
2

2

⇔ t3 − 3t2 − t + 3 ≤ 0 ⇔ (t + 1)(t − 1)(t − 3) ≤ 0
⇔1≤t≤3⇔1≤

2 x −1

≤ 3 1 x 5 thoả mÃn điều kiện (*).

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là 1 x 5.
Chú ý:
1. Ta không thể bình phơng hai vế của bất phơng trình ban đầu vì cha khẳng
định đợc dấu của hai vế.
2. Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tơng đơng để thực hiện ví dơ trªn,
cơ thĨ:
(x − 1)( 2 x −1 − 3) ≤ 0

105


  x − 1 ≥ 0
  x ≥ 1
x≥ 1



 2x − 1 − 3 ≤ 0   2x − 1 ≤ 3   0 ≤ 2x − 1 ≤ 9

⇔
⇔

⇔
⇔ 1 ≤ x ≤ 5.


x< 1
  x − 1 < 0
  x < 1





2x − 1 − 3 ≥ 0   2x − 1 ≥ 3   2x − 1 ≥ 9

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là 1 x 5.
Ví dụ 2:
Cho bất phơng trình:
(x + 1)(x + 3) ≤ m x 2 + 4 x + 5 .

(1)

a. Giải bất phơng trình với m = 1.
b. Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x [ 2, 2 +

3

Giải
Viết lại bất phơng trình dới dạng:
(x2 + 4x + 3) m x 2 + 4x + 5 ≤ 0
⇔ (x2 + 4x + 5) m

Đặt t =

x2 + 4x +5

x2 + 4x +5

−2≤0

, ®iỊu kiƯn t ≥ 1.

Khi ®ã, bÊt phơng trình có dạng:
f(t) = t2 mt 2 < 0.

(2)

a. Với m = 1, bất phơng trình cã d¹ng:
t2 + t − 2 ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 ⇔

x2 + 4x +5

≤1

⇔ x + 4x + 4 ≤ 0 ⇔ x = − 2.
2

VËy, víi m = 1 bất phơng trình có nghiệm x = 2.
b. Ta cã:
x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1
suy ra víi x ∈ [ − 2, 2 +

3

], ta đợc:

( 2 + 2)2 + 1 ≤ x2 + 4x + 5 ≤ ( − 2 +
⇔ 1 ≤ x2 + 4x + 5 ≤ 4 ⇔ 1 ≤

3

x2 + 4x +5

+ 2)2 + 1
≤ 2 1 t 2.

Vậy bất phơng trình (1) nghiƯm ®óng víi mäi x ∈ [ − 2, − 2 +
⇔ (2) nghiƯm ®óng víi mäi t ∈ [1, 2]
106

3

]

].


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

f(t) = 0 cã nghiƯm tho¶ m·n t1 ≤ 1 < 2 ≤ t2

⇔

 a.f (1) ≤ 0  − m − 1 ≤ 0
⇔ 
⇔ m ≥ 1.

 a.f (2) ≤ 0  2 − 2m ≤ 0

VËy, víi m ≥ 1 bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x [ − 2, − 2 +
VÝ dơ 3:

3

].

Cho bÊt ph¬ng trình:
5 x +

5
2 x

< 2x +

1
+ m.
2x

(1)
a. Giải bất phơng trình với m = 4.
b. Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x [

1
, 1].
4

Giải
Điều kiện x > 0.
Viết lại phơng trình dới dạng:
5( x +

1

) < 2(x +

2 x

(*)
1
)+4
4x

(2)
Đặt t =

x

x

+

+

1

, ta có nhận xét:

2 x
1

C ôsi

2

2 x

vậy điều kiện là t
(**)
Mặt khác:

2

x

1
2 x

=

2

,

.

2
1
1

1 
 = x+
t2 =  x +
+1⇒x+
= t2 − 1.


