Một số phương pháp tính toán dựa trên từ ngôn ngữ trực cảm và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T NHIấN
--------------------------

NGUYN TIN DNG

một số quá trình ngẫu nhiên

phân thứ vµ øng dơng trong tµi chÝnh

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội-2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T NHIấN
----------------------------

NGUYN TIN DNG

một số quá trình ngẫu nhiên

phân thứ vµ øng dơng trong tµi chÝnh
Chun ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:
62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO

Hµ Néi - 2011


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai
cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Tiến Dũng

i


Lời cảm ơn
Trước tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS.TS.
Trần Hùng Thao, người Thày đã và đang hướng dẫn, đào tạo tôi nghiên
cứu khoa học rất nhiệt tình, giúp tơi ngày càng có thêm niềm say mê
nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tơi
hồn thành bản luận án này.
Tiếp theo tôi muốn bày tỏ những lời cảm ơn tới các thành viên
trong Bộ môn Xác suất Thống kê đã thường xuyên giúp tôi trong việc
trau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học. Đặc biệt tôi muốn cảm ơn
GS.TS. Nguyễn Văn Hữu, người đã cho tôi tham gia xê mi na Tốn tài
chính của ơng và ln cho tơi những lời nhận xét quý báu.
Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại
học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên,

Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng sau đại học đã tạo những
điều kiện để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tơi hồn thành thủ tục bảo
vệ luận án.
Cuối cùng, tơi xin gửi lịng biết ơn sâu sắc của mình đến gia đình,
họ hàng, bạn bè thân thiết, những người đã rất hiểu và luôn đứng bên
cổ vũ tôi.
Hà nội, 03/2011
NCS: Nguyễn Tiến Dũng.

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Bảng ký hiệu

vi

Mở đầu

1

1 Chuyển động Brown phân thứ

5

1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Tính chất nhớ lâu của fBm . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Biểu diễn Volterra của fBm . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo . . . . . .

11

1.4.1

Tích phân phân thứ tất định . . . . . . . . . . . .

11

1.4.2

Tích phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . .

15

2 Phương pháp xấp xỉ semimartingale

17

2.1 Các kết quả xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2

Một lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích . . . .

25

2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . .

26

2.3.1

Các quá trình kiểu Ornstein-Uhlenbeck phân thứ
iii

27


2.3.2

Các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ
với hệ số dịch chuyển đa thức . . . . . . . . . . .

2.3.3

32

Các quá trình hồi phục trung bình hình học phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4 Lọc tuyến tính ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . .

46

3 Các ứng dụng trong Tài chính

49

3.1 Mơ hình quản lý tài sản và nợ trong bảo hiểm . . . . . .

49

3.2 Mơ hình Black-Scholes phân thứ . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2.1

Mở rộng kết quả xấp xỉ . . . . . . . . . .�ối xứng hóa nó
bởi
[
1
fn (t1 , ..., tn+1 ) =
fn (t1 , ..., tn+1 )
n+1
]
+ fn (t2 , ..., tn+1 , t1 ) + ... + fn (t1 , ..., tn−1 , tn+1 , tn ) (A.10)
Định nghĩa A.4. Cho u(t), t ∈ [0, T ] là một quá trình ngẫu nhiên đo
được thỏa mãn với mọi t ∈ [0, T ], biến ngẫu nhiên u(t) là FT -đo được
và E[u2 (t)] < ∞. Giả sử khai triển Wiener-Itô của u(t) là
u(t) =

∞
∑

In (fn,t ) =

n=0

∞
∑

In (fn (., t)).

n=0

Với fn xác định như công thức (A.10), ta định nghĩa tích phân Skorohod
của u bởi

∫T
δ(u) =

u(t)δW (t) :=

∞
∑
n=0

0

80

In+1 (fn )

(A.11)


nếu chuỗi trong vế phải hội tụ trong L2 (P ). Nếu u là khả tích Skorohod,

ta viết u ∈ Dom(δ).
Chú ý. Từ (A.9), quá trình ngẫu nhiên u thuộc vào Dom(δ) nếu
và chỉ nếu

∞
∑
E[δ(u) ] =
(n + 1)!∥fn ∥2L2 ([0,T ]n+1 ) < ∞.
2

n=0

[

Ta đặt ∥u∥2L2 (P ×λ) = E

∫T

(A.12)

]
u2 (t)dt < ∞ thì từ đẳng thức trên suy

0

ra rằng Dom(δ) ⊆ L (P × λ).
∫T
Ví dụ. Tính tích phân W (T )δW (t).
2

0

∫T

Đầu tiên ta phải tìm khai triển Wiener-Itô của u(t) = W (T ) =
1dW (t). Như vậy, f0 = 0, f1 = 1, fn = 0, n ≥ 2. Do đó

0

∫T

∫T ∫t2
1dW (t1 )dW (t2 ) = W 2 (T ) − T.

