CHUYÊN ĐỀ Một số phương pháp tính tổng của dãy số (số học 6)

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>Một số phương pháp tỉnh tổng của dãy số (số học 6)</b>

<b>1. Xây dựng các công thức tổng quát</b>

<b>1.1. Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100</b>
<b>Giải</b>

A = 100(100 + 1):2 = 5050

* Công thức tổng quát: A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n + 1) : 2
<b>1.2. Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 22_{+ 2}3_{+ 2}4_{+ … + 2}10</b>

<b>Giải</b>

2A = 2 + 22_{+ 2}3_{+ 2}4_{+ … + 2}10_{+ 2}11
Khi đó 2A – A = A = 211_{– 1}

<i><b>*Công thức tổng quát: A = 1 + a + a</b><b>2</b><b>_{+ a}</b><b>3</b><b>_{+ a}</b><b>4</b><b>_{+ … + a}</b><b>n</b></i>

<i>Nhân cả hai vế của A với a ta có a.A = a + a2_{+ a}3_{+ a}4_{+ ... + a}n_{+ a}n+1</i>

<i>aA – A = ( a – 1)A = an+1_{– 1. Vậy}<b>_{A = (a}</b><b>n + 1</b><b>_{– 1): (a – 1) ; (a ≥ 2)}</b></i>
<i>Từ đó ta có cơng thức : an+1_{– 1 = ( a – 1)( 1 + a + a}2_{+ a}3_{+ ... + a}n_{) .}</i>
* Bài tập vận dụng: Tính tổng.

2 3 2007

2 3 100

) 1 7 7 7 ... 7

) 1 4 4 4 ... 4

<i>a A</i>
<i>b B</i>

     

     

c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 Chia hết cho 3

d) Chứng minh rằng: 20152015_{– 1 Chia hết cho 2014}

<b>1.3. Tính tổng của dãy số: A= 1 + 32_{+ 3}4_{+ 3}6_{+ 3}8_{+ ... + 3}100</b>

<b>Giải</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta có: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102

A = 1 + 32_{+ 3}4_{+ 3}6_{+ 3}8_{+ ... + 3}100

32_{A - A = 3}102_{- 1 . Hay A( 3}2_{- 1) = 3}102_{- 1}

<i><b>* </b><b>Công thức tổng quát: A= 1 + a</b><b>2</b><b> + a</b><b>4</b><b> + a</b><b>6</b><b> + a</b><b>8</b><b> + ... + a</b><b>2n</b></i>

<i>Ta có: </i> <i>a2_{A = a}2_{+ a}4_{+ a}6_{+ a}8_{+ ... + a}2n_{+ a}2n + 2</i>

<i> A = 1 + a2_{+ a}4_{+ a}6_{+ a}8_{+ ... + a}2n</i>

<i>a2_{A - A = a}2n+2_{- 1 . Hay A( a}2_{- 1) = a}2n +2_{- 1}</i>

<i>Hay<b> A = (a</b><b>2n +2</b><b>_{– 1):( a}</b><b>2</b><b>_{- 1)}</b></i>

*Bài tập áp dụng: Tính tổng. B = 1 + 22_{+ 2}4_{+ 2}6_{+ 2}8_{+ 2}10 _{+ ... + 2}200
<b>1.4. Tính tổng của dãy số: A = 7 + 73_{+ 7}5_{+ 7}7_{+ 7}9_{+ ... + 7}99</b>

<b>Giải</b>

Tương tự như trên ta có:

72_{B = 7}3_{+ 7}5_{+ 7}7_{+ 7}9_{+ ... + 7}99_{+ 7}101

B = 7 + 73_{+ 7}5_{+ 7}7_{+ 7}9_{+ ... + 7}99

72_{B - B = 7}101_{- 7 , hay B( 7}2_{- 1) = 7}101_{– 7}

<i><b>* </b><b>Công thức tổng quát: A= 1 + a</b><b>3</b><b> + a</b><b>5</b><b> + a</b><b>7</b><b> + a</b><b>9</b><b> + ... + a</b><b>2n+1</b></i>

