Nghiên cứu tính toán móng bè trên nền đất yếu

TÓM TẮT LUẬN VĂN
NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN MÓNG BÈ TRÊN NỀN ĐẤT YẾU
Móng bè cũng được sử dụng khá nhiều khi tính toán cho công trình
trên nền đất yếu. Do đó, tập luận văn này tập trung giải quyết bài toán
móng bè, đặc biệt chú trọng đến các mô hình nền có thể dùng để tính toán
hợp lý cho móng bè.
Luận văn tập trung nghiên cứu hai mô hình nền là biến dạng đàn hồi
cục bộ Winkler và nền biến dạng đàn-dẻo phát triển từ mô hình nền
Winkler. Bài toán móng bè theo hai mô hình nền trên được giải theo
phương pháp phần tử hữu hạn.
Trên cơ sở phân tích tính toán trên, bài toán móng bè trên hai mô
hình nền Winkler và đàn-dẻo sẽ được lập trình. Ngôn ngữ sử dụng để lập
trình là Visual Basic và phần mềm tính toán được đặt tên là Plateonsoil.

ABSTRACT
THE ANALYSIS OF MAT FOUNDATIONS ON SOFT SOIL GROUND
People usually use mat foundations when solving the problem of
construction works on soft soil ground. Hence, this thesis intensively
researchs into mat foundations, especially into the soil models which are
suitable for mat foundations.
The thesis researchs into two soil models, elastic model Winkler and
plasto-elastic model which is advanced from Winkler model. The problem
of mat foundations on Winkler model and plasto-elastic model is analysed
by finite element method.
On the foundation of above analyses, the problem of mat foundations
on Winkler model and plasto-elastic model is programmed. The
programming language is Visual Basic and the software is named
Plateonsoil.

5

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ TÌNH HÌNH
NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN MÓNG BÈ
1.1.MÓNG BÈ
1.1.1.Định nghóa
Móng bè là tấm bê tông cốt thép đổ toàn khối dưới toàn bộ công
trình hoặc dưới đơn nguyên đã cắt ra bằng khe lún.
Móng bè được dùng cho nhà khung, nhà tường chịu lực khi tải trọng
lớn hoặc đất yếu mà nếu dùng móng băng, băng giao thoa vẫn không đảm
bảo yêu cầu kỹ thuật.
Móng bè hay dùng cho ống khói, tháp nước, xilô, bunke, bể chứa, bể
bơi.
Ngoài ra, khi mực nước ngầm cao, để chống thấm cho tầng hầm ta
có thể dùng móng bè. Lúc đó móng bè làm thêm nhiệm vụ ngăn nước và
chống lại áp lực nước ngầm.
Móng bè có khả năng giảm đi độ lún không đều. Có thể dùng móng
bè khi tải trọng lớn, đất yếu.
1.1.2.Cấu tạo
Móng bè dưới nhà có thể làm dạng bản phẳng hoặc bản sườn.
Loại bản phẳng có thể dùng khi bước cột không vượt quá 9m và tải
trọng xuống mỗi cột không quá 1000T. Bề dày của bản lấy khoảng bằng
1/6 bước cột. Móng bè loại bản phẳng đơn giản trong chế tạo nhưng độ
cứng thấp nên chi phí bê tông và cốt thép lớn hơn so với móng bản sườn.
Độ bền chống nén thủng của bản ở mỗi chổ tỳ cột có thể tăng cường bằng
cách đặt cốt ngang hoặc làm kiểu mũ cột.

7

Khi tải trọng lớn và bước cột lớn hơn 9m cũng như khi cần tăng
cường độ cứng của móng thì nên dùng móng bè có sườn. Bề dày móng bản
sườn có thể lấy bằng 1/81/10 bước cột. Sườn chỉ nên làm theo trục các
cột.
Dưới đây là các dạng móng bè thường gặp (các hình 1.1, 1.2, 1.3, 1.4
và 1.5).

