Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao - Phạm Minh Tuấn

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài 1 [ĐỀ MH 2018]. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> có đạo hàm liên tục trên đoạn </b>_0;1_<b> thỏa mãn</b>

 

1 0

<i>f</i>  <b>, </b>

 

1

2
0

' 7

<i>f x</i> <i>dx</i>

  

 



<b>và </b>

 

1
2
0

1
3

<i>x f x dx</i>



<b>. Tính </b>

 

1

0

<i>f x dx</i>



<b>A.</b> 7

5 <b>B.</b> 1 <b>C. </b>

7

4 <b>D.</b> 7

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Xét

 

1
2
0

1
3

<i>I</i>



<i>x f x dx</i> .

Đặt

 

 

 

1 1

 

1

 

3

3 3

3
2

0 0

0

'

1 1

. ' ' 1

3 3 3

3

<i>du</i> <i>f x</i>

<i>u</i> <i>f x</i> <i>_x</i>

<i>I</i> <i>f x</i> <i>x f x dx</i> <i>x f x dx</i>

<i>x</i>
<i>dv</i> <i>x dx</i> <i>v</i>

 
 

 _ _{ } _ _{ } _{ }

 

 

 

 _





 Chứng minh BĐT tích phân sau:

   

 

 

 

2

2 2

. *

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>f x g x dx</i> <i>f</i> <i>x dx g x dx</i>

 



 

 











Với mọi <i>t</i> ta có: ₀<i>_{tf x}</i>

   

<i>_{g x}</i> 2 <i>_{t f}</i>2 2

 

<i>_x</i> ₂<i>_{tf x g x}</i>

   

<i>_{g x}</i>2

 

 

Lấy tích phân 2 vế theo biến x ta được:

 

2 2

 

₂

   

2

 

₀

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>h t</i> <i>t</i>



<i>f</i> <i>x dx</i> <i>t f x g x dx</i>







<i>g x dx</i>

 

<i>h t</i> là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có điều kiện:

   

2

 

 

   

2

 

 

2

2 2 2 2

0

. 0 .

' 0

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>t</i>

<i>f x g x dx</i> <i>f</i> <i>x dx g x dx</i> <i>f x g x dx</i> <i>f</i> <i>x dx g x dx</i>

   

 

 _ _ _{ } _

 

   _ _

 

 



















Dấu ‚=‛ xảy ra khi <i>tf x</i>

   

<i>g x</i>

 Áp dụng:

 

 

2

1 1 1

2

3 6 1

1 ' . ' .7 1

7

<i>x f x dx</i> <i>x dx</i> <i>f x</i> <i>dx</i>

 

 

__ __  _ _  











</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi <i>f x</i>'

 

<i>kx</i>3.

Mặc khác:

 

 

 

1

3 3 3 4

0

7

' 1 7 ' 7 7

4

<i>x f x dx</i>     <i>k</i> <i>f x</i>   <i>x</i>  <i>f x</i>   <i>x dx</i>  <i>x</i> <i>C</i>





Mà <i>f</i>

 

1 0 nên

 

1 1

4

0 0

7 7 7 7

4 4 4 5

<i>C</i>  <i>f x dx</i> _ <i>x</i>  _<i>dx</i>

 





<b>NHẬN XÉT: Thật ra BĐT (*) chính là hệ quả BĐT Holder về tích phân </b>
BĐT Holder về tích phân phát biểu như sau:

   

 

 

1 1

.

<i>b</i> <i>b</i> <i>_p</i> <i>p</i> <i>b</i> <i>_q</i> <i>q</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>f x g x dx</i> _ <i>f x</i> <i>dx</i>  _{ } <i>g x</i> <i>dx</i>_

   







với ,<i>p q</i>1 thỏa 1 1 1

<i>p</i> <i>q</i>

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực <i>m n</i>, không đồng thời bằng 0 sao cho

 

<i>p</i>

 

<i>q</i>

<i>m f x</i> <i>n g x</i>

<b>Hệ quả: Với </b><i>p q</i> 2 thì BĐT trở thành





<i>_{f x g x dx}</i>

   



2 



<i>_f</i>2

 

<i>_{x dx g x dx}</i>_.