<i>Ta có: </i> <i>a2_{A = a}3_{+ a5 + a}7_{+ a}9_{+ ... + a}2n+1_{+ a}2n + 3</i>

<i> A = 1 + a3_{+ a}5_{+ a}7_{+ a}9_{+ ... + a}2n+1</i>

<i>a2_{A - A = a}2n+3_{- 1 . Hay A( a}2_{- 1) = a}2n +3_{- 1}</i>

<i>Hay<b> A = (a</b><b>2n + 3</b><b>_{– 1):( a}</b><b>2</b><b>_{- 1)}</b></i>

*Bài tập áp dụng: tính tổng. C = 5 + 53_{+ 5}5_{+ 5}7_{+ 5}9_{+ ... + 5}101

D = 13 + 133_{+ 13}5_{+ 13}7_{+ 13}9_{+ ... + 13}99

<b>1.5. Tính tổng của dãy số: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + 8.9</b>
<b>Giải</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5)
+ 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8)

= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
= 9.10.11 = 990.

A = 990:3 = 330

Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số
tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp.

<i><b>*Công thức tổng quát:</b><b> </b></i>

<i><b>A = 1.2 + 2.3 + </b><b>…</b><b> + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1) : 3</b></i>

* Bài tập áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100
B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99
C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 98.100

<i>(Gợi ý: Bài B và C khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng là 2)</i>

<b>1.6. Tính tổng của dãy số: B = 12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2_{+ … + 99}2</b>

<b>Giải</b>

<i><b>*Nhận xét: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100</b></i>
A = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100

A = 1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + … + 99.(98 + 100)

A = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + … +99.99.2 = (12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ …9 + 9}2_).2
A = (12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ …+ 99}2_).2

Theo cách giải dạng 1.1.5 ta có A = (12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ …+ 99}2_{).2 = 99.100.101 :3}
Vậy ta có: B = 12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ …+ 99}2_{= 99.100.101 :6}

<i><b>* Công thức tổng quát: </b></i>

<i><b>A = 1</b><b>2</b><b>_{+ 3}</b><b>2</b><b>_{+ 5}</b><b>2</b><b>_{+ 7}</b><b>2</b><b>_{+ … + (2n + 1)}</b><b>2</b><b>₌</b></i>

<i><b>= (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3) : 6</b></i>

*Bài tập áp dụng. Tính tổng: Q = 112_{+ 13}2_{+ 15}2_{+ … + 2009}2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Giải</b>
<i><b>* Nhận xét</b><b> : </b></i>

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + 100.101

= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9)... + (99.100 + 100.101)
= 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) +...+ 100( 99 + 101)

= 2.4 + 4.8 + 6.12 + ... + 100.200 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + ... + 2.100.100
= 2.22_{+ 2.4}2_{+ 2.6}2_{+ ... + 2.100}2_{= 2.( 2}2_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ ... + 100}2₎

A = 2.(22_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ ... + 100}2₎
Theo cách giải dạng 1.5 ta có:

A = 2.(22_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ ... + 100}2_{) = 100.101.102 :3}

Vậy ta có : B = 22_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ …+ 100}2_{= 100.101.102 : 6}

<i><b>*Công thức tổng quát : A = 2</b><b>2</b><b>_{+ 4}</b><b>2</b><b>_{+ 6}</b><b>2</b><b>_{+ …+ (2n)}</b><b>2</b><b>_{= 2n.(2n + 1).(2n + 2) :6}</b></i>
*Bài tập áp dụng :

1. Tính tổng : 202_{+ 22}2_{+ … + 48}2_{+ 50}2_.

2. Cho n thuộc N*. Tính tổng : n2_{+ (n + 2)}2_{+ (n + 4)}2_{+ …+ (n + 100)}2_.
<b>1.8. Tính tổng của dãy số: A = 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ … + 100}2</b>

