Lý thuyết xác suất và thống kê toán lê khánh luận, nguyễn thanh sơn

RƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ T P .H ồ CHÍ MINH

-Ê KHÁNH LUẬN - NGUYỄN thanh

sơn

L 250 L

[UYÊT XÁC SUẤT
VÀ

THỐNG KÊ TOÁN
'¿ 7 " ,

I ----------------"—

---------- >

Dùng cho sinh viên Cao đẳng, Đại học các trường
khối ngành Kinh tế, Tài chính, Ngoại thương, Ngẳn hàng,
Quản trị kỉnh doanh,...'

m3 /
.
•

" T m7

•

;

.

•

(ỉ&àỡ- rttịữup ẩỔỊtt, cíá ctếnr (¿&í
t&cCviên c+ís c/uitựi tơi
Xin vui lịtig:

THU VIEN DAI HOC NHA TRANG

\

ì 0000ì 63 51

x2

•
•

NĂM 2007

Khơng xé sách
Không gạch, viết, vẽ lên sách


TRƯỜNG ĐẠI HỌ C KINH T Ế TP. H ổ C H Í MINH

LÊ KHÁNH LUẬN - NGUYỄN

th anh sơ n

GIÁO TRÌNH :

VÀ THỐNG KÊ TỐN
(DÌỪNG c h o s i n h v i ê n đ ạ i h ọ c , c a o đ ẳ n g k h ơ i
MGÀNH KINH TÊ, TÀI CHÍNH, NGOẠI THƯƠNG,
NGÂN HÀNG, QUẢN TRỊ KINH DOANH,...)

TRƯƠNG ĐẠI HỌC m m m
ị

TH Ư

V iệ n

NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ

Năm 2007

ị


TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP. HCM
LÊ KHÁNH LUẬN - NGUYỄN t h a n h s ơ n

GIÁO TRÌNH:

LÝ THUYẾT XÁC SUÂT
VÀ THỐNG KÊ TOÁN
(DỤNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC, CAO ĐANG

KHỐI NGÀNH KINH TẾ, TÀI CHÍNH, NGẤN HÀNG,
NGOẠI THƯƠNG, QUẢN TRỊ KINH DOANH,...)
Chịu trách nhiệm xuất bản
Biển tập
Sửa bài
Bìa

:

CÁT VĂN THÀNH

:NGUY
LẺ KHÁNH LUẬN
NXB THỐNG KÊ
: TẤN THÀNH

NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KẼ
Số ĐKKHXB : 18 - ,2006/CXB/ 282 - 59/TK

Địa chỉ phát hành,:

NHÀ SÁCH KINH T Ế TUÂN MINH
(Nhà sách 15 Đào Duy Từ cũ)
Địa chỉ mài : 23 Đào Duy Từ , P.5, Q.1Ớ, TP. HCM
ĐT : 08.8531424 - Mobile : 0918976920
In 1.000 cuốn', khổ 14,3 X 20,3 cm, tại Công ty X N K Ngành In TP. HCM.
Giấy xác nhận đăng ký kế hoạch xuất bản số 2412/2005/CXB do Cục
Xuất bản cấp ngày 27/12/2005 và giấy trích ngang kế hoạch xuất bản
số 117/QĐ-TK do Nhà Xuất bản Thống kê cấp ngày 22/3/2006. In xong
và nộp lưu chiểu Quý 2/2007.

