Đề ôn tập toán lớp 11

Sản phẩm của
a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

ĐỀ ÔN TẬP 4-5-6--7

ĐỀ BÀI
ĐỀ SỐ 4
2

Câu 1. Tính giới hạn sau: lim

2
x 
3

9x  4
.
6 x 2  x  2

 3x  3  x  1 5 x 2  4

, x 1

x2  2x  1
Câu 2. Định a để hàm số f  x   
liên tục tại x0  1 .
a 2  1 x  3a
, x 1

3

Câu 3.Chứng minh phương trình
Câu 4. Giải bất phương trình

m sin x  cos x m cos x  sin x

 0 ln có nghi
nghiệm với mọi tham số m.
2  sin 2 (3x)
2  cos 2 (3x)

2  x  4x  3
 2.
x

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số sau y 

x3
.
2x 1

 x4
 x 2  9 có đồ thị (C ) . Viết phương trình
ình ti
tiếp tuyến của đồ thị
4
(C ) tại giao điểm của (C ) và đường
đư
thẳng  d  : y  1

Câu 6. Cho hàm số y  f  x  

Câu 7.Cho hàm số y 

sin x
2
. Chứng
Ch
minh rằng y 2   y ' cos 2 2 x  1  0 .
cos 2 x

Câu 8.Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AD  2 AB  2a , SO  a,
SO   ABCD  . Gọi I ; J lần
n lư
lượt là trung điểm của AB, CD .
a) Chứng minh rằng AB   SIJ  .
b) Tính góc giữa hai đường
ng th
thẳng SI và mặt phẳng  SBD  .
c) Gọi E là điểm trên cạnh SD sao cho SE 
( IJE ).

1

2
ừ điểm A đến mặt phẳng
SD. Tính khoảng cách từ
5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

ĐỀ SỐ 5
Câu 1. Tìm các giới hạn

x2  2  x2  x  1
2 x3  3x 2  1
lim
.
b)
.
x 1 x 3  2 x 2  3 x  4
x 
3x  1
 x2  x  3  3
, khi x  2

Câu 2. Cho hàm số f  x   
. Tìm m để f  x  liên tục tại x0  2 .
2x  4
 x 2  mx
, khi x  2

a) lim

Câu 3.Chứng minh phương trình: sin x  x 

 sin    sin    2   2
có nghiệm với mọi     0 .
 

Câu 4.Giải bất phương trình  x 3  8 x 2  19 x  12  2 x 2  5 x  2  0
Câu 5.Tính đạo hàm
a. y 



x2  1  x



2020

;

b. y  tan

x
.
x 1
2

Câu 6.Cho hàm số y  f  x   x3  3x 2  1 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C 
sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng    : y  9 x  26 .
Câu 7.Cho hàm số y 

1

. Chứng minh rằng xy ''  y ' 3x3 y 5 .

x2  1

Câu 8.Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC , CD .
a) Chứng minh  SMN    SAC  .
b) Tính góc giữa mặt phẳng  SMN  và mặt phẳng  ABCD  .
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AN .

2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

ĐỀ SỐ 6
Câu 1. Tính giới hạn: lim
x 0

x  x2  x   x  2
x 4  4 x3  2 x 2

 x  3  4x
khi x  1

Câu 2.Cho hàm số f  x   
. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số f  x  liên tục
x 1
x  m
khi x  1

tại x0  1 .
Câu 3.Cho phương trình x3 cos3 x  m  x cos x  1 x cos x  2   0 . Chứng minh phương trình ln có
nghiệm với mọi m .

Câu 4. Giải bất phương trình 3  x  1





2 x  1  x   x  1 x  5 .

Câu 5. Tìm đạo hàm của hàm số sau f  x  

1
.
3x  1  3x

Câu 6. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x0 


của: C  : y  f  x  sin x cos x cos 2 x .
12

sin x
. Chứng minh rằng xy   2 y   xy  0 .
x
Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  2a và AD  4a . Mặt phẳng
Câu 7. Cho hàm số y 

 SAB 

và  SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  .

a) Chứng minh DC vng góc với mặt phẳng  SAD  .
b) Cho diện tích tam giác SCD gấp 2 lần diện tích tam giác ACD . Tính độ dài SA .
c) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm CB, CS , CD . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng

 MNP  .

3


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

ĐỀ SỐ 7
2

1  x   3 x  5 
Câu 1.Tính giới hạn của hàm số: lim
3x 4  2 x3  1

x 

3

.

Câu 2. Tìm tham số a , b để hàm số liên tục tại x  1 .
 x 2   a  1 x  a  2
 x  1

x


1

f  x   b
 x  1

 2x  x  3
 x  1
 x 2  1
Câu 3.Cho 2a  3b  7c  0 . Chứng minh rằng phương trình a tan 2 x  b tan x  c  0 có ít nhất một



nghiệm thuộc  k ;  k  , k   .
4


x2  4 x 1

Câu 4.Giải bất phương trình x  1 

2

 2 x2  4x  2 .

