các chuyên đề ôn thi đh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>



<i>Chuyên đề 2</i>

<b>:</b>

<b> </b>

LƯỢNG GIÁC



<i><b> Vấn đề 1:</b></i>

<b> </b>

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>

<b>1. Phương trình lượng giác cơ bản </b>

cosx = cos  x =  + k2
sinx = sin  x k2

x k2

   



    


tanx = tan  x =  + k

cotx = cot  x =  + k (với k  )

<b>2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác </b>
<b> </b> asin2_{x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,}__t__₁
acos2_{x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,}__t__₁
atan2_{x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx}

acot2_{x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx}

<b>3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx </b>

asinx + bcosx = c (*)

Điều kiện có nghiệm: a2_{+ b}2__c2
 <i>Cách 1: </i>Chia hai veá cho a2b2  0
(*) 

2 2

a

a b sinx + 2 2
b

a b cosx = 2 2

c
a b

Do

2

2 2

a

a b

 

 



  +

2

2 2

b

a b

 

 



  = 1

Nên có thể đặt

2 2

a

a b = cos, 2 2

b

a b = sin

Khi đó:

(*)  sinxcos + sincosx =

2 2

c

a b  sin(x + ) = 2 2
c
a b
 <i>Cách 2:</i> Chia hai vế cho a (giả sử a  0)

(*)  sinx +b

acosx =
c
a

Đặt b

a= tan. Khi đó: (*)  sinx +
sin
cos



cosx =

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 sinx cos + sin cosx =c

acos  sin(x + ) =
c
acos
 <i>Cách 3:</i> Đặt ẩn số phụ.

 Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0
 Xét x  (2k + 1) với (k  )

Đặt t = tanx

2

Khi đó: (*)  a 2t₂

1 t + b

2
2

1 t
1 t



 = c  (b + c)t

2_–_{2at + c}_–_{b = 0}

<b>4. Phương trình đối xứng: </b>a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx + cosx = 2cos x

4



 _ 

 

 

Điều kiện  t 2

Khi đó: t2_{= 1 + 2sinxcosx}__{sinxcosx =}t2 1
2



Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.
 <i>Chú ý: </i>a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx (với t  2)

<b>5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx </b>

asin2_{x + bsinxcosx + ccos}2_{x = 0}
 Xeùt cosx = 0  x =

2



+ k (k  ) có là nghiệm không?

 Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos2_{x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.}
 <i>Chú ý:</i> Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0

và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho cosk_{x và ta thu được một}
phương trình bậc k theo tanx.

<b>B. ĐỀ THI </b>

<b>Bài 1:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Giải phương trình: 1 sin2x cos2x₂ 2 sinx.sin2x
1 cot x

  _

 .

<i><b>Giaûi</b></i>

Điều kiện: sinx  0. Khi đó:

(1)    





2

1 sin2x cos2x _{2 sinx. 2sinxcosx}
1

sin x

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 sin x 1 sin2x cos2x2



 



2 2 sin x.cosx2

1 sin2x cos2x 2 2 cosx   (vì sinx  0)
 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 02   
 cosx 0 cosx sinx    2

   _ _

 

cosx 0 sin x 1

4

 x      k x  k2

2 4 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0).

Vậy nghiệm của (1) là x      k x  k2

2 4 (k  Z).

<b>Bài 2:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

<i><b>Giaûi</b></i>

sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   
 2sinx.cos2_{x + sinx.cosx = 2cos}2_x_–_{1 + sinx + cosx}
 sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1
 cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1

 sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1
 sinx = 1 hoặc 2cos2_{x + cosx}_–_{1 = 0}
 sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1

2

 x k2

2



   hoặc x  k2 hoặcx k2
3



   

 x k2

2



   hoặc x  k2

3 3 (k Z)
<b>Bài 3:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Giải phương trình:    



sin2x 2cosx sinx 1 ₀

tanx 3

<i><b>Giaûi</b></i>

   



sin2x 2cosx sinx 1 ₀

tanx 3 . Điều kiện: tanx   3 vaø cosx  0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 2cosx sinx 1



 

 

sinx 1 0 







sinx 1 2cosx 1



 



0


  



 _



sinx 1 (Loại vì khi đó cosx = 0)

1
cosx

2

 x   k2

3 (k Z).

So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x  k2

3 (k Z).
<b>Bài 4:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Giải phương trình: cos4x + 12sin2_x_–_{1 = 0.}

<i><b>Giaûi</b></i>

cos4x + 12sin2_x_–_{1 = 0}__2cos2_2x_–_{1 + 6(1}_–_cos2x)_–_{1 = 0}
 cos2_2x_–_{3cos2x + 2 = 0}__{cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)}
 2x = k2π  x = kπ (k  Z).

