Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được phủ một lớp vật liệu

Mục lục

Mở đầu

3

Chơng 1

Bài toán Cauchy cho phơng trình sai phân ẩn với hệ số biến

thiên

1.1

1.2

12

Trờng hợp hạng của hệ số cả là hằng . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.1

Kh¸i niƯm chØ sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2

Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.1.3

Bµi toán khởi tạo giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . .

28

Trờng hợp hệ số cả có hạng thay đổi . . . . . . . . . . . . . . .

33

Chơng 2

Bài toán biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn với hệ số

biến thiên

41

2.1

Khái niệm bài toán chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2

Sù tån t¹i duy nhÊt nghiƯm cđa bài toán chính qui . . . . . . . .

49

2.3

Tính giải đợc của bài toán không chính qui . . . . . . . . . . .

58

Chơng 3

Phơng trình sai phân ẩn chỉ số 1 và phơng trình vi phân đại số

chỉ số 1

3.1

76

Lợc đồ sai phân Euler hiện cho bài toán Cauchy đối với phơng
trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
3.1.2

3.2

77

TÝnh t−¬ng thÝch giữa khái niệm chỉ số 1 của phơng trình
vi phân đại số và phơng trình sai phân ẩn . . . . . . . .

77

Sù héi tơ cđa l−ỵc ®å Euler hiÖn . . . . . . . . . . . . . .

82

Lợc đồ sai phân Euler hiện cho bài toán biên nhiều điểm đối
với phơng trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . .

91


i

3.2.1
3.2.2

Mối liên hệ giữa tính chính qui của bài toán liên tục và
rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Sự hội tụ của lợc đồ Euler hiện . . . . . . . . . . . . . .

99

Kết luận chung

111

Danh mục công trình đà công bố liên quan đến luận án

113

Tài liệu tham khảo

114


1

bảng ký hiệu
N- tập các số tự nhiên.
Nk = {n ∈ N : n ≥ k}, N0 = N ∪ {0}.

k = n1 , n2 - k ∈ {n : n ∈ N0 vµ n1 6 n 6 n2 }, ở đây n1 , n2 N0 .
R, Rm , Rmìm - trục số thực, không gian véc tơ thực m-chiều, không gian các ma

trận vuông thực cấp m.
C(J, Rm ), C 1 (J, Rm )- không gian các hàm véc tơ liên tục (khả vi liên tục) trên

đoạn J := [t0 , T ].
kxk- chn Euclid cđa vÐc t¬ x.
AT , A1 , kAk- chuyển vị, nghịch đảo, chuẩn cđa ma trËn A (t−¬ng thÝch víi

chn Euclid cđa vÐc tơ).
I - ma trận đơn vị cấp m.
O- ma trận vu«ng kh«ng cÊp m.
(C0 , . . . , CN ) Rmìm(N +1) - ma trận có các cột là các cột của các ma trận

C0 , . . . , CN Rmìm .

kerA- nhân của ma trận A.
rankA- hạng của ma trận A.
ImA- ảnh của ma trận A.
dimX - sè chiỊu cđa kh«ng gian X .
span{v1 , . . . , vn }- kh«ng gian sinh bëi các véc tơ v1 , . . . , vn .
An = Un n VnT - khai triển kì dị cđa ma trËn An .

diag(M, N )- ma trËn ®−êng chéo khối.
e CN QN 1 )/R- không gian thơng.
ker(D,

e CN QN 1 )+ - nghịch đảo suy rộng theo Moore-Penrose cña (D,
e CN QN −1 ).
(D,
N
P
D=
Cn X n - ma trận bắn của bài toán biên nhiều điểm.
n=0


Mở đầu

Phơng trình sai phân thờng xuất hiện khi ngời ta mô tả những hiện tợng tiến
hoá quan sát đợc trong tự nhiên. Chẳng hạn, xét quá trình phát triển dân số
từng năm một của một quốc gia hay một vùng nào đó. Nếu gọi xn+1 là số dân
tại thời điểm năm n + 1 thì xn+1 là một hàm của số dân xn tại thời điểm năm
trớc đó. Sự liên hệ này đợc mô tả bởi hệ thức:

xn+1 = f (xn , n),

n Nn0 .

Phơng trình sai phân theo một biến độc lập n và một hàm phải tìm un là phơng
trình hàm có dạng
F (un+1 , un , . . . , un−k , n) = 0,

n Nn0 ,

(0.1)

ở đó k là số nguyên không âm, F là một hàm theo các biến un+1 , un , . . . , un−k , n
vµ n0 lµ một số nguyên dơng đà cho. Trong trờng hợp k là hữu hạn, (0.1) đợc
gọi là phơng trình sai phân cấp k + 1. Tơng tự nh phơng trình vi phân, mọi
phơng trình sai phân cấp k + 1 đều đa đợc về hệ phơng trình sai phân cấp 1
dạng
f (xn+1 , xn , n) = 0,

n ∈ Nn0 ,

(0.2)

ë đây xn (n Nn0 ) và f là những véc tơ và hàm véc tơ. Vì vậy khi xét phơng
trình sai phân có cấp hữu hạn trong không gian Rm ta chỉ cần đề cập đến phơng
trình sai phân cấp 1 dạng (0.2).
Một hớng tiếp cận quan trọng khác là coi phơng trình sai phân nh kết quả
của việc rời rạc hoá các phơng trình vi phân, tích phân, vi-tích phân và đạo hàm
riêng. Vấn đề này sẽ đợc trình bày kĩ hơn ở phần sau.
Lý thuyết phơng trình sai phân tìm đợc nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực

của toán học cũng nh các khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết
điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp,
khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lợng tử, di truyền học, kinh tế học,
tâm lý học và xà hội học, ... Vì vậy, việc nghiên cứu phơng trình sai phân là
3


4

một vấn đề thời sự của toán học đợc nhiều nhà khoa học quan tâm. Trong thời
gian gần đây đà có nhiều tài liệu chuyên khảo viết về phơng trình sai phân (xem
[1], [2], [18], [28], [22], [26], [37]). Ngoài ra, còn có hàng ngàn bài báo khoa
học về phơng trình sai phân và ứng dụng. Có cả một tạp chí quốc tế (Journal
of Difference Equations and Applications) chuyên đăng tải những vấn đề này.
0

Ta biết rằng nếu kerfy (y, x, t) = {0} thì (0.2) có thể đa về d¹ng
xn+1 = g(xn , n),

n ∈ Nn0 .

