Ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
- - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - -

TRIỆU KHẮC TÙNG

ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

Hà Nội - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
- - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - -

TRIỆU KHẮC TÙNG

ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

Chun ngành: Tốn Tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGÀNH: TỐN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2013


Mục lục
Lời cảm ơn

iii

Lời mở đầu

iv

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

vii

1 Hệ động lực tuyến tính

1

1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Tốn tử sinh của nửa nhóm và Tốn tử giải . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Định lý Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Tháp Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5 Không gian Favard và Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Nhiễu của nửa nhóm

12

2.1 Nhiễu bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2 Định lý nhiễu của Desh-Schappacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3 Lý thuyết phổ cho toán tử bị chặn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4 Phổ của nửa nhóm và tốn tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5 Định lý ánh xạ phổ cho nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6 Các khái niệm về ổn định của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 Phương pháp nửa nhóm cho các phương trình có trễ

33

3.1 Nửa nhóm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 Nửa nhóm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3 Ổn định với phần dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.4 Ổn định với nhiễu nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

i


Tài liệu tham khảo

56

ii


Lời cảm ơn

Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn
Thiệu Huy, người đã tận tình, nghiêm khắc hướng dẫn, chỉ bảo để luận văn này được
hồn thành, cũng như giúp tơi tăng trưởng niềm đam mê nghiên cứu khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại
học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong
q trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi xin được cảm ơn sự dạy dỗ, chỉ bảo
và quan tâm của các thầy cơ của Viện Tốn ứng dụng và Tin học trong suốt thời gian
tôi theo học và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè và đồng nghiệp,
những người ln động viên khích lệ giúp tơi hồn thành luận văn này. Xin chân thành
cảm ơn.

Học viên: Triệu Khắc Tùng
Lớp: 12BTT-KH

iii

Lời mở đầu
Hiện nay, nửa nhóm đã trở thành cơng cụ quan trọng cho phương trình vi tích phân
và phương trình hàm, trong cơ học lượng tử. Phương pháp nửa nhóm cũng được ứng
dụng và thu được thành cơng trong phương trình biến động dân số. Có nhiều lý do,
trong đó tại sao hệ quyết định tự động được mơ tả bởi ánh xạ T (t), t ≥ 0, thỏa mãn
phương trình hàm
T (t + s) = T (t)T (s)

(F E)

Trong đó, t là biến thời gian, và mỗi T (t) ánh xạ không gian trạng thái của hệ thống
và chính nó. Những ánh xạ này hồn tồn xác định thời gian phát triển của hệ thống
theocách sau: Nếu hệ ở trạng thái x0 tại thởi điểm t0 = 0, thì tại thời điểm t trạng
thái là T (t)x0 .
Mục đích của luận văn là trình bày phương pháp nửa nhóm để chỉ ra ổn định nghiệm
của phương trình vi phân hàm. Dựa vào các kết quả về toán tử sinh của Hille-Yosida,
lý thuyết phổ cho toán tử bị chặn để thu được các kết quả cho phương trình vi phân
có trễ. Cụ thể nội dung chính cảu luận văn được trình bày trong ba chương như sau:
Chương 1: Hệ động lực tuyến tính. Chương này dành để giới thiệu những lý
thuyết cơ sở để thực hiện luận văn. Khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , tốn
tử sinh A. Với nửa nhóm liên tục mạnh, chúng tơi đưa ra đánh giá về tồn tại hằng
số w và M ≥ 1 sao cho ||T (t)|| ≤ M ewt . Định lý Hille-Yosida cho ta đánh giá về nửa
nhóm của tốn tử sinh.
Chương 2: Nhiễu của nửa nhóm. Chương này trình bày về nhiễu bị chặn, xử lý
nhiễu với nửa nhóm. Ngồi ra chúng tơi trình bày lý thuyết phổ cho tốn tử bị chặn,
chúng tơi trình bày về mối liên hệ giữa cận tăng của toán tử sinh và biên phổ của nửa
nhóm. Một số các khái niệm về ổn định của nửa nhóm cũng được trình bày ở cuối
chương này.
Chương 3: Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có trễ . Đây

là phần chính của luận văn, trong chương này trình phương pháp nửa nhóm cho phương
trình vi phân có trễ thơng qua các bước cụ thể. Từ việc đưa bài toán về dạng bài tốn
Cauchy trên khơng gian Banach X và tốn tử tuyến tính A, chúng tơi chứng minh tốn

iv


tử A sinh ra nửa nhóm nghiệm. Sau đó chúng tơi sử dụng các lý thuyết được trình bày
ở Chương 2 để chỉ ra tính ổn định của nửa nhóm với phần dương. Và cuối cùng là mở
rộng ổn định với nhiễu nhỏ.