Hình 1.1 – Móng bè dạng bản phẳng

Hình 1.2 –
Móng bè dạng bản phẳng có gia cường mũ cột

8


Hình 1.3 – Móng bè bản sườn trên

Hình 1.4 – Móng bè sườn dưới

Hình 1.5 – Móng bè dưới lò luyeän gang

9


1.2.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN MÓNG BÈ
1.2.1.Tính toán móng bè theo phương pháp móng cứng hoặc phản
lực nền phân bố tuyến tính
Khi sử dụng phương pháp này, móng được coi là tuyệt đối cứng,
phản lực nền được chấp nhận là phân bố tuyến tính, nghóa là phân bố đều

với tải trọng tập trung đặt đúng tâm, phân bố hình thang với tải trọng tập
trung đặt lệch tâm.
Nội dung của phương pháp này gồm các bước sau:
1. Sau khi có các lực cột từ khung truyền xuống: Q1, Q2, Q3, …,
Qn. Thử chọn móng bè có kích thước LB. Xác định tổng hợp
lực các cột: Q=Q1+Q2+…+Qn
(1.1)
2. Xác định áp lực đáy móng tại các điểm A, B, C, D, … bằng
công thức sau:
p

trong đó:

Q M y .x M x . y


F
Iy
Ix

(1.2)

F=B.L;
1
.B.L3 - moment quán tính quanh trục x;
12
1
I y  .B 3 .L - moment quán tính quanh trục y;
12
Ix 

Mx=Q.ex - moment quán tính của các lực chân cột
quanh trục x;
My=Q.ey - moment quán tính của các lực chân cột
quanh trục y;
ex và ey – độ lệch tâm theo phương x và phương y
của tổng hợp các lực cột.
3. So sánh các áp lực này với sức chịu tải cho phép của đất nền,
khi tính theo ứng suất cho phép hoặc với Rtc khi tính theo
trạng thái giới hạn biến dạng.
4. Tính độ lún tại tâm móng hoặc độ lún trung bình của móng, so
sánh với độ lún cho phép Sgh.
5. Chia móng bè thành nhiều dãy theo phương x và y. Tính kết
cấu từng dãy với hai giả thuyết: hoặc phản lực nền phân bố
đều hoặc phản lực nền phân bố theo dạng hình thang.

10


6. Vẽ biểu đồ lực cắt hoặc moment cho từng dãy.
7. Từ biểu đồ lực cắt tính bề dày hoặc chọn bề dày bè và kiểm
tra điều kiện chống cắt.
8. Từ biểu đồ moment, chọn giá trị cực đại và cực tiểu để tính
cốt thép cần thiết.

B

C

F

E

D

L

A

B

Hình 1.6 – Móng bè dưới cột
Ưu điểm của phương pháp này là đơn giản, dễ tính.
Nhược điểm là có nhiều sai số khi coi phản lực là phân bố tuyến
tính. Từ các thí nghiệm cho thấy phản lực sẽ phân bố theo một đường cong
và dạng đường cong sẽ phụ thuộc và tính chất của đất và độ cứng của
móng. Ngoài ra, khi tính lún cho đất theo phương pháp này, người ta
thường coi đất hoạt động trong môi trường đàn hồi. Với quan niệm này, độ
lún của đất cũng có nhiều sai số.
1.2.2.Tính toán móng bè theo phương pháp tính toán móng mềm
hay móng trên nền đàn hồi
Khác với móng cứng, móng mềm có khả năng uốn đáng kể dưới tác
dụng của tải trọng công trình. Sự uốn này ảnh hưởng nhiều đến sự phân bố
lại ứng suất tiếp xúc dưới đáy móng. Do vậy khi tính toán ta không thể bỏ

11


qua sự uốn của bản thân kết cấu móng. Để đơn giản tính toán với độ chính
xác đủ dùng trong thực tế, móng được coi như là kết cấu trên nền đàn hồi.

Hiện nay, khi tính toán móng bè trên nền đàn hồi, người ta thường
dùng các mô hình nền sau.
1.2.2.1.Nền biến dạng đàn hồi cục bộ hay nền Winkler
Giả thiết của nền biến dạng đàn hồi cục bộ là mối quan hệ bậc nhất
giữa áp lực và độ lún do giáo sư Winkler đề xuất năm 1867.
Phương pháp nền biến dạng đàn hồi cục bộ chỉ xét đến độ lún ở nơi
đặt lực, không xét đến biến dạng ở ngoài diện gia tải. Điều đó cho phép
coi nền đàn hồi như gồm các lò xo đàn hồi không liên kết với nhau.
Cường độ phản lực của đất tại mỗi điểm tỉ lệ bậc nhất với độ lún đàn
hồi tại điểm đó
p=k.y
Trong đó

(1.3)
k – hệ số nền đàn hồi, có thứ nguyên là lực/thể tích và
coi là không đổi cho từng loại đất;
y – độ lún của đất trong phạm vi diện gia tải.

