PHƯƠNG PHÁP hàm đặc TRƯNG và ỨNG DỤNG

TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT

PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG
VÀ ỨNG DỤNG

Phương pháp hàm đặc trưng là một phương pháp rất hiệu quả trong giải toán THPT, phương pháp
này thương gặp trong các bài tốn giải phương trình, bất phương trình, các bài tốn Min – Max và
cả các bài toán đồ thị …

1. Cơ sở lý thuyết
Cho hàm số y = f ( t ) đồng biến hoặc nghịch biến trên D (khoảng, đoạn, nữa khoảng) và
a, b  D ta có các kết quả sau:

(1) f ( a ) = f ( b )  a = b .
(2) Nếu f ( t ) đồng biến trên D thì f ( a )  f ( b )  a  b (cùng chiều). Các dấu , ,  là hoàn
toàn tương tự.
(3) Nếu f ( t ) nghịch biến trên D f ( a )  f ( b )  a  b (đảo chiều). Các dấu , ,  là hồn
tồn tương tự.

Tơi sẽ minh họa bằng ví dụ dưới đây:
Ví dụ 1. (Đề thi THPT Quốc Gia 2020) Xét các số thực không âm x và y thoản mãn 2 x + y.4 x + y −1  3 .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + 2 x + 4 y bằng
A.

33
.
8

B.

9

.
8

C.

21
.
4

D.

41
.
8

Hướng dẫn giải. Biến đổi 2 x + y.4 x + y −1  3  2 x − 3 + y.22 x − 2.22 y  0  2 y.22 y  ( 3 − 2 x ) 23 − 2 x (1).
Ta thấy nếu xét f ( t ) = t.2t với t  D =  0; + ) thì f  ( t ) = 2t + t.2t.ln 2  0 với mọi t  D =  0; + ) do đó
f ( t ) đồng biến trên D =  0; + ) . Lúc này thấy (1)  f ( a )  f ( b ) nhưng rõ ràng a = 2 y  D còn

b = 3 − 2x  D . Từ đây bắt buộc ta phải chia hai trường hợp:
Trường hợp 1: b = 3 − 2 x  0  0  x 

3
3
, (1)  f ( a )  f ( b )  a  b  2 y  3 − 2 x  y  − x .
2
2
2

2

33
5  41 41
3


= 2 x −  + 
Suy ra P = x 2 + y 2 + 2 x + 4 y  x 2 +  − x  + 2 x + 2 ( 3 − 2 x ) = 2 x 2 − 5 x +
.
4
4
8
8
2


Trường hợp 2: b = 3 − 2 x  0  x 

1

3
21
. Dễ thấy P = x 2 + y 2 + 2 x + 4 y 
.
2
4


PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC
TRƯNG LỚP 12

Tóm lại ta thấy GTNN của P là

5
1
41
khi x = , y = . Chọn D.
4
4
8

Nhận xét: nhiều bạn khi thấy f ( a )  f ( b ) và f đồng biến trên D thì cho ngay a  b là
chưa chính xác, chúng ta phải xem thử a và b có thuộc tập D khơng.
Ví dụ 2. (VTV7 2020 ) Có bao nhiêu cặp số nguyên a, b thỏa mãn đồng thời các điều kiện a 2 + b 2  1
 b 2 ( a 2 + b 2 + 4 ) + 4a 2 
?
và a 2 + b 2 − 3  log a2 + b2 


a 2 + 2b 2



A. 10 .

B. 6 .

C. 7 .

D. 8 .

 b 2 ( a 2 + b 2 + 4 ) + 4a 2 

Hướng dẫn giải. Ta có a 2 + b 2 − 3  log a2 + b2 


a 2 + 2b 2


 ( b 2 + 4 )( a 2 + b 2 ) 
  a 2 + b 2 − 4  log a2 + b2 ( b 2 + 4 ) − log a2 + b2 ( a 2 + 2b 2 )
 a 2 + b 2 − 3  log a2 + b2 


a 2 + 2b 2


 log a2 + b2 ( a 2 + 2b 2 ) + ( a 2 + 2b 2 )  log a2 + b2 ( b 2 + 4 ) + ( b 2 + 4 ) (*).