Ợ f f ừ vài chục năm trở lại đây, môn Xác xuất thống kê
được giảng dạy rộng, rãi như một m ôn học cơ
bản trong giai đoạn đầu tại tất cả các trường đ ại học Kinh
tế, Ngoại thương, Xã hội nhân vần, Y dược, Kỹ thuật, Tự
nhiên,...ở tất cả các hệ đào tạo...
Nhằm đáp ứng nhu cầu dạy và học đó, qua kinh
nghiệm giảng dạy nhiều năm mơn học này cho nhiều đôi
tượng khác nhau, chúng tôi biên soạn quyển sách này với
hy vọng d à n h cho nhiều đôi tượng độc giả.
Môn học xác xuất thông kê là môn học nghiên cứu về
các sự kiện và các đại lượng ngẫu nhiên. Nó sẽ trang bị
cho chúng ta một cơng cụ để tìm hiếu p h á t h iệ n quy luật
của một tiêu chuẩn trong một tập hợp đông đảo các đôi
tượng nghiên cứu. Và ta biết cách phân tích, nghiên cứu nó,
qua các giá trị đặc trưng của nó. Từ đó rút ra những kết
luận cần thiết cho công việc của chúng ta.
Môn học này được xem là khó đơi với những người
khồng chun học tốn. Do đó, trong quyển sách này,
chúng tơi cơ" gắng trình bày súc tích, ngắn gọn nhưng đầy
đủ các khái niệm cốt lõi và dưa ra những ví dụ minh hoạ
đ ể độc giả dễ hiểu. Các bài tập được trình bày theo trình tự
từ dễ đến khó.


Để giúp độc giả học tập iô\ và kiểm tra được kết q
học tập của mình, chúng tơi đã biên soạn quyển bài giải.
Và để dễ nhớ, dễ theo dõi, trong đó đầu mỗi chương chúng
tơi có tóm tắt giáo khoa.

Hy vọng quyển sách lý thuyết và quyển giải bài tập sẽ
giúp độc giả làm việc hiệu quả.
Mặc dù đã cố gắng nhưng khơng sao tránh khỏi những,
sai sót, thiếu sót. Mong đón n h ậ n những ý kiến đóng g ó p >
đ ể lần tái bản sau hoàn chỉnh hơn.
TP.HCM, n g à y 01/01/2007
Các tác giả


Chương 0:

Vài yếu tơ' về tập hợp và giải tích tể hợp

C H Ư Ơ N G 0.

VẰI YẾU TÒ VỀ T Ậ P H Ợ P
VÀ GIẢI TÍCII TỔ H Ợ P
§1. NHẮC LẠI TẬP HỢP & ÁNH XẠ
I. T Â P H Ơ P :
1 . Khái niêm tâp hợp :
Tập hợp là một khái niệm toán học. khơng định nghĩa
được mà chí mơ tá như một họ hay một lớp các cá thế
riêng khác nhau và có thể có chung một thuộc tính nào đó.
Mỗi cá thể của tập hợp được gọi là phần tứ của tập hợp.

Kỷ hiên:
a G A có nghĩa A là phần tứ của tập hợp A.
a G A có nghĩa A khơng là phần tứ của tập hợp A.
2 . Cách cách biểu thi tâp hơp (cỏ 3 cách):
a) Vẽ giản đồ

b) Liệt kê:
A = la, b, c, dl
c) Chí ra các tính chất chung:
B = i-4. -2, 0, 2, 41
B = (x! X là sô" nguyên chẵn và |x| < 2 Ị
1


Chương 0: Vài yếu tố vể tập hợp và giải tích tổ hạp

3. Tâp trỏng:
Là tập khơng chứa phần tứ nào, ký h iệu 0 .
4. Tâp con;
Tập A là tập con của tập B và ký h iệu A c B n ế u mọi
p h ầ n tử của A đ ề u là p h ần tử của B.
Ví
du:
A = {1 , 2 , 5l và B ={1 , 2 , 3, 4, 5, 6|. Ta có A c B
5. Các tâp hơp sô quen thuốc:

N = {0,1,2,3,...} : tập hợp các sô" tự nhiên.
N* ={1,2,3,...} : tập hợp các sô" nguyên dương.

z = Ị...,-2,-1,0,1,2,...} : tập hợp các sô nguyên.
ịm\

1

Q = { —\m e z ,tt e N >: tập hợp các sô" hữu tỷ.

l"ỉ .
J
ỈR : tập hợp các sô" thực.

