Ứng dụng phương pháp mô phỏng động lực phân tử nghiên cứu tương tác giữa phối tử với Protein và ADN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------- --------

NGUYỄN NHƯ XUÂN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA
LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội - 2008


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

NGUYỄN NHƯ XUÂN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ
NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG
LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62.44.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Giáo sư – Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội – 2008


MỤC LỤC
Trang
4

A. MỞ ĐẦU
 Phương pháp phân tích phiếm hàm

4

 Cấu trúc của luận văn

9

B. NỘI DUNG

13

CHƯƠNG I: HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC

13

1.1. Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài

13

1.2. Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngồi

16

dưới dạng tích phân phiếm hàm
CHƯƠNG II:

TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK

21

TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM

2.1. Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

21

2.1.1. Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

21

2.1.2. Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

25

2.2. Tán xạ năng lượng cao
2.2.1. Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

28

29

trong
trường vơ hướng

36

2.2.2. Tính chất tiệm cận của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng ở
năng lượng cao

39

2.3. Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng
Planck

40

2.3.1. Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn

44

2.3.2. Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt trong tương tác hấp
dẫn
2.3.3. Đóng góp bổ chính cho biên độ tán xạ đàn tính ở vùng

46


năng lượng Planck
CHƯƠNG III:

TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK
TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ

3.1. Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán

50
51

xạ hai hạt vô hướng
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao

56

3.3. Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa

60

3.4. Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích

65

phân quỹ đạo Feynman
CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HỐ HÀM GREEN

69

TRONG MƠ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED3 VÀ
QED4

4.1. Hàm Green lượng tử G(x,y) trong mơ hình Bloch-Norsieck

70

4.2. Phương pháp chỉnh Pauli-Villar

72

4.3. Phương pháp chỉnh thứ nguyên

74

4.4. Đánh giá sự phân kỳ của giản đồ năng lượng riêng photon

77

trong QED3
KẾT LUẬN

85

CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN

87

Tài liệu tham khảo

89

Phụ lục A

97

Phụ lục B

107

Phụ lục C

113

Phụ lục D

121

Phụ lục E

123


HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày cách tìm hàm Green trong mơ hình tự tương tác
của các “nucleon” vơ hướng. Sau đó, kết quả thu được trong mơ hình này sẽ được tổng qt
hố cho trường hợp điện động lực học vơ hướng, trong đó “nucleon” vơ hướng phức tương
tác với trường điện từ (trường véc tơ) và tương tác của “nucleon” vô hướng với trường hấp
dẫn (trường tenxơ). Kết thúc chương này chúng ta xét một bài tốn đơn giản là tìm hàm
Green lượng tử của hạt vơ hướng trong trường sóng phẳng điện từ.
Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngồi dưới dạng tích phân phiếm
hàm
Phương trình cho hàm Green trong trường ngồi của mơ hình tự tương tác giữa các

“nucleon” vô hướng mô tả bởi trường  ( x) có Lagrangian tương tác: Lint  g 3 , có dạng:
i 2 2  g ( x)  m2  G( x, y |  )   4 ( x  y) .
(1.1)
Lời giải của phương trình (1.1) đã được tìm bằng nhiều phương pháp khác nhau.
Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến. Trong phương pháp này, hàm
Green của hạt vô hướng trong trường ngồi đã tìm được dưới dạng tổng của chuỗi lý thuyết
nhiễu loạn theo hằng số tương tác g. Tuy nhiên kết quả tính tốn mới chỉ đưa ra được số hạng
gần đúng bậc nhất và bậc hai của lý thuyết nhiễu loạn. Q trình tính tốn các bậc nhiễu loạn
tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu thức, nếu thu được, cũng rất phức tạp (vì nó chứa các
1


