Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ
LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ
LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 9460112.01

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn

2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là những công trình của tơi được hồn thành dưới
sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS. TSKH Phạm Kỳ Anh.
Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác
giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là mới và chưa từng
được cơng bố trên bất kỳ cơng trình nào khác.

Hà Nội, tháng 01 năm
2020

Tác giả

Lê Văn Ngọc

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tâm huyết và tận tình của GS.
TSKH Nguyễn Khoa Sơn và GS. TSKH Phạm Kỳ Anh. Đầu tiên, tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đã đặt bài tốn,dạy dỗ, chỉ
bảo tận tình, chu đáo khơng chỉ trong q trình học tập, nghiên cứu khoa
học mà cịn trong cuộc sống suốt q trình thực hiện luận án.
Để hồn thành các bài báo khoa học, bên cạnh sự giúp đỡ của các GS

hướng dẫn và đồng tác giả PGS. TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án đã
nhận được sự hỗ trợ và động viên của GS Trần Vũ Thiệu, PGS. TSKH Vũ
Hoàng Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười.
Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, tập thể các
Thầy Cơ giáo trong bộ mơn Tốn học Tính tốn-Tốn ứng dụng, Xêmina bộ
mơn Tốn học Tính tốn- Tốn ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận
lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong suốt quá trình
học tập và làm luận án.
Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa,
các Thầy Cơ giáo bộ mơn Tốn và đồng nghiệp trong Khoa Cơ bản 1, Học
viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên, tạo điều kiện và
giúp đỡ trong công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, GS. TS Đặng
Quang Á, GS. TS Cung Thế Anh, PGS. Nguyễn Minh Mẫn, PGS. TS Lê Văn
Hiện, PGS. TS Tạ Duy Phượng, PGS. TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn
Trung Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hồi đã đọc luận án đóng góp nhiều
ý kiến để tác giả hoàn thiện luận án tốt hơn.
ii


Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp về tốn (VIASM)
đã tạo điều kiện, giúp đỡ khơng chỉ bố trí nơi làm việc, hồn thiện bài báo
cùng với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà còn hỗ trợ kính phí nghiên cứu
khoa học thơng qua thưởng cơng trình cho chính bài báo vào năm 2020.
Bên cạnh đó tơi xin cảm ơn các anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng
nghiệp và những người quan tâm tới luận án đã chia sẻ, động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập và làm nghiên cứu sinh.
Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới những người thân của

mình: bố, mẹ, vợ, con và những người thân trong gia đình đã ln sát cánh,
chia sẻ và động viên để tơi cố gắng và hồn thành tốt luận án.

iii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
1.2
1.3

Vectơ và ma trận . . . . . . . . . .
Bài toán ổn định Lyapunov . .
Bài toán ổn định vững các hệ
1.3.1 Tính ổn định vững của h
tính . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tính ổn định vững của h
tính có trễ . . . . . . . . .
Kết luận chương 1 . . . . . . . . .

1.4

Chương 2. TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN

TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ
2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính . . . . . . . . . 34
2.1.1 Tính ổn định vững của hệ tuyến tính: Phương pháp
hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.2
Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương
pháp hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3
Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách
tiếp cận bằng nguyên lý so sánh nghiệm . . . . . . . . . . 45
1


2.2 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ
2.2.1
2.2.2
2.3 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3. TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ
CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN
HỒN
3.1 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc
chuyển tuần hồn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần
hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần
hoàn chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển
mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch tuyến tính
với quy tắc chuyển tuần hồn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
KẾT LUẬN CHUNG
DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN

ĐẾN LUẬN ÁN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

2


R, R+
N
C
C+
Z
ı
n
T
K
n
K
rK

Hn
+
Hn
Rez
N

Kn

m

+

Rn

m

I
kxk
x y
A B
s
S
det A
l(A)
m(A)
A

>

A
lmax(A)


3


lmin(A)
s(A)
smax(A), smin(A)
r(A)

M(A)
kAk
A
n
C([a, b], K )

BV([a, b], K
NBV([
QLF
CQLF
FDEs

p q

Tập các hàm có biến phân giới nội trên đoạn [a,

)

h, 0], K

p q

b] trong K
)

pq

pq

Tập các hàm thuộc BV([a, b], K ) và thỏa mãn

h(q) = h(a) = 0, với q a và h(q) = h(b), với q b
Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov
functions)
Hàm Lyapunov tồn phương chung (common
quadratic Lyapunov functions)
Phương trình vi phân hàm (functional
differential equations)

