Tải Tổng hợp các dạng Toán ôn thi vào 10 - Phần 1: Đại số - Ôn thi vào 10 môn Toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (345.51 KB, 45 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. Phần I: Rút gọn biểu thức
A. Các kiến thức cơ bản
1. Căn bậc hai

a) Căn bậc hai số học

-Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
-Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

-Một cách tổng quát: 2

x

x a



  



 .

b) So sánh các căn bậc hai số học

-Với hai số a và b không âm ta có a b  a  b.
2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A

a) Căn thức bậc hai

-Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A

được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

- A xác định (hay có nghĩa) A0.

b) Hằng đẳng thức A2 A

-Với mọi A ta có

A A .

-Như vậy : + A2 A nếu A0.

+ A2  A nếu A0.

3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

a) Định lý : + Với A0 và B0 ta có A B.  A B. .

+ Đặc biệt với A0 ta có





A  A A

b) Quy tắc khai phương một tích : muốn khai phương một tích của các thừa số
khơng âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân từng thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau.

c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : muốn nhân các căn bậc hai của các số khơng
âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

a) Định lý : với mọi A0 và B0 ta có

A A

B  B .

b) Quy tắc khai phương một thương : muốn khai phương một thương
a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

c) Quy tắc chia các căn bậc hai : muốn chia căn bậc hai của số a không âm

cho căn bậc hai của số b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai
phương kết quả đó.

5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

-Với hai biểu thức A B, mà B0, ta có

A B A B , tức là:
+ Nếu A0 và B0 thì A B2 A B .

+ Nếu A0 và B0 thì A B2  A B .

b) Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A0 và B0 thì A B  A B2 .

+ Nếu A0 và B0 thì A B  A B2 .

c) Khử mẫu của biểu thức lấy căn

-Với các biểu thức A B, mà A B. 0 và B0, ta có

A AB

B  B .

d) Trục căn thức ở mẫu

-Với các biểu thức A B, mà B0, ta có:

A A B

B

B  .

-Với các biểu thức A B C, , mà A0 và A B 2, ta có:





C A B

C

A B

A B  



-Với các biểu thức A B C, , mà A0, B0 và A B , ta có:





C A B

C

A B

A B  



6. Căn bậc ba

a) Khái niệm căn bậc ba

-Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3a.
-Với mọi a thì

 

3
3

3 a a a

 

.
b) Tính chất

-Với a b thì 3 a 3b.

-Với mọi a b, thì 3ab 3a b.3 .
-Với mọi a và b0 thì

3
3

a a

b  b .

B. Các kiến thức bổ sung

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

-Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:



12,,...,fxfxfxn là các biểu thức bất kỳ, ta có

 

1 2 ... n 1 2 ... n

f x  f x   f x  f x  f x   f x . Đẳng thức xảy ra khi

 





i

f x i n

cùng dấu.

-Bất đẳng thức Cauchy: a a1, 2,...,anlà các số không âm, khi đó

1 2

1 2
...

...

n n

n

a a a

a a a
n

  


. Đẳng thức xảy ra khi a1a2  ... an.

-Bất đẳng thức Bunhiacopski:



a a1, 2,..., an



và



b b1, 2,...,bn



là hai bộ số bất kì,

khi đó







 



2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 ... n n 1 2 ... n 1 2 ... n

a b a b  a b  a a  a b b  b

. Đẳng thức
xảy ra khi

1 2

... n
n

a

a a

b b  b (quy ước b10 thì a10).

-Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

+ f x

 

a a



0



 af x

 

a.

 





 

0 f x a

f x a a

f x a

 

   



 .

2. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai
a) Cho nhị thức f x

 

ax b (a0). Khi đó ta có:

x

 

b
a





 

f x ax b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

b) Cho tam thức f x

 

ax2bx c (a0). Khi đó ta có:
-Nếu  0:

x   

 

f x ax bx c Cùng dấu với a
-Nếu  0:

x

  2

b
a





 

f x ax bx c Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
-Nếu  0:

x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 

f x ax bx c Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
3. Biến đổi tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f x

 

ax2bx c (a0). Khi đó ta có:

 

2
2

2 4

b

f x ax bx c a x

a a



 

       

  với  b2 4ac.

-Nếu a0 thì f x

 

4a
 


nên minx

 

4 2

b

f x x

a a



  

  

 .

-Nếu a0 thì f x

 

4a
 


nên maxx

 

4 2

b

f x x

a a



  

  

 .

Chú ý: Nếu '

k
A

A



(k là hằng số dương) khi đó ta có
+ Amin A'max.

+ Amax A'min.
C. Bài tập chọn lọc

Bài 1: Cho biểu thức

2 7 1 1 1

9 3 3 1

x x x

P

x x x x

      

     

     

  .

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P biết x19 8 3 .

c) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P1.

Bài 2: Cho biểu thức

2 2 1 1

1 1 1

x x x

P

x x x x x

    

    

   

 .

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P biết

7 4 3

x  .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. d) Tìm x để P2 x1.

Bài 3: Cho biểu thức

2 2 1

: 1

1 1 1

x x

P

x x x x x x

    

     

    

   .

a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. d) Tìm x để P1.

Bài 4: Cho biểu thức

2 1

: 1

1 1

x x

P

x

x x x x x

   

     



   

   .

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P biết

53
9 2 7

x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P.

Bài 5: Cho biểu thức

2 3 2

1 :

1 3 2 6

x x x x

P

x x x x x

      

      

    

   .

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P biết

3 5

x 

c) Tìm x để P1. d) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

e) Tìm các giá trị của x để P x 3.

Bài 6: Cho biểu thức

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

P

x x x x

  

  

    .

a) Rút gọn P.

b) Tính các giá trị của x sao cho

1
2

P

.
c) Chứng minh

2
3

P

Bài 7: Cho biểu thức

1 2 2 1

2 1 3 2 2 2

x x x x

P

x x x x x x x

      

      

     

   .

a) Rút gọn P. b) Tính các giá trị của P biết x 6 2 5.

c) Tìm min của P x.

Bài 8: Cho biểu thức

2 5 1 1

1 :

4 1

2 1 1 2 4 4 1

x x

P

x

x x x x

  

     



   

  .

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P nếu x 1.
c) Tìm các giá trị của x để

1
2

P

d) Tìm các giá trị của x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 9: Cho biểu thức

1 1 2

1 1

x
P

x

x x x x

   

     



    

  .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 10: Cho biểu thức

2 1 2 6 5

1 : 2

1 9

3 1 3 1

x x x

P
x
x x
     
      


 
   .

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của x để P x.

c) Cho





2 1 2 5

3 1

m x m

P

x

  



 (x là ẩn). Tìm m để phương trình có hai

nghiệm cùng dấu. Xác định dấu của hai nghiệm đó.

Bài 11: Cho biểu thức

3 3 2

:
1

1 2 2

x x x

P

x

x x x x

     

     



   

   .

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P biết

2 3

x 

c) TÌm các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn



x1



P mx mx x  4

Bài 12: Cho biểu thức

1 1 1

1 2 1

x
P

x x x x x



 

  

   

  .

a) Rút gọn P.

b) Tính các giá trị của x để

2 1

x

P 

.
c) So sánh Pvới 1.

Bài 13: Cho biểu thức



 



3 2 1 1

1 1 1

2 1

x x x x

P

x x x

x x
 
    
 
    
        
  .

a) Rút gọn P.

b) Tính các giá trị của x để

1 1
1
8
x
P

 
.

Bài 14: Cho biểu thức

2 1 3

: 2

2 5 3 1 1

x x

P

x x x x

     

     

   

   .

a) Rút gọn P. b) Tính các giá trị của x để P0.

c) Tìm x để P P.

Bài 15: Cho biểu thức

4 1 3

: 1

2 3 3 2

x x x x

P

x x x x

       

     

   

   .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 16: Cho biểu thức

1 1 2 1 2

:
1

1 1

x x x x x x

P

x

x x x x

     
 
     

 
   .

a) Rút gọn P. b) Tính P biết x 7 4 3. c) Tìm giá trị lớn nhất của ađể

P a .

Bài 17: Cho biểu thức

2 1 1

:
2

1 1 1

x x x

A

x x x x x

   

   

   

  .

a) Rút gọn A. b) Chứng minh A0 với mọi x thuộc TXĐ.