2 x
4x
4x


Khi đó, bất phơng trình có dạng:
5t < 2(t2 − 1) + m ⇔ f(t) = 2t2 − 5t + m − 2 > 0.
a. Víi m = 4, bất phơng trình có dạng:
t
>2

2t2 5t + 2 > 0 t <1 / 2

Đặt X =
X+

x

(**)

t

>2

x

(3)

+

1
2 x

> 2.

, X > 0, khi ®ã:

1
> 2 ⇔ 2X2 − 4X + 1 > 0
2X

107



2+ 2

X >
2
⇔ 

2− 2
X <
2



3

2+ 2
 x >
x > 2 + 2
2
⇔ 
⇔ 
.

0 < x < 3 − 2
2− 2
 x <

2

2


VËy, víi m = 4 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiƯm (0,

∞).
b. Víi x ∈ [

3
−
2

2

)∪(

3
+
2

, +

1
3
, 1] suy ra t [ 2 ,
] Đề nghị bạn đọc tự chứng minh.
4
2

Vậy bất phơng trình (1) nghiệm ®óng víi mäi x ∈ [
⇔ (3) nghiƯm ®óng víi mäi t ∈ [ 2 ,

1
, 1]
4

3
]
2

⇔ f(t) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm thoả mÃn t1 t2 <

⇔

2

∆ < 0


∆ ≥ 0
  a.f ( 2 ) > 0

 S
 2 < 2


⇔

2

<

 41 − 8m < 0



  41 − 8m ≥ 0
m + 2 − 5 2 > 0

 5
 4 > 2


3
2

⇔

41

m > 8

5 2 − 2 < m ≤ 41

8


⇔ m > 5 2 − 2.
VËy víi m > 5 2 − 2 bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x [

1
, 1].
4

Chú ý: Nhiều bất phơng trình ở dạng ban đầu không thấy có dấu hiệu cho
phép lựa chọn phơng pháp đặt ẩn phụ khi đó thông thờng bằng một vài phép

biến đổi tơng đơng ta sẽ thấy sự xuất hiện của ẩn phụ.
Ví dụ 4:
Giải bất phơng trình:

108


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

2x

x+

x2 4

>3 5.

(1)

Giải
Điều kiện x2 4 > 0 |x| > 2.

(*)

Trờng hợp 1 : Với x < 2
Bất phơng trình vô nghiệm (do vế trái âm).
Trờng hợp 2 : Với x > 2
Bình phơng 2 vế phơng trình (1) ta đợc :
4x2

x2 +

x2 4
x2

Đặt t =

x2 4

+

4x 2
x2 − 4

> 45 ⇔

x4
x2 − 4

+ 4.

x2
x2 − 4

> 45 . (2)

, t > 0.

Khi đó, bất phơng trình (2) cã d¹ng:
t + 4t − 45 > 0 ⇔ t > 5 ⇔

x2

2

x 2 >20

⇔ 

x


2

<5

⇔

x2 − 4

 x |> 20
|

 x |< 5
|


> 5 ⇔ x4 − 25x2 + 100 > 0

.

Kết hợp với trờng hợp đang xét, ta đợc tập nghiệm của bất phơng trình là:
(, 20 ) ∪ (− 5 , 5 ) ∪ ( 20 , + ).
Ví dụ 5:
Giải bất phơng trình:
x

> 1+

3

x 1 .

Giải
Điều kiện x 0.
Ta có:
0 1+3 x 1 >0
(1) ←x >→ x > (1 +

2
3
x −1 )

(1)
(*)
3

2
x −1 ) ⇔ x > 1 + 2 3 x −1 + (

⇔ x − 1 − ( 3 x −1 )2 2 3 x 1 > 0.