2

 

<b>BTAD: Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> liên tục trên đoạn </b>_0;1_<b> thỏa mãn </b>



  

1

2
0

1

1 '

3

<i>x</i> <i>f x dx</i>

  



<b>. </b>

<b>Giá trị nhỏ nhất của tích phân </b>

 

1

2
0

<i>f</i> <i>x dx</i>



<b>là: </b>

A.

 

0 2

3

<i>f</i> 

<b>B. </b>3

 

0 2

3

<i>f</i> 

<b>C. </b>3

 

0 2

3

<i>f</i> 

<b>D. </b>

 

0 2

3

<i>f</i> 

<b>Bài 2. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> có đạo hàm liên tục trên đoạn </b>_0;1_<b> thỏa mãn </b> <i>f</i>

 

0 0<b>,</b>

 

0;1

max '<i>f x</i> 6

 

   <b>và </b>

 

1

0

1
3

<i>f x dx</i>



<b>. Gọi </b><i>M</i> <b>là giá trị lớn nhất của tích phân </b>

 

1

3
0

<i>f</i> <i>x dx</i>



<b>. </b>

<b>Khẳng định nào sau đây đúng? </b>

<b>A.</b> 1;3

2

<i>M</i> _

 <b> B. </b>

1
0;

2

<i>M</i> _

  <b>C. </b>

1
;1
2

<i>M</i> _

  <b> D. </b>

3
; 2
2

<i>M</i> _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta có: <i>f x</i>'

 

6,   <i>x</i> _0;1_  <i>f x f x</i>'

   

6<i>f x</i>

 

,   <i>x</i> _0;1_ (1)

Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được:

   

 

0 0

' 6 , 0;1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f t f t dt</i> <i>f t dt</i>   <i>x</i> _ _





 

 

 

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

_{   }

2 2 2

2 3

0 0 0

0

0

6 12 12

2 2 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f</i> <i>t</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f</i>

<i>f t dt</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f t dt</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>f t dt</i>

   

_

 

_

 

_

(2)

Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được:

 

   

1 1

3

0 0 0

12

<i>x</i>

<i>I</i>

<i>f</i> <i>x dx</i> <i>f x</i> <i>f t dt dx</i>

 







Đặt

 

 

 

0

. '
<i>x</i>

<i>u</i>



<i>f t dt</i><i>du</i> <i>f x x dx</i> <i>f x dx</i>

Suy ra

 

 

 

1

0 1 2 1 2

0 0 0

1 1 1 1 1

.

2 2 2 9 18

<i>f t dt</i>

<i>I</i> <i>udu</i> <i>f t dt</i> <i>f x dx</i>



   

  _ _  _ _  

   







Vậy

 

1

3
0

1 2
12.

18 3

<i>f</i> <i>x dx</i> 



<b>Nhận xét: Ta có thể chỉ ra 1 hàm số </b> <i>f x</i>

 

thỏa mãn dữ kiện đề cho và xảy ra dấu ‘’=‛,
hàm đó là: <i>_{f x}</i>

 

_{ }_{28,815042623089894049}<i>_x</i>3__{35,5890622041211331}<i>_x</i>2__{8,6518534912024751}<i>_x</i>

- <b>Chú ý:</b>

 

 
 

 





 



 



 

' . ' . '

<i>g x</i>

<i>h x</i>

<i>f t dt</i> <i>f g x</i> <i>g x</i> <i>f h x</i> <i>h x</i>

 

   

 







<b>Bài 3. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> có đạo hàm liên tục trên đoạn </b>_0;1_<b> thỏa mãn </b>

 

0 6 4 2
3

<i>f</i>   <b>, </b>

 

1 2

<i>f</i>  <b>và </b> <i>f x</i>'

 