v


Luận văn được hồn thành tại Viện Tốn ứng dụng và Tin học, trường Đại học
Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy. Mặc dù đã
rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý
của các thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2013

vi


Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
(ACP)

Bài tốn Cauchy

(ADDE)

phương trình vi phân có trễ

(DE)

phương trình vi phân

(FE)

phương trình hàm

(SMT)

định lý ánh xạ phổ

(WSMT)

định lý ánh xạ phổ yếu

C k (J)

không gian các hàm khả vi liên tục k lần

C(Ω)

không gian các hàm liên tục

D(A)

miền của A

∥ · ∥ Fα

chuẩn Favard cấp α

∥ · ∥n

chuẩn Sobolev cấp n

Fα

không gian Favard cấp α

L(X), L(X, Y )

khơng gian các tốn tử tuyến tính bị chặn

ω0 (T)

cận tăng của nửa nhóm T

R(λ, A)

giải của A tại λ

ρ(A)

tập giải của A

s(A)

biên phổ của A

σ(A)

phổ của A

(T (t))t≥0

nửa nhóm một tham số của tốn tử tuyến tính

vii


Chương 1

Hệ động lực tuyến tính
Bài tốn
Tìm tất cả những ánh xạ T (·) : R+ → C thỏa mãn phương trình hàm (FE)

 T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0
 T (0) = 1

(F E)

Hiển nhiên, hàm mũ
t → eta
thỏa mãn phương trình hàm với a ∈ C.
Chúng ta quan tâm đến trường hợp tổng quát, ở đó C được thay bằng khơng gian
Banach tùy ý. Khi đó, việc nghiên cứu (FE) dẫn đến lý thuyết nửa nhóm một tham
số.

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Tính liên tục đều là điều kiện quá chặt cho những nửa nhóm tự nhiên được xác
định trên những khơng gian hàm cụ thể, thay vào đó tính liên tục mạnh là phù hợp.
Định nghĩa : Một họ (T (t))t≥0 các tốn tử tuyến tính bị chặn trên khơng gian Banach
X được gọi là nửa nhóm (một tham số) liên tục mạnh (hay C0 nửa nhóm) nếu nó thỏa
mãn phương trình hàm (FE) và là liên tục mạnh.
Tức là, (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh nếu phương trình hàm

 T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0
 T (0) = 1
1

(F E)


được thỏa mãn và ánh xạ quỹ đạo
ξx : t → ξx (t) := T (t)x

(SC)

là liên tục từ R+ vào X với mọi x ∈ X.
Tính chất (SC) có thể được thể hiện bằng cách nói rằng ánh xạ
t → T (t)
là liên tục từ R+ vào không gian Ls (X) của tất cả các toán tử bị chặn trên X được
trang bị toán tử topo mạnh.
Cuối cùng, nếu những tính chất trên thỏa mãn trên R thay vì R+ , ta gọi (T (t))t∈R là

nhóm (một tham số) liên tục mạnh (hoặc C0 nhóm) trên X.
Bổ đề 1.1 : Cho không gian Banach X và F là hàm từ một tập compact K ⊂ R vào
L(X). Thì các khẳng định sau là tương đương
(a) F là liên tục với toán tử topo mạnh, tức là ánh xạ K ∋ t → F (t)x ∈ X là liên tục
với mỗi x ∈ X
(b) F là bị chặn đều trên K, và ánh xạ K ∋ t → F (t)x ∈ X là liên tục với mọi x trong
tập con trù mật D của X.
(c) F là liên tục với topo hội tụ đều trên tập con compact của X, tức là ánh xạ
K × C ∋ (t, s) → F (t)x ∈ X
là liên tục đều với mọi tập compact C trong X.

