Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính liên tục của số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân không Ôtônôm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

HÀ LAN ANH

TÍNH LIÊN TỤC CỦA SỐ MŨ LYAPUNOV CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ƠTƠNƠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

HÀ LAN ANH

TÍNH LIÊN TỤC CỦA SỐ MŨ LYAPUNOV CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ƠTƠNƠM
Chun ngành: Giải Tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập của
riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TSKH. Đoàn
Thái Sơn. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung
thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây.
Ngồi ra, trong luận văn tơi có sử dụng một số kết quả của các tác
giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự
gian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019
Tác giả

Hà Lan Anh

Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn

PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn

i


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hồn thành luận văn tơi
đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, PGS. TSKH.

Đồn Thái Sơn.
Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Tốn, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi có thể hồn thành tốt
luận văn này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả cịn hạn chế nên luận
văn có thể có những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản
hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cơ, và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019
Tác giả

Hà Lan Anh

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Lời mở đầu

1

1 Số mũ đặc trưng Lyapunov trong lý thuyết hệ phương trình
vi phân tuyến tính

3

1.1

Định nghĩa và một số tính chất của số mũ đặc trưng Lyapunov

3

1.2

Số mũ Lyapunov cho nghiệm của hệ phương trình vi phân
tuyến tính khơng ơtơnơm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Sự biến đổi của số mũ đặc trưng theo sự thay đổi nhỏ các
hệ số

12

2.1

Ví dụ về sự khơng liên tục của số mũ Lyapunov . . . . . . .

13

2.2

Tách được tích phân và tính liên tục của số mũ Lyapunov .

17

Kết luận
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
ii

iii


Lời mở đầu
Lý thuyết số mũ Lyapunov có lịch sử lâu đời và được biết đến là
một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương
trình vi phân. Cụ thể số mũ Lyapunov đo tốc độ tách nhau của các nghiệm
xuất phát gần nhau của phương trình vi phân và khi số mũ là âm thì các
nghiệm này hội tụ tới nhau khi thời gian tiến ra vơ cùng.
Trong thực tế, có rất nhiều hệ phương trình mà ta khơng biết được
một cách chính xác trường véc tơ và khi đó câu hỏi đặt ra là số mũ Lyapunov
này sẽ thay đổi như thế nào nếu trường véc tơ của hệ thay đổi nhỏ. Từ câu
hỏi này, luận văn mong muốn trình bầy một cách có hệ thống về vấn đề tình
liên tục số mũ Lyapunov. Để làm được điều này, luận văn sẽ tập trung vào:
- Giới thiệu sơ lược về số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân khơng

ơtơnơm.
- Ví dụ về tính khơng liên tục của số mũ Lyapunov cho phương trình vi
phân tuyến tính khơng ơtơnơm.
- Độc lập tuyến tính, sự liên tục của số mũ Lyapunov.
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn, người thầy tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cơ giáo khoa Tốn-Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn
này. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên đề tài này không
1


tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được các thầy, cơ và các bạn góp ý
bổ sung.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

2


Chương 1
Số mũ đặc trưng Lyapunov trong lý
thuyết hệ phương trình vi phân
tuyến tính
Trong chương này, chúng ta giới thiệu số mũ đặc trưng Lyapunov và
một số tính chất cơ bản.

1.1

Định nghĩa và một số tính chất của số mũ đặc
trưng Lyapunov
Cho một hàm có giá trị phức f (t) được xác định trên khoảng [t0 , ∞).

Định nghĩa 1.1. Một số (hoặc một ký hiệu ±∞) được định nghĩa là

X [f ] = lim sup
t→∞

ln|f (t)|
,
t

(1.1)

thì được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm số f (t).
Quy ước: X [0] = −∞. Đôi khi số mũ đặc trưng Lyapunov ta còn gọi tắt là
số mũ đặc trưng hay số mũ Lyapunov.
Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ của số mũ Lyapunov của một
số hàm số khác nhau.
3


Ví dụ 1.2.

(i) X [tm ] = 0, X [c = 0] = 0, X exp t cos

(ii) X exp −t cos

1
t

1
t

= 1.