0

(0.3)

0

Nh−ng nÕu fxn+1 (xn+1 , xn , n) suy biÕn, tøc lµ kerfy (y, x, t) 6= {0} thì nói chung
(0.2) không đa đợc về dạng (0.3). Trong trờng hợp này, (0.2) đợc gọi là
phơng trình sai phân ẩn. Khi ấy, các kết quả của phơng trình sai phân thờng

(0.3) nói chung không còn đúng. Hiện tợng này xảy ra giống nh khi ta xét
phơng trình vi phân đại số
f (x0 , x, t) = 0,

t ∈ J := [t0 , T ],

(0.4)

0

ë đây ma trận fx0 (x0 , x, t) không khả nghịch với mọi giá trị của các biến.
Hiện nay, một trong những hớng phát triển mạnh của lý thuyết phơng trình
vi phân là nghiên cứu phơng trình vi phân suy biến (0.4). Đây là một lĩnh vực
đợc nhiều nhà khoa học quan tâm vì rất nhiều bài toán trong thực tế dẫn đến
phơng trình vi phân đại số (0.4). Các ví dụ về bài toán suy biến đa đến nghiên
cứu phơng trình vi phân đại số là bài toán điều khiển tối u, bài toán nhiễu kì
dị, bài toán nửa rời rạc khi sai phân hoá phơng trình đạo hàm riêng bằng phơng
pháp đờng thẳng, bài toán về mô hình mạng điện (xem [16], [14], [13]).
Phơng trình vi phân đại số đà đợc Gantmacher nghiên cứu từ khá lâu (xem
[19]). Nhng mÃi đến những năm 80, phơng trình vi phân đại số mới đợc đặc
biệt quan tâm. ĐÃ xuất hiện hàng loạt công trình nghiên cứu về vấn đề này (xem
[16], [14], [15]). Bằng cách sử dụng biến đổi Kronecker cho một cặp ma trận,
ngời ta nhận đợc công thức nghiệm của phơng trình vi phân đại số tuyến tính
ôtônôm
Ax0 (t) + Bx(t) = q(t),

t ∈ J,

(0.5)

5

với A là ma trận suy biến. Cho đến cuối thập kỷ 80, một loạt các kết quả về
phơng trình tuyến tính
A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t),

t J,

(0.6)

ở đây ma trËn A(t) suy biÕn víi mäi t ∈ J , đà đợc công bố và viết thành các tài
liệu chuyên khảo (xem [21], [23], [13]). Có nhiều cách đa ra khái niệm chỉ số
cho phơng trình (0.6), là khái niệm để đo khoảng cách giữa phơng trình vi
phân đại số và phơng trình vi phân thờng. Phơng trình vi phân đại số có chỉ
số càng lớn thì độ phức tạp để xử lý chúng càng cao. ở đây, ta chỉ đề cập đến
..

khái niệm chỉ số 1 của phơng trình (0.6) theo nghĩa của Griepentrog và Marz.
..

Khái niệm chỉ số lớn hơn 1 theo nghĩa của Griepentrog và Marz và các khái niệm
..

chỉ số theo cách khác có thể tìm đợc trong [20]. Theo Griepentrog và Marz thì
(0.6) đợc gọi là có chỉ số 1 nếu tồn tại một phép chiếu trơn Q(t) lên kerA(t)
sao cho ma trận G(t) := A(t) + B(t)Q(t) khả nghịch với mọi t J . ĐÃ chứng
minh đợc rằng, bài toán Cauchy với (0.6) có chỉ số 1 và điều kiện ban đầu
P (t0 )(x(t0 ) − x0 ) = 0,

(0.7)

víi P (t) := I Q(t), là giải đợc duy nhất nghiệm. Hơn nữa, công thức nghiệm
của (0.6) và (0.7) có dạng x(t) = u(t) + Q(t)G−1 (t)(q(t) − B(t)u(t)), trong ®ã u(t)
là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu


u0 (t) = P (t)G−1 (t)(q(t) − B(t)u(t)),

u(t0 ) = u0 := P (t0 )x0 .

t J,

Khác với bài toán Cauchy cho phơng trình vi phân thờng, ở đó điều kiện ban
đầu thờng đợc viết dới dạng x(t0 ) = x0 , bài toán giá trị ban đầu đối với
phơng trình vi phân đại số chỉ đòi hỏi P (t0 )(x(t0 ) x0 ) = 0. Không phải giá trị
x0 nào cũng có thể sử dụng để khởi tạo x(t).

Bài toán biên hai điểm cho phơng trình vi phân đại số (0.6) với điều kiện
biên
C0 x(t0 ) + CT x(T ) = γ

(0.8)


6
..

cũng đà đợc Griepentrog và Marz nghiên cứu (xem [21]). Bài toán (0.6) và (0.8)
giải đợc duy nhất nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận bắn D := C0 X(t0 ) + CT X(T )

thoả mÃn các điều kiện kerD=kerA(t0 ) và ImD=Im(C0 , CT ). Các kết quả sâu sắc
hơn về bài toán biên nhiều điểm đối với phơng trình vi phân đại số có thể tìm
..

đợc trong các bài báo của Lentini và Marz (xem [29]) hoặc P. K. Anh (xem [3]).
Lý thuyết định tính về phơng trình vi phân đại số nh tính ổn định của
nghiệm, bán kính ổn định của phơng trình và đặc biệt là các phơng pháp số để
giải các bài toán về phơng trình vi phân đại số cũng đợc nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu (xem [21], [13], [7], [12], [31], [43], [44], [6], [27], [34],
[36], [38], [39], [41]).
Còng gièng nh− phơng trình vi phân đại số, trong thực tế có nhiều bài toán
dẫn về nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn. Có hai mô hình thực tế tiêu biểu
về vấn đề này là mô hình dân số Leslie (xem [16], [14]) và mô hình kinh tế
Leontief (xem [14], [17]).
Mô hình dân số Leslie đợc mô tả bởi phơng trình sai phân
xn+1 = Tn xn ,

ở đây





b1 (n) b2 (n) . . . bm−1 (n) bm (n)



p1 (n)
0



Tn =  0
p2 (n)

 ..
..
 .
.

0
0

...

0

...

0

...

..
.

. . . pm−1 (n)



0 



0 .

.. 
.

0

Đặt t là đơn vị thời gian, mt là tuổi thọ tối đa của cá thể và A1 := (0, ∆t], A2 :=
(∆t, 2∆t], . . . , Am := ((m1)t, mt]. Trong đó pk (n) là khả năng sao cho những

phụ nữ có độ tuổi thuộc Ak trong thời gian n∆t sÏ cã ®é ti thc Ak+1 trong
thêi gian (n + 1)t. Nói cách khác, pk (n) là tỷ lệ sống sót của các bà mẹ ở độ
tuổi Ak vào thời gian nt. Còn bk (n) là số trẻ sơ sinh nữ đợc sinh ra trong thời
gian (n + 1)t bởi những bà mẹ có độ tuổi thuộc Ak , tøc lµ bk (n) lµ tû lƯ sinh.
Ta th−êng gäi ma trËn Tn lµ ma trËn Leslie. Trong thùc tÕ, khi nghiªn cøu vỊ


7

sự phát triển dân số của một vùng nào đó nhiều khi ta biết phân bố số dân theo
từng độ tuổi của vùng đó tại thời điểm hiện tại là xn0 = x0 và ta cần tìm phân
bố số dân theo từng độ tuổi của vùng ấy tại một thời điểm trớc đó xn0 k , tức là
ta cần giải bài toán


xn+1

xn

0

= Tn xn ,

n = n0 k, n0 1,

(0.10)

0

=x .

Điều không may mắn ở đây là ma trận Leslie thờng là suy biến. Chẳng hạn ta
xét t = 5 (năm) và m = 20, tức là ta cã A1 = (0, 5], . . . , A20 = (95, 100]. Chóng
ta cã thĨ cho r»ng tån t¹i k0 sao cho b20 (n) = · · · = b20k0 (n) = 0 với mọi n, điều
này có nghĩa lµ


b (n) b2 (n)
 1

p1 (n)
0


 0
p2 (n)

..
 ..