Bài 18: Cho biểu thức

5 25 3 5

1 :

25 2 15 5 3

x x x x x

M

x x x x x

       

      

    

   .

a) Rút gọn M . b) Với giá trị nào của x thì M 1?

Bài 19: Cho biểu thức:









3 3 1

2 2 2

a a b

a a

M

a ab b a a b b a b a ab b

 

 

   

     

  .

a) Rút gọn M . b) Tính các giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên.

Bài 20: Cho biểu thức

2 4 1 1

1 1 1

a
A

a a a



  

   .

a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 21: Cho biểu thức





. 1 1 1

1 1 1

x x x x x x

P x x

x x x

   

  

      

      .

a) Rút gọn P.

b) Xác định các giá trị của x để



x1



P x  1.

c) Biết

1 x 3

Q

P x



 

. Tìm x để Q có giá trị lớn nhất.

d) Tìm các giá trị của x để P 2 3.

Bài 22: Cho biểu thức

2 3 3 2 2

: 1

3 3 3

x x x x

P

x

x x x

     

      



  

   .

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của x để

1
2

P 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

d) Tìm m để có một giá trị x thỏa mãn P



x3

 

x x m



 x x



3m



.
Bài 23: Cho biểu thức

2 2 2 2

1 xy x xy y : xy xy

P

x y x xy y xy

    

      

  

   .

a) Rút gọn P.

b) Tìm m để phương trình P m 1 có nghiệm x y, thỏa mãn x y 6.
Bài 24: Cho biểu thức

2 1

.
1

1 2 1 2 1

x x x x x x x x

P

x

x x x x x

     

   



   

  .

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị lớn nhất của

5 3

. x

A P

x x




 .

c) Tìm các giá trị của m để với mọi x2 ta có P x



 x1



 3m x



 1



 x.
Bài 25: Cho biểu thức

1 5 4 2

2 2 2

x x x

P

x x x x x

     

     

  

   .

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P biết

3 5

x 

c) Giải





2
9

4 7

x
x

P



  . d) Tìm m để có x thỏa mãn P mx x  2mx1.

e) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:









2 2

1 4 1

x x P  y y  y

Bài 26: Cho biểu thức

1 5 4 2

2 2 2

x x x

P

x x x x x

     

     

  

   .

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của P biết

3 5

x 

.
c) Tìm các giá trị của m để có x thỏa mãn P mx x  2mx1.

Bài 27: Cho biểu thức

1 1 1

: x x

P x

x x x x

   

 

     



   .

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của P biết

2 3

x

 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 28: Cho biểu thức

4 8 1 2

:
4

2 2

x x x

P

x

x x x x

    

     



 

   .

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của x để P1.

c) Tìm m để với mọi giá trị x9 ta có m



x 3



P x 1.

Bài 29: Cho biểu thức

2 4

1 1

x x x

P x
x
x x
 
 
 
     

 
   .

a) Rút gọn P. b) Tính các giá trị của x để P0. c) Tìm min P.

Bài 30: Cho biểu thức





4 3 2

2 2

x x x

P

x x x

x x
   
 
 
    
      
  .

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P biết x 6 2 5.
c) Tìm m để có x thỏa mãn



x1



P x m .

Bài 31: Cho biểu thức

1 1 2

:
1
1 1
x
P
x

x x x x

   

     



    

  .

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của x để P0.

c) Tìm m để có các giá trị x thỏa mãn P x m x.

Bài 32: Cho biểu thức 3

2 1 1 4

: 1

1 1

x x

P

x x x

x
     
     
    

  .

a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

Bài 33: Cho biểu thức

26 19 2 3

2 3 1 3

x x x x x

P

x x x x

  

  

    .

a) Rút gọn P. b) Tính các giá trị của P khi x 7 4 3
.

c) Tìm min P.

Bài 34: Cho biểu thức

2 4 2 2

1 1 1

a a

P

a a a a a

 

  

    .

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P biết a 3 2 2.

Bài 35: Cho biểu thức 2 4 5 4

1 1 1

x x

A

x x x x x

 

 

  

    

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Rút gọn A. b) Tính các giá trị của x để A4. c) Tìm min A.

Bài 36: Cho biểu thức

1 : 1

1 1

a a a a

B

a a

     

     

 

   .

a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của a để B1.

c) Tìm a để B ngun và tính B theo a vừa tìm được.

Bài 37: Cho biểu thức 2









a b b a a b

P

b a

a b a b

  

  



 

a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P biết a2,b8.

Bài 38: Cho biểu thức

1 1

1 1 1

x x

P

x x x x x



  

     .

a) Rút gọn P. b) Tìm x để P0.

Bài 39: Cho biểu thức





1 1

a b

a a b

P

ab ab

  

   

 

 

 

  .

a) Rút gọn P.

b) Cho a b 6. Tìm a b, để P đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó

bằng bao nhiêu?

Bài 40: Cho biểu thức

1 1 1

x x x x x

P

x x x x x

  

  

  .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

9
2

P

Bài 41: Cho biểu thức

1 1 1

1 1 2

x x x

P

x x x

     

     

 

    .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để 2

P

x  .

Bài 42: Cho biểu thức





2 2 2 1

1 1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

   .

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để

2 x
Q

P



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 43: Cho biểu thức

1 2 1

1 1 1

x x x

P

x x x x x

  

  

    .

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q x

P

 

Bài 44: Cho biểu thức

2 3 2

: 2

5 6 2 3 1

x x x x

P

x x x x x

      

      

    

   .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

1 5

P  .

Bài 45: Cho biểu thức

2x 2 x x 1 x x 1

P

x x x x x

  

  

  .

a) Rút gọn P. b) So sánh Pvới 5.

c) Với mọi giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

P chỉ nhận đúng
một giá trị nguyên.

Bài 46: Cho biểu thức

3 2 2

: 1

2 3 5 6 1

x x x x

P

x x x x x

      

      

    

   .

a) Rút gọn P. b) Tính các giá trị của x để P0.

c) Tìm min

P.

Bài 47: Cho biểu thức

1 1

1 : 1

1 1 1 1

xy x xy x

x x

P

xy xy xy xy

       

       

       

   .

a) Rút gọn P

b) Cho

1 1

x  y  . Tìm giá trị lớn nhất củaP.

Bài 48: Cho biểu thức





3 3 3 2

2 2 1

x x x x

P

x x x x

   

  

    .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

15
4

P

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

II. Phần II: Hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết

1. Hàm số 
a) Đồ thị hàm số

-Đồ thị hàm số yf x

 

là tập hợp tất cả những điểm M x f x



;

 



trên mặt

phẳng tọa độ.

b) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

-Cho hàm số yf x

 

xác định với mọi giá trị của x .

+ Nếu x1x2 mà f x

 

1  f x

 

2 thì hàm số yf x

 

đồng biến trên .

+ Nếu x1x2 mà f x

 

1  f x

 

2 thì hàm số yf x

 

đồng biến trên .

-Tổng quát:

 

1 2 1 2

2 1

0, , ,

f x f x

x x D x x

x x



    

 Hàm số f x

 

đồng biến trên D.

 

1 2 1 2

2 1

0, , ,

f x f x

x x D x x

x x



    

 Hàm số f x

 

nghịch biến trên D.

2. Hàm số bậc nhất

a) Khái niệm hàm số bậc nhất

-Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cơng thức y ax b  . Trong đó a b,

là các số cho trước và a0.

b) Tính chất

Hàm số bậc nhất y ax b  xác định với mọi giá trị của x thuộc  có tính chất

-Đồng biến trên  khi a0.
-Nghịch iến trên  khi a0.

c) Đồ thị của hàm số y ax b a 







Đồ thị của hàm số y ax b  (a0) là một đường thẳng:
-Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

-Song song với đường thẳng y ax , nếu b0; trùng với đường thẳng y ax ,

nếu b0.

Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b  (a0):

-Bước 1: + Cho x0 thì y b ta được điểm P



0;b



thuộc trục tung Oy.

