Hàm suy rộng và nghiệm của một số lớp toán tử Elliptic tuyến tính

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Thầy
đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong
học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích
lệ để tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua những khó khăn
trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các
quý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành
luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Huyện Sơn Dương, tỉnh Tuyên
Quang, Phòng GD&ĐT Sơn Dương, Ban Giám hiệu trường THCS Văn
Phú - Sơn Dương - Tuyên Quang, Tổ Toán - Lý đã tạo mọi điều kiện
giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Trần Quang Trung
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Trong quá
trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Trần Quang Trung
Mục lục
Mở đầu vii
1 Một số kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2) . . . . . . 4
1.3.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1) . . . . . . . . 5
1.3.3 Hàm Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Hàm suy rộng 8
2.1 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.5 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.6 Đại số tích chập D

+
. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính . . . . . . 34
2.3.1 Nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Toán tử vi phân không dừng . . . . . . . . . . . . 39
iii
iv
3 Nghiệm của một số lớp toán tử elliptic tuyến tính 42
3.1 Toán tử với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Toán tử Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Toán tử Cauchy - Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Toán tử không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Kết luận 56

Tài liệu tham khảo 57
BẢNG KÍ HIỆU
N Tập các số tự nhiên
R Tập các số thực
C Tập các số phức
R
+
Tập các số thực không âm
R
n
Không gian Euclide n chiều
A Bao đóng của tập A
A

− lân cận của tập A
B(x
0
, r) Hình cầu mở tâm x
0
bán kính r
C
p
(Ω) Lớp hàm có đạo hàm đến cấp p liên tục trên miền Ω
C
∞
(Ω) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Ω
C
∞
0
(R

n
) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên R
n
và có giá compact
C
p
0
(R
n
) Tập các hàm trong C
p
(R
n
) có giá compact
D
k
Đạo hàm riêng cấp k
D Tập các hàm thử trên miền thích hợp
D(R
n
) Tập tất cả các hàm thử trên R
n
D

Không gian của tất cả các hàm suy rộng trên D(R
n
)
D

+

Lớp các hàm suy rộng trên D

(R
1
) và triệt tiêu với t < 0
F Phép biến đổi Fourier
F
−1
Phép biến đổi Fourier ngược
G(x, ξ) Hàm Green
Γ(s) Hàm Gamma
B(p, q) Hàm Beta
H
1,2
n
Hàm Hankel có bậc n
I
v
Hàm Bessel điều chỉnh loại 1 bậc v
J
v
Hàm Bessel loại 1
Y
v
Hàm Bessel loại 2
k Đa chỉ số k = (k
1
, , k
n
)

vi
K
v
Hàm Bessel điều chỉnh loại 2 bậc v
L(D) Toán tử vi phân tuyến tính
L
∗
Toán tử liên hợp
L

D,
∂
∂t

Toán tử vi phân không dừng
P Hàm, P
1
x
=
d
dx
ln |x|
S(x
0
, r) Mặt biên của hình cầu B(x
0
, r)
S
n
(1) Diện tích mặt của hình cầu đơn vị


=
2π
n
2
Γ(
n
2
)

S

(R
n
) Tập các hàm suy rộng trên S(R
n
), S

(R
n
) ⊂ D

(R
n
)
S[f(x
0
)] Hàm bước nhảy f tại x
0
u

∗
(x, ξ) Nghiệm cơ bản
x (= (x
1
, , x
n
)) một điểm trong R
n
; điểm miền
α Biến của phép biến đổi Fourier
δ(x, ξ) Hàm Delta Dirac
ξ Điểm nguồn
Ω Tập mở trong R
n
χ
A
(x) Hàm đặc trưng của một tập A
∇ gradient (= grad =

i
∂
∂x
+

j
∂
∂y
+

k

∂
∂z
)
∇
2
Laplace, =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
 Tích chập
F.G Tích vô hướng của hai vecto
F ×G Tích có hướng của hai vecto
dΩ Vi phân thể tích trên Ω
dS Vi phân diện tích mặt
 Kết thúc chứng minh
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ trực tiếp với
các bài toán vật lý. Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng

thường gặp trong vật lý đã dẫn đến một ngành mới là phương trình Vật lý
Toán vào giữa thế kỷ XVIII. Những người đặt nền móng cho ngành khoa
học này là J.D’ Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli
(1700-1782), J.Lagrange (1763-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poison
(1781-1840), J. Fourier (1768-1830). Các ý tưởng và phương pháp nghiên
cứu của họ khi xem xét các bài toán cụ thể của Vật lý Toán đã ảnh hưởng
rất lớn đến sự phát triển lý thuyết tổng quát phương trình đạo hàm riêng
vào cuối thế kỷ XIX.
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ mật thiết với
các ngành toán học khác như giải tích hàm và lý thuyết hàm, topo, đại
số, giải tích phức, phương trình vi phân. Lý thuyết phương trình đạo
hàm riêng sử dụng rộng rãi các khái niệm cơ bản, các tư tưởng và các
phương pháp của các lĩnh vực toán học trên, nó có ý nghĩa quan trọng
trong việc phát triển ngành Vật lý Toán.
Nhiều bài toán trong Vật lý Toán và toán ứng dụng dẫn đến bài toán
biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Một số bài toán có thể giải
được bằng các phương pháp thông thường của lý thuyết phương trình
đạo hàm riêng. Tuy nhiên mô hình toán của Vật lý lượng tử đòi hỏi một
vii
viii
lĩnh vực mới đó là hàm suy rộng, lý thuyết phân bố. Sự ra đời của lý
thuyết này làm nảy sinh khái niệm nghiệm cơ bản của toán tử vi phân.
Đó là nghiệm của toán tử vi phân khi vế phải là phiếm hàm Delta -
Dirac (nguồn là một điểm). Sự xuất hiện của các khái niệm này đã tạo
nên một bước ngoặt mới trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng cả
về mặt lý thuyết lẫn ứng dụng.
Với mong muốn được tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng và ứng dụng
của chúng đối với phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của
TS. Trần Văn Bằng, em đã chọn đề tài:
"Hàm suy rộng và nghiệm

của một số lớp toán tử elliptic tuyến tính"
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nghiệm của bài toán biên đối với toán tử elliptic tuyến
tính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu về lý thuyết hàm suy rộng.
• Nghiên cứu nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính.
• Nghiên cứu giải bài toán biên đối với một số toán tử elliptic tuyến
tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Hàm suy rộng, khái niệm, các phép toán, biến đổi Fourier, tích chập.
- Ứng dụng của hàm suy rộng đối với toán tử vi phân tuyến tính.
- Nghiệm cơ bản, nghiệm của bài toán biên.
ix
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích tổng hợp từ tài liệu.
- Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và phương trình đạo
hàm riêng.
6. Những đóng góp của đề tài
- Trình bày những vấn đề cơ bản của lý thuyết hàm suy rộng một
cách hệ thống.
- Trình bày khái niệm nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính.
- Tìm nghiệm cơ bản, từ đó tìm nghiệm của bài toán biên đối với
một số toán tử elliptic tuyến tính như các toán tử: Laplace, Helmholtz,
Cauchy-Riemann.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Toán tử vi phân
Trong luận văn này ta ký hiệu N = {0, 1, 2, } là tập các số tự nhiên,
R là tập các số thực, C là tập các số phức với đơn vị ảo

√
−1 = i, R
+
là
tập các số thực không âm, N
n
= {k = (k
1
, k
2
, , k
n
)|k
j
∈ N, j = 1, 2, }.
R
n
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
)|x
j
∈ R, j =
1, n


là không gian thực n-chiều.
Ký hiệu |x − y| = (
n

j=1
(x
j
− y
j
)
2
)
1
2
là khoảng cách giữa x và y trong R
n
.
B(x
0
, r) = {x : |x − x
0
| < r} là một hình cầu mở có tâm tại x
0
∈ R
n
bán kính r. S(x
0
, r) = {x : |x −x
0
| = r} là biên của mặt cầu B(x

0
, r).
S
n
(1) =
2π
n
2
Γ(
n
2
)
là diện tích mặt cầu đơn vị trong R
n
. ε-lân cận của tập
A ⊂ R
n
là: A
ε
=
∪
x∈A
B(x, ε).
Ta gọi mỗi phần tử k = (k
1
, k
2
, , k
n
) ∈ N

n
là bộ n-chỉ số (hay đa chỉ
số) với bậc |k| = k
1
+ k
2
+ + k
n
, với mỗi đa chỉ số k toán tử vi phân
được xác định bởi:
D
k
=
∂
|k|
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
=
∂
k
1
+k
2
+ +k

n
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
, x = (x
1
, x
1
, , x
n
) ∈ R
n
(1.1.1)
với quy ước nếu có thành phần nào của k bằng 0 thì ta hiểu là không có
đạo hàm theo biến đó. Hơn nữa:
D
k
u(x) =
∂
|k|
u(x
1
, , x
n
)

∂x
1
k
1
∂x
n
k
n
, D
0
u(x) = u(x),
1
2
D = (D
1
, , D
n
), D
i
=
∂
∂x
i
; với i = 1, n.
Với các đạo hàm cấp thấp thì ta có thể viết u
x
i
, u
x
i

x
j
. Hơn nữa ta sẽ
sử dụng x
k
= x
1
k
1
x
n
k
n
và k! = k
1
! k
n
!, với n = 2 hoặc n = 3 ta viết
x, y, z thay cho x
1
, x
2
, x
3
. Một toán tử vi phân tuyến tính L có cấp p của
n biến độc lập x
1
, , x
n
được ký hiệu