0,   <i>x</i> _0;1_<b>. Biết tích phân </b>

 

1

2
2

0

2 2 2 <i>x x</i>  <i>f x</i>' _ <i>dx</i>



<b>đạt giá </b>

<b>trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính</b> <i>f</i>

 

2 <b>?</b>
<b>A.</b>

 

2 6 4 2

3

<i>f</i>   <b>B. </b>

 

2 6 2 2

3

<i>f</i>   <b>C. </b>

 

2 3 2 2

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 

3 2
2

2

<i>f</i>  

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Ta có:

 





 

1 1 ₂

2 2

2

0 0

2 2 2 ' 2 '

<i>I</i> 



 <i>x x</i> _<i>f x</i> _ <i>dx</i>



 <i>x</i> <i>x</i> _<i>f x</i> _ <i>dx</i>

Ta có :





 

 

2 ₂ ₂

2 ' 2 '

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> 

  _ _  _    _





 

 

1 ₂ 1

2

0 0

2

2 ' 2 '

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i>  <i>dx</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>f x dx</i>



_

  _ _ 

_

_    _

Mà:

 





 

   

1 1 1

0 0 0

4 2 8 2

2 ' 2 ' 1 0

3 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>f x dx</i> <i>x</i> <i>x dx</i> <i>f x dx</i> <i>f</i> <i>f</i>

 _{ } _  _ _{ } _ _ _ _ _

 







Do đó 8

3

<i>I</i>

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi : _'

 

₂

 

2 3



₂



3

3

<i>f x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i>  _ <i>x</i>  <i>x</i> _<i>C</i>

 

Ta có:

 

 

2 3





3

 

6 4 2

1 2 2 2 2 2

3 3

<i>f</i>    <i>C</i> <i>f x</i>  _ <i>x</i>  <i>x</i> _  <i>f</i>  

 

<b>Bài 4. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> có đạo hàm liên tục trên đoạn </b>_0;1_<b> thỏa mãn</b>

 

1 ₁ 2

, 0;1
2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f t dt</i>    <i>x</i> _ _



<b>. Gọi </b><i>m</i><b> là giá trị nhỏ nhất của tích phân </b>

 

1

2
0

<i>f</i> <i>x dx</i>



<b>. Khẳng </b>

<b>định nào sau đây đúng? </b>

<b>A.</b> 1;3

2

<i>m</i> _

  <b>B. </b>

1
0;

2

<i>m</i> _

  <b>C. </b>

1
;1
2

<i>m</i> _

  <b>D. </b>

3
; 2
2

<i>m</i> _

 

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Theo hệ quả BĐT Holder:

 

 

 

 

2 2

1 1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0 0

. 3

<i>xf x dx</i> <i>x dx f</i> <i>x dx</i> <i>f</i> <i>x dx</i> <i>xf x dx</i>

   

  

   

   



















Giờ ta chỉ việc tìm min của tích phân

 

1

0

<i>xf x dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Gọi F(x) là một nguyên hàm của <i>f x</i>

 

, khi đó ta có:

 

 

 

1

1
0
0

' 1

<i>xF x</i> <i>dx</i> <i>x F x</i> <i>F</i>

   

 



Mà

 

 

 

 

 

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

' '

<i>xF x</i> <i>dx</i> <i>xF x dx</i> <i>F x dx</i> <i>xf x dx</i> <i>F x dx</i>

     

 











Suy ra

 

 

 

1 1

0 0

1

<i>F</i> 



<i>xf x dx</i>



<i>F x dx</i> (1)

Từ đề:

 

   

 

 

1 2 2 1 1 1 2

0 0 0

1 1 1 1

1 1

2 2 2 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f t dt</i>  <i>F</i> <i>F x</i>    <i>F</i> <i>dx</i> <i>F x dx</i>  <i>dx</i>









Tương đương

 

 

1 1 2

0 0

1 1

1

2 3

<i>x</i>

<i>F</i> 



<i>F x dx</i>



 <i>dx</i> (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

 