Dễ thấy từ Bổ đề trên, kết hợp với phương trình hàm (FE), ta thấy sự liên tục của
ánh xạ quỹ đạo
ξx : t → T (t)x
tại mỗi t ≥ 0 và với mỗi x ∈ X.
Mệnh đề 1.2 : Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 trên khơng gian Banach X, các khẳng định
sau là tương đương
(a) (T (t))t≥0 là liên tục mạnh
(b) limt↓0 T (t)x = x với mọi x ∈ X
2


(c) Tồn tại δ > 0, M ≥ 1, và tập con trù mật D ⊂ X sao cho
(i) ||T (t)|| ≤ M với mọi t ∈ [0, δ]
(ii) limt↓0 T (t)x = x với mọi x ∈ D.
Chúng ta có đánh giá quan trọng sau
Mệnh đề 1.3 : Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , tồn tại hằng số w ∈ R và
M ≥ 1 sao cho
||T (t)|| ≤ M ewt

(1.1)

với mọi t ≥ 0
Cận dưới đúng của số mũ w ước lượng dạng (1.1) đóng vai trị quan trọng. Nên ta
có định nghĩa
Định nghĩa : Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , gọi
ω0 = ω0 (T) = inf{w ∈ R : ∃Mw ≥ 1 sao cho ||T (t)|| ≤ Mw ewt ∀t ≥ 0}
nó là cận tăng. Hơn nữa, nửa nhóm được gọi là bị chặn nếu ta có thể đặt w = 0 trong
(3.1), và co nếu w = 0 và M = 1 là có thể. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là đẳng cự
nếu ||T (t)x|| = ||x|| với mọi t ≥ 0 và x ∈ X.
Ví dụ
(i) Cho nửa nhóm xác định bởi ma trận

T (t) := 


1 t



0 1
trên X := C2 có ω0 = 0 nhưng limt→∞ ||T (t)|| = ∞, tức là (T (t))t≥0 không bị chặn.
(ii) Lấy X := L1 (R) và định nghĩa nửa nhóm chuyển với bước nhảy

 2f (s + t) nếu s ∈ [−t, 0]
(T (t)f )(s) :=
 f (s + t) nếu ngược lại
Thì (T (t))t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều với ||T (t)|| = 2 với mỗi t > 0. Do đó
(T (t))t≥0 bị chặn, nhưng không thể ước lượng được w lớn thế nào trong (3.1), không
thể đạt M = 1.

3


Ở trên, chúng ta thấy đặc điểm của mọi nửa nhóm liên tục đều (T (t))t≥0 trên khơng
gian Banach X là toán tử xác định hàm mũ, tức là chúng ta tìm một tốn tử A ∈ L(X)
sao cho
T (t) = etA
với mọi t ≥ 0. Với nửa nhóm liên tục mạnh, chúng ta sẽ tiếp tục xác định một toán
tử tương tự như A, được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm. Nó là tuyến tính, nhưng
nói chung khơng bị chặn, tốn tử chỉ xác định trên khơng gian con trù mật D(A) của
không gian Banach X. Để mà tìm được nửa nhóm (T (t))t≥0 từ tốn tử sinh (A, D(A)),
chúng ta cần một đối tượng thứ ba, gọi là toán tử giải của A
R(λ, A) := (λ − A)−1 ∈ L(X)
nó xác định với mọi số phức trong tập giải ρ(A).

1.2

Tốn tử sinh của nửa nhóm và Tốn tử giải

Một nửa nhóm một tham số (T (t))t≥0 trên khơng gian Banach X liên tục đều suy
ra tính khả vi của ánh xạ t → T (t) ∈ L(X). Đạo hàm bên phải của T (·) tại t = 0 cho
ta toán tử bị chặn A với T (t) = etA với mọi t ≥ 0.
Chúng ta hi vọng tính liên tục mạnh của nửa nhóm (T (t))t≥0 vẫn có thể suy ra tính
khả vi của ánh xạ quỹ đạo
ξx : t → T (t)x ∈ X.
Để có được điều này, đầu tiên tính khả vi của ξx được suy ra bởi tính khả vi bên phải
tại t = 0.
Bổ đề 2.1 : Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 và một phần tử x ∈ X. Với ánh
xạ quỹ đạo ξx : t → T (t)x, các khẳng định sau là tương đương

(a) ξx (·) là khả vi trên R+ .
(b) ξx (·) là khả vi phải tại t = 0.
Trên không gian con của X với mọi x ∈ X mà ánh xạ quỹ đạo ξx là khả vi, đạo
hàm bên phải tại t = 0 cho ta một toán tử A, ta hy vọng thu được các toán tử T (t)
với hàm mũ etA . Ta có định nghĩa về tốn tử sinh như sau

4


Định nghĩa : Toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0
trên khơng gian Banach X là tốn tử
1
Ax := ξ˙x (0) = lim (T (h)x − x)
h↓0 h

(2.1)

xác định với mọi x trong miền
D(A) := {x ∈ X : ξx là khả vi}

(2.2)

Từ Bổ đề 2.1 ta thấy miền D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X để cho ξx (·) là khả
vi bên phải tại t = 0, tức là
{
}
1
D(A) = x ∈ X : lim (T (h)x − x) tồn tại
h↓0 h