<b>Bài 5:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Giải phương trình:

(1 sinx cos2x)sin x

1

4 _cosx

1 tanx 2



  




 

 

 

<i><b>Giải</b></i>

Điều kiện: cosx 0 vaø tanx ≠ – 1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
(1 sinx cos2x).(sinx cosx)

cosx
1 tanx

   _



 (1 sinx cos2x).(sinx cosx)cosx cosx
sinx cosx

  




2

1 sin x cos2x 1 sin x cos2x 0

1

2sin x sin x 1 0 sin x 1(loại) hay sin x

2
7

x k2 hay x k2 (k Z)

6 6

      

       

 

        

<b> Bài 6:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0

<i><b>Giaûi</b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 cos2x (cosx + sinx + 2) = 0
 cos2x 0

cosx sinx 2 0 (vn)




 _ _{ }



 2x = k
2

_{ }

(k  )  x = k

4 2

_ 

(k  ) .

<b>Bài 7:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0    

<i><b>Giaûi</b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

2
2

2sin x cosx 1 2sin x 3sin x cosx 1 0
cosx(2sin x 1) 2sin x 3sin x 2 0
cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0
(2sin x 1)(cosx sin x 2) 0

     

     

     

    

1 x k2

sin x ₆

(k )

2

5

cosx sin x 2 (VN) x k2

6


  



  



     



 _

 _

 _

 _

.

<b>Bài 8:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Giải phương trình 4cos5xcos3x 2(8sinx 1)cosx 5

2 2    .

<i><b>Giải</b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5   

 2cos4x 8sin2x 5   2 4sin 2x 8sin2x 5 2  
 4sin2_2x_–_{8sin2x + 3 = 0}_ _sin2x 3

2

 (loại ) hay sin2x 1
2

 2x k2

6


   hay 2x 5 k2

6


  

 x k

12


   hay x 5 k

12


   (k  ) .

<b>Bài 9:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Giải phương trình:











1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx





</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
<i><b>Giải</b></i>

Điều kiện: sinx  1 và sinx  1
2

 (*)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
(1 – 2sinx)cosx = 3 1 2sinx 1 sinx











cosx 3sinx sin2x  3 cos2x

cos x cos 2x

3 6

 

   

 _  _ _  _

   

x k2 hoặc x k2

2 18 3

  

       (k  )

Kết hợp (*), ta được nghiệm: x k2

_

k

_

18 3

 

   

<b>Bài 10:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2 cos4x sin x



 3



<i><b>Giaûi</b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

(1 – 2sin2_{x)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x}_ 
 sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x
 sin3x + 3 cos3x 2cos4x cos 3x cos4x

6


 

  _  _

 

 4x = 3x k2 hoặc 4x 3x k2

6 6

 

        (k  )

Vaäy: x = k2 ; x k2



k



6 42 7

  

      .

<b>Bài 11:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Giải phương trình: 3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  

<i><b>Giải</b></i>

Phương trình đã cho tương đương:
3 cos5x



sin5x sinx



sinx 0
 3cos5x 1sin5x sinx

2 2   sin 3 5x sinx



 _ _

 

 

 5x x k2 hay   5x   x k2

3 3 (k  )

Vaäy: x =  k hay x    k



k



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Baøi 12:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Giải phương trình (1 + 2sinx)2_{cosx = 1 + sinx + cosx}

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

(1 + 4sinx + 4sin2_{x)cosx = 1 + sinx + cosx}
 cosx + 4sinxcosx + 4sin2_{xcosx = 1 + sinx + cosx}
 1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1

 sinx = 1 hay sin2x = 1
2

5

x k2 hay x k hay x k

2 12 12

  

           (với k  ) .

<b>Bài 13:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

Giải phương trình: 1 1 4sin 7 x

3

sin x _{sin x} 4

2



 

  _  _



 _   

 

 

<i><b>Giải </b></i>

Ta có: sin x 3 cosx
2



 _ _

 

 

Điều kiện: sin x 0
cosx 0




 _

  sin2x  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

1 1 4sin x

sinx cosx 4



 

   _  _

 





cosx sinx



 2 2 sinx cosx sinxcosx











cosx sinx 1





 2 sin2x



0



x k

4
tan x 1

cosx sin x 0

x k

1 ₂

sin2x ₂ sin2x 8

2 ₅

x k

8

    



 

   





 

 _ _ _{   }

 

   _{ }

 

  _

   



(k  ) .