Ưu điểm của phương pháp này là tính toán đơn giản và kết quả cho
tương đối phù hợp với thực tế.
Nhược điểm của phương pháp này là quan niệm độ lún chỉ xảy ra
trong phạm vi diện gia tải là chưa chặt chẽ. Trong thực tế, dưới tác dụng
của tải trọng, biến dạng xảy ra trong và ngoài phạm vi diện gia tải. Các thí
nghiệm cho thấy độ lún ngoài phạm vi diện gia tải tắt đi rất nhanh và nó
ảnh hưởng nhiều đến trị số của hệ số nền k trong điều kiện thí nghiệm khi
diện tích của bàn nén nhỏ. Ngoài ra, quan niệm đất biến dạng đàn hồi là
chưa chặt chẽ. Thực tế cho thấy, khi áp lực tác dụng lên đất nền vượt quá
một giá trị nào đó thì biến dạng của đất không còn là biến dạng đàn hồi
nữa. Có thể nói, đất là vật liệu có quan hệ ứng suất biến dạng là dẻo.

12


N

Hình 1.7 – Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ

1.2.2.2.Nền biến dạng đàn hồi tổng quát
Phương pháp này dựa theo kết quả của lý thuyết đàn hồi đối với vật
thể đồng chất đẳng hướng (lý thuyết Boussinesq).
Tính chất biến dạng của nền được đặt trưng bởi module biến dạng
Young E và hệ số nở hông Poisson  của đất.
Từ lý thuyết đàn hồi tuyến tính, biểu thức cơ bản cho chuyển vị đứng
tại M(x,y,z) dưới tác dụng của tải tập trung P tại gốc tọa độ O là
 ( x, y , z )

P.(1   )  z 2 2.(1  ) 

.

2. .E  R 3
R 

(1.4)

Ưu điểm của phương pháp này là xét đến biến dạng của nền ở trong
và ngoài diện gia tải là phù hợp với thực tế.
Nhược điểm của phương pháp này là:
 khi tính toán theo phương pháp này, thậm chí khi tải trọng
không đáng kể thì ứng suất ở vùng mép móng đạt trị số vô

cùng lớn, điều đó không đúng với thực tế;

13


 ngoài ra, độ lún theo phương pháp này chậm tắt so với quan
trắc thực tế đối với vùng xa diện gia tải;
 theo lý thuyết này, đất được coi là đồng nhất trong toàn bộ
nửa không gian nhưng thực tế độ chặt và tính đàn hồi tăng
theo chiều sâu.

N

Hình 1.8 – Biến dạng của đất nền theo lý thuyết
biến dạng đàn hồi tổng quát
1.2.2.3.Nền là lớp đàn hồi có chiều dày hữu hạn
Mô hình nền này được tính trong các trường hợp sau:
 khi nền là tầng đất có chiều dày hữu hạn trên đá cứng, lúc đó
sẽ xảy ra hiện tượng tập trung ứng suất trong nền;
 khi móng có diện tích đế lớn, đất có chiều dày lớn có thể coi
là nửa không gian thì độ lún tính theo sơ đồ nửa không gian
biến dạng tuyến tính sẽ lớn hơn nhiều so với kết quả quan trắc
thực tế. Lúc đó tính theo mô hình nền là lớp có chiều dày hữu
hạn trên đá cứng thì cho kết quả phù hợp.
1.3.PHƯƠNG HƯỚNG CỦA ĐỀ TÀI
Qua các phân tích các phương pháp tính toán móng bè hiện nay cho
thấy mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm của nó. Việc tìm ra một
phương pháp tính hiệu quả cho móng bè là một vấn đề bức thiết. Và càng
quan trọng hơn khi tìm một mô hình nền tương đối hợp lý để diễn tả đúng
thực tế của đất nền.

