cơ học hệ chất điểm vật lý 1 đại học bk hcm

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN
3.1 Khối tâm vật rắn:
3.1.1 Định nghĩa: Điểm G được gọi là khối tâm của hệ chất điểm nếu:
r
m
l
∑ i i =0

r
l i : là vectơ khỏang cách từ điểm G đến chất điểm thứ i

• Vị trí khối tâm G:
r
Vị trí khối tâm G được xác định bằng bán kính vectơ rG

i i

M

ng
co

r

∑m r

⎧
∑ mi x i
⎪ xG =

M
⎪
⎪⎪
∑ mi y i
⎨ yG =
M
⎪
⎪
∑ mi z i
⎪zG =
M
⎪⎩

g

th

an

r
⇒ rG =

.c
om

- Trường hợp hệ chất điểm:
r r r
ri = rG + li
r
r

r
⇔ mi ri = mi rG + mi li
r
r
r
⇔ ∑ mi r = ∑ mi rG + ∑ mi li
r
r
= (∑ mi )rG = MrG

• xG =

du
on

Vd: Đặt 3 chất điểm khối lượng m tại 3 đỉnh tam giác đều cạnh a.

m1 x1 + m2 x 2 + m3 x3
m1 + m2 + m3

y

a

cu

u

⎛ a⎞
⎛a⎞

2m o O + mo ⎜ − ⎟ + mo ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝2⎠ = 0
=
mo
• yG =

2mo a

3
+ mo O + mo O
3
2
=a
4mo
4

=> G nằm trên đường phân giác

x
0

⎛
3⎞
⎟
G⎜⎜ 0, a
⎟
4
⎝
⎠

- Trường hợp chất điểm là 1 vật rắn:
1
⎧
=
x
x.dm
G
⎪
M∫
⎪
r
1 r
1
⎪
rG =
⇒ ⎨ yG =
y.dm
∫ r .dm
∫
M
M
⎪
1
⎪
⎪ z G = M ∫ z.dm
⎩
Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

1
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

dm
⇒ dm = λ..dl
dl
dm
- Mật độ khối lượng mặt:
σ=
⇒ σ .ds
ds
dm
- Mật độ khối lượng mặt:
ρ=
⇒ ρ .dϑ
dϑ
m
m
m
λ = , σ = , ρ = = hs
+ Nếu 1 vật rắn có khối lượng phân bố đều thì:
ϑ
l
s
+ Nếu vật rắn là sợi dây phẳng trên trục x thì: dl= dx
+ Nếu vật rắn là cung trịn, bán kính R thì ta dùng tọa độ cực (R,ϕ) y

λ=

- Mật độ khối lượng dài:

⎧ x = r cos ϕ
Với ⎨
⎩ y = r sin ϕ

y
x

⇒ dl = R.dϕ
+ Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng:
ds = dx.dy

dy

.c
om

r = x 2 + y 2 , ϕ = arctg

x
dx

co

ng

+ Nếu vật rắn là dạng phẳng giới hạn bởi cung tròn:
ds = r.dr.dϕ

+ Nếu vật rắn là mặt cần bán kính R thì: ds = R 2 sin θ .dθ .dϕ

du
on

g

th

⎧ x = r sin θ . cos ϕ
⎪
⎨ y = r sin θ . sin ϕ
⎪ z = r cos θ
⎩

an

Tọa độ cầu:

Khi tính hết mặt cầu: S = R

2

π

2π

0

0

∫ sin θ .dθ ∫ dϕ

cu

u

+ Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương:
dϑ = dx.dy.dz
+ Nếu vật rắn là khối cầu: dϑ = r 2 dr sin θ .dθ .dϕ
R

π

2π

0

0

0

R3
4
.2.2π = πR 3
3
3

V = ∫ r 2 .dr ∫ sin θ .dθ ∫ dϕ =

Vd1: Cho vật rắn là mặt phẳng OBC (OB = a, OC = b) khối lượng m phân bố đều. Tìm G?