1

0

1
3

<i>xf x dx</i>



Vậy

 

2
1

2
0

1 1

3

3 3

<i>f</i> <i>x dx</i>  _{ } 

 



Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi <i>f x</i>

 

<i>x</i>

<b>Bài 5. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> có đạo hàm liện tục trên </b>_0;1_<b> thỏa mãn </b><i>f</i>

 

1 0<b>,</b>

 



  

1 ₂ 1 2

0 0

1

' 1

4

<i>x</i> <i>e</i>

<i>f x</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>e f x dx</i> 

    

 





<b>. Tính </b>

 

1

0

<i>f x dx</i>



<b>. </b>

<b>A.</b>
2

4

<i>e</i>

<b>B. </b>

2

<i>e</i>

<b>C.</b> <i>e</i>2 <b>D. </b> 1

2

<i>e</i>
<b>Hướng dẫn giải: </b>

Xét



  

1

0

1 <i>x</i>

<i>I</i>



<i>x</i> <i>e f x dx</i>, đặt

 



1



<i>x</i> <i>x</i>'

 

<i>u</i> <i>f x</i> <i>du</i> <i>f x dx</i>

<i>dv</i> <i>x</i> <i>e dx</i> <i>v</i> <i>xe</i>

   

 _

 

  _ 

 



Suy ra

 

 

 

1 2 1 2

1
0

0 0

1 1

' '

4 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>e</i> <i>x</i> <i>e</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

 

2

 

2 ₁ ₁ ₁ 2

2 ₂ 2

2 2

0 0 0

1 1

' . '

4 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>e</i> <i>e</i>

<i>xe f x dx</i> <i>x e dx</i> <i>f x</i> <i>dx</i>

 

   _ _ _ _ _  

 

  _ _ _ _  

  









 

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi <i>_{f x}</i>'

 

<i>_kxex</i>_{. Mà}

 

1 2

0

1

' 1

4

<i>x</i> <i>e</i>

<i>xe f x dx</i>     <i>k</i>



Suy ra <i>f x</i>

 

 



<i>xe dxx</i>  



1 <i>x e</i>



<i>x</i><i>C</i>. Mà <i>f</i>

 

1   0 <i>C</i> 0

Vậy

  







1

0

1 <i>x</i> 1 <i>x</i> 2

<i>f x</i>  <i>x e</i> 



<i>x e dx e</i> 

<b>Bài 6. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> có đạo hàm dương và liên tục trên </b>_0;1_<b> thỏa mãn </b><i>f</i>

 

0 1<b>,</b>

   

   

1 1

2

0 0

1

3 ' 2 '

9

<i>f x f</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>f x f x dx</i>

 _  _

 

 





<b>. Tính </b>

 

1
3

0

<i>f</i> <i>x dx</i>



<b>. </b>

<b>A.</b> 5

4 <b>B. </b>

3

2 <b>C. </b>

8

5 <b>D. </b>

7
6

<b>Hướng dẫn giải: </b>

<b>Đề </b>

   

   

1 1

2

0 0

1

3 ' 2 '

3

<i>f x f</i> <i>x dx</i> <i>f x f x dx</i>



_

 

_

Áp dụng hệ quả BĐT holder:

   

   

2

1 1 1

2

0 0 0

. ' '

<i>dx f x f</i> <i>x dx</i> _ <i>f x f x dx</i>_

 

 



Suy ra

   

   

   

2 2

1 1 1

0 0 0

1 1

2 ' 3 ' 3 ' 0

3 3

<i>f x f x dx</i> _ <i>f x f x dx</i>_   _ <i>f x f x dx</i> _ 

   







Hay

   

1

0

1
'

3

<i>f x f x dx</i>



Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi

   

   

1

0

1

' ₁

3

3
'

<i>f x f x dx</i>

<i>k</i>

<i>f x f x</i> <i>k</i>





 _{ }



 _





Xét

   

   

 

 