<b>Bài 14:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Giải phương trình: sin x3  3 cos x sinxcos x3  2  3sin xcosx2

<i><b>Giaûi </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<b>Cách 1:</b> Phương trình đã cho tương đương:

sinx(cos x sin x)2  2  3 cosx(cos x sin x) 02  2 




cos x sin x sinx2  2





 3 cosx



0



k
x

cos2x 0 ₄ ₂

(k )

tan x 3 _x _k

3

 

  





 

 _{ } _



 _{   }



Nghiệm của phương trình là: x k

4 2

 

  và x k (k )

3


    

<b>Cách 2: </b>  cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).
 Chia hai vế của phương trình (1) cho cos3_{x ta được:}

tan x3  3 tanx  3 tan x3

 _{(tan x} _{3)(tan x 1) 0}2 tan x 3 x 3 k _k 

tan x 1 _x _k

4

    


  

     _ 

  

 _{   }



<b>Bài 15: </b>ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx.

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:
4sinx.cos2_{x + sin2x}_–₁_–_{2cosx = 0}

 2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0
 (sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0

  

sin2x 1haycosx      1 x k hayx2 k2 hay x  2 k2 (k  )

2 4 3 3

<b>Bài 16:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Giải phương trình: sin3x 3 cos3x 2sin2x .

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

1sin3x 3cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x

2 2 3 3

 

    

 sin 3x sin2x

3


 _ _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

 3x 3 2x k2 x 3 k2 (k )

4 k2

3x 2x k2 x

3 15 5

 

 _{ } _ _  _{ } _

 

 

 

  

 _{   } _ _  _ _

 

 

<b>Bài 17:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Giải phương trình: (1 + sin2_{x)cosx + (1 + cos}2_{x)sinx = 1 + sin2x}

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2
 (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0

 x k , x k2 , x k2 (k )

4 2

 

          .

<b>Bài 18:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Giải phương trình: 2sin2_{2x + sin7x}_–_{1 = sinx.}

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

sin7x  sinx + 2sin2_2x__{1 = 0}__cos4x(2sin3x__{1) = 0}

 cos4x = 0  x = k



k



8 4

_  _

 sin3x 1 x k2

2 18 3

 

    hoặc x 5 k2 (k )

18 3

 

   .

<b>Bài 19:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Giải phương trình: sinx cosx 2 3 cosx 2

2 2

 _  _ _

 

 

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

1 sinx 3 cosx 2 cos x 1

6 2



 

    _  _

  x 2 k2 , x 6 k2 (k )

 

       

<b>Bài 20:</b> ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI A NĂM 2007
Giải phương trình: 3tan x2 2 1 sinx

2 sinx

 

 _ _  

   

   

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: sinx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
3cot x2 2 2

sinx

   3₂ 2 1 0

sinx

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN







1 ₁

sin x

1 1 _{vô nghiệm}
sin x 3

 _





 _{ }



 x k2 , k





2


   

<b>Bài 21:</b> ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI B NĂM 2007
Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:
1 + sinx + cosx + sin x 0

cosx (điều kiện: cosx  0)





sinx cosx 1



1 0

cosx

 

 _  _

 

 sinx cosx 0

cosx 1

 



 _{ }

 

3

x k

4

x k2


   




   



(k  )

<b>Bài 22:</b> CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007
Giải phương trình: cos4_x_–_sin4_{x + cos4x = 0.}

<i><b>Giải </b></i>

<b> </b> Phương trình đã cho tương đương với:
cos2_x_–_sin2_{x + 2cos}2_2x_–_{1 = 0}

 2cos2_{2x + cos2x}_–_{1 = 0}_ cos2x 1
1
cos2x

2
 




 





x k

2

x k

6

   




    


(k  )

<b>Baøi 23:</b> CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007
Giải phương trình: 2sin3_{x + 4cos}3_{x = 3sinx.}

<i><b>Giải </b></i>

<b> </b> Phương trình đã cho tương đương với:

2sin3_{x + 4cos}3_x_–_3sinx(sin2_{x + cos}2_{x) = 0}
 sin3_{x + 3sinxcos}2_x_–_4cos3_{x = 0 (1)}
Dễ thấy cosx = 0 không phải là nghiệm của (1)

Do đó cosx  0, ta chia hai vế của (1) cho cos3_{x, ta được:}
(1)  tan3_{x + 3tanx}_–_{4 = 0}__(tanx_–_1)(tan2_{x + tanx + 4) = 0}

 tanx = 1 (do tan2_{x + tanx + 4 > 0 với}__x)

 x k
4


</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài 24:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Giải phương trình:





6 6

2 cos x sin x sinxcosx
0
2 2sinx

 




<i><b>Giải </b></i>

Điều kieän: sin x 2
2
 (1).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
 2(cos6_{x + sin}6_x)_–_{sinxcosx = 0}

 2 1 3sin 2x2 1sin2x 0

4 2

 _ _ _

 

 

 3sin 2x sin2x 4 02     sin2x = 1  x = k
4

_{ }_(k__).