Nhân xét:

N’ c N c Z c Q ' c l

6. Các phép toán của tâp hớp:
a)
Giao: A giao B ký hiệu A n B là tập hợp những
p h ần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
Ví du
li
A = la, b. c, d, e}
B = |c, d, e, f, g, h}
ta có A n B = (c, d, e|

6

2


Chương 0: Vài yếu tố vê tập hợp và giải tích tẩ hợp

b) H ớ p : A hợp B ký hiệu A u B là tập hợp gồm ngửng
phần tử hoăc thc A, thoặc thuộc B
Ví du 2:
Với A, B trong ví dụ 1 ,
ta có A U B = la, b, c, d, e, f, g. h|

c) H iê u : Hiệu cúa tập A đối với tập B, ký h iệu A\B là
tập gồm những p h ầ n tử chỉ thuộc A mà không thuộc B.
A\B = |x e Aj X £ BỊ
Ví du 3:
A = (a, b, c, d|,

B = le, d, e, f I thì A \ B = la, b}.

7. Cách tính chat của các phép tốn (n, u , bù)«
a) Tính giao hoán:
A n B = BoA,
A U B = BU A
b) Tính kết hợp:
(A n B) o c = A Ol (B n C),
(AuBỊcC = An(BnC)
c) Tính p h â n bô":
A ^ (B w C) = (A O B) U (A n C),
A u (B ^ C) = (A u BỊ O (A u C)
d) Tính đối ngẫu (De- Morgan):
AZ7ì = Ã^ĩỉ
=L H
II. ẢNH XA.
1. Đinh nghĩa.
Một ánh xạ f từ tập A sang tập B là một phép gán theo
quy tắc, với m ọi p hần tử của A, cứ mỗi x e A gán với một
p h ầ n tử duy n h ấ t y € B, ghi là y = f(x).
Ký hiêu: f :A -» B
XY-* f(x )
3

Chương 0:

Vài yếu tơ' về tập hợp và giải tích tổ hợp

Phần tử f(x) gọi là ảnh của

X

bới f.

Ví du l i
Các p h ép gán sau, p h é p gán nào là ánh xạ, p h ép n ào
không là
-----°

f: không là á n h xạ

g: là án h xạ

2 . A nh của tâp A bửi f.
Kv hiệu f(A) định bởi

/(.-0 = 1ve B\y = J\xỶị

Ví du 2 :
Theo ví dụ 1 ta có:

f(A ) = ịy2,y ^ y À}

3. Toàn ánh.
Cho án h xạ f : A -» fì
Nếu f(A) = B ta nói f tồn ánh.
Nghĩa là Vy G B, 3x 4. Đơn ánh.
Mọi X, x; G A n ế u

X

*

X

thì f(x) * f(xy) ta nói f đơn ánh.

5. Song ánh.
Khi á n h xạ f vừa toàn á n h vừa đơn án h ta nói song ánh
Ví du 3:
Các ánh xạ sau, á n h xạ nào là toàn ánh, đơn ánh , song
ánh
-►

9

4

h


Chương 0: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải tích tố hợp_

đơn á n h
tồn ánh
song ánh
III. TÂP ĐẾM ĐƯƠC:
Đinh nghĩa: Cho X là một tập vô hạn. Nếu có thế thiết lập
một song án h giữa tập sơ" tự nhiỏn N với tập X thì ta nói X
là tập đom được.
N h â n xét:
N , z . l à những tập đếm dược.

§2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Nguyên ly nhân.
Một công việc được tiến hành qua 2 giai đoạn. Nếu giai
đoạn 1 có m ì cách, giai đoạn 2 có m2 cách, thì số cách n đ ế
thực hiện tồn bộ cơng việc là:

Vi d u l :
Đoạn đường từ A đ ến c phá (li qua B. Từ A tới B có
2 lơi đi. và từ B tới c có 3 lơi di. Vậy ta có 6 cách đi từ A

tới c .