L ≡ L(D) =

|k|≤p
a
k
(x)D
k
, (1.1.2)
trong đó a
k
(x) = a
(k
1
k
n
)
(x
1
x
n
) là các hàm đã cho. Chẳng hạn với toán
tử vi phân cấp hai tổng quát của hai biến số là:
L =

|k|≤2
a
k
(x)D
k
=


|k|=0
a
k
(x)D
k
+

|k|=1
a
k
(x)D
k
+

|k|=2
a
k
(x)D
k
= a
0,0
+ a
1,0
∂
∂x
1
+ a
0,1
∂

∂x
2
+ a
2,0
∂
2
∂x
1
2
+ a
1,1
∂
∂x
1
∂x
2
+ a
0,2
∂
2
∂x
2
2
.
Toán tử liên hợp L
∗
của L được định nghĩa một cách hình thức là
L
∗
v =


|k|≤p
(−1)
|k|
D
k
(a
k
v). (1.1.3)
Nếu a
k
(x) = a
k
là hằng số thì L
∗
(D) = L(−D). Một toán tử được gọi là
tự liên hợp nếu L = L
∗
. Ví dụ toán tử Laplace ∇
2
là tự liên hợp.
1.2 Công thức Green
Nếu không có gì đặc biệt ta ký hiệu Ω là một tập mở của R
n
.
Cho Ω là một miền bị chặn trong R
n
giới hạn bởi một mặt cong ∂Ω
định hướng, trơn từng mảnh và cho w, f là các hàm vô hướng, G là hàm
vecto thuộc lớp C

1
(Ω). Khi đó ta có:
Định lý Gradien:

Ω
∇fdΩ =

∂Ω
fndS;
3
Định lý phân kỳ:

Ω
∇.GdΩ =

∂Ω
n.GdS;
Định lý Stokes:

Ω
∇ × GdΩ =

∂Ω
G.tdS;
trong đó n là vecto pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω và t là vecto tiếp
xúc tại điểm trên ∂Ω. Nếu G = (G
1
, G
2
) là một trường vecto khả vi liên

tục trên một miền chứa Ω ∪∂Ω ⊂ R
2
, ∂Ω là một đường cong đóng trơn,
thì

Ω

∂G
2
∂x
1
−
∂G
1
∂x
2

dx
1
dx
2
=

∂Ω
G
1
dx
1
+ G
2

dx
2
.
Các định lý trên dẫn tới các kết quả quan trọng sau đây:

Ω
(∇G)wdΩ = −

Ω
(∇w)GdΩ +

∂Ω
nwGdS, (1.2.1)
−

Ω
(∇
2
G)wdΩ =

Ω
(∇w).(∇G)dΩ −

∂Ω
∂G
∂n
wdS, (1.2.2)
trong đó
∂
∂n

= ∇.n =
n

i=1
n
x
i
∂
∂x
i
, là đạo hàm theo vecto pháp tuyến ngoài
đơn vị. Thành phần thứ i của công thức (1.2.1) có thể viết dưới dạng:

Ω
w
∂G
∂x
i
dΩ = −

Ω
∂w
∂x
i
GdΩ +

∂Ω
n
x
i

wGdS. (1.2.3)
Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần.
Trong R
3
gọi hàm M(x), N(x) và P(x), x ≡ (x, y, z) ∈ Ω, là các thành
phần của G. Khi đó theo định lý phân kỳ có:

Ω

∂M
∂x
+
∂N
∂y
+
∂P
∂z

dΩ =

∂Ω
(Mcos(n, x)+Ncos(n, y)+P cos(n, z))dS,
(1.2.4)
4
trong đó cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) là các cosin chỉ hướng của n. Nếu
ta lấy M = u
∂v
∂x
, N = u
∂v

∂y
, P = u
∂v
∂z
, thì (1.2.4) cho ta.

Ω

∂u
∂x
∂v
∂x
+
∂u
∂y
∂v
∂y
+
∂u
∂z
∂v
∂z

dΩ =

∂Ω
u
∂v
∂n
dS −


Ω
u∇
2
vdΩ. (1.2.5)
Công thức này được gọi là công thức Green thứ nhất. Hoán vị u và v
trong (1.2.5), ta được

Ω

∂u
∂x
∂v
∂x
+
∂u
∂y
∂v
∂y
+
∂u
∂z
∂v
∂z

dΩ =

∂Ω
v
∂u

∂n
dS −

Ω
v∇
2
udΩ. (1.2.6)
Trừ (1.2.5) cho (1.2.6) ta có công thức Green thứ hai

Ω
(u∇
2
v − v∇
2
u)dΩ =

∂Ω

u
∂v
∂n
− v
∂u
∂n

dS, (1.2.7)
và được gọi là định lý tương hỗ của Green.
Chú ý: Các công thức Green vẫn đúng nếu miền Ω giới hạn bởi một số
hữu hạn mặt cong kín. Nếu ta cho v = 1 trong (1.2.6), thì