W (T )δW (t) = I2 (f1 ) = I2 (1) = 2
0

0

0

Từ ví dụ trên ta có thể thấy rằng nếu u ∈ Dom(δ) và ngay cả khi
G là biến ngẫu nhiên FT -đo được thỏa mãn Gu ∈ Dom(δ) thì tổng qt
ta có

∫T

∫T
Gu(t)δW (t) ̸= G

0

Ví dụ. Tính

∫T

u(t)δW (t)
0

W (t)[W (T )−W (t)]δW (t). Đầu tiên ta có khai triển

0

Wiener-Itơ
∫T
W (t)[W (T ) − W (t)] =

W (t)χ{t0

∫T ∫t2
=

χ{t1 0

81

0

Do đó
u(t) = W (t)[W (T ) − W (t)] = I2 (f2,t ),
trong đó
1
f2,t (t1 , t2 ) = f2 (t1 , t2 , t) = (χ{t1 2
Ta tìm được
1
1
1
δ(u) = I3 (f2 ) = I3 ( ) = I3 (1) = [W 3 (T ) − 3T W (T )].
6
6
6
A.2.2

Các tính chất cơ bản của tích phân Skorohod

Đầu tiên từ định nghĩa của tích phân ta dễ dàng thấy rằng tích
phân Skorohod là một tốn tử tuyến tính thỏa mãn:
u ∈ Dom(δ) =⇒ δ(u) ∈ L2 (P ).
Ngồi ra ta cũng có một vài tính chất quen thuộc như tích phân cổ điển.
Mệnh đề A.1. Cho t ∈ [0, T ] và u ∈ Dom(δ). Ta có uχ(0,t] , uχ(t,T ] ∈
Dom(δ) và
∫t

∫T
u(s)δW (s) =

u(s)χ(0,t] (s)δW (s),

0

0

∫T

∫T
u(s)δW (s) =

t

∫T

0

∫t
u(s)δW (s) =

0

u(s)χ(t,T ] (s)δW (s),
∫T

u(s)δW (s) +

u(s)δW (s).
t

0

Mệnh đề A.2. Cho u ∈ Dom(δ). Tích phân Skorohod có kỳ vọng bằng
khơng:
E[δ(u)] = 0.
82


A.2.3

Tích phân Skorohod là một mở rộng của tích phân Itơ

Bổ đề A.1. Cho u là một q trình ngẫu nhiên đo được thỏa mãn rằng
với mọi t ∈ [0, T ], biến ngẫu nhiên u(t) là FT -đo được và E[u2 (t)] < ∞.
Giả sử khai triển Wiener-Itô của u là
u(t) =

∞
∑

In (fn (., t)).

n=0

Khi đó u là F-tương thích nếu và chỉ nếu
fn (t1 , ..., tn , t) = 0

nếu t < max ti .
1≤i≤n

(A.13)

Định lý A.2. Cho u là q trình ngẫu nhiên F-tương thích thỏa mãn
[ ∫T
E

]
u2 (t)dt < ∞.

0

Khi đó u ∈ Dom(δ) và tích phân Skorohod trùng với tích phân Itơ:
∫T

∫T
u(s)δW (s) =

u(s)dW (s).

0

A.3

(A.14)

0

Đạo hàm Malliavin

Định nghĩa A.5. Cho biến ngẫu nhiên F ∈ L2 (P ) là FT -đo được với khai

triển
F =

∞
∑

In (fn ),

n=0

trong đó fn ∈ L2 ([0, T ]n ), n = 1, 2, ....
1. Ta nói rằng F ∈ D1,2 nếu
∥F ∥2D1,2

:=

∞
∑

nn!∥fn ∥2L2 ([0,T ]n ) < ∞.

n=0

83

(A.15)


2. Nếu F ∈ D1,2 , ta định nghĩa đạo hàm Malliavin Dt F của F tại thời
điểm t như sau

Dt F =

∞
∑

nIn−1 (fn (., t)) , t ∈ [0, T ],

(A.16)

n=0

ở đó In−1 (fn (., t)) là tích phân lặp bội (n − 1) của fn (t1 , ..., tn−1 , t)
theo (n − 1) biến đầu tiên và tn = t như là một tham số.
Chú ý. Nếu (A.15) xảy ra thì
[ ∫T
∥Dt F ∥2L2 (P ×λ) = E