Khi đó nil = 2, m2 = 3 và a> = nij

X

rn2 = 2 x 3 = 6

Ví du 2:

Tại một cứa hàng ăn sáng có 3 món ăn và 4 món uổhg.
Tâm được mẹ cho phép ăn một món và uống một món. Hỏi
có hao nhiêu cách để Tâm lựa chọn.
5


Chương fl: Vài yếu tô' về tập hợp

giải

lô

' -? *

s ố cách đ ể Tâm lựa chọn là: n = m n X m 2 = 3 X 4 = 12
Tổng quát: Một công việc được tiến h àn h qua k gia đ oạn .
Giai đọan 1 có m, cách, giai đoạn 2 có m 2 cách,..., g ia
đoạn k có nik cách. Thì số cách n đ ể thực hiện tồn bộ
cơng việc là:
n = m, X m 2 X ... X mk
Ví du
3:
Cụ Huy có 5 bộ quần áo mới. 4 cà vạt và 3 đôi giàv.
Mỗi lần đi chơi cụ m ặc một bộ quần áo mới, thắt một cà
vạt và mang một đôi giày. Hỏi có bao n h iêu cách để cụ
Huy lựa chọn.
Giải:
S ố cách đ ể cụ Huy lựa chọn là:
n = m, X m 2 X m ;) = 5 x 4 x 3 = 60
2. Chỉnh hơp.

Một cách chọn lần lượt khơng hồn lại (chọn khơng
có
thứ
)k p h ần tứ từ một tập hợp có n p h ần tử khác
tự
nhau, được gọi là một chính hựp chập k trên n phần tử.
Gọi ,4* là sô' các chỉnh hợp c h ập k trên n p h ần tử. Ta
có:
Akn

6

= n(n - 1)•• •
(n-k)\

ịn-


Chương o:

Vài yếu tơ' vế tập hợp và giải tích tổ hợp__________________

Chứng m inh:
Để có một chỉnh hợp chập k, ta chọn p h ầ n tử đứng đầu
co n cách, p h ần tứ dứng thứ hai có (n- 1 ) c á c h .... phần tử
đứng thứ k có (n - k + 1 ) cách.Vậy theo ngun lv nhân ta có:
A^ệ = n(n - I)• *• (n - k - 1) - — ——
(n-k)\
N hận x é t:
Hai chỉnh hợp khác nhau nếu:

- Có ít nhất.m ột phần tử khác nhau
- Hay thứ tự sắp xếp khác nhau
Ví du 1:
Biết rằng biển số xe gắn máy tại TP.HCM có 4 chữ số.
Hỏi có thể có tơi đa bao nhiêu biến số trên đó có 4 chữ số
h ồn tồn khác nhau.
Giải:
Bơn chữ số hồn tồn khác nhau trên một biển sô" xe là
một chỉnh hợp chập 4 trên 10 phần tử |0, 1 , 2 ,... , 9|. Nên •
sơ" tối đa biển sơ" trên đó 4 chữ sơ hồn tồn khác nhau là:
4
10!
10!
A7n = —— — = — = 7x8x9x10 = 5040
ỈU (10-4)! 6!
• J
Ví du 2:
Có bao n h iêu cách sáp xếp 5 người vào một dãy có
8 ghế.
Một cách sắp xếp 5 người vào 8 ghế là một chỉnh hợp
chập 5 trên 8 p h ần tử. Vậy sô" cách sắp xếp là:
7


Chương 0:

Vài yếu tơ'về tập hợp và giải tích tổ hợp
,

8!

8!

4 =——— = -- = 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 6720
(8-5)! 3!
Vi du 3:
Có bao n h iêu cách chọn 4 người đi làm công việc khác
nhau trong sơ 6 người được để cứ.
/-I • 2 . *
Giai:

Một cách chọn 4 người di làm 4 công việc khác nhau
trong sô" 6 người được đề cứ là một chỉnh hợp chập 4 trên 6
phần tử. Vậy sô" cách là:

Aị

(6-4) !

— = 3 x 4 x 5 x 6 = 360
2!