tốn tử trường bậc cao). Điều này gây khó khăn cho việc tìm hàm Green lượng tử khi lấy
trung bình phiếm hàm hàm Green G( x, y |  ) theo các trường ngoài.
Cách thứ hai là thêm tương tác bổ sung với nguồn ngoài t   . Hàm Green thu được
theo phương pháp này chứa các toán tử trường có dạng bậc nhất mà ưu điểm của nó là: Phép
lấy trung bình phiếm hàm theo các trường ngồi (khi tìm hàm Green lượng tử cũng như
phiếm hàm sinh) sẽ tiến hành đơn giản hơn vì trường ngồi cổ điển  ( x) có trong hàm luỹ
thừa dưới dạng tuyến tính. Cần chú ý rằng, khi chuyển sang biểu diễn xung lượng trong
khơng gian phiếm hàm t , thì hàm Green G( x, y |  ) được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm
hàm, mà nó được xem xét như là phép biến đổi Lagrange đã được Feynman tổng qt hố
cho phương trình Klein-Gordon đối với hàm Green của phương trình này. Hơn nữa, bằng lời
giải tốn tử sau đó khai triển nhiễu loạn thơng thường theo hằng số tương tác, hàm Green
G( x, y |  ) sẽ tìm lại được theo lý thuyết nhiễu loạn cải biến. Tuy vậy, biểu thức của hàm
Green lại chứa tích phân phiếm hàm của nguồn tương tác ở dạng bậc hai. Hàm Green tuy
thu được là kín nhưng kết quả tính tốn là rất phức tạp.
Với cách viết (1.2), thừa số mũ, mà trong đó hệ số có các đại lượng khơng giao hốn
như     ,   x,  theo Feynman, được coi như T exponent (T-tích). Biến số  có ý nghĩa
thời gian riêng chia cho khối lượng của hạt và đóng vai trị tích thứ tự trong (1.2). Chỉ số s có
nghĩa là thời gian riêng. Tất cả các toán tử được xem như là hàm giao hoán của biến  .

2


Sử dụng phép biến đổi Weierstrass trong không gian hàm số 4-chiều, tốn tử vi phân bậc
cao có thể biểu diễn thành tích các tốn tử bậc thấp hơn. Sau đó tiến hành gỡ rối tốn tử theo
quy tắc Feynman, thực hiện phép thay biến:   ( )   ( )  p , nghiệm của phương trình (1.1)
được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lượng:


G ( p, q |  )  i  d 4 yei ( p  q ) y  dsei ( p

2

 m2 ) s

0

 s

C   4 exp i  2 ( )d 
 0





 
 exp ig    y  2 p  2  ( )d  d 
0
 

 0 
s

. (1.3)

Ưu điểm của phương pháp này là cho ta biểu thức tổng quát của hàm Green dưới dạng
tích phân phiếm hàm, từ biểu thức đó ta có thể dễ dàng lấy giá trị trung bình của hàm Green
của hạt theo các trường ngoài (x) để thu được hàm Green lượng tử của một hạt trong
trường ngoài.
Khi g = 0, tức là khi khơng có tương tác, chúng ta suy ra hàm Green của hạt tự do. Khai
triển biểu thức hàm Green này theo hằng số tương tác g thì nó tương ứng với tập hợp các
giản đồ Feynman sau:
=

+
(a)

+

+
(b)

(c)
3


+

+

+

+

(d)

Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm Green của electron theo hằng số tương
tác.
a) Giản đồ bậc không ứng với q trình khơng tương tác.
b) Giản đồ đỉnh bậc một c) Giản đồ đỉnh bậc hai d) Giản đồ đỉnh bậc ba
Phần cuối của mục này, chúng ta xét một bài tốn đơn giản là tìm hàm Green lượng tử
của hạt vơ hướng trong trường sóng phẳng điện từ. Trường này lý thú ở chỗ là hàm Green
G( x, y | A) của hạt có thể tính được một cách chính xác. Trường sóng phẳng điện từ có dạng:
A ( x)  a (kx) , trong đó a (kx) là thế năng của trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng đẳng
hướng k2  0 . Giả thiết rằng trường sóng phẳng là sóng ngang k a (kx)  0 . Thay trường sóng
phẳng vào biểu thức tương ứng cho hàm Green, Kết quả thu được là:
G ( x, y | A) 



i
(2 )

4

4
 is ( p
 d p  dse

2

 m2 )  ip ( x  y )

e

0

s
 s

exp i  d e2 a2  kx  2kp( s   )   ie  d  p a  kx  2kp( s   )  
0
 0


4

.(1.4)


Một tính chất quan trọng của trường sóng phẳng điện từ là các bổ chính phân cực thu
được sẽ giống với kết quả nhận được bởi Schwinger nếu như sóng phẳng là biểu diễn chồng
chập của các véc tơ sóng k.
Hàm Green thu được trong trường sóng phẳng hồn tồn giống với kết quả mà Volkov
thu được.