+ Cho y0 thì

b
x

a



ta được điểm ;0
b
Q

a

 



 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

-Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số

y ax b  .

d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d y ax b a:  



0



và d y a x b' :  '  '



a' 0



. Khi đó:

-'
/ / '

a a

d d

b b



 



 .

- dd'

 

A  a a '.

-'
'

a a
d d

b b



  



 .

- d d' a a. '1.

e) Hệ số góc của đường thẳng y ax b a 



0



Góc tạo bởi đường thẳng y ax b  và trục Ox:

-Góc tạo bởi đường thẳng y ax b  và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia

AT , trong đó A là giao điểm của đường thẳng y ax b  với trục Ox, T là

điểm thuộc đường thẳng y ax b  và có tung độ dương.
-Hệ số a gọi là hệ số góc của đường thẳng.

-Hệ số b gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

f) Một số phương trình đường thẳng

-Đường thẳng đi qua điểm M x y0



0; 0



và có hệ số góc k: y k x x



 0



y0.

-Đường thẳng đi qua điểm A a





và B



0;b



với ab0: 1

x y

a b  .
3. Hàm số bậc hai

a) Định nghĩa: Hàm số có dạng y ax 2



a0



.
b) Tính chất

Hàm số y ax 2



a0



xác định với mọi giá trị của x thuộc  và:
-Nếu a0 thì hàm số nghịch biến khi x0, đồng biến khi x0.
-Nếu a0 thì hàm số đồng biến khi x0, nghịch biến khi x0.

c) Đồ thị của hàm số y ax 2



a0



Đồ thị hàm số y ax 2



a0



là một parabol có đỉnh là O



0;0



và nhận trục
Oy làm trục đối xứng.

-Nếu a0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
-Nếu a0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

4. Kiến thức bổ sung

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Cho hai điểm phân biệt A và B với A x y



A; A



và B x y



B; B



. Khi đó:

-Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi cơng thức:









2 2

B A B A

AB x  x  y  y .

-Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi cơng thức:

2 2

A B A B

M M

x x y y

x   y  

b) Quan hệ giữa Parabol y ax 2



a0



và đường thẳng y mx n m 



0



Cho parabol

 

P :y ax 2



a0



và đường thẳng d y mx n m:  



0



. Khi đó:

-Tọa độ giao điểm của

 

P và d là nghiệm của hệ phương trình:

y ax
y mx n

 


 

 .

-Hồnh độ giao điểm của

 

P và d là nghiệm của phương trình: ax2 mx n

(*).

-Số giao điểm của

 

P và d là số nghiệm của phương trình (*):

+ Nếu (*) vơ nghiệm thì

 

P và d khơng có điểm chung.
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì

 

P và d tiếp xúc nhau.

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì

 

P và d cắt nhau tại hai điểm phân
biệt.

B. Bài tập chọn lọc

Bài 1: Cho hai hàm số y x và y3x.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt
các đường thẳng y x và y3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm

A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB.

Bài 2: Cho hàm số y2x và 
1
2

y x

a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxyđồ thị của hai hàm số trên.

b) Qua điểm



0;2



vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng

1
2

y x

và y2xlần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam

giác vuông và tính diện tích của tam giác đó.

Bài 3: Cho hàm số y x .
a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Vẽ đường thẳng y2, cắt đồ thị hàm số y x ở A và B. Tam giác OAB

là tam giác gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b) Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng

 

d đi qua điểm A



1;2



. Vẽ

đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng d luôn đi qua một
điểm cố định.

Bài 5: Cho hàm số y



3m 2



x 2m.

a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 2.

b) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

c) Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm được ở

câu a, b.

Bài 6: Cho ba đường thẳng y x1, y x 1 và y1.

a) Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng yx1 và y x 1 là A, giao điểm của
đường thẳng y1 với hai đường thẳng y x1 và y x 1 theo thứ tự
là B và C. Tìm tọa độ các điểm A B C, , .

c) Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 7: Cho đường thẳng

 

d :y2x3.

a) Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng

 

d với hai trục Ox,
Oy, tính khoảng cách từ điểm O



0;0



đến đường thẳng

 

d .

b) Tính khoảng cách từ điểm C



0; 2



đến đường thẳng

 

d .

Bài 8: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng y2x7

 

d1 ,

 

1 7

3 3

y x d

và

 

2 1

y x d

k k

 

đồng quy.

Bài 9: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:

 

: 2 3

m

d y  x m

và

 





1 2

: 2

m

d y m x 

a) Chứng minh rằng

 

d1 và

 

d2 luôn đi qua các điểm cố định với mọi giá trị

của m.

b) Viết phương trình các đường thẳng

 

d1 và

 

d2 , cho biết

 

d1 vng góc

với

 

d2 .

c) Viết phương trình các đường thẳng

 

d1 và

 

d2 , cho biết

 

d1 song song

với

 

d2 .

Bài 10: Xác định hàm số y ax b  trong mỗi trường hợp sau:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) Khi a5, đồ thị hàm số đi qua điểm A



2;3



.

c) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M



1;3



và N



2;6



d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 7x và đi qua điểm



1;7 7



Bài 11: Cho hàm số y



m3



x n m



3

  

d . Tìm các giá trị của m n, để

đường thẳng

 

d :

a) Đi qua điểm A



1; 3



và B



2;3



b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 3, cắt trục hồnh tại điểm có

hồnh độ bằng 3 3.

c) Cắt đường thẳng 3y x  4 0 .

d) Song song với đường thẳng 2x5y1.
e) Trùng với đường thẳng y 3x 7 0 .

Bài 12: Cho đường thẳng y4x d

 

a) Viết phương trình đường thẳng

 

d1 song song với đường thẳng

 

d và có

tung độ gốc bằng 10. Tính khoảng cách giữa

 

d và

 

d1 .

b) Viết phương trình đường thẳng

 

d2 vng góc với đường thẳng

 

d và cắt

trục Ox tại điểm có hồnh độ bằng – 8.

c) Viết phương trình đường thẳng

 

d3 song song với đường thẳng

 

d cắt

trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.

Bài 13: Cho hàm số y2x2

 

d1 và





2
2

y x d

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng

 

d1 với trục Oy là A, giao điểm của

đường thẳng

 

d2 với trục Ox là B, còn giao điểm của đường thẳng

 

d1 và

 

d2 là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A B C, , .

c) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 14: Cho các hàm số sau: y x 5

 

d1 ,

 

2
1

y x d

và y4x d

 

3 .

a) Vẽ đồ thị cửa các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng

 

d1 và đường thẳng

 

d2 và

 

d3 lần lượt

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 15: Cho hai đường thẳng y x 3

 

d1 và y3x7

 

d2 .

a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng

 

d1 và

 

d2 với trục Oy lần lượt là A và

B. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Gọi J là giao điểm của hai đường thẳng

 

d1

và

 

d2 . Chứng minh tam
giác OIJ là tam giác vng. Tính diện tích của tam giác đó.

Bài 16: Cho hai đường thẳng y



k 3



x 3k3

 

d1 và



2 1



 

y k x k  d . Tìm giá trị của k để:
a)

 

d1 và

 

d2 cắt nhau.

 

d1 và

 

d2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

 

d1 và



d2



song song với nhau.

 

d1 và



d2



vng góc với nhau.

 

d1 và



d2



trùng nhau.

Bài 17: Cho hàm số y



2m1



x2.

a) Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y4x 2 tại điểm A có

hồnh độ bằng 1.

b) Với giá trị tìm được của m hãy vẽ đồ thị hàm số y



2m1



x2 và đồ thị

4 2

y x trên cùng một mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của

chúng.

Bài 18: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A



2;2



và đường thẳng

 

d :y2x 2.

a) Chứng minh A

 

d .

b) Tìm các giá trị của a để parabol y ax 2 đi qua

 

d .

c) Tìm đường thẳng đi qua A và vng góc với đường thẳng

 

d .

d) Gọi A và B là giao điểm của

 

P với đường thẳng tìm được trong câu c, và

C là giao điểm của đường thẳng

 

d với trục Oy. Tìm tọa độ các điểm

B C và tính diện tích tam giác ABC.

Bài 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol

 

2
:

x

P y 

và đường thẳng

 

d :y mx n  . Tìm các giá trị của m và n biết đường thẳng

 

d thỏa mãn

một trong các điều kiện sau:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b) Đi qua điểm

3
; 1
2

A  

  và tiếp xúc với

 

P .