(2.3)

Miền D(A) là một khơng gian tuyến tính con, là một phần quan trọng của định nghĩa
tốn tử sinh A. Vì vậy, chúng ta sẽ thể hiện nó bằng một cặp (A, D(A)), nhưng để
thuận tiện, ta chỉ viết là A và miền nó cho bởi (2.3).
Bổ đề 2.2 Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , ta có
các tính chất sau
(i) A : D(A) ⊆ X → X là một tốn tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và
d
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x với mọi t ≥ 0
dt

(2.4)

(iii) Với mọi t ≥ 0 và x ∈ X, ta có
∫ t
T (t)xds ∈ D(A)
0

(iv) Với mọi t ≥ 0, ta có

∫

t

T (t)x − x = A
T (s)xds nếu x ∈ X,
0
∫ t

=
T (s)Axds nếu x ∈ D(A)

(2.5)
(2.6)

0

Định lý 2.3
Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là một tốn tử tuyến tính đóng và xác định
5


trù mật và nó xác định duy nhất nửa nhóm đó.

Hệ quả 2.4 : Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên khơng gian Banach X
với tốn tử sinh (A, D(A)), các khẳng định sau là tương đương
(a) Toán tử sinh A là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho ||Ax|| ≤ M ||x|| với mọi
x ∈ D(A).
(b) Miền D(A) là toàn bộ X.
(c) Miền D(A) là đóng trong X.
(d) Nửa nhóm (T (t))t≥0 là liên tục đều.
Trong mỗi trường hợp, nửa nhóm cho bởi
T (t) = e

tA

:=

∞ n n

∑
t A
n=0

n!

t≥0

Bổ đề 2.5 : Cho (A, D(A)) là tốn tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 .
Thì với mọi λ ∈ C và t > 0:
e

−λt

∫

t

T (t)x − x = (A − λ)
e−λs T (s)xds x ∈ X
0
∫ t
=
e−λs T (s)(A − λ)xds x ∈ D(A)

(2.7)
(2.8)

0

Tiếp theo chúng ta có cơng thức quan trọng liên quan tới toán tử giải của toán tử sinh
nửa nhóm.

Định lý 2.6
Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X và hằng số w ∈
R, M ≥ 1 sao cho
||T (t)|| ≤ M ewt

(2.9)

với t ≥ 0. Cho toán tử sinh (A, D(A)) của (T (t))t≥0 có các tính chất sau
∫t
(i) Nếu λ ∈ C sao choR(λ)x := 0 e−λs T (s)xds tồn tại với mọi x ∈ X, thì λ ∈ ρ(A)
và R(λ, A) = R(λ).
(ii) Nếu Reλ > w, thì λ ∈ ρ(A), và tốn tử giải cho bởi tích phân mũ trong (i).
(iii) ||R(λ, A)|| ≤

M
Reλ−w

với mọi Reλ > w.

6


Công thức cho R(λ, A) trong (i) được gọi là biểu diễn tích phân của tốn tử giải.
Tích phân đó được hiểu là
∫

t

R(λ, A)x = lim

t→∞

e−λs T (s)xds

(2.10)

0

với mọi x ∈ X.
Hệ quả 2.7 : Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0
thỏa mãn
||T (t)|| ≤ M ewt

với mọi t ≥ 0

với Reλ > w và n ∈ N ta có
(−1)n−1 dn−1
·
R(λ, A)x
(n − 1)! dλn−1
∫ ∞
1
sn−1 e−λs T (s)xds
=
(n − 1)! 0

R(λ, A)n x =

(2.11)
(2.12)

với mọi x ∈ X. Và
||R(λ, A)n || ≤

M
(Reλ − w)n

với mọi n ∈ N và Reλ > w.
Tính chất (ii) của Định lý 2.6 cho thấy phổ của một tốn tử sinh nửa nhóm ln được
chứa trong nửa mặt phẳng trái.

