Tuyển tập những bài Phương trình, hệ phương trình hay và khó trong các đề thi HSG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NGUYỄN ĐỨC THẮNG

Tuyển tập những bài

PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HAY

MỘT THỜI ĐỂ NHỚ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

LỜI NÓI ĐẦU

Những bài phương trình, hệ phương trình đẹp và hay là niềm đam mê một thời cûa nhiều học
sinh cỗp 2 v cỗp 3. File này mình tuyển chọn và trình bày läi những bài phương trình, hệ
phương trình mà mỡnh cõm thỗy hay !

Mỡnh lỗy cỏc toỏn và lời giâi từ nhiều nguồn:

Về đề bài:

 Các bài tốn trong Nhóm Tốn, Nhóm LIKE, Nhóm Giao lưu Tốn (Diễn đàn Tốn
học BoxMath), Nhóm Học tập, ...

 Các bài toán trong các file sách cûa BoxMath, k2pi, VMF, Mathscope, ...

 Các bài toán trong sách Tư duy sáng tạo tìm tịi lời giải PHƯƠNG TRÌNH, BẤT 
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỈ – tác giâ Lê Văn Đoàn;

Những điều cần biết Luyện thị Quốc gia Kỹ thuật giải nhanh HỆ PHƯƠNG TRÌNH –

tác giâ Đặng Thành Nam; ...

 Các bài toán trong đề thi thử THPTQG

Chúc các bän học tốt !

Về lời giải:

 Các lời giâi cûa thæy Trung Nguyentien, thæy Tran Quoc Thinh, Duong Van Vu,
Phùng Quyết Thắng, Phong Hong, Bùi Hùng Vương, Sơn Huỳnh Phú, Chau Thanh
Hai, ...

 Các lời giâi cûa bän Nguyễn Văn Lợi, Hùng Nolan, Ngô Văn Tiệp, Nguyễn Nam,
Træn Lương, Dinh De Tai, Peter Thái Học, ...

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 1: Giâi hệ phương trình

2 2

x y x y
y x y

    





 



Cách 1: 
Thế 2 2

x y   x y từ phương trỡnh th nhỗt xung phng trỡnh th hai cỷa h, ta được





y   x y hay

12 12 12

12 y y

x y

y y

  

     (1)

Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta được

2
2

12 12

y y

y

     

 

  (nhận thỗy y0 khụng l nghim cỷa phng trỡnh)

2
2

144 y 12y 12

y

y y

   

   

 





2 4

12 12 144

y y y

       y y



4



y 3



5
3
5
4

x
y
x

y

 


 



  

 


Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

     

x y;  5;3 ; 5;4



Cách 2:

Trường hợp 1: x y 0

Đặt x y a và x y b thì ta có hệ





2
2 2

b ab

b a ab

  



 

Nhn thỗy phng trỡnh th hai cú bc 4 v phng trỡnh th nhỗt cú bc 2 nờn ta bỡnh phng
hai v phng trỡnh th nhỗt th vo phương trình thứ hai

Hệ suy ra









2 2 2

6 0

b ab  ab b a  b b



3a b



2a b a







0
Từ đó dễ dàng suy ra nghiệm

 

x y;

Trường hợp 2: yx

Đặt y x a và   x y b thì ta có hệ





2
2 2

12
12

ab b

ab a b

  




 



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>



Cách 3:

Phương trỡnh th nhỗt cỷa h suy ra 2 2

x y   x y 2 2





x y x y

    

12 72

y y

x

y

  

 


(2) (sau khi xét y12 khơn thơa mãn hệ phương trình trên)

Từ (2) có thể kết hợp với (1) để tìm y .