∂Ω
∂u
∂n
dS =

Ω
∇
2
udΩ. (1.2.8)
Nếu ta lấy u = v trong (1.2.5), thì

∂Ω
u
∂u
∂n
dS =

Ω
(u∇
2
u + |∇u|
2
)dΩ. (1.2.9)
1.3 Một số hàm đặc biệt
1.3.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2)
Với s > 0 ta có
Γ(s) =
∞

0

e
−x
x
s−1
dx.
5
Một số tính chất: ([2], tr.135-137)
(1) Γ(s + 1) = sΓ(s), (s > 0).
(2) Γ(s + 1) = s!.
(3) Γ(s) = lim
n→∞
1.2 n
s(s+1) (s+n)
n
s
, s > 0, n ∈ N
∗
.
1.3.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1)
Hàm Beta có dạng
B(p, q) =
1

0
x
p−1
(1 − x)
q−1
dx, (p > 0, q > 0). (1.3.1)
Bằng phép đổi biến x = cos

2
ϕ ta có hàm Beta ở dạng tích phân suy
rộng
B(p, q) = 2
π
2

0
cos
2p−1
ϕ.sin
2q−1
ϕdx, (p > 0, q > 0). (1.3.2)
Đặt x = sin
2
ϕ ta cũng biến đổi được hàm
B(q, p) =
1

0
x
q−1
(1 − x)
p−1
dx, p > 0, q > 0 (1.3.3)
về dạng (1.3.2) suy ra B(p, q) = B(q, p).
Tính chất B(p.q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
, (∀p, q > 0).

1.3.3 Hàm Hankel
Hàm Bessel loại 1
Hàm có dạng :
J
v
(x) =
x
v
2
v
Γ(v + 1)

1 −
x
2
2(2v + 2)
+
x
4
2.4(2v + 2)(2v + 4)
+

=
∞

k=0
(−1)
k
k!Γ(v + k + 1)


x
2

v+2k
6
là hàm Bessel loại 1 bậc v. Thay v bởi −v ta cũng có
J
−v
(x) =
∞

k=0
(−1)
k
k!Γ(−v + k + 1)

x
2

−v+2k
.
Ta thừa nhận một số tính chất sau: ([2], tr.138-141)
• Nếu v = 0, 1, 2 thì J
v
(x) = (−1)
v
J
v
(x).
• Nếu v = 0, 1, 2, thì J

v
(x) và J
−v
(x) là độc lập tuyến tính.
• Nếu v = 0, 1, 2, thì J
v
(x) bị chặn tại x = 0 trong khi đó J
−v
(x)
không bị chặn.
Chẳng hạn v = 0, 1:
J
0
(x) = 1 −
x
2
2
2
+
x
4
2
2
.4
2
−
x
6
2
2

.4
2
.6
2
+
J
1
(x) =
x
2
−
x
3
2
2
.4
+
x
5
2
2
.4
2
.6
−
x
7
2
2
.4

2
.6
2
.8
+
J

0
(x) = −J
−1
(x).
Hàm Bessel loại 2
Nếu v không là số nguyên thì
Y
v
(x) =
J
v
(x).cosvπ − J
−v(x)
sinvπ
.
Nếu v là số nguyên dương n = 0, 1, 2, 3,
Y
n
(x) = lim
p→∞
J
p
(x)cospπ − J

−p
(x)
sinpπ
−
2
π

ln(
x
2
) + γ

J
n
(x) −
1
π
n−1

k=0
(n − k −1)!

x
2

2
k − n
−
1
π

∞

k=0
(−1)
k
[φ(k) + φ(n + k)]
(
x
2
)
2k+n
k!(n + k)!
,
ở đây γ = 0, 5772156 là hằng số Euler và
ϕ(p) = 1 +
1
2
+
1
3
+ +
1
p
, ϕ(0) = 0.
7
Với n = 0.
Y
0
(x) =
2

π

ln(
x
2
) + γ

J
0
(x) +
2
π

x
2
2
2
−
x
4
2
2
.4
2
(1 +
1
2
)
+
x

6
2
2
.4
2
.6
2
(1 +
1
2
+
1
3
) −

.
Nếu v là số nguyên âm 0, −1, −2, −3,
Y
−n
(x) = (−1)
n
Y
n
(x), n = 0, 1, 2,
Hàm Hankel (Hàm Bessel loại 3)
Hàm Hankel loại 1 và loại 2 được xác định như sau:
H
(1)
v
(x) = J

v
(x) + iY
v
(x), (loại 1)
H
(2)
v
(x) = J
v
(x) − iY
v
(x). (loại 2)
Hàm Bessel điều chỉnh
Loại I: I
v
((x) = i
−v
J
v
(ix) =
∞

k=0
1
k!Γ(v+k+1)

x
2

v+2k

.
Loại II:
K
v
(x) =
π
2
I
−v
(x) − I
v
(x)
sinvπ
=
π
2
i
v+1
H
(1)
v
(ix) =
π
2
(−i)
v+1
H
(2)
v
(−ix).