14


Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các mô hình nền dùng cho tính
toán móng bè ở trên, đặc biệt là mô hình nền Winkler và trên cơ sở đó tìm
hiểu phát triển một mô hình nền tương đối phù hợp với tính biến dạng dẻo
của vật liệu mà cụ thể ở đây là đất nền, luận văn này sẽ tập trung vào giải
quyết một số công việc sau:
1. Phân tích bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn hồi cục bộ
(nền Winkler).
2. Nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài
toán móng bè trên nền biến dạng đàn hồi cục bộ (nền
Winkler).
3. Lập trình tính toán cho bài toán móng bè trên nền biến dạng
đàn hồi cục bộ (nền Winkler) theo phương pháp phần tử hữu
hạn.
4. Phân tích bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn-dẻo, phát
triển mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ, đặc biệt là nền
biến dạng đàn-dẻo thuần túy (perfectly plasto-elastic model).
5. Nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài
toán móng bè trên nền biến dạng đàn-dẻo thuần túy.
6. Lập trình tính toán cho bài toán móng bè trên nền biến dạng
đàn-dẻo thuần túy theo phương pháp phần tử hữu hạn.

15


CHƯƠNG 2

NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN MÓNG BÈ
THEO MÔ HÌNH NỀN WINKLER
2.1.MÔ HÌNH NỀN WINKLER
Như đã nói ở trên, người ta có thể tính toán móng bè theo phương
pháp móng cứng (phản lực nền phân bố tuyến tính) và phương pháp tính
toán móng chịu uốn.
Trong phương phương pháp tính toán móng chịu uốn, người ta có xét
đến ứng xử thực của đất nền. Đất nền tương đồng với hệ vô số các lò xo
đàn hồi tuyến tính, thông thường được biết với tên là nền Winkler hoặc
nền biến dạng đàn hồi cục bộ. Hằng số đàn hồi của hệ lò xo được gọi là hệ
số phản lực nền, k.
Mô hình nền Winkler, =kS.

P

S

P

O

Hình 2.1 – Mô hình nền Winkler

16

S


2.1.1.Hệ số nền
Theo định nghóa, hệ số nền k 


S



 2  1
S 2  S1

, đơn vị của hệ số nền là

kN/m3. Hệ số nền được xác định từ thí nghiệm bàn nén hiện trường tiết
diện tròn hoặc vuông có kích thước từ 0,3m đến 1m (hoặc có thể lớn hơn
khi cần khảo sát đặc tính đất cho những công trình quan trọng). Hoặc cũng
có thể tham khảo các bảng tổng kết kết quả nghiên cứu hệ số nền của một
số tác giả hoặc các phòng thí nghiệm có uy tín đủ tin cậy và sử dụng các
công thức hiệu chỉnh để tìm hệ số nền tương ứng cần thiết.
Sau đây là một ví dụ cho cách tính hệ số nền từ thí nghiệm bàn nén
(hình 2.2).

O

1=10kPa

2=70kPa



S1
S2

S

Hình 2.2 – Xác định k từ thí nghiệm bàn nén

Người ta thực hiện thí nghiệm bàn nén hiện trường, có đường kính là
0,45m. Đầu tiên, người ta đặt một áp lực 70kPa và chờ đến độ lún ổn định,
sau đó giảm áp lực còn 10kPa. Số đọc của ba chuyển vị kế lần lượt là
5510-5m, 10310-5m và 7210-5m. Tiếp theo, áp lực đáy bàn nén tăng trở
lại 70kPa, số đọc các chuyển vị kế bây giờ lần lượt là 7010-5m, 11810-5
m và 8610-5m.
Sau đó, hệ số nền được tính như ở sau.
Số đọc trung bình của ba chuyển vị kế trước khi tăng tải trở lại là

17


S1 

(55  103  72 ). 10 5
 76 ,7.10 5 m
3

Số đọc trung bình của ba chuyển vị kế sau khi tăng tải trở lại là
S2 

(70  118  86 ). 10 5
 91,3.10 5 m
3

Độ lún của bàn nén
S=S2-S1=14,6.10-5m
Hệ số nền của đất nền dưới bàn nén đường kính 0,45m là
k ( 0, 45m ) 


S



70  10
 410 MN / m 3
5
14 ,6.10

Do hệ số nền k tỉ lệ nghịch với bán kính bàn nén R nên hệ số nền k
dưới bàn nén đường kính 0,75m được tính như sau
k ( 0, 75m ) 


S



70  10 0,45
.
 246 MN / m 3
5
14 ,6.10 0,75

Heä sốn nền k không là hằng số mà nó thay đổi theo nhiều thông số
như bề rộng B, chiều dài L, chiều sau chôn móng Df và loại đất. Năm
1955, Terzaghi đã công bố các kết quả nghiên cứu về hệ số nền, theo đó
hệ số nền k tỉ lệ nghịch với bề rộng móng. Trên công trường, người ta có
thể tiến hành thí nghiệm bàn nén vuông kích thước B1B1 và công thức
chuyển đổi hệ số nền k của một móng vuông kích thước BB từ kết quả thí
nghiệm bàn nén trên.
Trên nền đất cát
 B  B1 
k  k1.

