các chuyên đề ôn thi đh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>



<i>Chuyên đề 4</i>

<b>: </b>

<b> </b>

TÍCH PHÂN



<i><b> Vấn đề 1:</b></i>

<b> </b>

<b>BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN </b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>

Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các
tích phân cơ bản

1/

_

b 

_

b

a a

k.f(x)dx k f(x)dx 2/

_

b









_

b 

_

b

a a a

f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx

3/

_

b 

_

c 

_

b

a a c

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

<b>BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN </b>

Ngun hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

1.

_

dx x c; kdx kx c 

_

 

2.  _  _ _{  }

 



x dx x 1 c, ( 1)
1

3.



dxln x c

x

4.

_

e dx ex  x c

5.



a dxx  ax c (0 a 1) 

lna

6.

_

cosxdx sinx c 
7.

_

sinxdx cosx c
8.

_

dx₂ tanx c

cos x

9.

_

dx₂  cot x c

sin x

10.

_

tanxdx ln cosx c

11.

_

cot xdx ln sinx c 

(u = u(x))

1.  _  _ _{  }

 



u u'dx u 1 c ; ( 1)

1

2.

_

u'dx ln u c 

u

3.

_

e u'dx eu  uc

4.



a u'dxu  au c (0 a 1) 

lna

5.

_

u'cosudx sin u c 
6.

_

u'sin udx cosu c
7.

_

u' dx tanu c₂  

cos u

8.

_

u' dx cotu c₂   

sin u

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Đặc biệt: u(x) = ax + b;

_

f(x)dx F(x) c  

_

f(ax b)dx 1F(ax b) c 

a

1. _  _   _

 



(ax b) dx 1 (ax b) 1 c

a 1

2.   





dx 1ln ax b c

ax b a

3.

_

_eax b _dx_1_eax b

a

4.   _ _{   }





_a x _dx 1_{ln x} _c
5.



cos(ax b)dx 1sin(ax b) c 

a

6.

_

sin(ax b)dx  1cos(ax b) c 

a

7.   





2

dx _{1 tan(ax b) c}

a
cos (ax b)

   





2

dx 1

8. cot(ax b) c

a
sin (ax b)

1

9. tan(ax b)dx ln cos(ax b) c

a



   



   



1

10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c

a

11.   






2 2

dx 1 _ln x a _c

2a x a

x a

<b>B – ĐỀ THI </b>
<b>Bài 1:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Tính tích phân 2
1

2x 1

I dx

x(x 1)








<i><b>Giaûi</b></i>

I = 2

1

(x 1) xdx
x(x 1)

 




= 2

1

1 _{1 dx}

x 1 x

 _ 

 _ 

 



=



lnx(x 1)



₁2 ln6 ln3

2

   .

<b>Bài 2:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Tính tích phân:  




1
0

2x 1

I dx

x 1

<i><b>Giaûi</b></i>








1
0

2x 1

I dx

x 1 <b> = </b>

 _ 

 _ 

 



1
0

3

2 dx

x 1 <b> = </b>



 



1
0

2x 3ln x 1 = 2 – 3ln2.

<b>Bài 3:</b> CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007

Tính các tích phân sau:     




2 4 3 2

2
1

x x 3x 2x 2

I dx

x x

<i><b>Giaûi </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

       

 

4 3 2

2

2 2

x x 3x 2x 2 _x ₃ x 2

x x x x =    

2 1 2

x 3

x 1 x

 _    _ 


 



2

2
1

1 2

I x 3 dx

x 1 x

 

   

 

 

 

2
3

1

x _{3x ln x 1 2ln x}

3

I = 16ln3

3 8

<b>Bài 4:</b> CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007
Tính tích phân: 





1x

dt
I(x)

t(t 1), với x > 1. Từ đó tìm xlim I(x)

<i><b>Giải </b></i>

I(x) =







    





x x

1 1

dt 1 1 _dt

t t 1 t t 1 =













 

x
x

1 ₁

t

lnt ln t 1 ln

t 1

= 


x 1

ln ln

x 1 2



 

 

 

 _  _



 

x x

x 1

lim I x lim ln ln ln2

x 1 2

<b>Bài 5:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005

Tính tích phân: 4



sin x



0

tan x e cosx dx







<i><b>Giaûi </b></i>

<b> </b>









  



_

4  sin x 

_

4 

_

4 sin x

0 0 0

I tanx e .cosx dx tanxdx sinx 'e dx

=





 




 4 sin x 4

0 ₀

ln cosx + e   

2
2

ln 2 e 1.

<b>Bài 6:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân: 




3 3
1

dx
I

x x

<i><b>Giải </b></i>

     _  _  _  _

       



13 3



13 2 22



13 2



13 2

dx 1 x x 1 x 1 1 2x

I dx dx dx

x x 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
_   _ _   _

 

 

2 2

1 3 3

lnx ₂ln(x 1) lnx ln x 1

1 1

   

 2

x 3 3 1 6

ln ln ln ln

2 2

1 2

1 x

<b>Baøi 7:</b>

Tính tích phân : I =

_


2

2
0

x xdx.

<i><b>Giải </b></i>

Tính 

_

 

_







 

_







2 1 2

2 2 2

0 0 1

I x x dx x x dx x x dx

Do : x 0 1 2

x2__x__{0 +} 

__ _ _ _ _ _ 

   

3 2 ₁ 3 2 ₂

x x x x

I 1

0 1

3 2 3 2 .

<b>Bài 8:</b> ĐỀ DỰ BỊ 3
Cho hàm số: f(x) =









x
3

a _bxe

x 1 .