5


Chương 2:

TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM
Trong chương này biên độ tán xạ của hai hạt vơ hướng trong mơ hình đơn giản  3 sẽ
được tìm. Ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ này có dạng biểu
diễn Glauber (hay biểu diễn eikonal). Các kết quả cho tương tác phức tạp có thể dễ dàng thu
được bằng cách tổng quát hoá những biểu thức thu được ở đây. Cuối cùng chúng ta sẽ tìm
các số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Eikonal ở vùng năng lượng cao.
Ở đây, chúng ta không xét đến vấn đề tái chuẩn hoá. Chúng ta cần tách các số hạng cực
điểm dạng ( pi2  m2 )1 và (qi2  m2 )1 trong công thức (2.2), để chúng triệt tiêu các nhân tử
pi2  m2 và qi2  m2 . Trong lý thuyết nhiễu loạn sự triệt tiêu các số hạng cực rất dễ thấy vì biểu
thức biên độ tán xạ được thiết lập từ từ các hàm truyền tự do. Còn trong trường hợp hàm
Green được xây dựng từ bằng phương pháp khác lý thuyết nhiễu loạn thì việc tách các số
hạng cực gặp một số khó khăn nhất định. Chúng ta quan tâm tới cấu trúc biên độ tán xạ một
cách tổng quát thì việc phát triển một phương pháp đúng chuyển đến mặt khối lượng
pi2  m2 ; qi2  m2 ; i  1, 2 trong trường hợp tổng qt có vai trị hết sức quan trọng. Rất nhiều
phương pháp gần đúng có thể hợp lý về quan điểm vật lý khi chuyển tới mặt khối lượng
nhưng vị trí các cực điểm của hàm Green ở phần cịn lại của biên độ tán xạ tìm được về mặt
toán học là bị sai lệch. Ở đây chúng ta tổng quát hoá phương pháp tách cực điểm của hàm
6


Green đã được đề xướng và vận dụng để tìm biên độ tán xạ trong mơ hình tương tác giữa
“nucleon” vô hướng với trường meson vô hướng trong gần đúng bỏ qua các loop “nucleon”.
Từ công thức (2.2) và biểu thức của hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng sau
một số phép biến đổi phiếm hàm, chúng ta thu được biểu thức cuối cùng của biên độ tán xạ
hai “nucleon”. Biên độ tán xạ này có thể coi là phiếm hàm của tổng tất cả các quỹ đạo khả dĩ
của “nucleon” trong quá trình tán xạ.
2.2. Tán xạ năng lượng cao
Biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hai hạt với nhau đã tìm được dưới dạng tích phân
phiếm hàm. Để tính các tích phân này theo các biến số () không phải đơn giản. Các biến
số () ở trên được đưa vào để nhận được biểu thức tổng quát cho hàm Green ở trên, có ý

nghĩa mô tả sự lệch khỏi quĩ đạo thẳng của hạt. Ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền
nhỏ, hạt có thể coi là chuyển động theo quĩ đạo thẳng, do đó việc tính các tích phân theo biến
số () có thể áp dụng cách tính gần đúng các tích phân phiếm hàm do B.M. Barbashov đề
xướng khi nghiên cứu kì dị hồng ngoại của hàm Green trong QED. Sử dụng phép gần đúng
này chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán tán xạ hai hạt ở trên.
2.2.1. Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường vô hướng
Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng được giải thích như là phần dư của hàm Green hai hạt
tại các cực điểm tương ứng với các nucleon cuối.
Biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vơ hướng có thể được biểu diễn dưới dạng:
7




T ( p1 , p2 | q1 , q2 )
2

S     4 
i 1




scalar

ig 2

d 4 xeix ( p1 q1 ) D( x)  d  S  ( p1  p2 ) ,
4 
(2 )

0

exp ig 2    ;      J1 DJ 2

,

((2.3)

trong

đó

(2.4)

Để tính tích phân theo i(), chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp gần đúng, phương
pháp này cho phép giữ lại sự phụ thuộc của hàm truyền nucleon vào bình phương xung
lượng ki. Khi đó, số hạng chính có dạng:
S( n0) scalar  exp  i g 2 ( )   exp  i g 2   4    
(2.5)
với
   

1
(2 )

4

4
 ikx
 d kD(k )e





  a1 ( )

 d  d exp  2ik 





s



 a1 ( )  

s  

 k2

 exp i
    
 s


biểu thức của số hạng bổ chính bậc nhất S( n1) là:

8

.

(2.6)


 ig 2 

S( n 1)  exp  
K 0 (  x )  
 4 s


ig 2    x
 x ( x )  x ( x ) K1 ( x )
1 
 4 s s x

2
2
4 2 2
 g   x  x  K (  x )  ig    x  x  K 2 (  x
 
0

  1

 
 8 s s  

32 2 s s



.