 .
.


Tn =  0
0


 0
0


 0
0

 ..
..
 .
.

0
0

. . . bm−k0 −1 (n) bm−k0 (n)

0

...

...

0

0

0

...

...

0

0

0

...

...

..
.

..
.

..
.

...

0

0

...

0

...

. . . pm−k0 −1 (n)
...

0

pm−k0 (n)

...

0

0

...

..
.

..
.

..
.

...

...

0

0

0

...

pm−k0 +1 (n) . . .


0
0


0
0


0

0

..
.. 
.
.


0
0 .


0
0


0
0

..
.. 
.
.

pm−1 (n) 0

Víi phÐp ®ỉi biÕn ui = xn0 −i (i = 0, k) và phép đặt Mi = Tn0 i (i = 0, k), bài toán
(0.10) trở thành

Mi ui+1

u0

= ui ,

i = 0, k − 1,

(0.100 )

= x0 .

Râ rµng (0.10’) lµ bài toán giá trị ban đầu đối với phơng trình sai phân ẩn.
Mô hình kinh tế Leontief đợc mô tả bëi hÖ suy biÕn
xn = Axn + B(xn+1 − xn ) + dn ,

hay
Bxn+1 = (I + B − A)xn − dn .

(0.11)


8

Trong đó, nền kinh tế đợc chia thành m lĩnh vực sản xuất, xn là véc tơ gồm m
thành phần mà thành phần thứ i của nó là giá trị sản xuất hàng hoá của lĩnh vực
sản xuất thứ i trong thời điểm n, A là ma trận sản xuất, Axn là phần tiêu hao
trong sản xuất, B là ma trận đầu t, B(xn+1 xn ) là giá trị lợi nhuận sinh ra và
dn là véc tơ tiêu dùng. Ma trận đầu t B = (bij ) Rmìm gồm các thành phần

bij là số hàng hoá của lĩnh vực sản xuất thứ i mà lĩnh vực sản xuất thứ j cần để

sản xuất ra 1 đơn vị hàng hoá của lĩnh vực đó. Vì vậy, trong thực tế ma trận B
thờng suy biến, chẳng hạn lĩnh vực sản xuất thứ i nào đó không sản xuất hàng
hoá thì hµng thø i cđa ma trËn B lµ 0. VËy (0.11) thờng là phơng trình sai
phân ẩn.
Mặt khác, nhiều phơng trình sai phân ẩn chính là kết quả của việc rời rạc
hoá phơng trình vi phân đại số (0.6). Ascher, Brenan, Campbell và Petzold (xem
[13], [8]) đà xét lợc đồ sai ph©n Èn
An

xn − xn−1
+ Bn xn = qn ,
τ

n = 1, N ,

hay
(An + τ Bn )xn = An xn−1 + τ qn ,

n = 1, N .

Khi Êy với giả thiết (0.6) có chỉ số 1 thì với bớc lới rời rạc đủ bé ta nhận
đợc ma trận An + Bn khả nghịch, nói cách khác phơng trình trên là phơng
trình sai phân thờng. Bây giờ, áp dụng lợc đồ sai phân Euler hiện cho (0.6),
ta nhận đợc
An

xn+1 xn
+ Bn xn = qn ,

n = 0, N − 1,

hay
An xn+1 = (An − τ Bn )xn + τ qn ,

n = 0, N − 1.

Râ ràng, phơng trình sai phân trên là phơng trình sai phân ẩn. Tơng tự, ta
cũng nhận đợc phơng trình sai phân ẩn khi sử dụng lợc đồ sai phân trung tâm
cho phơng trình vi phân đại số (0.6).
Ngoài ra có rất nhiều bài toán điều khiển trong kĩ thuật liên quan đến phơng
trình sai phân ẩn.


9

Những mô hình thực tế, cũng nh việc rời rạc hoá phơng trình vi phân đại
số cho ta thấy việc nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn là một vấn đề thời
sự đợc nhiều ngời quan tâm. Trong thực tế, phơng trình sai phân ẩn cũng
đà đợc đồng thời đề cập đến khi nghiên cứu về phơng trình vi phân ®¹i sè.
Campbell, Meyer (xem [16]) ®· dïng biÕn ®ỉi Kronecker giống nh đà sử dụng
trong phơng trình vi phân đại số (0.5) để đa phơng trình sai phân ẩn tuyến
tính ôtônôm
Axn+1 = Bxn + qn ,

n Nn0 ,

ở đây A lµ ma trËn suy biÕn, vỊ mét hƯ gåm một phơng trình sai phân thờng và

một phơng trình sai phân ẩn dạng đặc biệt. Các kết quả nhận đợc về phơng
trình sai phân ẩn dạng trên đà đợc Campbell (xem [14]), Dai (xem [17]) áp
dụng cho các bài toán ®iỊu khiĨn d¹ng


Exn+1

yn

= Axn + Bun ,

n ∈ Nn0 ,

= Cxn ,

trong đó ma trận E suy biến.
Gần đây Navarro, Ferrer và Jodar (xem [35]) đà đa ra công thức nghiệm và
nghiên cứu tính ổn định của nghiệm cho phơng trình sai phân ẩn tuyến tính
ôtônôm bậc cao
Bk xn+k + Bk−1 xn+k−1 + · · · + B0 xn = f (n),

ở đây Bk là ma trận suy biến. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phơng trình
sai phân Èn cã chËm
Axn+1 = Bxn + Cxn−n0 + f (n),

víi ma trận A suy biến, cũng đà đợc Li, Zhang và Liu (xem [30]) nghiên cứu.
Khác với phơng trình vi phân đại số, các kết quả về phơng trình sai phân
ẩn không dừng mới chỉ đợc đề cập rất ít. Campbell và một số tác giả khác (xem
[14], [15], [40], [42]) mới chỉ xét một lớp hẹp phơng trình sai phân ẩn tuyến
tính không dừng. Gần đây Bondarenko, Rutkas và Vlasenko (xem [9], [10], [11])

10

đà đa ra điều kiện giải đợc duy nhất nghiệm và công thức nghiệm của bài toán
Cauchy cho phơng trình sai phân ẩn không dừng
Tn un+1 + un = n ,

n N0 ,

ở đó Tn là ma trận có chØ sè 1 vµ d·y {rankTn }∞
n=0 lµ dõng. Tuy nhiên, các kết
quả của nhóm tác giả nói trên chỉ là trờng hợp riêng của một số kết quả đợc
trình bày trong Chơng 1 của luận án này.
Đối với phơng trình vi phân đại số tuyến tính và sai phân ẩn tuyến tính
ôtônôm thì cách tiếp cận để giải quyết chúng giống nhau. Tuy nhiên, khi chuyển
sang phơng trình không dừng, các kĩ thuật áp dụng cho phơng trình vi phân
đại số không còn hữu hiệu đối với phơng trình sai phân ẩn nữa.
Luận án tập trung nghiên cứu một số vấn đề về phơng trình sai phân ẩn
tuyến tính kh«ng dõng
An xn+1 = Bn xn + qn ,

n ∈ N0 ,

(0.12)

