Tài liệu Đề ôn tập Toán lớp 10

- Trng THCS ng - Tng
ôn tập vào lớp 10 năm học 2009-2010

Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức

Bài 1: Cho biểu thức :
+
+

+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a

2
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức: P=

+
+
+

+
+

+








+

65
2
3
2
2
3
:
1
1

xx
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức: P=








+

+
+



13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
5
6
Bài 4: Cho biểu thức P=

+










+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
3819
=
a
Bài 5: Cho biểu thức: P=

















+
+

+


+

a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1
.
1
1
:
1
)1(
332
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
2

1
)
Bài 6: Cho biểu thức: P =









+

+
+
+










+
+
+

+
12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
( )
223.
2
1
+=
Bài 7: Cho biểu thức: P=

+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P

0
1
- Trng THCS ng - Tng
Bài 8: Cho biểu thức: P=









+
+








++

+
a
a
a
aa

a
a
a
1
1
.
1
12
3
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
a

1
Bài 9: Cho biểu thức P=
.
1
1
1
1
1
2
:1

+

++
+
+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức : P=









+
+

+


a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<
347

Bài 11: Cho biểu thức: P=

+


+
+
1
3
22
:
9
33
33

2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<
2
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức: P=








+





+

3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức : P=
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
2
1
c) Chứng minh P
3
2

Bài 14: Cho biểu thức: P=
2
2
44
2
mx
m
mx
x
mx
x



+
+
với m>0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức P=
1
2
1
2
+
+

+
+

a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức P=








+

+

+
+

+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

2
- Trng THCS ng - Tng
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a=
32

và b=
31

13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4
=+
ba
Bài 17: Cho biểu thức : P=








+

+

+






+
+
+

1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P=

+

+










1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2

Bài 19: Cho biểu thức P=
( )
ab
abba
ba
abba

+
+
.
4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a=
32
và b=
3
Bài 20: Cho biểu thức : P=
2
1
:
1
1
11
2

+
++
+

+
x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P>0

x
1

Bài 21: Cho biểu thức : P=

++
+












+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P
b) Tính
P

khi x=
325
+
Bài 22: Cho biểu thức P=
xx
x
x
x 24
1
:
24
2
4
2
3
2
1
:1

+
+
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức : P=
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+










+

2
33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0

Bài 24: Cho biểu thức P=








++

+
+
+
baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
3
- Trng THCS ng - Tng
Bài 25: Cho biểu thức: P=
12
.
1

2
1
12
1











+


+
+
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P
b) Cho P=
61
6

+
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P>
3
2
Bài 26: Cho biểu thức: P=










+
+
+

+

3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức P=
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba

a
222
.1
:
133
++










+


++
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức P=

+


+








1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
6

1
Bài 29: Cho biểu thức:
P=
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
+
+++








++
+

+
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức : P=
x
x
yxyxx
x
yxy
x


+


1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Bài tập rút gọn
Bài 31 :
1) Đơn giản biểu thức : P =

14 6 5 14 6 5+ +
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
Q
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
4
- Trng THCS ng - Tng
H ớng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : Q =
1
2

x
.
b)
Q
> - Q

x > 1.
c) x =
{ }
3;2
thì Q

Z
Bài 32 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x

+
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 2
2
.
Bài 33 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1
c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để
A
= A.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn : A =
1

x
x
.
b) Với x =
4
1
thì A = - 1.
c) Với 0

x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
A
= A.
Bài 34 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a

+

ữ ữ
+


a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+
a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
5
- Trng THCS ng - Tng
Bài 35 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x

+ +
+
ữ
+

.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x

Z ? để A

Z ?
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x

1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003
+
với x 0 ; x

1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A

Z .
Bài 36 : Cho biểu thức: A =
( )

2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }

9;4
thì A

Z.
Bài 37 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++
xx
b) Ta xét hai trờng hợp :
+) A > 0


1
2

++
xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2


1
2
++
xx
< 2

2(
1
++
xx
) > 2


xx
+
> 0 đúng vì theo gt thì
x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Bài 38 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+

+
(a

0; a

4)
a) Rút gọn P.
6
- Trng THCS ng - Tng
b) Tính giá trị của P với a = 9.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4

a
b) Ta thấy a = 9

ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bài 39 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1

+

+
ữ ữ
ữ ữ
+


1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 40 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+