Xét hàm số f ( t ) = log a 2 + b2 t + t trên ( 0;+ ) . Ta có f ' ( t ) =

1
+ 1  0, t  ( 0; + ) . Do đó
t.ln ( a 2 + b 2 )

hàm số đồng biến trên ( 0;+ ) , rõ ràng a 2 + 2b 2 và b 2 + 4 thuộc ( 0;+ ) nên:

( *) 

f ( a 2 + 2b 2 )  f ( b 2 + 4 )  a 2 + 2b 2  b 2 + 4  a 2 + b 2  4

Vậy, a, b thỏa mãn 1  a 2 + b 2  4 . Từ đó ta có 8 cặp số ( a ; b ) thỏa mãn bài toán là

( −2; −2 ) , ( −2; −1) , ( −1; −2 ) , ( −1; −1) , (1;1) , (1;2 ) , ( 2;1) , ( 2;2 ) . Chọn D.

2. Các dạng toán ứng dụng phương pháp hàm đặc trưng
Dạng 1. Các bài toán phương trình
Câu 1. (Chun Thái Bình 2018) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
x3 + 3x 2 − 3x − 5
3
log
+ ( x + 1) = x 2 + 6 x + 7
x2 + 1
A. −2 + 3 .

B. −2 .

C. 0 .

D. −2 − 3 .

1
2x + 1  1 
log 2 ( x + 2 ) + x + 3 = log 2
+ 1 +  + 2 x + 2 ,
2
x
x

gọi S là tổng tất cả các nghiệm của nó. Khi đó, giá trị của S là

2

Câu 2. (SGD Bắc Ninh 2018) Cho phương trình

2


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. S = −2 .

B. S =

1 − 13
.
2

C. S = 2 .

Câu 3. (Nguyễn Trãi – Đà Nẵng 2018) Gọi x0 =

D. S =

1 + 13
.
2

a+b 3
là một nghiệm lớn hơn 1 của phương trình
c

1− x
1


1
2 x  3 x −   + 1 = 2 x 2 − 1 . Giá trị của P = a + b + c là
 3


A. P = 6 .
B. P = 0 .
C. P = 2 .

( )

D. P = 4 .
 4x2 − 4 x + 1 
2
Câu 4. (THTT 2018) Biết x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình log 7 
 + 4 x + 1 = 6 x và
2x


1
x1 + 2 x2 = a + b với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b .
4
A. a + b = 16 .
B. a + b = 11 .
C. a + b = 14 .
D. a + b = 13 .

a
2x − 1
Câu 5. (Lương Thế Vinh 2019) Phương trình log 3
(với
= 3x 2 − 8 x + 5 có hai nghiệm là a và
2
b
( x − 1)

(

)

a
là phân số tối giản. Giá trị của b là
b
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 6. (Lê Xoay – Vĩnh Phúc 2018) Số nghiệm của phương trình sin 2 x − cos x = 1 + log 2 ( sin x ) trên
a, b  N * và

 
khoảng  0;  là
 2
A. 4 .
B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 7. (Cổ Loa – Hà Nội 2019) Cho hàm số f ( x ) = ln

(

)

x 2 + 1 + x + e x − e − x . Hỏi phương trình

f ( 3 ) + f ( 2 x − 1) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực?
x

A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .
3
2
Câu 8. (Nguyễn Du – DakLak 2019) Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d (với a, b, c, d  R ,

a  0 ). Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị là A ( 0;1) và B ( 2; −3) . Hỏi tập nghiệm của
phương trình f 3 ( x ) + f ( x ) − 2 3 f ( x ) = 0 có bao nhiêu phần tử?
A. 2019 .

B. 2018 .

C. 9 .

D. 8 .

Dạng 2. Các bài tốn biện luận nghiệm
Câu 9. (Đề chính thức 2018 – Mã 103) Cho phương trình 7 x + m = log 7 ( x − m ) với m là tham số. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m  ( −25;25 ) để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 9 .
B. 25 .
C. 24 .
D. 26 .
Câu 10. (Đề tham khảo BGD 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

m + 3 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm thực?
A. 5 .
B. 7 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2018 của tham số m để phương trình
3

(

)

log 2 m + m + 2 x = 2 x có nghiệm thực?

3


PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC
TRƯNG LỚP 12
A. 2017 .

B. 2016 .
C. 1005 .
D. 1004 .
Câu 12. (KHTN Hà Nội 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ( m  10 ) để phương trình

2 x −1 = log 4 ( x + 2m ) + m có nghiệm?
A. 9 .