M
1 ab
1
• xG =
σ .dx .dy . = 2
∫
M
m VR
=

2
ab

a

∫ x.dx . y

b
x
a
0

=

0

2
a2

a

b
y= x
a

0

0

∫ x.dx ∫ dy

a

∫x
0

2

.dx =

2
a
3

1
• Tương tự: y = b
3
Th.S TRẦN ANH TÚ

CuuDuongThanCong.com

2
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

Vd2: Cho vật rắn khối lượng m l ẳ vũng trũn (O,R). Xỏc nh G?
M
1
ã xG =
.d3
.r.dr
ϕ .r1cos
ϕ=
12
23
M∫
ds
x

π R2
4
M

π

R

2

∫ r .dr ∫ cos ϕ.dϕ
2

0

0

π
4 R3
4
sinϕ 0 2 =
R ≈ 0,424 R
2
3π
πR 3
1
4
σ .r.dr
ϕ .r sin ϕ =
R
• yG =
.d3
∫
1
2
3
π
M
ds

=

3.2.1 Định nghĩa:
r
r
r
r
P = ∑ Pi = ∑ mi .ϑi = MϑG
3.2.2 Định lý:
r
r
r
r
dP d M .ϑG
=
= M .aG = ∑ F
dt
dt

th

)

du
on

g

(

an

co

3.2 Động lực của hệ chất điểm và vật rắn:

ng

.c
om

3.1.2 Chuyển động khối tâm G
r
r
1
rG =
mi .ri
∑
M
r
r
r
r
drG
1
1
ϑG =
ϑ
=

m
=
P
.
∑ i i M∑ i
dt
M
r
r
dϑ
r
r
1
1
aG = G =
mi .ai =
Fi
∑
∑
dt
M
M

Vd1:

cu

u

3.2.3 Định luật bảo toàn động lượng:

r
r
- Bảo toàn toàn phương:
∑ rF = 0 ⇒ Pr = hs r
- Bảo toàn 1 phương:
∑ F ≠ 0, ∑ Fx = 0 ⇒ Px = hs

r

r

r

F =mg+N
∑
r
r
1

1

r r
+ m2 g + N 2 = 0

PTVC = PSVC
r
r
r
r
m1 .ϑ1 + m2 .ϑ2 = m1 .ϑ '1 + m2 .ϑ ' 2

Vd2:

r
r
PTB = PSB

r
r
(m + M )V = mϑ + MV

Vd3:

r
r
P1 = P2
r
r
0 = mϑ + MV

Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

3
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

Vd4: Bảo toàn 1 phương:
r

∑ F = mg , ∑ Fx = 0
r
r
⎧ PxTVC = PxSVC
⎪ r
⎨mϑ + MV = mϑr ' + MVr '
{ {
⎪
0
0
⎩

3.3 Vật rắn chuyển động tịnh tiến
3.3.1 Định nghĩa

.c
om

A1 A2 = B1 B2 = ... = G 1 G2
r
r
r
ϑ A = ϑ B = ... = ϑG
r
r
r
a A = a B = .... = aG

ng

Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật rắn chuyển động cùng
quãng đường, cùng vận tốc và cùng gia tốc với khối tâm.

co

3.3.2 Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến
1
1
Wñ tt = ∑ Wñ i = ∑ miϑi2 = ϑG2 .M
2
2

th

an

3.3.3 Phương trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến
r
r
∑ F = M .aG

du
on

3.4.1 Định nghĩa
θ A = θ B = ... = θ

g

3.4 Vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục U

ω A =ω G = ... = ω
β A = β B = ... = β

cu

u

Khi vật rắn quay quanh 1 trục thì mọi chất điểm có cùng 1 góc
quay, cùng vận tốc góc và cùng gia tốc góc.
3.4.2 Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục U
1
1
1
Wñ = ∑ Wñi = ∑ miϑi2 = ∑ mi ω i2 .ri2 = ω 2 ∑ mi ri2
Δ
2
2
2
Δ
2
Đặt I = ∑ mi ri : moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục U

1
I Δω 2
Δ
2
Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U
3.4.3 Moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục quayU
I Δ = ∑ mi ri2
⇒ Wñ =

3.4.4 Moment quán tính của vật rắn đối với trục quayU
I Δ = ∫ dm.r 2
VR

Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

4
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố đều. Tính moment đối với
trục quayU vng góc với thanh và đi qua điểm giữa.
L
2

L
2

3
I = λ .dx.x 2 = M . x
Δ ∫L
L 3
−

=

−

2

L
2

M ⎛ L3 ⎛ L3 ⎞ ⎞ ML2
⎜ − ⎜ − ⎟⎟ =
12
L ⎜⎝ 24 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ ⎟⎠