Do điều kiện (1) nên: x 5 2m .
4



   (m  ).

<b>Bài 25:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

Giải phương trình: cot x sinx 1 tanxtanx 4
2

 

 _  _

 

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: sinx  0, cosx  0, (1)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

x x

cosx cos sin xsin

cosx _{sin x} ₂ ₂ ₄

x

sin x _{cosx cos}

2


 

 cosx sinx 4 1 4 sin2x 1

sinx cosx  sinxcosx  2
 x   k hay x5 k

12 12 (k  ), thỏa mãn (1)

<b>Bài 26:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Giải phương trình: cos3x + cos2x  cosx  1 = 0.

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

  

  

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 x = k hay x 2k2

3 (k  )

<b>Bài 27:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Giải phương trình: cos3x.cox3_x_–_sin3x.sin3_{x = 2 3 2}

8


<i><b>Giải </b></i>

Ta có cơng thức: sin3x = 3sinx – 4sin3_x_ _{sin x}3 3sinx sin3x

4



vaø cos3x = 4cos3_x_–_3cosx_ _{cos x}3 3cosx cos3x

4



Từ đó phương trình đã cho tương đương với phương trình

cos3x 3cosx cos3x sin3x 3sinx sin3x 2 3 2

4 4 8

  

 _  _

   

   

 cos 3x sin 3x 3(cos3xcosx sin3xsinx)2 2 2 3 2
2


   

1 3cos4x 2 3 2

2


   cos4x 2 x k (k )

2 16 2

 

     

<b>Bài 28:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Giải phương trình: (2sin2_x__1)tan2_{2x + 3(2cos}2_x__{1) = 0}

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện cos2x  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
cos2xtan2_{2x + 3cos2x = 0}__cos2x(tan2_2x_–_{3) = 0}

 cos2x 0 loại₂





tan2x 3 x k



k



6 2

tan 2x 3 0


 _ _

       



 


<b>Bài 29:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Giải phương trình: cos3_{x + sin}3_{x + 2sin}2_{x = 1}

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

(sinx + cosx)(1  cosxsinx)  cos2x = 0

 (sinx + cosx)(1  sinx. cosx  (cosx  sinx)) = 0
 (sinx + cosx)(1  cosx)(1 + sinx) = 0

 x k x k2 x k2 , k





4 2

 

          

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:

2x 2 3

4sin 3 cos2x 1 2cos x

2 4



 

   _  _

 

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:
 2(1 cosx) 3 cos2x 1 1 cos 2x 3

2


 

     _  _

 

 2 – 2cosx  3 cos2x = 2 – sin2x
 3cos2x – sin2x = 2cosx
 3cos2x 1sin2x cosx

2 2    cos 2x 6 cos( x)



 _ _ _{ }

 

 



5 2

x k

18 3

7

x k2

6

 

  





    


(k  )

Do x  (0; ) neân ta có nghiệm: x₁ 5 , x₂ 17 , x₃ 5

18 18 6

  

   .

<b>Bài 31:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: sinxcos2x cos x tan x 1 2sin x 0 2



2  



3  .

<i><b>Giải </b></i>

Điều kieän: cosx  0  sinx  1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

2

2 3

2

sin x

sinx.cos2x cos x 1 2sin x 0

cos x

 

 _  _ 

 



2



sinx cos2x 2sin x cos2x 0

   

2

sinx(cos2x 1 cos2x) cos2x 0
2sin x sinx 1 0

    

   

sin x 1 (loại) x k2

6 _k

1 ₅

sin x _x _k2

2 ₆




    

 _



_  



 _{   }

 _

<b>Bài 32:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Giải phương trình: tan x 3tan x2 cos2x 1₂

2 cos x

 

 _ _ _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: cosx  0 và sinx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
cot x 3tan x2 2sin x₂2

cos x


   1 tan x 02 tan x3 1

tanx

      

tanx 1 x k

4


       (k  ) thỏa điều kiện.

<b>Bài 33:</b>

Giải phương trình: 5sinx  2 = 3(1  sinx)tan2_x

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện cosx  0  sinx  1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
5sinx 2 3 1 sinx .

_

_

sin x2₂ 3 1 sinx

_

_

sin x2₂

cos x 1 sin x

    


 (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin2_x

 5sinx + 5sin2_x_₂__{2sinx = 3sin}2_x
 2sin2_{x + 3sinx}__{2 = 0}



1

sin x (thỏa mãnđk)

2

sinx = 2 (loại)

 _









x k2

6
5

x k2

6

   




   


(k  )

<b>Bài 34: </b>

Giải phương trình (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sin2x  sinx.