B. 10 .
C. 5 .
D. 4 .
Câu 13. Cho hàm số f ( x ) = (1 − m3 ) x 3 + 3 x 2 + ( 4 − m ) x + 2 với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên

m   −2018;2018 sao cho f ( x )  0 với mọi giá trị x   2;4 .
A. 4037 .
B. 2021 .
C. 2019 .
D. 2020 .
Câu 14. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

ln ( m + ln ( m + x ) ) = x có nhiều nghiệm nhất.

A. m  0 .
B. m  1 .
C. m  e .
D. m  −1 .
Câu 15. (Sở Cà Mau 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên của tham số m   −2019;2019 để
bất phương trình (1 − m3 ) x3 + 3 ( 2 − m3 ) x 2 + (13 − m − 3m3 ) x + 10 − m − m3  0 đúng với mọi x  1;3 . Số
phần tử của tập S là
A. 4038 .

B. 2021 .

C. 2022 .

D. 2020 .

Câu 16. (HTK 2019) Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x 6 + 6 x 4 − mx 3 + (15 − 3m 2 ) x 2

−6mx + 10  0 nghiệm đúng với mọi số thực x .
A. 4 .
B. 3 .
C. Vô số.
D. 5 .
Câu 17. (Sở Quảng Bình 2019) Gọi S là tập hợp số nguyên dương của tham số m để bất phương
trình sau x 6 + 3 x 4 − m3 x 3 + 4 x 2 − mx + 2  0 nghiệm đúng với mọi x  1;3 . Tổng tất cả các phần tử của
S bằng
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 18. (Chuyên Thái Bình 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m m để phương trình

f

(

3

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm x  1;2 biết f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4m .

A. 16 .

B. 15 .

C. 17 .

D. 18 .

Câu 19. (Tập huấn Bắc Ninh 2019) Cho phương trình 2 x 3 . 6 x + 4m .( 3x + 2m + 1) = 8 x 6 + 20 x 4

a
a

+10 x 2 + 1 . Biết  ; +  ( với a, b là các số nguyên dương và phân số
tối giản) là tập tất cả các
b
b


giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm dương phân biệt. Tính S = a 2 + b 2 .
A. 17 .
B. 5 .
C. 25 .
D. 10 .
Câu 20. (Trần Nhân Tông – Quảng Ninh 2018) Phương trình 2 x − 2 +

3

m−3x

+ ( x3 − 6 x 2 + 9 x + m ) 2 x − 2

= 2x+1 + 1 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  ( a; b ) . Tính T = b 2 − a 2 .
A. T = 36 .
B. T = 48 .
C. T = 64 .
D. T = 72 .
Câu 21. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số
( x; y ) thỏa e3 x + 5 y − e x + 3 y +1 = 1 − 2 x − 2 y và log 32 ( 3x + 2 y − 1) − ( m + 6 ) log 3 x + m 2 + 9 = 0 .
A. 6 .

B. 5 .

C. 8 .

D. 7 .
x3 + x 2 − 2 x + m

x2 + x + 5

−3
+ x 3 − 3 x + m − 5 = 0 . Gọi S
Câu 22. (Sở Bà Rịa Vũng Tàu 2019) Cho phương trình 3
là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt. Số phần
tử của S là
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .

D. 1 .

4


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
)
= 2 − sin x − m cos x với m là tham số thực. Gọi S là
Câu 23. Cho phương trình e m cos x − sin x − e (
tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó S có dạng ( −; a   b; + ) . Tính
2 1− sin x

T = 10a + 20b .
A. T = 10 3 .
B. T = 0 .
C. T = 1 .
D. T = 3 10 .
Câu 24. (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai 2018) Có bao nhiêu số ngun m để phương trình
3x 2 + 3x + m + 1
log 2
= x 2 − 5 x + 2 − m có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 .
2x2 − x + 1
A. 3 .
B. Vô số.
C. 2 .
D. 4 .
Câu 25. (SGD Phú Thị 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 2 x 2 + mx + 1 
 + 2 x 2 + mx + 1 = x + 2 có hai nghiệm thực phân biệt?

log 2 


x
+
2


A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 1 .
Câu 26. (SGD Bắc Ninh 2018) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

(

)(

)

e3m + e m = 2 x + 1 − x 2 1 + x 1 − x 2 có nghiệm là

1

 1


 1
A.  0; ln 2  .
B.  −; ln 2  .

C.  0;  .
D.
2

 2


 e
Câu 27. (Sở Nam Định 2019) Cho hàm số f ( x ) = 2019 x − 2019− x . Tìm số

1

 2 ln 2; +  .


nguyên m lớn nhất để

f ( m ) + f ( 2m + 2019 )  0 .
A. −673 .