 2.B 

2

(2.1)

Trên nền sét

18


B 
k  k1 . 1 
B

(2.2)

Đối với móng chữ nhật kích thước BL, gọi m=L/B, hệ số nền k
được chuyển đổi như sau

k  k1.

m  0,5
1,5.m

(2.3)

Hệ số nền k0,3 khi thí nghiệm với bàn nén kích thước 0,3m0,3m của
một số loại đất cát và sét cho trong bảng 2.1.
Bảng 2.1 – Hệ số nền tiêu chuẩn Terzaghi
Loại đất
Cát khô hoặc ẩm

Trạng thái
k0,3 (MN/m3)
Rời
8-25
Chặt trung bình
25-125
Chặt
125-375
Cát bão hòa
Rời
10-15
Chặt trung bình
35-40
Chặt
130-150
Sét
Dẻo (qu=100-200kPa)

12-25
Dẻo cứng (qu=200-400kPa)
25-50
Cứng (qu>400kPa)
>50
Với qu là sức chịu nén một trục của đất nền

Vesic đề nghị một công thức xác định hệ số nền từ module biến
dạng Young Es của đất như sau
k ,  0,65.12

với

Es .B 4
Es
.
E f .I f 1   2

(2.4)

Ef – module Young cuûa vật liệu móng;
If =(1/12).B1.h2 – moment quán tính của tiết diện ngang
của dầm;
Es – module Young của đất nền;
B – bề rộng móng;
 – hệ số Poisson.

19

Từ trên, ta có thể xác định k như sau
k,
k
B

(2.5)

Một công thức gần đúng xác định hệ số nền k từ công thức (2.4) và
(2.5) thường được sử dụng có dạng như sau
k

Es
B.(1   2 )

(2.6)

Ngoài ra, Scott (1981) đề nghị một công thức tương quan xác định
k0,3 từ kết quả xuyên động SPT cho đất cát
k0,3 (MN/m3)=1,8.N

(2.7)

2.1.2.Hệ phương trình cơ bản cho dầm trên nền Winkler
Từ cơ sở cơ học vật liệu
M  E f .I f .

trong đó

d2y
dx 2

(2.8)

M – moment tại tiết diện bất kỳ;
Ef – module Young của vật liệu móng;
If=(1/12).b.h3 – moment quán tính của tiết diện
ngang của dầm.

Mặt khác, chúng ta có
dM
Q
dx
d 2M
 p ( x)  q( x)
dx 2
d 2M
d4y

E
.
I
.
 p ( x)  q ( x)
f
f
dx 2
dx 4

trong đó

(2-9)

p(x) – áp lực lên móng ở tiết diện tọa độ x;
q(x) – phản lực của đất nền ở tiết diện tọa độ x.

20


Theo định nghóa hệ số nền, ta có q(x)=k*.y(x) với k*=k.B.
Từ trên, phương trình vi phân trục võng của dầm nhö sau
E. J . y ( 4 )  p ( x )  q ( x )
E. J . y ( 4 )  k * . y ( x )  p ( x )

Trong trường hợp tải trọng tập trung thì p(x)=0 và phương trình vi
phân trục võng có dạng
E.J . y ( 4 )  k * . y ( x )  0

Chia hai veá cho E.J và đặt   4

k*
4.E.J

Phương trình vi phân cơ bản của móng băng trên nền đàn hồi trở
thành
y ( 4) ( x)  4. 4 . y ( x)  0

Nghiệm tổng quát là
y ( x)  e . x .(C1 . cos x  C2 . sin x)  e  . x .(C3 . cos x  C4 . sin x)

O

x
p(x)

q(x)
y

Hình 2.3 – Mô hình tính toán dầm trên nền Winkler

21

(2.10)


