Phân tích động học và động lực học cơ cấu không gian bằng phương pháp hình chiếu vuông góc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

Phạm Thị Mai Anh

Phân tích động học và động lực học cơ cấu khơng
gian bằng phương pháp hình chiếu vng góc

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Nguyễn Văn Khang

Hà Nội – Năm 2017


MỤC LỤC
Lời cam đoan ...............................................................................................................3
Danh sách các hình vẽ và đồ thị ..................................................................................4
Lời nói đầu ..................................................................................................................7
Chƣơng 1 PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG
PHÁP HÌNH CHIẾU VNG GÓC .........................................................................9
X c định phƣơng tr nh i n ết ằng phƣơng ph p h nh chiếu vu ng góc .......9
1.1.1 Ph p chiếu vu ng góc ..................................................................................9
D ng ph p chiếu vu ng góc đ thiết p phƣơng tr nh i n ết c a cơ cấu
............................................................................................................................11
1.2 Giải hệ phƣơng tr nh đại số phi tuyến bằng phƣơng ph p newton-Raphson cải
tiến ..........................................................................................................................12
3 Phân tích động học cơ cấu tay quay con trƣợt không gian..............................17
1.3.1 Thành l p phƣơng tr nh i n ết ................................................................17

1.3.2 Giải ài to n động học ngƣợc ...................................................................19
1.3.3 Giải ài to n động học thu n....................................................................22
4 Phân tích động học cơ cấu 4 khâu không gian ...............................................27
1.4.1 Thành l p c c phƣơng tr nh liên kết bằng phƣơng ph p chiếu vng góc ...27
1.4.2 Giải ài to n động học ngƣợc ...................................................................29
1.4.2 Giải ài to n động học thu n...................................................................32
1.5 Phân tích động học cơ cấu ốn hâu RSCC ...................................................35
1.5.1 Thành l p phƣơng tr nh i n ết ...............................................................35
1.5.2 Giải ài to n động học ngƣợc ..................................................................38
6 phân tích động học cơ cấu h ng gian có h p Car an .................................48
1.6.1 Thành l p phƣơng tr nh i n ết ................................................................48
1.6.2 Giải ài to n động học ngƣợc ...................................................................51
1.6.3 Giải ài to n động học thu n...................................................................54
1.4 Kết lu n chƣơng ............................................................................................59

1


Chƣơng 2 PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CƠ CẤU KHƠNG GIAN BẰNG
PHƢƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU VNG GĨC .....................................................60
2.1 Thiết l p phƣơng tr nh vi phân chuy n động c a cơ cấu không gian ............60
2.1.1 X c định các ma tr n Jacobi tịnh tiến và ma tr n Jacobi quay ................60
2.1.2 Bi u thức động năng c a hệ nhiều v t không gian ...................................63
2.1.3 Dạng ma tr n c a phƣơng tr nh agrange ạng nhân tử ............................64
2.2 Phƣơng pháp số giải hệ phƣơng tr nh vi phân đại số c a c a cơ cấu không gian
có cấu trúc mạch vịng ............................................................................................69
2.2.1 Thiết l p bài toán ......................................................................................69
Phƣơng ph p iến đổi hệ phƣơng tr nh vi phân - đại số về hệ phƣơng tr nh
vi phân thƣờng [3] ..............................................................................................70
3 Phân tích động lực học c a cơ cấu tay quay con trƣợt không gian ..................75

2.3.1 Thiết l p phƣơng tr nh vi phân chuy n động c a cơ cấu .........................76
2.3.2 Mô phỏng chuy n động c a cơ cấu ..........................................................77
2.4 Phân tích động lực học cơ cấu 4 khâu không gian RSSR ................................82
2.4.1 Thiết l p phƣơng tr nh vi phân chuy n động c a cơ cấu ..........................83
2.4.2 Mô phỏng chuy n động c a cơ cấu ..........................................................84

2


LỜI CAM ĐOAN
T i xin cam đoan c c nội ung đƣợc trình bày trong lu n văn này à ết quả nghiên
cứu c a bản thân tơi, khơng có sự sao chép hay copy c a bất cứ tác giả nào. Tôi xin
tự chịu trách nhiệm về lời cam đoan c a mình.
Tác giả

PHẠM THỊ MAI ANH

3


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

H nh

Định ngh a ph p chiếu vu ng góc ...............................................................9

H nh

Tính chất c a ph p chiếu vu ng góc ......................................................... 10

H nh

3 Tính chất c a ph p chiếu vu ng góc .........................................................10

H nh

4 Tính chất c a ph p chiếu vu ng góc ........................................................ 11

H nh 5 Tính chất c a ph p chiếu vu ng góc .........................................................11
H nh

6 M h nh cơ cấu tay quay con trƣợt không gian ........................................17

H nh

7 Đồ thị c c tọa độ ,, .............................................................................. 20

H nh

8 Đồ thị v n tốc ,, ...................................................................................21

H nh

9 Đồ thị gia tốc ,,.................................................................................... 21

Hình 1. 10 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết ............................................................ 22
H nh

Đồ thị c c tọa độ suy rộng ƣ , ........................................................... 23

H nh

Đồ thị v n tốc c c tọa độ suy rộng ƣ , ............................................... 24