<b>B = 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ … + 99}2</b>

<b>Giải</b>

<b>* A = 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ … + 100}2</b>

<i>Cách 1: </i>A = 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ … + 100}2

A = (12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ … + 99}2_{) + (2}2_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ … + 100}2₎
A = (99.100.101 + 100.101.102) : 6

A = 100.101.(99 + 102):6 = 100.101.(2.100 + 1):6

<i>Cách 2</i>:

A = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ 100²

A = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + 100.100

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 +…+ 100(100 + 1 ) – 100

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 100( 100 + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + … + 100 )
A = 100.101.102:3 – 100.101: 2 =100.101.(102:3 – 1:2) =100.101.(2.100 + 1):6
<b>* B = 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ … + 99}2</b>

<i>Cách 1: </i>B = 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ … + 99}2

B = (12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ … + 99}2_{) + (2}2_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ … + 98}2₎
B = (99.100.101 + 98.99.100) : 6

B = 99.100.(98 + 101):6 = 99.100.(2.99 + 1):6

<i>Cách 2</i>:

B = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ 99²

B = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + 99.99

B = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + … + …99[(99+1)-1]

B = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 +…+ 99(99 + 1 ) – 99

B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 99( 99 + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + … + 99 )
B = 99.100.101:3 – 99.100: 2 =99.100.(101:3 – 1:2) =99.100.(2.99 + 1):6

<i><b>*Công thức tổng quát: A = 1</b><b>2</b><b>_{+ 2}</b><b>2</b><b>_{+ 3}</b><b>2</b><b>_{+ … + n}</b><b>2</b><b>_{= n.(n + 1)(2n + 1):6}</b></i>
*Bài tập áp dụng. Tính tổng: M = 1 + 22_{+ 3}2_{+ 4}2_{+ 5}2_{+ …+ 99}2

P = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000
Q = - 12_{+ 2}2_{– 3}2_{+ 4}2_{- … - 19}2_{+ 20}2_.
<b>1.9. Tính tổng của dãy số: A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 7.8.9 + 8.9.10</b>
<b>Giải</b>

<i><b>*Nhận xét: Ở dạng toán 1.1. mỗi hạng tử của của tổng A có 1 thừa số thì ta nhận với 2</b></i>
lần khoảng cách. Ở dạng toán 1.5mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với
3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Theo cách đó , trong bài này ta nhân hai vế của A
với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán như sau
:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4
4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]

4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + …– 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A =
8.9.10.11 . Vậy A = 8.9.10.11 : 4 = 1980 : 4.

<i><b>*Công thức tổng quát:</b></i>

<i><b>A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)</b></i>
*Bài tập áp dụng. Tính tổng: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ 99.100.101

B = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99
<i>*Gợi ý: </i>

<i>Ở câu B ở đây khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng của tổng B là 2, ta</i>
<i>có:</i>

8B = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

8B= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93)

8B = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 -
93.95.97.99

8B = 15 + 95.97.99.101

<b>1.10. Tính tổng của dãy số sau: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + 100³</b>
<b>Giải</b>

Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây : với n là số tự nhiên thì ta có
n2_{– n = (n – 1)(n + 1) . Thật vậy : n}2_{– n = n( n}2_{– 1) = n( n}2_{– n + n – 1) =}

n(n2 – n) + ( n – 1) = nn(n – 1) + ( n – 1) = (n – 1)n( n + 1) đpcm

Áp dụng kết quả trên để ta tính A

Ta có A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + 100³

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

A = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (100 – 1 ).100.( 100 + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 +
… + 100)

A =

(100−1).100.(100+1).(100+2)

4 +

100 .(100+1)

2 =....=

(

100(100+1)

2

)

2

<i><b>*Công thức tổng quát: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³</b></i>

A = 13_{– 1 + 2}3_{– 2 + 3}3_{– 3 + 4}3_{– 4 + 5}3_{– 5 +…+ n}3_{– n + ( 1 + 2 + 3 + …+ n )}