Bài 2: Giâi phương trình:





2 3 3

3 1 2 1

x   x  x
Cách 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: 3



1



3 2 3 1 3 3 2

2 x  x   2



3 3 3



2 2 0

2x x

    

 





2
2

3 3 3 3

3 3

0
2

2 2. 2 2

x
x

x x

 

 

   

   

 

 

x

 

Phương trình tương đương





2 3 3

3 1 2 1

x   x  x



3 3

 



4 2 x x 5 4 3x 1 7x 1 0

        



























2 2

3 3 3 3

1 63 78 3 1 15

4 3 1 7 1

16 2 4 5 2 5

x x x x x

x x

x x x x

    

  

  

     

















2 2

3 3 3 3

63 78 3 15

1 0

4 3 1 7 1

16 2 4 5 2 5

x x x

x

x x

x x x x

 

    

    

  

     

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Cách 2:

Xét x2 thì 2 3





3 3 3

3 1 1 2 2

2 2

x   x  x  x 2 6 5 0

x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Xét x2, ta có các đánh giá

2
2

3 3

3 5
3 1

4
4
2

x
x

   






  



Suy ra





2 3

3 3 5 4

1 3 1 2

2 4 3

x x

x  x   x      x 1
Do x1 nên suy ra 3 2 1 3



1



3 3 2 3 1

2 2

x

x   x  x    3



x1



20 x 1



Bài 3: Giâi phương trình:









2
2

2 8

1 2 2

2 3

x x

     

 

Điều kiện xác định: x 2

Khi đó phương trình tương đương





  





2 4

1 2 2

2 3

x x

 

   

 



















2 2 2 2 4

1 2 2

2 3

x x x

x x

    

    

 



 







2 2 4

2 2 1 0

2 3

x x

    

 

     

   

 



 





 







2 2 2 2 4 1 2 3 0

x  x x x x x 

           





















2 2 4 2 1 1 1 0

x  x x x x x x 

            



x 2 2







x 4





x 2 x 1





x 1





x 2 x 1



x 2 x 1



 0

                











2 2 2 1 1 2 3 0

x x x  x x x x 

            

Chú ý:









2
3

2 1 11

1 2 3 2 2 0 2

2 4

x x x   x x  x x      x

 

Vậy phương trình tương đương 2 2 0

2 1 0

x

x x

   




   


</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>



Bài 4: Giâi phương trình:









5x16 x 1 x  x 20 5 5x9

Điều kiện xác định: x5
Chú ý: 5 9 5 5 16

5 9 5

x
x

x


  

  (sau khi đã xét

16
5

x không là nghiệm cûa phương trình)
Phương trình trên suy ra





1 5 9 5 20

x x   x  x







1 5 9 5 1 20

x x x x x

       











2
2

1 5 9 5 1 20

x x x x x

       









2 2

2x 5x 2 5 x 1 x x 20

      

















2 x 4x 5 3 x 4 5 x 4 x 4x 5

        







4 5 4 2 4 5 3 4 0

x x x x x x

         

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 5: Giâi phương trình:









2 x2 5x  x1 x  5 7x5

Điều kiện xác định:



5  

x

5

Phương trình tương đương

















2 x2 5x   2 x 1 x   5 3 0





 





2 2

2 2 1 1 1 2 2

5 2 5 3

x x x x x x

x x

     

  

   









21



2 2

2 1 0

5 2 5 3

x x

   

     

   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>













2
1

2 5 2 1 5 2 5

x
x

x x x x x

 

  



      



Xét













2 5 2 1 5 2 5

x x  x x   x kết hợp với phương trình ban đỉu ta có hệ





















2 2

2 5 2 1 5 2 5

2 2 5 1 5 7 5

x x x x x

       




      



Xem 2

5x và x25 là hai èn cûa hệ phng trỡnh bc nhỗt hai ốn

n ồy bọn c tự giâi ...