2x  4x  2
Câu 5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau
a) y  3 x4  2 x3  x2 1

3

b) y  1  tan 2 x

2x 1
có đồ thị C  . Viết phương trình tiếp d  với đồ thị C  , biết d  đi qua
3 x
điểm A1; 2 .

Câu 6. Cho hàm số y 

Câu 7. Cho hàm số y  x tan x . Chứng minh rằng.
b) x 2 y  2  x 2  y 2  1  y   0 .

a) xy  y  x 2  y 2 .

Câu 8.Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O , cạnh 2a . Biết SA  SB  SC , góc
giữa SA và mặt đáy bằng 60o .
a) Chứng minh SO   ABCD  .
b) Xác định và tính góc giữa  SCD  và mặt đáy  ABCD  .
c) Gọi E , F lần lượt là trung điểm cạnh SB, SO . Gọi  P  là mặt phẳng chứa CE và song song
với DF . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  P  .

4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

LỜI GIẢI
ĐỀ SỐ 4
2

Câu 1.

Tính giới hạn sau: lim2
x 

3

9x  4
.
6 x 2  x  2

Lời giải
Người làm: Nguyễn Hào Kiệt; Fb: Nguyễn Hào Kiệt
Ta có lim2
x 

Câu 2.

3

 3x  2  3x  2   lim 3x  2   12 .
9 x2  4
 lim2
2
6 x  x  2 x   3 x  2 1  2 x  x  2 1  2 x
7
3

3

 3x  3  x  1 5 x 2  4

, x 1

x2  2 x  1
Định a để hàm số f  x   
liêntục tại x0  1 .
 a 2  1 x  3a
, x 1

3

Lời giải
Người làm: Nguyễn Xuân Hoa; Fb:Nguyễn Xuân Hoa
Ta có:

1
f 1  a 2  3a  .
3
Với x  1 ta có x  1  1  x .
lim f  x   lim

x 1

 lim
x 1

 lim
x 1

x 1

3x  3  x  1 5 x 2  4
3  x  1  1  x  5 x 2  4

lim
2
x 1
x2  2x  1
 x  1

9   5 x2  4
 5 x  1 x  1
3  5x2  4
 lim
 lim
x 1
x 1
 x  1 3  5 x 2  4 x1  x  1 3  5 x 2  4









 5 x  1



5
 .
3
3  5x2  4



1
1


lim f  x   lim  a 2  x  3a   a 2  3a 
x 1
x 1 
3
3

Để hàm số liên tục tại x0  1 thì lim f  x   lim f  x   f 1
x 1

x 1

a  1
1
5
 a 2  3a     a 2  3a  2  0  
.
3

3
a  2
a  1
Vậy 
thì hàm số liên tục tại x0  1 .
a  2
Câu 3.Chứng minh phương trình

m sin x  cos x m cos x  sin x

 0 ln có nghiệm với mọi tham số m.
2  sin 2 (3 x)
2  cos 2 (3 x)

Lời giải
Người làm: Nguyễn Thuý; Fb: Thuý Nguyễn
5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Đặt f  x  

m sin x  cos x m cos x  sin x
hàm số liên tục trên  0;   .

2  sin 2 (3 x)
2  cos 2 (3 x)

1

f  0  m  .
2
1

f       m  .
2

2

1
 1

1

Xét f  0  . f       m    m      m  .
2
 2

2


Nếu

1
1
 m  0  m   ta có: f  0   f    0 .
2
2

Phương trình f  x   0 ln có ít nhất 2 nghiệm x  0 hoặc x   .

2

1
1
1
 1

1

Nếu  m  0  m   thì f  0  . f        m   m      m   0 .
2
2
2
2
2





Phương trình f  x   0 ln có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  0;   .
Vậy phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi tham số m.
2  x  4x  3
 2.
Câu 4.Giải bất phương trình
x
Lời giải
Người làm: Nguyễn Quân; Fb: Nguyễn Quân
2  x  0
Điều kiện xác định: 

 x   ;0    0; 2 .
x  0
2  x  4x  3
2
x




2  x 1  2x  2
0
x

1 x
 2x  2
2  x 1
0
x



 x  1  2 






1



2  x 1

x

 x  1  2
x



0

0

2  x 1



2  x 1

x 1
0
x
 x   ;0   1;  


Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm là S   ; 0   1; 2
6

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Câu 5.Tính đạo hàm của hàm số sau y 

x3
.
2x 1
Lời giải
Người làm: Nguyễn Đức Kiên; Fb:Nguyễn Đức Kiên Kiên

1

y'
2.


 x 
.
 