+
+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x
=

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H ớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=

b) Ta thấy
347x
=


ĐKXĐ . Suy ra
22
33103

P
+
=

c) P
min
=4 khi x=4.
Bài 41 : Cho biểu thức




















+

+
+
+
=
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P
<
c. Tìm giá trị nhỏ nhất
của P.
H ớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x

0, x

9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+

=

b. Với
9x0
<
thì
2
1
P
<

c. P
min
= -1 khi x = 0
7
- Trường THCS Đồng - Tường
Bµi 42: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a

a a
a a a
 
+ −
 
− + +
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
víi x>0 ,x
≠
1
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
( KQ : A= 4a )
Bµi 43: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x

   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   
víi x
≥
0 , x
≠
9, x
≠
4 .
a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
(KQ : A=
3
2x −
)
Bµi 44: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x

− − +
+ −
+ − − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A.
c. T×m x ®Ó A =
1
2
d. CMR : A
2
3
≤
. (KQ: A =
2 5
3
x
x
−
+
)
Bµi 45: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x

+ +
+ +
− + + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Bµi 46: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A.
b. CMR :
0 1A≤ ≤
( KQ : A =
1
x

x x− +
)
Bµi 47: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a. Rót gän A.
8
- Trường THCS Đồng - Tường
b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
( KQ : A =
5
3x +
)
Bµi 48: Cho A =

2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
víi a
≥
0 , a
≠
9 , a
≠
4.
a. Rót gän A.
b. T×m a ®Ó A < 1
c. T×m
a Z
∈
®Ó
A Z∈
( KQ : A =
1
3
a
a
+
−
)
Bµi 49: Cho A=

7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A.
b. So s¸nh A víi
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bµi50: Cho A =

( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
 
− +
−
−
 ÷
+
 ÷
−
− +
 
víi x
≥
0 , y
≥
0,
x y
≠
a. Rót gän A.
b. CMR : A
≥
0 ( KQ : A =

xy
x xy y− +
)
Bµi 51 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)

Bµi 52 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
 
 
− +
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −
−
 
 
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)

Bµi 53 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A
9
- Trường THCS Đồng - Tường
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
3
2 x
)
Bµi 54 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x

 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− + +
 
−
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈
(KQ: A =
3
x
x −
)
Bµi 55: Cho A=
1 2 2 1 2
:

1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 
−
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ − + − −
 
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈

c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A =
1
1

x
x
−
+
)
Bµi 56 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x
   
+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
víi x
≥
0 , x
≠
9
. a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A < -
1
2

( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bµi 57 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−

(KQ: A =
4
4
x
x +
)
c . CMR : A
1≤
Bµi 58 : Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+
 
+
 ÷
− − − +
 
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A (KQ: A =
1x
x
−
)
b.So s¸nh A víi 1
Bµi 59 : Cho A =

1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
Víi
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A =
6
5
10
- Trường THCS Đồng - Tường
c. T×m x ®Ó A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x

x
+
−
)
Bµi 60 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2
2

d. T×m GTLN cña A (KQ: A =
(1 )x x−
)
Bµi 61 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x
≥
0 , x
≠
1 th× A > 0 , (KQ: A =
2

1x x+ +
)
Bµi 62 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x
−
 
− +
 ÷
− −
+
 
víi x > 0 , x
≠
1, x
≠
4.
a. Rót gän
b. T×m x ®Ó A =
1
2
Bµi 63 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1

1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
− +
 
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈

Bµi 64 : Cho A=
3 2 2
1 :

1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
   
+ + +
− + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
víi x
≥
0 , x
≠
9 , x
≠
4.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈

c. T×m x ®Ó A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x
−
+

)
11
- Trng THCS ng - Tng
Phần 2: Các bài tập về hệ ph ơng trình bậc 2:
Bài 1: Cho phơng trình :
( )
2
2
2122 mxxm
+=
a) Giải phơng trình khi
12
+=
m
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
23
=
x
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :

( )
0224
2
=+
mmxxm
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
2
=

x
.Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính
2
2
2
1
xx
+
theo m
Bài 3: Cho phơng trình :

( )
0412
2
=++
mxmx
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=
( ) ( )
1221
11 xxxx
+
không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình :
a)
( )

012
2
=+
mxx
có hai nghiệm dơng phân biệt
b)
0124
2
=++
mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
( )
( )
012121
22
=+++
mxmxm
có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình :
( )
021
22
=+
aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2

.Tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx
+
đạt giá trị
nhỏ nhất
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
111
=+
cb

CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
0
0
2
2
=++
=++
bcxx
cbxx
Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