Tìm tọa độ tiếp điểm của

 

P và

 

d trong mỗi trường hợp trên.

Bài 20: Cho hàm số

2
1
2

y x

.
a) Vẽ đồ thị

 

P của hàm số trên.

b) Trên

 

P lấy hai điểm M và N lần lượt có hồnh độ là – 2, 1. Viết phương

trình đường thẳng MN .

c) Xác định hàm số y ax b  biết rằng đồ thị

 

d của nó song song với

đường thẳng MN và chỉ cắt

 

P tại 1 điểm.

d) Lập phương trình đường thẳng

 

d qua A



2; 2



và tiếp xúc với

 

P .

Bài 21: Cho hàm số y x 2 và y  x m (m là tham số).

a) Tìm m sao cho đồ thị

 

P của hàm số y x 2 và đồ thị

 

d của y x m  có

hai giao điểm phân biệt A và B.

b) Tìm phương trình của đường thẳng

 

d' vng góc với

 

d và

 

d' tiếp xúc
với

 

P .

Bài 22: Trong cùng hệ trục tọa độ gọi

 

P là đồ thị hàm số y ax 2 và

 

d là

đồ thị hàm số yx m .

a) Tìm a biết rằng

 

P đi qua A



2; 1



và vẽ

 

P với a vừa tìm được.

b) Tìm m sao cho

 

d tiếp xúc với

 

P (câu a) và tìm tọa độ tiếp điểm.

c) Gọi B là giao điểm của

 

d (câu b) với trục tung. C là điểm đối xứng của
A qua trục tung. Chứng tỏ rằng C nằm trên

 

P và tam giác ABC vuông
cân.

Bài 23: Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng

 

d1 :y x 1 và

 

d2 :x2y4 0 .

a) Tìm tọa độ giao điểm A của

 

d1 và



d2



bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng

phép tốn.

b) Tìm a trong hàm số y ax 2 có đồ thị

 

P qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị

 

P với a vừa tìm được.

c) Tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với

 

P tại A.

Bài 24: Gọi

 

P là đồ thị của hàm số y ax 2 và điểm A



2; 1



trong cùng hệ

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

a) Tìm a sao cho A thuộc

 

P . Vẽ

 

P với a vừa tìm được.

b) Gọi B là điểm thuộc

 

P có hồnh độ là 4. Viết phương trình đường thẳng
AB.

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với

 

P và song song với AB.

Bài 25: Cho parabol

 

2
1
:

P y x

và đường thẳng

 

d đi qua 2 điểm A và B
trên

 

P có hồnh độ lần lượt là – 2 và 4.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

P của hàm số trên.
b) Viết phương trình của

 

d .

c) Tìm điểm M x y



0; 0



trên cung AB của

 

P ( 2 x0 4) sao cho tam giác

MAB có diện tích lớn nhất.

Bài 26: Trên cùng một hệ trục tọa độ, cho parabol

 

2
1
:

P y  x

và đường
thẳng

 

d : y mx  2m 1.

a) Vẽ

 

P .

b) Tìm m sao cho

 

d tiếp xúc với

 

P .

c) Chứng tỏ rằng

 

d luôn đi qua một điểm cố định A thuộc

 

P .

Bài 27: Trong cùng một hệ trục tọa độ có parabol

 

2
1
:

P y x

và đường
thẳng

 

d qua điểm

3
; 1
2

I  

  có hệ số góc m.

a) Vẽ

 

P và viết phương trình của

 

d .
b) Tìm m sao cho

 

d tiếp xúc với

 

P .

c) Tìm m sao cho

 

d và

 

P có hai điểm chung phân biệt.

Bài 28: Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol

 

2
1
:

P y x

và đường thẳng

 

: 1 2
2

d y x

.
a) Vẽ

 

P và

 

d .

b) Bằng phép tốn,tìm tọa độ giao điểm của

 

P và

 

d .

c) Tìm tọa độ của điểm thuộc

 

P sao cho tại đó đường tiếp tuyến của

 

P
song song với

 

d .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A



2;1



b) Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định với
mọi m. Tìm tọa độ của điểm đó.

Bài 30: Cho parabol

 

2
1
:

P y  x

a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm A trên trục
hồnh có hồnh độ là 1, đường thẳng này gọi là

 

d .

b) Biện luận theo m số giao điểm của

 

P và

 

d .

c) Viết phương trình đường thẳng

 

d tiếp xúc với

 

P . Tìm tọa độ tiếp điểm.
d) Trong trường hợp

 

d cắt

 

P tại hai điểm phân biết A và B. Tìm quỹ tích

trung điểm I của AB.

e) Tìm trên

 

P các điểm mà đường thẳng

 

d không đi qua với mọi m.
Bài 31: Cho parabol

 

P :y ax 2 và hai điểm A



2; 5



và B



3;5



a) Viết phương trình đường thẳng AB. Xác định a để đường thẳng AB tiếp
xúc với

 

P . Tìm tọa độ tiếp điểm.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị

 

P với a vừa tìm được.

c) Một đường thẳng

 

d di động luôn vuông góc với AB và cắt

 

P tại hai

điểm M và N. Xác định vị trí của

 

d để

5
2

MN 

Bài 32: Cho parabol

 

2
1
2

y x P

, điểm I



0;2



và điểm M m





với m0.

a) Vẽ

 

P .

b) Viết phương trình đường thẳng

 

d đi qua hai điểm M I, .

c) Chứng minh rằng đường thẳng

 

d luôn luôn cắt

 

P tại hai điểm phân biệt

A B với mọi m0.

d) Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng
tam giác IHK là tam giác vuông.

e) Chứng minh rằng độ dài đoạn AB4 với mọi m0.

Bài 33: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parabol

2
1
4

y x

và
điểm I



0; 2



. Gọi

 

d là đường thẳng đi qua I và có hệ số góc m.

a) Vẽ đồ thị

 

P .

b) Chứng tỏ rằng với mọi m,

 

d luôn cắt

 

P tại hai điểm phân biệt A và B.
Tìm quỹ tích trung điểm M của AB.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 34: Cho hàm số y2x2 có đồ thị

 

P .

a) Vẽ đồ thị

 

P .

b) Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ được hai đường thẳng vng
góc với nhau và cùng tiếp xúc với

 

P .

Bài 35: Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol

 

P :y ax 2 (a0) và đường

thẳng

 

d : y kx b  .

a) Tìm k và b cho biết

 

d đi qua hai điểm A



1;0



và B



0; 1



.
b) Tìm a biết rằng

 

P tiếp xúc với

 

d vừa tìm được ở câu a.

c) Vẽ

 

d và

 

P vừa tìm được ở câu a và b.

d) Gọi

 

d' là đường thẳng đi qua điểm

3
; 1
2

C  

  và có hệ số góc m.

- Viết phương trình đường thẳng

 

d' .

- Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng

 

d' tiếp xúc với

 

P (ở câu
b) và vng góc với nhau.

Bài 36: Cho hàm số y x 2 có đồ thị

 

P trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Vẽ

 

P .

b) Gọi A và B là hai điểm nằm trên

 

P lần lượt có hồnh độ là – 1 và 2.
Chứng minh rằng tam giác OABvng.

c) Viết phương trình đường thẳng

 

d song song với AB và tiếp xúc với

 

P .
d) Cho đường thẳng

 

d' :y mx 1 (với m là tham số).

- Chứng minh rằng

 

d' luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.

- Tìm m sao cho

 

d' cắt đồ thị

 

P tại hai điểm có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn
2 2

1 2
1 1

x x  . Vẽ

 

d' với m vừa tìm được.

Bài 37: Cho hàm số y2x2 có đồ thị là parabol

 

P .

a) Vẽ

 

P .

b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng
vng góc và cùng tiếp xúc với

 

P .

Bài 38: Cho parabol

 

2
1
:

P y x

và đường thẳng

 

d có phương trình

1
2

y mx 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

a) Chứng minh rằng với mọi m,

 

d luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh rằng với mọi m,

 

d luôn cắt

 

P tại hai điểm phân biệt

M N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN .

Bài 39: Cho hàm số y mx  2m 1 (1) (m0).

a) Xác định m để đồ thì hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị

 

d1 vừa tìm

được.

b) Tính theo m tọa độ các giao điểm A B, của đồ thị hàm số (1) lần lượt với

các trục Ox và Oy. Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2
(đvdt).

c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định khi m

thay đổi.

Bài 40: Cho parabol

 

P :y ax 2 và hai điểm A



2;3 ,



B



1;0



a) Tìm a biết rằng

 

P đi qua điểm M



1;2



. Khảo sát và vẽ

 

P với a tìm

được.

b) Tìm phương trình đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng này
với

 

P (câu a).

c) Gọi C là giao điểm có hồnh độ dương. Viết phương trình đường thẳng qua
C và có với

 

P một điểm chung duy nhất.

Bài 41:

a) Cho parabol

 

P :y ax 2, cho biết A



1; 1

  

 P . Xác định a và vẽ

 

P với

a vừa tìm được.

b) Biện luận số giao điểm của

 

P với đường thẳng

 

d : y2mx m 2.

c) Chứng tỏ rằng

1
;2
2

I 

  thuộc

 

d với mọi m. Tìm phương trình các đường

thẳng đi qua I và có với

 

P điểm chung duy nhất.

Bài 42:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

 

P của hàm số

x

y

và đường thẳng

 

1
:

d y x 

b) Chứng minh rằng

 

d là một tiếp tuyến của

 

P .

c) Biện luận số giao điểm của

 

P và

 

d' :y x m bằng hai cách (đồ thị và
phép toán).

Bài 43: Cho parabol

 

2
1
: y

P  x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

 

P .

b) Viết phương trình đường thẳng

 

d .

c) Tìm điểm M trên cung AB của

 

P sao cho tam giác MBC có diện tích lớn
nhất.

d) Tìm trên trục Ox điểm N sao cho NA NB nhỏ nhất.

Bài 44: Cho parabol

 

P :yx2 và đường thẳng

 

d : y2x m 29.

a) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol

 

P và đường thẳng

 

d khi m1.

b) Tìm m để đường thẳng

 

d cắt parabol

 

P tại hai điểm nằm về hai phía

của trục tung.

Bài 45: Cho parabol

 

P : y x2, đường thẳng y m cắt

 

P tại hai điểm A

và B. Tìm giá trị của m để AOB đều. Tính diện tích tam giác đều đó.

Bài 46: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy từ điểm M nằm phía dưới đường thẳng

1
4

y

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

III. Phần III: Phương trình
A. Kiến thức cơ bản

1. Phương trình bậc nhất một ẩn
a) Định nghĩa

-Phương trình có dạng ax b 0, trong đó a b,   và a0.

b) Cách giải và biện luận

-Nếu a0, khi đó: + b0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x.

+ b0 thì phương trình vơ nghiệm.

-Nếu a0, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

b
x

a



.
2. Phương trình bậc hai một ẩn

a) Định nghĩa

-Phương trình có dạng ax2bx c 0, trong đó a b c, ,   và a0.

b) Cách giải và biện luận

-Nếu a0, phương trình có dạng bx c  0 Phương trình bậc nhất.
-Nếu a0, khi đó  b2 4ac (hoặc  ' b'2 ac):

+  0 hoặc  ' 0: phương trình vơ nghiệm.

+  0 hoặc  ' 0: phương trình có nghiệm kép 1,2 2

b
x

a



hoặc 1,2

b
x

a



.
+  0 hoặc  ' 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2 2

b
x

a

  


hoặc

1,2

' '

b
x

a

  


Chú ý: nếu phương trình ax2bx c 0 có hai nghiệm x x1, 2 thì ta có thể viết



 



1 2

ax bx c a x x   x x .

3. Định lý Viet

a) Định lý thuận: nếu phương trình ax2bx c 0 có hai nghiệm x x1, 2 thì

tổng và tích hai nghiệm đó là 1 2
b

S x x

a

  

và 1 2
c
P x x

a

 

b) Định lý đảo: nếu hai số x và y có x y S  và x y P.  thỏa mãn S2 4P


thì hai số x và y là hai nghiệm của phương trình t2 St P 0.

Chú ý:

-Nếu a b c  0 thì phương trình trên có hai nghiệm 1 2

1; c

x x

a

 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

-Nếu a b c  0 thì phương trình trên có hai nghiệm 1 2

1; c

x x

a

 

.
Trước khi áp dụng định lý Viet, cần tìm điều kiện để phương trình có hai

nghiệm

0
0

a


 

 

 .

-Khi 0

c
P

a

  

phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2.

-Khi  0, P0, S 0 phương trình có hai nghiệm cùng dấu.

-Khi  0, P0, S 0 phương trình có hai nghiệm dương 0x1x2.

-Khi  0, P0, S0 x1x2 0 phương trình có hai nghiệm dương m.
B. Bài tập chọn lọc

Bài 1: Cho phương trình



m 1



x2 4mx4m 1 0 (x là ẩn, m là tham số).

a) Giải phương trình với m2.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện x12x22 1.
Bài 2: Cho phương trình x2 2



k 1



x k  4 0 (1) (x là ẩn, k là tham số).
a) Giải phương trình với k 1.

b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
c) Tìm k để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang

dấu gì?

d) Chứng minh rằng biểu thức A x 1



1 x2



x2



1 x1



không phụ thuộc vào

giá trị của k (x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1)).

Bài 3: Cho phương trình



m3



x22mx m  3 0 (1) với x là ẩn, m là

tham số.

a) Giải phương trình với m 3.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

2 2
1 2 4

x x  .

d) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là nghịch đảo của 2 nghiệm phương
trình (1).

Bài 4: Cho phương trình x2 2



m1



x2m 5 0 .
Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi đó 2 nghiệm mang dấu gì?

Bài 5: Cho phương trình



m1



x2 2mx m  1 0 với m là tham số.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

b) Tìm m để tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của

phương trình.

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m.

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm 1 2

1
,

x x 

Bài 6: Cho phương trình x22x 5 0 . Khơng giải phương trình hãy tính:

a) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình.

b) Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.
c) Tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phương trình.

d) Tổng các nghịch đảo bình phương hai nghiệm của phương trình.
e) Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình.

Bài 7: Cho phương trình x2



m 1



x m 2m 2 0 (1) với m là tham số.

a) Giải phương trình trên với m2.

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m.

c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x x1, 2. Tìm m để biểu thức
1 2

2 1

x x

A

x x

 

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 8: Cho phương trình x2 2



m1



x m 0 với m là tham số.

a) Chứng minh phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.

b) Trong trường hợp m0 và x x1, 2 là các nghiệm của phương trình nói trên,

hãy tình giá trị nhỏ nhất của biểu thức





2 2

1 2 1 2

1 2

3 6

x x x x

A

x x

   



Bài 9: Xét phương trình mx2



2m1



x m  2 0 (1) với m là tham số.

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

2 2

1 2 1 2 4

x x  x x  .

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình

có nghiệm số hữu tỉ.

Bài 10: Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm

chúng: x2mx 1 0 và x2 x m0.
Bài 11:

a) Cho hai phương trình x2 p x q1  10 và
2

2 2 0

x p x q  . Chứng minh

rằng nếu p p1 2 2



q1q2



thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có

nghiệm.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau ln có

nghiệm:



x2  2x m 1 9

 

x2 6x m 1



0.

Bài 12: Cho a b c, , là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh

phương trình sau vô nghiệm:





2 2 2 2 2 2 0

a x  a b  c x b 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài 13: Cho ba phương trình: x22ax ac 0, x2 2bx ab c  0 và

2 2 0

x  cx c  . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có

nghiệm.

Bài 14: Cho phương trình 2x2 3x 1 0. Gọi x x1, 2 là các nghiệm của

phương trình. Khơng giải phương trình hãy tính giá trị các biểu thức sau:

1 2
1 1

A

x x

  1 2

1 2

1 x 1 x
B

x x

 

  C x12x22 1 2

2 1 1 1

x x

D

x x

 

 

Bài 15: Cho phương trình



2210xmxm.

