Đề thi HSG môn Toán 10 năm học 2019-2020

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

<b>TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG</b> <b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2019 – 2020</b>
<b>Mơn thi: Tốn - Lớp: 10</b>

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

<b>Câu 1</b>

(

<i>4 điểm</i>

). Cho hàm số y = -x

2

_{+ 2(m + 1)x + 1 – m}

2

_{(m là tham số).}

a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,

B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2).

b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

<b>Câu 2</b>

(

<i>6 điểm</i>

).

a) Giải phương trình:

2
2

3(4 9)

2 3

3 3

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>



 


b)

Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm.

c) Giải hệ phương trình:





2 2 2 2

9 3 3 2 5

( )( 3) 3( ) 2

<i>x y</i> <i>x y</i> <i>y</i>

<i>x y x</i> <i>xy y</i> <i>x</i> <i>y</i>

 _{  } _ _{ }




      




<b>Câu 3</b>

(

<i>6 điểm</i>

).

a) Cho ABC và hai điểm M, N thay đổi sao cho:

⃗_MN₌₄⃗_MA_+⃗_MB<i>₋</i>₂⃗_MC

_.

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.

b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng

1

4

_{. Đặt a = BC, b = AC, c = AB. Chứng}

minh rằng: cotA + cotB + cotC = a

2

_{+ b}

2

_{+ c}

2

_.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 3). Tìm tọa độ

điểm M nằm trên trục hồnh sao cho góc

<i>AMB</i>ˆ

_bằng

450

_.

<b>Câu 4</b>

(

<i>2 điểm</i>

). Một chủ hộ kinh doanh có 32 phịng trọ cho th. Biết giá cho th

mỗi tháng là 2.000.000đ/1 phịng trọ, thì khơng có phịng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi

phòng trọ lên 200.000đ/1 tháng, thì sẽ có 2 phịng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh

sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

<b>Câu 5</b>

(

<i>2 điểm</i>

). Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

1 2020

<i>A</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy yz zx</i>

 

   

_.

<i>---HẾT---Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!</i>

<i>Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...</i>

<i>Chữ ký giám thị coi thi số 1:</i>

<i>Chữ ký giám thị coi thi số 2:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
<b>TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG</b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b>

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG</b>
<b>NĂM HỌC 2019 – 2020</b>

<b>Môn thi: Toán - Lớp: 10</b>

<b>I. Hướng dẫn chung</b>

<b>II. Đáp án và thang điểm</b>

<b>Câu</b> <b>Đáp án</b> <b>Điểm</b>

<b>Câu 1</b>
(4 điểm)

a) Phương trình hoành độ giao điểm:

2 ₂₍ ₁₎ ₁ 2 ₀ 2 ₂₍ ₁₎ 2 _{1 0}

<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x m</i>

            ₍₂₎ 0.5

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương
trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

2 2

' 0 (<i>m</i> 1) <i>m</i> 1 0 2<i>m</i> 2 0 <i>m</i> 1

              _.

0.5
Gọi các nghiệm của phương trình (2) là <i>x x</i>1, 2.

Tọa độ các giao điểm <i>A B</i>, là <i>A x</i>( ;0), ( ;0)1 <i>B x</i>2 _;<i>KA</i> (<i>x</i>1 2;2),<i>KB</i> (<i>x</i>2 2;2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

0.5

1 2 1 2 1 2

. 0 ( 2)( 2) 4 0 2( ) 8 0

<i>KA</i><i>KB</i>              <i>KA KB</i>    <i>x</i>  <i>x</i>     <i>x x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  

2 _{1 2.2(} _{1) 8 0} 2 ₄ _{3 0} 1

3

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>



        _{   }



 _.

Kết hợp điều kiện <i>m</i> 1_{, ta được}<i>m</i>1_,<i>m</i>3_.

0.5

b) <i>y</i><i>x</i>22(<i>m</i>1)<i>x</i> 1 <i>m</i>2  <i>y</i><i>x</i>22(<i>m</i>1)<i>x</i> (<i>m</i>1)2(<i>m</i>1)2 1 <i>m</i>2
2

( 1) 2 2

<i>y</i> <i>x m</i> <i>m</i>

      _. 0.5

2 2

<i>y</i> <i>m</i>

   _{, với mọi x}__R. _0.5

Dấu " " xảy ra khi <i>x m</i> 1_{. Giá trị lớn nhất của hàm số là}2<i>m</i>2_. 0.5

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2<i>m</i>  2 6 <i>m</i>2_. 0.5
<b>Câu 2</b>

(6 điểm)

a) Điều kiện: x < -1 hoặc x > 1 0.5

Phương trình
2

2
2

3(4 9)

2 3 3(2 3)(2 3) (2 3) 3 3

3 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>


       

 0.5

2

2 2

3

2 3 0 2

2 3 0

3 3 3(2 3)

3 3 9(2 3)

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>





 





 _ 

 




  

 _

 _ _ _




0.5

2

3

2 3

3 ₂

2
2

33 108 84 0

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>







 _ 

 _ 

 



_ _ _

  _ _ _



 _{. Vậy phương trình có hai nghiệm x =}

-3/2, x = 2.