A = 0 + 2( 22_{– 1 ) + 3( 3}2_{– 1 ) + 4( 4}2_{– 1 ) + …+ n( n}2_{– 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n )}
A = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n )
A = (<i>n</i>−1)<i>n</i>(<i>n</i>₄+1)(<i>n</i>+2)+<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2 =<i>n</i>(<i>n</i>+1)

[

(<i>n</i>−1)(<i>n</i>+2)

4 +

1
2

]

A = n( n + 1). <i>n</i>²+<i>n</i>₄−2+2 = n( n + 1 ). <i>n</i>(<i>n</i>₄+1)=<i>n</i>²(<i>n</i>+1)²

2² =

[

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

]

²

<b>Nhận xét : Với </b> <i>n</i>(<i>n</i>+1)

2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n , nên ta có cơng thức tổng qt

sau:

<i><b>A =</b><b>1</b><b>³</b><b> + 2</b><b>³</b><b> + 3</b><b>³</b><b> + 4</b><b>³</b><b> + 5</b><b>³</b><b> +</b><b>…</b><b> + n</b><b>³</b><b> = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + </b><b>…</b><b> + n )</b><b>²</b></i>

<b>2. Phương pháp dự đoán và quy nạp</b>

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + .... an (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho
biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này để giải quyết bài tốn

<b>Ví dụ 1 : Tính tổng </b> Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
<b>Giải</b>

Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1
S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
... ... ...

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Với n = 1;2;3… ta đều thấy kết quả đúng, giả sử với n= k ( k ¿ 1)_{ta cã:}

Sk = k 2 (2)
Ta cần chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)
Thật vậy ; cộng hai vế của (2) với 2k +1 ta có
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2_{+ (2k +1)}
v× k2_{+ ( 2k +1) = ( k +1)}2_{nên ta có (3) tức là S}

k+1 = ( k +1) 2
Theo nguyên lí quy nạp bài toán đực chứng minh

Vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học
1, 1 + 2+3 + .... + n =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

2, 12_{+ 2} 2_{+ ... + n}2₌

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

3, 13₊₂3_{+ ... + n}3₌

[

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

]

2

4, 15 _{+ 2}5_{+ .... + n}5 ₌

1

12 _.n2_{(n + 1)}2 _{( 2n}2_{+ 2n – 1 )}
<b>3. Phương pháp khử liên tiếp</b>

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , I = 1,2,3,4…, qua hiệu hai số hạng
liên tiếp của một dãy số khác, chính xác hơn,

giả sử: a1 = b1 - b2 , a2 = b2 - b3 , .... .... ..., an = bn – bn+ 1
Khi đó ta có ngay

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1

<b>Ví dụ 1: Tính tổng S = </b>

1
10.11+

1
11.12+

1

12.13+...+
1
99 .100

<b>Giải</b>
Ta có :

1

10.11=

1
10−

1

11 _,
1

11.12=

1
11−

1

12 _,
1
99 .100=

1

99−

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Do đó : S =
1
10−
1
11+
1
11−
1

12+... ... .+
1
99−
1
100=
1
10−
1
100=
9
100

<i><b>* Dạng tổng quát: S</b><b>n</b><b> = </b></i>

1
1.2+

1

2.3+...+
1

<i>n</i>(<i>n</i>+1) <i><b></b></i>_{= 1-}
1

<i>n</i>+1=

<i>n</i>

<i>n</i>+1 <i><b>_{( n > 1 )}</b></i>

<b>Ví dụ 2: Tính tổng S</b>n =
1
1.2.3+

1
2.3.4+

1

3.4.5+...+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

<b>Giải</b>

Ta có: Sn =

1
2

(

1
1.2−

1
2.3

)

+

1
2

(

1
2.3−

1

3.4

)

+...+
1
2

(

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)−

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

Sn =
1
2

(

1
1.2−
1
2.3+
1
2.3−
1

3.4+...+
1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)−

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

Sn =
1
2

(

1
1.2−

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

=

<i>n</i>(<i>n</i>+3)

4(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

<b>Ví dụ 3: Tính tổng S</b>n = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
<b>Giải</b>

Ta có : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!