) 


(2.7)

Trong biểu thức này hệ số đứng trước ngoặc tương ứng với trạng thái eikonal chủ yếu
của biên độ tán xạ, trong khi các số hạng trong ngoặc xác định độ lớn tương đối của bổ chính
tỉ lệ với 1/ s .
Trong phép gần đúng gần đúng quỹ đạo thẳng hàm truyền của nucleon không chứa các
số hạng dạng tích (kikj) với ki và kj là các xung lượng của các meson khác nhau tương tác với
các “nucleon”. Hình thức luận này làm cho khái niệm vật lý trở nên rõ ràng và phù hợp với
hạt năng lượng cao chuyển động dọc theo các quỹ đạo Feynman, các quỹ đạo gần như là
thẳng.
Với việc bỏ qua các số hạng kikj ở mẫu số hàm truyền “nucleon” thì các giản đồ thang
thông thường sẽ thu được bởi sự lặp lại của các giản đồ trao đổi đơn meson. Sự trao đổi này
không ảnh hưởng tới trạng thái tiệm cận ở năng lượng cao của hạt.
Như chúng ta đã biết trạng thái tiệm cận năng lượng cao chỉ có thể chứa chuỗi các tích
phân loga của s. Ở đây, chúng ta nhận thấy khi lấy tích phân biểu thức (2.7) của S theo d
dẫn đến sự biến mất các hệ số trong chuỗi bán nguyên của s. Trái lại, chấp nhận các số hạng
9


mà chúng chứa chuỗi bán nguyên của s sẽ là cần thiết cho việc tính tốn các bổ chính bức xạ

tiếp theo trong biên độ tán xạ. Thật thú vị khi thấy rằng sự xuất hiện trong các biểu thức bổ
chính các số hạng phụ thuộc vào x0 và xz ( x  x0  xz ), đây chính là hiệu ứng trễ, hiệu ứng
này vắng mặt trong số hạng tiệm cận chính tắc.
Thực hiện các tính tốn tương tự, tất cả các số hạng tiếp theo của khai triển (2.7) giảm
đủ nhanh khi so sánh với những số hạng mà chúng ta đã viết. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng
điều đó khơng có nghĩa là đã là căn cứ cho biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ được trình
bày trong mục này. Hàm hệ số trong khai triển tiệm cận, những hàm được biểu diễn bởi hàm
MacDonald, là đơn trị ở khoảng cách ngắn và sự đơn trị này trở nên mạnh hơn theo tốc độ
tăng với sự giảm tương ứng của các số hạng ở s lớn. Vì thế, tích phân của S khi xác định
biên độ tán xạ có thể dẫn đến xuất hiện các số hạng vi phạm vào chuỗi eikonal ở thứ tự bậc
cao hơn g2. Khảo sát cấu trúc của các đóng góp không eikonal đối với biên độ tán xạ hai
nucleon chỉ ra rằng tổng tất cả các giản đồ thang từ thứ tự bậc 8 trong mơ hình vơ hướng
chứa các số hạng, những số hạng này vắng mặt trong các phương trình eikonal chính thống
và biến mất khi lấy giới hạn  m  0 với  và m là khối lượng meson và nucleon tương ứng.
Những số hạng này tương ứng với sự đóng góp cho các thế chuẩn hiệu dụng kết quả từ việc
trao đổi cặp nucleon và phản nucleon.
Để kết thúc mục này, chúng ta quan tâm tới trạng thái tiệm cận của biên độ tán xạ đàn
tính của hai nucleon vơ hướng ở năng lượng siêu cao. Thực hiện lấy tích phân theo
10


dx , dx và d  cho biên độ tán xạ trong hệ khối tâm (c.m.s), ta thu được biểu thức dạng

eikonal:

T (s, t )  2is  d 2 x ei x  S  1 ,

(2.8) với x là véc tơ hai chiều

vng góc với phương tán xạ của nucleon (tham số tán xạ).

Ở đây, chúng ta chỉ xét đến số hạng bổ chính bậc nhất (2.8). Ở vùng năng lượng siêu cao
có thể được xác định bởi biểu thức:
 1

g 2
g 42
T (1)   g 2   2

F1 (t ) 
F2 (t )  ...
2
24(4 s)
   t 4(4 s)

 1
 g4
g 2
g 42
2

A11  2

F1 (t ) 
F
(
t
)

...