 2x 1 
3

x3
2x 1
4 x3  3 x 2

x3
2.
.(2 x  1) 2
2x 1



3x 2 .  2 x  1  2 x3
.
(2 x  1)2

1
2.

x3
2x 1
4 x3  3x 2

2. x3 .(2 x  1)3

 x4
 x 2  9 có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C )
4
tại giao điểm của (C ) và đường thẳng  d  : y  1

Câu 6.Cho hàm số y  f  x  

Lời giải
Người làm:Nguyễn Văn Trường; Fb: Nguyễn Trường
Ta có: y '   x 3  2 x
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị y  f  x  

 x4
 x 2  9 và y  1 là

4

 x2  8
 x4
 x4
 x2  9  1 
 x2  8  0   2
 x  2 2
4
4
x


4(
VN
)

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm





x0  2 2  y0  1 và y ' 2 2  12 2

 


x  2 2  y  1 và y '  2 2   12 2
Phương trình tiếp tuyếncủa (C ) tại  2 2;1 là: y  12 2  x  2 2   1  12

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại 2 2;1 là: y  12 2 x  2 2  1  12 2 x  49
0

Câu 7.

0

Cho hàm số y 

2 x  49

sin x
2
. Chứng minh rằng y 2   y '  cos 2 2 x  1  0 .
cos 2 x
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Quang Dương; Fb:Nguyễn Quang Dương

+) Điều kiện xác định cos 2 x  0 .
+) Ta có: y 2 

sin 2 x
.
cos 2 x

+) Xét

7

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

 sin 2 x
cos x. cos 2 x  sin x.

 sin x 
cos 2 x
y  
 
cos
2
x
cos
2
x


cos x.cos 2 x  sin x.sin 2 x

cos 2 x. cos 2 x

2

Vậy  y  

cos x  cos 2 x  2sin 2 x 
cos 2 x. cos 2 x



cos x
cos 2 x. cos 2 x

cos 2 x
.
cos3 2 x

+) Xét
2

sin 2 x cos 2 x

.cos 2 2 x  1
3
cos 2 x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x


1 
0
cos 2 x cos 2 x
cos 2 x

y 2   y   cos 2 2 x  1 

Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 8.Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AD  2 AB  2a , SO  a,

SO   ABCD  . Gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AB, CD .
a) Chứng minh rằng AB   SIJ  .
b) Tính góc giữa hai đường thẳng SI và mặt phẳng  SBD  .
c) Gọi E là điểm trên cạnh SD sao cho SE 

2
SD. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
5

( IJE ).

Lời giải
Người làm: Nguyễn Hào Kiệt; Fb: Nguyễn Hào Kiệt

 AB  AD
a) Ta có SO   ABCD   SO  AB . Mặt khác 
 AB  IJ .
 IJ / / AD
 AB  IJ
 AB   SIJ  .

 AB  SO

8


Sản phẩm của
a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

b) Từ I kẻ IQ  BD tại Q

Ta có: SO   ABCD  và IQ   ABCD 
 SO  IQ .

Mặt khác: IQ  BD và SO  BD  O nên IQ   SBD  .
 SQ là hình chiếu của SI lên mặt phẳng  SBD  .

  SI ,  SBD     SI , SQ  .
Ta có: IQ  ( SBD )  IQ  SQ

  AD  2a  2 5 .
Xét tam giác ABD vng tạii A có: sin ABD
BD a 5
5

  sin ABD
  2 5  IQ  2 5  IQ  a 5 .
Mà: sin IBQ
5
IB
5
5
Ta có: SI  SO 2  OI 2  a 2 .


Xét tam giác SQI vuông tạii Q có: sin ISQ

IQ
10
  arcsin 10 .


 ISQ
SI
10
10

c) Từ E kẻ EK / / AD  K  SA

 AD / /IJ
 AD / /  EIJ   SA   EIJ   K .
Ta có: 
IJ   EIJ 
Gọi P là trung điểm của AD , M  SP  EK
Trong mặt phẳng  MPO  kẻẻ PH  MO tại H

IJ  SO

 IJ   SOP  .
Ta có: IJ  OP
 SO  OP  O

Mà PH   MOP   IJ  PH
Mặt khác PH  OM và OM  IJ  O

 PH   EJIK   PH   EIJ  .
9


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Vì AD / /  EIJ  nên d  A,  EIJ    d  P,  EIJ    PH .

Ta có: SP  SO 2  OP 2 

EK / / AD 

cos SPO

a 5
.
2

MP ED 3
3 3a 5

  MP  SP. 
.
SP SD 5
5
10

OP
1
  1  OM  PM 2  PO 2  2.PM .PO. 1  a 10 .

 cos MPO
SP
5
5
5
5

3a 5 a 4
. .