4


MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính các hệ
động lực được bắt đầu nghiên cứu một cách hệ thống từ những năm cuối
thế kỷ XIX bởi nhà toán học Nga A.M. Lyapunov cho đến nay vẫn đang phát
triển sơi động trong Tốn học và trở thành bộ phận không thể thiếu trong lý
thuyết hệ thống và ứng dụng.
Đến những năm 60 của thế kỷ XX cùng với sự phát triển của lý thuyết
điều khiển người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều
khiển hay còn gọi các bài tốn ổn định hóa các hệ điều khiển.
Các bài toán ổn định và điều khiển cho hệ chuyển mạch được các nhà
nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại đây tiêu
biểu như, Molchanov và Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten và Narendra, 2002 (
[69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek,ă 2004 ( [24]); Lin và Antsaklis, 2005
( [43])...(xem các bài tổng quan về ổn định và điều khiển của hệ chuyển mạch
( [44], [68])). Trong nước, một số tác giả cũng đã quan tâm nghiên cứu về
ổn định và điều khiển hệ chuyển mạch như V.N. Phat và cộng sự, 2006 (
[63]); P.K. Anh và P.T. Linh, 2017 ( [5]).

Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, chẳng hạn hệ
thống cơ khí, ngành cơng nghiệp ơ tơ, điều khiển máy bay, chuyển đổi năng
lượng (xem trong các cuốn sách Liberzon 2003 [41], Sun và Ge 2011 [71]).
Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ
con thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó.
Dưới biểu diễn toán học, một hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục được
mơ tả bằng phương trình vi phân dạng
n

x˙ = fs(x), t 0, x(t) 2 K , s 2 S,
trong đó K = R hoặc K = C, N := f1, 2, . . . , N g tập chỉ số, S là tập hợp các
hàm hằng từng khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng
5


n

thái), s : [0, +¥) K ! N gọi là tín hiệu chuyển mạch hoặc luật chuyển mạch.
Trong trường hợp s là hàm phụ thuộc thời gian thì s thường được giả thiết
liên tục phải. Ứng với hệ chuyển mạch (1) ta có N hệ con dạng
x˙ = fk(x), k 2
trong đó F := f fk(x) : k 2 Ng là một họ hữu hạn các trường vectơ liên tục
Lipschitz.
Một trong các bài toán quan trọng nhất khi nghiên cứu hệ chuyển mạch là
tìm các điều kiện để một hệ chuyển mạch ổn định với bất kỳ luật chuyển mạch
nào hoặc có thể ổn định hóa được bởi một luật chuyển mạch thỏa mãn các
ràng buộc cho trước. Các kết quả về bài tốn này đã được trình bày trong các
bài báo tổng quan (xem Shorten [68] và cộng sự, Lin và Antsaklis [44]). Các
phương pháp được sử dụng chủ yếu là phương pháp hàm Lyapunov, bất đẳng

thức ma trận tuyến tính (LMI) và đại số Lie. Dưới đây chúng tôi xin dẫn ra một
vài kết quả tiêu biểu cho trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính.

Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với luật chuyển mạch phụ thuộc thời gian
n

trong K dạng
n

x˙(t) = As(t)x(t), t 0, x(t) 2 K , s 2 S,
nn

trong đó As(t) 2 A := fAk 2 K , k 2 N g, t 0, là tập hữu hạn cho trước các
ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ chuyển
mạch (3) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch nếu tất cả các hệ con
n

x˙(t) = Ak x(t), t 0, x(t) 2 K , k 2
có hàm Lyapunov toàn phương chung (gọi tắt là CQLF) dạng V(x) = x Px, P
là ma trận Hermit xác định dương (xem [41]). Nói cách khác, tồn tại ma trận
Hermit xác định dương P thỏa mãn hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính:
Ak P + PAk < 0, k = 1, 2, . . . , N,
trong các trường hợp khi tất cả các ma trận A k của hệ con đều ổn định Hur-witz
(tức là tất cả các giá trị riêng của chúng nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng phức)
và giao hốn từng đơi một (được đưa ra bởi Narendra và Bal-akrishnan [57]) hoặc
chuẩn tắc (xem Zhai và cộng sự [76]) hoặc cùng đưa được về dạng ma trận tam
giác trên (tức là tồn tại một ma trận không suy biến T
6