Chương 2
Hàm suy rộng
2.1 Hàm suy rộng
2.1.1 Một số khái niệm cơ bản
Cho Ω là tập mở khác rỗng Ω ⊂ R
n
. Ta ký hiệu C
∞
(Ω) là tập hợp
những hàm f xác định trên Ω sao cho D
k
f tồn tại với mọi đa chỉ số k.
Ta nói giá của hàm liên tục f : Ω → C, là tập hợp ký hiệu suppf và được
xác định bởi suppf = cl {x ∈ Ω : f(x) = 0}. Nếu K là một tập compact
trong R
n
ta ký hiệu D
K
là tập hợp D
K
= {f ∈ C
∞
(R
n
) : suppf ⊆ K}.
Ta thừa nhận bổ đề sau: ([4], tr.11)
Bổ đề 2.1.1. Cho Ω ⊂ R
n
và Ω = ∅. Khi đó tồn tại dãy các tập compact
{K

j
}, (j = 1, 2, 3, . . .) thỏa mãn K
j
⊂ intK
j+1
và
∞

j=1
K
j
= Ω.
Do đó ta ký hiệu K là một tập compact của Ω và K
j
là một trong
các tập compact trong họ K
j
nói trong Bổ đề 2.1.1.
Mệnh đề 2.1.1. C
∞
(Ω) là một không gian Fréchet và D
K
là không gian
con đóng của C
∞
(Ω), với mọi K ⊂ Ω.
Như vậy với mọi tập compact K ⊂ Ω thì D
K
(Ω) là một không gian
Fréchet. Hợp tất cả các không gian đó lại ta có một không gian quan

trọng, đó là không gian các hàm thử.
8
9
Định nghĩa 2.1.1. Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp
D(Ω) =

φ ∈ C
∞
(Ω) : suppφ là tập compact trong Ω

. Khi đó ta gọi
D(Ω) là không gian các hàm thử (test function).
Dễ thấy D(Ω) =

∞
j=1
D
K
j
(Ω) nên D(Ω) là không gian vectơ.
Theo trên ta có D
K
(Ω) là không gian Fréchet. Ký hiệu τ
K
là topo trên
D
K
(Ω), β là họ tất cả các tập W cân, lồi của D(Ω) sao cho D
K
∩W ∈ τ

K
với mọi tập compact K ⊂ Ω. Gọi τ là họ tất cả các tập hợp có dạng
φ + W với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β, khi đó τ là một topo trên D(Ω). Thật
vậy, với V
1
, V
2
∈ τ và φ ∈ V
1
∩ V
2
, ta chỉ cần chứng minh ∃W ∈ β sao
cho φ + W ⊂ V
1
∩ V
2
. Ta có, do φ ∈ V
i
, (i = 1, 2) nên tồn tại φ
i
∈ D(Ω)
và W
i
∈ β sao cho
φ ∈ φ
i
+ W
i
, (i = 1, 2).
Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φ

i
∈ D
K
, (i = 1, 2). Do D
K
∩ W
i
mở trong D
K
nên tồn tại λ
i
> 0, i = 1, 2 sao cho:
φ − φ
i
∈ (1 − λ
i
)W
i
.
Do W
i
là tập lồi nên:
φ − φ
i
+ λ
i
W
i
⊂ (1 − λ
i

)W
i
+ λ
i
W
i
= W
i
suy ra
φ + λ
i
W
i
⊂ φ
i
+ W
i
⊂ V
i
, (i = 1, 2).
Từ đó ta chọn W = (λ
1
W
1
) ∩ (λ
2
W
2
) thì φ + W ⊂ V
1

∩ V
2
.
Vậy τ là một topo trong D(Ω).
Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích
hiện đại, nó là công cụ để xây dựng nhiều khái niệm mới mở rộng các
khái niệm đã có. Sau đây ta thừa nhận các tính chất của D(Ω).
Định lí 2.1.2. Cho không gian D(Ω) với topo τ. Ta có:
1. Dãy các hàm {φ
l
}
∞
l=1
hội tụ theo topo τ tới φ
0
trong D(Ω) khi và
10
chỉ khi tồn tại j ∈ N
∗
sao cho suppφ
l
⊂ K
j
với mọi l ∈ N
∗
và φ
l
→ φ
0
trong D

K
j
(Ω), nghĩa là
sup
x∈K
j


D
k
φ
l
(x) − D
k
φ
0
(x)


→ 0 khi l → ∞, (2.1.1)
với mọi đa chỉ số k.
2. Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N
∗
sao cho E là tập con
bị chặn trong D
K
j
(Ω). Đặc biệt nếu {φ
l
}