(2)

Đặt t = x −1   → t > − 1.
Khi ®ã, bất phơng trình (2) có dạng:
t3 t2 2t > 0 ⇔ t(t2 − t − 2) > 0 ⇔ t(t + 1)(t − 2) > 0
3

t + 1> 0

←  →


x> 0

t
 >2

3 x −1 > 2

t(t − 2) > 0 ⇔  <0 ⇔ 3
t
 x −1 < 0



x 1
 − >8

⇔ x −1 <0


x> 0

←  →

x > 9

0 < x <1

109


Vậy, bất phơng trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1.
VÝ dơ 6:
Víi a > 0, giải và biện luận bất phơng trình
x+

a2 x2

a.

(1)

Giải
Điều kiện a x a.
Đặt x = a.cost, với t [0, ]

a2 x2

= a.sint.

Khi đó, bất phơng trình có dạng:
a.cost + a.sint a cost + sint ≤ 1 ⇔ cos(t −

1
π
)≤
2
4

π
−
≤t ≤π
−1 ≤ cos t ≤ 0
 a ≤ a. cos t ≤ 0
⇔ 2
⇔ cos t =1
⇔ a. cos t =a
⇔




t = 0
−a ≤ x 0

x = a

.

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là a x 0 hoặc x = a.
Chú ý: Bài toán trên còn có thể đợc giải bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng
nh sau:
Biến đổi bất phơng trình về dạng:



a2 x2

ax



a x 0
2 2

⇔
a − x ≥ 0
 2 2
 a − x ≤ (a − x)2


− a ≤ x ≤ a

 x ≥ a ⇔
 x ≤ 0


x = a

−a ≤ x 0

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là a ≤ x ≤ 0 hc x = a
VÝ dơ 7:

Víi a0, giải bất phơng trình:
x2 + a 2

x+

2a 2
x2 + a 2

.

Giải
Đặt x = |a|tgt, với t (
x2 + a 2

=

π π
,
) suy ra:
2 2

|a|
.

cos t

Khi ®ã, bÊt phơng trình có dạng:

110

(1)


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

0

|a|
2a 2 . cos t
≤ |a|tgt +
⇔ 1 ≤ sint + 2cos2t ⇔ 2sin2t − sint − 1 ≤
cos t
|a|

⇔ −

|a|
1
1
≤ sint ≤ 1 tgt
x
.
3
3

2

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x

|a|
3

.

Chú ý: Bài toán trên còn có thể đợc giải bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng
nh sau:
Biến đổi bất phơng trình về dạng:
x2 + a2 x

x2 + a 2

+ 2a2 ⇔ x2 − a2 ≤ x

x2 + a 2

.

(2)

XÐt hai trêng hỵp:
1. NÕu x ≥ 0, thì (2) đợc viết lại dới dạng:

x2 a2

x 2 ( x 2 +a 2 )

⇔

 x2 − a 2 ≤ 0

  x2 − a2 ≥ 0

  (x2 − a2 )2 ≤ x2 (x2 + a2 )

⇔

 | x |≤ | a |

  | x |≥ | a |

|a|

| x |≥

3
 
x≥
0

⇔x

≥0

2. NÕu x < 0, thì (2) đợc viết lại dới dạng:

111


 − | a |≤ x ≤ | a |
 x2 − a 2 ≤ 0

⇔  |a|
|a|
 2 22 2 2 2
− ≤ x≤
 (x − a ) ≥ x (x + a )  3
3

VËy, nghiƯm cđa bÊt phơng trình là x

|a|
3

x<
0





|a|
3

x<0

.

III. Bài tập trắc nghiệm và tự luận
Bài tập 1: Phơng trình:
2 | x 2 | > x − 2

cã nghiƯm lµ:
a. 2 ≤ x 3.
Bài tập 2: Phơng trình:

b. 0 x 2.

2x(x − 1) + 1 >
cã nghiƯm lµ:
a. x < 0.
Bài tập 3: Phơng trình:

c. Đáp số khác.

x 2 x +1

b. x > 1.

c. Đáp số khác.

x2 + 3x + 2 ≥ 2 x 2 + 3x + 5
cã nghiƯm lµ:
a. x ≥ −1.

b. x ≥ 0.
Bµi tËp 4: Giải bất phơng trình:
a. (x3 + 1) + (x2 + 1) + 3x x +1 > 0.
2

b. 4 x +
x

c. x +

1
+ 2.
2x

< 2x +

x

35
.
12

>

2

x 1

Bài tập 5: Giải các phơng trình:
a.