Bài 6: Giâi phương trình:

3 2 3 2 2

1 2 1 6 2

x   x x x x
ý thỗy 2

1 0

x   x và 2x2  x 1 0 với mọi x nên ta áp dng bỗt ng thc AMGM

nh sau





3 3

2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2

6 2 1 2 1 2

3 3

x x x x

x   x   x x   x          x 

Từ đó suy ra 2 2

6x  2 x 2 hay x0



Bài 7: Giâi phương trình:



2



2



2







4x x   x 1 x 5x 1 x  x 1 2 x4 4

Điều kiện xác định:













2 2

2
2

4 1 5 1 0

1 2 4 0

x x x x x

x x x

      




    


Chú ý:





4x x   x 1 x 5x 1 0 suy ra 1

x 
Ta bình phương hai vế cûa phương trình để được





4 3 2 2

2 2 9 8 8 4 1 5 1

x  x    x x x x     x x x













3 2

2 2

8 4 5

2 2 7 0

4 1 5 1 2 1

x x x
x x x x

x x x x x x

 

     

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>









3 2

2 2

8 4 5

2 2 7 0

4 1 5 1 2 1

x x

x x x x

x x x x x x

   

 

      

      

 

Chú ý: 3 2

2 2 7 0

x  x  x  ; 2

4x   x 5 0 và 4x x



2     x 1



x2 5x 1 2x 1 0 với mọi 1
2

x 
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x0



Bài 8: Giâi hệ phương trình:





2
2

2 4 0

2 2 3

xy x x x x

xy x x xy

      




    


Điều kiện xác định:

2 0

xy x
xy
x

  


 

Nhn thỗy x0 khụng l nghim cỷa h nờn hệ tương đương

1 1 4

2 2

y x

x

y x x y

x x



    





 

      

  


Đặt 2

y a

x

  và xb hệ tương đương s 1 1 4

a b

a b ab

    




  









2 1 1 14

a b a b

a b ab

     


 

  



(*)

Thế

a b

 

ab



3

lờn phng trỡnh th nhỗt cỷa (*) suy ra 2 ab ab  4 11 ab

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Câu 9: Giâi hệ phương trình:







 







2 4

2 4 2

4 12 16 9

1 1 1 1 0

x y y

x y y x x y

   




      

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đặt:

x



a

và

y



b

thì hệ tương đương







 





2 2

4 12 16 9

1 1 1 1 0

a b b

a b b a a b

   



       


Từ phương trình thứ nhỗt cỷa h ta c

16 12 9

b b

a  thế xuống phương trình thứ hai để được

5 4 3 2

256b 192b 32b 148b 139b290 (*)

Chú ý: (*) tương đương 3 3 2 3 2

256 4 148 139 29 0 0

b b   b  b  b   b

 

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm



Bài 10: Giâi phương trình:

2 2

2x 4x 4 2x   x 1 3

Phương trình tương đương





2 2 2

2 1 3

x  x  x x   x

Chú ý: 2





2 2 2



 



2 1 2 1 2 1 3

x  x  x        x x x x x  x 
Vậy x0 là nghiệm cûa phương trình



Bài 11: Giâi phương trình:





3 3 2 2

5 14 9 2 2 1 1

x  x  x  x x  x 

Điều kiện:

3 2
2

5 14 9 0

2 1 0

x x x

x x

    




  






3 3 2 2

5 14 9 2 2 1 1

x  x  x  x x  x 



3 3 2



2 5 14 9 2 2 1

x x x x x x

        



 







2
2

2 3 3 2 3 3 2

2 1

2 2 1 0

2 2 5 14 9 5 14 9

x x

x x x x x x x x

 

    

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>



 







2
2

2 3 3 2 3 3 2

2 1

2 1 2 0

2 2 5 14 9 5 14 9

x x

x x x x x x x x

 

   

     

         

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 12: Giâi hệ phương trình:

2 2

y
x

x y

x
y

x y

  

 




  

 



Hệ tương đương:









3 2 2 2

78 20

78 15

x xy y x y

y x y x x y

    




   



