Maths in space

Maths in space
Viết bởi diendantoanhoc.net
Chủ nhật, 17 Tháng 8 2008 15:23
Sự uốn ánh sáng xung quanh một vật thể lớn từ một nguồn ở xa. Mũi tên màu cam thể hiện
vị trí bên ngoài của nguồn cơ sở. Mũi tên màu trắng thể hiện đường đi của ánh sáng từ vị
trí đích thực của nguồn. Từ NASA.
Các nhà toán học làm việc dựa trên một trong những cơ sở toán họcMathematicians
working on one of the bedrocks of mathematics, the Định lý cơ sở của Đại số (FTA), mới
tìm ra sự hợp tác trong các lĩnh vực không chắc chắn của vật lý học thiên thể.
Trong bài báo Từ định lý cơ bản của Đại số tới Vật lý học thiên thể: Một con đường "hài
hoà", trong Thông báo của AMS, nhà toán học Dmitry Khavinson đến từ Trường đại học
Nam Florida, và Genevra Neumann đến từ Trường đại học Bắc Iowa, mô tả công việc toán
học của họ một cách đầy bất ngờ đã dẫn họ tới những câu hỏi về vật lý học thiên thể.
FTA liên quan tới nghiệm của một phương trình đa thức. Phương trình một đường thẳng
có dạng
ax + b = 0 có duy nhất một nghiệm đúng. Một phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c =
0 có hai nghiệm:
Những kết quả này là thực nếu như phần dưới căn bậc hai là dương, và trùng nhau nếu nó
bằng 0. Nếu phần dưới căn bậc hai là âm, khi đó chúng ta phải cần tới số phức, nó được
trang bị để đối phó với căn bậc hai của một số âm. Một phương trình bậc ba có dạng ax3 +
bx2 + cx + d = 0
có 3 nghiệm phức hoặc trùng nhau. Các kết quả kiểu này được gọi là nghiệm hoặc điểm
không của đa thức, và FTA nói rằng mỗi đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức.
Các nhà toán học đã đang làm việc trên hệ thống động lực được định dạng bởi các phương
trình đa thức có dạng như trên. Đây là những hệ thống mở ra trên thời gian trong mặt
phẳng phức (để tham khảo thêm về động lực học phức, đọc bài báo Một sự thay đổi tình cờ
đậm nét của sự hỗn độn). Trong những năm 90, Khavinson đã mở rộng FTA tới những đa
thức nhiều hơn một biến số. Ông ấy chứng minh điều này cho một lớp chắc chắn của các
đa thức nhiều chiều, được biết tới như các đa thức hài hoà, số nghiệm nhiều nhất là 3n - 2
với n là bậc cao nhất của đa thức. Dựa vào các kết quả này, Pietro Poggi-Corradini mở
rộng các giải quyết của Khavinson tới các hàm hữu tỉ hài hoà — các hàm hữu tỉ hài hoà có

thể được viết dưới dạng tỉ số của hai đa thức:

Kết quả của công việc này là sự khác biệt nhỏ nhoi — số nghiệm thực của các hàm hữu tỉ
hài hoà hoá ra không nhỏ hơn 3n – 2, mà là 5n - 5. Dẫu sao đi nữa, họ đã không vẽ nên kết
luận là giới hạn này có phải là “sharp” hay không — điều này, có thể đã được thúc đẩy và
chậm hơn. Một tuần sau khi công bố kết quả của họ trên arXiv, các nhà nghiên cứu gửi
một e-mail chúc mừng nhà vật lý học thiên thể Jeffrey Rabin của Trường đại học
California, San Diego báo tin rằng lý thuyết của họ đã giải quyết một phỏng đoán về thấu
kính hấp dẫn.

Những hình ảnh phức tạp có thể được thấy nhờ thấu kính. Từ NASA.
Thấu kính hấp dẫn xuất hiện khi mà ánh sáng đến từ rất xa, nguồn sáng uốn quanh một vật
thể lớn (ví dụ như một cụm thiên hà) giữa nguồn và người quan sát, và đây là một tiên
đoán của Einstein về Thuyết tương đối. Bởi vì sự chệch hướng này, người quan sát nhìn
thấy những hình ảnh phức tạp từ nguồn giống nhau. Nếu như có một ngôi sao lớn nằm
giữa người quan sát và nguồn sáng, ánh sáng có xu hướng vòng quanh ngôi sao và chúng ta
nhìn thấy như có hai nguồn sáng — đôi lúc những hình ảnh có thể hoà trộn vài nhau và nó
sẽ nhìn giống như một cái vòng. Nếu có nhiều hơn một vật thể lớn nằm giữa chúng ta và
nguồn sáng, những gì chúng ta nhìn thấy sẽ còn phức tạp hơn. Phỏng đoán mà các nhà toán
học đã giải quyết là phỏng đoán của Sun Hong Rhie, đó là số hình ảnh được tạo ra bởi ánh
sáng vòng quanh một vật thể lớn, bởi thấu kính hấp dẫn luôn luôn nhỏ hơn 5n – 5. Rhie
ban đầu đã tìm ra một sự sắp xếp 4 vật thể lớn tạo ra 15 hình ảnh, và sau đó đã mở rộng
thành phỏng đoán 5n - 5.
Tiếp nhận những kết quả của Khavinson và Neumann, các nhà vật lý học thiên thể đã làm
cho các kết quả của họ hữu hiệu trong những điều kiện của hàm hữu tỉ hài hoà. Ngoài ra,
các nhà toán học đã làm hữu hiệu các kết quả của những nhà vật lý học thiên thể bằng cách
chứng minh giới hạn 5n – 5 là chính xác. Ai đã nói rằng toán học thuần tuý không có các
ứng dụng vật lý?
Marc West (plus.maths.org)