Tìm a và b biết rằng f’(0) =  22 và

_

1 
0

f(x)dx 5

<i><b>Giải </b></i>

Ta coù:  


x

3

a

f(x) bx.e

(x 1)

            



x
4

3a

f (x) be (x 1) f (0) 3a b 22 (1)

(x 1)

     _    _   



 







1

1 1 1

3 x x x

2

0 0 0 0

a 3a

f(x)dx a(x 1) dx b xe b(xe e ) b 5 (2)

8
2(x 1)

(1) vaø (2) ta có hệ:

   

 _ _

 _

 _{ } _{ }




3a b 22 _{a 8}

3a _{b 5} _{b 2}

8

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>



<i><b> Vấn đề 2:</b></i>

<b> </b>

<b>TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ </b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>
<b>ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I</b>

1. Sử dụng cơng thức: 


 



b



a

f[u(x)].u (x)dx f(u)du

2. Phương pháp: Xét tích phân 

_

b
a

I f(x)du

- Đặt t = u(x)  dt = u'(x)dx
- Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2

- Suy ra: t2 t2_t1
t1

I

_

g(t)dt g(t) (g(t) f[u(x)].u (x))  
Thường đặt ẩn phụ t là

 căn thức, hoặc mũ của e, hoặc mẫu số, hoặc biểu thức trong ngoặc.
 có sinxdx  đặt t = cosx, có cosxdx  đặt t = sinx, có dx

x đặt t = lnx.

<b>ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II</b>

 Công thức: 


  



/



b

a

f( (t)) (t)dt f(x)dx ; x (t); ( ) a, ( ) b      

 Tính: 

_

b
a

I f(x)dx

Đặt x (t)  dx (t)dt

Đổi cận: x (t); ( ) a, ( ) b      
Khi đó: 







_

  

_

b

a

I f( (t)). (t)dt f(x)dx

Các dạng thường gặp: 1.



 
b

2 2

a

a x dx đặt x asint

2. 





b

2 2

a

dx _{đặt x asin t}

a x 3.

b

2 2

a

dx _{đặt x atan t}

a x 



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

Tính tích phân : 4





0

xsinx x 1 cosx

I dx.
xsinx cosx


 





<i><b>Giải</b></i>

Ta có: 4
0

xsin x cosx x cosx

I dx

xsin x cosx


 





4
0
x cosx
1 dx

xsin x cosx


 
 _  _


 



4 4 4
0

0 0

xcosx xcosx

x dx dx

xsinx cosx 4 xsinx cosx

 


   
 





Đặt t = xsinx + cosx  dt = xcosxdx.
Khi x = 0 thì t = 1, x =

4thì t =

2 ₁
2 4

 _ 

 
 
Suy ra:
_
 
 

 

_

2 ₁
2 4
1
dt
I
4 t
_ 
 
 

 
2 ₁
2 4
1
ln t
4
 
 
  _  _
 
2
ln 1

4 2 4 .

<b>Bài 2: </b>ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Tính tích phân: 4

0

4x 1

I dx.

2x 1 2




 



<i><b>Giải</b></i>

Đặt: t 2x 1 2   2x 1 t 2    2x 1 t  2 4t 4

x t2 4t 3
2

 

  dx = (t – 2)dt.
x = 0  t = 3, x = 4  t = 5.

Suy ra:





2
5
3

t 4t 3

4 1

2

I t 2 dt

t
  _


_

 =









2
5
3

2t 8t 5 t 2

dt
t

  



= 5 3 2
3

2t 12t 21t 10_dt

t

  



= 5 2

3

10

2t 12t 21 dt

t
 _ _ _ 
 
 



=
5
3
2
3

2t _6t _{21t 10ln t}

3
 
  
 
 
  =

34 _10ln3

3  5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Tính tích phân: I =




e

2
1

ln x _dx

x(2 ln x)

<i><b>Giải</b></i>

Ñaët u lnx du1dx

x , x = 1  u = 0, x = e  u = 1









 

 

  

  

 _  _



2



2

1 1

0 0

u 1 2

I du du

2 u

2 u 2 u

 

_   _



 

1
0

2
ln 2 u

2 u

_  _







 

2

ln3 ln2 1

3

 
 _{ }

 

3 1

ln

2 3.

<b>Bài 4</b>: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Tính tích phân: 




3

x
1

dx
I

e 1.

<i><b>Giải</b></i>

Đặt t = ex__{dx =}dt

t ; x = 1  t = e; x = 3  t = e
3





 

  _  _

   





3 3

e e

e e

dt 1 1

I dt

t t 1 t 1 t   

3 3

e e

e e

ln t 1 ln t ln e



2  e 1 2



<b>Bài 3:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

Tính tích phân:






6 4

0

tan x

I dx

cos2x

<i><b>Giải </b></i>

<b>Cách 1: </b> Đặt t = tanx  dt = (1 + tan2_x)dx_ _

 2

dt _dx

1 t

 


2
2

1 t
cos2x

1 t

 Đổi cận: x = 0  t = 0; x   t 3

6 3

 Khi đó:   _   _

   





3 3

3 4 3

2

2 2

0 0

t 1

I dt t 1 dt

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
    _    



 

 

3 3

t _t 1 1 t_ln 1_ln 3 1 10

3

3 2 1 t ₀ 2 3 1 9 3

<b>Cách 2: </b>

Ta có:

  

  

 







6 4 6 4 6 4

2 2 2 2

0 0 0

tan x tan x tan x

I dx dx dx

cos2x cos x sin x cos x(1 tan x)

Đặt: t = tanx  dt dx₂

cos x

Đổi cận: x = 0  t = 0; x   t 3

6 3

Khi đó:    






3

3 4

2
0

t 1 3 1 10

I dt ln

2 3 1 9 3

1 t

<b>Bài 4:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Tính tích phân:

 _ __



 

 



  



4
0

sin x dx

4
I

sin2x 2(1 sinx cosx)

<i><b>Giaûi </b></i>

Tính tích phân:

 _ __



 

 



  



4
0

sin x dx

4
I

sin2x 2(1 sinx cosx)

Đặt t = sinx + cosx      _ _

 

dt (cosx sinx)dx 2 sin x dx

4

Đổi cận: x = 0  t = 1; x   t 2
4

Ta coù: t2_{= sin}2_{x + cos}2_{x + 2sinxcosx = 1 + sin2x}__{sin2x = t}2_–₁

Khi đó:    

   



2 2



2 2

1 1

2 dt 2 dt

I

2 t 1 2(1 t) 2 (t 1)

  _  _ 

   

2 1_. 2 2 1 1 4 3 2

2 t 11 2 2 1 2 4 .