3. Hoán vi.
Một phép h o án vị trên một tập có n p h ầ n tứ khác nhau
là một sự sắp xếp thứ tự cúa n p h ầ n tứ đó.
Gọi p n là sơ" các hốn vị trơn n p h ần tử đó. Ta cỏ:

Chọn p h ần tử đứng thứ nhất có n cách, đứng thứ 2 có
(n - 1 ) cách, ... , đứng thứ n có 1 cách.
Áp dụng nguyên lý nhân. Ta có số cách là:

p = /7 X( A 7 - 1 ) X . . . x 3 x 2 x 1 = A 7 !
Ví dụ 1:
Mỗi giáo viên là chú nhiệm một lớp. Hỏi có bai nhiêu
cách bơ" trí 5 giáo viên là chú nhiệm 5 lớp.

8


Chương 0: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải tích tổ hợp

Giải:
Mỏi cách bơ" trí 5 giáo viên là chủ nhiệm 5 lớp là một
p h é p hoán vị. Vậy sơ" cách bơ" trí là:
pn = 5! —120
Ví du 2:
Có 3 nam và 3 nữ. Hói có bao nhiêu cách sắp xốp thành
3 đôi nam nữ đế khiêu vũ.
lìáì:
Một cách sắp xếp thành 3 dơi nam nữ là một phép
h o án vị. Vậv sô" cách là:

4. Chỉnh hơp l ă p .
Một cách chọn lặp k phần tứ có đ ể ý đến thứ tự từ một
tập hợp cỏ n p h ần tử khác nhau lccíc phần tử có th ể lập lại
tơi da k lần) được gọi là một chính hợp lặp chập k trên n
p h ầ n tứ.
Gọi A* là sô" các chỉnh hợp lặp chập k trên 11 phần tứ
đó. Ta có:
k có th ể lớn hơn n
Chứng m inh:

Đây là trường hợp đặt hiệt của nguyên lýnhân, một
công việc được tiến hành qua k gia đoạn. Mõi giai đoạn có
n cách thực hiện.

9


Chương 0: Vài yếu tơ' vế

tvà giải

/g’

Aln = rriịX mì x ...

Vậy

= « X n x .. . X n

=

nk

Ví du 1:
Biết rằng vé sơ" tại TP.HCM có 6 chữ sơ". Hói có thể có
tơi đa bao n h iêu vé sô".

Sáu chữ sô" trên mặt vé sô" là một chính hợp lặp chập 6
trên 10 p h ầ n tứ {0. 1 . 2 , ... , 91. Vậy sơ" vé sơ" có thể có là:
Ãbw = 1 o6 = 1 .000.000

Ví du 2:
Tàu lửa có 8 toa. có 5 người lên tàu. Hỏi nếu lên tùy ý
thì có bao n h iêu cách lên tàu.
Giỏi:
Người thứ nhâ"t có 8 cách lên tàu
Người thứ hai có 8 cách lên tàu
Người thứ n ăm có 8 cách lên tàu
Áp dụng ngun lý n h ân , ta có sơ" cách lên tàu
8 x 8v 8 x 8x 8
Cách k h á c :
Một cách lê n tàu tuỳ ý củ a 5 người lên 8 toa là một
chỉnh hựp lặp c h ập j f trên 8 p h ầ n tử. Vậy sô" cách là:

10


Chương 0:

Vài yếu tơ' vể tập hợp và giải tích tổ hợp_________________

Ví du 3:
Giả sử có một vị thần có quyền ban p h át ngày sinh cho
con người. Hỏi có bao nhiơu cách phân phơi ngàv sinh cho
5 em b é ra đời trong năm 1993?

N ă m 1993 có 365 ngàv, nên mỗi cách ban p h át ngày
sinh cho 5 em bé là một chỉnh hợp lặp chập 5 trên 1993
p h ầ n tử. Vậy sô' cách là:
à ^ = (3 6 5 ỹ
5. H oán vi lăp .

N ế u trong n p hần tử có m phần tứ giơng nhau thì mỗi
h o á n vị của n p hần tử đó được gọi là một hoán vị lặp.
Gọi p n(m) là số các hốn vị lặp đó, ta có:
n\
p n ( m )

=

—

Ví du
Ị±
Có 5 chữ sơ" bằng nhựa: 2,1 ,1 ,1.3. Hói có bao nh iêu cách
sắp xếp 1 dẫy sơ" 5 chữ sơ" đó.
Giai:
M ột cách sắp xếp 5 chữ sơ" trên là một p h é p hoán vị
lặp. Vậy sô" cách là:

/>(3) = - = 4x5 = 20
3!