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2

1 2 6 1 2

A x x  x x đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 16: Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình 3x25x 6 0 . Khơng giải

phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm thỏa mãn:

1 1
2
1

y x

x

 

và 2 2 1
1

y x

x

 

Bài 17: Cho phương trình x2 2 3x 1 0. Khơng giải phương trình hãy tính

giá trị của biểu thức:

3 3
1 2

A x x

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

3 5 3

4 4

x x x x

B

x x x x

 





Bài 18: Cho phương trình bậc hai mx2



5m 2



x6m 5 0 .

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo

của nhau.

Bài 19: Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình





2 2

2x 2 m1 x m 4m 3 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2 2 1 2 2

M x x  x  x .

Bài 20: Cho phương trình x2 mx m  1 0 .

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức





1 2
2 2

1 2 1 2

2 3

2 1

x x
P

x x x x




   .

Bài 21: Cho phương trình bậc hai x2 2x m 2 0 có các nghiệm x x1, 2. Lập

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

a) y1 x1 3, y2 x2 3.

b) y12x11, y2 2x21.

Bài 22: Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương
trình có nghiệm: x2ax b  1 0 , x2bx c 1 0 và x2cx a  1 0 .
Bài 23: Cho phương trình



m1



x2 2mx m 4 0 .

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó

hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m.

d) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn đẳng

thức

1 2

2 1
5

0
2

x x

x  x   .

Bài 24: Biết số đo độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác vng là

nghiệm của phương trình bậc hai



m 2



x2 2



m1



x m 0. Tìm m để số

đo chiều cao ứng với cạnh huyền là

2
5.

Bài 25: Cho phương trình mx2 2



m1



x



m 4



0 với m là tham số.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm,

nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

c) Xác định m để các nghiệm x x1, 2 của phương trình thỏa mãn x14x2 3.

d) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 mà không phụ thuộc vào m.

Bài 26: Xác định m để phương trình



m1



x2 2



m2



x



m1



0 có hai

nghiệm cùng âm, cùng dương và trái dấu nhau.

Bài 27: Tìm giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x213x2m (1) 
gấp đơi một nghiệm của phương trình x2 4x m 0 (2).

Bài 28:

a) Tìm m để phương trình x2 mx 2m 4 0

    có ít nhất một nghiệm khơng

âm.

b) Tìm m để phương trình 3x2 4x2



m 1



0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ

hơn – 2.

c) Tìm m để phương trình



m1



x2



m 5



x



m1



0 có hai nghiệm phân

biệt lớn hơn 1.

Bài 29: Tìm giá trị của m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

b) x3 2



m1



x2



5m 1



x 2 2m0.

Bài 30: Cho phương trình x2 2mx m 2 0 .

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm khơng âm.

b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức E  x1  x2 theo m.
Bài 31: Cho f x

 

x2 2



m2



x6m1.

a) Chứng minh rằng phương trình f x

 

0 có nghiệm với mọi m.

b) Đặt x t 2. Tính f x

 

theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương

trình f x

 

0 có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 32: Cho phương trình x2



2m1



x m 2m 0.
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

3 3
1 2 50

x  x 

Bài 33: Cho phương trình



m2



x2 2



m1



x 3 m0.

a) Xác định m đê rphương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

2 2

1 2 1 2

x x x x
.

b) Lập một hệ thức giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc vào m

c) Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là

1
1

1
1
1

x
X

x




 và

2
2

2
1
1

x
X

x




 .
Bài 34: Cho f x

  

 4m 3



x2 3



m1



x2



m1



a) Khi m1, tìm nghiệm của phương trình f x

 

0.

b) Xác định m để f x

 

viết được dưới dạng một bình phương.

c) Giả sử phương trình f x

 

0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2. Lập một hệ

thức giữa x x1, 2 không phụ thuộc vào m.

Bài 35: Cho phương trình x2



2m1



x m 2m 1 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.

b) Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m.

Bài 36: Cho phương trình



210axabxb.

a) Chứng minh rằng với mọi a b, phương trình đã cho ln có nghiệm.
b) Muốn cho phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng

2 thì a và b phải
bằng bao nhiêu?

Bài 37: Cho phương trình x2 2mx 2m 1 0 .

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn với mọi

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x x1, 2 khơng phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

1 2

2 1
5
2

x x

x  x  .

Bài 38: Cho phương trình



m 1



x2 2



m1



x m 0.
a) Giải và biện luận phương trình theo m.

b) Khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2:

- Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m.

- Tìm m sao cho x1 x2 2.

Bài 39: Cho phương trình x22



m2



x 4m 12 0 .
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

2
1 2

x x .
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn





1 2 2 2 4 12 0

x  m x  m  .

Bài 40: Giải một số phương trình sau:

1) x4 3x22 0 2)



x 1



4



x 1



2 0





2 2 7 6 0

x x   









2 2 2 2 2 24 0

x  x  x  x  



 



2 1 2 2 20

x  x x  x 









2 3 3 2 7 2 0

x  x  x  x  

1 1

4 5

x x

   

   

   

    8)

36
241

xx







9) x2 4x 2 3x 2 16 10)



x1





x2 4





x 1



 2 0

11)









2 2

2 4 2 10

x  x  x  12)



x1

 

x2

 

x3

 

x4



840

13)



x 1

 

x2

 

x x1



3 14)



4x1 12

 

x 1 3

 

x2

 

x1



4

15)



 



6x5 3x2 x1 35 16)



12x7

 

2 3x2 2

 

x1



3

17)



1332

xx

 18)



x 2



4



x 4



4 64

19)

5 3

4 0
5

x x x

 

  

  20)

2
2

4 6 0

4 10 x x

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

21)





2
2

24 12 51

2 5 2 x x 5

x  x x x    22)

2
2
7
5
1
x x
x x
  
 
23)
2
2
4 2
4
x x
x x

 
    

  24)

2
2

1 1

7 x 2 x 9

x x
   
   
   
   
25)
2
2
48 4
10
3 3
x x
x x
 
    

  26)

3 1

3 2 7

2
2
x x
x
x
   

27) 2 2

2 7

3 2 3 5 2

x x

x  x  x  x  28)

2 2

3 5 5 5 1

4 5 6 5 4

x x x x

   
 
   
29)









2
2 2
2
5 4
2 2

1 1 2 1

x

x x

x x x


 
   
 
   

  

    30)

4
2
4
5
2
x
x
x




31)





2
2
2
4
12
2
x
x
x
 
 32)
2

2
2
4
5
4 4
x
x
x x
 
 

33)





2
2

1 1

15
1

x  x 

34)

2 2

1 1 9

x x
x x
   
 
   
 
   
35)
2
2

3 5 2 1

19 6

2 1 3 5

x x x

  

 

   36)



 



4 1 3 5 2 6

x x  x  x 

37)



 







3 1 4 3 3

x

x x x

x



    

 38)

3 24x 12 x 6

39)313 x 3 x22 5 40)33x 23 2x1 33x5 4

41) x 3 2x1 3x 2 42)



x1 2

 

 x



 1 2x 2x2

43)



x3 10



 x2 x2 x12 44) x2 2x 5 x 1 2

45) x 2x1 x 2x1  2 46)3



x1



2  3



x 1



2 3 x2 1 1
47)x23x6 x2 7 48)x3 1 2 23 x 1

49)

3 2 1

x  x x 50)x4 4x38x2 0

51)

4 2 3 1 0
4

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

53) 2x 5 3 x x2 5x8

54)

1 17

3 7

x  x 

55)x22010x2011



x2010



x22011
56) 3x26x7 6x212x22 5 2  x x 2

57) x2 x 1 x x 2 1 x2 x2

58)

16 9

22 4 3 1

3 1 x y

x  y     

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

IV.Phần IV: Hệ phương trình
A. Kiến thức cơ bản

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn

-Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax by c  với





2 2

, , 0

a b c a b 

-Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c  ln ln có vơ số nghiệm. Tập

nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng

 

d ax by c:   .

+ Nếu a0,b0 thì đường thẳng

 

d là đồ thị hàm số

a c

y x

b b

 

.
+ Nếu a0, b0 thì phương trình trở thành ax c hay

c
x

a



và đường thẳng

 

d song song hoặc trùng với trục tung.