<b>Bài 5</b>: ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI B NĂM 2007
Tính tích phân: 

 



1
2
0

1

I dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>Giaûi </b></i>

I =

 _  _

 

 



1

2
0

1 _dx

1 3

x

2 4

Đặt x 1 3tant, t ; dx 3



1 tan t dt2



2 2 2 2 2

 

 

   _ _  

 

I =













 _






2
3

2
6

3 1 tan t

2 _dt

3 _{1 tan t} _{3 3}

4

<b>Bài 6:</b> CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007
Tính tích phân: I =





1e 3

dx
x 1 lnx

<i><b>Giải </b></i>
<b> </b>Đặt: t31 lnx  lnx = t3_–_1,dx__{3t dt}2

x

Đổi cận: x = 1  t = 1; x = e  t32
 I



₁3 23tdt  3t2 323 4 33 

2 1 2

<b>Bài 7:</b> CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM NĂM 2007
Tính tích phân: 





01_xx 1 dx2 ₁

<i><b>Giải </b></i>

   

 



₀1 xdx₂



₀1 ₂dx 1 2

I I I

x 1 x 1 ;   

2

1 1 1 1

I ln(x 1) ln2

0

2 2 .

Đặt x = tant, _ _ 

  2

dt

t 0, , dx

4 cos t

 _



_

4 

2 ₀

I dt

4. Vậy



1 

I ln2

2 4

<b>Bài 8:</b> CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007

Tính tích phân:









2

3

sin x

I dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giaûi </b></i>

Đặt t = cosx  dt = sinxdx
x 

3



2

t 1

2 0

I =  _ _  



 

    _ _ _ _







1 1

0 2 2

2 2

1 0 0

2

1 2

dt 1 _dt _dt

3 3

2t t 1 2t t 1 _{t 1 2t 1}

 I =



  



 
1
2
0

1 _ln _ln 1_ln4

t 1 2t 1

3 3

<b>Bài 9:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Tính tích phân: I =

  



6
2

dx

2x 1 4x 1

<i><b>Giaûi </b></i>

Đặt t 4x 1  x t21dx1tdt

4 2

    _  _



 _{ }  _  _







5 5 5

2 2 2

3 3 3

t dt _t ₁ ₁

2

I dt dt

t 1

t 1 (t 1) (t 1)

2. 1 t

4

_   _  


 

5

1 3 1

ln t 1 ln

3

t 1 2 12

<b>Bài 10:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Tính tích phân: I =

 



10
5

dx
x 2 x 1

<i><b>Giải </b></i>

 Đặt t = x 1 t2   x 1 dx 2tdt vaø x = t2_{+ 1}

 Đổi cận x 5_t ₂ 10₃

Khi đó: I =





 

 

 

  

  _  _





3 3

2 2

2 2

2tdt ₂ 1 1 _dt

t 1

t 2t 1 t 1

= _   _  


 

3
2

2

2ln t 1 2ln2 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài 11:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Tính tích phân:







2

2 2

0

sin2x

I dx

cos x 4sin x

<i><b>Giải </b></i>

Ta coù:







2

2 2

0

sin2x

I dx

cos x 4sin x =






2

2
0

sin2x _dx

1 3sin x

Đặt t = 1 + 3sin2_x__{dt = 3sin2xdx.}

Với x = 0 thì t = 1, với x = 

2 thì t = 4  



 

4 4

1
1

1 dt 2 2

I t

3 t 3 3

<b>Bài 12: </b>ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Tính tích phân:  _

 



ln5

x x

ln3

dx
I

e 2e 3

<i><b>Giaûi </b></i>

<b> </b>  _ 

   





ln5 ln5 x

x x 2x x

ln3 ln3

dx e dx

I

e 2e 3 e 3e 2

Đặt t = ex__{dt = e}x_{dx . Với x = ln3}__{t = 3 ; với x = ln5}__{t = 5.}

   _  _

     



5



5

3 3

dt 1 1

I dt

(t 1)(t 2) t 2 t 1 =

 _


5
3

t 2 3

ln ln

t 1 2

<b>Bài 13:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005

Tính tích phân: I =







2
0

sin2x sin x dx
1 3cosx

<i><b>Giaûi </b></i>
<b> </b>










2
0

(2cosx 1)sin x

I dx

1 3cosx .

Đặt t =

 _ 



 _{ }

  

 _



2

t 1

cosx
3
1 3cosx

3sin x

dt dx

2 1 3cosx

x = 0  t = 2, x = 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
I = _   __{ } _ 







 





1 2 2

2

2 1

t 1 2 2

2 1 dt 2t 1 dt

3 3 9

= _  _  __   _{ }  __

   

 

 

3 2

2 2t _t 2 16 ₂ 2 ₁ 34_.

9 3 9 3 3 27

1

<b>Bài 14:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005

Tính tích phân:







2
0

sin2x cosx

I dx

1 cosx .

<i><b>Giải </b></i>

Ta có







2
0

sin2x cosx

I 2 dx

1 cosx . Đặt t = 1 + cosx  dt = sinxdx.

x = 0  t = 2, x = 

2  t = 1.

    _   _

 





1 2 2

2 1

(t 1) 1

I 2 ( dt) 2 t 2 dt

t t

= _   _

 

2 2

t

2 2t ln t

2

1

= 2_   _  __ 

 

 

1

(2 4 ln2) 2 2ln2 1

2 .

<b>Bài 15:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Tính tích phân:





3 2

0

I sin x.tan xdx

<i><b>Giaûi </b></i>



_

3 2 

_

3 2

0 0

sinx

I sin xtanxdx sin x dx

cosx

Đặt t = cosx  dt = sinxdx dt = sinxdx, sin2_{x = 1}_–_t2

Đổi cận

x 0 ₃
t 1 1₂

 

  

   _  _     

 

 





1

1 2 ₁ 2

2 ₁

1 ₁

2

2

(1 t ) 1 t 3

I dt t dt lnt ln2

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài 16:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân:  




7
3
0

x 2

I dx

x 1

<i><b>Giải </b></i>








7
3
0

x 2

I dx

x 1

Đặt t3x 1    t3 x 1 3t dt dx2     x 2 t3 1

Đổi cận: x 0_{t 1} 7₂

 

 



    _  _ 

 





2

2 3 2 5 2

2 4

1 1 ₁

t 1 t t 231

I 3t dt 3 t t dt 3

t 5 2 10

<b>Bài 17:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Tính tích phân: 





3

e 2

1

ln x

I dx

x lnx 1 .