+ Nếu chọn gốc O đối với trục U’:
3
I = M .x
Δ' L 3

L

=
0

1
ML2
3

.c
om

+ Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh:
L

M
M
L3 ML2
2
2
2
I
=
dx.x sin α = sin α . =
sin 2 α
Δ2 L ∫
L
3
3
0
+ Nếu chọn trục U3 song song với thanh:
I
= dm.d 2 = d 2 ∫ dm = M .d 2
Δ3 ∫

ng

VR

= ∫ dm.R 2 = R 2 ∫ dm = M .R 2

an

Δ

VR

th

I

co

Vd2: Cho 1 vành khối lượng M, bán kính R, U vng góc vành qua O

du
on

g

Vd3: Đĩa đặc phân bố đều
= σ .r.dr.dϕ .r 2
Δ ∫
2π
R
M
3
.
=
r
dr
∫0 dϕ
πR 2 ∫0

u

I

R

cu

M r4
M .R 2
2π
.
.
=
ϕ
=
2
πR 2 4 0 0
Vd4: Đĩa bán kính R1,R2

M
IΔ =
1
π R2 − R11

(

M
π R − R11

=

M 2
R2 + R12
2

(

)

) ∫ r dr ∫ dϕ
3

0

R1

⎛R
R ⎞
⎜⎜
⎟.2π
−
4 ⎟⎠
⎝ 4

=

1
2

2π

R2

(

4
2

4
1

)

Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

5
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

- Đĩa đặc, trụ đặc:

IΔ =

1
MR 2
2

- Cầu rỗng:

IΔ =

2
MR 2
3

- Cầu đặc:

IΔ =

2
MR 2
5

ng

I Δ = MR 2

co

- Vành trụ rỗng:

an

IΔ =

.c
om

1
ML2
12

- Thanh dài:

th

3.4.5 Định lý Steiner-Huyghen

du
on

g

Trục U đi qua G
Trục U’//U và cách U 1 đoạn d

I Δ ' = I Δ + Md 2
Vd: Thanh rắn:

2

cu

u

1
1
⎛L⎞

I Δ ' = ML2 + M ⎜ ⎟ = ML2
12
3
⎝2⎠

I Δ ' = MR 2 + MR 2 = 2MR 2
Lưu ý: Moment qn tính có mang tính chất cộng

I (m+ M )

Δ'

=

Im

Δ

+ IM

Δ

Vd: Hệ 1 niềng M, 6 căm m:

I = I1 + 6I 2

⎛1
⎞
= MR 2 + 6⎜ MR 2 ⎟ = 3MR 2
⎝3

⎠
Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

6
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

+ Nếu khoét đi 1 lỗ sẽ trừ đi:
M: khối lượng đĩa khi chưa khoét
m: Khối lượng đĩa bị khoét
M’: khối lượng đĩa còn lại (M’ = M - m)
M σ .πR 2
=
⇒ M = 4m
m σ .π .r 2
R ⎞⎤
1 ⎡ ⎛
1
0 + ⎜ − m ⎟⎥ = − R
xG =
⎢
3m ⎣ ⎝
2 ⎠⎦
6
Moment quán tính là giá trị vô hướng dương, (là giá trị số học)
3.4.6 Moment lực
r
3.4.6.1 Moment lực F đối với điểm O

Điểm đặt: tại O
r r
Phương: ⊥ mp tạo bởi r , F
r r r
Chiều: r , F , M tạo thành U diện thuận
Độ lớn: M = r.F . sin α

ng

( )

co

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

.c
om

r
r r
M Fr / O = r xF

r
3.4.6.2 Moment lực F đối với trục U

th

an

r
r
M Fr / Δ = hình chiếu M Fr / O lên trục U

du
on

g

r
3.4.6.3 Moment lực F của vật rắn đối với trục U
r
Tác dụng lên vật rắn 1 lực F để vật rắn quay quanh U
r
Lực F được phân thành 3 thành phần:

cu

u

r r r
r
F = Ft + Fn + Fz

r

Fz : làm vật trượt trên U, không làm vật rắn quay
r
Fn : kéo vật khỏi U, không làm vật rắn quay
r
Ft : làm vật rắn quay quanh U