... ... ...

n.n! = (n + 1) –n!

Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +... + ( n+1) ! – n!
= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1

<b>Ví dụ 4: TÍnh tổng S</b>n =

3

(1. 2)2+

5

(2 .3)2+... .. ..+

2<i>n</i>+1

[

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

_]

2

<b>Giải</b>
Ta có :

2<i>i</i>+1

[

<i>i</i>(<i>i</i>+1)

]

2

=1

<i>i</i>2−

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Do đó Sn = ( 1-
1
22)+

(

1
22−

1

32

)

+.. . ..+

(

1

<i>n</i>2−

1

(<i>n</i>+1)2

)

_{= 1-}
1

(<i>n</i>+1)2=

<i>n</i>(<i>n</i>+2)
(<i>n</i>+1)2

<b>Ví dụ 5 : Chứng minh rằng :</b>

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
Áp dụng tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

<b>Giải</b>

Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2)

[

(<i>k</i>+3)−(<i>k</i>−1)

]

= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rút ra : k(k+1) (k+2) =

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)(<i>k</i>+3)

4 −

(<i>k</i>−1)<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

4

Áp dụng : 1.2.3 =

1.2.3.4
4 −
0.1.2.3
4
2.3.4 =
2.3. 4.5
4 −
1.2.3.4
4
...
n(n+1) (n+2) =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

4 −

(<i>n</i>−1)<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

4

Cộng vế với vế ta đợc S =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

4

*Bài tập áp dụng. Tính tổng A =

1
2<i>!</i>+

2

3<i>!</i>+...+

99
100<i>!</i>
<b>4. Phương pháp tính qua các tổng đã biết</b>
* Các kí hiệu:

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>a_i</i>=<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+<i>a</i>₃+. .. .. .+<i>a_n</i>
* Các tính chất :

1,

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

(<i>a_i</i>+<i>b_i</i>)=

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>a_i</i>+

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>b_i</i>

2,

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>a</i>.<i>a_i</i>=<i>a</i>

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Ví dụ 1: Tính tổng: C = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.100.101</b>
<b>Giải</b>

C = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 - 3) + … + 99.101.( 103 – 3)

C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 )
C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – 3( 1.3 + 3.5 + … + 99.101)

<b>Ví dụ 2: Tính tổng: A = 1.2 + 3.4 + … + 99.100</b>
<b>Giải</b>

Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi
số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc.

<i>Cách 1:</i>

A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + … + (98 + 1).100
= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100

= (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100)

<i>Cách 2:</i>

A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1)
= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99

= (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99)
<b>Ví dụ 3: Tính tổng : A = 1.2</b>2_{+ 2.3}2_{+ 3.4}2_{+ … + 99.100}2

<b>Giải</b>

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1)
= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100
= (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100)
*Bài tập áp dụng : Tính tổng

<i>1.</i> A = 12 _{+ 4}2_{+ 7}2_{+ …. +100}2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

5. C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101
6. D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51

7. E = 1.33_{+ 3.5}3_{+ 5.7}3_{+ … + 49.51}3
8. F = 1.992_{+ 2.98}2_{+ 3.97}2_{+ … + 49.51}2
<b>Ví dụ 4: Tính tổng:</b>

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n( n+1)
<b>Giải</b>

Ta có : Sn =

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>i</i>(<i>i</i>+1)=

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

(<i>i</i>2+<i>i</i>)=

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>i</i>2+

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>i</i>
Vậy:

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>i</i>=1+2+3+. . ..+<i>n</i>=<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>
<i>i</i>2

=<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

Cho nên Sn =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2 +

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6 =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

3

<b>Ví dụ 5: Tính tổng: S</b>n =1.2 + 2.5 + 3.8 +...+n(3n - 1)
<b>Giải</b>

ta có : Sn =

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>i</i>(3<i>i</i>−1)=

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

(3<i>i</i>2−<i>i</i>)