<i><b>Giaûi </b></i>







1e3 2

ln x

I dx

x lnx 1

Đặt t lnx 1  t2_{= lnx + 1}_  



 _{ }

 2

dx _2tdt

x
ln x 1 t

.

Đổi cận

3

x 1 e

t 1 2



_

2 2 2 

_

2 4 2

1 1

(t 1)

I 2tdt 2 (t 2t 1)dt

t =

 

  

 

 

 

5

3 2

t 2 76

2 t t

1

5 3 15

<b>Bài 18:</b>

Tính tích phân: 

 



2
1

x
I

1 x 1dx.

<i><b>Giải </b></i>

Đặt t = x 1  t2_{= x}_₁__{2tdt = dx. Đổi cận}  

 _



</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Vaäy 

 

    _    _

    







2

1 1 3 1

2

0 0 0

t 1 2t _t _t ₂

I dt 2 dt 2 t t 2 dt

1 t t 1 t 1

        

 

 

1

3 2

0

t t 11

I 2 2t 2ln | t 1| 4ln2

3 2 3 .

<b>Bài 19:</b>

Tính tích phân: 

_

e 
1

1 3lnx.lnx

I dx

x .

<i><b>Giải </b></i>

Đặt t 1 3lnx t2 1 3lnx 2tdt = 3dx
x

Đổi cận_{  } 



x e t = 2

x 1 t = 1





 _   

 _ _    _  _ 

   





2 2 2 5 3

4 2

1 1

2

t 1 2tdt 2 2 t t 116

I t t t dt

1

3 3 9 9 5 3 135

<b>Bài 20:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân:   




2 42
0

x x 1

I

x 4 dx.

<i><b>Giaûi </b></i>

I =    _    _

    





2 4 2

2

2 2 2

0 0

x x 1_dx _x ₄ x 17 _dx

x 4 x 4 x 4

=   







 



 

 



2 ₂

3

2

2
0
0

x _4x 1_{ln x} ₄ ₁₇ dx

3 2 _x ₄.

Tính: I1 =





2

2
0

dx

x 4. Đặt x = 2tant  dx = 2(tan

2_{x + 1)dt}

Đổi cận: _

x 0 2
t 0

4

 I1 =





  _

 _ _ _





2



4 4 ₄

2 ₀

0 0

tan t 1 1

2 dt dt

2 2 8

4 tan t 1

Vaäy I =   







  

 

 

2
3

2
0

x _4x 1_{ln x} ₄ _17.

3 2 8 =   

17 16 _ln2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Baøi 21:</b>

Tính tích phân: 





2 3
2
5

dx
I

x x 4.

<i><b>Giải </b></i>
<b> </b>Tính tích phân 





2 3
2
5

dx

I

x x 4. Ta có 



 





2 3 2 3

2 2 2

5 5

dx xdx

I

x x 4 x x 4

Ñaët      



2 2 2

2

xdx

t x 4 t 4 x dt =

x 4

Đổi cận   

 



x 2 3 t = 4

x 5 t = 3

Vaäy     _  _

  





4

2
3

4

dt 1 t 2 1 1 1 1 5

I ln ln ln ln

3

4 t 2 4 3 5 4 3

t 4 .

<b>Bài 22:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1
Tính tích phân: 





ln3 2x

x
ln2

e dx
I

e 1.

<i><b>Giải </b></i>







ln5 2x

x
ln2

e

I dx

e 1 . Đặt t = 

x

e 1 t2_{= e}x_–₁__{2tdt = e}x_{dx vaø e}x_{= t}2_{+ 1}

Đổi cận: x ln2_t ₁ ln5₂  

 

     

 

 



2
2

2 3

1 1

t 1 .2tdt _t ₂₀

I 2 t

t 3 3

<b>Bài 23: </b>

Tính tích phân:









2

4
0

1 2sin x

I dx

1 sin2x .

<i><b>Giải </b></i>

Ta coù 4 4









4

0 0

d 1 sin2x

cos2x 1 1 1

I dx ln 1 sin2x ln2

1 sin2x 2 1 sin2x 2 ₀ 2

 




    

 





.

<b>Bài 24:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2
Tính tích phân:











ln3 x

3
x
0

e dx
I

e 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giaûi </b></i>











ln3 x

3
x
0

e

I dx

e 1

. Đặt t e x  1 dt e dx x ; Đổi cận: x 0 ln3_{t 2} ₄

Khi đó 

_

   
4
4

3

2 2 ₂

dt 2

I 2 1

t
t

<b>Bài 25:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Tính tích phân:




_

26  3 5

0

I 1 cos x sinxcos xdx

<i><b>Giaûi </b></i>

 



_

26  3 5 

_

26  3 3 2

0 0

I 1 cos x sinxcos xdx 1 cos x.cos x.sinx.cos xdx

Đặt t61 cos x 3 t6 1 cos x3 6t dt 3sinxcos xdx5  2
 2t5_{dt = sinxcos}2_{xdx vaø cos}3_{x = 1}_–_t6

Đổi cận;


x 0 ₂

t 0 1 

 





 

       

 

 





1

1 1 13

6 5 6 12 7

0 0 ₀

2 2t 12

I t. 1 t 2t dt 2t 2t dt t

7 13 91

<b>Bài 26: </b>CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM

Tính tích phân:



_

2
0

I xsin2xdx

<i><b>Giải </b></i>
<b> </b>

  




 _ _{  }



u x du dx

cos2x

dv sin2xdx v

2

Vaäy: I =



 

    

   

 _ _

 



2

2 2

0 ₀ 0

1

xcos2x _cos2xdx sin2x

2 4 2 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>



<i><b> Vấn đề 3:</b></i>

<b> </b>

<b>TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP </b>

<b>TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN </b>

<b>A.</b> <b>PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>

Công thức:

_

b   b_a

_

b 

a a

u(x).v (x)dx u(x).v(x) v(x).u (x)dx

Viết gọn: b b_a b

a a

udv uv  vdu





<b>B. ĐỀ THI </b>
<b>Bài 1:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Tính tích phân: 3 ₂
0

1 xsin x

I dx.

cos x





_

<i><b>Giải </b></i>

Ta coù: 3 ₂ 3 ₂ 3 ₂

0 0 0

1 xsin x 1 xsin x

I dx dx dx

cos x cos x cos x

  



















3 3 3

0 2 2

0 0

xsin x xsin x

tan x dx 3 dx

cos x cos x

 



 



 



.