∞
l=1
là dãy Cauchy trong D(Ω)
thì tồn tại j ∈ N
∗
sao cho φ
l
hội tụ trong D
K
j
(Ω) và do đó hội tụ trong
D(Ω).
3. Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khi
với mọi j ∈ N tồn tại N
j
∈ N và hằng số c
j
> 0 sao cho
sup
φ∈D
K
j
(Ω)
|Λ(φ)| ≤ c
j
sup
x∈K
j
{|D
k

φ(x)| : |k| ≤ N
j
}. (2.1.2)
Định nghĩa 2.1.2. Mỗi phiếm hàm f : D(R
n
) → C tuyến tính và liên
tục với topo trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng (distribution). Giá
trị của f tại φ ký hiệu là f, φ.
Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D

(Ω).
Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, tồn tại một số thực c > 0 và một số nguyên
không âm N, sao cho
|u, φ| ≤ c

|k|≤N
sup


D
k
φ


, (2.1.3)
với mọi φ ∈ D(Ω) và supp φ ⊂ K.
Số N nhỏ nhất thỏa mãn (2.1.3) được gọi là cấp của hàm suy rộng.
Chú ý: f, 0 = 0 và

f,

m

n=1
α
n
φ
n

=
m

n=1
α
n
f, φ
n
.
Mỗi hàm f ∈ L
1,loc
(R
n
) sinh ra một hàm suy rộng xác định bởi.
11
f, φ =

R
n
f(x)φ(x)dx
=
∞


−∞

∞

−∞
f (x
1
, , x
n
) φ( (x
1
, , x
n
) dx
1
dx
n
, ∀φ ∈ D(R
n
).
(2.1.4)
Thật vậy: Xét dãy {K
j
} cho bởi Bổ đề 2.1.1. Với mọi j ∈ N
∗
và φ ∈
D(R
n
), với mỗi K

j
ta có:
|f, φ| =








K
j
f(x)φ(x)dx







≤

K
j
|f||φ|dx
≤ sup
K
j
|φ|


K
j
|f|dx = c
j
sup
K
j
|φ|.
Như vậy ∃c
j
=

K
j
|f|dx > 0, N
j
= 0 để |f, φ| ≤ c
j
sup
K
j
|φ|, suy ra f là
hàm liên tục. Tính chất tuyến tính là hiển nhiên. Vậy f là hàm suy rộng
cấp 0.
Cho f
1
(x), f
2
(x) là hai hàm khả vi liên tục khác nhau. Khi đó mỗi

hàm sinh ra một hàm suy rộng khác nhau theo nghĩa; tồn tại một hàm
φ ∈ D(R
n
) sao cho f
1
, φ = f
2
, φ, nghĩa là f
1
− f
2
, φ = 0.
Nếu hai hàm f
1
, f
2
bằng nhau hầu khắp nơi trên miền bị chặn Ω thì

Ω
|f
1
− f
2
|dx = 0, do đó hai hàm khả tích địa phương bằng nhau hầu
khắp nơi sẽ sinh ra cùng một hàm suy rộng dạng (2.1.4). Mỗi hàm suy
rộng sinh bởi f ∈ L
1,loc
(R
n
) được gọi là chính quy.

Mọi hàm suy rộng khác được gọi là kỳ dị mặc dù công thức (2.1.4) có
thể được dùng một cách hình thức cho các hàm suy rộng đó.
Chú ý: Nếu f ∈ D(R
n
) thì hàm suy rộng f triệt tiêu trong bất kỳ miền
nào nằm ngoài suppf, tức là:
f, φ = 0 với mọi φ có suppf ∩suppφ = ∅. (2.1.5)
12
Ví dụ 2.1.3. Phiếm hàm χ
Ω
, φ =

Ω
φ(x)dx, Ω ⊂ R
n
, trong đó χ
Ω
là
hàm đặc trưng của tập Ω, là một hàm suy rộng chính quy, vì nó sinh
bởi hàm χ
Ω
-liên tục từng mảnh.
Chú ý: Khi Ω = (0, ∞) ⊂ R
1
thì χ
Ω
(x) = H(x) với
H(x) =

1, x > 0,

0, x ≤ 0,
là hàm Heaviside.
Ví dụ 2.1.4. (Hàm suy rộng Dirac) Cho ξ là một điểm cố định trong
R
n
. Xét phiếm hàm δ
ξ
xác định bởi δ
ξ
, φ = φ(ξ), đặt tương ứng mỗi
hàm thử φ với giá trị của nó tại ξ. Phiếm hàm δ
ξ
là tuyến tính và liên
tục trên D(R
n
) và do đó là một hàm suy rộng với cực ξ. Ta sẽ chứng tỏ
rằng δ
0
(kí hiệu đơn giản bởi δ) là hàm suy rộng kỳ dị. Thật vậy, giả sử
δ là chính quy, khi đó tồn tại hàm f(x) khả tích địa phương sao cho:
δ, φ =