1.3

Định lý Hille-Yosida

Trong Định lý 2.4 và 2.7, chúng ta thấy rằng nửa nhóm
• là các tốn tử đóng
• có miền trù mật
• có phổ của chúng được chứa trong nửa phẳng trái.
Tuy nhiên các điều kiện này là khơng đủ.
Định lý
Cho tốn tử tuyến tính (A, D(A)) trên khơng gian Banach X, các tính chất sau là như
nhau

7

(a) (A, D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ(A) và
||λR(λ, A)|| ≤ 1.
(c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi λ ∈ C với Re > 0 ta có λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤

1
Reλ

Hệ quả 3.1 : Cho w ∈ R, tốn tử tuyến tính (A, D(A)) trên khơng gian Banach X
(a) (A, D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn
||T (t)|| ≥ ewt với t > 0
(b) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A) và
||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1
(c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi λ ∈ C với Re > w ta có λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤

1.4

1
Reλ − w

Tháp Sobolev

Định nghĩa : Với mỗi n ∈ N và x ∈ D(An ), chúng ta định nghĩa n chuẩn
||x||n := ||An x||
và gọi
Xn := (D(An ), || · ||n )
là không gian Sobolev cấp n liên kết bởi (T (t))t≥0 . Toán tử (T (t))t≥0 hạn chế bởi Xn
được kí hiệu

Tn (t) := T (t)|Xn

Định nghĩa : Với mỗi n ∈ N và x ∈ X−n+1 chúng ta định nghĩa chuẩn
||x||−n := ||A−1
−n+1 x||−n+1
8


và gọi bổ sung
X−n := (X−n+1 , || · ||−n )∼
không gian Sobolev cấp −n liên kết bởi (T0 (t))t≥0 . Hơn nữa chúng ta kí hiệu các phần
mở rộng liên tục của tốn tử T−n+1 (t) với khơng gian X−n bởi T−n (t).
Định lý
Với những định nghĩa ở trên, với m ≥ n ∈ Z.
(i) Mỗi Xn là một không gian Banach chứa Xm như một không gian con trù mật.
(ii) Tốn tử Tn (t) tử nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên Xn .
(iii) Toán tử sinh An của (T (t))t≥0 có miền D(A) = Xn+1 là mở rộng liên tục duy nhất
của Am : Xm+1 → Xm một đẳng cự từ Xn+1 tới Xn .

1.5

Không gian Favard và Holder

Định nghĩa
Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 và giả sử có ω0 < 0. Với mỗi α ∈ (0, 1],
không gian

{
Fα := x ∈ X : sup
t>0

1
(T (t)x − x) < ∞
tα

}

với chuẩn
||x||Fα := sup
t>0

1
(T (t)x − x)
tα

được gọi là không gian Favard cấp α. Với α ∈ (0, 1), không gian
{
}
1
Xα := x ∈ X : lim
(T (t)x − x) = 0
t↓0
tα
được trang bị chuẩn || · ||Xα cảm sinh bởi || · ||Fα được gọi là không gian Holder cấp α.
Mệnh đề : Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , với cận tăng ω0 < 0. Nếu α ∈ (0, 1]
thì ta có khơng gian Favard
{
}
α
Fα = x ∈ X : sup ||λ AR(λ, A)x|| < ∞

λ>0

và chuẩn Favard || · ||Fα bằng với chuẩn
|||x|||Fα := sup ||λα AR(λ, A)x||
λ>0

9


Nếu α ∈ (0, 1) thì

{
}
Xα = x ∈ X : lim ||λα AR(λ, A)x|| = 0
λ→∞

Định lý
Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với cận tăng ω0 < 0. Thì với α ∈ (0, 1], ta có:
(i) Khơng gian Favard là không gian Banach.
(ii) Hạn chế (T (t)|Fα )t≥0 từ nửa nhóm của các tốn tử bị chặn trên Fα mà trong đó Xα
là khơng gian liên tục mạnh
{
}
||·||F
Xα = x ∈ X : || · ||Fα − lim T (t)x = x = D(A) α
t↓0

(iii) Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t)|Xα )t≥0 cho bởi A|Xα trong Xα với
miền D(A|Xα ) = Xα+1 .
(iv) Cho phổ của A|Fα và của A|Xα ta có

σ(A|Fα ) = σ(A|Xα ) = σ(A).

Chứng minh.
(i) Cho (xn )n∈N là dãy Cauchy trong Fα . Fα là liên tục được nhúng trong X, (xn )n∈N
cũng là dãy Cauchy trong X, X là đầy đủ nên giới hạn || · || − limn→∞ xn = x tồn tại.
Với mỗi s > 0 chúng ta có
1
(T (s)x − x)
sα

lim

m→∞

1
(T (s)xm − xm ) ≤ lim ||xm ||Fα
m→∞
sα

Do đó, x ∈ Fα và ||x||Fα ≤ limm→∞ ||xm ||Fα . Lập luận tương tự ||x − xn ||Fα ≤
limm→∞ ||xm − xn ||Fα . Chúng ta có limn→∞ ||x − xn ||Fα ≤ limn,m→∞ ||xm − xn ||Fα = 0,
vậy nên chúng ta thu được || · ||Fα − limn→∞ xn = x. Điều này cho thấy Fα là đầy đủ.
(ii) Đầu tiên chúng ta chứng minh khẳng định với α ∈ (0, 1).Lấy x ∈ Xα , cho ε > 0.
Thì chúng ta cần tìm bất kỳ δ > 0 sao cho || s1α (T (s) − I)x|| ≤