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

(2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx
 (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)
 (2cosx  1) (sinx + cosx) = 0



1 x = k2

cosx ₃

2

tan x 1 x k

4



 _ _ _

 _ _

 _{ }

 _{ } _ _{   }

 _

(k  )

<b>Bài 35:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: 4(sin3_{x + cos}3_{x) = cosx + 3sinx.}

<i><b>Giaûi </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Phương trình đã cho tương đương với:

4tan3_{x + 4 = 1 + tan}2_{x + 3tanx(1 + tan}2_x)

tan3_x_–_tan2_x_–_{3tanx + 3 = 0}__(tanx_–_1)(tan2_x_–_{3) = 0}
 tanx 1haytan x 3 2  tanx 1 haytanx   3
 x   k hay x    k



k



4 3

<b>Bài 36:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: 1 1 2 2 cos x

cosx sinx 4



 

  _  _

 

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện cosxsinx  0  x k
2



 (k  )

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
sinx cosx 2 2 cos x cosxsinx

4


 

  _  _

 

  _ _ _ _

   

2 cos x 2 cos x sin2x

4 4

 _ _  

 

cos x 0 hay sin2x 1

4



x k

4 2

2x k2

2

 
    






 _{  } _





x k

4

x k

4

   




    


(k  )

<b>Baøi 37:</b>

Giải phương trình cotx  1 = cos2x sin x2 1sin2x

1 tanx  2 .

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện


    


 

 _  _{ } 

 _  _

 _{ }



x k

tan x 1 ₄

x k

sin x,cosx 0 _{x k} 2

2

(k  )

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:





2 2

2

cos x sin x cosx

cosx sinx _{sin x cosxsinx}

sinx cosx sinx



 _ _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 cosx sinx

_

cosx sinx cosx sinx sinx cosx

_

_

_

sinx

 _ _ _ _

 cosx sinx 0hay 1 sinxcosx sin x     2
 tanx = 1 hay1 tan x tanx tan x  2   2













    _

 _{   } _



   

 2

x k

4 x k , k

4
2tan x tanx 1 0 vô nghiệm

<b>Bài 38:</b>

Giải phương trình: cotx  tanx + 4sin2x = 2
sin2x

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện sin2x  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

 2cos2x 4sin2x 2 2cos2x 4sin 2x 22

sin2x  sin2x  

 2cos2_2x__cos2x__{1 = 0}







cos2x 1 loại

1
cos2x

2





 _{ }



 cos2x = 1

2

  x k



k



3


    

<b>Baøi 39:</b>

Giải phương trình sin2 x tan x cos2 2x 0.

2 4 2



 _  _ _

 

 

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: x k , k
2



   

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

1 cos x 2 tan x2 1 cosx 0

2 2



 

 _  _ _

 

          



2
2

sin x 1 cosx 1 cosx

(1 sinx) 1 cosx 0 1 cosx

1 sinx
cos x

 1 cosx 0hay1 cosx 1 sinx    









 

    



      _ 

    


x k2 nhaän

cosx 1 hay tanx 1 k

x k nhaän

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bài 40:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Giaûi phương trình: 3  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: cosx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
3 sinx sinx 2sinx 6cosx 0

cosx cosx

 

 _  _ 

 

 3cos2_x_–_{sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos}3_{x = 0}
 3cos2_{x(1 + 2cosx)}_–_sin2_{x(1 + 2cosx) = 0}
 1 + 2cosx = 0 hay 3cos2_x_–_sin2_{x = 0}

 cos2x 1 hay tan x 32      x  k k  haytanx 3

2 3

    x  k k  
3

<b>Bài 41:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: 3cos4x  8cos6_{x + 2cos}2_{x + 3 = 0}

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:
3(1 + cos4x) – 2cos2_x_(4cos4_x_–_{1) = 0}
 6cos2_2x_–_2cos2_x(2cos2_x_–_1)(2cos2_{x + 1) = 0}
 6cos2_2x_–_2cos2_{x(cos2x)(2cos}2_{x + 1) = 0}
 2cos2x = 0 hay 3cos2x – cos2_x(2cos2_{x + 1) = 0}

  

  

 4 2

cos2x 0

2cos x 5cos x 3 0







2

2

cos2x 0

k

2x k x

cos x 1 ₂ ₄ ₂ _{, k}

3 _{x k} _{x k}

cos x loại

2



  

 

 _{  } _{ }

  

 _ _ _

 

 _{ } _{ }

 

 



<b>Bài 42:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Giải phương trình:





2 x

2 3 cosx 2sin

2 4 ₁

2cosx 1



 

  _  _

 _{ }

 .