H nh

3 Đồ thị gia tốc c c tọa độ suy rộng ƣ , ................................................ 24

H nh

4 Đồ thị tọa độ c a con trƣợt xC .............................................................. 25

H nh

5 Đồ thị v n tốc c a con trƣợt .................................................................... 25

H nh

6 Đồ thị gia tốc c a con trƣợt .....................................................................26

Hình 1. 17 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết ............................................................ 26
H nh

8 M h nh cơ cấu bốn khâu không gian RSSR .......................................... 27

H nh

9 Đồ thị tọa độ c c h p ,  , ...............................................................30

H nh

Đồ thị v n tốc ,  , ............................................................................. 31

H nh

Đồ thị gia tốc ,  , ................................................................................31

Hình 1. 22 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết ............................................................ 32
H nh

3 Đồ thị c c tọa độ suy rộng ƣ ,,δ......................................................... 33

H nh

4 Đồ thị v n tốc c c tọa độ suy rộng ,,δ .................................................34

H nh

5 Đồ thị gia tốc c c tọa độ suy rộng ,,δ .................................................34

Hình 1.26 Sai số phƣơng tr nh i n ết .................................................................... 35
4


H nh

8 Đồ thị tọa độ  .......................................................................................40

H nh

9 Đồ thị tọa độ u ......................................................................................... 40

H nh

3 Đồ thị c c tọa độ   δ ............................................................................. 40

H nh

3 Đồ thị v n tốc c a  ............................................................................... 41

H nh

3 Đồ thị v n tốc c a u ................................................................................41

H nh

33 Đồ thị v n tốc c a   δ ........................................................................... 41

H nh

34 Đồ thị gia tốc c a  .................................................................................42

H nh

35 Đồ thị gia tốc c a u .................................................................................42

H nh

36 Đồ thị gia tốc c a   δ............................................................................ 42

Hình 1.37 Sai số phƣơng tr nh i n ết ................................................................... 43
H nh

38 Đồ thị c c tọa độ   δ .............................................................................45

H nh

39 Đồ thị c c tọa độ c a u xD ...................................................................... 45

H nh

4 Đồ thị v n tốc c a   δ .......................................................................... 46

H nh

4 Đồ thị v n tốc c a u xD ..........................................................................46

H nh

4 Đồ thị gia tốc c a   δ ............................................................................47

H nh

43 Đồ thị gia tốc c a u xD ...........................................................................47

Hình 1.44 Sai số phƣơng tr nh i n ết .................................................................... 48
H nh

45 M h nh cơ cấu không gian có kh p cardan ........................................... 48

H nh

46 Đồ thị c c tọa độ c a    λ ...................................................................53

H nh

47 Đồ thị v n tốc c a    λ .......................................................................53

H nh

48 Đ ồ thị gia tốc c a    λ .......................................................................54

Hình 1.49 Sai số phƣơng tr nh i n ết .................................................................... 54
H nh

5 Đồ thị c c tọa độ c a   δ λ ...................................................................57

H nh

5 Đồ thị v n tốc c a   δ λ ........................................................................57

H nh

5 Đồ thị gia tốc c a   δ λ .........................................................................58

Hình 1.53 Sai số phƣơng tr nh i n ết ................................................................... 58
Hình 2.1.Hệ p v t rắn ...............................................................................................60
Hình 2.2: Mơ hình v t rắn thứ i ................................................................................61

5

H nh

3 M h nh cơ cấu tay quay con trƣợt không gian ........................................ 75

H nh

4 Đồ thị  ,  ................................................................................................. 78

H nh 5 Đồ thị  ,  .................................................................................................79
H nh

6 Đồ thị  ,  ................................................................................................. 79

H nh

7 Đồ thị xC , xC ..............................................................................................79

Hình 2.8 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết ................................................................79
H nh

9 Đồ thị  ,  .................................................................................................80

H nh

Đồ thị  ,  .............................................................................................. 80

H nh

Đồ thị  ,  ...............................................................................................81

H nh

Đồ thị xC , xC ............................................................................................ 81

Hình 2.13 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết ..............................................................82
H nh

4 M h nh cơ cấu bốn khâu không gian RSSR .......................................... 82

H nh

5 Đồ thị  ,  ................................................................................................85

H nh

6 Đồ thị  ,  ............................................................................................. 86

H nh

7 Đồ thị  ,  ...............................................................................................86

H nh

8 Đồ thị  ,  ...............................................................................................87

Hình 2. 19 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết .............................................................87
H nh

Đồ thị  ,  ................................................................................................88

H nh

Đồ thị  ,  ..............................................................................................88

H nh

Đồ thị  ,  ..............................................................................................88

H nh

3 Đồ thị  ,  ............................................................................................... 89

Hình 2. 24 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết thứ nhất ...............................................89
Hình 2. 25 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết thứ hai................................................. 89
Hình 2. 26 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết thứ ba ..................................................90