ε
2M

với 0 < s < δ. Nếu

ε
t đủ nhỏ, chúng ta có ||(T (t) − I)x|| ≤ δ α 2M
. Do đó

1
(T (s) − I)x
sα
ε
≤ 2M
= ε với 0 < s < δ
2M

1
(T (s) − I)(T (t) − I)x ≤ 2M
sα

10


Trong khi
1
1
(T
(s)
−
I)(T
(t)
−
I)x
≤

2M
||(T (s) − I)x||
sα
sα
1 δαε
≤ 2M α
= ε > với s ≥ δ
δ 2M
Điều này suy ra
||(T (s) − I)x||Fα = sup
s>0

1
(T (s) − I)(T (t) − I)x ≤ ε
sα

với t đủ nhỏ. Nên || · ||Fα − limt↓0 T (t)x = x.
Giả sử rằng || · ||Fα − limt↓0 T (t)x = x, suy ra
∫
1 r
|| · ||Fα − lim
T (s)xds = x
r↓0 r 0
||·||Fα

và do đó x ∈ D(A)

. Với x ∈ D(A)

||·||Fα

và ε > 0 chúng ta có thể tìm y ∈ D(A) sao

cho ||x − y||Fα ≤ 2ε . Từ đó ta có
1
(T (t)x − x) ≤
tα

1
1
(T (t)y − y) + α (T (t)(x − y) − (x − y))
α
t
t
ε ε
≤ M t1−α ||Ay|| + ||x − y||Fα ≤ + = ε
2 2

với t đủ nhỏ và x ∈ Xα . Điều này chứng minh cho trường hợp α ∈ (0, 1).
Chúng ta xem xét trường hợp α = 1. Chúng ta thấy rằng chuẩn || · ||1 và || · ||F1 là bằng
nhau trên D(A). Nếu x ∈ X1 thì || · ||1 − limt↓0 T (t)x = x và || · ||F1 − limt↓0 T (t)x = x.
Nếu || · ||F1 − limt↓0 T (t)x = x thì x ∈ D(A)

||·||F1

như trên. Nhưng D(A) là không gian
||·||F1

Banach với || · ||1 , nên cũng với || · ||F1 . Do đó x ∈ D(A)

suy ra x ∈ D(A) = X1 .

(iii) Được suy ra từ tốn tử sinh của nửa nhóm hạn chế (T (t)|Xα )t≥0 là phần A|Xα của
A trong Xα với miền D(A|Xα ) = {x ∈ D(A) : Ax ∈ Xα } = Xα+1 .

Kết luận
Chương này trình bày các lý thuyết nửa nhóm một tham số đóng vai trị xuyên
suốt luận văn, trong đó đề cập đến khái niệm tốn tử sinh nửa nhóm, và Định lý sinh
Hille-Yosida. Ngồi ra cịn trình bày thêm về các lớp khơng gian trừu tượng là khơng
gian Favard và Holder đóng vai trị quan trọng trong chứng minh của Chương 3.

11


Chương 2

Nhiễu của nửa nhóm
2.1

Nhiễu bị chặn

Bài tốn : Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 và xét một toán tử thứ hai B : D(B) ⊂ X → X. Tìm điều kiện để A + B
sinh một nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 .

Chúng ta nói rằng toán tử sinh A bị nhiễu bởi toán tử B hoặc B là nhiễu của A.
Chúng ta thấy rằng tổng A + B được định nghĩa như sau
(A + B)x := Ax + Bx
với
x ∈ D(A + B) := D(A) ∩ D(B)

Định lý Nhiễu bị chặn

Cho (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không
gian Banach X thỏa mãn
∥ T (t) ∥≤ M ewt

với mọi t ≥ 0

w ∈ R, M ≥ 1. Nếu B ∈ L(X), thì
C := A + B với D(C) := D(A)
12


sinh nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 thỏa mãn
∥ S(t) ∥≤ M e(w+M ∥B∥)t với mọi t ≥ 0.