( )
( )
)2(036294
)1(012232

2
2
=+
=++
xmx
xmx

Bài 8: Cho phơng trình :

0222
22
=+ mmxx
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng
trình
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m :

014
2
=+++
mxx
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện

10
2

2
2
1
=+
xx
Bài 10: Cho phơng trình

( )
05212
2
=+
mxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
12
- Trng THCS ng - Tng
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng trình

( )
010212
2
=+++
mxmx
(với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
21
; xx
; hãy tìm một hệ
thức liên hệ giữa

21
;xx
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx
++
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phơng trình

( )
0121
2
=++
mmxxm
với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1

m
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính
tổng hai nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm
21
;xx
thoả mãn hệ thức:

0
2
5
1
2
2
1
=++
x
x
x
x

Bài 13: A) Cho phơng trình :

01
2
=+
mmxx
(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu
có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt
21
2
2

2
1
6 xxxxA
+=

Chứng minh
88
2
+=
mmA
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
B) Cho phơng trình

0122
2
=+
mmxx
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
;xx
với mọi m.
b) Đặt A=
21
2
2
2
1
5)(2 xxxx

+
CMR A=
9188
2
+
mm
Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 14: Giả sử phơng trình
0.
2
=++
cbxxa
có 2 nghiệm phân biệt
21
; xx
.Đặt
nn
n
xxS
21
+=
(n nguyên dơng)
a) CMR
0.
12
=++
++
nnn
cSbSSa

b) áp dụng Tính giá trị của : A=
55
2
51
2
51









+








+
Bài 15: Cho
f
(x)
= x
2

- 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f
(x)
= 0

có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f
(x)
theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f
(x)
= 0

có
2 nghiệm lớn hơn 2

Bài 16: Cho phơng trình :
13
- Trng THCS ng - Tng

( )
05412
22
=+++
mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau
và trái dấu nhau
d) Gọi

21
; xx
là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
2
2
2
1
xx
+
theo m
Bài 17: Cho phơng trình
0834
2
=+
xx
có hai nghiệm là
21
;xx
. Không giải phơng
trình , hãy tính giá trị của biểu thức :
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55

6106
xxxx
xxxx
M
+
++
=
Bài 18: Cho phơng trình

( )
0122
=+++
mxmx
x

a) Giải phơng trình khi m=
2
1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
21
;xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :

2
1221
)21()21( mxxxx
=+
Bài 19: Cho phơng trình

03
2
=++
nmxx
(1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm
21
; xx
của phơng trình (1) thoả mãn hệ :




=
=
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
Bài 20: Cho phơng trình:

( )
05222

2
=
kxkx
( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
21
;xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho

18
2
2
2
1
=+
xx
Bài 21: Cho phơng trình

( )
04412
2
=+
mxxm
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22:Cho phơng trình :

( )
0332
22
=+
mmxmx
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn
61
21
<<<
xx
Bài tập về hàm
số bậc nhất
B ài 23 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
14
- Trng THCS ng - Tng
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :



+=
+=
ba

ba
4
2



=
=

1
3
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
bằng
3
1
.
B ài 2 4 Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x
1 đồng quy.
H ớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3

m 2 < 0

m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y =

0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =
4
3
.
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :



=
+=
12
2
xy
xy

(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1)

m =
2
1

2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ
thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
B ài 25 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H ớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2

m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
15
- Trng THCS ng - Tng
y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3

(x
0
1)m - x
0
- y
0
+ 3 = 0

=
=
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
B à26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với
đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Ta có : với m

Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
để pt có nghiệm nguyên thì 4

2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23

y =
4
7x - 23
= 6 2x +
4
1 x

Vì y

Z

x 1

4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4
bài tập phần hệ pt
B ài 1 : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
=

+ =

b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =


=

c)
2x y 3
5 y 4x
=


+ =

d)
x y 1
x y 5
=


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =

+ =

f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y

+ =

+



+ =

+


B ài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2
x my 1
=


+ =

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
16
- Trng THCS ng - Tng
B ài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
B ài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
+ =


+ =

có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x
2
17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
B ài 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =


+ =

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
B ài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
mx y n
nx my 1
=


+ =


có nghiệm là

( )
1; 3
.
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1

x
2
= mn và
0

thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1
+ x
2

- Lập tích p = x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là : x

2
S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x
1
, x
2
thoả mãn điều
kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x