6


LỜI NĨI ĐẦU
Ngày nay việc nghiên cứu các tính chất động lực c a các hệ cơ học và các
hệ cơ điện tử có một vai trị quan trọng trong việc tính tốn thiết kế các hệ kỹ thu t .
Nhờ khả năng tính to n v i độ chính xác cao c a các phần mềm nên việc tính tốn
lý thuyết cho ta kết quả khơng khác nhiều so v i đo đạc thực tế từ đó giúp ngƣời kỹ
sƣ giảm thi u các sai sót và lãng phí trong việc chế tạo trong công nghiệp. C c cơ
cấu khơng gian xuất hiện rất nhiều trong các máy móc công nghiệp.
Nhƣ đã tr nh ày ở trên, cùng v i sự định hƣ ng c a thầy gi o hƣ ng dẫn
GS.TSKH. Nguyễn Văn Khang em đã chọn đƣợc đề tài: “Phân tích động học và

động lực học c a cơ cấu không gian bằng phƣơng ph p h nh chiếu vu ng góc”
Mục đích: Nghiên cứu động học và động lực học c a một số cơ cấu không gian.
Đối tƣợng nghiên cứu: C c cơ cấu bốn khâu khơng gian.
Phạm vi nghiên cứu:
-

Phân tích động học cơ cấu không gian bằng phƣơng ph p h nh chiếu vng

góc: Thiết l p phƣơng tr nh i n ết c a cơ cấu đó à hệ c c phƣơng tr nh đại số phi
tuyến, áp dụng phƣơng ph p số giải hệ phƣơng tr nh đại số phi tuyến.
-

Phân tích động lực học cơ cấu khơng gian bằng phƣơng ph p sử dụng các tọa

độ suy rộng ƣ: Thành l p hệ phƣơng tr nh vi phân chuy n động, sử dụng phƣơng
pháp số giải hệ phƣơng tr nh vi phân đại số(hệ phƣơng tr nh vi phân chuy n động
c a cơ cấu).
Tóm tắt các điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả
Lu n văn đƣợc trình bày gồm hai chƣơng Chƣơng

tr nh ày phần nghiên

cứu phân tích động học cơ cấu khơng gian bằng phƣơng ph p h nh chiếu vng
góc. Sử dụng phƣơng ph p Newton-Rahpson cải tiến đ giải hệ phƣơng trình phi
tuyến, phân tích một vài cơ cấu đi n h nh cơ cấu tay quay con trƣợt h ng gian, cơ
cấu bốn hâu h ng gian… Chƣơng

phân tích động lực học cơ cấu khơng gian

bằng phƣơng ph p hình chiếu vng góc. Thành l p phƣơng tr nh chuy n động c a

7


cơ cấu bằng phƣơng tr nh Lagrange loại hai dạng nhân tử. Giải hệ phƣơng tr nh vi
phân đại số bằng phƣơng ph p số, sử dụng phƣơng ph p hử nhân tử Lagrange, ổn
định hóa Baugate.
Đóng góp m i c a tác giả: phân tích và đƣa ra đƣợc kết quả tính to n động
học cơ cấu tay quay con trƣợt h ng gian, cơ cấu bốn hâu h ng gian… sử dụng
thu t toán Newton-Raphson cải tiến đ giải hệ phƣơng tr nh chuy n động c a cơ
cấu

Phân tích và đƣa ra đƣợc kết quả tính to n động lực học cơ cấu tay quay con

trƣợt h ng gian, cơ cấu bốn hâu h ng gian…
Phƣơng pháp nghiên cứu: Lu n văn sử dụng phƣơng ph p giải tích và phƣơng
pháp số: Nghiên cứu thành l p phƣơng tr nh vi phân chuy n động c a cơ cấu, từ đó
trình bày cách giải hệ phƣơng tr nh vi phân đại số.
Trong quá trình thực hiện lu n văn, em đã nh n đƣợc rất nhiều sự giúp đỡ, hƣ ng
dẫn và sự quan tâm góp ý, đặc biệt là từ gia đ nh, thầy cô giáo và bạn bè.
Trƣ c tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gi o hƣ ng dẫn trực
tiếp GS.TSKH Nguyễn Văn Khang vì sự hƣ ng dẫn, định hƣ ng c a thầy trong
suốt thời gian thực hiện đồ án. Em xin cảm ơn Bộ m n Cơ học ứng dụng –Viện Cơ
Khí trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội, gia đ nh và ạn è đã giúp đỡ, tạo điều kiện
thu n lợi nhất cho em hoàn thành nhiệm vụ.
Đồ án hoàn thành v i sự nỗ lực nhiều c a em, song vì thời gian và điều kiện
có hạn n n đồ án khó tránh khỏi những thiếu sót. Em chân thành mong nh n đƣợc
sự góp ý c a thầy cơ và các bạn đ có th hồn thiện hơn hi tiếp tục phát tri n đề
tài này nếu có điều kiện.
Học viên thực hiện