MP.OP.sin MPO
3 10
PH 
 10 2 5 
a.
OM
20
10
a
5

Vậy d  A,  EIJ    PH 

3 10
a.
20

10


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

ĐỀ SỐ 5
Câu 1. Tìm các giới hạn
2 x3  3x 2  1
.
x 1 x 3  2 x 2  3 x  4

b) lim

a) lim

x 

x2  2  x2  x  1
.
3x  1

Lời giải
Người làm: Thu Huyền ; Fb:Thu Huyền.
Ta có:
2

 x  1  2 x  1  lim  x  1 2 x  1  0 .
2 x3  3x2  1
lim 3
 lim
x 1 x  2 x 2  3 x  4
x 1  x  1 ( x 2  x  4)
x 1
x2  x  4
2 x3  3x 2  1
 0.
x 1 x 3  2 x 2  3 x  4

Vậy lim

lim

x 

x2  2  x2  x  1
3x  1

 lim

x2  2

x

2
1 1
x2  x  1
 1 2  1  2
x
x x   1 0  1 0  0   2 .
x
 lim
x

1
1
30
3
3
3
x

x

x 

x2  2  x2  x  1
2
 .
x 
3x  1
3
2
 x  x 3 3
, khi x  2

Câu 2. Cho hàm số f  x   
. Tìm m để f  x  liên tục tại x0  2 .
2x  4
 x 2  mx
, khi x  2

Vậy

lim

Lời giải
Người làm: Hữu Quốc; FB: Hữu Quốc
Ta có: lim f  x   lim
x 2

 lim

x2

 lim
x2

x2

x2  x  3  3
 lim
x 2
2x  4

x2  x  6
2  x  2.



x2  x  3  3

x3
2.



2

x  x3 3









 lim
x2



x2  x  3  3

 2x  4 



x2  x  3  3

x2  x  3  3





 x  2  x  3
2  x  2  .  x 2  x  3  3

5
.

12



lim f  x   lim x 2  mx  2m  4 .

x  2

x 2

f  2   2m  4 .
Hàm số liên tục tại x0  2  lim f  x   lim f  x   f  2  
x2

Câu 3.

Chứng minh phương trình: sin x  x 

x2

5
43
 2m  4  m   .
12
24

 sin    sin    2   2
có nghiệm với mọi     0 .
 
11

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Lời giải
Người làm: Nguyễn Lan Phương; Fb:phuongnguyen
sin x  x 

 sin    sin    2   2
 sin    sin    2   2
 sin x  x 
0 .
 
 

Đặt f  x   sin x  x 

 sin    sin    2   2
.
 

Tập xác định: D    hàm số liên tục trên  .
Ta có:
f    sin    

 sin    sin    2   2
 



 sin    sin    2     sin    sin    2   2
 



  sin   sin      
.
 

f     sin    

 sin    sin    2   2
 



 sin    sin      2   sin    sin    2   2
 



  sin   sin      
.
 
2

  sin   sin      
 0 với mọi     0 nên phương trình
 
f  x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc   ;   .

Vậy f   . f     

Câu4.

Giải bất phương trình  x 3  8 x 2  19 x  12  2 x 2  5 x  2  0
Lời giải
Người làm: Nguyễn Thị Tiết Hạnh; Fb:Hạnh Tiết Tiết
Ta có:  x 3  8 x 2  19 x  12  2 x 2  5 x  2  0
 x  2

 x  1
x  2
1


2
x


2 x2  5x  2  0

2
x  1
 x  2



2
 


 2  x  3 .
   2 x  5 x  2  0
2

1


  x 3  8 x 2  19 x  12  0
x  4

2

x

3
x


 


2




 x  4
  1  x  3


   x  4
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S      2;3   4;   .
2
12


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Câu5.

Tính đạo hàm
a. y 



x2  1  x



2020

;

b. y  tan

x
.
x 1
2

Lời giải
Tác giả:Song Nga; Fb: Song Nga
a. y  2020.

 2020.



2020.




x2  1  x

x2  1  x





2019

x2  1  x



2019

 .

x2  1  x



 x

.
 1
2
 x 1 

2020

x2  1

 1

x 2  1  x .2 x 



 x  


x
.  2   1  tan 2  2    2 x
b. y 


2
x  1   
x  1  


x

x 2  1
2



cos  2 




x

1


1


 x 
3 x 2  1
 1  tan 2  2   .
.
2

2
x

1


2
x
.
x

1


 
Câu6.

Cho hàm số y  f  x   x3  3x 2  1 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C  sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng    : y  9 x  26 .
Lời giải
Người làm: Hạ Kim Cương ; Fb:Hạ Kim Cương
Ta có: f   x   3x 2  6 x .
Vì tiếp tuyến song song với    : y  9 x  26
 x3
 3x 2  6 x  9  
.
 x  1
Với x  3  y  1
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A  3;1 và có hệ số góc bằng 9 là

y  9  x  3  1  y  9 x  26 (Không thỏa mãn).
Với x  1  y  3
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm B  1; 3 và có hệ số góc bằng 9 là

y  9  x  1  3  y  9 x  6 .
Vậy, phương trình tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là y  9 x  6 .
Câu7.