3

2 ₃

1 1 1 1

' ' 3

3 9 3 9 3

<i>f</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Vì <i>f</i>

 

0 1 nên

 

 

1

3
3

0

1 7

1

3 6

<i>f x</i>  <i>x</i> 



<i>f</i> <i>x dx</i>

<b>Bài 7. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> có đạo hàm liên tục trên </b>

 

<i>a b</i>; <b> thỏa mãn </b>lim

 

<i>x</i><i>a</i> <i>f x</i>

 <b>, </b>

 

lim

<i>x</i><i>b</i> <i>f x</i>   <b>và </b>

 

 

 

2

' 1, ;

<i>f x</i>  <i>f</i> <i>x</i>    <i>x</i> <i>a b</i> <b>. Tìm giá trị nhỏ nhất của </b><i>P b a</i>  <b>. </b>
<b>A.</b>

2



 <b>B. </b> <b>C.</b>  <b>D. </b>

2


<b>Hướng dẫn giải: </b>

Ta có:

 

 

 

 

2

2

'

' 1 1

1

<i>f x</i>
<i>f x</i> <i>f</i> <i>x</i>

<i>f</i> <i>x</i>

     


Lấy tích phân hai vế ta được:

 

 

 

 

 

1
2

0

'

1 arctan arctan arctan

1
<i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>f x</i>

<i>dx</i> <i>f x</i> <i>a b</i> <i>b a</i> <i>f b</i> <i>f a</i>

<i>f</i> <i>x</i>         







Vì lim

 

, lim

 

<i>x</i><i>a</i> <i>f x</i> <i>x</i><i>b</i> <i>f x</i>

    nên <i>b a</i> 

Nhận xét: Khi hàm số <i>f x</i>

 

cot<i>x</i> cận <i>b</i>,<i>a</i>0 thì dấu ‚=‛ xảy ra
<b>Bài 8. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> dương và liên tục trên </b>_1; 3_<b> thỏa mãn </b>

 

1;3

max <i>f x</i> 2

 
 



 

1;3

1
min

2

<i>f x</i>

 

   <b>và biểu thức </b>

 

 

3 3

1 1

1
.

<i>S</i> <i>f x dx</i> <i>dx</i>

<i>f x</i>







<b> đạt GTLN, khi đó hãy tính </b>

 

3

1

<i>f x dx</i>



<b>A.</b> 7

5 <b>B. </b>

3

4 <b>C. </b>

3

5 <b>D. </b>

5
2

<b>Hướng dẫn giải </b>

Từ đền suy ra 1

 

2, 1; 3
2  <i>f x</i>    <i>x</i>   nên

 



 



 

1

2
2

0

<i>f x</i> <i>f x</i>

<i>f x</i>

 _  _

 

  _ _,_{  }<i>_x</i> _{1; 3}_
 

Lấy tích phân 2 vế ta được:

 



 



 

 

 

3 3 3

1 1 1

1

2

2 1

0 5

<i>f x</i> <i>f x</i>

<i>dx</i> <i>dx</i> <i>f x dx</i>

<i>f x</i> <i>f x</i>

 _  _

 

  _{ } _{ }

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Tương đương

 

_{ }

 

 

 

2 2

3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

1 25 5 25

5

4 2 4

<i>f x dx</i> <i>dx</i> <i>f x dx</i> <i>f x dx</i> <i>f x dx</i>

<i>f x</i>

   

 _ _  _  _ 

   











Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi

 

3

1

5
2

<i>f x dx</i>



<b>Bài 9. Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> xác định và liên tục trên </b>_1; 2_<b> thỏa mãn</b>

 

2

1

3 3
2

2 1

3
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i> <i>dx</i> 

  

 



<b>với mọi </b><i>x x</i>₁, ₂ _1; 2_ <b>sao cho </b><i>x</i>₁<i>x</i>₂<b>. Tìm GTLN của tích phân </b>

 