PHẠM THỊ MAI ANH

8


CHƢƠNG 1
PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP
HÌNH CHIẾU VNG GĨC
C c cơ cấu khơng gian là một l p bài toán c a hệ nhiều v t có cấu trúc mạch
vịng. Theo [3,7,9] c c phƣơng ph p đa gi c v c tơ, phƣơng pháp hình chiếu vng
góc thích hợp đối v i ài to n phân tích động học c a hệ nhiều v t có cấu trúc mạch
vịng Dƣ i đây tr nh ày phƣơng ph p h nh chiếu vu ng góc đ x c định phƣơng
tr nh i n ết c a cơ cấu, và phƣơng ph p Newton Raphson cải tiến giải c c hệ
phƣơng tr nh vi phân- đại số p ụng cho việc giải ài toán động học thu n và
ngƣợc c a cơ cấu
Bài to n động học thu n cho iết quy u t chuy n động c a hâu ẫn t m
chuy n động c a hâu t c động cuối hay c c hâu ị ẫn Bài to n ngƣợc cho iết
chuy n động c a hâu t c động cuối hay c c hâu ị ẫn t m chuy n động c a
hâu ẫn đ đảm ảo hâu t c động cuối chuy n động theo quỹ đạo mong muốn
1.1

ác đ nh phƣơng tr nh iên

t bằng phƣơng pháp h nh chi u vu ng góc

Phƣơng ph p h nh chiếu vu ng góc à một phƣơng ph p thiết p c c phƣơng
tr nh i n ết c a cơ cấu h ng gian sử ụng ph p chiếu vu ng góc và c c tọa độ
suy rộng ƣ Dựa vào phƣơng tr nh i n ết ta thực hiện đƣợc c c c ng việc tiếp
theo nhƣ

p đƣợc c c i u thức tính v n tốc, gia tốc, c a c c tọa độ suy rộng, c a

c c hối tâm c c hâu c a cơ cấu…
1.1.1

[6]

nh ngh
Trong không gian cho mặt ph ng P
gọi à mặt ph ng h nh chiếu Qua đi m
trong không gian vẽ đƣờng th ng t, t vng
góc v i P, t cắt P tại
chiếu vu ng góc c a

i;

Ai đƣợc gọi à h nh
n mặt ph ng P
H nh

9

Định ngh a ph p chiếu vu ng góc


Tính chất
Ph p chiếu vu ng góc có nhiều tính chất Song ta đặc iệt chú ý đến c c tính chất
quan trọng sau đây :
H nh chiếu c a một đƣờng th ng vu ng góc v i mặt ph ng h nh chiếu à một
đi m H nh 1.2)

H nh chiếu c a một mặt ph ng vu ng góc v i mặt ph ng h nh chiếu à một đƣờng
th ng H nh 1.3)
V y h nh chiếu c a một đi m ất
MЄ

M thuộc mặt ph ng , sẽ thuộc đƣờng th ng i,

i

H nh 1.2 Tính chất c a ph p chiếu
vu ng góc

H nh 1.3 Tính chất c a ph p chiếu
vu ng góc

+ H nh chiếu c a một đƣờng th ng h ng vu ng góc v i phƣơng chiếu à một
đƣờng th ng

nh

4)

H nh chiếu c a một góc vu ng có ít nhất một cạnh song song v i mặt ph ng h nh
chiếu, cạnh ia h ng vu ng góc v i mặt ph ng h nh chiếu, à một góc vu ng
nh

5).

10

H nh 1.4 Tính chất c a ph p chiếu
vu ng góc

H nh 1.5 Tính chất c a ph p chiếu
vu ng góc

1.1.2
Khi sử ụng định ngh a và c c tính chất c a ph p chiếu vu ng góc ta nên
quan tâm đến hai mục đích :
N n chọn ao nhi u tọa độ suy rộng ƣ và những tọa độ suy rộng đƣợc chọn nhƣ
thế nào nào đ viết đƣợc phƣơng tr nh i n ết một c ch ễ àng nhất
Ch những iến thức đơn giản nhất c a ph p chiếu, có th giảm
rộng ƣ, o đó có th giảm
C c ƣ c thiết

t c c tọa độ suy

t mức độ phức tạp c a phƣơng tr nh i n ết

p phƣơng tr nh i n ết sử ụng phƣơng ph p h nh chiếu vu ng

góc nhƣ sau :
a Thiết p m h nh h nh học 3 chiều c a cơ cấu Từ c c ích thƣ c đã cho c a cơ
cấu việc m h nh hóa h nh học cơ cấu đƣợc thực hiện ễ àng nhờ c c phần mềm
đồ họa ỹ thu t phổ iến hiện nay nhƣ utoC D, So i Wor …
Chọn hệ trục tọa độ Decac gắn cố định v i cơ cấu Việc chọn hệ trục này i n
quan đến việc chọn c c tọa độ suy rộng và số ƣợng c c tọa độ suy rộng Có một số
nguy n tắc chọn v i mục đích giảm thi u c c tọa độ suy rộng nhƣ sau : Nếu hâu
nối gi à quay quanh trục cố định, ta chọn mặt ph ng xoy song song v i trục quay ;

11


Nếu hâu nối gi à tịnh tiến hoặc vừa quay vừa tịnh tiến th chọn một trong hai trục
x hoặc y song song v i phƣơng tịnh tiến Cơ sở ý thuyết c a việc ựa chọn đó chính
à tính chất c a ph p chiếu vu ng góc
c Chọn c c tọa độ suy rộng Nhiệm vụ chọn c c tọa độ suy rộng thỏa mãn hai mục
ti u : số ƣợng c c tọa độ suy rộng ƣ vừa phải đ có th