⎫
⎬ Moment lực = 0
⎭

=> chỉ có lực tiếp tuyến mới làm vật rắn quay quanh U

r
r r
M Frt = r xFt

r
M Fr / Δ =

r
⎧F
⎪⎪ r
0 ⇔ ⎨F
⎪ r
⎪⎩ F

(r : khoảng cách từ U đến M)
=0
cắt U
// U

Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

7
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN
3.4.6.4 Moment tổng ngọai lực của vật rắn đối với U
r
r r
r
r
M ∑ Fr / Δ = ∑ ri xFti = ∑ ri xmi .ati
r r r
r r r
r r r
= ∑ mi ri x( β i xri ) = ∑ mi (ri .ri ).β i − (ri .β i ).ri
r
r
= ∑ mi .ri 2 .β = I Δ .β

[

]

[

]

3.4.6.5 Phương trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh U:
r
r
M ∑ Fr / Δ = I Δ .β

r
3.4.7 Moment động lượng L
r
3.4.7.1 Moment động lượng L đối với O
r
r r
Li / O = ri .Pi

)

ng

(

.c
om

Điểm đặt: tại O
r r
Phương: vng góc mặt phẳng tạo bởi ri , Pi
r r r
Chiều: ri , Pi , L/ O tạo thành U diện thuận
r
Độ lớn: Li / O = ri .Pi sin α

co

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

r
( ri : vectơ vị trí)

Δ

th

r
r
L/ Δ = hình chiếu L/ O

an

3.4.7.2 Moment động lượng đối với U

u

du
on

g

3.4.7.3 Moment động lượng của vật rắn đối với U
r
r
r r
r
r
L/ Δ = ∑ Li / Δ = ∑ ri xpi =∑ ri xmi .vi
r r r
r r r
r r r
= ∑ mi [ri x(ϖ i xri )] = ∑ mi [(ri .ri ).ϖ i − (ri .ϖ i ).ri ]
r
r
= ∑ mi .ri 2 .ϖ = I Δ .ϖ

cu

Ghi chú:

r
r
M ∑ Fr / Δ của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với β
r
r
L/ Δ của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với ω

3.4.7.4 Định lý moment động lượng
r
r

r r
dL/ Δ
dϖ
= I/Δ.
= I / Δ .β = M ∑ Fr / Δ
dt
dt
3.4.7.5 Định luật bảo tòan moment động lượng
r
r
Khi M ∑ Fr / Δ = 0 thì L/ Δ = const

Vd: Ghế Giucopxki (người đi từ mép đĩa đến R/2)
r
r
L/ Δ1 = L/ Δ 2
⎛1
R2
⎛1
⎞
⇔ ⎜ MR 2 + MR 2 ⎟ω1 = ⎜⎜ MR 2 + MR
4
⎝2
⎠
⎝2

⎞
⎟⎟ω 2
⎠

Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

8
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

Vd: Viên đạn chạm thanh M, L:
r
r
M ∑ Fr / Δ = 0 thì L/ Δ = const
r
r
⇒ LTVC = LSVC
1
ϑ 1
ML2 + 0 + mL2 . = ML2 .Ω'+ mL2 .ω '
3
L 3

3.5 Vật rắn chuyển động lăn không trượt

co
an

th

⎧
⎪ AB = G1G2 = A' B = Rθ

⎪r
dθ
⎪
⇔ ⎨ϑG = R
= ωR
dt
⎪
dω
⎪
⎪⎩aG = R dt = β R

ng

.c
om

3.5.1 Định nghĩa:
¾ Định nghĩa 1: Khi vật rắn lot là vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G và vùa chuyển
động quay quanh G
r
r
⎧ϑG
⎧ω
Quay quanh G ⎨ r
Tịnh tiến ⎨ r
⎩β
⎩a G

g

Vectơ vận tốc của chuyển động lot tại G, A, B, C
r
r
r
r
Xét chuyển động tịnh tiến: ϑG = ϑ A = ϑ B = ϑC

du
on

•
-

cu

u

Xét chuyển động quay quanh G:
r
r
r
⇒ ϑ A / lot = ϑ Att = ϑ A.quay
r
r
⎧ϑ A = 2ϑG
⎪r
r
⎪ϑ B = 2ϑG
Vậy: ⎨ r
⎪ϑC = 0

r
⎪r
=
ϑ
ϑ
G
⎩ G
¾ Định nghĩa 2: Lot là quay quanh tâm quay tức thời

(ϑlot

= 0) : ω =

ϑG
R

3.5.2 Động năng của vật rắn Lot:
1
1
Wñ / lot = WñttG + WñqG = MϑG2 + I G ω 2
2
2
3.5.3 Phương trình cơ bản ĐLH của Lot:
r
⎧⎪∑ F = m.avG
r
⎨r
⎪⎩M ∑ Fr / Δ = I Δ .β
Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