1

cấp n sao cho tất cả các ma trận T AkT, k 2 N đều là ma trận tam giác trên,
xem Mori và cộng sự [55]) và các điều kiện đại số dựa trên đại số Lie tạo
bởi ma trận hệ con Ak, k 2 N (xem Agrachev và Liberzon [4]).Tuy nhiên đây
chỉ là các điều kiện đủ và một điều kiện cần và đủ để hệ chuyển mạch tuyến
tính ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch đã được Monchanov và
Pyatnitskiy (xem [56]) đưa ra đó là sự tồn tại hàm Lyapunov V(x) chung,
trong đó V là hàm lồi chặt và thuần nhất bậc 2 đối với biến x.
Bên cạnh hướng nghiên cứu trên về hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định
vững các hệ khơng chuyển mạch và không chắc chắn hoặc chứa tham số
nhiễu đã nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lý thuyết điều khiển hệ
thống những thập kỷ qua.
Với hệ ổn định tiệm cận x˙(t) = A 0x(t), t 0, người ta đo độ vững cho tính
ổn định tiệm cận đó bằng khái niệm bán kính ổn định, được định nghĩa là số
d0 0 lớn nhất sao cho hệ nhiễu x˙(t) = (A0 + D)x(t), t 0, vẫn ổn định tiệm cận
n

với bất cứ nhiễu D 2 K thỏa mãn kD k < d0. Trong trường hợp K = C, các
công thức và thuật tốn tính bán kính ổn định phức được Hinrichsen và
Pritchard đưa ra năm 1986 (xem [33]). Bài toán tương tự cho bán kính ổn
định thực (tức là khi K = R) phức tạp hơn và được nghiên cứu những năm
1995 bởi Qiu và cộng sự [64].
Về mặt hình học, bán kính ổn định là khoảng cách từ hệ gốc ổn định đến
tập tất cả các hệ không ổn định. Xuất phát từ quan điểm lý thuyết cũng như
thực tiễn, vấn đề mơ tả và tính tốn bán kính ổn định có tầm quan trọng rất
lớn. Do đó, đã thu hút nhiều các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu,
đáng chú ý đối với các nhiễu tổng quát hơn, ví dụ nhiễu có cấu trúc A0
N

A0 + DDE và đa nhiễu A0 A0 + å DiDi Ei cho nhiều hệ động lực tuyến
i=1

tính, bao gồm hệ khơng dừng và hệ có trễ, hệ ẩn, hệ dương cũng như hệ
tuyến tính trong không gian vô hạn chiều, trong cả thời gian liên tục và rời
rạc. Bài toán ổn định vững của các hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu được
viết có hệ thống trong cuốn chuyên khảo của Hinrichsen và Pritchard năm
2005 (xem [35]), ngoài những kết quả thú vị về tốn học cịn có một danh
mục tài liệu tham khảo phong phú. Ngoài ra, một số kết quả ổn định vững
của hệ không dừng đã được nghiên cứu (xem [16], [30], [37], [45]).
Một câu hỏi đặt ra liệu có thể xác định thước đo độ vững (bán kính ổn
định) cho hệ chuyển mạch tuyến tính hay khơng? Hơn nữa, làm thế nào để
7


mơ tả và tính tốn được bán kính ổn định đó? Theo chúng tơi, câu hỏi như vậy
cho đến nay chưa được giải quyết, mặc dù các khía cạnh phân tích ổn định
vững của lớp hệ chuyển mạch đã được nghiên cứu bởi một số nhóm tác giả
như Liberzon; Y. Sun; Letel; Bagherzadeh; Zhang và các cộng sự (xem [6],
[28], [41], [71], [75], [77]). Luận án này sẽ trả lời một phần cho các câu hỏi trên.