2.2.TÍNH TOÁN MÓNG BÈ TRÊN NỀN WINKLER THEO PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
y'

b

m khoảng

b

(m+1)(n+1)

n+3

n+4

2n

2n+1

2n+2

2

3

n-1

n

n+1

b

n+2

1

x'

O
a

a

a

a

n khoảng

z'
y'
P

P
P

P

P

b

P

P

P

b
O
a

x'
a

Hình 2.4 – Bài toán bản trên nền Winkler
Ở trên đã trình bày về các cách phổ biến để xác định hệ số nền khi
tính toán móng trên nền Winkler.
Trong phần này, bài toán móng bè trên nền Winkler sẽ được giải chi
tiết theo phương pháp phần tử hữu hạn. Để cho dễ dàng minh họa cụ thể,
luận văn chỉ tập trung vào giải bài toán móng bè dạng bản có lực tập trung
do cột truyền xuống. Các dạng khác của móng bè có thể được phát triển
mở rộng trên cơ sở của bài toán này.
Ở bài toán này, chọn hệ trục tọa độ tổng thể Ox’y’z’ sao cho trục x’
và y’ nằm trên mặt phẳng ngang, trục z’ hướng thẳng đứng lên trên. Móng

22


bè dạng bản, có hai cạnh hướng theo hai trục x’ và y’, khoảng cách của
các bước cột theo phương x’ và y’ lần lượt là a và b, số bước cột theo
phương x’ và y’ lần lượt là n và m. Như vậy chiều dài bản theo phương x’
và y’ là Lx=n.a và Ly=m.b. Lực tập trung tác dụng tại các cột là P. Cụ thể
cho ở hình 2.4.
Số thứ tự các nút tại các chân cột được đánh số như hình trên. Tăng
dần theo chiều Ox và chiều Oy với Ox theo phương cạnh dài của bản, Oy
theo phương cạnh ngắn của bản.
Như vậy, với bản có n khoảng theo phương cạnh dài (Ox) và m
khoảng theo phương ngắn (Oy) thì bài toán có (m+1)(n+1) nút.
2.2.1.Xác định độ cứng lò xo tại các nút
Bài toán bản trên nền biến dạng đàn hồi cục bộ Winkler với hệ số
nền k được đưa về bài toán bản trên các lò xo đặt tại các nút. Ở đây coi
các nút là vị trí các lực cột truyền xuống. Như vậy độ cứng của các lò xo
tại các nút được xác định như sau.

6

5

1

7

3

2

8

4

Hình 2.5 – Xác định độ cứng các lò xo ở nút
Độ cứng của các lò xo sẽ phụ thuộc vào các diện tích mà nó phải
gánh đỡ (tạm gọi là diện tích ảnh hưởng). Giả định các diện tích này được
chia đều theo diện tích của hình chữ nhật ở trên.

23


Như vậy, tại các nút nằm ở góc bản (như nút 1 ở hình trên) thì diện
tích nó gánh đỡ là ¼ diện tích 1-2-6-5. Như vậy độ cứng lò xo tại nút 1 là
K1=k  ¼  diện tích 1-2-6-5
Các nút nằm trên biên (như nút 2) ta sẽ có diện tích mà nó nhận
được là ¼ diện tích 1-2-6-5 và ¼ diện tích 2-3-7-6. Như vậy độ cứng lò xo

tại nút 2 là
K2=k  ¼  (diện tích 1-2-6-5 + diện tích 2-3-7-6)
Các nút nằm ở giữa (như nút 6) thì tương tự ta có
K6=k  ¼  diện tích
Xét một ví dụ bản trên nền Winkler với k=500T/m3. Bản có chiều
dài là 12m, rộng là 6m, bề dày của tấm là 0,4m với ba nhịp theo phương
dài và hai nhịp theo phương rộng, lực nút tác dụng là 10T. Để xuyên suốt,
ví dụ này sẽ được sử dụng khi cần minh họa trong luận văn này.
9

10

11

3000

12

6

7

8

3

4

3000

5

2

1
4000

4000

4000

Hình 2.6 – Ví dụ tính độ cứng lò xo
Nút
1,4,9,12
(nút ở góc)
2,3,5,8,10,11
(nút ở biên)
6,7
(nút ở giữa)