Tổng quát: Trong n p h ần tử có nij phần tử giông nhau, m 2
p h ầ n tử giôúig nhau,..., nik phần tử giỏng nhau.
11


Chương 0:

Vài yếu tơ' về tập hợp và giải tích tể hợp

m ! + m 2 +....... + m k = n
Sơ" hốn vị của n p h ầ n tử này là:
\

mx\m2\"-m k!
Ví du 2:
Nhà nàng cách 7 ỗ Đông

T 4' " , r
1
- ỉ i t '
Ị '

p
!

ị

ĩ
Ị

i.

Cách 8 ơ Bấc đường khơng dề gì
i
ỉỊ Ịị
Ị Ị
í
Vì u nên buộc phái đi
!

í
1
1
Mỗi ngày khác trước tính thì bao nh iêu
! 1
i ịi
T = c
__
L i
Bô" Mẹ nàng đô" ấy điều
Nếu chàng tính đúng thì chiu V ngay
(Đi trên các cạnh của ố vuông. Cho biết các ô vuông
bằng nhau và đi theo đường ngắn nhâ"t).
\

•2 . ĩ
Giai:

Gọi cạnh ô vuông theo cạnh ch iều ngang là X. chiều
đứng là y. Thì đường đi in đ ậm trên hìn h vẽ được biếu d iễ n
như sau:
xyvxxxyyyyxxxvy
Đó là sự đối chỗ của 7 chữ X và 8 chữ y, chính là hốn
vị lặp. Vậy sơ" đường đi là:

/Ị,(7.8) = — - = 6435 ngày
7! 8!

6. Tố hơp.
Một cách chọn k p h ầ n tử (không p h â n biệt thứ tự) từ

một tập có n p h ầ n tử khác n h a u được gọi là một tổ hợp
ch ập k trên n p h ầ n tử.
12


Chương 0:

Gọi

Vài yếu tơ' vế tập hợp và giải tích tổ hợp________________

c k là

số các tổ hợp chập k trên n p h ần tử, ta có:

Nhận x é t
1)

c °n = C "n =

2)

/-'k

r^n-k

^ /7+1

^

1

3)

n
ck =^-//-1
ck + v'ck
^«+1
//’

4)

c °n + c 'n + c n2 + ••

5)

c°/7 -

c '7/ -4- c /27

6)

c >

c 2+ c > -

c “ + c :+ c .5+ -

Vn

= > 1

VO

< k < n

V I

< k < n

■+c;; =2 "
■+(-\)"c: = 0
=2
■=2 " - '
■

Chứng m inh:
a) và b) viết ra sẽ thây ngav
c)

C’*'1 +C’* = ---------- —----------+ — —----(k —1) ![/7 —(Ả -1)1
n\k

n\[n-(k-\)\\

= Ấr![/7-(/t-l)]!+ Ắ:![/7-(*-l)]!
(/7 + 1)!

_

(/7 + 1)!

" * ! [ / ? - ( * - ! ) ] ! “ k\[(n + ị ) - k ] l

=ckn+1
d) Chứng m inh bằng truy chứng:
n = 1 , ta có: Cj° + CỊ = 21 đúng
Giả sử công thức đúng (n - 1 ), ta có:

13


Chương g; Vài yếu tô' về tập hợp và giải tích tơ hợp

c , + C , +C , + ...+ c ¿ + cr; = 2 ”

( 1)

+ c . + c , + c . +• •• + C '.2 + c : ì = 2 "
c °n ~+ ^c 'n + c^ rt2 +' * +' C n"'2 + v_'
C"n ■' + V"
( ""
/í = ^2"