Phần đầu Chương 2, chúng tơi đưa ra định nghĩa bán kính ổn định cho
hệ chuyển mạch tuyến tính (3) với quy tắc chuyển bất kỳ giả thiết ma trận
của các hệ con (4) chịu nhiễu Ak Ak + DkDk Ek, k 2 N và sẽ thiết lập một số
cận trên và cận dưới cho bán kính ổn định. Trong một số trường hợp đặc
biệt, các cận này đưa ra cơng thức bán kính ổn định cho một số lớp hệ
chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu khơng có cấu trúc. Chúng tơi muốn nhấn
mạnh rằng hầu hết các cơng trình đã biết về ổn định vững của hệ chuyển
mạch luôn giả thiết ma trận nhiễu D k bị ràng buộc. Các kết quả của luận án
khơng u cầu giả thiết nói trên, do đó đòi hỏi cách tiếp cận khác biệt.

Tiếp theo, Chương 2 của Luận án nghiên cứu bài toán ổn định vững đối
với các hệ chuyển mạch tuyến tính được mơ tả bởi phương trình vi phân có
trễ. Trong đó, tốc độ thay đổi của trạng thái không chỉ phụ thuộc vào trạng
thái hiện tại của hệ thống mà còn phụ thuộc vào trạng thái trong quá khứ.
Cho đến nay, hầu hết các cơng trình trong lĩnh vực này đã tập trung vào
phân tích độ ổn định cho các hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng
0

1

x˙(t) = A s(t)x(t) + A s(t)x(t h(t)), t 0, s 2 S,
trong đó h(t) là hàm trễ phụ thuộc thời gian với h > 0 cho trước thỏa mãn
0
h(t) h, t 0 (xem [48], [49]). Thơng thường, việc nghiên cứu tính ổn định
của các hệ có trễ bằng phương pháp hàm Lyapunov tồn phương chung
(CQLF) cổ điển đã được thay bằng các phương pháp hàm LyapunovKrasovski (xem, [38, 54, 73]). Để xây dựng hàm Lyapunov-Krasovski chung
cho hệ có trễ dạng tổng quát là rất khó. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ
chuyển mạch tuyến tính dương có trễ, người ta có thể xây dựng được hàm
Lyapunov đồng dương tuyến tính chung (common linear co-positive Lya>

n

punov function) (tức là V(x) = x x, x 2 R , x 0) (xem [46, 50, 72]). Ngồi ra,
các tính chất phổ của ma trận không âm và kết quả lý thuyết về hệ dương
(xem [9,18,25]) cũng được sử dụng hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định
của các hệ chuyển mạch tuyến tính dương (xem [7,19,20,53]).
Phần cuối Chương 2, dựa trên cùng cách tiếp cận trên, chúng tôi đưa ra
8

một số tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng
qt được mơ tả bởi phương trình vi phân hàm (FDEs) tuyến tính
0

x˙(t) = A s(t)x(t) + Ls(t)xt, t 0, s 2 S,
trong đó, với mỗi t 0, xt(q) := x(t + q), q 2 [ h, 0] và Ls(t) là tốn tử tuyến tính
n
n
bị chặn từ C([ h, 0], R ) vào R . Các tiêu chuẩn thu được sẽ bao gồm
nhiều kết quả đã biết (liên quan đến sự ổn định tiệm cận của các hệ chuyển
mạch trễ rời rạc và trễ phân phối) như là các trường hợp đặc biệt. Áp dụng kết
quả này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến
0

tính có trễ tổng qt dạng (6) với luật chuyển bất kỳ khi dữ liệu của hệ A s, Ls
chịu nhiễu cấu trúc và đưa ra một số ước lượng cho các bán kính ổn định.
Song song với hướng nghiên cứu bài toán ổn định vững hệ chuyển mạch với
quy tắc chuyển bất kỳ, bài toán ổn định vững đối với các lớp tín hiệu chuyển mạch
thỏa mãn các điều kiện hoặc ràng buộc, đặc biệt là các hệ chuyển mạch tuần
hoàn cũng được nghiên cứu nhiều. Trong thực tế, hệ chuyển mạch tuần hồn
đóng vai trò quan trọng, chẳng hạn như trong mạch điện, bộ điều khiển, bộ lọc
chuyển đổi và hộp số xe đã được đưa ra bởi Bolzern & Colaneri; Tokarzewski
(xem [10,74]). Mô hình tốn học của hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển tuần
hồn được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân

8x˙
<

(t) = As(ti 1)x(t); ti 1 + ‘T t < ti + ‘T; t t0; ‘ = 0, 1, . . .