Diện tích ảnh hưởng (m2)
¼34=3

Độ cứng (T/m)
5003=1500

2(1/434)=6

5006=3000

4(¼34)=12

50012=6000

24


2.2.2.Rời rạc hóa miền khảo sát, chọn hàm xấp xỉ và xây dựng
ma trận phần tử [K]e và vectơ tải phần tử {P}e
Trong bước này, bản được chia thành các phần tử con.
Phần tử được chọn cho bản để giải bài toán này là phần tử tấm
không tương thích dạng tam giác.
Trước hết, ta tìm hiểu về phần tử tấm không tương thích dạng tam
giác.
Phần tử tấm không tương thích dạng tam giác sử dụng Lý thuyết cổ
điển của Kirchhoff. Cụ thể là các giả thiết:
 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn
còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và
chiều dài của chúng là không đổi.
 Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt.
Nó là mặt trung hòa.
 Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm.
z
y
q7

q9
q8

k

q1

q4

q2

q5
j

i

x

q6

q3
y

b

k(0,b)

i(0,0)

j(a,0)

x

a

Hình 2.7 – Phần tử tấm dạng tam giác chịu uốn cùng các bậc
tự do của nó
25


Xét một phần tử tấm mỏng dạng tam giác chịu uốn cùng hệ trục tọa
độ địa phương xyz như hình 2.7.
Tại mỗi nút của phần tử, độ võng w và các góc xoay x, y được xem
là các bậc tự do của nút. Do bỏ qua các biến dạng trượt (theo giả thiết của
Kirchhoff) nên các góc xoay chính là đạo hàm của độ võng w theo y và x.
Cụ thể, các bậc tự do của mỗi nút hay còn gọi là các chuyển vị nút của nút
i là
 w 
 w 
wi ; xi    ; yi   

 x  i
 y i

Vì phần tử tam giác như trên có chín bậc tự do nên hàm độ võng
w(x,y) được xấp xỉ hóa bằng một đa thức chứa chín tham số. Để đảm bảo
tính đẳng hướng hình học, hàm đa thức xấp xỉ của độ võng có dạng như sau
w(x,y)=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2+a7x3+a8(x2y+xy2)+a9y3

(2.11)

Để xem xét tính tương thích của phần tử đang xét với hàm độ võng
được cho bởi (2.11) người ta xét chuyển vị và đạo hàm của nó trên các
cạnh.
Xét cạnh biên ij, cạnh chung giữa hai phần tử A và B kề sát nhau

(hình 2.8).
y

A

i

j

x

B

(w/x)j

(w/x)i

wj

wi

i

(w/y)j

(w/y)i

j

i

j

Hình 2.8 – Tính tương thích dọc cạnh biên chung giữa hai phần tử
26


Trong hệ tọa độ địa phương, cạnh ij có phương trình y=0. Chuyển vị
theo phương x hay độ võng dọc theo cạnh này là
wij=a1+a2x+a4x2+a7x3
Độ dốc theo phương x hay

(2.12)

w
dọc theo cạnh này là
x

 w   w 
2
      a2  2a4 x  3a7 x
 x  ij  x  y 0

(2.13)

Vì nút i và j là chung của cả hai phần tử A và B nên các bậc tự do
hay các chuyển vị nút của hai nút này cũng là chung đối với hai phần tử có
chung cạnh biên ij này. Tuy nhiên, nếu để ý đến bốn chuyển vị nút wi,
 w 
 w 

  , wj vaø   ta thấy bằng phép đồng nhất bốn bậc tự do này với giá
 x  i
 x  j
w
trị của hàm w và giá trị đạo hàm   tại hai điểm nút i(x=0) và j(x=a),
 x 

tức chúng ta có bốn điều kiện sau
wi=wij

(tại x=0)

 w   w 
   
 x i  x ij

(taïi x=0)

wi=wij

(taïi x=a)

 w   w 
   
 x i  x ij

(tại x=a)

Chúng ta hoàn toàn có thể xác định được bốn tham số a1, a2, a4, a7

w
hoàn toàn xác
x
w
định trên cạnh biên ij và tính liên tục của chuyển vị và độ dốc
dọc theo
x

một cách duy nhất theo bốn bậc tự do trên. Do đó w và

cạnh này được đảm bảo khi chuyển từ phần tử A sang B.