= −1, X [exp(±t sin t)] = 1,

(iii) X [tt ] = ∞, X [t−1 ] = −∞.
Từ Định nghĩa trên, ta có các tính chất sau:
1. X [f ] = X [|f |],
2. X [cf ] = X [f ],

c = 0,

3. X [eαt ] = α,
4. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| cho t ≥ a, khi đó X [f ] ≤ X [F ].
Bổ đề tiếp theo cho ta hiểu chính xác hơn về sự tăng của một hàm số
có số mũ đặc trưng hữu hạn.
Bổ đề 1.3. Số mũ đặc trưng X [f ] = α hữu hạn nếu và chỉ nếu với mọi

ε > 0, hai điều kiện sau được thỏa mãn:
1. limt→∞

|f (t)|
= 0,
exp(α + ε)t

(1.2)

2. limt→∞

|f (t)|
= ∞.
exp(α − ε)t

(1.3)

Chứng minh. *Điều kiện cần:
Giả sử

1
X [f ] = lim sup ln|f (t)| = α.
t→∞ t

(1.4)

Theo (1.4), cố định ε > 0 bất kỳ, tồn tại một T > 0 sao cho với t > T , ta
có bất đẳng thức

1
ε
ln|f (t)| < α + .
t
2
Nhân t vào hai vế rồi lấy mũ ta được,

|f (t)| < exp α +
4

ε
t.
2


Hơn nữa, ta có

limt→∞

|f (t)|
≤ limt→∞ exp(−ε/2)t = 0.
exp(α + ε/2)texp((ε/2)t)

Từ đó ta được (1.2).

Từ (1.4), cho một dãy tk → ∞, k → ∞, khi đó tồn tại n > 0 sao cho
với k > N ta có
ln|f (tk )| > (α − ε/2)tk .
Lấy mũ hai vế ta được

|f (tk )| > exp(α − ε/2)tk .
Do đó, ta có

limt→∞

|f (tk )|
= limt→∞

exp(α − ε)tk

|f (tk )|
exp(ε/2)tk
exp(α − ε/2)tk

≥ limk→∞ exp(ε/2)tk = ∞.
Từ đó ta thu được (1.3).
*Điều kiện đủ:
Từ (1.2) cho t đủ lớn, ta có bất đẳng thức |f (t)| < exp(α + ε)t, ta có

X [|f (t)|] ≤X [eα+ ]
=α + .
Vì

> 0 tùy ý nên ta có, X [f ] ≤ α.
Bây giờ, từ (1.3) cho dãy tk → ∞, k → ∞.. Do đó, với k đủ lớn ta có

bất đẳng thức

|f (tk )| > exp(α − ε)tk .

5


Tương tự như trên, ta cũng có bất đẳng thức

X [f ] ≥ limt→∞

1

ln|f (tk )| ≥ α − ε.
tk

Vì vậy, ta có

X [f ] ≥ α.
Do đó, nếu (1.2) và (1.3) đồng thời xảy ra, ta có

X [f ] = α.

Tiếp theo ta thu được đánh giá của số mũ Lyapunov cho giá trị max
của hữu hạn các hàm số.
Định lý 1.4. Cho các hàm fk (t), k = 1, .., n, ta có:
n

X

fk (t) ≤ max X [fk (t)].
1≤k≤n

k=1

Dấu ” = ” xảy ra khi chỉ có đúng một hàm có số mũ lớn nhất.
Chứng minh. 1. Đặt α = maxk X [fk (t)]. Giả sử α là số hữu hạn. Xét

| nk=1 fk (t)|
≤
limt→∞
exp(α + ε)t

n

limt→∞
k=1

|fk (t)|
= 0.
exp(α + ε)t

Khi đó,
n

X

fk (t) ≤ α.
k=1

2. Giả sử chỉ có một hàm có số mũ lớn nhất là fl (t), tức là

α = X [fl (t)] > X [fk (t)] = αk , k = l.
Theo Bổ đề 1.3, tồn tại một dãy tm → ∞, khi m → ∞ sao cho

limm→∞

|fl (tm )|
= ∞.
exp(α − ε)tm
6

(1.5)

Giả sử αk = −∞, ta có
| nk=1 fk (tm )|
|fl (tm )|
≥
−
exp(α − ε)tm
exp(α − ε)tm

k=l

|fk (tm )|
.
exp(αk + ε)tm exp(α − αk − 2ε)tm

Cho 0 < ε < mink=l (α − αk )/2 lấy giới hạn hai vế ta suy ra được
n

fk (t) ≥ α.