B. −674 .

C. 673 .

(

)

D. 674 .

Câu 28. (SGD Ninh Bình 2018) Cho hàm số f ( x ) = ln x + x + 1 . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m
2

1 

thỏa mãn bất phương trình f ( log m ) + f  log m
0.
2019 

A. 65 .
B. 66 .
C. 64 .

Câu 29. (TVO 2019) Cho hàm số f ( x ) = e

x 2 +1

D. 63 .

( e x − e− x ) . Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn

 12 
bất phương trình f ( m − 7 ) + f 
0?
 m +1
A. 4 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 5 .
x

−x
Câu 30. (TVO 2019) Cho hàm số f ( x ) = 2 − 2 . Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình

(

)

A. 7 .

B. 3 .

f x 3 − 2 x 2 + 3x − m + f ( 2 x − x 2 − 5 ) có nghiệm đúng với mọi x  ( 0;1) .

C. 9 .

D. 8 .

Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) = 1 + x + x . Tìm các giá trị của m để bất phương trình
2

( x − m) f ( x − m) +

x3 + 2019 x
 0 nghiệm đúng với mọi x   4;16 .
f ( x3 + 2019 x )

A. m  35228 .
B. m  36416 .
C. m  38421 .
D. m  34662 .

Câu 32. (Yên Mô A – Ninh Bình 2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3x − 3

3

m −3 x

A. 45 .

5

+ ( x3 − 9 x 2 + 24 x + m ) .3x − 3 = 3x + 1 có ba nghiệm phân biệt bằng

B. 38 .

C. 34 .

D. 27 .


PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC
TRƯNG LỚP 12
Câu 33. (Yên Lạc 2019) Cho phương trình 27 x + 3x.9 x + ( 3 x 2 + 1) 3x = ( m3 − 1) x 3 + ( m − 1) x , m là tham
số. Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên ( 0;+ ) là a + e ln b , với a, b
là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17a + 3b bằng
A. 26 .
B. 54 .
C. 48 .

D. 18 .

( x −1)2

Câu 34. (Sơn Tây – Hà Nội 2019) Cho phương trình 2

.log 2 ( x − 2 x + 3) = 4
2

x−m

log 2 ( 2 x − m + 2 )

với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của . m . trên đoạn  −2019;2019 để phương
trình có đúng hai nghiệm phân biệt
A. 4036 .
B. 4034 .
C. 4038 .
D. 4040 .
Câu 35. (Thanh Chương Nghệ An 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m
2x2 + x + m + 1
thuộc đoạn  −10;10 để bất phương trình log 3
 2 x 2 + 4 x + 5 − 2m có nghiệm. Số phần
x2 + x + 1
tử của tập hợp S bằng
A. 20 .
B. 10 .
C. 15 .
D. 5 .
Câu 36. (Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 2018 lần 2) Tìm số giá trị nguyên của m thuộc  −20;20 

(

)

để phương trình log 2 x 2 + m + x x 2 + 4 = ( 2m − 9 ) x − 1 + (1 − 2m ) x 2 + 4 có nghiệm?
A. 12 .
B. 23 .
C. 25 .
D. 10 .
Câu 37. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để phương
trình 2cos x − 2 +

3

m − 3 cos x

+ ( cos3 x + 6sin 2 x + 9cos x + m − 6 ) 2cos x − 2 = 2cos x +1 + 1 có nghiệm thực. Khi đó tổng

của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập S bằng
A. 28 .
B. 21 .
C. 24 .
D. 4 .
Câu 38. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập chứa các giá trị nguyên của m để phương
trình e3 x −18 x + 30 − m + e x − 6 x +10 − m − e 2 m = 1 có ba nghiệm thực phân biệt. Tính tổng các phần tử của tập S .
A. 110 .
B. 106 .
C. 126 .
D. 24 .
Câu 39. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3

3

5 x 2 + 12 x + 16 = m ( x + 2 ) x 2 + 2

20182 x +

x +1

− 20182 +

x +1

có

hai

nghiệm

thực

phân

biệt

thỏa

mãn

+ 2019 x  2019 .