+ Nếu a0,b0 thì phương trình trở thành by c hay

c
y

b



và đường thẳng

 

d song song hoặc trùng với trục hồnh
b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

-Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ' ' '

ax by c
a x b y c

 




 

 , trong đó

, , , ', ', '

a b c a b c  .

-Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Gọi

 

d ax by c:   ,

 

d' : 'a x b y c '  ' khi đó ta có:
+

 

d / /

 

d' thì hệ vơ nghiệm.

     

d  d'  A thì hệ có nghiệm duy nhất.
+

   

d  d' thì hệ có vơ số nghiệm.

-Hệ phương trình tương đương: hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu

chúng có cùng tập nghiệm.

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

-Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương

trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.
d) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

-Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu có) sao cho các

hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

-Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

-Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

2. Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai

Nếu hai số x và y thỏa mãn x y S  , x y P.  (với S2 4P

 ) khi đó hai số x y,

là nghiệm của phương trình X2 SX P0.
B. Kiến thức bổ sung

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

a) Định nghĩa: hệ hai phương trình ẩn x và y được gọi là đối xứng loại I nếu

ra đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ khơng đổi.

b) Cách giải:

-Đặt S  x y, P x y . , điều kiện S24P.
-Giải hệ để tìm S và P.

-Với mỗi cặp



S P,



thì x và y là hai nghiệm của phương trình t2 St P 0.

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

a) Định nghĩa: Hệ hai phương trình ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu

ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phường trình này trở thành phương trình kia và

ngược lại.
b) Cách giải

-Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn.
-Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích.
-Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x).

-Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được

phương trình một ẩn.

-Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ.

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

a) Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai có dạng:

2 2

' ' ' 0

ax bxy cy

a x b xy c y

   





  



 .

b) Cách giải:

-Xét xem x0 có là nghiệm của hệ phương trình khơng.

-Nếu x0, ta đặt y tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ.
-Khử x rồi giải hệ tìm t.

-Thay y tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một

ẩn (ẩn x).

-Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y tx .

Chú ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải

tương tự.

C. Bài tập chọn lọc

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>



 





 



2 2

4 3 6

x y xy

   


   

 b)



 





 



1 2 1 3 4

3 1 3 5 18

x y x y

      



     


c)



 





 



5 2
5 12

x y xy

   


  


d)





2 5 1 2

16
11 3
2 1
7
31
5 3

x y x y

x
x y
  

 





  


e)
9 2
28
7 3
3 12
15
2 5
x y
x y

 




  

 f)
4 3
5
15 9
3
14
x
x y
y
x y


 




  


g)
5 1
10
1 1
1 3
18
1 1
x y

x y

 
  


  
  
 h)
4 1
1
2 2
20 3
1
2 2

x y x y


 
  


  
  

i)

4 3 13

36
6 10
1
x y
x y

 



  

 j)
2 5
3
3 3

1 2 3

3 3 5

x y x y


 
  



  
  

k)

7 4 5

7 6

5 3 13

6
7 6
x y
x y

 
  


  
  
 l)
3 2
8
3 1

3 1
1,5
3 1

x y x y


 
    


  
    

Bài 2: Giải các hệ phương trình:

1 2 1

1 3 3

x y
x y
    


  


 b)
2
2

10 25 5

x x x

    


   


c)

2 2 1 9

1 1
x y
x y
    


  


 d)

2 2 10
4
x y
x y
  

 




 



2 2 65

1 1 18

x y
x y
  


  

 f)

2 2 6

x y xy
xy x y

  



</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

3 3

5 5 2 2
1

x y

x y x y

  




  



 h) 3 3 2 2

x y

x y x y

 


  

i)



 





 



1 1 10

1 25

x y

x y xy

   


  


j)

5
13
6
x y
x y
y x
 



 


k)
3 3
2 2
2
2
x y

x y xy

  




 



 l)





4 4

2 2
97

x y

xy x y

  


 


m)





3
2
x
x y
y
x x y

y


  




 


 n) 2 2

1 1
5
1 1
13
x y
x y

 



  


o)
2
3
3
3 3

2 2
y
x
x
y

 



  

 p)
2 2
2 2
2 2
2 2

x y x y

y x y x

   


  


q)
2

2
2 3
2 3

x xy x

y xy y

  


 

 r)
2
2
28
28
x xy
y xy
  


 


s)
2
2
2

1
2
1
y
x
y
x
y
x


 


 
 
 t)
3 4
3 4
y
x y
x
x
y x
y

 




  


u)
2 2
2 2

2 4 1

3 2 2 27

x xy y

x xy y

   




  



 v) 4 4 4

x y z

x y z xyz

  


  

w)
2 2
2 2

2 3 11

3 2 2 42

x xy y

   


  

 x)
2 2
2 2

2 3 9

2 2 2

x xy y

x xy y

   


  


y)
4 1
4 1
4 1

x y z

y z x

z x y

   


  


  








2 2012 2013

x  y  z  x y z 

Bài 3: Cho hệ phương trình: 2

9 3 3

x y m
x m y

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vơ nghiệm.

b) Với giá trị nào của mthì hệ phương trình có vơ số nghiệm? Khi đó hãy tìm

dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình.

c) Với giá trị nào của m thi hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Bài 4: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình

4
1

mx y
x my

 




 

 có nghiệm thỏa

mãn điều kiện 2

8
1

x y
m

 

 . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
Bài 5: Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình

2 3

mx y m

x y m

 




  

 có

nghiệm ngun, tìm nghiệm ngun đó.

Bài 6: Cho hệ phương trình:

2 6

2 2

x y

x y

 




 


a) Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị.

b) Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình

3x 7y8 khơng?

c) Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình

4,5x7,5y2,5 khơng?

Bài 7: Cho hai đường thẳng

 

d1 : 2x 3y8 và

 

d2 : 7x 5y5. Tìm các

giá trị của a để đường thẳng y ax 3a 5 đi qua giao điểm của hai đường

thẳng

 

d1 và



d2



Bài 8: Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y ax b  đi qua điểm



5; 3



A   và điểm B



3;1



.
Bài 9: Tìm các giá trị của m để:

a) Hệ phương trình

2 3 7

mx y

x my

 




 

 có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
0, 0

x y .

b) Hệ phương trình

4 6

mx y
x my

 




 

 có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
1, 0

x y .

Bài 10: Cho hệ phương trình





1 2 1

m x my m

mx y m

    




  


 . Tìm các giá trị của m để

hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện m đạt giá trị lớn

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bài 11: Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 3 2

4
4

y x x ax

x y y ay

   




  



 .

Bài 12: Biết cặp số



x y;



là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 6
x y m

y x m

 




  

 .

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxy2



x y



Bài 13: Giả sử



x; y



là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2

2 1

2 3

x y m

y x m m

  




   

 .

Xác định giá trị của tham số m để hệ thỏa mãn tích m nhỏ nhất.
Bài 14: Cho hệ phương trình





3 1

2 5

m x my m

x y m

    




  


 . Tìm m để hệ có nghiệm

duy nhất



x y;



mà S x2y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 15: Cho hệ phương trình

3 5

mx y
x my

 




 

 .

a) Giải và biện luận hệ đã cho.

b) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất



x y;



thỏa mãn hệ thức

2
1

m

x y

m

  

 .

Bài 16: Cho hệ phương trình





2 1

1 2

mx my m

x m y

  





  



 .

a) Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất



x y;



thì điểm M x y



;



luôn
thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.

b) Xác định m để M thuộc góc phần tư thứ nhất.

c) Xác định m để M thuộc đường trịn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng

5.

Bài 17: Cho hệ phương trình

2 1

x my

mx y

 




 

 .

a) Giải và biện luận theo m.

b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm duy nhất



x y;



với x y, là các số

nguyên.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

d) Xác định m để M thuộc đường trịn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng

2
2 .

Bài 18: Cho hệ phương trình 2 2 1
x y m

y x

 




 

 . Xác định m để hệ có nghiệm duy

nhất. Tìm nghiệm đó.