X

(1.6)

k=1

Từ (1.5) và (1.6) ta suy ra
n

X

fk (t) = α.
k=1

Chứng minh trên vẫn đúng cho trường hợp αk = ±∞.
Tiếp theo ta nghiên cứu về số mũ Lyapunov của tích của các hàm số.
Định lý 1.5. Cho các hàm fk (t), k = 1, .., n. Khi đó
n

X

n

fk (t) ≤
k=1

X [fk (t)].
k=1

Chứng minh.
n

X

fk (t)
k=1

1
= lim sup ln

t→∞ t

n

fk (t)
k=1
n

1
|fk (t)|
= lim sup ln
t→∞ t
k=1
n

= lim sup
t→∞

k=1

n

≤

1
ln|fk (t)|
t

1
lim sup ln|fk (t)|

t→∞ t
k=1
n

X [fk ].

=
k=1

7

(1.7)


Ví dụ 1.6. Áp dụng Định lý 1.4, ta tính được số mũ đặc trưng sau:

X [e2t + e−1 + e3t ] = 3,
X [e−1 + e + (1 − e )] = 0.

1.2

Số mũ Lyapunov cho nghiệm của hệ phương trình
vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm
Xét phương trình vi phân tuyến tính

x˙ = A(t)x,

(1.8)

ở đó A : [0, ∞) → Rn×n là một hàm liên tục thỏa mãn rằng

sup

A(t) ≤ M < ∞.

t∈[0,∞)

Mục đích của chúng tơi trong tiểu mục này là nghiên cứu các số mũ đặc
trưng của các nghiệm của hệ (1.8). Để làm điều này, trước tiên chúng tôi
chứng minh rằng số mũ đặc trưng của một nghiệm khác không của (1.8) là
hữu hạn.
Định lý 1.7. Bất kỳ nghiệm không tầm thường x(t) của hệ phương trình
tuyến tính (1.8) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ X [x] ≤ M.
Chứng minh. Cho Rn là không gian Euclide, tức ta gắn Rn với chuẩn sinh
bởi tích vơ hướng ·, · thơng thường. Ta có

d x(t)
dt

2

= |< x(t),
˙
x(t) > + < x(t), x(t)
˙
>|
= 2| < x,
˙ x>|
= 2 |< A(t)x(t), x(t) >|
≤ 2 A(t)x(t) . x(t)

≤ 2 A(t) . x(t)
8

2

≤ 2M x(t) 2 .


Hơn nữa,

−2M x(t)

d x(t)
dt

2

2

2M x(t) 2 .

Hay

d x 2
x 2 dt

−2M

2M.

Lấy tích phân từ t0 tới t bất đẳng thức này ta có
t

−

t

2M dτ
t0

t0

d x 2
dτ
x 2 dt

t

2M dτ .
t0

Từ đó,

−2M (t − t0 )

ln x(t)

2

− ln x(t0 )

2

2M (t − t0 ).

Suy ra,

−M (1 −

1
1
ln x(t) − ln x(t0 )
t
t

t
)
t0

M (1 −

t
).
t0

Cho t → ∞, ta có

−M
Nghĩa là −M

χ[x]

1
lim sup ln x(t)
t→∞ t

M.

M . Định lý được chứng minh.

Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng tập hợp các số mũ đặc trưng Lyapunov
của tất cả các nghiệm khác không của (1.8) khơng có nhiều hơn n phần tử.
Trước hết ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 1.8. Nếu họ hàm vector x1 (t), ..., xm (t) xác định trên [0; ∞) có các
số mũ đặc trưng hữu hạn đơi một khác nhau thì độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Chúng ta hãy xét tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường của
các vectơ x1 (t), ..., xm (t):

m

ci xi (t).
i=1

9


Theo Định lý 1.7 , số mũ đặc trưng của tổng này bằng max χ[ci xi (t)]. Nghĩa
i

là,

m

ci xi (t) = max χ[ci xi (t)] = max χ[ci xi (t)] = −∞,

χ

i

i=1

i

m

vì tồn tại ck = 0. Mặc khác

ci xi (t) = 0, nên
i=1

m

ck xk (t) = χ[0] = −∞.