Xét x0 hoặc y0 đều khơng thơa mãn hệ

Nhån phương trình đỉu với

x

và phương trình hai với y để có hệ









4 2 2 2 2

78 20

78 15

x x y xy x x y

y x y xy y x y

    




   


Trừ vế theo vế:







 





4 4 2 2 2 2 2 2

20 15 20 15 0

x y   y x y  x y  x y x y 

 

x

xy



20 x



15 xy



0

Ta có hệ:





3 2 2

3 2 2 2

20 15 0

78 20

x xy x xy

x xy y x y

Lỗy phương trình thứ hai trừ vế theo vế với phương trỡnh th nhỗt, ta c

2 2

2 xy

15 xy

78 y

20 y

Hay

2xy15x7820y

Vy cuối cùng ta có hệ:

2 2

2 15 78 20 0
20 15 0

xy x y

x y x y

   



    



Đến đåy bän đọc tự giâi ...

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>









1 x1 2x 2x   1 x 1 x x

Phương trình tương đương









1 x1 2x 2x   1 x 1 x x









2 2 1 1 1 1

x x x x x x x

       





2x 2x 1 x 1 x 1 1

       









2x 2x 1 x x 1 x 1 x 0

 

        





2 2

3 1 3 1

0
1

2 2 1 1

x x x x

x x

x x x x

   

  

 

   

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 14: Giâi phương trình:

2 3 2

4x  6 2 x  x 7x 12x6

Điều kiện: 3 7 2 12 6 0

4 6 0

x x x

x

    

  



Phương trình tương đương

2 3 2

4x  6 2 x  x 7x 12x6







3 3 2



2 7 12 6 4 6 0

x x x x x

        













3 2

3 3 2 3 3 2

7 12 6 4 6

2 0

7 12 6 7 12 6 4 6 4 6

x x x x

x

x x x x x x x x

      

 

   

         

 

 



















2 4 3 2

2 3

3 3 2 3 3 2 3 2

2 14 75 144 90

2 0

7 12 6 7 12 6 4 6 4 6 7 12 6 4 6

x x x x x

x

x x x x x x x x x x x x

    

   

                  

   

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2 3 2

4 5 5 1 0

x  x  x    x x
Điều kiện: 3 2

1 0

x x   x hay x 1
Phương trình tương đương

2 3 2

4 5 5 1 0

x  x  x    x x







3 2



5 1 1 0

x x x x x x

        









5 1

1 1

x x x
x x

x x

 

   

  





5 1

1 0

1 1

x
x x

x x

  

    

  

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 16: Giâi phương trình:

3 3

4 x4x  6 4 x x  3 24 x2

Điều kiện:

3
3

4 6 0

3 0

2 0

x x

x x
x

   



  


  

Đặt 4 3

4 6 0

x x   a và 4 x x   3 3 b 0

Phương trình tương đương

4 4
4 4

2
3

b a

a b  







4 4



3 a b 16 4b a

   







3 2 2



19 31 49 61 0

a b a a b ab

     

Vậy ab

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 17: Giâi phương trình:





3 2x 1 2x1 4 4x  1 8x

Điều kiện: 1
2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Đặt

2 x

 

1

2 x

  

1 a

2

suy ra 2 2

2a 4 4x  1 8x
Phương trình tương đương 2

3a2a

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 18: Giâi hệ phương trình:

2 6 2

2 3 2

x

y x y

y

x x y x y

    




     



Điều kiện: 2 0

2 0

x y

x x y

 




  



Xét y0 không là nghim cỷa h

Trng hp 1: y0

Phng trỡnh th nhỗt cûa hệ trương đương 2 6 x2 x2 2

y  y  y  y 2 2

2 2

6 0

x x

y y y y

 

     

 

Trường hp 2: y0

Phng trỡnh th nhỗt cỷa h trng ng 2 6 x2 x2 2

y  y  y  y 2 2

2 2

6 0

x x

y y y y

 

     