11 3 
A. m   2 6;
.
3 


B. m  2 6;3 3  .

C. m   2 6;3 3  .


11 3 
D. m   3 3;
 2 6 .
3 


(

Câu 40. (Kim Liên Hà Nội 2019) Cho bất phương trình

 

3

x 4 + x 2 + m − 3 2 x 2 + 1 + x 2 ( x 2 − 1)  1 − m . Tìm

tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  1 .

1
1
A. m  .
B. m  1 .
C. m  .
D. m  1 .
2
2
Câu 41. (Ngô Quyền – Hà Nội 2019) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
1
m + m + 1 + 1 + sin x = sin x có nghiệm là đoạn  a; b  . Khi đó giá trị của biểu thức T = 4a − − 2
b
bằng
A. −4 .
B. − 5 .
C. − 3 .
D. 3 .

6


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 42. (TT Thanh Tường – Nghệ An 2019) Cho hàm số f ( x ) = 3 7 + 3x − 3 7 − 3 x + 2019 x . Gọi S là

(

)

tập hợp các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện f x3 − 2 x 2 + 3 x − m + f ( 2 x − 2 x 2 − 5 )  0 ,

x  ( 0;1) . Số phần tử của S là
A. 7 .

B. 3 .

C. 9 .

D. 5 .

Dạng 3. Các bài toán max min
Câu 43. (MĐ 102 – BGD&ĐT 2017) Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log 2

1 − ab
= 2ab + a + b − 3 .
a+b

Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P = a + 2b .
A. Pmin =

2 10 − 3
.
2

B. Pmin =

3 10 − 7
.
2

C. Pmin =

2 10 − 7
.
2

D. Pmin =

2 10 − 5
.
2

 1 − 2x 
Câu 44. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ln 
 = 3x + y − 1 . Tìm
 x+ y 
1
1
giá trị nhỏ nhất Pmin của P = +
.
x
xy
A. Pmin = 8 .

D. Pmin = 16 .

C. Pmin = 2 .

B. Pmin = 4 .

Câu 45. (Lê Văn Thịnh – Bắc Ninh 2018) Cho 0  x; y  1 thỏa mãn 20171− x − y =

(

x 2 + 2018
. Gọi
y − 2 y + 2019
2

)(

)

M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x 2 + 3 y 4 y 2 + 3x + 25 xy . Khi

đó M + m bằng bao nhiêu?

136
.
3
Câu 46.
A.

B.
(Trần

391
.
16
Phú

383
.
16
2018) Cho

C.
–

Đà

Nẵng

25
.
2
thực x, y

D.
hai

số

2 y + 7 y + 2 x 1 − x = 3 1 − x + 3 ( 2 y + 1) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2 y .
3

thõa

mãn

2

A. P = 10 .
B. P = 4 .
C. P = 6 .
D. P = 8 .
Câu 47. (Trần Nhân Tông – Quảng Ninh 2018) Cho hai số thực x, y thỏa mãn

(

)

9 x 3 + 2 − y 3 xy − 5 x + 3xy − 5 = 0 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 3 + y 3 + 6 xy + 3 ( 3x 2 + 1) ( x + y − 2 ) .
36 − 4 6
−4 6 + 18
36 + 296 15
296 15
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
9
9
9
Câu 48. ( Đô Lương 4 – Nghệ An 2018 ) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn

3x + 2 y + 1
x+ y
log 3 2
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy . Tìm giá trị lớn nhất của P =
.
x+ y+6
x + y 2 + xy + 2

A.

A. 2 .

D. 4 .


x+ y+z
Câu 49. ( Sở Hà Tĩnh 2019 ) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn log16  2
 = x ( x − 2)
2
2
2
x
+
2
y
+
2
z
+
1



x+ y−z
+ y ( y − 2 ) + z ( z − 2 ) . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F =
bằng
x+ y+z
7

B. 1 .

C. 3 .


PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC
TRƯNG LỚP 12

2
1
1
2
.
B. − .
C. .
D. − .
3
3
3
3
Câu 50. ( Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2018 ) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn
3

5 xy
5 x + 2 y + xy + x + 1 =
+ 3− x − 2 y + y ( x − 2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y .
3
5
A.