Cho hàm số y 

1
2

. Chứng minh rằng xy ''  y ' 3x3 y 5 .

x 1
13


Sản phẩm của
a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Lời giải
Người làm: Lê Thị Thu Hiền ; Fb: Lê Hiền
x

Ta có: y ' 

x

xy '' 

x

x

2

 1

y ' 3 x3 y 5 

 1

3

3

x

x
x
2

2

 1

3



3x 2

x

2

 1

5

3x3



x
Câu 8.

2

1

 y '' 

 1

3

2

 1



5

3x3

x

2

 1

5

Vậy xy ''  y ' 3x3 y 5 .
Cho hình chóp tứ giác đềều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọii M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC , CD .
a) Chứng minh  SMN    SAC  .
b) Tính góc giữa mặt phẳng
ng  SMN  và mặt phẳng  ABCD  .
c) Tính khoảng cách giữaa hai đường
đư
thẳng SC và AN .

Lời giải
Ngườii làm: Thu Huy
Huyền ; Fb:Thu Huyền.

a) Chứng minh  SMN    SAC  .

Gọi O là tâm củaa hình vng ABCD . Vì S . ABCD là hình chóp đềuu nên SO   ABCD  , suyra
SO  MN (1).
Ta có: MN là đường
ng trung bình ccủa tam giác BCD nên MN / / BD .
Mà BD  AC vì ABCD là hình vng nên MN  AC (2) .
14


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Ta lại có: AC cắt SO tại O trong  SAC  (3) .
Từ (1),(2) và (3) suy ra MN   SAC  .
Mặt khác, MN   SMN  suy ra  SMN    SAC  .
Vậy  SMN    SAC  .
Người làm: Đinh Thanh Hoàng; Fb: Thanh Hoàng Đinh
S

H
A

D
O

E

N

I

K

B

M

C

 SMN    ABCD   MN

b) Gọi I  MN  AC , ta có  SO   ABCD 
OI  MN

 SI  MN (định lí ba đường vng góc).
.
   SMN  ,  ABCD    SIO

AC a 2
a 2
; SO  SA2  OA2 
.

4
4
2
  SO  a 2 : a 2  2 .
Tam giác SOI vuông tại O nên tan SIO
OI
2
4





Suy ra SIO  63 26 . Vậy   SMN  ,  ABCD    SIO  63 26 .

Ta có OI 

c) Gọi E là trung điểm của AB , ta có AN  CE  AN   SCE  .
Suy ra d  AN , SC   d  AN ,  SCE    d  A,  SCE    2d  O,  SCE   .
CE  OK
Gọi K là hình chiếu của O trên đường thẳng CE , ta có 
 CE   SOK  .
CE  SO
  SCE    SOK  theo giao tuyến SK .
Trong mặt phẳng  SOK  , kẻ OH  SK tại H , ta có OH   SCE   OH  d  O,  SCE   .

15


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

OK OE

 OK 
Có OKE và CNE đồng dạngnên
CN CE

OE  CN
BE 2  BC 2

Tam giác SOK vuông tại O , OH là đường cao nên ta có
a 5 a 2

OK  SO
2  a 22 .
OH 
 10
2
2
2
22
OK  SO
a
a2

20 2
a 22
Vậy d  AN , SC   2OH 
.
11

16



a a

2 2 a 5.
10

a2
 a2
4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

ĐỀ SỐ 6
Câu1. Tính giới hạn: lim

x  x2  x   x  2

x 0

x 4  4 x3  2 x 2
Lời giải
Người làm: Bùi Thị Dung; Fb:Dung Thùy

Ta có lim

x  x2  x   x  2

x 0

Câu 2.

4

3

x  4x  2x

2

 lim
x 0

x 2  x  1 x  2 
x

2

x

2

 4x  2

 lim
x 0

 x  1 x  2   2  1 .

x

2

 4x  2

2

 x  3  4x
khi x  1

Cho hàm số f  x   
. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số f  x  liên
x 1
x  m
khi x  1

tục tại x0  1 .
Lời giải
Người làm: Phạm Văn Nghiệp; Fb: Phạm Văn Nghiệp
Tập xác định D   .
Ta có:
lim f  x   lim

x 1

x 1

x  3  4x
3  3x
 lim
 lim
x 1
x 1
 x  1 x  3  4 x x1





3
3
 .
4
x  3  4x

lim f  x   lim  x  m   1  m .

x 1

x 1

f 1  1  m .
Hàm số f  x  liên tục tại x0  1  lim f  x   lim f  x   f 1  
x 1

x 1

3
7
 1 m  m   .
4
4

7
thì thỏa mãn đề.
4

Cho phương trình x3 cos3 x  m  x cos x  1 x cos x  2   0 . Chứng minh phương trình ln có
Vậy m  