:x(t0) = x0; i 2 m.
Hệ (7) có thể được biểu diễn dưới dạng hệ chuyển mạch (3) với tín hiệu
chuyển mạch s là hàm liên tục phải, tuần hoàn chu kỳ T, hằng từng khúc từ
tập [t0, +¥) vào tập chỉ số N và xác định bởi
s(t) = s(ti 1) với t 2 [ti
trong đó As(ti 1) 2 A := fAk
t0 + T. Chúng tôi xin dẫn ra một số cơng trình nghiên cứu về hướng này
(xem [5, 13–15, 24, 68]), trong đó phân tích tính ổn định và ổn định hóa
được của các hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục hoặc thời gian
rời rạc tuần hoàn.
Đến năm 2009, Liberzon và Trenn (xem [42]) nghiên cứu và đưa ra kết
quả về hệ chuyển mạch suy biến dạng
Es(t)x˙(t) = As(t)x(t), t 0, s 2 S,
9


trong đó, Es(t) là tập hữu hạn các ma trận suy biến.
Trong Chương 3, luận án đã đưa ra khái niệm bán kính ổn định hệ
chuyển mạch tuyến tính (7) với quy tắc chuyển tuần hoàn và thiết lập một
số ước lượng bán kính ổn định dưới tác động của nhiễu lên cả hệ thống và
các thời điểm chuyển mạch.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa
được vững của các lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháp
hàm Lyapunov toàn phương chung nhằm đưa ra các tiêu chuẩn ổn định mũ
và sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững và ổn định hóa được vững
của hệ.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến
tính thời gian liên tục với luật chuyển phụ thuộc thời gian chịu nhiễu cấu trúc
affine sau đây:
Hệ chuyển mạch tuyến tính
x˙(t) = As(t)x(t), t
As(t) 2 A := fAk 2 K

0, s 2 S,
n n

, k 2 Ng, t

0.

Hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc
x˙(t) = Aes(t)x(t), t

0, s 2 S,
l

Aes(t) 2Ae:= fAk +DkDk Ek, Dk 2 K k

qk

, k 2 Ng, t

0.

Hệ chuyển mạch có trễ tổng qt được mơ tả bởi phương trình vi
phân hàm tuyến tính

0
x˙(t) = A s(t)x(t) +

Z 0

d[hs(t)(q)]x(t + q), t

0, s 2 S.

h

Hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát chịu nhiễu cấu trúc
Z 0
0
x˙(t) = Ae s(t)x(t) +

d[hes(t)(q)]x(t + q), t
h

10

0, s 2 S,


trong đó
0

A
h

()

2

s(t)

A

e

s( t)

e

2e

Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn
8
2 m; ‘ = 0, 1, . . . ,
As(ti 1) 2 A := fAk 2 R

n n

, k 2 Ng; t0 < t1 < . . . < tm := t0 + T.

Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu
cấu trúc hệ thống
8

s(ti 1)

+D

s(ti 1)

D

E

s(ti 1) s(ti 1)

)x(t); t + ‘T t < t + ‘T,
i1

i

:x(t0) = x0;

t t0; i 2 m; ‘ = 0, 1, . . . .
Hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ
thống và thời điểm chuyển mạch
8
>
<
>
>

:

x˙(t) = (A

s(ti 1)

G

+D

E

s(ti 1)Ds(ti 1) s(ti 1)

ti 1 + dti 1 + ‘T

)x(t); t t ,
0

>

t < ti + dti + ‘T; i 2 m; ‘ = 0, 1, . . . ,

x(t0) = x0.

4. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp của lý thuyết ổn định phương trình vi
phân (lý thuyết hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, lý thuyết
Floquet), các phương pháp giải tích, giải tích hàm và đại số tuyến tính (lý
thuyết Perron -Frobenius, Định lý Hahn-Banach, biểu diễn Riesz, ...).