R
n
f(x)φ(x)dx = φ(0), với mỗi φ ∈ C
∞
(R
n
). (2.1.6)
Do đó hàm δ(x, ξ) là phiếm hàm xác định bởi:

δ(x, ξ), φ(x) =

R
n
δ(x, ξ)φ(x)dx = φ(ξ). (2.1.7)
Xét hàm thử w
ε
(x) còn được gọi là hàm "mũ lưỡi chai".
w
ε
(x) =



e
ε
2
(
|x|
2
−ε
2
)
, |x| < ε,
0, |x| > ε,
(2.1.8)
w
ε
(0) = e
−1

, |w
ε
| ≤ e
−1
.
Khi đó:





R
n
f(x)w
ε
(x)dx




=






|x|≤ε
f(x)e
ε

2
(
|x|
2
−ε
2
)
dx





≤ e
−1

|x|≤ε
|f(x)|dx. Do
đó lim
ε→0
δ, w
ε
 = 0, vì f(x) khả tích địa phương. Nhưng theo (2.1.6) thì
13
δ, w
ε
 = e
−1
, ∀ε, nên dẫn đến mâu thuẫn.
Chú ý: Tương tự, hàm Delta Dirac với cực tại ξ cũng là hàm suy rộng kỳ

dị. Trong lý thuyết thế vị, hàm Dirac δ
ξ
(x)(cũng có thể viết là δ(x −ξ)
hoặc δ(x, ξ)) là mật độ nguồn của một nguồn đơn vị tập trung tại điểm
ξ và ξ được gọi là điểm nguồn.
Bên cạnh hàm "mũ lưỡi chai" w
ε
(x) xác định trong (2.1.8), các hàm
sau đây là các hàm suy rộng:
φ
j
(x) =
1
ε
j
w
ε
(x), j = 1, 2, , (2.1.9)
φ
j
(x) =
j
π
1
1 + j
2
x
2
, j = 1, 2, , (2.1.10)
φ

j
(x) =
j
√
π
e
−j
2
x
2
, j = 1, 2, , (2.1.11)
φ
j
(x) =
1
jπ
sin
2
jx
x
2
, j = 1, 2, , (2.1.12)
Ngoài ra các hàm φ
j
ở (2.1.11), sinh ra dãy hàm suy rộng chính quy có
tính chất







∞

−∞
j
√
π
e
−j
2
x
2
φ(x)dx − φ(0)






=






∞

−∞

j
√
π
e
−j
2
x
2
[φ(x) − φ(0)]dx






≤
∞

−∞
j
√
π
e
−j
2
x
2
|φ(x) − φ(0)|dx
≤ max |φ


(x)|
∞

−∞
j
√
π
e
−j
2
x
2
|x|dx
= max |φ

(x)|
1
j
√
π
→ 0, khi j → ∞.
Chứng tỏ φ
j
→ δ khi j → ∞. Hơn nữa, các hàm:
1
2
√
πε
e
−x

2
4ε
,
1
π
sin
x
ε
,
1
π
ε
x
2
+ ε
2
,
ε
πx
2
sin
2
x
ε
, (2.1.13)
14
cũng thuộc D

(R
n

) và chúng đều tiến đến hàm δ(x) khi ε → 0.
Hàm f(x − a) là hàm tịnh tiến của hàm khả tích địa phương f(x)
theo một vecto a sinh ra hàm suy rộng.
f(x − a), φ(x) =

R
n
f(x − a)φ(x)dx
=

R
n
f(x)φ(x + a)dx = f(x), φ(x + a).
(2.1.14)
Nếu f(x) là hàm khả tích địa phương thì f(αx) cũng khả tích địa phương
với bất kỳ số thực α = 0 và nó sinh ra hàm suy rộng:
f(αx), φ(x) =

R
n
f(αx)φ(x)dx
=
1
|α|
n

R
n
f(y)φ(
x

α
)dx =
1
|α|
n

f(x), φ(
x
α
)

.
(2.1.15)
Công thức này vẫn xác định cả với hàm suy rộng kỳ dị.
Ví dụ 2.1.5. (Lưỡng cực) Trong R
3
xét điện một cực dương với cường
độ
1
ε
tại điểm ξ +
ε
2
u và một điện cực âm với cùng cường độ tại điểm
ξ −
ε
2
u, trong đó u =
v
v

là một vecto đơn vị cùng hướng với vecto v.
Phân bố sinh bởi hai cực này có giá trị:
1
ε
φ(ξ +
ε
2
u) −
1
ε
φ(ξ −
ε
2
u),
với bất kỳ φ ∈ D(R
n
). Khi ε → 0, cả hai cực cùng tăng lên về cường độ.
Kết quả cho ta một lưỡng cực định hướng bởi vecto v. Như vậy, phân
bố lưỡng cực cho bởi
lim
ε→0
1
ε

φ(ξ +
ε
2
u) − φ(ξ −
ε
2

u)