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 19: Giâi phương trình:













2 2

8 1 2 2 3

2 2
1

x x x x

x
x

 

  




Phương trình tương đương













2 2

8 1 2 2 3

2 2
1

x x x x

x
x

 

  






 



3 2





2 2 x 8 6 2 x 4x 6 2 8 x 2 2 0

         



 



1 2 3 2 5 4 2 2 1 0

x x x x 

          

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>



Bài 20: Giâi phương trình:





1 2 1 2 2 2

x x x x

x

      


Điều kiện: x1

Cách 1:

Phương trình tương đương





1 2 1 2 2 2

x x x x

x

      











1 1 1 1 2 2 2 0

x x x x x

x

 

          



 





1 1 3

2 2 2 0

1 1 1

x

x x

  

      

  

 





1 1





2 1 2 2 1 0

1 1 1

x

x x

   

        

  

  

 







 



3 3

2 3 2 3

2 0

1 1 1 2 2 2 2 1

x x

x

x x x x

 

 

 

    

      

 

 









 



3 3

1 1

2 2 3 0

1 1 1 2 2 2 2 1

x x

x x x x

 

 

     

      

 

 

2
3
2

x






 




Cách 2:

Phương trình 1 1 3

2 2 0

1 1 1

x

x x

    

   sau khi liờn hp lổn th nhỗt cỏch 1 cũn cú hướng
xử lý sau

Phương trình tương đương

1 1

2 2 0

1 1 1

x

x x



   

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>





1 1

2 2 0

1 1 1

x

x x x



    

   

















2 1 1 1 1

1 2 2 1 0

2 1 2 1 2 1 2 1 1

x

x x x x x

 

 

       

        













3 3

2 3 1

2 3 2 3

2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1

x x

x x x x x x x

 

   

 

            

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 21: Giâi phương trình:





2 3





2 2
2

2 3 3 21 2
3

x x

x

  

 



Phương trình tương đương





2 3





2 2
2

2 3 3 21 2
3

x x

x

  

 









2



2





2
3

3 3 2 21 2 3 3

x x x x

      







3 2



3





3 3 3 1 2 2 2 3 3 3

x x x x x x

    

Nhn thỗy x 3 khụng l nghiệm nên phương trình tương đương









3 3

1 2 1 2

3 3

x x

    

  3

3
1

x

  







2 2 0

x x 

    

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 22: Giâi phương trình:

2 2

1 2 x  9x 18 x x 14x53

Điều kiện: 6

x
x



 


Phương trình tương đương

2 2

1 2 x  9x 18 x x 14x53 (1)

2 2

1 14 53 2 9 18 0

x x x x x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>





2 19 3 2

1 1 0

14 53 2 9 18

x
x

x x x x

  

    

    

 

Xét

2 2

19 3

1 0

14 53 2 9 18

x

x x x x



 

    

2 2

14 53 2 9 18 19 3 0

x x x x x

         (2)

Kết hợp (1) và (2) để giâi ...



Bài 23: Giâi phương trình:

1 2 2 3 3 1 1

x x  x x  x x  x 
Điều kiện: x 1

Chú ý: 2





1 2 2 3 3 1 2 3 1 5 1 1

x x  x x  x x  x x  x   x  x 
Vậy, x 1



Bài 24:Giâi phương trình:

3 2 2 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x
Điều kiện có nghiệm: 3 2

2x x 4x 1 0 1
4

x

 

Phương trình tương đương

3 2 2 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x



 



2 2 2

3 2 1 15 2 4 1 0

x x x x x x x

        





2
2

2 2

6 1 0

3 2 1 15 2 4 1

x
x x

x x x x x x

 

     

     

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 25:Giâi hệ phương trình:













3 3 3 3

3 1 2 1 1 2 1 2 2

x y y x x y

y x

xy xy

y x x y x x

   

 

  




         



</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>



3 3



 





xy x y x y x y

xy xy xy

   