χ
k=1

Điều này mâu thuẫn. Do đó, {xi }m
i=1 là độc lập tuyến tính
Bổ đề 1.9. Hệ (1.8) có tối đa n nghiệm độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Gỉa sử ngược lại, tức là có tồn tại n+1 nghiệm x1 (t), ..., xn+1 (t)

của (1.8) đó là tuyến tính độc lập. Do đó tồn tại các số c1 , ..., cn+1 khơng
đồng thời bằng 0 sao cho

c1 x1 (0) + ... + cn+1 xn+1 (0) = 0.
Khơng mất tính tổng qt, chúng ta có thể giả sử rằng c1 = 0. Khi đó,

x1 (0) =
Đặt ξ(t) =

−c2
c1

−c2
c3
cn+1
x2 (0) − x3 (0) − .... −
xn+1 (0).
c1
c1
c1

x2 (t) −

c3
c1 x3 (t)

− .... −

cn+1
c1 xn+1 (t).

Ta có

˙ = −c2 x˙ 2 (t) − c3 x˙ 3 (t) − .... − cn+1 x˙ n+1 (t)
ξ(t)
c1
c1
c1
−c2
c3
cn+1
=
A(t)x2 (t) − A(t)x3 (t) − .... −
A(t)xn+1 (t)
c1
c1
c1
c2
c3
cn+1
= A(t).[− x2 (t) − x3 (t) − ... −
xn+1 (t)]
c1
c1
c1
= A(t).ξ(t).

(với mọi t)

10

Hơn nữa, ta có





ξ(0) = x1 (0),


ξ(t) là nghiệm của phương trình x(t)
˙
= A(t)x(t).
Vì thế,

ξ(t) ≡ x1 (t).
Đó là,

c2
c3
cn+1
x1 (t) = − x2 (t) − x3 (t) − ... −
xn+1 (t).
c1
c1
c1
Do đó,

c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + ... + cn+1 xn+1 (t) = 0.

Điều nay mâu thuẩn với giả thiết {xi }n+1
i=1 là độc lập tuyến tính.

Tập tất cả các số mũ đặc trưng khác nhau của tất cả các nghiệm của
một hệ phương trình vi phân tuyến tính được gọi là phổ của hệ đó
Định lý 1.10. Số lượng phần tử của phổ không vượt quá n.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.9, hệ phương trình (1.8) có n nghiệm {xi (t)}ni=1
là độc lập tuyến tính. Giả sử, nghiệm bất kỳ của (1.8) được viết dưới dạng
n

x(t) =

ci xi (t).
i=1

Ta có

n

χ[x(t)] = χ[

ci xi (t)] = max χ[ci xi (t)].
i=1

Do đó, số mũ Lyapunov của một nghiệm khơng tầm thường của hệ chỉ nhận
một trong tối đa n phần tử χ[x1 (t)], . . . , χ[xn (t)]. Chứng minh kết thúc.

11

Chương 2
Sự biến đổi của số mũ đặc trưng
theo sự thay đổi nhỏ các hệ số
Xét phương trình vi phân tuyến tính

x˙ = A(t)x,
với A ∈ C([0; +∞) , Rn×n ) mà sup A(t)

(2.1)

M . Theo Định lý 1.7 và Định

lý 1.10, hệ (2.1) có nhiều nhất n số mũ Lyapunov. Giả sử n số mũ đó là

−∞ < λ1

λ2 ≤ · · · ≤ λn < ∞.

Xét một hệ nhiễu của (2.1) có dạng

y˙ = [A(t) + Q(t)]y,
với Q ∈ C([0; +∞) , Rn×n ) mà sup Q(t)

(2.2)

σ . Giả sử phổ Lyapunov của

(2.2) là

−∞ < λ1

λ2 ≤ · · · ≤ λn < ∞.