5. Kết quả của luận án
Luận án nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa được
vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính và đã thu được các kết quả chính sau:
11


Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc của hệ chuyển mạch
tuyến tính với tín hiệu chuyển bất kỳ. Đánh giá bán kính ổn định của
hệ dựa trên hàm Lyapunov toàn phương chung.
Chứng minh một số điều kiện đủ về ổn định mũ cho hệ chuyển mạch
tuyến tính có trễ tổng qt với tín hiệu chuyển bất kỳ được mơ tả bởi
phương trình vi phân hàm và sử dụng điều kiện thu được để đánh giá
độ ổn định vững của hệ khi các ma trận chịu nhiễu cấu trúc affine.
Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc, đánh giá các cận của bán
kính ổn định và ổn định hóa được vững cho hệ chuyển mạch tuyến
tính với quy tắc chuyển tuần hoàn.
Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại: - Xêmina bộ mơn
Tốn học tính tốn và Tốn ứng dụng, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
- Các hội thảo Tối ưu và Tính tốn khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội,
23-25/4/2015), lần thứ 14 (Ba Vì, Hà Nội, 21-23/4/2016), lần thứ 15 (Ba Vì,
Hà Nội, 20-22/4/2017) và lần thứ 17 (Ba Vì, Hà Nội, 18-20/4/2019).
- The second Vietnam International Applied Mathematics Conference,

HCM City, 12-2017.
- Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 8-2018.
- European Control Conference, Saint Petersburg, Russia, May 12-15, 2020.

Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Applied

Math-ematics and Computation (xem [CT1]), IET Control Theory &
Applications (xem [CT2]), tiền ấn phẩm (xem [CT3]).

6. Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, danh mục các cơng trình
cơng bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một
số khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn, chuẩn tốn tử tuyến tính và
một số kết quả bổ trợ khác; lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình
vi phân tổng qt, hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ chuyển mạch tổng
quát cũng như hệ chuyển mạch tuyến tính; bài tốn ổn định vững các hệ

12


chịu nhiễu đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình vi
phân có trễ.
Chương 2. Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy
tắc chuyển mạch bất kỳ. Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov chúng tôi
thiết lập các điều kiện đủ ổn định mũ. Tiếp theo, chúng tôi sử dụng điều kiện
ổn định mũ thu được đánh giá độ ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến
tính và hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ thơng qua khái niệm bán kính ổn
định có cấu trúc.
Chương 3. Tính ổn định và ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch
tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn. Chúng tơi đưa ra định nghĩa bán kính
ổn định của hệ chuyển mạch chịu nhiễu cấu trúc hệ thống hoặc nhiễu cả hệ
thống và các thời điểm chuyển mạch. Từ đó, chúng tơi đưa ra đánh giá cận
trên/dưới cho các bán kính ổn định. Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm, các
định lý về ổn định hóa được nhanh và ổn định hóa được chậm của hệ chuyển
mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống.

13


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày lại một số khái niệm và kết quả
đã biết về lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung, các bài tốn về
ổn định vững của hệ tuyến tính và một số kết quả bổ trợ sử dụng trong luận
án (xem [1,2,17,24,35,41,71]).

1.1 Vectơ và ma trận
Cho các số nguyên dương l, q và tập hợp tất cả các ma trận cỡ l q với
lq
các phần tử trong K (K = C hoặc K = R) được kí hiệu bởi K . Đối với hai
ma trận thực cỡ l q là A = (a ij) và B = (bij) bất đẳng thức A B có nghĩa là aij
bij với i 2 l := f1, 2, . . . , lg, j 2 q := f1, 2, . . . , qg. Đặc biệt nếu a ij > bij với i 2
l, j 2 q thì ta viết A B thay cho A B. Ma trận
l q

được gọi là ma trận không âm nếu aij 0 với mọi i 2 l, j 2 q
(tương tự chúng ta cũng phát biểu cho các vectơ). Ma trận A = (aij) được
>
gọi là đối xứng nếu A = A = (aji), ma trận chuyển vị của A và gọi là Hermit
nếu A = A = (a¯ji), ma trận phức liên hợp chuyển vị của A. Với
>
m
lq
x = (x1, x2, ..., xm) 2 R và P = (pij) 2 R ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của

>
vectơ và ma trận như sau jxj = (jx1j, jx2j, ..., jxmj) và jPj = (jpijj). Cho trước hai
ma trận C và D (với kích thước phù hợp) chúng ta kiểm tra được
A

= (aij) 2 R

jC + Dj

jCj + jDj và jCDj

jCjjDj.