 







3 3 1

x y

xy xy x y xy xy






    



Xét 3xy3 xy 



x y



xy xy1



tương đương



xy xy 1 2



 x y



 



1 xy





xy2



Chú ý



1xy





xy2

 

 xy xy1 2



 x y

 

 xy xy1 2



24 xy



Suy ra





 

4 2







1t t 2  t  t 1 2 2 t với t 4 xy

Hay







2



1 2 2 0

t t t  t  (vô lý)  t 1

Điều kiện rút ra từ phương trình thứ hai:

1 2 0

x

x y




   



0 1

x
y




   

 , nếu xy1 thì x y 1
(khơng thơa mãn)

Vậy x y thế xuống ta được



3x1



2x 1 1 x



1x



2x 1



2x2





2x 1 3x 1 x 2x 1 2x 1 1 1 x 0

           







2x 1 1 x 2x 1 2x 1 1 1 x 2x 1 1 1 x 0

              



2x 1 1 1 x



2x 2



1 x



2x 1



 0

          

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 26:Giâi phương trình:

2

5 4 2

4

1 x



x

 



x

 

x

Điều kiện: 5

2
2 x

   . Điều kiện có nghiệm thì 1 2
4 x

Chú ý: 2x 5 42x 



2x5

 

 42x



3

Suy ra 2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 27:Giâi phương trình:



3x1



2x 2



5x7



3x 2 2



x4



4x 3 0

Điều kiện: 3
4

x

Đặt f x

  

 3x1



2x 2



5x7



3x 2 2



x4



4x3

Xét x4 thì f x

 

0

Xét 2 x 4 thì f x

  

 3x1



2x  2 6 2 4



x



4x 3 7 6 6 160

Xột 3

4 x . Ta cú cỏc bỗt ng thức sau

3 2 5

2 2

4 3 2 1

4 3

x
x

  

 




 

  



Suy ra

  

3 1



3 2 5



5 7



3 2 2





4 3 2 1 0

3 3

x x

f x  x     x x  x    

     x 1



Bài 28:Giâi phương trình:

6

2

3.

5

x

  

x



x



Điều kiện: 3
2

x 

Phương trình tương đương

6

2

3.

5

x

  

x



x











2 3

6 1 2 3 2 3 5 1

x x x x x x x

          





























2 2

3 3

3 2 2 3

2 3 3 5 1 2 3 0

2 5 1 5 1

x x x

x x x x

  

 

         

     





























2 2

3 3

3 5 1 2 3 3 2 2 3

2 2 3 3 5 1 5 1

x x x x x x x

x x x x x

 

         

  

       

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 29:Giâi hệ phương trình:

2 2 3 1

5 4

10 21 3 2

x y x y

x y y

    



  

   



Đặt 2x y a và x y b, hệ tương đương

2 2 2 2

2 3 1

5 4

3 7 21 2 2

a b

a b a b

 




  

     



Thế 3 1

b

a  xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được 8 10 3

3 9

b  b 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 30:Giâi hệ phương trình:





2 2

4 3 2

2 4

3 2 0

3 4 6 4

2 1

x x y y

x x x x x

y y y y y

     



           

     

     



Xét y0 không phâi là nghiệm cûa hệ, phương trình th nhỗt cỷa h tng đương

2 2

2 3

x x x

y y y y

 

   

 
 

Hệ tương đương

2 2

4 3 2

2 4

2 3

3 4 6 4

2 1

x x x

y y y y

x x x x x

y y y y y

     

 
 


     

       

     



     



Thế phng trỡnh th nhỗt xung ta c 4 3 2

4 2

6 4 2

2 2 0

x x x x x

y y y y y y

      

     

     

      (*)

Đặt x 2 x
a
y y

   

 

  và 2

1 b

y   thì (*) trở thành

2 2

2 0

a ab b 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 31:Giâi hệ phương trình:









4 4
2 2
4 4
9 1
2
3 2
y x
x y

x y x y

   




   



Hệ tương đương









4 4

2 2
4 4
9 1
2
3 2
y x
x y

x y x y

   


   










2 4 4 4

4 4

9 2

3 2

x

x x y x

y

x y x y


  

 
   








 



2 4 4 4

2 2 2 4 4 4

9 2

9 4 4

x

x x y x

y

x y y x y x y


  

 
     


Trừ vế theo vế để được 4 4



4 4



2



2 4

 

4 4



2 2 4 4

x

x y x y y x y x y

y       

Hay



4 4



4 2 2



4 4



1 32 4 4 0

 

      

x y x y y x y y



 



4 4 3 4 2

2 1 36 0

 

 x y  y   x y 

Trường hợp 1:





4 4
4 4
0
3 2
  


  

x y

x y x y hay x y 0 (vô lý)

Trường hợp 2:





3 2

4 4

2 1 6 0

3 2

   



   



y x y

x y x y



 



3 2

3 2 4 4

2 1 6 0

3 2 6 2

   


 

   



y x y

x y y x y x y

3 2

2 2 4

2 1 6 0

3 6 2

   


 

 



y x y

x x y x

3 2

2 6 1

2 6 3

  


 

 



y x y

x xy
3
3

2 1
2
2 1
2
 


 

 

x
y

Trường hợp 3:





3 2

4 4

2 1 6 0

3 2

   



   



y x y

x y x y

3 2

2 6 1

2 6 3

  


 

 



y x y

x xy

Đặt z x yi, ta suy ra 3 3 2



3 2 3



3 3

2 2

      i

x xy x y y i z

Ta có: 3 10 3 10 cos



sin



10 10  

 

     

 

i

i i với ; 0

2

  
 





3 10
cos sin

2  

z  i 6 5 cos 2 sin 2

2 3 3

   

 

    

 

k k

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vậy,

5 2

cos

2 3

5 2

sin

2 3

 

 






 



k
x

k
y

với k 0,1, 2



Bài 32:Giâi hệ phương trình:

3
4 4

4 3

x y

x y x y

  




  



Ta sử dụng đồng bậc để suy ra



4 4





 



7 x y  xy 4x3y
Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 33:Giâi hệ phương trình:

2 4

2 2

5
1

4
1 1

2 1

x x y

x y

y

    




    



Đặt 2

x x  a và

y



b

suy ra 2 1

2 x 1 a
a

  

Hệ tương đương

2 5

1 1 1

a b

  




    



Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 34:Giâi hệ phương trình:





2 2

3 2 2

1
2

4 1 2 2

x y

x x x x y xy

  




      



Hệ tương đương





2 2

3 2 2

1
2

4 1 2 2

x y

x x x x y xy

  




      





 



















2 2

4 1 1 1 1

x y x y

x x x x y x

    


 

      

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>



 















2 2

2 2 2

2 1 1 1

x y x y

x x x y

    


 

    





 

















 



2 2

2 2 2 2 2

2 1 1

x y x y

x x x y x y x y

    



   

       

  





 















2 2

2 2 2

2 1 1 0

x y x y

x x x y

    


 

    



1
2

x y

  



Bài 35:Giâi hệ phương trình:







3 2 2 2 2

3 6 5 2 6 3 1

2 3

2 4 2 3 2 1 2 2

x y y x

x y

x y y x x y x y x

      

  



           



Đặt x2y 3 a thỡ phng trỡnh th nhỗt cỷa h tng đương a 3a2 4 2a 8 3 a2 6

Chú ý:

2 2

2 2 3 4 2 2

3 4 2 8 3 8 3 6

a a

a a   a  a      a a   a 2  x 2y1

Thế xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được







3 2 2 2 2

1 1 4 2 2

x   x x   x x   x x  x x 

4 3 2 2 2

2 2 3 1 4 0

x x x x x x x x

           