ễ àng x c định c c

phƣơng tr nh i n ết c a cơ cấu số ƣợng c c tọa độ suy rộng qu nhiều sẽ àm ài
to n tăng mức độ phức tạp
Cơ sở ý thuyết c a việc ựa chọn c c tọa độ suy rộng ƣ vửa đ đ x c định c c đặc
trƣng động học c a cơ cấu nhƣ sau :
n

Mỗi v ng động học ta có th viết ƣ i ạng v c tơ nhƣ sau :  li  0 n số hâu c a
i 1

cơ cấu Khi sử ụng c c tọa độ suy rộng, ta viết đƣợc c c phƣơng tr nh i n ết
ạng h nh chiếu c a cơ cấu nhƣ sau : fi ( s1 , s2 ....sn )  0 .
1.2

Giải hệ phƣơng tr nh đại số phi tuy n bằng phƣơng pháp Newton-

Raphson cải ti n
Phƣơng ph p Newton-Raphson cải tiến à một phƣơng ph p số t m nghiệm c a hệ
phƣơng tr nh đại số phi tuyến

fi (s1 , s2 ,..., sn )  0 , i= ,…,r
Ý tƣởng cơ ản c a phƣơng ph p Newton-Raphson cải tiến à x c định c c xấp x
an đầu c a c c tọa độ h p tại mỗi ƣ c ặp một c ch chính x c hơn và y u cầu
tính to n sao cho tại mỗi ƣ c tính c c tọa độ suy rộng phải thỏa mãn c c phƣơng
tr nh i n ết
Bài toán động học ngược và bài toán động học thuận: Ký hiệu q  R n à v c tơ
chứa các biến kh p trong không gian kh p, x  R m à v c tơ chứa các biến x c định
vị trí và định hƣ ng c a khâu thao tác trong không gian thao tác R m (m  6) .Ta ký
hiệu s  [qT , xT ]T . Giả sử ta biết đƣợc quan hệ giữa các tọa độ thao tác và các tọa
độ kh p:

12


f (q, x)  0,

x  Rm , f  Rr , q  Rn

(1.1)

Bài toán động học ngược : Cho iết x  x(t ) , tìm q  q(t ) .
Bài toán động học thuận : Cho iết q  q(t ) , tìm x  x(t ) .
) Các công thức xác đ nh véc tơ vận tốc và véc tơ gi tốc suy rộng
Đ x c định, x t ài to n động học ngƣợc hệ nhiều v t có cấu trúc mạch vịng. Đạo
hàm hai vế c a phƣơng tr nh 1.1) theo thời gian ta đƣợc:

f J qJ x 0
q

(1.2)

x

Trong đó ta sử dụng các ký hiệu

J  R r  m , J (q, x) 
x

nh ngh

x

f
f
, J  R r  n , J (q, x) 
q
x q
q

(1.3)

Khi r = n thì hệ nhiều v t đƣợc gọi là hệ chuẩn, khi r < n thì hệ nhiều

v t đƣợc gọi là hệ ƣ ẫn động, khi r  n thì hệ là hụt dẫn động.
Giả sử ta có điều kiện r=n. Từ phƣơng tr nh 1.2) ta có

q  J q1J x x

(1.4)

Tiếp tục đạo hàm hai vế c a phƣơng tr nh 1.

ta đƣợc

f  J qq  J qq  J x x  J x x  0

(1.5)

Trong đó
Jq 

d
d
Jq , J x  J x
dt
dt

(1.6)

Từ(1.5) ta suy ra

J q q  J q q  J x x  J x x

(1.7)

Thế phƣơng tr nh 1 4 vào phƣơng tr nh 1.7 ta rút ra đƣợc

q  J q1  J x x  J x x  J q J q1J x x 

(1.8)

b) Các công thức xác đ nh véc tơ tọ độ suy rộng
Các công thức (1.4) và (1.8 cho ph p ta x c định đƣợc c c v c tơ v n tốc
suy rộng và v c tơ gia tốc suy rộng , khi biết đƣợc q(t ) tại thời đi m khảo sát và

13


các quy lu t chuy n động c a khâu thao tác x(t). Bây giờ ta trình bầy thu t toán xác
định q(t ) bằng phƣơng ph p Newton-Raphson cải tiến. Giả sử khâu thao tác c a hệ
nhiều v t làm việc trong khoảng thời gian từ t = 0 t i t = T. Chia khoảng thời gian
làm việc c a khâu thao tác [0, T] thành N khoảng bằng nhau:
t 

T
N

Nhƣ thế ta có:

tk 1  tk  t v i k  0, 1, ..., N  1
Áp dụng khai tri n Tay or hàm v c tơ q(t ) ở lân c n giá trị t  tk và bỏ qua các vơ
cùng bé có b c l n hơn hoặc bằng 3, ta đƣợc
1
2
q(tk 1 )  q(tk  t )  q(tk )  q(tk )t  q(tk )  t 
2

(1.9)

Trong các tài liệu về động học ro ot ngƣời ta thƣờng bỏ qua các vô cùng bé b c l n
hơn hoặc bằng 2 và thay bi u thức (1.4) vào bi u thức (1.9 Khi đó ta có

q(tk 1 )  q(tk )  J q1 (q(tk ))J x (tk )x(tk )t
Cơng thức (1.9) đƣợc sử dụng đ tính xấp x