2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1

x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
17

- Trng THCS ng - Tng
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x

+
=+
=
p
pS 2
2

*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
*)
2
21
21
21
2
))((

2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
0

)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr-
ớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

0

(hoặc
0
/

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0

(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình
bậc hai này có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có

nghiệm x
1
cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình
(nh cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đ-
ợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm
đợc nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/

= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9
+ Nếu
/

> 0

m
2

9 > 0

m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2
nghiệm phân biệt:
x
1

= m + 1 -
9
2

m
x
2
= m + 1 +
9
2

m
+ Nếu
/

= 0

m =

3
18
- Trng THCS ng - Tng
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x

1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/

< 0

-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x
1

= m + 1 -
9
2

m
x
2
= m + 1 +
9
2

m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0

m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x 3 = 0

x = -
2
1
* Nếu m 3

0

m

3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số
/

= m
2
(m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu
/

= 0

9m 18 = 0

m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
32
2
/

=
a
b
= - 2
- Nếu
/

> 0

m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
3
23

m
mm
- Nếu
/

< 0

m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2
1
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
Với m > 2 và m

3 phơng trình có nghiệm x
1,2
=
3
23


m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất

a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
53

)x -
15
= 0
d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0
Giải
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1 , x
2
=

2
2009

=
a
c
19
- Trng THCS ng - Tng
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= -1 ,
x
2

= -
17
204
=
a
c
= - 12
c) x
2
+ (
53

)x -

15
= 0 có: ac = -
15
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -(
53

) = -
3
+
5
x
1
x
2
= -
15
= (-
3
)
5

Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1
= -
3
, x
2
=
5

(hoặc x
1
=
5
, x
2
= -
3
)
d ) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0 có : ac = - 6
7
< 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x

2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có






==
=+
)73(-2 76 - xx
72 - 3 xx
2 1
2 1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0
Hớng dẫn :
a) x

2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra : x
1
= 2
Hoặc x
2
=
3
1
+
m
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0

m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0

x = - 1
* m 3

0

m

3 (*)

=
=

3
22
1
2
1
m
m
x
x

Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x
2
3x 7 = 0
a) Tính:
A = x
1
2
+ x
2

2
B =
21
xx

C=
1
1
1
1
21

+

xx
D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
)
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
1

x

và
1
1
2

x
Giải ;
20
- Trng THCS ng - Tng
Phơng trình bâc hai x
2
3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
+ A = x
1
2

+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p = 9 2(-7) = 23
+ (x
1
x
2
)
2
= S
2
4p => B =
21
xx

=
374

2
=
pS

+ C =
1
1
1
1
21

+

xx
=
9
1
1
2
)1)(1(
2)(
21
21
=
+

=

+
Sp

S
xx
xx

+ D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
) = 9x
1
x
2
+ 3(x
1
2
+ x
2
2
) + x
1
x
2

= 10x
1
x

2
+ 3 (x
1
2
+ x
2
2
)
= 10p + 3(S
2
2p) = 3S
2
+ 4p = - 1
b)Ta có :
S =
9
1
1
1
1
1
21
=

+

xx
(theo câu a)
p =
9

1
1
1
)1)(1(
1
21
=
+
=

Spxx
Vậy
1
1
1

x
và
1
1
2

x
là nghiệm của hơng trình :
X
2
SX + p = 0

X
2

+
9
1
X -
9
1
= 0

9X
2
+ X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phơng trình :
x
2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0

Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:


= (k -1)
2
4(- k
2
+ k 2) = 5k
2
6k + 9 = 5(k
2
-
5
6
k +
5
9
)
= 5(k
2
2.
5
3
k +
25
9
+
25
36

) = 5(k -
5
3
) +
5
36
> 0 với mọi giá trị của k.
Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

p < 0


- k
2
+ k 2 < 0

- ( k
2
2.
2
1
k +
4
1
+
4
7
) < 0

-(k -
2
1
)
2

-
4
7
< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân
biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x

2
)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x
1
+ x
2
= k 1 và x
1
x
2
= - k
2
+ k 2
x
1
3
+ x
2
3
= (k 1)
3
3(- k
2
+ k 2)( k 1)
21
- Trng THCS ng - Tng
= (k 1) [(k 1)
2
- 3(- k

2
+ k 2)]
= (k 1) (4k
2
5k + 7)
= (k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
]
Do đó x
1
3
+ x
2
3
> 0