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: cosx 1
2


</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

(2 3)cosx 1 cos x 2cosx 1 3 cosx sinx 0
2

   

  _ _  __     

 

 

 tanx 3 x k ; (k )

3


     

Kết hợp lại điều kiện cosx 1.
2

 Ta choïn x4m2 , m 
3

<b>Bài 43:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: cotx = tanx + 2cos4x
sin2x

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện sin2x  0  cos2x 1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
cosx sinx 2cos4x

sinx cosx 2sinx.cosx   cos

2_{x = sin}2_{x + cos4x.}

 cos2_x_–_sin2_x_–_(2cos2_2x_–_{1) = 0}__2cos2_2x_–_cos2x_–_{1 = 0}
 cos2x 1 loại haycos2x





  1 cos2

2 3 







    

x k k

3

<b>Baøi 44:</b>

Giải phương trình sin2_3x__cos2_{4x = sin}2_5x__cos2_6x.

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x

2 2 2 2

 _  _  _ 

 cos8x + cos6x = cos12x + cos10x

 cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = 0 hay cos11x = cos7x


 _{ }

 _ _

 _




 _   


 

 _ _


 



x = k

2 _{x = k}

2

x k

2 _{x k}

9
x k

9

(k  )

<b>Bài 45:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Giải phương trình: sin x cos x 14 4 cot 2x 1

5sin2x 2 8sin2x

 _ _ _.

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện sin2x  0

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2 2

1 2sin x.cos x 1 cos2x 1

5sin2x 2 sin2x 8sin2x

 _ _









 _



     

 _



2

9
cos2x loại

9 2

cos 2x 5cos2x 0

1

4 _cos2x _nhaän

2
cos2x = 1 cos

2 3



  x =  k

6

_{ }_(k_₎

<b>Bài 46:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình





2
4

4

2 sin 2x sin3x
tan x 1

cos x


  .

<i><b>Giải </b></i>

Điều kieän cosx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
sin4_{x + cos}4_{x = (2}_–_sin2_2x).sin3x

 1 – 2sin2_x.cos2_{x = (2}_–_sin2_2x).sin3x
 (2 – sin2_{2x) = 2(2}_–_sin2_2x).sin3x
 2 – sin2_{2x =0( loại) hay 1 = 2sin3x}

 sin3x = 1

2

 

  


  _ _

  



2

x k

18 3

5 2

x k

18 3

(k  )

<b>Bài 47:</b> CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I
Giải phương trình: sin x2 sin x2 2 3 sinx

3 3 2

  

 _ _  _ _

   

   

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

sin x2 sin2 x 3 sinx

3 3 2

  

 _ _  _ _

   

   



2 2

1 cos 2x 1 cos 2x

3 sinx

3 3

2 2 2

 

   

 _  _  _  _



 _  _

 1 sinx cos 2x 2 cos 2 2x 0

3 3

 

   

  _  _ _  _

   

   _ _ 

 

1

1 sinx 2 cos2x 0

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN



sin x 0
1
sin x

2




 




x k

x k2

6
5

x k2

6
 


 _

   


 _

   



(k  )

<b>Baøi 48:</b> CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TP. HCM
Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: cos5x  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
sin5x. cos3x = sin7x. cos5x

 1



sin2x sin8x



1



sin2x sin12x



2  2 

 sin12x = sin8x 
k
x

2 _(k ₎

k
x

20 10

 





 

  


<b>Bài 49</b>: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM
Giải phương trình: 1 1 2 sin x

cosx sinx 4



 

  _  _

 

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện: cosx  0; sinx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)

 sinx + cosx = 0 hay 2 = sin2x ( vô nghiệm)
 tanx = 1  x k

4


   (k  )

<b>Bài 50:</b> CĐSP TW TP. HCM

Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

sinx =1

2 hay sin x 4


 _ 

 

  = sin4

 _ x ₆ k2

5

x k2

6

   




   


hay x 2 k2

x k2


   




   



(k  )

<b>Bài 51:</b> CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI
Giải phương trình: sin6_{x + cos}6_{x =}_{2sin x}2

4


 _ 

 

 

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:
1  3

4sin

2_{2x = (sinx + cosx)}2__3sin2_{2x + 4sin2x = 0}
 sin2x = 0 hay sin2x = 4

3 (loại)  x = k2

_(k_₎

<b>Bài 52:</b> CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM

Giải phương trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =1 cos8x

2



<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

1cosx cos3x 1cos7x cos3x 1 cos8x

2 2 2



 

 

 cosx + cos7x = 1 + cos8x  2cos4xcos3x = 2cos2_4x



k
x

cos4x 0 ₈ ₄

cos4x cos3x _x k2

7

 

  





 

 _ _



 _



(k  )

<b>Bài 53:</b> CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN
Giải phương trình: cosx.cos2x.sin3x = 1

4sin2x

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx
 cosx 0 hay2cos2xsin3x sinx  

 x =
2

_{+ k}__(k__{) hay sin5x + sinx = sinx}

 x =
2


+ k hay x = k
5



(k  )



<i><b> Vấn đề 2:</b></i>

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<b>Baøi 1:</b>

Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:
cos3x sin3x

5 sinx cos2x 3

1 2sin2x


 _ _ _

 _ 

  .