 



2 2 2 2

3 1 4 0

x x x x x x x x

           

Đặt 2

x   x b, phương trình tương đương

4 2 2

3 3 0

b    b b b  



4 2







1 3 2 0

b b b b

       







3 2









1 1

1 1 0

3 2

b b

b b b

b

 

     

 





3 2

1 1 0

3 2

b
b b b

b

  

      

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 36:Giâi phương trình:





2 2 x1  2x 1

Điều kiện: 0 x 21

Đặt 4

2

x



2

z

và





</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ta có hệ 4





2 4

2 1

y z

  




  



Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 37:Giâi phương trình:





2 1 2



2 4



4 5

x x x x

x

x x

     




  

Điều kiện: 2 x 4

Phương trình tương đương







 





9 16 2 2 4 4 2 4 2 3 11 0

x x x x x x x x

            











 





2 4 2 1 2 2 4 4 4 2 6 14 0

x x  x x x x x x x x 

                 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 38:Giâi phương trình:

1 2 1 13

0
5

5 3 3 1

x x

    

   

Đặt

x

a

, d thỗy iu kin l

a

3

Phng trỡnh trở thành:

2 2

1 2 1 13

0
5

5 3 3 1

a a

    

   

Ta có









2
2

2 1

1 1 1

1 1 2 6 5

5 3 3

3
2
173 2 1

2 1

200
3 1

a a

a a a

a a

a a a

a a

a
a

       

    

   

      

    



  

 

  



Suy ra











 







2 2

2 2

2 1 173 2 1 13 2 7 1 118 833 1502

1 2 1 13 13 1

. 0

5 2 6 5 200 5 200 2 6 5

5 3 3 1

a a a a a a a

a a

a a a a a a

a a

      

        

   

   

Vậy, phương trình vơ nghiệm.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 39:Giâi hệ phương trình:

2
2

5 5 0

2 2 3

y x

y

x y y y

   




     



Hệ tương đương

2
2

2 2 3

y
x

y

x y y y



 


 

      



Cộng vế theo vế ta được









2 1 2 1

x  x  y   y
Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 40:Giâi hệ phương trình:

4 3 3 3

xy xy x

x y x xy xy

 

T phng trỡnh th nhỗt cỷa h ta suy ra





4 1 0

x
x

y y y





      



Phương trình thứ hai cûa hệ tương đương x xy4



x  1





4 3y



3



x 1



0 1

x
y



  





Bài 41:Giâi phương trình:

2
3

3

4 8 0

x



x x

   

x

Điều kiện: x0

Cách 1: Đặt

x



a

, phương trình tương đương

4 2 2

8 3 4 0

a   a a a  













3 2



2 2 2 3 4 0

 a a a   a a a  























2
2

3 2 3 2 2

3 2 2

2 2 2 0

4 4

a a a a

a a a

a a a a

  

     

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)



 















2
2

3 2 3 2 2

3 2

2 2 2 0

4 4

a a a

a a a

a a a a

 

 

 

      

   

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Cách 2: Phương trình tương đương
2

3

4 8 0

x



x x

   

x

3 2 2 3 3

3 4 8 0

2 2

x

x x  x x x 

         

   

3 2 3

3 4 8 0

2 2 2 4

x x x

x x  x x  x 

          

     

Đến đåy bän đọc tự giâi bằng cách liên hợp ...

</div>

Tuyển tập những bài Phương trình, hệ phương trình hay và khó trong các đề thi HSG

NGUYỄN ĐỨC THẮNG

Tuyển tập những bài

<b>PHƯƠNG TRÌNH, </b>

<b> HỆ PHƯƠNG TRÌNH </b>

<b>HAY </b>

<b>MỘT THỜI ĐỂ NHỚ</b>

<b>LỜI NÓI ĐẦU </b>















     























 

















<sub></sub>

<sub></sub>





 











 

































