( 2)

r\^
D o

/'■ »0

_ z'-iO

_ /^n

V

/^Ẳ _ / ’ Ẳ - 1

= c z

C Z \ =

S'lk
c

n

và

= < -Z l

+

e) Chứng minh bằng truy chứng:
n =1 , ta có : Cị° -C Ị = 0 đúng
Giả sử công thức đúng đ ế n (n - 1 ), ta có:
c , - c 1 + c , + - + ( i r ,c ; = o

(3)

C , - C i + C , - - + o r lc : ; = o

(4)

(4) - (3) ta được:
c i , - ( c : , + c i , ) + ( c L , + c i , )+ ...+
H r '( c ;:ỉ+ c :;) + ( - i) " c ;:;= o
Và do c n—
° \, = C",
n ’ C"~!
n-1 = C"
/;
n

~

^ n-\

^

^ n-\

Ta được:
+ (-D "C = 0

c - c ; +C;
f)

Hai biểu thức d) và e) suy ra biếu thức f).

Nhận x é t 2:

Ví dụ:
Có 6 người được đề cử, hỏi có bao hiêu cách chọn ra
bơn người và bố trí vào 4 cơng việc khác nhau.
14

.

k ’ Ằ;. ^


Chương 0:

Vải yếu tố về tập

và

lichỂ M ĩ -

•2 .ĩ
Giai:
Cách 1:
Một cách chọn ra 4 người và bơ" trí vào 4 công
việc k h ác nhau trong số 6 người dược đề cử, là một chỉnh
hợp c h ậ p 4 trên 6 phần tử. Vậy số cách là:

Cách 2 :
Giai đoạn 1:

Chọn 4 người trong 6 người, có C^cách.

G iai đoạn 2: s ắ p xếp 4 người ra đ ể chọn vào 4 cơng
việc, có 4! Cách.
Áp dụng nguyên lý nhân, ta có cách là:

= - = 360
7. Nhi thức Newton.
II

II

Chứng minh:
Chứng minh bằng truy chứng với
n = 1 : (a + hy = c"ab{) = a + h đúng.
Giả sử công thức đúng với (n - 1 ), ta có:
(a + b)" = (a + b) "' ( a + b)

15


Chương 0: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải

/ế hợp__________

+ ( c i . , + c : _ , )«*”-'
+ " + ( c ; : í + c ;:; ) a - 'b *
do

n-ị

■n- 1

c /ík~\+c* ,/J~l= c * W’
và c °/7-1. = c °n,

C"~! = c n

n ê n ta có thể thay:
(a +

hy=

Vậy cơng thủc trên cũng đúng cho n.

16

C"aữb"+"b°
c > / r 1 +... +


Chương0: Vài

ỵếutơ'vế tập

hợpvà

giải tích

BÀI TẬ P

|/
ệ i- l‘

B à i 1:

Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh. Lấy từ hộp ra 2

bi. Có 3 cách lấy:
Cách

1:l ấy ngẫu nhiên 2 bi .

Cách 2: lấy lần lượt 2 bi.
Cách

3:l ấy có hồn lại 2 bi (chọn lặp).

Xét theo 3 cách lây:
1 ) Có bao nhiêu cách lấy 2 bi?
2 ) Có bao nhiêu cách lấy 2 bi trắng?
3) Có bao nhiêu cách lấy 1 bi trắng, 1 bi xanh?
Giải:
Cách
1 ) Có

cị

= 28 cách lấy

2 ) Có C5 = 10 cách lấy
3 ) C0 C 5 . C3 = 15 cách lấy
Cách 2:
1 ) Có Cg . C7 = 56 , hoặc a | ='56
2 ) Có c 5 .

c\

= 20 , hoặc

5 p l
= 20
17


Chương 0: Vài yếu tố về tập hợp và giải tích tổ hợp________________
3) Có c ị . c j + C3 . c!¡ = 3 0
Cách 3:
1 ) Có Cg . Cg = 64