ở đó An là các ma trận suy biến với mọi n N0 . Các vấn đề liên quan đến
phơng trình (0.12) đợc nghiên cứu trong luận án bao gồm:
1. Khái niệm chỉ số 1 của phơng trình (0.12).
2. Sự tồn tại nghiệm và công thức nghiệm tờng minh của bài toán giá trị ban

đầu và bài toán biên nhiều điểm.
3. Mối liên hệ giữa phơng trình sai phân ẩn chỉ số 1 và phơng trình vi phân
đại số chỉ số 1.
Khái niệm chỉ số của phơng trình sai phân ẩn đa ra ở đây thể hiện độ suy
biến của phơng trình sai phân ẩn. Nói cách khác, nó đo khoảng cách giữa
phơng trình sai phân ẩn và phơng trình sai phân thờng. Đối với phơng trình
vi phân đại số tuyến tính không dừng, ta dùng các phép chiếu lên các không gian
kerA(t) và phần bù của nó để tách phơng trình vi phân đại số thành một hệ gồm
một ràng buộc đại số và một phơng trình vi phân thờng. Còn đối với phơng


11

trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng, ta lại sử dụng khai triển kì dị của các
ma trận An và các ma trận tựa chiếu để tách phơng trình sai phân ẩn thành
một hệ gồm một phơng trình sai phân thờng và một ràng buộc đại số. Cách
tiếp cận mới này đà thu đợc một số kết quả tốt cho phơng trình sai phân ẩn
tuyến tính không dừng (0.12). Cách tiếp cận này cũng đợc giới kĩ thuật quan
tâm khi (CSAs Internet Database Service) đa công trình [32] vào (CSA Civil
Engineering Abstracts).
Luận án đợc hình thành trên cơ sở ba bài báo [4], [5], [32] và đợc sắp
xếp thành ba chơng. Chơng 1 dành cho việc trình bày khái niệm chỉ số 1
của phơng trình sai phân ẩn dựa vào khai triển kì dị của An và các phép chiếu
lên kerAn . Chơng này cũng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và đa ra công thức
nghiệm tờng minh của bài toán Cauchy đối với (0.12) khi hệ số cả có hạng
hằng hoặc có hạng thay đổi. Một số kết quả về bài toán khởi tạo giá trị ban đầu
cũng đợc đề cập đến ở chơng này. Trong Chơng 2, chúng tôi xét bài toán
biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn chỉ số 1. Các kết quả nhận đợc
trong chơng này là đa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệm
của bài toán biên nhiều điểm. Hơn nữa, điều kiện giải đợc cũng nh công thức

nghiệm tờng minh của bài toán không chính qui cũng đợc thiết lập. Chơng 3
trình bày mối liên hệ giữa phơng trình sai phân ẩn chỉ số 1 và phơng trình vi
phân đại số chỉ số 1. Khi áp dụng lợc đồ Euler hiện cho bài toán Cauchy đối
với phơng trình vi phân đại số chỉ số 1 ta sẽ nhận đợc phơng trình sai phân
ẩn chỉ số 1. Hơn nữa, nghiệm của bài toán rời rạc hội tụ về nghiệm của bài toán
liên tục tơng ứng khi bớc lới rời rạc đủ bé. Trong chơng này ta cũng chỉ ra
sự không tơng thích giữa khái niệm chính qui của bài toán liên tục và bài toán
rời rạc nhận đợc khi áp dụng lợc đồ Euler hiện. Sự hội tụ của lợc đồ Euler
hiện cho bài toán biên nhiều điểm cũng sẽ đợc trình bày. Trong cả ba chơng
của luận án, các kết quả lý thuyết đợc minh hoạ bằng các ví dụ tính toán bằng
số trong môi trờng MAPLE. Cuối cùng là phần kết luận, danh mục công trình
đà công bố liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo.


Chơng 1

Bài toán Cauchy cho phơng trình sai phân ẩn
với hệ số biến thiên

Trong chơng này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải đợc của bài toán giá trị ban
đầu cho phơng trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng:
An xn+1 = Bn xn + qn ,

n ∈ N0 ,

(1.1)

ë đây An , Bn Rmìm , qn Rm vµ An lµ ma trËn suy biÕn víi mäi n N0 .
Phơng trình (1.1) xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng và có thể đợc xem
nh là kết quả của sự rời rạc hoá phơng trình vi phân đại sè

A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t),

t ∈ J := [t0 , T ],

(1.2)

trong đó A, B C(J, Rmìm ), q ∈ C(J, Rm ) vµ ma trËn A(t) suy biến với mọi t J .
Thời gian gần đây đà có nhiều tác giả nhận đợc các kết quả về phơng
trình (1.2) nh Ascher, Boyarincev, Brenan, Campbell, Gear, Griepentrog, Hairer,
..

Marz, Petzold, Rheinboldt, ... Trong các kết quả đà nhận đợc về phơng trình
(1.2), ngời ta đều giả thiết kerA(t) trơn theo t, do đó A(t) có hạng hằng. Khi
tiếp cận phơng trình (1.1), bằng cách sử dụng khai triển kì dị của các ma trận
An cũng nh một số khái niệm và kĩ thuật của phơng trình vi phân đại số, chúng

ta sẽ đa ra khái niệm chỉ số 1 của phơng trình sai phân ẩn tuyến tính khi hạng
của hệ số cả là hằng. Trong [4] đà chỉ ra rằng khái niệm chỉ số 1 này hoàn toàn
tơng thích với khái niệm chỉ số 1 của phơng trình vi phân đại số theo nghĩa
..

của Griepentrog và Marz. Tức là nếu (1.2) có chỉ số 1 thì phơng trình sai phân
nhận đợc từ nó bằng một cách rời rạc thích hợp cũng có chỉ số 1.
Trong chơng này, ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và tìm công
thức nghiệm tờng minh của bài toán Cauchy. Một số kết quả liên quan đến bài
12


13

toán Cauchy nh là chọn véc tơ ban đầu P0 x0 cũng đợc đề cập ở đây. Hơn nữa,
khác với phơng trình vi phân đại số, trong đó rankA(t) luôn giả thiết là hằng,
phơng trình sai phân ẩn vẫn có thể giải đợc trong trờng hợp rankAn không
hằng.
Kết quả chính của chơng này đợc công bố trong bài báo [32].

1.1 Trờng hợp hạng của hệ số cả là hằng
1.1.1 Khái niệm chỉ số
Giả sử rằng An là các ma trận suy biến, khác không, và có hạng hằng, tức là
rankAn = r víi mäi n ∈ N0 , trong ®ã 0 < r < m. Khi ®ã xÐt mét khai triển kì dị
của An
An = Un n VnT ,

(1.3)

ở đây n là ma trận đờng chéo với các giá trị kì dị n(1) n(2) Ã Ã Ã n(r) > 0
trên đờng chéo chính, hay n có dạng
n = diag(σn(1) , σn(2) , . . . , σn(r) , 0, . . . , 0);
Un , Vn lµ các ma trận trực giao, tức là
UnT Un = Un UnT = VnT Vn = Vn VnT = I.