] ∑
∞ ∫T
(Dt F )2 dt =
n2 (n − 1)!∥fn (., t)∥2L2 ([0,T ]n ) dt

0

=

∞
∑

n=0 0

nn!∥fn ∥2L2 ([0,T ]n ) = ∥F ∥2D1,2 < ∞. (A.17)

n=0

Như vậy D. F = Dt F, t ∈ [0, T ] được định nghĩa tốt như một phần tử
của không gian L2 (P × λ).
Định lý A.3. (Tính đóng của đạo hàm Malliavin)
Giả sử F ∈ L2 (P ) và Fk ∈ D1,2 , k = 1, 2.... thỏa mãn
(1) Fk → F khi k → ∞ trong L2 (P ).
2
(2) {Dt Fk }∞
k=1 hội tụ trong L (P × λ).

Khi đó F ∈ D1,2 và Dt Fk → Dt F, k → ∞ trong L2 (P × λ).
A.3.1

Tính tốn đạo hàm Malliavin

Ký hiệu D01,2 là tập tất cả các biến ngẫu nhiên F ∈ L2 (P ) mà khai
triển Wiener-Itơ của nó chỉ có hữu hạn phần tử.
Định lý A.4. (Quy tắc tích)
Giả sử F1 , F2 ∈ D01,2 . Khi đó F1 , F2 ∈ D1,2 và F1 F2 ∈ D1,2 với
Dt (F1 F2 ) = F1 Dt F2 + F2 Dt F1 .
84

(A.18)


Định lý A.5. (Quy tắc xích)

Giả sử G ∈ D1,2 và hàm g ∈ C 1 (R) với đạo hàm bị chặn. Khi đó g(G) ∈
D1,2 và
Dt g(G) = g ′ (G)Dt G.

A.3.2

(A.19)

Đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod

Định lý A.6. (Cơng thức đối ngẫu: tích phân Skorohod như một
tốn tử đối ngẫu của đạo hàm Malliavin)
Cho F ∈ D1,2 là FT -đo được và u ∈ Dom(δ). Khi đó
]
[ ∫T
]
[ ∫T
u(t)Dt F dt .
E F u(t)δW (t) = E

(A.20)

0

0

Định lý A.7. (Cơng thức tích phân từng phần)
Cho u ∈ Dom(δ) và F ∈ D1,2 thỏa mãn F u(t) ∈ Dom(δ) với mọi t. Khi
đó

∫T
F

∫T
u(t)δW (t) =

0

∫T
F u(t)δW (t) +

0

u(t)Dt F dt.

(A.21)

0

Định lý A.8. (Định lý cơ bản)
Cho u(s), s ∈ [0, T ] là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn
[ ∫T

]
u (s)ds < ∞
2

E

(A.22)

0

và giả sử rằng với mọi s, u(s) ∈ D1,2 và với mọi t, Dt u ∈ Dom(δ). Giả
sử thêm rằng
[ ∫T

]
(δ(Dt u)) dt < ∞.
2

E
0

85

(A.23)


Khi đó

∫T

u(s)δW (s) ∈ D1,2 và

0

( ∫T
Dt

)
u(s)δW (s)

∫T
=

0

Dt u(s)δW (s) + u(t).

(A.24)

0

Đặc biệt nếu u là F-tương thích thì ta có
( ∫T
Dt

)
u(s)dW (s)

0

∫T
=

Dt u(s)dW (s) + u(t).
t

86

(A.25)


Phụ lục B
Bổ đề Gronwall
Định lý B.1. Cho u và f là các hàm liên tục và không âm trên đoạn
I = [a, b]. Giả sử η(t) là hàm liên tục, dương và khơng giảm trên I. Khi
đó nếu bất đẳng thức sau xảy ra
∫t
u(t) ≤ η(t) +

f (s)u(s)ds , t ∈ I

(B.1)

a

thì

( ∫t
u(t) ≤ η(t) exp

)
f (s)ds

, t ∈ I.

(B.2)

a

Định lý B.2. Cho u, f, g, h là các hàm liên tục và không âm trên đoạn
I = [a, b] và
∫t
u(t) ≤ f (t) + g(t)

h(s)u(s)ds , t ∈ I.

(B.3)

a

Khi đó
( ∫t

∫t
u(t) ≤ f (t) + g(t)

h(s)f (s) exp
a

s

87

)
h(x)g(x)dx ds , t ∈ I.

(B.4)