Bài 19: Cho x y, là hai số nguyên dương sao cho 2 2

71
880

xy x y
x y xy

  




 

 . Tìm giá trị

của biểu thức M x2 y2.
Bài 20: Cho hệ phương trình









1 1

1 2

a x y a

x a y

    




  



 (a là tham số).

a) Giải hệ phương trình với a2.

b) Giả và biện luận hệ phương trình.

c) Tìm giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm ngun.

d) Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x y nhỏ nhất.
Bài 21: Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết



1;1 ,





1;3



A  B  .

Bài 22: Cho ba điểm A



1;6 ,



B



4;4 ,



C



1;1



. Tìm tọa độ đỉnh D của hình
bình hành ABCD.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

V. Phần V: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
A. Các bước giải tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

1. Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.

3. Dựa vào đề bài và mối quan hệ giữa các đại lượng để lập phương trình (hệ
phương trình) tương ứng.

4. Giải phương trình (hệ phương tình) và chọn nghiệm thỏa mãn.
5. Kết luận.

B. Bài tập chọn lọc

Bài 1: Hai tỉnh A và B cách nhau 180km. Cùng một lúc, một ô tô đi từ A đến
B và xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ô tơ đi
hết 2 giờ, cịn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi
xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi.

Bài 2: Một ca nô xi dịng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B
về bến A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng, biest
rằng quãng sông AB dài 30km và vận tốc dịng nước à 4km/h.

Bài 3: Một ca nơ xi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 30km/h, sau đó
lại ngược từ B trở về A. Thời gian xi ít hơn thời gian ngược là 1 giờ 20
phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là
5km/h.

Bài 4: Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn
đường bằng và một đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên
đoạn đường dốc tương ứng là 40km/h và 20km/h. Biết rằng đoạn đường dốc
ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng
đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.

Bài 5: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận
tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được

4quãng đường

AB, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường cịn lại. Tính qng
đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút.

Bài 6: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với một vận tốc xác
định. Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km
nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết
rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.

Bài 7: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85km đi ngược
chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca
nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và
vận tốc dòng nước là 3 km/h.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

A với vận tốc 14km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách
A bao nhiêu km?

Bài 9: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời
gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu
khơng có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe đạp tại B. Nhưng sau khi đi
được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h nên
hai người gặp nhau tại C cách B 10km. Tính quãng đường AB.

Bài 10: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30km/h.
Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình là
24km/h. Tính qng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50

phút.

Bài 11: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30km/h, sau
đố ngược từ B về A. Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút.
Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là
3km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi.

Bài 12: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là
40km/h. Lúc đầu ơ tơ đi với vận tốc đó, khi cịn 60km nữa thì được một nửa
qng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường
còn lại. Do đó ơ tơ đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng
đường AB.

Bài 13: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I
chạy với vận tốc 20km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi
ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài qng đường
sơng AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc.

Bài 14: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30
phút, một người đi xe máy cũng đi từ A đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc
của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

Bài 15: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xi dịng 108km và ngược
dịng 63km. Một lần khác ca nơ đó cũng chạy trong 7 giờ, xi dịng 81km
và ngược dịng 84km. Tính vận tốc dịng nước chảy và vận tốc riêng (thực)
của ca nô.

Bài 16: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ
20 phút. Tính vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng
nước là 4km/h.

Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sơng A. Sau đó 5 giờ 20 phút một
chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm
các bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn
thuyền 12km/h.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Bài 19: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian
quy định. Sauk hi đi được 1 giờ ô tô bị chắn đường bởi tàu hỏa 10 phút. Do
đó, để đến B đúng hẹn, xe phải tăng tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu
của ơ tơ.

Bài 20: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn
cách B 30km, người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ
nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5km/h thì sẽ tới đích
sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc của xe đạp trên quãng đường đã đi lúc đầu.

Bài 21: Một người đi xe đạp từ A đến B, quãng đường AB dài 24km. Khi đi từ
B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km mỗi giờ so với lúc đi, vì vậy
thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A
đến B.

Bài 22: Một ô tô dự định đi quãng đường AB dài 240km với một vận tốc định
trước. Sau 2 giờ đầu đi với vận tốc dự định, do đường xấu nên ô tô phải
giảm vận tốc đi 10km/h trên quãng đường cịn lại do đó nó đến B chậm hơn
so với dự định là 42 phút. Tính vận tốc dự định của ơ tơ.

Bài 23: Một xí nghiệp đóng giày dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày.
Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đơi giày do đó
chẳng những đã hồn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt
mức 104000 đơi giày. Tính số đơi giày phải làm theo kế hoạch.

Bài 24: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn
cả, nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hồn thành
kế hoạch sơm hơn 1 tuần mà cịn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế
hoạch đã định.

Bài 25: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó
được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định.
Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe
có khối lượng bằng nhau.

Bài 26: Một cơng nhân được giao khốn sản xuất 120 sản phẩm trong một thời
gian nhất định. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý
hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa.
Nhờ đó, mức khốn được giao đã được người cơng nhân hồn thành sớm
hơn 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của người công nhân đó.

Bài 27: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ
thực hiện đúng mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày
40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo kế
hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bài 29: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời
gian quy định thì mỗi giờ phải bơm được 10m3. Sau khi bơm được

1
3 thể

tích bể chứa, máy bơm hoạt động với cơng suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được
15m3. Do vậy, so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính

thể tích bể chứa.

Bài 30: Một hình chữ nhật có chiều dài bằng

2 chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều

đi 5cm thì diện tích hình chữ nhật đó giảm đi 16%. Tính chiều dài và chiều
rộng của hình chữ nhật ban đầu.

Bài 31: Có một khu vườn hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh them 4m
thì diện tích khu vườn tằng 216m2, còn nếu chiều rộng tăng thêm 2m, chiều
dài giảm đi 5m thì diện tích sẽ giảm đi 50m2. Tính độ dài các cạnh của khu
vườn đó.

Bài 32: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8m. Nếu
tăng chiều dài thêm 12m và chiều rộng thêm 3m thì diện tích mảnh vườn đó
tăng gấp đơi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Bài 33: Một phịng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự
họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế xếp
nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phịng họp có bao
nhiêu dãy ghế, mỗi dãy bao nhiêu ghế?

Bài 34: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng lại để chở 100 tấn hàng gửi
đồng bào vùng khó khăn (khối lượng hàng mỗi xe phải chở là như nhau).
Sau đó đội xe được bổ sung thêm 5 xe nữa (cùng loại với xe dự định ban
đầu). Vì vậy so với dự định ban đầu, mỗi xe phải chở ít hơn 1 tấn hàng. Hỏi
khối lượng mỗi xe của đội dự định phải chở ban đầu là bao nhiêu?

Bài 35: Tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số
có hai chữ số là 18. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì
sẽ được số mới lớn hơn số ban đầu 54 đơn vị. Tìm số ban đầu.

Bài 36: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đo
bằng tổng bình phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai
lần tích của hai chữ số của nó cộng thêm 5.

Bài 37: Tổng số học sinh khối 8 và khối 9 của một trường là 400cm, trong đó
có 252 em là học sinh giỏi. Tính số học sinh của mỗi khối, biết rằng số học
sinh giỏi khối 8 chiếm tỉ lệ 60% số học sinh khối 8, số học sinh giỏi khối 9
chiếm tỉ lệ 5% số học sinh khối 9.

Bài 38: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nếu để
một mình vịi thứ nhất chảy thì đầy bể nhanh hơn một mình vịi thứ hai
chảy là 4 giờ. Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ
thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hồn thành cơng việc.

Bài 40: Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 16 giờ thì xong. Nếu
người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thi họ làm được 25%
công việc. Hỏi mỗi người làm cơng việc đó trong mấy giờ thì xong?

Bài 41: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước đã làm đầy bể
trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn
vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thi mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ
đầy bể.

Bài 42: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ.
Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong cơng việc ấy, thì đội thứ nhất cần
thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong
cơng việc ấy trong bao lâu?

Bài 43: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng có nước và chảy đầy bể
mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi
thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể
trong bao lâu?

Bài 44: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa khơng có nước thì
sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại
và mở vịi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được

5 bể. Hỏi mỗi vịi

chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Tải thêm tài liệu tại:

</div>


Tổng hợp các dạng toán giải bằng máy tính và 42 đề thi các tình thành mới nhất đây