0.5

b) Điều kiện: x  R. Phương trình  (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = m (1) 0.5

Đặt t = x2_{+ 8x + 16 = (x + 4)}2_{, điều kiện t}__{0. (1)}__{(t – 9) (t – 1) = m}

 t2 – 10t + 9 = m (2), t  0

0.5

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Xét hàm số f(t) = t2_{– 10t + 9, t}__0.

0.5

Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  0  Đường thẳng y = m có điểm

chung với đồ thị hàm số f(t) = t2_{– 10t + 9, t}_₀__m__-16. 0.5

c) Điều kiện:

3 3 0

2 0

<i>x y</i>
<i>x y</i>

  




 

 _{. Từ phương trình (1)}__{(x – 1)}3_{= (y + 1)}3__{y = x – 2.} 0.5

Với y = x – 2 thay vào (2), ta được: 9



4<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2



 <i>x</i> 3



 







9 4<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2 4<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2 (<i>x</i> 3) 4<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2

           

4<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2 9

    

0.5

4<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2 9 ( 4<i>x</i> 1 5) ( 3<i>x</i> 2 4) 0

           

4

24

3

18

4

3

0

(

6)

0

4

1 5

3

2 4

4

1 5

3

2 4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>













 



_



_



 







 







0.5

 x = 6, vì

4

3

0

4

<i>x</i>

 

1 5



3

<i>x</i>



2 4





_{. Vậy hệ có nghiệm (6; 4)} 0.5

<b>Câu 3</b>
(6 điểm)

a) Gọi I là điểm thỏa mãn

4

<i>IA IB</i>





2

<i>IC</i>



0

















































































































3

<i>IA AB</i>

2

<i>AC</i>

0

























































































































0.5

3

<i>IA</i>

2

<i>AC AB AD AB BD</i>













⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

1

3

<i>IA</i>

<i>BD</i>





























































0.5
Với D là điểm thỏa mãn C là trung điểm của đoạn AD. Vì A, B, C cố định nên D cố

định, suy ra I cố định. 0.5

Suy ra M, N, I thẳng hàng hay MN đi qua điểm I cố định. 0.5
b) Áp dụng các: sin 2

<i>a</i>
<i>A</i>

<i>R</i>


;

2 2 2

cos

2

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>A</i>

<i>bc</i>
 


; 4
<i>abc</i>
<i>S</i>

<i>R</i>

 0.5

Suy ra:

2 2 2 2 2 2

cos
cot

sin 4

<i>A</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>A</i>

<i>abc</i>

<i>A</i> <i>S</i>

<i>R</i>

   

  

0.5

Tương tự:

2 2 2

cot

4
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>B</i>

<i>S</i>
 


;

2 2 2

cot

4
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>C</i>

<i>S</i>
 

 _0.5

Suy ra: cotA + cotB + cotC = a2_{+ b}2_{+ c}2_. _0.5

c) Điểm <i>M</i> mằm trên trục hoành nên gọi M(m;0) ,  (1 ;2)



<i>MA</i> <i>m</i> <b>_,</b><i>MB</i>(4 <i>m</i>;3) 0.5
0

2 2 2 2

(1 )(4 ) 2.3
cos45

(1 ) 2 (4 ) 3

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

  



    0.5

4 ₁₀ 3 ₄₄ 2 ₁₁₀ _{75 0} ₍ 2 ₆ ₅₎₍ 2 ₄ _{15) 0}

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

            0.5

 m =1 hoặc m = 5 . Kết luận: M(1;0) hoặc M(5;0). 0.5

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

(2 điểm)

1 phòng là: (2000 + 200x) ngàn.

Số tiền thu được trong 1 tháng là: T = (32 – 2x)(2000 + 200x) ngàn 0.5
Áp dụng BĐT cosi, ta được: T = 400(16 – x)(10 + x)

2

16 10

400 67600

2
<i>x</i> <i>x</i>
  

 

 _ _ 

  0.5

Dấu bằng xảy ra khi x = 3, vậy để có thu nhập mỗi tháng cao nhất thì giá là

2.600.000đ/1 phòng. 0.5

<b>Câu 5</b>
(2 điểm)

Chứng minh BĐT:

1 1 1 9

<i>x</i> <i>y</i><i>z</i> <i>x y z</i>  _{(*) với mọi x, y, z > 0. Đẳng thức xảy ra khi}
x = y = z.

0.5

Chứng minh BĐT:

2

( )

3
3

<i>x y z</i>
<i>xy yz zx</i>     

, đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. 0.5

Khi đó: 2 2 2

1 1 1 2018

<i>A</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy yz zx</i> <i>xy yz zx</i> <i>xy yz zx</i>

   

       

2 2 2

9 2018

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy yz zx xy yz zx</i> <i>xy yz zx</i>

 

         

2

9 2018 2021

(<i>x y z</i>) <i>xy yz zx</i> 3

  

   

0.5

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
2021

</div>

<!--links-->