Tuy nhiên, kết luận này không đúng đối với độ dốc theo phương y,

tức

w
, dọc theo cạnh biên chung ij. Thật vậy, trên cạnh biên ij (y=0), ta
y

có

27


 w 
 w 
      a3  a5 x  a8 x 2
 y  ij  y  y 0

Và ta có thể thấy rằng, để xác định

(2.14)
w
dọc theo cạnh biên ij, ta cần
y

xác định ba tham số a3, a5 và a8. Nhưng chúng ta chỉ có thể có được hai
phương trình từ việc thay thế vào (2.14) hai điều kiện dưới đây
 w   w 
    
 y  i  y  ij

(taïi x=0)

 w   w 
    
 y  i  y  ij

(tại x=a)

Do đó, độ dốc vuông góc với biên ij là không xác định. Độ dốc

w
y

này tại các nút i và j là như nhau đối với cả hai phần tử, nhưng có thể là
khác nhau tại các điểm khác dọc theo cạnh biên chung ij. Do vậy, phần tử
này là không tương thích.
Tuy nhiên, phần tử này vẫn cho kết quả tốt và được sử dụng rộng rãi

trong thực tế.
Quy trở lại với hàm xấp xỉ của độ võng, ta thấy hàm độ võng (2.11)
ở dạng ma trận là
w(x,y)=[P(x,y)]{a}

(2.15)

Trong đó ma trận các đơn thức [P(x,y)] là
[P(x,y)]=[1 x y x2 xy y2 x3 (x2y+xy2) y3]

(2.16)

Và vectơ các tham số {a} có chín thành phần
{a}={a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9}T
Vectơ các bậc tự do của phần tử, hay vectơ các chuyển vị nút phần
tử {q}e cũng gồm chính thành phần (hình 2.7)

28


 w   w 
 w   w 
  
 wj    
 wk

x

y


y

x



j
i


 i
j

{q}e={wi 

 w   w 
   
 }

x

y

k
 k

(2.17)
Các tham số a1, a2, a3, a4, …, a9 được xác định từ việc thực hiện đồng
 w 
 w 

 và  

 x 
 y 

nhất các bậc tự do của phần tử với các giá trị của hàm w, 

tại các nút i, j và k có tạo độ (0,0), (a,0) và (0,b) trong hệ tọa độ địa
phương như hình 2.7.
q1=wi =w(0,0)
 w  w
q2    
(0,0)
 y  i y
w
 w 
q3   
(0,0)
 
x
 x  i

q4=wj =w(a,0)
 w 
w
q5    
(a,0)
 y  j y

w

 w 
q6       (a,0)
x
 x  j

q7=wk =w(0,b)
 w 
w
q8    
(0, b)
 y  k y
w
 w 
q9   
(0, b)
 
x
 x  k

Hay ở dạng ma trận
 q1 
q 
 2 
qe   .   Aa
.
 
q9 

(2.18)

Trong đó, ma trận [A] laø

29


0
0
0
0
1 0 0
0 0 1
0
0
0
0

0  1 0
0
0
0
0

2
0
0
a3
1 a 0 a
A  0 0 1 0 a 0 0

0  3a 2

0  1 0  2 a 0
1 0 b
0
0 b2
0

0
0 2b
0
0 0 1
0  1 0
0
b 0
0


 b2

0 
0 
0 

0 
0 

0 
b3 

3b 2 
0 

0
0
0
0
a2
0
0
0

(2.19)

Nghòch đảo của [A] là

A

1

 1
 0

 0
 3
 a2

 0

  3
 b2
 2

 3
a
 0

 2
 3
b

0
0

0
1

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

1

0
2
a
a
bc

0
3
a2

0

0

0

0

0
1
a

0

0

0

b

ac

0

0

0

0

0

0

0

1
a2
1
bc

2
a3

1
b

0

0

0

0

1
ac

1
a2

3
b2

0

0

0

0

0

0

0

2
b3

1
b2

0
b
ac
2
b
0
1
ac
1
b2

0
0 
0

0
a 

bc 

0

0

 1
bc 


0


(2.20)

Trong đó, c=b-a.
Hàm độ võng có thể được biểu diễn như tổ hợp tuyến tính các hàm
dạng, tức laø
9

w( x, y )   N i qi  N qe

(2.21)

i 1

Trong đó, ma trận hàm dạng [N] là
[N]=[P(x,y)][A]-1=[N1 N2 N3 … N9]
Với các hàm dạng Ni như sau

30

(2.22)