9
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

3.6 Va chạm
3.6.1 Va chạm đàn hồi
r
r
TVC m1ϑ1 , m 2ϑ2
r
r
SVC m1ϑ1' , m2ϑ2'
Trong va chạm hoàn tồn đàn hồi thì động lượng của hệ và động năng hệ bảo toàn
r
r
r
r
r
r
⎧PTVC = PSVC → m1ϑ1 + m 2ϑ2 = m1ϑ1' + m2ϑ2'
⎪
r
⎨r
1
1
1
1
2

2
'2
'2
⎪WñTVC = WñSVC = m1ϑ1 + m2ϑ2 = m1ϑ1 + m2ϑ2 (1)
2
2
2
2
⎩
• Nếu va chạm xuyên tâm:
m1ϑ1 + m2ϑ2 = m1ϑ1' + m2ϑ2'
(v1,v2,v1’, v2’ là các giá trị đại số)
2m 2
m1 − m 2
ϑ1 +
ϑ2
m1 + m 2
m1 + m 2
2m1
m − m1
⇒ ϑ2' =
ϑ1 + 2
ϑ2
m1 + m 2
m1 + m 2

ng

Vd:

.c
om

(1), (2) ⇒ ϑ1' =

co

r
r
• LTVC = L SVC

ϑ 1
ϑ'
1
ML2ω + ml 2 . = ML2ω ' + ml 2 .
3
l 3
l
• WđTVC = WñSVC

an

⇔

th

1⎛1
1 2 ϑ 1⎛1
1 2 ϑ2
2⎞ 2

2 ⎞ '2
⎜ ML ⎟ω + ml . = ⎜ ML ⎟ω + ml . 2
2⎝3
2
2
l 2⎝3
l
⎠
⎠

du
on

g

⇔

u

3.6.2 Va chạm mềm
r
r
ϑ
ϑ
m
,
m
TVC
1 1
2 2

⎧
r
⎨
(
)
m
+
m
ϑ
'
SVC
1
2
⎩

cu

Trong va chạm mềm chỉ có động lượng của hệ bảo tồn, động năng của hệ khơng bảo
tồn. Động năng trước va chạm trừ đi động năng sau va chạm bằng nhiệt lượng làm vật bị
biến dạng.
r
r
r
m1ϑ1 + m1ϑ2 = (m1 + m2 )ϑ '

•

Nếu va chạm xuyên tâm:
m1ϑ1 + m1ϑ2 = (m1 + m2 )ϑ '
Chú ý chọn chiều (+)

(v1,v2,v1’, v2’ là các giá trị đại số)

Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

10
/>

Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN

Vd1:

r r
r
m1 : m1 g + T1 = m1 a1
r r
r
m2 : m2 g + T2 = m2 a 2
r
v
M : M ∑ Fr / 0 = I / 0 .β
Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của m1,m2
là chiều quay ròng rọc (U hướng vào)

ng

.c
om

⎧
⎪− m1 g + T1 = m1 a
⎧− m1 g + T1 = m1 a1
⎪
g(m 2 − m1 )
⎪
⇒ ⎨m 2 g − T2 = m 2 a2 ⇔ ⎨m 2 g − T2 = m 2 a
⇒a=
1
⎪ − T R + T R = Iβ
⎪
m1 + m 2 + M
1
2 a
2
⎩ 1
2
⎪(− T1 + T2 )R = MR .
R
2
⎩

an

g(m2 − km1 )
m1 + m 2 + M

Vd3:

du

on

g

th

a=

co

Vd2:

m2
> sin α + k cos α
m1

m1 ↓:

m2
> sin α − k cos α
m1

cu

u

m1 ↑:

g[m2 − m1 (sin α + k cos α )]
1

m1 + m 2 + M
2
g[m1 (sin α + k cos α ) − m2 ]
m1 ↑: a =
1
m1 + m 2 + M
2
m1 ↑: a =

Th.S TRẦN ANH TÚ
CuuDuongThanCong.com

11
/>