Tính J = 3 ₂
0

xsin x dx
cos x





bằng phương pháp tích phân từng phần.
Đặt: u = x  du = dx

dv = sin x₂

cos xdx, choïn v =
1
cosx

Suy ra: J = 3 3

0 ₀

x _{1 dx}

cosx cosx




 _{ }

 

 



=

3
0

2 1 _dx

3 cosx


_



Tính K = 3 3 ₂

0 0

1 _dx cosx _dx

cosx 1 sin x

 




</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

Suy ra:

3 ₃

2 ₂

2

0
0

dt 1 1 t 1 2 3

K ln ln

2 1 t 2 2 3

1 t

 

 

   _ _

 

 _ _











2

2 3

1_ln _{ln 2} ₃

2 4 3

 _ 

 

 _ _ 



 

 

.

Vaäy I = 3 2 ln 2



3



3



   .

<b>Bài 2:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Tính tích phân:












3

2
1

3 ln x

I dx

x 1

<i><b>Giải </b></i>





       


 2

dx 1 1

u 3 lnx dv ; du dx v

x x 1

x 1







  







3
3

1 ₁

3 lnx dx

I

x 1 x x 1

     






3 3

1 1

3 ln3 3 1_dx dx

4 2 x x 1

  

     _  _

 

3 3

1 1

3 ln3 _{ln x} _{ln x 1} 1 _{3 ln}27

4 4 16

<b>Bài 3:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Tính tích phân: 



2

3
1

ln x

I dx

x .

<i><b>Giải </b></i>

Tính tích phân: 

_

2

3
1

ln x

I dx

x . Đặt:




 _ _

 _

 3

u ln x

dx
du
dx

dv x

x

, choïn v  1₂
2x

  



2

2 3

1

2

1 1

I ln x dx

1

2x 2x =


1ln2 1₂ 2 1ln2 3 3 2ln2

1

8 4x 8 16 16 .

<b>Bài 4:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Tính tích phaân: 

_

e

3 2

1

I x ln xdx

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Tính tích phân

Đặt u = ln2_x_ _du_2lnx_dx;
x dv = x

3_dx_{ }_v x4_.
4

Ta coù:  



 



e e

4 _e 4

2 3 3

1

1 1

x 1 e 1

I .ln x x lnxdx x lnxdx

4 2 4 2

Đặt u = lnx  dudx

x , dv = x

3_{dx, chọn} _v_x4_.
4 Ta có

_

 

_

   

e e

e 4 e 4 4

3 3 4

1 1 1 1

x 1 e 1 3e 1

x lnxdx lnx x dx x

4 4 4 16 16 .

Vaäy I5e41

32

<b>Bài 5:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Tính tích phân: 




1

2x
0

I (x 2)e dx.

<i><b>Giải </b></i>

Tính tích phân.






1

2x
0

I (x 2)e dx. Đặt     




2x
2x

u x 2 ₁

du dx, choïn v = e
2
dv e dx

  



1
1

2x 2x

0 0

1 1

I (x 2)e e dx

2 2 =



 2   2x 1  2

0

e ₁ 1_e 5 3e

2 4 4

<b>Bài 6:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Tính tích phân: I =






2
0

(x 1)sin2xdx

<i><b>Giải </b></i>

Đặt _      




u x 1 _{du dx, choïn v} 1_cos2x

dv sin2xdx 2




 

  2 

_

2  

0
0

x 1 1

I cos2x cos2xdx 1

2 2 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Tính tích phân: I =





2
1

(x 2)ln xdx

<i><b>Giải </b></i>
<b> </b>Đặt







 _ _ _ _

 _ _



2

u lnx ₁ _x

du dx, choïnv 2x

dv x 2 dx x 2

I = _  _  _  _   

 

 



2 ₂

2

1
1

x _{2x lnx} x _{2 dx} _2ln2 5

2 2 4

<b>Bài 8: </b>ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Tính tích phân:











2  2

0

I 2x 1 cos xdx.

<i><b>Giaûi </b></i>
<b> </b>

 





_

2  2 

_

2 

0 0

1 cos2x

I (2x 1)cos x.dx (2x 1) dx

2

 



_

2  

_

2 

0 0

1 _{(2x 1)dx} 1 _{(2x 1)cos2x.dx}

2 2

 Tính









 



_

2   2 2  2 

1 0

0

I (2x 1)dx x x

4 2

 Tính





2 
2

0

I (2x 1)cos2x.dx.

Đặt _     




u 2x 1 _{du 2dx choïnv} 1_sin2x

dv cos2xdx 2



 

  2 

_

2  2  

2

0 ₀ 0

1 1

I (2x 1)sin2x sin2xdx cos2x 1

2 2

I1I₁1I₂2   1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Baøi 9:</b>

Tính tích phân: 

_







3

2
2

I ln x x dx.

<i><b>Giaûi </b></i>











3

2

2

I ln x x dx

Ta coù I =























_ 







_

3 3 3

2

2 2 2

ln x x dx lnx x 1 dx lnx ln x 1 dx

Đặt   

 _



dx
u lnx du =

x
dv dx choïn v = x





 











  







3 3

1

2 2

3 3

I lnxdx xlnx dx xlnx x 3ln3 3 2ln2 2

2 2

3ln3 2ln2 1 



_









_









 

3 2

2

2 ₁

2 1

I ln x 1 dx lnudu ulnu u 2ln2 1

Vaäy 

_







      
3

2

1 2

2

I ln x x dx I I 3ln3 2ln2 1 2ln2 1 I 3ln3 2 

<b>Bài 10:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Tính tích phân:







4
0

x

I dx

1 cos2x .