Đặt V1 = V0 , Qn = Vn Q∗ VnT , Pn = I − Qn , n ∈ N0 víi Q∗ :=diag(Or , Imr ), trong
đó Or , Imr là kí hiệu của các ma trận vuông không cấp r và ma trận đơn vị cấp
m r. Từ dạng của Σn vµ Q∗ ta cã Σn Q∗ = O, do đó Qn là phép chiếu lên kerAn .

Trớc khi trình bày khái niệm chỉ số 1 của phơng trình (1.1), chúng ta cần
có một số kết quả bổ trợ. Các kết quả này đợc phát biểu trong hai bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. Giả sử rằng ma trận Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT (n ∈ N0 ) là không suy

biến. Khi đó ta có

(i)
An Pn = An

(1.4)


14

(ii)
−1

Pn = Gn An

(1.5)

T
Gn Bn Qn−1 = Vn Q∗ Vn−1

(1.6)

(iii)
−1

−1

Pn Gn Bn Qn−1 = O,

−1

T

Qn Gn Bn Qn−1 = Vn Q∗ Vn−1

−1

(1.7)

−1

en−1 := I − Pen−1
(iv) NÕu Gn−1 tån t¹i và đặt Pen1 = I Qn1 Vn1 VnT Gn Bn thì Q

là một phép chiếu lên kerAn1 . Hơn n÷a,

−1
−1
Pen−1 Gn−1 Bn−1 Pen−2 = Pen−1 Gn−1 Bn−1 .

(1.8)

Chøng minh. Do An Qn = Un Σn VnT Vn Q∗ VnT , VnT Vn = I vµ Σn Q∗ = O, nên ta nhận

đợc An Qn = O. Vì Qn = I − Pn , nªn An (I − Pn ) = O, hay An Pn = An .
Đẳng thức (1.4) ®−ỵc chøng minh. Ta cã Gn Pn = (An + Bn Vn−1 Q∗ VnT )Pn =
(An + Bn Vn−1 VnT Qn )Pn = An Pn + Bn Vn−1 VnT Qn Pn .

Do Qn Pn = O nên đẳng

thức cuối trên cho ta Gn Pn = An Pn . KÕt hỵp hệ thức vừa nhận đợc với (1.4)
1

ta suy ra Gn Pn = An , hay Pn = Gn An . Tõ ®ã suy ra (1.5). TiÕp theo, tõ
T
Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT ta cã Gn − An = Bn Vn1 Q VnT . Nhân Vn Vn1
vào bên

phải hai vế của đẳng thức này và lu ý rằng VnT Vn = I , ta nhận đợc đẳng thức
T
T
T
(Gn −An )Vn Vn−1
= Bn Vn−1 Q∗ Vn−1
, hay Bn Qn−1 = (Gn An )Vn Vn1
. áp dụng đẳng
1

1

T
T
= (I Pn )Vn Vn1
=
thức (1.5), ta nhận đợc Gn Bn Qn1 = Gn (Gn − An )Vn Vn−1
T
T
T
Qn Vn Vn−1
= Vn Q VnT Vn Vn1
= Vn Q Vn1
. Vậy (1.6) đợc chứng minh. Đẳng thức

(1.7) là hệ quả trực tiếp của (1.6). Bây giờ ta chứng minh đẳng thức (1.8). Thật
vậy,
1
1
1
T
Pen1 Gn−1 Bn−1 Pen−2 = Pen−1 Gn−1 Bn−1 (I − Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 )

−1
−1
−1
T
= Pen−1 Gn−1 Bn−1 − Pen−1 Gn−1 Bn1 Qn2 Vn2 Vn1
Gn1 Bn1 .

Đẳng thức (1.8) sẽ đợc thiết lập nếu ta chứng minh đợc

1
1
T
Pen1 Gn1 Bn1 Qn2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 = O.


15
−1

T
Theo (1.6) th× Gn−1 Bn−1 Qn−2 = Vn−1 Q∗ Vn−2

, v× thÕ
−1
−1
−1
T
T
T
Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 = Pen−1 Vn−1 Q∗ Vn−2
Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 .

T
T
§Ĩ ý r»ng Vn−2
Vn−2 = I và Vn1 Q Vn1
= Qn1 , vì vậy hệ thức trên đợc rút gọn
1
1
1
T
Pen1 Gn1 Bn1 Qn2 Vn2 Vn1
Gn1 Bn1 = Pen1 Qn1 Gn1 Bn1 .

Mặt khác, ta có

1
1
Pen1 Qn−1 = (I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn )Qn−1 = Qn−1 − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn Qn−1 .

T
L¹i ¸p dông (1.6), ta cã Pen−1 Qn−1 = Qn−1 − Qn−1 Vn−1 VnT Vn Q∗ Vn−1
= Qn−1 −

−1
−1
T
Qn−1 Qn−1 = O. Do ®ã ta cã Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1
Gn−1 Bn−1 = O. VËy
−1

en−1 = I − Pen−1
(1.8) ®· đợc chứng minh. Vì Pen1 := I Qn1 Vn1 VnT Gn Bn vµ Q
−1

en−1 = Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn . Từ An1 Qn1 = O ta nhận đợc An−1 Q
en−1 =
nªn Q
−1

An−1 Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn = O. Hơn nữa, ta có

T 1
e2n1 = Qn1 Vn1 VnT G−1
Q
n Bn Qn−1 Vn−1 Vn Gn Bn .

T
¸p dơng (1.6) vào hệ thức trên và lu ý rằng VnT Vn = I , Vn−1 Q∗ Vn−1
= Qn−1 ,

−1

e2n−1 = Qn−1 Vn1 VnT Gn Bn = Q
e n1 . Điều đó chứng tỏ Q
en1
Q2n1 = Qn1 , ta đợc Q

là một phép chiếu lên kerAn1 . Bổ đề đà đợc chứng minh.

T

Bổ đề 1.2. Giả sử An = Un n VnT = U n Σn V n lµ hai khai triĨn kì dị của ma trận
An . Khi đó
bn := An + Bn V n1 Q V T là đồng
(i) Các ma trËn Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT và G
n

thời suy biến hoặc đồng thời không suy biến.

(ii) Nếu Gn và Gn1 khả nghịch thì
1

và

T

b1
Vn1 Q VnT Gn = V n−1 Q∗ V n G
n
−1

b−1 ,
Pen−1 Gn−1 = Pen−1 G
n−1

−1
trong ®ã Pen−1 := I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn .

(1.9)

(1.10)


16

T

Chứng minh. (i) Giả sử Gn khả nghịch và kí hiÖu S n := {ζ : Bn V n−1 V n ImAn },

bn cũng khả nghịch. Để chứng minh điều này, trớc hết
ta cần chứng minh rằng G

ta chøng tá S n ∩ kerAn = {0}. ThËt vËy, lÊy x ∈ S n ∩ kerAn tuú ý. Do x S n nên
1

T

tồn tại véc tơ Rm sao cho Bn V n−1 V n x = An . Nhân Qn Gn vào bên trái hai
vế của đẳng thức này ta nhận đợc
1

1

T

Qn Gn Bn V n1 V n x = Qn Gn An .
1

Sử dụng đẳng thøc (1.5) trong Bỉ ®Ị 1.1, ta cã Qn Gn An ζ = Qn Pn ζ = 0, do ®ã
−1

T

T

Qn Gn Bn V n−1 V n x = 0. T−¬ng tự nh Qn , ta đặt Qn = V n Q V n , thì Qn cũng là

một phép chiếu lên kerAn . Mặt khác, từ x kerAn , suy ra tồn tại z Rm để x =
T

T

T

T

Qn z . Hơn nữa, An1 V n1 V n x = U n−1 Σn−1 V n−1 V n−1 V n x = U n−1 Σn−1 V n Qn z =
T

T

U n−1 Σn−1 Q∗ V n z . V× Σn−1 Q∗ = O nên ta nhận đợc An1 V n1 V n x = 0. Từ đây
T

T

suy ra V n1 V n x kerAn1 , hay tồn tại véc tơ η ∈ Rm sao cho V n−1 V n x = Qn1 .
1

1

T

Nh vậy đẳng thức Qn Gn Bn V n1 V n x = 0 đợc viết lại lµ Qn Gn Bn Qn−1 η = 0.
T
T
η = 0, hay Q∗ Vn−1
η = 0.
Tõ hƯ thøc (1.7) trong Bỉ ®Ị 1.1, ta nhËn ®−ỵc Vn Q∗ Vn−1
T

T
η = 0, hay Qn−1 η = 0. V× V n−1 V n x = Qn1
Điều này có nghĩa là Vn1 Q Vn−1
T

nªn V n−1 V n x = 0, hay x = 0. Vậy ta nhận đợc S n kerAn = {0}. Bây giờ ta sẽ
T

bn khả nghịch. Giả sử G
bn x = 0, tøc lµ (An +Bn V n−1 Q∗ V )x = 0, hay

chøng minh G
n
T

Bn V n−1 V n Qn x = −An x ∈ ImAn . VËy ta cã Qn x ∈ S n . MỈt kh¸c, Qn x ∈ kerAn ,

suy ra Qn x ∈ kerAn ∩ S n . Do kerAn ∩ S n = {0} nên Qn x = 0. Kết hợp đẳng
T

thức nµy víi Bn V n−1 V n Qn x = −An x ta cã An x = 0, tøc lµ x kerAn . Vì vậy

bn là ma trận khả nghịch.
x = Qn x = 0. Điều này có nghĩa là G

(ii) Trớc hết, ta để ý rằng cả Qn1 và Qn1 là hai phép chiếu lên kerAn1 ,
T

T

T
V n1 Q∗ V n−1 = V n−1 Q∗ V n−1 . Nhân
do đó Qn1 Qn1 = Qn1 , hay Vn1 Q Vn1
T

V n1 vào bên trái và V n1 vào bên phải, hai vế của đẳng thức này ta có Q =
T

T
V n−1 Vn−1 Q∗ Vn−1
V n−1 Q∗ .

T
bn bëi V Tn1 Vn1 Q Vn1
Từ đó, bằng cách thay thế Q trong G
V n−1 Q∗ ta cã

−1
bn = Vn−1 Q∗ V T G−1 (An + Bn V n−1 Q∗ V T ) = Vn−1 Q∗ V T G−1 An
Vn−1 Q∗ VnT Gn G
n
n
n
n
n
−1

T

T

T
+Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn V n−1 V n−1 Vn−1 Q∗ Vn−1
V n−1 Q∗ V n


17
−1

−1

T

= Vn−1 Q∗ VnT Gn An + Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n .
−1

Sư dơng hÖ thøc (1.5), ta cã Vn−1 Q∗ VnT Gn An = Vn1 VnT Qn Pn = O. Từ đẳng thức
(1.6), suy ra
−1

T

T

T
Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n = Vn−1 Q∗ VnT Vn Q∗ Vn−1
V n−1 Q∗ V n
T

= Qn−1 Qn−1 V n−1 V n
T

T

= Qn−1 V n−1 V n = V n−1 Q∗ V n .

Vậy ta nhận đợc
1

T

T

Vn1 Q VnT Gn Bn Qn1 V n−1 Q∗ V n = V n−1 Q∗ V n ,
−1
∗ T b −1
bn = V n−1 Q∗ V Tn , hay Vn−1 Q∗ VnT G−1
do ®ã Vn−1 Q∗ VnT Gn G
n = V n−1 Q V n Gn . Đẳng

thức (1.9) đợc chứng minh.

Để chứng minh (1.10), ta xét
1
T
bn−1 = G−1
Gn−1 G
n−1 (An−1 + Bn−1 V n−2 Q V n−1 )
−1

−1

T

= Gn−1 An−1 + Gn−1 Bn−1 V n−2 Q∗ V n−1 .

T

T
Ta cã Q∗ = V n−2 Vn−2 Q∗ Vn−2
V n−2 Q∗ nªn
−1

−1

T

T

T

T
Gn−1 Bn−1 V n−2 Q∗ V n−1 = Gn−1 Bn−1 V n−2 V n−2 Vn−2 Q∗ Vn−2
V n−2 Q∗ V n−1
−1

T

= Gn−1 Bn−1 Qn−2 V n−2 Q V n1 .

áp dụng (1.6) vào hệ thức cuối, ta đợc
1

T

T

T
Gn1 Bn1 Qn2 V n2 Q V n1 = Vn1 Q Vn2
V n2 Q V n1 .
1

Mặt khác, theo (1.5) thì Gn1 An1 = Pn1 , do đó ta có
1

Vậy ta nhận đợc

T

bn1 = Pn1 + Vn1 Q V T V n−2 Q∗ V
Gn−1 G
n−2
n−1 .

−1
bn−1 = Pen−1 Pn−1 + Pen−1 Vn−1 Q∗ V T V n−2 Q∗ V T .
Pen1 Gn1 G
n2
n1

en1 là phép chiếu lên kerAn1 nên Q
en1 Qn1 = Qn1 hay
Bổ đề 1.1 khẳng định Q
Pen1 Qn−1 = O, do ®ã

T
T
T
T
Pen−1 Vn−1 Q∗ Vn−2
V n−2 Q∗ V n−1 = Pen−1 Qn−1 Vn−1 Vn−2
V n−2 Q∗ V n−1 = O,

18
1

bn1 = Pen1 Pn1 . Hơn nữa, Pen1 Pn1 = Pen−1 (I − Qn−1 ) = Pen−1 .
suy ra Pen−1 Gn−1 G

−1
bn−1 = Pen−1 , hay Pen−1 G−1 = Pen−1 G
b1
Vì thế ta có Pen1 Gn1 G
n1 , tức là hệ thức
n1

(1.10) đợc thiết lập. Vậy, bổ đề đà đợc chứng minh.