Định nghĩa 1.1 (xem [17]). Cho X là không gian vectơ trên trường K. Ánh
xạ k k : X ! R được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i)
ii)

kxk 0, 8x 2 X, kxk = 0 , x = 0;
klxk = jljkxk, 8x 2 X, 8l 2 K;
14


iii)

kx + yk kxk + kyk, 8x, y 2 X.

Giá trị kxk được gọi là chuẩn của vectơ x. Không gian vectơ X cùng với
chuẩn k k được gọi là một khơng gian định chuẩn và kí hiệu (X, k k). Một
không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.

n

Chẳng hạn như K là một không gian Banach với một trong các chuẩn sau

x

p

k

=

k
>

n

trong đó x = (x1, x2, ..., xn) 2 K và 1

p < ¥.

n

Một chuẩn k k trên K được gọi là đơn điệu nếu jxj jyj thì kxk kyk với x, y
n
2K .
Từ định nghĩa trên chúng ta thấy rằng k k là một chuẩn đơn điệu nếu và
n
n
chỉ nếu kxk = kjxjk với mọi x 2 R . Chú ý chuẩn k kp trên K với 1 p ¥ là đơn

điệu.
n

Trên khơng gian K mọi chuẩn vectơ là tương đương, có nghĩa là, nếu k
n

k1 và k k2 là các chuẩn xác định trên cùng một khơng gian vectơ K khi đó tồn
n

tại các số dương a và b sao cho akxk1 kxk2 bkxk1 với mọi x 2 K (xem [36]).

Sau đây chúng ta đưa ra một số khái niệm về ma trận. Cho ma trận
A

nn

2K

ta định nghĩa và kí hiệu hồnh độ phổ, bán kính phổ của A lần lượt

là

m(A) := maxfRel : l 2 l(A)g,
r(A) := maxfjlj : l 2 l(A)g,
trong đó l(A) := fz 2 C : det(zI A) = 0g là phổ của ma trận A (tập hợp tất cả
nn

>

các giá trị riêng của A). Nếu ma trận A 2 K

là ma trận đối xứng (A = A )
hoặc Hermit (A = A ) thì các giá trị riêng của A đều là số thực.
Định nghĩa 1.2. Một ma trận thực cấp n được gọi là ma trận Metzler nếu
các phần tử nằm ngồi đường chéo chính đều khơng âm. Điều đó có nghĩa
nn

là ma trận A := aij 2 R , i, j 2 n được gọi là ma trận Metzler nếu a ij 0 với
mọi i, j 2 n, i 6= j.
Hơn nữa chúng ta đưa ra khái niệm ma trận Metzler hóa kí hiệu M(A)
được định nghĩa là

M
15


Nói cách khác, ma trận A 2 R

n n

là ma trận Metzler khi và chỉ khi tồn tại số

n n

0 sao cho A + aI 2 R + . Từ đó suy ra phổ của ma trận A sẽ nhận được
bằng cách dịch chuyển sang trái phổ của ma trận khơng âm A + aI. Do đó
các ma trận Metzler có nhiều tính chất phổ tương tự như ma trận khơng âm,
trong đó có định lý nổi tiếng Perron-Frobenius.
a

Định lý 1.1 (Định lý Perron-Frobenius ). Giả sử A 2 R

nn

là ma trận Metzler

và t 2 R. Khi đó
n
i) m(A) là một giá trị riêng của A và tồn tại một vectơ không âm x 2 R +,

x 6= 0 sao cho Ax = m(A)x.

n
ii) Giả sử a 2 R cho trước. Khi đó, tồn tại một vectơ khơng âm x 2 R , x

6= 0, sao cho Ax ax khi và chỉ khi m(A) a.

iii) (tI

A)

1

tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > m(A).

Từ định lý trên suy ra kết quả sau đây sẽ được sử dụng nhiều trong
Chương 2 của luận án.
Định lý 1.2. Cho A 2 R
tương đương:

nn

là ma trận Metzler. Những điều kiện sau đây là

i) m(A) < 0.

n
ii) Tồn tại p 2 R +, p 0 sao cho Ap 0.

iii) A khả nghịch và A

1

0.