<i><b>Giaûi </b></i>

 

 





4



4 2

0 0

x 1 xdx

I dx

1 cos2x 2 cos x . Đặt



 _ _

 _

 _  _



 2

u x _{du dx}

du

dv choïn v tan x

cos x

4

4 ₄

0

0 ₀

1 1 1 1

I xtanx tanxdx xtanx ln cosx ln2

2 2 2 8 4



 _



 

_

 _    _

<b>Bài 11:</b> CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I
Tính tích phân: 





13 2

lnx

I dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giaûi </b></i>

Đặt u = lnx  dudx

x

dv = (x + 1)-2_{dx, choïn} _{ }



1
v

x 1

        _  _









  

3 3

1 1

3

lnx (x 1) x 1 1 1

I dx ln3 dx

1

x 1 x(x 1) 4 x x 1

=  _ _   


 

3
1

1_ln3 _ln x 1_{ln3 ln}3

4 x 1 4 2

<b>Bài 12:</b> CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI
Tính tích phân:  





4 3

0

ln 2x 1

I dx

(2x 1)

<i><b>Giaûi </b></i>

Đặt u = ln 2x 1 , dv=  
3
2

(2x 1) dx  du = (2x 1)1_{dx, choïn v =}__{(2x 1)}_ 1₂

 I =    _   
1

4
2

0

1 2

(2x 1) _{ln 2x 1} ln3

3 3

<b>Bài 13: </b>CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM

Tính tích phân :



_

2
0

I xsin2xdx

<i><b>Giải </b></i>
<b> </b>

  




 _ _{ }



u x du dx

cos2x
dv sin2xdx, choïnv

2

Vaäy: I =



 

    

   

 _ _

 



2

2 2

0 ₀ 0

1

xcos2x _cos2xdx sin2x

2 4 2 4

2 2



<i><b> Vấn đề 4:</b></i>

<b> </b>

<b>TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP</b>

<b> </b>

<b>A.ĐỀ THI</b>
<b>Bài 1:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Tính tích phân :   




2 xx x

1
0

x (1 2e ) e

I dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i><b>Giaûi</b></i>

 

  

 



2 x x



2



x

x x

1 1 1

0 0 0

x (1 2e ) e e

I dx x dx dx

1 2e 1 2e





 

1
3
2
1

0

1
0

x 1

I x dx

3 3






x

2 _x

1
0

e

I dx

1 2e <b> = </b>






xx

1
0

1 d(1 2e )

2 1 2e <b> = </b> 

1
x

0

1_{ln(1 2e )}

2 =



 

 

 

1_ln 1 2e

2 3

Vaäy I =  _  _

 

1 1_ln 1 2e

3 2 3

<b>Bài 2:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Tính tích phân:  _  _

 



e

1

3

I 2x ln xdx

x

<i><b>Giaûi </b></i>

 

 _  _  

 







e e e

1 1 1

3 1

I 2x lnxdx 2 xlnxdx 3 lnx. dx

x x

Xét 1



e
1

I x ln xdx<b> . </b>Đặt u lnx dudx

x ;   

2

x

dv xdx v

2

Do đó _ _    _ _  

 



 

2 2 2 2

1

e _e e

1

1 1

x 1 e 1 x e 1

I lnx xdx

2 2 2 2 2 4

Xeùt I2 =



e
1

1
ln x. dx

x .

Đặt t = lnx  dt dx.
x

 Với x = 1  t = 0; x = e  t = 1 .

Do đó    _{ } 
 



2

1
1

2

0 0

t 1

I tdt

2 2. Vaäy


e2 2

I
2

<b>Bài 3:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Tính tích phân









_

2 3  2

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giaûi </b></i>

 



_

2 5 

_

2 2

0 0

I cos xdx cos xdx

Đặt t = sinx  dt = cosxdx; x = 0  t = 0, x   t 1
2





1

 

1

2 2 ₂ ₂

5 2 2 3 5

1

0

0 0 0

2 1 8

I cos xdx 1 sin x cosxdx 1 t dt t t t

3 5 15

 

 

     _   _ 

 











  _



 

    _  _ 

 





2 2 ₂

2
2

0

0 0

1 1 1

I cos xdx 1 cos2x dx x sin2x

2 2 2 4

Vaäy I I ₁ I₂  8 

5 4

<b>Bài 4:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Tính tích phân 

_

1



2x



x
0

I e x e dx

<i><b>Giaûi </b></i>

Ta coù 

_

1 x 

_

1 x

0 0

I e dx xe dx

<b> </b> ₁

_

1 x

0

I e dx x1  

0

1

e 1

e

 ₂ 

_

1 x

0

I xe dx. Đặt u x du dx; đặt dv e dx, chọn v e  x  x

Suy ra ₂ x1 

_

1 x 
0

0

I xe e dx 1. Vaäy I I ₁ I₂ 2 1
e.

<b>Bài 5:</b> ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI A NĂM 2007
Tính:  

 



1

2
0

2x 1

I dx

x x 1

<i><b>Giaûi </b></i>

I =  

   



1 2



1 2

0 0

2x 1 _{dx 2} 1 _dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

I1 =     

 



1 ₁

2

2 ₀

0

2x 1 _{dx ln x} _{x 1} _ln3

x x 1 ; I2 = _ _

 

 

 



1

2
0

dx

1 3

x

2 4

Đặt x + 1 3 tant

2 2  dx = 23 1 tan t dt



 2



I2 =













 _






2
3

2
6

3 1 tan t dt ₂

2

3 _{1 tan t} _{6 3}

4

I = ln3 2

6 3

<b>Baøi 6: </b>CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007

Tính tích phân :



_

2
9
0

J sin xdx

<i><b>Giải </b></i>

Đặt t = x thì dx = 2tdt


 

_

3
0

J 2t sin tdt

Choïn : _  _ 

  

 

u 2t du 2dt

dv sintdt choïn v cost

J =











  

 3 

_

3   3  3

0

0 0

0

2t cost 2 costdt 2t cost 2sint =   3

3

<b>Bài 7:</b> ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Tính tích phân









_

2 sin x
0

I 2 e cosx cosxdx.