(1.10)
an đầu cho các phép lặp Newton-

Raphson Đây à ý tƣởng cơ ản c a phƣơng ph p Newton-Raphson cải tiến.
c) Thuật tốn hiệu chỉnh độ chính xác véc tơ tọ độ khớp tại mỗi bước tính
Đ thu n tiện cách trình bày, chúng ta sử dụng các ký hiệu sau:

q k  q(tk ), q k  q(tk ), q k  q(tk ),
x k  x(tk ), x k  x(tk ), x k  x(tk ).
Hiệu chỉnh gi lượng các tọ độ khớp tại thời điểm t0 :
Trƣ c ti n ta x c định v c tơ gần đúng an đầu q0 c a v c tơ q0 bằng phƣơng ph p
vẽ (hoặc bằng thực nghiệm Sau đó p ụng khai tri n Taylor tìm giá trị gần đúng
tốt hơn c a q0 nhƣ sau:

q0  q0  q0

(1.11)

Theo phƣơng tr nh 1.2) ta có:

14


f  q0 , x0   f (q0  q0 , x0 )  f q0 , x0   J q (q0 , x0 )q 0  ...

(1.12)

Bỏ qua các vô cùng bé b c l n hơn hoặc bằng 2, từ phƣơng tr nh 1.12) ta có

f  q0 , x0   J q (q0 , x0 )q0  0

(1.13)

q0  J q1 (q0 , x0 )f  q0 , x0 

(1.14)

Từ đó

Sau đó ấy

q0  q0  q0
Nếu q 0   (v i  là tham số ƣơng

(1.15)
cho trƣ c) thì ta lại thế (1.15) vào (1.14)

và lặp lại quá trình này. Quá trình này dừng lại khi q 0   . Kết quả ta đƣợc:

q0  q0

(1.16)

Biết đƣợc nghiệm q0 , thế vào các bi u thức (1.4) và (1.8 ta t m đƣợc

q(0)  q0 , q(0)  q0 .
Hiệu chỉnh gi lượng véc tơ tọ độ suy rộng tại thời điểm tk 1 :
Cho biết q k  q(tk ), q k  q(tk ), q k  q(tk ) , ta cần phải x c định giá trị q(t) tại

tk 1  tk  t Trƣ c hết ta lấy gần đúng q k 1 bằng xấp x :
q

1
 q  q t  q (t )2
k 1
k
k
2 k

(1.17)

Sau đó x c định v c tơ chính x c hơn c a q k 1 theo công thức hiệu ch nh

q k 1  q k 1  q k 1

(1.18)

Áp dụng khai tri n Taylor hàm f  q, x  tại q k 1  q k 1  q k 1 , x k 1 ta đƣợc

f  qk 1 , xk 1   f (qk 1  qk 1 , xk 1 )  f qk 1 , xk 1   J q (q k 1 , x k 1 )q k 1  ...

(1.19)

Bỏ qua các xấp x b c cao, từ (1.19) ta suy ra

qk 1  J q1 (qk 1 , xk 1 )f  qk 1 , xk 1 

(1.20)

Sau đó ta ấy

q k 1 : q k 1  q k 1

(1.21)

15


Nếu q k 1   thì ta thay (1.21) vào (1.20) và tính q k 1 m i. Quá trình lặp tinh
ch nh kết thúc khi q k 1   . Kết quả ta đƣợc

q k 1  q k 1

(1.22)

Biết đƣợc nghiệm q k 1 , thế vào các bi u thức (1.4) và (1.8 ta t m đƣợc

q(tk 1 )  q k 1 , q(tk 1 )  q k 1 .
d) ánh giá s i số
Độ chính xác c a phƣơng ph p có th đƣợc x c định th ng qua c c phƣơng tr nh
liên kết

ei (tk )  fi (q(tk ), x(tk )) , i = ,…,r

(1.23)

Yêu cầu c a độ chính xác bài tốn là

ei (tk )  fi (q(tk ), x(tk ))   (i  1,..., r )

(1.24)

Nếu độ chính xác c a từng ƣ c tính khơng thỏa mãn u cầuvề độ chính xác (1.24)
q trình tính phải trở lại đầu ƣ c lặp và phải hiệu ch nh độ l n c a t .
Việc áp dụng phƣơng ph p Newton-Raphson giải ài to n động học thu n hoàn
toàn tƣơng tự. Cho biết q  q(t ) , tìm x  x(t ) . Ở đây phải sử dụng giả thiết r = m.
C c ƣ c tính to n tƣơng tự nhƣ tr n
Chú ý. Khi n  r ta phải sử dụng khái niệm ma tr n tựa nghịch đảo J q c a ma tr n
chữ nh t J q

Theo định ngh a ma tr n tựa nghịch đảo

JTq (J q J Tq )1 r  n

J q  J q1
rn
 T 1 T
(J q J q ) J q r  n

ta có cơng thức

(1.25)

Ta x t trƣờng hợp r  n Khi đó

J q  JTq (J q JTq )1

(1.26)

Thay cho phƣơng tr nh 1.4) ta có

q  J q J x x

(1.27)