Bổ đề 1.2 chứng tỏ định nghĩa về chỉ số 1 của phơng trình (1.1) dới đây
không phụ thuộc vào việc chọn khai triển kì dị của các ma trận An .
Định nghĩa 1.1. Phơng trình sai phân ẩn tuyến tính (1.1) đợc gọi là có chỉ số

1 nếu
(i) rankAn = r (0 < r < m), ∀n ∈ N0 .
(ii) C¸c ma trËn Gn := An + Bn Vn1 Q VnT khả nghịch với mọi n N0 .
Ví dụ 1.1. Xét phơng trình sai phân ẩn

1 1
n
n
2

 xn+1 = 
 xn +   , ∀n ∈ N0 .
n n
n n−1
−1




 
1 1
n
n
2
 , Bn = 
 , qn =  .
Ta cã An = 
n n
n n1
1

(1.11)

Dễ thấy, kerAn =span{(1, 1)T }, điều này chứng tỏ rankAn 1. Hơn nữa, An =
Un n VnT , trong ®ã







√
1 n
1 0
1 −1
1

 , Σn = 2 + 2n2 
.
 vµ Vn = √1 
Un = √
2
n + 1 n −1
2
0 0
1 1

Khi ®ã








0 0
1 −1
1 −1
 , V−1 = √1 
 , Qn = Vn Q∗ VnT = 1 
 , ∀n ∈ N0 .
Q∗ = 
2 −1 1
2 1 1
0 1


1 1
 víi mäi n N0 . Từ đó ta nhận đợc
Do đó Pn = 12 
1 1


1
1
 , ∀n ∈ N0 .
Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT = 
n + 12 n 12

Do Gn khả nghịch với mọi n N0 nên (1.11) là phơng trình sai phân ẩn chỉ sè
1.


19
Ví dụ 1.2. Xét phơng trình (1.1) với An , Bn vµ qn cho bëi







1 −1 − n
2 −1 − n
n
 , Bn = 
 , qn = 
.
An = 
1 −1 − n
2
0
n−1

(1.12)

Khi ®ã kerAn =span{(1 + n, 1)T } víi mäi n ∈ N0 , suy ra rankAn 1. Khai triển
kì dị của An là An = Un Σn VnT víi



p

2
1
1+n

2(1 + (1 + n) ) 0
1

 , Σn = 
;
Vn = p
1 + (1 + n)2 −1 − n
1
0
0

do ®ã



Q∗ = 

0 0







1 1
 , V−1 = V0 = 1
.
2
0 1

1 1

Từ đây bằng tính toán ta nhận đợc

G0 = A0 + B0 V1 Q V0T =

Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT





3
2

2



− 12

0

,


n − 1 − Mn (n + 1)
1  Mn + n − 1
 , ∀n ∈ N,
=

Mn Mn + 2n(n + 1) 2n − Mn (n + 1)
2

p
(1 + n2 )(1 + (1 + n)2 ). Suy ra detG0 = 1,

(n+1) 1+(1+n)2

detGn =
6= 0, n N. Điều này chứng tỏ phơng trình (1.1) với
1+n2

ở đây Mn :=

dữ liệu (1.12) có chỉ số 1.
Ví dụ 1.3. Xét phơng trình sai ph©n Èn (1.1) víi






1
−1
−1 0
n2 − 1
 , Bn = 
 , qn = 
 , ∀n ∈ N0 .
An = 

−n
−n + 1 n − 1
n −1

(1.13)

Trong tr−êng hỵp này ta có kerAn =span{(1, 1)T }, vì vậy ta nhận đợc rankAn 1.
Ta có khai triển kì dị cđa ma trËn An cã d¹ng An = Un Σn VnT , ở đây
p



2(1 + (n 1)2 ) 0
1
1
, Vn = √1 
 , ∀n ∈ N0 ;
Σn = 
2
0
0
−1 1


20


0 0
. DƠ thÊy
do ®ã Q∗ = 

0 1
Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT =





−3
1 1
;
2 1 − n 3(n − 1)

suy ra detGn = 0. VËy Gn không khả nghịch, hay phơng trình (1.13)
không
là
2n 0

phơng trình có chỉ số 1. Tuy nhiên, nếu thay Bn b»ng ma trËn Bn = 


n+1 n−1

th× ma trËn Gn =

2n

n

1

1



. Điều này suy ra detGn = 2(n2 n + 1) 6= 0

víi mäi n ∈ N0 . Vậy với dữ liệu cho bởi (1.13) và Bn là ma trận vừa xét, (1.1)
là phơng trình có chỉ số 1.

Để có sự so sánh khái niệm chỉ số của phơng trình sai phân ẩn mà ta vừa
đa ra với khái niệm chỉ số của phơng trình vi phân đại số, sau đây ta sẽ nhắc
lại một số định nghĩa về khái niệm chỉ số của phơng trình vi phân đại số.
Định nghĩa 1.2. ([14], [21]) Cho A là một ma trËn. Khi ®ã
k := min{n ∈ N0 : kerAn = kerAn+1 }

đợc gọi là chỉ số của ma trận A và kí hiệu là ind(A).
Định nghĩa 1.3. ([14], [21]) Cặp ma trận {A, B} đợc gọi là chính qui nếu

det(A + B) không là đa thức đồng nhất 0.
Bổ đề 1.3. ([14], [21]) Cho {A, B} là cặp ma trận chính qui và c, c là các số

thực sao cho c 6= c, det(cA + B) 6= 0, det(cA + B) 6= 0. Khi ®ã
ind((cA + B)−1 A) = ind((cA + B)1 A).

Từ Bổ đề 1.3 ta có định nghĩa về chỉ số của cặp ma trận dới đây không phụ
thuộc vào việc chọn số thực c.
Định nghĩa 1.4. ([14], [21]) Cho {A, B} là cặp ma trận chính qui. Khi đó chỉ số

của cặp ma trận {A, B}, kÝ hiƯu ind(A, B), lµ chØ sè cđa ma trËn (cA + B)1 A,
trong đó c là số thực sao cho det(cA + B) 6= 0.


21
Định nghĩa 1.5. ([21]) Phơng trình vi phân đại số (1.2) đợc gọi là có chỉ số 1

nếu:
(i) Tồn tại phép chiếu trơn Q C 1 (J, Rmìm ) lªn kerA(t): Q2 (t) = Q(t),
ImQ(t) = kerA(t) víi mäi t ∈ J .

(ii) Ma trËn G(t) := A(t) + B(t)Q(t) kh«ng suy biÕn víi mäi t ∈ J .
Bỉ đề 1.4. ([21]) Cho {A, B} là cặp ma trận chính qui và Q là phép chiếu bất

kỳ lên kerA. Khi đó ta có các mệnh đề sau là tơng ®−¬ng.
(i) ind(A, B) = 1.
(ii) Ma trËn G := A + BQ không suy biến.
Nhận xét 1.1. Từ điều kiện (i) của Định nghĩa 1.5, ta có thể suy ra đợc rankA(t)

là hằng. Theo Bổ đề 1.4, ta có chỉ số của cặp ma trận {A(t), B(t)} trong phơng
trình vi phân đại số chỉ số 1 luôn bằng 1 với mäi t ∈ J , trong khi ®ã chØ sè của
cặp ma trận {An , Bn } trong phơng trình sai phân ẩn chỉ số 1 lại không nhất thiết
bằng 1 víi mäi n ∈ N0 , thËm chÝ cã thể tồn tại k N0 mà cặp {Ak , Bk } không
chính qui. Đây chính là điểm khác biệt giữa hai khái niệm chỉ số của phơng
trình sai phân ẩn và phơng trình vi phân đại số.