Khi Q(t) thay đổi, số mũ đặc trưng của hệ (2.2) nói chung là thay đổi theo
và không liên tục.
Định nghĩa 2.1. Các số mũ đặc trưng của hệ (2.1) được gọi là ổn định
nếu cho bất kỳ ε > 0 khi đó tồn tại σ > 0 sao cho với mọi Q(t) thỏa mãn
12


sup Q(t) < σ thì kéo theo:
t≥0

λi − λi < ε, i = 1, ..., n.
Nội dung của chương này bao gồm: Chỉ ra một số ví dụ về tính không
liên tục của số mũ Lyapunov (Mục 2.1) và chỉ ra độc lập tuyến tính là điều
kiện đủ cho tính liên tục của số mũ Lyapunov (Mục 2.2).

2.1

Ví dụ về sự không liên tục của số mũ Lyapunov
Các kết quả của mục này được lọc ra từ tài liệu [3]. Cụ thể với một

nhiễu nhỏ ta có thể thu được số mũ Lyapunov của hệ nhiễu lớn hơn số mũ
trung tâm trên (số mũ Lyapunov của hệ nhiễu nhỏ hơn số mũ trung tâm
dưới). Tức là, để hệ có tính liên tục của số mũ Lyapunov điều kiện cần là
số mũ Lyapunov trung tâm trên và dưới phải bằng nhau. Cụ thể, ta ta có
định lý sau:
Định lý 2.2. Cho một hệ thực

x˙ = diag[a1 (t), a2 (t), ..., an (t)]x,

(2.3)

với ai ∈ C(R) là các hàm số thực liên tục và bị chăn và Ω là số mũ trung
tâm trên. Khi đó hệ nhiễu

x˙1 = a1 (t)x1 + δxn ,
x˙2 = δx1 + a2 (t)x2 ,
x˙3 = δx2 + a3 (t)x3 ,
..............................
x˙n = δxn−1 + an (t)xn ,
với δ nhỏ tùy ý, có số mũ đặc trưng λn ≥ Ω.
13


Sau đây chúng tơi xét một ví dụ ở đó ta có thể tính được số mũ trung
tâm trên và số mũ trung tâm dưới.
Ví dụ 2.3. Xét hệ

x˙1 = 0,
√
x˙2 = π sin π tx2 .
Khi đó, ta có toán tử sinh bởi hệ trên là


1
0
 (x1 , x2 )T ,
X(t, s) = 

0 ep(t)−p(s)
ở đây
t

p(t) =
0

√
√
√
√
2
π sin π τ dτ = (sin π t − π t cos π t).
π

Trong trường hợp số mũ Lyapunov của hệ là

1
λ1 = 0, λ2 = lim sup p(t) = 0.
t→∞ t
Để tìm số mũ trung tâm trên chúng ta xét hàm số sau

√

√

R(t) = (π sin π t + |π sin π t|)/2.
Chú ý rằng

R(t) > 0 với t ∈ (4k 2 , (2k + 1)2 ),

và

R(t) ≡ 0 với t ∈ [(2k + 1)2 , 4(k + 1)2 ], k = 0, 1, ....
Tiếp theo, ta sẽ đánh giá
t

1
lim sup
t→∞ t

R(τ )dτ.
0

Cho (2k)2 ≤ t ≤ (2k + 1)2 , ta có

1
t

t
0

1
R(τ )dτ − 2
4k

4k 2

R(t)dt → 0 khi k → ∞.
0

14


Ta suy ra được
(2k+1)2
(2k)2

√
√
√
2
R(τ )dτ = (sin π t − π t cos π t)
π

(2k+1)2
(2k)2

= 2(2k + 1 + 2k) = 2(4k + 1),
hay
n

(2n+1)2

2(4k + 1) = 2(2n + 1)(n + 1).

R(t)dt =

R(t)dt =
0

n

(2k+1)2

k=0

(2k)2

k=0

Cuối cùng ta có
(2n+1)2

1
Ω = limn→∞
(2n + 2)2

R(t)dt = limn→∞
0

2(2n + 1)(n + 1)
= 1.
(2n + 1)2

Tương tự ta chọn hàm số

√
√
r(t) = (π sin π t − |π sin π t|)/2,
ta sẽ thu được số mũ trung tâm dưới ω = −1.