1
1 x 2

b. 2(x +

>

3x
1 x 2

x2 + a2

)

1.
5a 2
x 2 + a2

.

Bài tập 6: Cho bất phơng trình:
mx
112

x 3

m + 1.

c. Đáp số khác.

Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

a. Giải bất phơng trình với m =

1
.
2

b. Xác định m để bất phơng trình có nghiệm.
Bài tập 7: Cho bất phơng trình:
(x2 + 1)2 + m ≤ x

x2 +2

+ 4.

a. Gi¶i bÊt phơng trình với m = 3.
b. Xác định m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x [0, 1].
Bài tập 8: Tìm m để bất phơng trình
4

(2 +x )(4 −x )

≤ x2 − 2x + m − 18

nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ [ − 2, 4].
Bµi tËp 9: Tìm m để bất phơng trình
( 4 +x )(6 −x )

≤ x2 − 2x + m

nghiƯm ®óng víi mäi x [ 4, 6].
Bài tập 10: Tìm m để bất phơng trình
(3 +x )(7 x )

x2 4x + m

nghiƯm ®óng víi mäi x ∈ [ − 3, 7].
Bài tập 11: Với a, b > 0, giải và biện luận bất phơng trình
x+

a2 x2

b.

IV. hớng dẫn và đáp số
Bài tập 1: 2 x 3 và 0 x 2.
Bài tập 2: Viết lại bất phơng trình dới dạng:
2(x2 x + 1) 1 > x 2 x +1 .
Đặt t =

x 2 x +1 ,

t

(1)

3

.
2

Khi đó bất phơng trình có dạng:
t
>1

1
2t − t − 1 > 0 ⇔ 
⇔
t <− (l)

2

2

x 2 −x +1

>1

x
 >1

⇔ x2 − x + 1 > 1 x <0 .

Vậy, bất phơng trình có nghiệm lµ ( − ∞, 0) ∪ (1, + ∞).
Bµi tËp 3: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng chuyển về bất phơng trình
x2(x + 1) + 3x x +1 + 2 > 0

113

Đặt t = x x +1 .
Từ đó, ta nhận đợc nghiệm x 1.
Bài tập 4: Học sinh tự làm.
Bài tập 5: Sử dụng ẩn phụ lợng giác.

114


Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ

bài toán 3

sử dụng phơng pháp
đặt ẩn phụ Dạng 2
I. phơng pháp
ý tởng của phơng pháp này cũng giống nh phơng trình vô tỉ.
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:

Giải bất phơng tr×nh:
x2 + 4x ≥ (x + 4)

x 2 −2 x + 4

.

Giải
Đặt t =

x 2 2 x + 4

, điều kiện t 0.

Bất phơng trình có dạng:
f(x) = x2 − (t − 4)x − 4t ≥ 0.

(1)

Coi vÕ tr¸i lµ mét tam thøc bËc 2 theo x, ta cã:
∆ = (t − 4)2 + 16t = (t + 4)2
khi ®ã f(x) = 0 cã c¸c nghiƯm:
t −4 −t −4

= −4
x =
2

x = t − 4 + t + 4 = t

2


tức là (1) đợc biến đổi về dạng:
(x + 4)(x − t) ≥ 0 ⇔ (x + 4)(x −

x 2 −2 x + 4

)≥0

  x + 4 ≥ 0
  x ≥ − 4


  x − x 2 − 2x + 4 ≥ 0   x 2 − 2x + 4 ≤ x
⇔ 
⇔ 
  x + 4 ≤ 0
  x ≤ − 4


2
  x − x − 2x + 4 ≤ 0   x − x 2 − 2x + 4 ≤ 0
115