A. Tmin = 2 + 3 2 .

B. Tmin = 3 + 2 3 .

C. Tmin = 1 + 5 .

D. Tmin = 5 + 3 2 .

A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 51. (Trần Hưng Đạo – TP.HCM 2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn
2 ( x 2 − y +1)
2x + y
. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P = 2 y − 3 x .
2018
=
2
( x + 1)

1
7

3
5
.
B. Pmin = .
C. Pmin = .
D. Pmin = .
8
2
4
6
Câu 52. ( Mộ Đức – Quảng Ngãi 2018 ) Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức
A. Pmin =

( xy − 1) .22 xy −1 = ( x 2 + y ) .2 x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất
2

A. ymin = 3 .

B. ymin = 2 .

ymin của y .
D. ymin = 3 .

C. ymin = 1 .

Câu 53. ( Chuyến Thái Bình 2018 ) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
log 3 ( x + 1)( y + 1) 

y +1

= 9 − ( x − 1)( y + 1) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2 y là

27
11
.
B. Pmin =
.
C. Pmin = −5 + 6 3 .
D. Pmin = −3 + 6 3 .
5
2
Câu 54. ( Thăng Long – Hà Nội 2018) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn
A. Pmin =

 4a + 2b + 5 
2
2
log 5 
 = a + 3b − 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b .
 a+b 
1
5
3
A. .
B. .
C. .
D. 1 .
2
2
2

Câu 55. ( Chuyên Bắc Ninh 2018 ) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

2x + y + 1
= x + 2y .
x+ y

1
2
.
+
x
y

A. 3 + 3 .
B. 4 .
C. 3 + 2 3 .
D. 6 .
Câu 56. (Chuyên Nguyễn Du – Đăk Lăk 2019) Cho các số dương

x, y

thỏa mãn

 x + y −1
4 9
log5 
 + 3x + 2 y  4 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 6 x + 2 y + + bằng
x y

 2x + 3y 
A.

31 6
.
4

B. 11 3 .

C.

27 2
.
2

Câu 57. (Ba Đình 2019 ) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 2019

D. 19 .

(

)

2 x 2 − y +1

=

2x + y

( x + 1)

2

. Giá trị nhỏ nhất

Pmin của biểu thức P = 2 y − x .
A. Pmin =

1
.
4

B. Pmin =

1
.
2

C. Pmin =

7
.
8

D. Pmin =

15
.
8

8


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 58. (Lý Nhân Tông 2019) Cho hai số thực x, y thỏa mãn
x+ y
x + 2y + 3
.
log 3 2
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
2
x + y + xy + 2
x+ y+6
37 − 249
43 + 3 249
69 − 249
. B.
.
C.
.
94
94
94
Câu 59. (Chuyên Thái Nguyên 2019 ) Xét các số

A.

69 + 249
.
94

dương x, y thỏa

D.
thực

mãn

1− y
log 3
= 3xy + x + 3 y − 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P = x + y .
x + 3xy

A. Pmin =

4 3−4
.
3

B. Pmin =

4 3+4
.
3

4 3+4
4 3−4
.
D. Pmin =
.
9

9
Câu 60. (Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam 2019 ) Cho hai số dương x, y thỏa

C. Pmin =

log 2 ( 4 x + y + 2 xy + 2 )

y+2

= 8 − ( 2 x − 2 )( y + 2 ) . Giá trị nhỏ nhất của P = 2 x + y là số có dạng

M = a b + c với a, b  N , a  2 . Tính S = a + b + c .
B. S = 7 .
C. S = 19 .

A. S = 17 .

D. S = 3 .

 x + 3y 
Câu 61. (Gia Lộc – Hải Dương 2019) Cho x, y  0 thỏa mãn log 
 = xy − x − 3 y . Tìm giá trị nhỏ
 xy 
x2
9 y2
nhất của biểu thức P =
.
+
1 + 3y 1 + x

71
72
73
.
C.
.
D.
.
7
7
7
Câu 62. (Cụm Trần Kim Hưng – Hưng Yên 2019) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn
A. 10 .

B.

3a + 2b + c
 a+b+c 
log 2  2
 = a ( a − 2 ) + b ( b − 2 ) + c ( c − 2 ) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c .
2
2
 a + b + c +1
8+2 2
6−2 3
6+2 3
4+2 2
.
B.
.

C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 63. (Hội các trường chuyên 2019) Cho x, y  ( 0;2 ) thỏa mãn ( x − 3)( x + 8 ) = ey ( ey − 11) . Giá trị

A.

lớn nhất của P = ln x + 1 + ln y bằng

1 + ln 3 − ln 2 .

A.

B. 2 ln 3 − ln 2 .

C. 1 + ln 3 − ln 2 .
D. 1 + ln 2
Câu 64. (THTT 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log 2 x + x ( x + y )  log 2 ( 6 − y ) + 6 x . Giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x + 2 y +
A.