Câu3.

nghiệm với mọi m .
Lời giải
Xét f  x   x cos x  1 liên tục trên  0; 2 và f  0  f  2     2  1  0 nên phương trình
1
.
a
Xét g  x   x cos x  2 liên tục trên  2;0 và f  0  f  2   2  2  2   0 nên phương

f  x   0 có nghiệm a   0; 2  thoả mãn cos a 

trình g  x   0 có nghiệm b   2;0  thoả mãn cos b 

2
.
b

Xét h  x   x3 cos3 x  m  x cos x  1 x cos x  2  liên tục trên b; a  .
Ta thấy h  a  h  b    a 3 cos3 a  b3 cos3 b   a 3 .

1 3  8 
.b .  3   8  0 .
a3
b 

Do đó phương trình h  x   0 có nghiệm xo   b; a  .

Vậy phương trình x3 cos3 x  m  x cos x  1 x cos x  2   0 luôn có nghiệm với mọi m .
17


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Câu4.

Giải bất phương trình 3  x  1





2 x  1  x   x  1 x  5 .
Lời giải
FB tác giả: Hang tuyet

Điều kiện: x  0 .
Ta có: 3  x  1









2 x  1  x   x  1 x  5   x  1 3 2 x  1  3 x  x  5  0

Trường hợp 1: nhận thấy x  1 là một nghiệm của bất phương trình.
Trường hợp 2: 0  x  1

 x  1  3



2x 1  3 x  x  5  0  3 2x 1  3 x  x  5  0

 3 2 x  1  3 x  x  5  9  2 x  1  10 x  5  6 x  x  5

 3 x  x  5  4 x  2  7 x 2  29 x  4  0 , (do 4 x  2  0 ).



1
x4
7

Kết hợp điều kiện ta có:

1
 x 1
7

Trường hợp 3: x  1

 x  1  3



2x 1  3 x  x  5  0  3 2x 1  3 x  x  5  0

 3 2 x  1  3 x  x  5  9  2 x  1  10 x  5  6 x  x  5

 3 x  x  5  4 x  2  7 x 2  29 x  4  0 , (do 4 x  2  0 ).

 x

1
x4
7

Kết hợp điều kiện ta có: x  4
1 
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x   ;1   4;   .
7 

Câu5.

Tìm đạo hàm của hàm số sau f  x  

1
.
3x  1  3x

Lời giải
Người làm: Đào Thanh Huyền, Fb: Huyền Đào
Ta có f  x  

f  x 

Câu 6.

Viết

1
3 x  1  3x

 3x  1  3x
3x  1  3x
3x  1  3 x

 3 x  1
2 3x  1

phương



 3 x 
2 3x

trình



3
3


2 3x  1 2 3x

tiếp

tuyến

tại

điểm

C  : y  f  x  sin x cos x cos 2 x .
Lời giải
18

có

hồnh

độ

x0 


12

của

:

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Người làm: Vũ Thị Duyên ; Fb: Duyên Vũ
1
1
Ta có y  f  x   sin x cos x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 4 x  f   x  cos 4 x
2
4
 1


3
 1
 f     cos  ; f    sin 

12 
12  4
3
8
3 2

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  tại điểm có hồnh độ x0 
  

y  f    x   
12  12 
Câu 7.

Cho hàm số y 


là:
12


1

3
1
3 3
f    y   x   
 y  x
.
12 
2  12  8
2
24

sin x
. Chứng minh rằng xy   2 y   xy  0 .
x
Lời giải

Điều kiện: x  0 .

y

sin x
 xy  sin x   xy    sin x   y  xy  cos x
x

  y  xy    cos x   y   y  xy    sin x

Câu8.

 2 y  xy   xy  xy  2 y  xy  0 (đpcm).
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  2a và AD  4a . Mặt phẳng

 SAB 

và  SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  .

a) Chứng minh DC vng góc với mặt phẳng  SAD  .
b) Cho diện tích tam giác SCD gấp 2 lần diện tích tam giác ACD . Tính độ dài SA .
c) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm CB, CS , CD . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng

 MNP  .
Lời giải
Người làm: Nguyễn Chí Thành ; Fb: Nguyễn Chí Thành

19


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020
S

N
A

A

K

O

O
B

D

D
P

P
H
C

M

B

H
M

C

a) Vì  SAB  và  SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  nên SA   ABCD 
Ta có: DC  AD (vì ABCD là hình chữ nhật) .
mà DC  SA (vì SA   ABCD  )
nên DC   SAD  .
b) Ta có: DC   SAD   DC  SD .

1

 S SCD  2 SD.DC
S
SD
 SCD 
 2  SD  2 AD  8a .