2

1

<i>f x dx</i>



<b>. </b>

<b>A.</b> 1

2 <b>B. </b>

3

2 <b>C. </b>

5

3 <b>D. </b>

5
2

<b>Hướng dẫn giải </b>

Ta có:
2

1

3 3

2 2 1

3
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x dx</i>  



2

 

2 2



 



1 1 1

2 ₂ ₂ 2

0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i> <i>dx</i> <i>x dx</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>dx</i>

      

   







Do hàm

 

2

 

2

<i>f x</i> <i>x</i>  <i>f x</i> _ liên tục trên _1; 2_ nên:

 

2

 

2 ₀ _, _{1; 2}

<i>x</i> _<i>f x</i> _   <i>f x</i> <i>x</i>   <i>x</i> _ _

Từ đó suy ra

 

 

2 2 2

1 1 1

3
2

<i>f x dx</i> <i>f x dx</i> <i>xdx</i>







Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi <i>f x</i>

 

<i>x</i> ; <i>x</i>₁1;<i>x</i>₂2

<b>Bài 10. Cho hai hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> không âm và liên tục trên </b>_0;1_<b> . Đặt </b>

 

 

0
1 2

<i>x</i>

<i>g x</i>  



<i>f t dt</i>

<b>và ta giả sử rằng ln có </b><i>g x</i>

 

_<i>f x</i>

 

_2,   <i>x</i> _0;1_<b>. Tìm GTLN của tích phân </b>

 

1

0

<i>g x dx</i>



<b>. </b>

<b>A.</b> 7

3 <b>B. </b>

8

5 <b>C. </b>

5

3 <b>D. </b>

13
6

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Gọi <i>F x</i>

 

là một hàm số thỏa mãn

 

 

0

<i>x</i>

<i>F x</i> 



<i>f t dt</i>

   

 

 

'

1 2

<i>F x</i> <i>f x</i>

<i>g x</i> <i>F x</i>

 




 


Ta có

   

 

 

 

 

 

2 '

1 2 1 1 0

1 2 1 2

<i>f x</i> <i>F x</i>

<i>F x</i> <i>g x</i> <i>f x</i>

<i>F x</i> <i>F x</i>

 

  _ _     

 

<b>Nháp: xét </b>

 

 

 

 

 

' '

1 1 2

1 2 1 2

<i>F x</i> <i>F x</i>

<i>dx x C</i> <i>F x</i> <i>x C</i>

<i>F x</i> <i>F x</i>

       







Xét hàm số <i>h x</i>

 

 1 2 <i>F x</i>

  

 <i>x C</i>



, <i>x</i> _0;1_

Ta có

 

 

 

2 '

' 1 0

2 1 2

<i>F x</i>
<i>h x</i>

<i>F x</i>

  

 nên <i>h x</i>

 

nghịch biên trên 0;1.
Suy ra <i>h x</i>

   

<i>h</i> 0  1 2 <i>F</i>

 

0 <i>C</i>

Ta có

 

 

0

0

0 0

<i>F</i> 



<i>f t dt</i> nên <i>h x</i>

 

 1<i>C</i> . Ta chọn <i>C</i>sao cho 1   <i>C</i> 0 <i>C</i> 1

Vậy

 

  



 

1
2

0

7

1 2 1 1

3

<i>F x</i> <i>x</i> <i>g x</i> <i>x</i> <i>g x dx</i>

      





<b>BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số </b> <i>f x</i>

 

<b> không âm và liên tục trên </b>_0;1_<b> . Đặt</b>

 

 

0
1 2

<i>x</i>

<i>g x</i>  



<i>f t dt</i> <b>và ta giả sử rằng ln có</b> <i>g x</i>

 

_<i>f x</i>

 

_3,   <i>x</i> _0;1_<b>. Tìm GTLN </b>
<b>của tích phân </b>

 

1

2
3

0

<i>g x</i> <i>dx</i>

 
 



<b>. </b>

<b>A.</b> 5

3 <b>B.</b> 4 <b>C. </b>

4

</div>

<!--links-->