1.1.2 Bài toán Cauchy
Tơng tự nh phơng trình vi phân đại số (xem [21]) nếu ta đặt điều kiện ban
đầu cho (1.1) là
x0 − x0 = 0,

(1.14)

víi x0 ∈ Rm cho tr−íc, bµi toán giá trị ban đầu (1.1) và (1.14) có thể vô nghiệm.
Chẳng hạn, xét phơng trình (1.11), với n = 0 ta cã




 
1 1
0 0
2

 x1 = 
 x0 +   .
0 0
0 −1
−1


22
(1)
(2) T
2
Từ đẳng thức trên ta nhận đợc x(2)
0 = 1, ở đây x0 = (x0 , x0 ) R . VËy nÕu

lÊy x0 = (α, β)T ∈ R2 , ở đó 6= 1, thì bài toán Cauchy





1 1
n 

n
2



 xn+1 = 
 xn +   ,
n n
n n−1
−1





x0 = x0

n ∈ N0 ,

sÏ v« nghiƯm. Vì vậy đối với phơng trình sai phân ẩn, ta không yêu cầu véc

tơ x0 x0 bằng véc tơ không mà chỉ yêu cầu một số thành phần của nó bằng 0,
chẳng hạn
P0 (x0 x0 ) = 0.

(1.15)

Để thiết lập tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đối với phơng trình
sai phân ẩn có chỉ số 1 trớc tiên ta chứng minh bổ đề sau.
T

Bổ đề 1.5. Gi¶ sư An = Un Σn VnT = U n n V n là hai khai triển kì dị của An .
T

T

b−1 Bn víi G
bn := An + Bn V n1 Q V n , M (n) =
Đặt Pbn1 = I − Qn−1 V n−1 V n G
n
k
k
Q

i=0

vµ

k
−1
c(n) = Q G

b−1 Bn−1−i (k = 0, n − 1). Khi ®ã ta cã
Gn−1−i Bn−1−i , M
n−1−i
k
i=0

Pen−1 = Pbn−1

(1.16)

(n)
c(n) .
Pen−1 Mk = Pbn1 M
k

(1.17)

Chứng minh. Từ đẳng thức (1.9) trong Bổ đề 1.2, ta nhận đợc ngay hệ thức

(1.16). Sử dụng hệ thøc (1.8), ta cã

vµ

(n)
Pen−1 Mk = Pen−1

c(n) = Pbn−1
Pbn−1 M
k

k
Y
i=0

k
Y
i=0

−1
Pen−1−i Gn−1−i Bn−1−i

b−1 Bn−1−i .
Pbn−1−i G
n−1−i


23
1

b1
e
b1
e
Theo (1.16) và (1.10) thì Pbn1i G
n1i = Pn1i Gn1i = Pn−1−i Gn−1−i , hay
b−1 Bn−1−i = Pen−1−i G−1 Bn−1−i (i = 0, k). Suy ra
Pbn−1−i G
n−1−i
n−1−i
Pen−1

k
Y
i=0

−1
Pen−1−i Gn−1−i Bn−1−i = Pbn1

k
Y
i=0

Từ đây ta nhận đợc (1.17).

b1 Bn1i .
Pbn1i G
n1i

Bây giờ chóng ta sÏ thiÕt lËp tÝnh duy nhÊt nghiƯm vµ xây dựng công thức
nghiệm tờng minh cho bài toán giá trị ban đầu (1.1), (1.15).
Định lý 1.1. Giả sử phơng trình (1.1) có chỉ số 1. Khi đó bài toán Cauchy (1.1),

(1.15) lu«n cã duy nhÊt nghiƯm víi mäi vÕ phải qn Rm , ở đó n N0 , và nghiệm
đợc cho bởi công thức
1

x0 = Pe1 x0 − V−1 Q∗ V0T G0 q0 ,

−1
−1

−1
x1 = Pe0 (G0 B0 x0 + G0 q0 ) − V0 Q∗ V1T G1 q1 ,

(1.18)

n−2
P (n)
−1
−1
(n)
xn = Pen−1 (Mn−1 x0 +
Mn−2−k Gk qk + Gn−1 qn−1 )
k=0

−1

−Vn−1 Q∗ VnT Gn qn , n N2 .

Hơn nữa, công thức (1.18) không phụ thuộc vào việc chọn các khai triển kì dị
của các ma trËn An .

Chøng minh. V× (1.1) cã chØ sè 1 nên các ma trận Gn = An +Bn Vn1 Q VnT , n N0 ,
1

1

đều khả nghịch. Nhân Pn Gn và Qn Gn vào bên trái hai vế của phơng trình
(1.1), ta nhận đợc hệ

Pn G1
n An xn+1

1

1

= Pn Gn Bn xn + Pn Gn qn


Qn G−1 An xn+1
n

=

−1
Qn Gn Bn xn

+

−1
Qn Gn qn

(n ∈ N0 ).

¸p dơng hệ thức (1.5), ta có thể viết lại hệ trên nh− sau


Pn Pn xn+1


Qn Pn xn+1

−1

−1

= Pn Gn Bn xn + Pn Gn qn
=

−1
Qn Gn Bn xn

+

−1
Qn Gn qn

(n ∈ N0 ),


24

hay


Pn xn+1

0

−1

−1

= Pn Gn Bn (Pn−1 xn + Qn−1 xn ) + Pn Gn qn
=

−1
Qn Gn Bn (Pn−1 xn

+ Qn−1 xn ) +

−1
Qn Gn qn

(n ∈ N0 ).

Theo hÖ thøc (1.7), hệ trên đợc rút gọn là


Pn xn+1

1

1

(1.19)

= Pn Gn Bn Pn−1 xn + Pn Gn qn ,


0

−1

−1

T
= Qn Gn Bn Pn−1 xn + Vn Q∗ Vn−1
xn + Qn Gn qn .

(1.20)

Mặt khác, nhân Vn1 VnT vào bên trái hai vế của (1.20), ta thu đợc
1

1

Vn1 Q VnT Gn Bn Pn−1 xn + Qn−1 xn + Vn−1 Q∗ VnT Gn qn = 0,

hay
−1

−1

Pn−1 xn + Qn−1 xn = Pn−1 xn − Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Pn−1 xn − Vn−1 Q∗ VnT Gn qn .

Do ®ã
−1

−1

xn = (I − Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn )Pn−1 xn − Vn−1 Q∗ VnT Gn qn ,

tøc lµ
−1

xn = Pen−1 Pn−1 xn − Vn−1 Q VnT Gn qn .

Đặt un = Pn1 xn , n N0 . Khi đó hệ thức trên có d¹ng
−1
xn = Pen−1 un − Vn−1 Q∗ VnT Gn qn ,

n N0 ,

(1.21)

ở đây un là nghiệm của phơng trình sai phân thờng


un+1

u0

1

1

= Pn Gn Bn un + Pn Gn qn ,
0

0

(1.22)

0

= u := P0 x (= P−1 x ).

Nghiệm của (1.22) đợc cho bởi
n1
Q

un = (

1

Pn1i Gn1i Bn1i )u0

i=0
n−2
P n−k−2
Q

+

k=0

(

i=0

−1

−1

−1

Pn−1−i Gn−1−i Bn−1−i )Pk Gk qk + Pn−1 Gn−1 qn−1 , n ∈ N.