Các bài toán ĐS 9 cực hay, Trong các đề thi HSG các cấp Huyện - Tỉnh.: x-x.

Tổng Hợp Một số Bài toán hay trong các kỳ thi học sinh giỏiToán lớp 9
Cấp Huyện và Tỉnh.
BÀI 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức sau :
K = x
1420
+ x
408
+ x
55
+ x
45
+ x
35
+x
25
+x
15
+ x
5
+ 2000
X
Hướng dẫn giải
Thật vậy ta phân tích k thành tổng của 2008 số với cùng mẫu số x ( với x > 0 ), rồi Áp dụng
Bất Đẳng Thức Cô Si cho 2008 số không âm ta có :
1420 408 55 45 35 25 15 5
1420 408 55 45 35 25 15 5
2008
2008
2008
2008
1 1 1

... ( 0)
1 1 1
2008. . . . . . . . . . ...
2008. (min) 2008 1.
x x x x x x x x
K x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
K
x x x x x x x x x x x
x
K K x
x
= + + + + + + + + + + + >
≥
≥ → = ⇔ =
Bài 2: Cho biết :
2 2
( 5)( 5) 5x x y y+ + + + =
. (*)

Tính giá trị của biểu thức: Q =
2009 2009
2008 2008
2008
x y
x y
+
+ +
.

Hướng dẫn giải.
Từ (*) Ta lần lượt nhân hai vế với lượng liên hợp của hằng đẳng hiệu hai bình phương ta có hệ pt
sau : -5(y +
2
5y +
) =5( x -
2
5x +
) (1)
-5(x +
2
5x +
) = 5 (y -
2
5y +
) (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có :10 (x + y) = 0  (x + y ) = 0 . (**)
Từ ( ** ) và Q ta có : Q=
2009 2009 2008 2007 2006 2 2008 2008 2008
( )( ... ) 0.( ... ) 0x y x y x x y x y y x y+ = + − + − + = − =
Giá trị : Q = 0 tại : x = - y .

Bài 3: Cho x,y,z không âm thỏa mãn : x + y + z =9 .
Tính giá trị nhỏ nhất ( min ) của biểu thức : B = xy + yz +zx .

Hướng dẫn giải .
Áp dụng bất đẳng thức Bu Nhi KôpxKy ta có :
B
2
= (xy + yz + zx )

2

≤
(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
2
+ y
2
+z
2
) .
Mà : (x
2
+ y
2
+ z
2
) = (x +y + z )
2
-2xy – 2yz – 2zx
≥
0 .(***)
B
2

≤
(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
2
+ y
2
+z
2
) =
[ ] [ ]
2 2
2 2
2 2
2
( ) 2 2 2 9 2( )
81 2( ) 81 2( )
81 2( ) 2( ) 81
81
3( ) 81 27.
3
x y z xy yz zx xy yz zx
xy yz zx B xy yz zx
B xy yz zx B xy yz zx
xy yz zx B xy yz zx
   

+ + − − − = − + +
   
= − + + → ≤ − + +
→ ≤ − + + → + + + ≤
→ + + ≤ → = + + ≤ ≤
B (min) = 27 Khi và chỉ khi:x/y = y/z = z/x và x + y + z = 9 x = y = z = 3 ./.

Bài 4 : CMR : a
3
+ b
3
+ c
3

≥
a
2
bc
+ b
2
ac
+ c
2
ab
. ( với a ,b c không âm )

Hướng dẫn giải .
(*) Ta c/m được :
X
3

+ y
3

≥
xy ( x + y ) => X
3
+ y
3
– xy ( x + y )
≥
0
( x + y ) ( x
2
– xy + y
2
) – xy ( x + y )
≥
0
( x + y )( x + y

)
2

≥
0 , với mọi x , y
∈
N .
Nên ta có : a
3
+ b

3

≥
ab ( a + b) (1)
b
3
+ c
3

≥
bc ( b + c ) ( 2 )
c
3
+ a
3

≥
ca ( c + a ) (3 )
* Cộng vế theo vế của 3 Bpt (1), (2) và (3) ta có :
2 (a
3
+ b
3
+ c
3
)
≥
ab (a +b ) + bc(b +c) +ca ( c + a ) .
= a
2

b +ab
2
+ b
2
c + bc
2
+ c
2
a + ca
2

= a
2
(b + c) + b
2
( a + c ) + c
2
( a + b ) .
(**) Ta c/m được : a + b
≥
2
ab
( a , b là 2 số không âm ) . Nên ta có :
C
2
(a + b )
≥
2c
2

ab
. ( 4 )
+ a
2
( b + c )
≥
2a
2
bc
( 5)
b
2
(a + c )
≥
2b
2
ac
( 6 )
* Cộng vế theo vế các bất pt ( 4 ) , ( 5 ) và ( 6 ) ta có :
a
2
( b + c ) + b
2
(a + c ) + C
2
(a + b )
≥
2 (a
2
bc

+b
2
ac
+ c
2

ab
)
 2 ( a
3
+ b
3
+ c
3
)
≥
2 (a
2
bc
+b
2
ac
+ c
2

ab
)
 ( a
3
+ b

3
+ c
3
)
≥
(a
2
bc
+b
2
ac
+ c
2

ab
)
 ( Đây là điều phải chứng minh ) ./.
Bài tâp vận dụng :
Bài 1 : cho các số thực : a
1 ,
a
2
,a
3
, … , a
2008
. thỏa

mãn đẳng thức :
a

1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
2008
= 1.
CMR : a
1
2

+ a
2
2
+ a
3
2
+ … +a
2
2008

≥

1
2008
.
Bài 2 : Cho : a.b.c = 1 . CMR :
1
1 1 1

a b c
ab a bc b ac c
+ + =
+ + + + + +
./.

Người thực hiện : Xuân Xuân