<i><b>Giaûi </b></i>





 







2 sin x 



2

0 0

1 cos2x

I 2 e d sinx 2 dx

2




 _  _ 

 

 

2
sin x

0

2 1 1

2e _x _sin2x

2 2

0


  e 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<b>Bài 8:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân: 

_

2
0

I x sin xdx.

<i><b>Giải </b></i>






₀2

I x sin xdx. Đặt t = x  t2_{= x}__{2tdt = dx}

Đổi cận

x 0 2
t 0 


_

 2

0

I 2 t sintdt. Đặt  _



2

u t

dv sin tdt 



  


du 2tdt

v cost

  2 

_

   2 ₁

0

I 2(t cost) 4 t costdt 2 4I

0

 Tính I₁



₀t costdt

Đặt  _


u t

dv costdt 




 _


du dt

choïnv sint

I₁tsint



₀sintdt cost  2

0 0 . Vaäy I = 2

2_–₈

<b>Bài 9:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Tính tích phân: 

_

1 ₂

3 x
0

I x e dx

<i><b>Giải </b></i>

Tính 







1 ₂ 1 ₂

3 x 2 x

0 0

I x e dx x e xdx

Đặt t = x2__{dt = 2xdx}_dt__xdx

2 . Đổi cận:

x 0 1

t 0 1

 

 

     _  _ 

 

 





1 ₁ 1 1

t t t t t

0 ₀

0 0

1 1 1 1

I te dt te e dt te e

2 2 2 2

<b>Bài 10:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân:









_

 

0

2x 3

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<i><b>Giaûi </b></i>

Tính





  





  









0 0 0

2x 3 2x 3

1 1 1

I x e x 1 dx x.e .dx x x 1dx

 Tính





_

0 2x
1

1

I xe dx. Đặt _  _ 




 

 2x _ 2x

du dx
u x

1
choïn v e
dv e dx

2



 _



 

 

    _  _  

 





0

0 ₀ 0

0 x 2x 2x 2x

1 ₁ ₁ ₂

1

1 1

1 1 1 1 3 1

I uv vdu x.e e dx x.e .e

2 2 2 4 4e 4

 Tính





_

0 3 
2

1

I x x 1dx

Đặt t3x 1    t3 x 1 3t dt dx2  . Đổi cận: x_t _{0 1}1 0



 

 







 _  _  

 





1

1 1 7 4

3 3 6 3

2

0 0 0

t t 9

I t 1 .t.3t dt 3 t t dt 3

7 4 28

Vaäy I = I1 + I2 = 3₂  1 9  3₂ 4

4 28 7

4e 4e

<b>Bài 11:</b> CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Tính tích phân:






4
2
0

1 sin2x dx
cos x

<i><b>Giaûi </b></i>
<b> </b> I =






4 2
0

1 sin2x dx

cos x =

4 4

2 2

0 0

1 _dx sin2x_dx

cos x cos x

 







4 ₂2
0

4 d(cos x)

tan x dx

cos x
0




 

_

.

=

 

 2

tan x 4 ln(cos x)4

0 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN



<i><b> Vấn đề 5:</b></i>

<b> </b>

<b> </b>

<b>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN</b>

<b> </b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>

<b>TÍNH DIỆN TÍCH </b>

<b>Bài tốn 1:</b> Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b]. Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b là:



_

b 

_

b

a a

S f(x)dx f(x) dx

Từ bài toán 1 suy ra nếu f(x) không
dương trên đoạn [a, b]

 







b b

a a

S f(x)dx f(x) dx

<b>Bài toán 2:</b> (Tổng quát)

Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đồ thị lần lượt

là (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường x = a,
x = b được xác định bởi công thức: 





b
a

S f(x) g(x) dx (*)

* Phương pháp giải (*):

 Giải phương trình: f(x) = g(x) (1)
 Nếu (1) vô nghiệm thì: 





b
a

S (f(x) g(x))dx

 Nếu (1) có nghiệm thuộc [a, b] giả sử là     , ( ) thì

















 





 



 





b
a

S (f(x) g(x) dx (f(x) g(x) dx (f(x) g(x) dx

<b>Bài toán 3:</b> Cho (C ): x₁ ₁f(y), (C ): x₂ ₂g(y), f(y), g(y) liên tục trên đoạn [a, b].
Diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi (C1); (C2) và hai đường thẳng y = a,
y = b được xác định bởi công thức:

<b> </b> 

_



b
a

S f(y) g(y) dy

y

0

x = a x = b
y = f(x)

y

x = a x = b
y = f(x)

<b>S </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b>THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ</b>
<b>I. CƠNG THỨC THỂ TÍCH </b>

Giả sử vật thể T được xác định bởi 2 mặt
phẳng ( ) và ( )  song song với nhau. Ta
chọn trục Ox sao cho nó vng góc với
các mặt phẳng ( và (). Ta có Ox  ()
= A, Ox  () = B. Giả sử mặt phẳng
(( ) Ox, ( ) Ox C,     () cắt vật thể T

có thiết diện là S(x).

Khi đó 

_

b
a

V S(x)dx

<b>II. BÀI TỐN </b>

<b>Bài tốn 1:</b> Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quay quanh Ox.
Hình trịn S(x) có bán kính R = y: S(x) y2

 



b

2
a

V y dx

<b>Bài toán 2: </b>Thể tích do hình phẳng: x = g(y), x = 0,
y = a, y = b quay quanh trục Oy:

 



b

2
a

V x dy

<b>Bài toán 3: </b>Tính thể tích vật thể do hình phẳng
giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox:

1 2

2 1

y f(x), y g(x)

y y 0 x [a, b]

 

   

 

_


b

2 2

2 1

a

V (y y )dx

<b>Bài tốn 4: </b>Tính thể tích vật thể do hình phẳng
giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox.