Thay cho phƣơng tr nh 1.8) ta có

16


q  J q  J x x  J x x  J q J q J x x 

(1.28)

1.3 Phân tích động học cơ cấu tay quay con trƣợt không gian.
1.3.1 Thành l

t [6]

H nh

6 M h nh cơ cấu tay quay con trƣợt không gian

Khâu SAB là v t rắn quay quanh trục cố định SA (chọn AB vng góc v i SA),

con trƣợt C là v t rắn chuy n động tịnh tiến, thanh BC là v t rắn chuy n động
h ng gian Đặt AB=l1, BC=l2.
Ta chọn hệ trục vng góc O1ξ1η1ζ1 gắn v i hâu S B nhƣ sau: O1= , hƣ ng
ξ1 à hƣ ng

B, hƣ ng ζ1 à

S, hƣ ng η1 đƣợc chọn sao cho tạo thành một hệ qui

chiếu thu n.
Ta x c định một mặt ph ng П nhƣ sau: Qua đi m C vẽ một đƣờng th ng song
song v i trục quay SA c a khâu 1 và một đƣờng th ng song song v i phƣơng
chuy n động c a con trƣợt CD Hai đƣờng cắt nhau này x c định mặt ph ng П. Qua
O1 , vẽ một đƣờng th ng vng góc v i mặt ph ng П và cắt П tại O, nói cách khác
O chính là hình chiếu c a O1 lên П. Chọn hệ trục Oxyz v i: Gốc O là hình chiếu
c a A lên П, trục z hƣ ng theo OO1 , trục x hƣ ng song song v i CD, trục y đƣợc

17


chọn sao cho oxyz tạo thành một hệ qui chiếu thu n. nhƣ v y xoy nằm trên mặt
ph ng П. Gọi khoảng cách từ trục x đến CD là d, khoảng cách từ O đến O1 là h. Các
khoảng c ch này hoàn toàn x c định đối v i một cơ cấu cụ th .
Chọn hệ tọa độ O2ξ2η2ζ2 gắn v i BC và có O2 =B, ξ2 à hƣ ng BC. Chọn η2 sao
cho mặt ph ng O2ξ2η2 ln vng góc v i mặt ph ng П
Chọn hệ tọa độ O3ξ3η3ζ3 tịnh tiến c ng con trƣợt C: O3 =C, ξ3 hƣ ng theo CD,
η3 hƣ ng theo OZ.
Nh n xét: Khâu SAB quay quanh trục cố định SA nên luôn nằm trên mặt ph ng
R đi qua

và vu ng góc v i trục quay SA. Mặt ph ng R chứa OA vng góc v i

mặt ph ng П. Theo tính chất phép chiếu vng góc thì hình chiếu c a mặt ph ng R
lên П là một đƣờng th ng R П, tạo v i trục y một góc h ng đổi

H nh chiếu c a

một đi m bất k trên AB lên П cũng nằm tr n đƣờng th ng này.
nG

Theo tiêu chuẩn Gruebler ta có:

f   fGi  6nL  fth
i 1

V i f là số b c tự do c a cơ cấu fGi là số b c tự do c a kh p i; nG là số ƣợng
kh p; nL là số mạch vòng trong chuỗi, fth là số b c tự do thừa Đối v i cơ cấu này,
tồn tại một b c tự do chuy n động c a khâu BC quay quanh trục c a chính nó. B c
tự do chuy n động này không ảnh hƣởng g đến mối quan hệ động học giữa đầu vào
và đầu ra c a cơ hệ.
Ta có:
f=(1+3+3+1)-6-1=1.

(1.29)

Nhƣ vây, số b c tự do chuy n động c a cơ cấu=1. Ta chọn tọa độ suy rộng đ là ,
chọn các tọa độ suy rộng ƣ à () và ().
Từ hình vẽ ta có phƣơng tr nh ràng uộc chuy n động c a cơ cấu dạng v c tơ:
OA  AB  BC  CO  0

(1.30)

Chiếu lên các trục tọa độ xyz ta đƣợc:
l1 sin  sin   l2 sin  cos   xC  0
l1 sin  cos   l2 sin  sin   d  0

(1.31)

h  l1 cos   l2 cos   0

18


1.3.2 Giả bà oá

ộng họ

ợc

Áp dụng phƣơng ph p đã tr nh ày ở tr n, trƣ c hết ta đƣa phƣơng tr nh i n ết về
dạng:
f (s)

f (q, x )

0

(1.32)

Trong đó q, x ần ƣợt là tọa độ kh p và tọa độ khâu thao tác

q  

 

x  xC

T

(1.33)

V i ài to n động học ngƣợc ta đã iết tọa độ hâu thao t c x  xC cần t m tọa độ
h p q     

T

Ta có
f1
f2
f3

sin sin
- 1 sin cos
h
cos
1

sin cos
sin sin
2
cos

0
2

1

2

xC
d

0
0

(1.34)

Đạo hàm (1.34 ta đƣợc:
f1  1 cos  sin  

2

f 2   1 cos cos  
f3   1 sin  

 sin  sin   2 cos  cos   xC  0
2

 cos  sin   2 sin  cos   0

(1.35)

 sin   0

2

Ta có các ma tr n Jacobi:
1

Jq

cos sin
cos cos
1
sin
1

sin sin
cos sin
2
0
2

cos cos
sin cos
2
sin
2

2

, Jx

1
0
0

(1.36)