1
S ACD AD
S
 AD.DC
 ACD 2
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vng SAD :
SA  SD 2  AD 2 

2

 8a    4 a 

2

 4a 3 .

c) Gọi O là giao điểm AC và BD .
OP / / AD
Suy ra 
( đường trung bình) , suy ra
OM / / AB

OP / / BC
 OPCM là hình chữ nhật, nên

OM / /CD

d  C ;  MNP    d  O;  MNP   .

Ta có: NO là đường trung bình của tam giác SAC
 NO / / SA  NO   ABCD  và NO 

1
SA  2a 3 .
2

 MP  OH
Kẻ OH  MP tại H , OK  NH tại K , ta có 
 MP   NOH   MP  OK mà
 MP  ON

OK  NH  OK   MNP  suy ra d  O;  MNP    OK .
20


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Vì ON   ABCD   ON  OH .
Trong tam giác vuông ONH có:

1
1

1
1
1
1





2
2
2
2
2
OK
ON
OH
ON
OM
OP 2


1
1
1
4
a 3
.
 2  2  2  OK 
2

12a
a
4a
3a
2

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng  MNP  là

21

a 3
.
2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

ĐỀ SỐ 7
2

Câu 1.

1  x   3 x  5 
Tính giới hạn của hàm số: lim
x 

3x 4  2 x3  1

3

.

Lời giải
Người làm: Bùi Chí Thanh, Fb: Thanh bui
2

2

Ta có: lim

x 

1  x   3 x  5 
3x 4  2 x3  1
2

3

3

5
1  
  1  3  
x  
x
 lim 
 
x 
3 2 1
 

x x 2 x3

3

5
2
3
1  
Vì: lim   1  3     0  1  3  0   3 ,
x  x
x

 
3 2 1 
3 2 1 
lim   2  3   0;   2  3   0 . Khi x  1
x  x
x
x 
x 

x x
Câu2. Tìm tham số a , b để hàm số liên tục tại x  1 .
 x 2   a  1 x  a  2

x 1

f  x   b

 2x  x  3

 x 2  1

 x  1
 x  1
 x  1

Lờigiải
Ngườilàm: Bùi Văn Lượng; Fb: />Hàm số đã cho liên tục tại x  1  lim f  x   lim f  x   f 1
x 1

x 1

2

x   a  1 x  a  2
2x  x  3
 lim
b
2
x 1
x 1
x 1
x 1
 x  1 x  a  2   b
4 x2  x  3
 lim
 lim
x 1
x 1
 x2  1 2 x  x  3 x1

 lim





17

a

7
4x  3

8
 lim
 lim  x  a  2   b   a  3  b  
x 1
8
 x  1 2 x  x  3 x1
b  7

8





17

 a   8

Vậyhàmsốliêntụctại x  1 khi 
.
b  7

8
Câu 3.

Cho 2a  3b  7c  0 . Chứng minh rằng phương trình a tan 2 x  b tan x  c  0 có ít nhất một




nghiệm thuộc  k ;  k  , k   .
4


Lờigiải
Người làm: Phùng Đức Cường; Fb: Phùng Đức Cường
22


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020




Đặt t  tan x , với x   k ;  k  thì t   0;1 . Bài tốn trở thành chứng minh phương trình
4



at 2  bt  c  0 * có ít nhất một nghiệm t   0;1 .
 2
Xét hàm số f  t   at 2  bt  c trên đoạn 0;  .
 3

4a  6b  9c 2  2a  3b  7c   5c
5
 2  4 a 2b
Ta có f  0   c , f   

c 

 c.
3
9
9
9
 3 9
5
2
Suy ra f  0  . f     c 2 .
9
3
2
Nếu c  0 thì từ giả thiết ta có 2a  3b  0  b   a . Khi đó phương trình * có dạng
3
at
2
 3t  2   0 , dễ thấy phương trình này luôn nhận t  là nghiệm.

3
3
5
2
 2
Nếu c  0 thì f  0  . f     c 2  0 và hàm số f  t  liên tục trên đoạn 0;  nên * có ít
9
3
 3
 2
nhất một nghiệm t   0;  .
 3

 2
Kết hợp hai trường hợp trên ta có phương trình * ln có ít nhất một nghiệm t   0;  .
 3
 2
Do  0;    0;1 nên phương trình * có ít nhất một nghiệm t   0;1 .
 3




Vậy phương trình a tan 2 x  b tan x  c  0 có ít nhất một nghiệm thuộc  k ;  k  .
4


Câu 4.

Giải bất phương trình x  1 

x2  4 x  1

 2 x2  4 x  2 .