(k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87

] > 0


k 1 > 0 ( vì (2k -
4
5
)
2
+
16
87
> 0 với mọi k)


k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m
3. Tìm m để
21
xx

đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hao nghiệm của phơng trình (1)
nói trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x
2
+ 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x
1
=
1 , x
2
= - 9
2. Có
/

= (m + 1)
2
(m 4) = m
2
+ 2m + 1 m + 4 = m
2
+ m + 5
= m
2
+ 2.m.
2

1
+
4
1
+
4
19
= (m +
2
1
)
2
+
4
19
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x
2
= m 4

Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= 4( m + 1)
2
4 (m 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
2
1
)
2
+
4

19
]
=>
21
xx

= 2
4
19
)
2
1
(
2
++
m

4
19
2

=
19
khi m +
2
1
= 0

m = -
2

1
Vậy
21
xx

đạt giá trị nhỏ nhất bằng
19
khi m = -
2
1
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -
2
9
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt
và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
2
9
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
5x
2
- 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x

2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
22
- Trng THCS ng - Tng
5x 5 = 0

x = 1
+ Nếu : m + 2

0 => m

- 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc
hai có biệt số :

= (1 2m)
2
- 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m
2
4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
)2(2
512
+
+

m
m
=
1
42
42
=
+
+
m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2
512
+

=
+

=
+

m
m

m
m
m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m

- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để
nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
Trờng hợp 1 : 3x
1
= x
2


3 =
2
3
+

m
m
giải ra ta đợc m = -
2
9
(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x
1
= 3x
2

1= 3.
2
3
+

m
m


m + 2 = 3m 9

m =
2
11
(thoả mãn
điều kiện m

- 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
2
11
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
15x
2
20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x

2

=
15
5
=
3
1
(thoả mãn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0

x =
4
3
+ Nếu m

0 .Lập biệt số
/

= (m 2)
2
m(m-3)
= m

2
- 4m + 4 m
2
+ 3m
= - m + 4
/

< 0

- m + 4 < 0

m > 4 : (1) vô nghiệm
/

= 0

- m + 4 = 0

m = 4 : (1) có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
2
1
2
242
/
=

=

=
m
m
a
b
/

> 0

- m + 4 > 0

m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=
m
mm 42
+
; x
2
=
m
mm 42
++
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2

1
0

m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
m
mm 42
+
; x
2
=
m
mm 42
++
23
- Trng THCS ng - Tng
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3
2. (1) có nghiệm trái dấu


a
c
< 0

m
m 3

< 0












>
<



<
>
0
03
0
03
m
m
m

m












>
<



<
>
0
3
0
3
m
m
m
m
Trờng hợp

<
>
0
3
m
m
không thoả mãn
Trờng hợp



>
<
0
3
m
m


0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/



0

0

m

4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0

4m = -9

m = -
4
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/



0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m =
-
4
9
.Sau đó thay m = -
4
9
vào phơng trình (1) :
-

4
9
x
2
2(-
4
9
- 2)x -
4
9
- 3 = 0

-9x
2
+34x 21 = 0
có
/

= 289 189 = 100 > 0 =>





=
=
9
7
3
2

1
x
x
Vậy với m = -
4
9
thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
24
- Trng THCS ng - Tng
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x
2
=
9
7
(Nh phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
4
9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
x
1
+ x
2
=
9
34

4
9
)2
4
9
(2
)2(2
=


=

m
m
x
2
=
9
34
- x
1
=
9
34
- 3 =
9
7
Cách 3: Thay m = -
4
9

vào công trức tính tích hai nghiệm
x
1
x
2
=
9
21
4
9
3
4
9
3
=


=

m
m
=> x
2
=
9
21
: x
1
=
9

21
: 3 =
9
7
Bài 10: Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện :
x
1
2
+ x
2
2
= 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép


/

= 0

k
2

(2 5k) = 0

k
2
+ 5k 2 = 0 ( có

= 25 + 8 = 33 > 0 )
k
1
=
2
335

; k
2
=
2
335
+
Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335

hoặc k
2
=
2
335

+
thì phơng trình (1) Có nghiệm
kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/



0

k
2
+ 5k 2

0 (*)
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1

x
2

Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= -
=
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 5k
Vậy (-2k)
2
2(2 5k) = 10

2k
2
+ 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k
1
= 1 , k
2
= -
2
7
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k
1
, k
2
vào
/

= k
2
+ 5k 2
+ k
1
= 1 =>
/

= 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k
2
= -

2
7
=>
/

=
8
29
4
87049
2
2
35
4
49
=

=
không thoả mãn
25