Theo (1.4) Ta có cơng thức x c định v n tốc các tọa độ suy rộng:

q  -J -1J x
q x

(1.37)

Đ x c định gia tốc các tọa độ suy rộng ta đạo hàm các ma tr n Jacobi theo thời
gian

19


1

Jq

1

Jx

sin sin

sin cos
cos
1

2

(

cos sin

sin cos )

2

(

sin sin

cos cos )

2

(
2

sin cos

cos sin )

( cos cos

0

2

sin sin )
cos

0
0
0

(1.38)

Theo (1.8) ta có cơng thức x c định v c tơ c c tọa độ suy rộng

q  -J -1q  J x x  J x x - J q J -1q J x x 

(1.39)

Giải ài to n động học ngƣợc. Cho biết xC (t ), xC (t ), xC (t ) , ta tính đƣợc

(t ), (t ), (t ) ,

(t ), (t ), (t ) , (t ), (t ), (t ) theo phƣơng ph p Newton-Rahpson cải tiến đã tr nh ày

ở tr n, v i c c gi trị tham số c a cơ cấu nhƣ sau:

h  15cm, l1  10cm, l2  30cm,d  10cm,   450 (0.7854rad )
Bộ th ng số đầu đƣợc chọn nhƣ sau:

0  1.0263, 0  0.8041(rad),  0  0.8330(rad),
Quy u t chuy n động c a con trƣợt :

x  21.3849  4sin(2pi*t)
Sử dụng phần mềm Matlab ta dễ dàng giải ài to n động học ngƣợc cơ cấu tay quay
con trƣợt C c ết quả tính to n đƣợc tr nh ày tr n c c đồ thị (hình 1.7, hình 1.8,
hình 1.10):

Hình 1.7 Đồ thị c c tọa độ ,,
20


Hình 1.8 Đồ thị v n tốc ,,

Hình 1.9 Đồ thị gia tốc ,,
21


Hình 1. 10 Sai số c a phƣơng tr nh i n ết
K t luận : Tr n đây à ết quả c a ài to n động học ngƣợc cơ cấu tay quay
con trƣợt. Ở đây đã gi i hạn vùng chuy n động c a con trƣợt đ tr nh đi qua c c
đi m k dị.
1.3.3 Giả bà oá

ộng học thu n

Bài to n đặt ra à cho biết q  q(t ) ,tức góc quay c a hâu ẫn    (t )
Cần t m x  x(t ) , tức à tọa độ khâu thao tác là x  x(t )
Ở đây ta chọn tọa độ suy rộng đ

à , và c c tọa độ suy rộng ƣ (), ( ,δ ).

Đ t m đƣợc x  x(t ) ta cần t m cả (t), (t)
tức à ta cần t m: x    (t)  (t) x(t)

T

Phƣơng ph p giải tƣơng tự nhƣ ài to n động học ngƣợc
Từ 1.35 ta rút ra đƣợc c c ma tr n Jaco i:
 l1 cos  sin  
J q   l1 cos  cos  
 l1 sin  

 l2 sin  sin 
J x   l2 cos  sin 

0

l2 cos  cos 
l2 sin  cos 
l2sin

1
0 
0 

Ta có c ng thức x c định c c v n tốc c c tọa độ suy rộng ƣ
hâu cuối

22

(1.40)

ao gồm cả tọa độ


x  J 1J q
x

(1.41)

q

Tiếp theo ta tính đạo hàm c c ma tr n Jaco i theo thời gian:
 l1 sin  sin  
J q   l1 sin  cos  
 l1 cos  

(1.42)

 l2  cos sin   l2 sin  cos 

J x   l2  sin  sin   l2 cos  cos 

0


l2  sin  cos   l2 cos  sin 
l2  cos  cos   l2 sin  sin 

l2 cos

0

0
0

Ta có c ng thức x c định gia tốc c c tọa độ suy rộng ƣ:

x  J x1 (J qq  J qq  J x J x1J qq)

(1.43)

Áp ụng phƣơng ph p Newton Raphson cải tiến ta ần ƣợt tính đƣợc tọa độ, v n
tốc, và gia tốc c c tọa độ suy rộng v i c c gi trị tham số c a cơ cấu nhƣ sau:

h  15cm, l1  10cm, l2  30cm,d  10cm,   450 (0.7854)
Bộ th ng số đầu đƣợc chọn nhƣ sau:

0  300 (0.5236 rad),  0  0.8240(rad),  0  0.6621(rad)
V n tốc c a hâu ẫn:

  2 pi(rad/ s)
Sử dụng phần mềm Matlab ta dễ dàng giải ài to n động học thu n c a cơ cấu tay
quay con trƣợt không gian. Một số ết quả tính to n đƣợc tr nh ày tr n c c đồ thị
hình 1.11 – hình 1.17

Hình 1.11 Đồ thị c c tọa độ suy rộng ƣ ,
23

Hình 1.12 Đồ thị v n tốc c c tọa độ suy rộng ƣ ,

Hình 1.13 Đồ thị gia tốc c c tọa độ suy rộng ƣ ,

24