59
.
3

B. 19 .

6 8
+ bằng
x y

C.

53
.
3

D. 8 + 6 2 .

e ln 2
.
2

D.

Câu 65. (Sở Quảng Nam 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 y + y = 2 x + log 2 ( x + 2 y −1 ) . Giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P =
A.

e + ln 2
.
2

9

B.

e − ln 2
.
2

x
bằng
y

C.

e
.
2ln 2


PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC
TRƯNG LỚP 12

Câu 66. (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho x, y thỏa mãn log 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
A. 2 .

B. 3 .

x+ y
= x ( x − 9 ) + y ( y − 9 ) + xy .
x 2 + y 2 + xy + 2

3x + 2 y − 9
khi x, y thay đổi.
x + y + 10

C. 1 .

D. 0 .
9 x3 + x
Câu 67. (Hải Hậu 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
= 3 y + 2 . Giá trị lớn nhất của
y +1
biểu thức S = 6 x − y là

17
11
89
82
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
12
3
3
Câu 68. (Đề tham khảo – BGD&ĐT 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 0  x  2020
A.

và log 3 ( 3 x + 3) + x = 2 y + 9 y ?
A. 2019 .
B. 6 .
C. 2020 .
D. 4 .
Câu 69. (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2019) Cho 0  x  2020 và log 2 ( 2 x + 2 ) + x − 3 y = 8 y .
Có bao nhiêu cặp số ( x; y ) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?
A. 2019 .

B. 2018 .

C. 1 .

D. 4 .
2 x 2 − 3x + y
Câu 70. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa 0  y  2017 và log 2 2
= x2 + 8x + 2 − 2 y .
5x + 2 x + 3
A. 44 .
B. 22 .
C. 42 .
D. 21 .

Dạng 4. Các bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị
Câu 71. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( 0;+ ) thỏa mãn f (1) = 2 và
3
3
3
3 4

 f ' ( x )  + 2  f ' ( x ) − 2 = 1 + + 3 , x  ( 0; + ) . Tính T =  f ( x ) dx .
x
x x
2
3
5
A. I = + 3ln 5 − 2ln 7 .
B. I = + 3ln 3 − 2ln 2 .
2
2
15
13
C. I = − 2ln 7 + 3ln 5 .
D. I = − 2ln 3 + 3ln 2 .
2
2
y
Câu 72. (Tư Nghĩa 2019) Cho
hàm số y = f ( x ) liên tục trên

R và có đồ thị như hình vẽ
dưới đây. Số nghiệm của
phương trình
f 3 ( x) + 3 f 2 ( x) + 4 f ( x) + 2

2

3 f ( x) + 1
= 3 f ( x ) + 2 là

A.
B.
C.
D.

1

6.
9.
7.

O

x

8.

1
-

4

10


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 73. (Nguyễn Du 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu

giá trị nguyên của n để phương trình f ( −16sin 2 x + 6sin 2 x + 8 ) = f ( n ( n + 1) ) có nghiệm x  R .
y
4

3

2

1

-2

-1

O

1

2

3

x

-1

A. 10 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 8 .

Câu 74. (Thị xã Quảng Trị 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tìm

m3 + m

giá trị của tham số m để phương trình

f 2 ( x) + 1

= f 2 ( x ) + 2 có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

y

5

y = f(x)

3

1

O

x

A. m = 2 .
B. m = 26 .
C. m = 10 .
D. m = 1 .
Câu 75. (Yên Phong 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao
nhiêu giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

11

4m3 + m
2 f 2 ( x) + 5

= f 2 ( x) + 3 .


PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC
TRƯNG LỚP 12
y

4

3

1

-1

O

1

6

x

A. 0 .

B. 1 .
C. 2 .
D. 2 .
Câu 76. (TVO 2019) Cho hàm đa thức bậc ba y = f ( x ) có đồ thị của các hàm số y = f ( x ) ; y = f ' ( x )
S là tập hợp các giá trị nguyên của m để phương trình
f ( f ( x ) − m ) + 2 f ( x ) = 3 ( x + m ) có đúng ba nghiệm thực. Tổng các phần tử của S bằng

như hình vẽ. Gọi

y

1
O

2

x

-3

A. 0 .

B. − 6 .

C. − 7 .

D. − 5 .

12