<i><b>Giải </b></i>

<b> </b> Điều kieän 1 + 2sin2x  0 (1)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:

5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5(sinx + cosx  cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5cosx = cos2x + 3 (Vì 1 + 2sin2x  0)
 5cosx = 2cos2_{x + 2}__{cosx = 1}

2(thỏa điều kiện (1))

 x k2

3


   (k  )

Vì nghiệm x thuộc khoảng (0; 2) nên x x = 5

3 3

 

 

<b>Baøi 2:</b>

Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x  4cos2x + 3cosx  4 = 0.

<i><b>Giải </b></i>

<b> </b> Phương trình đã cho tương đương với:

4cos3_x__3cosx__{4 (2cos}2_x__{1) + 3cosx}__{4 = 0}
 4(cos3_x__2cos2_{x) = 0}

 cosx = 0  cosx = 2 (loại)  x =
2

_{+ k}__(k_₎

Vì x  [0; 14] neân x =
2

_{, x = 3}
2

_{, x = 5}
2

_{, x = 7}
2

_.



<i><b> Vấn đề 3:</b></i>

<b> </b>

<b>ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC </b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>B. ĐỀ THI</b>

<b> Bài 1:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Xác định m để phương trình 2(sin4_{x + cos}4_{x) + cos4x + 2sin2x}__{m = 0 có ít nhất}
một nghiệm thuộc đoạn 0;

2


 

 

 .

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

<b> </b> 2(1 – 2sin2_x.cos2_{x) + 1}_–_2sin2_{2x + 2sin2x}_–_{m = 0}

 _  _   

 

2 2

1

2 1 sin 2x 1 2sin 2x 2sin2x m

2

 3sin2_{2x + 2sin2x + 3 = m} ₍₁₎
Đặt t = sin2x. Vì x  0;

2


 

 

   0  2x  0  sin2x  1  0  t  1
(1) thaønh 3t2_{+ 2t + 3 = m} _{(2); 0}__t_₁

Đặt f(t) = 3t2_{+ 2t + 3}

 f'(t) = 6t + 2  f'(t) = 0  t = 1

3
 Bảng bịến thiên

t _₀1

3 1 +

f'(t) + 0 

f(t) ₁₀

3

3 2

 Nhận xét: (2) là phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng : y = m
và đường cong (C). Từ đó (1) có nghiệm x  0;

2


 

 

 

 vaø (C) có điểm chung trên [0;1]  2  m  10
3 .

<b>Bài 2:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Cho phương trình 2sinx cosx 1 a
sinx 2cosx 3

  _

  (1) (a laø tham số)

<b>a/</b> Giải phương trình (1) khi a = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
<i><b>Giải </b></i>

Tập xác định của phương trình (1): D = . Do đó:

(1) 2sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3)
 (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a – 1

<b>a/ </b>Khi a = 1
3:

5 5

(1) sinx cosx 0 sinx cosx 0

3 3

     

sinx cosx tanx 1 x k (k )

4


           

<b>b/</b> Do (2 – a)2_{+ (2a + 1)}__{0 nên điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là}
(2 – a)2_{+ (2a + 1)}2__(3a_–₁₎2__2a2_–_3a_–₂_₀__{1 a 2}

2
  



<i><b> Vấn đề 4:</b></i>

<b> </b>

<b>BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC </b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>
 Sử dụng công thức trong tam giác tương ứng

 Nhận dạng tam giác bằng cách rút gọn hệ thức đã cho hay chứng tỏ hệ thức đó
là điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức

<b>Hệ thức trong tam giác cần chú ý </b>
<b>a.</b> Định lí hàm số sin: a b c 2R

sinA sinB sinC  

<b>b.</b> Định lí hàm số cosin: a2_{= b}2_{+ c}2_–_{2bccosA; b}2_{= a}2_{+ c}2_–_2accosB
c2_{= a}2_{+ b}2_–_2abcosC

<b>c.</b> Định lí đường trung tuyến: m2_a 2b2 2c2 a2
4

 



<b>d.</b> Định lí đường phân giác: <i>l</i>a =

A
2bc.cos

2
b c

<b>e.</b> Diện tích tam giác:
S = 1

2a.ha = 12absinC = abc4R = pr = (p – a).ra = p(p a)(p b)(p c)  