=
∂φ(ξ)
∂u
= f, φ (2.1.16)
là một hàm suy rộng kỳ dị.
Trong R
2
xét φ(z) = log z, z = x + iy. Một điện cực dương tại ξ với
15
cường độ log(z −ξ) và một điện cực âm tại −ξ với cường độ −log(z +ξ).
Nếu hai cực đó kết hợp với nhau và cường độ của chúng tăng lên bởi
một nhân tử
1
ξ
thì sinh ra một phân bố:
lim
ξ→0
1
ξ
[log(z −ξ) −log(z + ξ)] = −
d
dz
log z =
1
z
,
là một hàm giải tích liên kết với một lưỡng cực các đường dòng là các
đường tròn tiếp xúc với trục x, với vận tốc

1
z
2
=
e
2iθ
r
2
. Hơn nữa,
∂
∂z
1
z
=
πδ(x, y) theo nghĩa của hàm suy rộng.
Trong R
1
, mật độ điện tích tương ứng với một lưỡng cực với mômen điện
tích dương +1 ở tại gốc là:
1
ε
δ(x −ε) −
1
ε
δ(x), ε > 0. Khi ε → 0 trong D
dẫn tới

1
ε
δ(x −ε) −

1
ε
δ(x)

=
1
ε
[φ(ε) − φ(0)] → φ

(0) = δ, φ

 = −δ

, φ,
tức là mật độ điện tích là −δ

(x).
Chú ý: Tổng toàn bộ điện tích của lưỡng cực là bằng 0, vì: −δ

, 1 =
−δ, 1

 = δ, 0 = 0. Hơn nữa mômen lưỡng cực là 1 vì −δ

, x =
δ, x

 = δ, 1 = 1.
Ví dụ 2.1.6. (Thế vị lớp đơn) Cho S là một mặt trong R
3

và cho dS là
vi phân diện tích mặt trên S. Phiếm hàm: ρ, φ =

S
ρ(x)φ(x)dS, φ ∈ D.
Trong đó ρ(x) là hàm khả tích địa phương quy định trên S (nó xác định
mật độ trên mặt) là một hàm suy rộng kỳ dị. Nếu S là một mặt cầu
|x| = r và ρ(x) =
1
4πr
2
thì ta được hàm suy rộng.
ρ, φ =
1
4πr
2

|x|=r
φ(x)dS. (2.1.17)
Nếu ký hiệu δ
S
là một lớp đơn trên mặt cầu S thì ta có kết quả.
lim
r→0
1
r
2

1
S

n
r
n−1
δ
S
− δ

=
1
2n
∇
2
δ, trong D

.
16
Thật vậy, ∀φ ∈ D cho r → 0, ta có

1
S
n
(1)r
n+1
δ
S
−
1
r
2
δ, φ


=
1
S
n
(1)r
n+1

S
r
φ(x)dS −
φ(0)
r
2
=
1
S
n
(1)r
2

S
1
[φ(rs) − φ(0)]ds
=
1
S
n
(1)r
2


S
1


r
n

k=1
∂φ(0)
∂x
k
s
k
+
r
2
2
n

k,i=1
∂
2
φ(0)
∂x
k
∂x
i
s
k

s
i
+ O(r
3
)


ds
→
1
2n
∇
2
φ(0) =
1
2n

∇
2
δ, φ

do

S
1
s
k
ds = 0,

S

1
s
k
s
i
ds = δ
ki

S
1
s
2
k
ds =
S
n
(1)
n
δ
ki
, với

S
1
s
2
k
ds = S
n−1
(1)

π

0
sin
n−2
θcos
2
θdθ = S
n−1
(1)
1

0
(1 − µ)
n−3
2
µ
1
2
dµ
= S
n−1
B

n − 1
2
,
3
2


=
2π
n−1
2
Γ(
n−1
2
)Γ

3
2

Γ(
n−1
2
)Γ(
n
2
+ 1)
=
S
n
(1)
n
.
2.1.2 Đạo hàm của hàm suy rộng
Định nghĩa 2.1.3. Cho f ∈ D

(R
n

) khi đó ∀k, |k| ≤ p, φ ∈ D(R
n
) ta
có:

D
k
f, φ

=

R
n
D
k
f(x)φ(x)dx
= (−1)
|k|

R
n
f(x)D
k
φ(x)dx = (−1)
|k|

f, D
k
φ


.
(2.1.18)
Tính chất của đạo hàm ([8], tr.80) được suy ra từ (2.1.18) là:
(i) D
k
(λf + µg) = λD
k
f + µD
k
g với f, g ∈ D

.
(ii) D
k
f
n
→ 0 khi n → ∞ trong D

nếu f
n
→ 0 khi n → ∞ trong D

.
(iii)

D
k
f
n
, φ


= (−1)
|k|

f
n
, D
k
φ

→ 0 khi n → ∞.