Hệ quả 1.1 : Cho (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh trên
khơng gian Banach X0 và lấy B ∈ L(X0 ). Thì tốn tử
A+B

với miền D(A + B) := D(A)

là tốn tử sinh, và khơng gian Sobolev
XiA

XiA+B

và

tương ứng với A và A + B, là trùng nhau với i = −1, 0, 1.
Hệ quả 1.2 : Cho (A, D(A)) là tốn tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh trên không
gian Banach X0 . Nếu B là toán tử bị chặn trên X1A := (D(A), ∥ · ∥1 ), thì A + B với
miền D(A + B) = D(A) sinh nửa nhóm liên tục mạnh trên X0 .
Hệ quả 1.3 : Cho hai nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh A và
(S(t))t≥0 với tốn tử sinh C trên khơng gian Banach và giả sử rằng

C =A+B
với bất kì B ∈ L(X). Thì

∫

t

T (t − s)BS(s)xds

S(t)x = T (t)x +

(IE)

0

với mọi t ≥ 0 và x ∈ X.
Nếu thay hàm ξx ở trên bằng
ηx (s) := S(s)T (t − s)x
và lập luận tương tự, chúng ta thu được phương trình tích phân dương tự
∫ t
S(t)x = T (t)x +
S(s)BT (t − s)xds
0

với x ∈ X và t ≥ 0.
Cả hai công thức(IE) và (IE ∗ ) được gọi là công thức biến thiên hằng số.
13

(IE ∗ )


Với một không gian Banach chúng ta xét không gian vector
X := C(R+ , Ls (X))
và định nghĩa tích chập của hai hàm F, G ∈ X bởi
∫ t
(F ∗ G)(t)x :=
F (t − s)G(s)xds

(1.5)

0

với x ∈ X và t ≥ 0, ∗ : X × X → X.
Bổ đề 1.4 : Cho F, G ∈ X các khẳng định sau là đúng
(i) Nếu F là liên tục chuẩn (F (t) là toán tử compact với t > 0) trên (0, ∞), thì F ∗ G
và G ∗ F là liên tục chuẩn trên (0, ∞).
(ii) Nếu F là liên tục chuẩn trên (α, ∞) và G là liên tục chuẩn trên (β, ∞), thì F ∗ G
và G ∗ F là liên tục chuẩn trên (α + β, ∞).
Chứng minh.
(i) Cho t > 0, h > 0 và x ∈ X. Thì chúng ta có
lim ∥ F ∗ G(t + h)x − F ∗ G(t)x ∥
h↓0
∫ t

∫ t
= lim
(F (t + h − s) − F (t − s))G(s)xds +
F (t + h − s)G(s)xds
h↓0
0
0
∫ t
∥ F (t + h − s) − F (t − s) ∥ sup ∥ G(τ ) ∥ · ∥ x ∥ ds
≤ lim
h↓0

0

∫

sup ∥ F (τ ) ∥ sup ∥ G(τ ) ∥ · ∥ x ∥ ds = 0

+ lim
h↓0

τ ∈[0,t]

t+h

t

τ ∈[0,t]

τ ∈[0,t]

với ∥ x ∥≤ 1. Vì vậy, ánh xạ t → F ∗ G(t) là liên tục phải trong toán tử topo đều với
t > 0. Tương tự chúng ta có thể thấy nó cũng liên tục trái. Chúng ta dùng
∫ t
∫ t
G(t − s)F (s)xds =
G(s)F (t − s)xds
0

0

Điều này chứng minh tính liên tục chuẩn.
(ii) Với t > α + β, 0 < h < min{t − α − β, α} và x ∈ X. Thì chúng ta có
∫ t
(F (t + h − s) − F (t − s))G(s)xds
∥ F ∗ G(t + h)x − F ∗ G(t)x ∥≤
0

+ sup ∥ F (τ ) ∥ sup ∥ G(τ ) ∥ · ∥ x ∥ ds
τ ∈[0,t]

=:I1 + I2

14

τ ∈[0,t]

(1.6)

I2 có xu hướng về 0 với ∥ x ∥ khi h ↓ 0. Vì vậy, chúng ta chỉ phải đánh giá I1
∫ t−α
I1 ≤
∥ F (t + h − s) − F (t − s) ∥ sup ∥ G(τ ) ∥ · ∥ x ∥ ds
0