<b>f.</b> Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (p – a)tan A

2 = (p – b)tan B2 = (p – c)tan C2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Bài 1:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức:

Q = sin2_{A + sin}2_B__sin2_{C đạt giá trị nhỏ nhất.}

<i><b>Giaûi </b></i>

Ta coù: _Q 1_{(1 cos2A)} 1_{(1 cos2B) sin C}2

2 2

    

 1 cos(A B).cos(A B) sin C   2 = 1 + cosC cos(A  B)  1 + cos2_C
= cos2_{C + cosC. cos(A}__B)

= cosC 1cos(A B) 2 1cos (A B)2 1

2 4 4

 _ _  _ _ _{ }

 

 

Vaäy _min 0

0

A B _{C 120}

1

Q ₄ _cosC 1

A B 30
2



 _{ }

 

  _ _

  _ _{ }

 



<b>Bài 2:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Xác định hình dạng của tam giác ABC, biết rằng:



_{p a sin A}_



2 _



_{p b sin B c.sinA.sinB}_



2 _

Trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p a b c
2
 

 .

<i><b>Giaûi </b></i>

(p – a)sin2_{A + (p}_–_b)sin2_{B = c.sinA. sinB}
 (p – a)a2_{+ (p}_–_b)b2_{= abc (định lý hàm sin)}




p a a







p b b p p a a p p b b



















p

bc ac bc ac

a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c

( p. p a







 p.r _Aabc. 1 _A a _A  sinA_A1 cosA

bc _b.c.tan 4R _b.c.tan _4.R.tan _2.tan 2

2 2 2 2

)

acosA + bcosB = c
 sin2A + sin2B = 2sinC

 2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC

 cos (A – B) = 1  A = B  ABC cân tại C.

<b>Bài 3:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a, CA = b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
<i><b>Giaûi </b></i>

<b> </b>Tính diện tích tam giác

Từ b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20

 4R2_{sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20}

 4R2_{.sinB.sinC.sinA = 20} ₍₁₎

Ta coù: S abc 8R .sinA.sinB.sinC3 2R .sinA.sinB.sinC2

4R 4R

   (2)

Thế (1) vào (2)  S = 10 (đvdt)

<b>Bài 4:</b>

Gọi x, y, z là khoảng cách từ các điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

x y z a2 b2 c2
2R

 

   . Dấu “=” xảy ra khi nào?
(a, b, c là các cạnh của ABC, R là bán kính đường trịn ngoại tiếp).

<i><b>Giải </b></i>

Ta có: a2 b2 c2 a a b. b c. c

2R 2R 2R 2R

  _ _ _

VPasinA bsinB csinC  a2S b2S c2S 2S a b c

bc ac ab bc ac ab

 

    _   _

 

Mặt khác ta có: 2S = ax + by + cz, do đó:
a2 b2 c2



ax by cz



a b c

2R bc c ab

  _ _ _  _{ } 

 

  (1)

Ta coù: a b c 1 b c 1 c a 1 a b

bc ac ab 2a c b 2b a c 2c b a

     

   _  _ _  _ _  _

     

Vaäy a b c 1 1 1

bc ac ab a b c    

b c

Vì 2

a b

 _{ } 

 

  (2)
Từ (1) và (2) ta có:





  _ _ _  _{ } 

 

 

2 2 2

a b c _{ax by cz} 1 1 1

2R a b c

_   _ 



 



 

2 ₂

1 _ax 1 _by 1 _cz _x _y _z

a b c

Suy ra: x y z a2 b2 c2

2R

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Dấu “=” xảy ra b c a c a b 2c b c a b a a b c ABC đều
x y z M : trọng tâm

a x b y c z

          



_ _ _

 

 

 _ _



<b>Baøi 5:</b>

Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh rằng để tam giác ABC
đều thì điều kiện cần và đủ là:

cos2A cos2B cos2C 2 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2 4 2 2 2

  

   

<i><b>Giaûi </b></i>

Ta coù: cos2A cos2B cos2C 2 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2 4 2 2 2

  

    <b> </b>

2A 2B 2C A B B C C A

4cos 4cos 4cos 8 cos cos cos

2 2 2 2 2 2

  

    

A B B C C A

2 2cosA 2 2cosB 2 2cosC 8 cos cos cos

2 2 2

  

       





A B B C C A

2 cosA cosB cosC 1 cos cos cos

2 2 2

  

    

A B C

Ta bietá cosA + cosB + cosC 1 = 4sin sin sin

2 2 2

A B C A B B C C A

8sin sin sin cos cos cos

2 2 2 2 2 2

 _ 

 

 

  

 

Nhân hai vế cho 8cos cos cosA B C

2 2 2

 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)
 sinA = sinB = sinC (Cauchy coù VP  VT)

</div>

<!--links-->