Bây giờ, ta sẽ áp dụng kết quả của Định lý 2.2 để chỉ ra rằng số mũ
Lyapunov của hệ 2.3 thay đổi không liên tục với nhiễu nhỏ. Các nhiễu nhỏ
để chỉ ra tính không liên tục của số mũ Lyapunov khá kĩ thuật và chúng tôi
xin giới thiệu độc giả thêm đến tài liệu tham khảo [3] cho các kí hiệu của
nhiễu nhỏ mà chúng tơi sử dụng ở dưới đây.
Ví dụ 2.4. Cho hệ

√
x˙1 = 0, x˙2 = π sin π tx2 .

(2.4)

Theo Ví dụ 2.3, có λ1 = λ2 = 0, Ω = 1. Ta thấy rằng hệ

√
x˙1 = δx2 , x˙2 = δx1 + π sin π tx2 .

15

(2.5)


(r)

có số mũ đặc trưng λ với λ ≥ Ω = 1. Theo Định lý 2.2 và xét Jα (t) với

R chẵn và α = 2, ta có
(r)

J2 (t)

(2.6)
t1

t

=

t2

...
0

t1

a2 dτ +

exp

0

t3

0

0

t

a2 dτ + ... +

t2

a2 dτ

× dt1 dt2 ...dtr

tr

(2.7)
Với

√
√
R(t) = (π sin π t + |π sin π t|)/2.
Trong Ví dụ 2.3 là một hàm trên chặt, ta có thể lấy các khoảng

∆k = [T2k , T2k+1 ],
với

Tl = l2 , k = 0, 1, ...
Hàm số
t

z(t1 , t2 , .., tr , t) =

t3

a2 dτ +
0

t

a2 dτ + ... +
t2

a2 dτ,
tr

với ti = Ti , t = T2m+1 ta có
m

T2m+1

(2k+1)2

R(τ )dτ =
0

k=0

√
π sin π tdt = 2(2m + 1)(m + 1).

(2k)2

và khi ti thay đổi trong giới hạn

|ti − Ti | ≤ 1,
Ta xét bất đẳng thức sau
mT

mT
T

z≥

RT (τ )dτ − 2M n2 m.

R (τ )dτ − 2M n(mn − 1) ≥
0

0

16


Trong trường hợp M = π, n = 2, mn − 1 = r = 2m,ta thu được:

x(T2m+1 ) ≥ δ

2m

T2m+1

R(t)dt − 4πm

exp
0

T2m+1

R(t)dt − 4πm + 2m ln δ .

= exp
0

Hơn nữa,

1
ln x(t)
t→∞ t
1
≥ limm→∞
ln x(T2m+1 )
T2m+1
2(2m + 1)(m + 1) − 4πm + 2m ln δ
= 1.
≥ limm→∞
(2m + 1)2

X [x] = lim sup

2.2

Tách được tích phân và tính liên tục của số mũ
Lyapunov
Trong mục này ta sẽ trình bày lại các kết quả cơ bản của Perron [9]

về cơ sở của lý thuyết ổn định của số mũ.
Cho hệ

x˙ = A(t)x,

(2.8)

với

x˙ = diag [a1 (t), ..., an (t)]x,
và

y˙ = [A(t) + Q(t)]y.

(2.9)

Re(ak+1 (t) − ak (t)) ≥ a > 0, k = 1, ., n − 1, t ≥ 0,

(2.10)

Giả sử

17


và Q(t) → 0 khi t → ∞. Khi đó, số mũ đặc trưng của hệ (2.8), (2.9)
trùng nhau. Tức là,

λi = λi = limt→∞

1
t

t

Re ai (τ )dτ, i = 1, .., n.
0

Bất đẳng thức (2.10) được gọi là điều kiện cho tính tách được của hệ (2.8),
hoặc là điều kiện cho tính tách được của hàm a1 (t), ..., an (t).
Ví dụ 2.5. Tìm số mũ đặc trưng của hệ

x˙1 = cos ln t + sin ln t +
x˙2 =

2
x1 + te−t x2 ,
t+1

sin ln t
x1 + 2x2 .
(t − 1)2

Ma trận sinh của hệ là
diag [cos ln t + sin ln t, 2],
và


2
−1
te
 t+1


Q(t) =  sin ln t
,
0
(t − 1)2


trong đó Q(t) → 0 khi t → 0. Rõ ràng

2 − (sin ln t + cos ln t) ≥ 2 −

√

2 > 0.