2)

cị

Có

.C5

=

25

3) Có c ị . c ị + C3 . C 5 = 30
Bài 2 : Có 10 người định cư vào 3 nước. Nước Mỹ: 4 người,
Pháp: 3 người, Anh: 3 người. Hỏi có bao n h iê u cách sắp
xếp?
Giải:
Công việc sắp xếp 10 người gồm 3 giai đoạn:
Giai đoạn í: Chọn tùy

V

4 người vào nước Mỹ: Cị40 cách

Giai đoạn 2: Chọn tùy ý 3 người vào nước Pháp:

cách

Giai đoạn 3: Chọn tùy ý 3 người vào nước Anh : c ỉ cách
Theo nguyên lý n h ân , số cách sắp xếp là:

c/o •

cị

=4200

Bải 3: Một lớp học có 30 sinh viên
Có bao n h iêu cách chọn ra một ban

nếu:
... 1 ) Có đúng 2 nam
2)
3) Nhiều n h ất 2 nam
4)
f)dp sô':

1)
18

cịa x

2)

trong đó có 20 là nam.
c á n sự gồm 4 sinh viên
Khơng có nam
Có ít nhât 1 nam

10


Chương O;

Vài yếu tơ' về tập hợp và giải tích tổ hợp_______

c 10 + c 20 x (■

3)

c 20 x

4)

C 3 0 “ c , 0 ’ c 20 x c 1 3 +

10 + (- 20 y C ịo

C20 x C ĩo

+ C 20 x C 1 0 + C 2 0

Bải 4: Trong một buối dạ vũ có 22 nam và 18 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn :
1 J Hai người ra khiêu vũ ?
2) Một đôi nam nữ ra khiêu vũ ?
3) Ba đôi nam nữ ra khiêu vũ ?
Đ á p sô:

1) C à

2} C22x cỊs

3) C-22* c ;8*3!

Bài 5: Người ta dùng 5 cột cờ đế báo hiệu trên biển. Biết
rằng có tất cả 7 màu cờ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu tín
hiệu khác n hau nếu:
1 ) Dùng m àu tùy ý.
2 ) Dùng 5 m àu khác nhau.

3) Hai cột k ế tiếp không được cùng màu.
Đ á p sô:

1)

Aj = 75

2)

AỈ

3) 7 X 6 X 6 X 6 X 6

Bải 6: Một lớp học 30 sinh viên trong đó có 20 nam. Có bao
nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1
lớp phó, 1 ủy viên học tập, 1 úy viên đời sông. Nếu:
1 ) Chọn bất kỳ
3) Có đúng một nam
5) Có ít nhâd một nam

2) Lớp trướng là nữ
4) Toàn là nữ

19


Chương 0: Vài yếu lô' về tập hợp và giải tích tổ hợp

Đáp sơ:
C 30 x C 29 X C 28 x A 21

1)

A ĩ0

2)

C Ỉ o X/ í »

4)

Ato

’

3)

>

c 30 x 4!

d o Xc í o X4!
oC
l x 4!
doX
do

5) d o Xd o X4! +
hoặc ( d o - d o )

1

X

X

4! +

X

do

X

4!

Bải 7: Cùng câu hỏi như bài sô' 6, n ế u Ban cán sự gồm: 1
lớp trưởng, 2 lớp phó, và 1 ủy viên đời sơng.
Đ á p số:
1) d o X/>4(2)
3) d o Xd o X/>4(2)

2)
4)

cỊox d 9 x / M 2 )
d o X/>4(2)

5) ( d o - do) X/>4 (2)
Bài 8: Có bao nhiêu sô' n: 100 < n <999 sao cho n gồm:

1) 3 chữ sô' khác n h a u
2) 3 chữ số lẽ
3) n lẽ và thỏa 1)
4) n c h ẵ n và thỏa 1)
Giai:
1)

20

n = a b ca G {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9b=^A
b, c G 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = B
Giai doạn 1: chọn a, có 9 cách.
Giai đoạn 2: chọn b G B \ |a}, có 9 cách.
Giai đoạn 3: chọn c G B\{a,b|, có 8 cách
Vậy số cách là : 9 X 9 X 8 = 648

4! + d o