∫

τ ∈[0,t]

t

(F (t + h − s) − F (t − s))G(s)xds =: I3 + I4

+
t−α

Chúng ta có I3 có xu hướng dần đều về 0 với ∥ x ∥ khi h ↓ 0, từ t + h − s > t − s > α
với s ∈ (0, t − α). Vì vậy đánh giá I4
∫ t−h
∫
F (t − s)G(s + h)xds −
I4 =
∫

t−α−h
t−α

≤

t

F (t − s)G(s)xds

t−α

∫

t−h

∥ F (t − s)G(s + h)x ∥ ds +

∥ F (t − s)(G(s + h) − G(s))x ∥ ds
t−α

t−α−h
∫ t

∥ F (t − s)G(s)x ∥ ds =: I5 + I6 + I7

+
t−h

I5 , I7 dần về 0 với ∥ x ∥ khi h ↓ 0. I6 cũng vậy do trước đó t − α > β. Vì vậy, F ∗ G là
liên tục chuẩn phải trên (α + β, ∞).
Tương tự F ∗ G là liên tục chuẩn trái.
Để chứng minh khẳng định trên G ∗ F , chúng ta dùng lại (1.6). Ta chỉ cần chứng minh
khẳng định với tính compact. Chúng ta lấy t > α + β, nếu 0 < s < t − α thì t − s > α
và nếu t − α < s < t thì s > β. Chúng ta chia nhỏ tích phân chập
∫ t

F ∗ G(t)x =
F (t − s)G(s)xds
0
∫ t−α
∫ t
=
F (t − s)G(s)xds +
F (t − s)G(s)xds
0

t−α

Chúng ta sử dụng Định lý: K : [a, b] → L(X, Y ) là hàm liên tục mạnh, nếu K(t) là
∫b
toán tử compact với mỗi t ∈ (a, b), thì a K(t)dt cũng là compact.

2.2

Định lý nhiễu của Desh-Schappacher

Chúng ta bắt đầu với việc xem xét nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên khơng
gian Banach X và nửa nhóm ngoại suy tương ứng (T−1 (t))t≥0 trên X−1 . Với mỗi t0 > 0
không gian
Xt0 := C([0, t0 ], Ls (X))
của tất cả ánh xạ liên tục mạnh từ [0, t0 ] vào L(X), được trang bị chuẩn
∥ F ∥∞ := sup ∥ F (r) ∥
r∈[0,t0 ]

15

là khơng gian Banach
Định nghĩa 2.1 : Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 và lấy B ∈ L(X). Với
t0 > 0 chúng ta gọi toán tử được xác định bởi
∫ t
V F (t)x :=
T (t − s)BF (s)xds
0

với x ∈ X, F ∈ C([0, t0 ], Ls (X)) và 0 ≤ t ≤ t0 là mơ tả tốn tử Volterra.
Trong không gian Xt0 ở trên, chúng ta xác định toán tử B ∈ L(X, X−1 ) toán tử Volterra
VB bởi

∫
F → VB F

t

T−1 (t − r)BF (r)dr ∈ L(X, X−1 )

với (VB F )(t) :=
0

với 0 ≤ t ≤ t0 và F ∈ Xt0 , trong đó tích phân hội tụ trong Xt0 . Bây giờ chúng ta giả
sử với mỗi F ∈ Xt0
(1) tập ảnh rg((VB F )(t)) được chứa trong X với tất cả t ∈ [0, t0 ],
(2) ánh xạ [0, t0 ] ∋ t → (VB F )(t) là liên tục mạnh trên X.
(3) VB xác định một toán tử bị chặn trên Xt0 thỏa mãn ∥ VB ∥< 1.
Chúng ta giới thiệu lớp nhiễu của Desh-Schappacher ( nhiễu của toán tử sinh A của
nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , tốn tử B thỏa mãn (1), (2), (3)), chúng ta định

nghĩa
StDS
:= {B ∈ L(X, X−1 ) : VB ∈ L(Xt0 )v ∥ VB ∥< 1}
0
Định lý 2.2
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên khơng gian Banach
X. Nếu B ∈ StDS
với bất kỳ t0 > 0 thì tốn tử
0
(A−1 + B)|X với miền D((A−1 + B)|X ) := {x ∈ X : A−1 x + Bx ∈ X}
sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh trên X.
Chứng minh.
Để ngắn gọn, chúng ta viết V := VB , vì giả sử tốn tử V thỏa mãn ∥ V ∥< 1,
I − V ∈ L(Xt0 ) là khả nghịch. Do đó chúng ta có thể định nghĩa toán tử - nhận giá trị
hàm
S(·) := (I − V )−1 T (·)
S(·) là nghiệm duy nhất trong Xt0 của phương trình
∫ t
S(t) = T (t) +
T−1 (t − r)BS(r)dr,
0

16

t ∈ [0, t0 ]

(2.1)