Chứng minh. Thật vậy, chúng ta có i) tương đương iii) bằng cách lấy t = 0
1

theo Định lý 1.1 mục iii). Nếu A khả nghịch và A
>

1

0 thì p := A 1n với 1n :=

(1, 1, , 1) chúng ta nhận được p 0 và Ap 0 từ iii) suy ra ii). Cuối cùng giả sử
>

rằng ii) đúng. Vì A cũng là ma trận Metzler, theo Định lý 1.1 i) tồn tại x 0, x
>

> >

>

>

>

6= 0 sao cho x A = m(A )x = m(A)x . Do m(A)x p = x Ap < 0 và m(A) < 0
nên từ ii) suy ra i).
Dễ dàng chứng minh kết quả sau đây (xem [65]).
Bổ đề 1.1. Giả sử A 2 R

n n

n n

là ma trận Metzler, B 2 R +

jCj B ) m(A + C) m(A + B).
16

n n

và C 2 C

. Khi đó,


Định nghĩa 1.3. (Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M 2 K

q

lq

chuẩn

l

của tốn tử tuyến tính M : K ! K , x 7!Mx xác định bởi

kMk := max

kMxk

x6=0

kxk

= max kMxk
kxk=1

được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M, cảm sinh bởi cặp chuẩn vectơ
q

l

trên các không gian K và K .
q

l

Trên K và K được trang bị chuẩn k k1 thì chuẩn tốn tử của ma trận
M = (mij) 2 K

l q

l

được cho bởi kMk1 = max å jmijj (giá trị lớn nhất
q

1 j

q i=1

l

của tổng giá trị tuyệt đối của các cột) còn nếu K và K được trang bị chuẩn
q

k k¥ thì chuẩn tốn tử của M được cho bởi kMk¥ = max å jmijj (giá trị

q

1 i

l

l j=1

lớn nhất của tổng giá trị tuyệt đối các dòng) và nếu K và K được trang bị
k k2 thì chuẩn tốn tử của M được cho bởi kMk2 =
l
(
AA
max
l q
Cũng như chuẩn vectơ, mọi chuẩn toán tử của ma trận trên K đều
tương đương.
l
q
Giả sử K và K được trang bị các chuẩn đơn điệu khi đó chuẩn tốn tử
tương ứng k k của ma trận trên K

l q

)

có tính chất sau (xem [32])
l q

lq

P 2 K , Q 2 R+ , jPj Q ) kPk kjPjk kQ
Phần cuối mục này, chúng tơi trình bày một số bổ đề cần thiết để chứng
minh các kết quả chương 3 của luận án.
Bổ đề 1.2. Cho ma trận A 2 K

n n

A

và ma trận e được định nghĩa:

A

Khi đó ke k ke
Chứng minh. Đặt s1(A)

s2(A)

sn(A) và l1, l2, . . . , ln với

jl1j jl2j jlnj là các giá trị kỳ dị và giá trị riêng tương ứng của ma trận A 2 K
thấy (xem [8])

jl 1 j

kAk = s1(A) = kA Ak

1/2

= kAA k

1/2

.

nn

. Dễ


17


m

m

Hơn nữa, s1(A ) = jjA jj jjAjj
khác,
m

m

2

m

m

2

m

2 m

= s1 (A) do đó s 1(A ) s 1 (A). Mặt

m

2 m

s1[(A ) A ] = s 1(A )

2

m

m

s 1 (A) = [s 1(A)] = [s1(A A)] .

Do vậy
1

Thay A bằng e

Cho m ! ¥ và sử dụng tích Lie

chúng ta có
A

A

A

A

A

A

Vì (e ) = e nên ke k = ke k và s1(e ) = s1(e ).
Sử dụng công thức (1.4) ta tính được
2

A

A

A +A

A

s1 (e ) = s1[(e ) e ] s1(e

) = s1[(e

Do đó

Bổ đề được chứng minh.
Nhận xét 1.1. Nếu A 2 K

n n

là ma trận chuẩn tắc (tức là AA = A A) thì
A

k e k = ke

A+A
2

k.
n

Chứng minh. Thật vậy, với mọi vectơ v 2 K ta có

D
E D
E
keAvk2 = eAv, eAv = (eA) eAv, v

E

v = ke

A+A2
2

vk .

D
E D
E D
= eA eAv, v = eA +Av, v =
nn

Cho ma trận Hermit D 2 C . Ký hiệu lmax(D) là giá trị riêng lớn nhất của
T
ma trận D. Ta ln có lmax(D) = max v Dv (xem [8]). Hơn nữa, ta có bổ đề