Như vậy, điều kiện cho tính tách được là thỏa mãn. Do đó,

1
λ1 = lim sup
t→∞ t

t

(sin ln τ + cos ln τ )dτ = 1, λ2 = 2.
0

Tuy thế, ta chứng minh số mũ Lyapunov của hệ không ổn định với nhiễu
đều. Cụ thể, nếu mũ của hệ

x˙ = diag [(sin ln t + cos ln t), 2]x,

18


là ổn định thì ta thu được kết quả trên. Rõ ràng là hệ đường chéo không
ôtônôm, không thu gọn, và cũng không thể biến đổi về hệ ôtônôm. Ta đi
chứng minh điều kiện

x1 (t, τ ) ≤ C exp (µi + γ)(t − τ ) với t ≥ τ ≥ 0,

(2.11)

thỏa mãn với x1 (t). Ta có

|x1 (t, τ )| = exp (t sin ln t − τ sin ln τ ).
Ta phải chứng tỏ rằng với mỗi γ > 0, tồn tại một số không đổi C(γ) sao
cho với t ≥ τ ≥ 0 thì ta thu được bất đẳng thức

et sin

ln t−τ sin ln τ

≤ Ce(1+γ)(t−τ ) ,

hay

t sin ln t − τ sin ln τ ≤ (1 + γ)(t − τ ) + ln C.
Lấy γ = e−π (1 − e−π )−1 và xét dãy

π

π
tm = exp (2mπ + ), τm = exp (2mπ − ).
2
2
Ta có

e

2mπ+

π
π
π
π
2mπ−
2mπ+
2mπ−
2 +e
2 ≤ (1 + γ)(e
2 −e
2 ) + ln C,

hay

1 + e−π ≤ 1 +

e−π
1 − e−π

(1 − e−π ) + e−2mπ ln C.

Vậy

1 + e−π ≤ +e−2mπ ln C.
Rõ ràng, khơng tồn tại có hằng số C nào để cho bất đẳng thức này
xảy ra với m lớn tùy ý. Tức là, điều kiện đủ cho tính ổn định không được
thỏa mãn.

19


Định nghĩa 2.6. Các hàm liên tục và bị chặn a1 (t), a2 (t), .., an (t) được gọi
là tách được tích phân trên R+ nếu tồn tại hằng số a > 0 và d ≥ 0 sao cho
t

[ai+1 (u)] − ai (u)]du ≥ a(t − s) − d, ∀t ≥ s ≥ 0, i = 1, ..., n − 1. (2.12)
s

Định nghĩa 2.7. Một hệ tuyến tính được gọi là tách được tích phân nếu
có các nghiệm x1 (t), .., xn (t) thỏa mãn bất đẳng thức

xi (t)
xi+1 (t)
:
≥ de
xi+1 (s)
xi (s)

a(t−s)

, i = 1, .., n − 1,

(2.13)

với mọi t ≥ s và a > 0, d ≥ 0 là các hằng số.
Hệ quả 2.8. Các hệ tách được tích phân có số mũ đặc trưng khác nhau.
Chứng minh. Xét bất đẳng thức (2.13), ta cho s = 0 và lấy ln hai vế, ta
được

ln xi+1 (t) − ln xi (t) ≥ at ln d − ln xi (0) + ln xi+1 (0) ,
với

1
limt→∞ (ln xi+1 (t) − ln xi (t) ) ≥ a.
t
Mà

lim sup
t→∞

1
xi+1 (t)
1
1
1
ln
≤ lim sup ln xi+1 (t) + lim sup ln
t
xi (t)
xi (t)

t→∞ t
t→∞ t
= X [xi+1 ] − X [xi ].

Khi đó, ta có

X [xi+1 ] − X [xi ] ≥ a > 0.

Một họ n nghiệm độc lập tuyến tính x1 (t), ..., x2 (t) của hệ x˙ = A(t)x
được gọi là 1 hệ cơ bản của nghiệm. Ma trận X(t) = {x1 (t), ..., xn (t)} được
gọi là ma trận cơ bản.
20