2

2x  4x  2
Lời giải
Người làm: Vũ Thị Hồng Lê ; Fb:Hồng Lê
 x  1  2
Điều kiện: 2 x 2  4 x  2  0  
 x  1  2
Bất phương trình đã cho tương đương với

 x  1

2 x2  4 x  2  x2  4x  1  2 x2  4x  2

  x  1 2 x 2  4 x  2  x 2  1

  x  1





2 x 2  4 x  2  x  1  0  *

+) Trường hợp 1: x  1 . Thay vào (*) ta được 0  0 , luôn đúng. Suy ra x  1 là một nghiệm

của bất phương trình.
 x 1  0
+) Trường hợp 2: x  1  
x 1  0
23


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

(*)  2 x 2  4 x  2  x  1  2 x 2  4 x  2  x 2  2 x  1  x 2  2 x  3  0  3  x  1

Kết hợp với điều kiện x  1  x  .
 x 1  0
+) Trường hợp 3: 1  2  x  1  
.
x 1  0

(*)  2 x 2  4 x  2  x  1
 2x2  4x  2  x2  2 x  1
 x2  2 x  3  0
 x  3

x 1
Kết hợp với điều kiện 1  2  x  1  x   .
+) Trường hợp 4: x  1  2  x  1  0  (*) luôn đúng.

 x  1  2
Vậy bất phương trình có nghiệm 
.
x 1

Câu5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau
a) y  3 x4  2 x3  x2 1

3

b) y  1  tan 2 x
Lời giải
Người làm: Nguyễn Văn Minh ; Fb:Nguyễn Văn Minh

2
a) Ta có y  3  3 x 4  2 x3  x 2  1  3 x 4  2 x3  x 2  1



2

 12 x

 3 3 x 4  2 x3  x 2  1

3



 6 x2  2 x .
2

Vậy y   6  3 x 4  2 x 3  x 2  1  6 x 3  3 x 2  x  .
1  tan x 


y 
2

b) Ta có

2



2 tan x.  tan x 
2

2 1  tan x

Vậy y 

tan x
2

cos x 1  tan 2 x



2 1  tan x

tan x
2

cos x 1  tan 2 x

.

.

2x 1
có đồ thị C  . Viết phương trình tiếp d  với đồ thị C  , biết d  đi qua
3 x
điểm A1; 2 .

Câu6. Cho hàm số y 

Lời giải
Người làm: Nguyễn Văn Minh ; Fb:Nguyễn Văn Minh
Cách 1. Ta có y 

7

3  x

2

.

 2a  1
Với a  3 , ta có M a ;
 C .
 3  a   
24

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 29 Năm 2020

Khi đó phương trình tiếptuyến  d  của C  tại M là y 
Đường thẳng d  đi qua điểm A1; 2  2 

2a  1
7

 x  a .
3  a 3  a2

7 1 a
2a  1
7
7

1  a 

2 
3 a
3  a 3  a2
3  a

 a  3  1 a  a  2
Vậy phương trình tiếp tuyến  d  cần tìm là y  5  7  x  2 hay y  7 x  9 .
Cách 2. Gọi d  là đường thẳng đi qua điểm A1; 2 và có hệ số góc k . Khi đó  d  có
phương trình là

y  2  k  x 1 hay y  k  x  1  2 .


k  x 1  2  2 x  1

3 x
có nghiệm.
d  là tiếp tuyến của C  khi và chỉ khi hệ phương trình 
7
k 
2

3  x

Giải hệ trên ta tìm được k  7 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  5  7  x  2  y  7 x  9 .
Câu 7.Cho hàm số y  x tan x . Chứng minh rằng.
b) x 2 y  2  x 2  y 2  1  y   0 .

a) xy  y  x 2  y 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tân Quang ; Fb: Nguyễn Tân Quang
a) Ta có y  tan x 

x
 tan x  x 1  tan 2 x  .
cos 2 x

Xét vế trái của đẳng thức
VT  xy   y  x  tan x  x 1  tan 2 x    x tan x  x 2 1  tan 2 x   x 2  x 2 tan 2 x  x 2  y 2  VP .



b)Ta có y   tan x  x 1  tan 2 x    1  tan 2 x   1  tan 2 x   2 tan x.

1
.x
cos2 x

 2 1  tan 2 x   2 x tan x.1  tan 2 x   2 1  tan 2 x  1  x tan x  .

Do đó x 2 y  x 2 .2 1  tan 2 x  1  x tan x   2  x 2  x 2 tan 2 x  1  x tan x   2  x 2  y 2  1  y  .
Hay x 2 y  2  x 2  y 2  1  y   0 .
Câu 8.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O , cạnh 2a . Biết SA  SB  SC , góc
giữa SA và mặt đáy bằng 60o .
a) Chứng minh SO   ABCD  .
b) Xác định và tính góc giữa  SCD  và mặt đáy  ABCD  .
c) Gọi E , F lần lượt là trung điểm cạnh SB, SO . Gọi  P  là mặt phẳng chứa CE và song song
với DF . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  P  .

25