= 3

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>
<i>i</i>2
−

∑

<i>i</i>==1
<i>n</i>
<i>i</i>

Ta có : Sn =

3<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6 −

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2 =<i>n</i>

2₍<i>_n</i>₊₁₎

<b>Ví dụ 6: Tính tổng S</b>n = 13+ +33 +53 +... + (2n +1 )3
<b>Giải</b>

Ta có :

Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]

= [13₊₂3₊₃3₊₄3 _{+ ... + (2n +1 )}3_{] -8 (1}3₊₂3₊₃3₊₄3_{+...+ n}3₎
Sn =

(2<i>n</i>+1)2(2<i>n</i>+2)2

4 −

8<i>n</i>2(<i>n</i>+1)2

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

= (n +1 )2_(2n2_{+4n +1)}
<b>5. Bài tập đề nghị: Tính tổng</b>

<b>1, B = 2+ 6 +10 + </b> 14 + ... + 202
<b>2, a, A = 1+2 +2</b>2₊₂3_{+...+ 2}6.2 _{+ 2} 6 3
b, S = 5 + 52_{+ 5}3 _{+ ... + 5} 99 _{+ 5}100
_{c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76}

<b>3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 </b>

<b>4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , </b> n = 1,2,3 ,....
<b>5, S = </b>

1
1 .2+

1
2.3+

1

3. 4+.. ...+
1
99.100

<b>6, S = </b>

4
5.7+

4

7.9+.. ..+
4
59. 61

<b>7, A = </b>

5

11.16+

5
16 .21+

5

21.26+...+
5
61 .66

<b>8, M = </b>

1

30+

1
31+

1

32+. .. . .+
1
32005

<b>9, S</b>n =
1
1.2.3.+

1

2.3.4+...+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

10, Sn =

2
1.2.3+

2

2.3.4+...+
2
98.99.100

11, Sn =
1
1.2.3.4+

1

2.3. 4.5+...+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

12, M = 9 + 99 + 999 +... + 99... ...9

50 chữ số 9
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14
tính S100 =?

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +... + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 +...+ x = 820

c, 1 +

1

3+

1
6+

1

10+...+
2

<i>x</i>(<i>x</i>+1)=1

1989
1991

15, Chứng minh : a, A = 4+ 22₊₂3₊₂4 _{+... + 2}20_{là lũy thừa của 2 2}
b, B =2 + 22_{+ 2} 3_{+ ... + 2} 60 _⋮ _{3 ; 7; 15}

c, C = 3 + 33₊₃5_{+ ....+ 3}1991 _⋮ _{13 ; 41}
d, D = 119_{+ 11}8₊₁₁7_{+...+ 11 +1} _⋮ ₅
<b>Đề kiểm tra : </b>

Câu 1: Chứng minh rằng : 20152014_{– 1 Chia hết cho 2014}
Câu 2: Tính tổng C = 5 + 53_{+ 5}5_{+ 5}7_{+ 5}9_{+ ... + 5}101
Câu 3: Tính tổng P = 12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2_{+ ... + 99}2

Câu 4: Tính tổng B = - 12_{+ 2}2_{– 3}2_{+ 4}2_{- … - 19}2_{+ 20}2_.
Câu 5: Tính tổng A = 12 _{+ 4}2_{+ 7}2_{+ …. +100}2_.

Câu 6: Tính tổng E = 1.33_{+ 3.5}3_{+ 5.7}3_{+ … + 49.51}3

Câu 7: Tính tổng A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ 999

⏟

<i>…</i>9

10<i>chữsố</i>9

Câu 8: Tính tổng P = 15 _{+ 2}5_{+ .... + n}5 ₌

1

12 _.n2_{(n + 1)}2 _{( 2n}2_{+ 2n – 1 )}
Câu 9: Tính tổng A =

1
2<i>!</i>+

2

3<i>!</i>+...+

99
100<i>!</i>
Câu 10: Tính tổng Sn =

1
1.2.3.4+

1

2.3. 4.5+...+

1

</div>

<!--links-->