1 2

1 2

y f(x),y g(x)

y y 0 x [a,b]

 

   

 




b

2 2

1 2

a

V (y y )dx

x
y

O A C B

  _

a x b

S(x)

x
y

O
y

x
a

y = f(x)

S(x)
b

O x

y

a
b
x
x = g(y)

x
O a b

y

g(x) = y2
f(x) = y1

x
y

g(x) = y2

f(x) = y1

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<b>B. ĐỀ THI </b>
<b>Bài 1:</b> CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): x = x2_{+ 4x và đường}

thaúng d: y = x.

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và d: x24x x  x 0 hayx 3 

      _  _ 

 



3 3



3 3 3 2

0 0

3

x 3x 9

S x 3x dx ( x 3x)dx

0

3 2 2 (ñvdt)

<b>Bài 2:</b> ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex_)x

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường đã cho là:
(e + 1)x = (1 + ex_)x__(ex__{e)x = 0}__{x = 0 hoặc x = 1}

Diện tích của hình phẳng cần tìm là: 



_ 







1 1 1

x
x

0 0 0

S _xe _exdx e xdx xe dx

Ta coù:

_

 

_

 

_

  

1

1 2 1 ₁ 1 ₁

x x x x

0 0

0 0 0 0

ex e

e xdx , xe dx xe e dx e e 1

2 2

VậyS e 1

2 (đvdt).

<b>Bài 3:</b> ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0, x = e.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình hồnh độ giao điểm của các đường y = xlnx và y = 0 là:
xlnx = 0  x = 1

Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hồnh là:
 

_

e 2 

_

e 2

1 1

V y dx (xlnx) dx

Đặt u = ln2_{x, dv = x}2_dx_ _du_2lnx_{dx, v}_x3_.

x 3 Ta coù:

_

 

_

 

_

e

e 3 e 3 e

2 2 2 2

1 1 1 1

x 2 e 2

(xlnx) dx ln x x lnxdx x lnxdx

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Đặt u = lnx, dv = x2_dx_ _du_dx_{, chọnv}_x3_.

x 3 Ta có:

_

 

_

   

e e

e 3 e 3 3 3

2 2

1 1 1 1

x 1 e x 2e 1

x lnxdx lnx x dx

3 3 3 9 9

Vậy V(5e32)

27 (đvtt).

<b>Bài 4:</b> ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

<b> </b> Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi paraol y = x2_–_{x + 3 và đường thẳng}

d: y = 2x + 1.

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol và d:
x2_–_{x + 3 = 2x + 1}__x2_–_{3x + 2 = 0}__{x = 1}__{x = 2}

Ta coù 

_

2 2    

_

2 2 

1 1

S (x x 3) (2x 1)dx x 3x 2 dx

     _   _ 

 



2 3 2

2
1

2

x 3x 1

( x 3x 2)dx 2x

1

3 2 6 (ñvdt)

<b>Bài 5:</b> ĐỀ DỰ BỊ 1

Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra trong phép quay xung quanh trục Ox,
của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y = xsinx (0  x  )

<i><b>Giaûi </b></i>

V = 

_

_

 

_2  

_

 2 

_







0 0 0

f x dx x.sin xdx x 1 cos2x dx

2 =

 

 

 _

 

 





0



0 

xdx x.cos2xdx

2

Tính : I1 =



 _

 



2 2

0 0

x
xdx

2 2 . Tính : I2 =





0

xcos2xdx

Đặt





 _

 _  _

 _

du dx
u x

1
dv cos2xdx choïn v sin2x

2

I2 =



 _ _

 _  _ 

 



0 0

x_sin2x 1 _sin2xdx x_sin2x 1_cos2x ₀

2 2 2 4

V =    

 

 

2 3

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<b>Bài 6:</b>

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x 24x 3 và y = x + 3 .

<i><b>Giaûi </b></i>













 





_     _ 



  

5 3

2 2

0 1

S x 3 x 4x 3 dx 2 x 4x 3 dx









 



 



  

5 3

2 2

0 1

S x 5x dx 2 x 4x 3 dx

  _ 

 _  _  _   _

   

3 2 3

2

5 3

x 5x x

S 2 2x 3x

0 1

3 2 3

109

S

6 (đvdt)

<b>Bài 7:</b>

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y 4x2 và y = x2

4 4 2

<i><b>Giải </b></i>

Ta có y 4x2  y2  4 x2 x2 y2  4 x2 y2 1 (E)

4 4 4 16 4

Phương trình hồnh độ giao điểm: 4x2  x2  4 x2 x4

4 4 2 4 32

 x48x2128 0   x2 8 x2  16 (loại)  x =  2 2

Neân S =



 

 

 

      



  

   







2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2

x x x x

4 dx 2 4 dx dx

4 4 2 4 4 2

Tính ₁2 2

_

 2
0

x

I 4 dx

4

Đặt x = 4sint  dx = 4costdt
Đổi cận




  _ _

 _



 _ _

t =

x 2 2 4

x 0 _{t 0}

x
y

1
1

1
O
1

3

3
8

5
y = x + 3

y = x2

4 2

x
y

2

4 O 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>





 



 

    _  _   

 





4 4

2 4

1

0 0

1

I 8cos tdt 4 1 cos2t dt 4 t sin2t 2

2 0



_

 

2 2 2 3

2
0

x x 2 2 4

I dx

3

4 2 12 2 0

Vậy S_2 4₃_đvdt

  .

<b>Bài 8:</b> CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

(P1): y = x2 2x vaø (P2) : y = x2 + 4x.

<i><b>Giaûi </b></i>

<b> </b>Phương trình hồnh độ giao điểm của (P1) và (P2) là: x2 2x =  x2 + 4x

2x2_{+ 6x = 0}

 2x(x  3) = 0  x = 0  x = 3.
Diện tích cần tìm:





     





3 3

2 2 2

0 0

S (( x 4x) (x 2x))dx ( 2x 6x)dx

= _  _

 

3 2 3

2 x 3x
0

3 = 9 (đvdt)

<b>Bài 9:</b> CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 7 – 2x2_{, y = x}2_{+ 4.}

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình hồnh độ giao điểm 7 – 2x2_{= x}2_–₄

 3x2_{= 3}__{x = 1 hoặc x =}_₁

Diện tích S cần tìm

 



_

1  2 2 

_

1  2 

1 1

</div>

<!--links-->