2
2
8 (4 s)
s s
   t 2(4 s)
 s s 2  t

(2.9)

g4





2

A12

Những tính tốn tương tự đã chỉ ra rằng số hạng trao đổi ( p1  p2 ) ở thứ tự bậc một của
(1/s) là nhỏ hơn vì thế ta có thể bỏ qua trong biểu thức (2.4). Biên độ tán xạ là ở dạng
eikonal.
2.3. Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng Planck
Trong mục này ta xét bài toán tán xạ hai hạt trong lý thuyết hấp dẫn tuyến tính. Trong
vùng năng lượng cao xung lượng nhỏ, chúng ta thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán
xạ. Biểu thức này hoàn toàn trùng với các kết quả tìm được bằng phương pháp khác như:
phương pháp sóng xung kích (shock-wave method) của t’Hoop, phương pháp lý thuyết topo
11

hiệu dụng ở giới hạn năng lượng bậc Planck của Verlinder E. và Verlinder H, cũng như
phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman trong gần đúng Eikonal.
2.3.1. Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn
Từ hàm Green của "nucleon" vô hướng (x) tương tác với trường hấp dẫn g(x) trong
hệ toạ độ điều hoà thu được ở chương 1, suy ra biên độ tán xạ đàn tính dưới dạng:
T ( p1 , p2 ; q1 , q2 )   2 R(t )  d 4 xei ( p1 q1 ) x ( x; p1 , p2 ; q1 , q2 )
1

  d  exp i ( x; p1, p2 ; q1, q2 ) 

,

(2.10)

0

Thật lý thú khi nhận thấy rằng, sự đóng góp của các bổ chính bức xạ có thể được tìm
được dưới dạng hệ số của h(s,t). Trong điện động lực học lượng tử, việc tính các biểu thức
mơ tả sự đóng góp của các bổ chính bức xạ cũng cho kết quả tương tự. Khi tính tốn biểu
thức h(s,t) để khử các phân kỳ hồng ngoại, chúng ta đưa vào khối lượng graviton nhỏ . Sau
đó ước lược các tích phân thu được biểu thức cho các bổ chính bức xạ sau:
  2 m 2 t
h( s, t )t 0  exp 
2(2 ) 2


 m2
m2
ln 2 


 
t (4m 2  t )

 
 m 4m 2  t
4m 2  t  t 


ln


(
z
)


(
z
)
 ln

1
2

2
 
4m 2  t  t 


12

,

(2.11)


z

 ( z)  
0

dy
4m2  t  t
4m2  t  t
ln 1  y ; z1 
, z2 
y
2 4m 2  t
2 4m 2  t

. (2.12)

Tại vùng năng lượng cao, chúng ta có thể viết biên độ tán xạ dưới dạng:
  i K0  
f ( s, t )  2ish( s, t )  d 2 x e ixT e  s

2

x2

  1 ,


(2.13) trong đó

T  ( p1  q1 ); K0   | x 

là hàm MacDonald bậc không,

s. 2

h( s, t )t 0  exp t
2
2
 3  2  m


  m2
ln  2
  

 1 

   .
 2  


(2.14)

Trong phép gần đúng các “graviton mềm” và tái chuẩn hoá khối lượng của hạt, việc lấy

tổng các số hạng bổ chính dẫn đến sự xuất hiện trong biểu thức tán xạ một nhân tử mà ngồi
sự phụ thuộc vào xung lượng truyền, nó cịn phụ thuộc vào năng lượng. Sự phụ thuộc vào
năng lượng của nhân tử là do hạt trao đổi graviton có spin bằng 2.
Cần nhấn mạnh thêm rằng, ở trên ta đã sử dụng phép xấp xỉ lượng tử “mềm”, tuy nhiên
nếu hạt trao đổi có thêm bậc tự do (ví dụ như điện tích) thì những giả thiết đơn giản về độ
lớn mô men của hạt trao đổi là bé chưa đủ đảm bảo cho phép lấy tổng như vậy, vì bậc tự do
sẽ ảnh hưởng rất lớn tới các đại lượng tương thích giữa các hạt trao đổi.
2.3.2. Biên độ tán xạ khơng đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn
13


Sự sinh ra hạt thứ cấp trong va chạm của hai “nucleon” được giải thích một cách tương
tự với các bức xạ hãm của các hạt mềm trong điện động lực học lượng tử có nghĩa là, bức xạ
hãm của các “nucleon” va chạm, tương tác thông qua sự trao đổi các lượng tử ảo của trường
h  , và bức xạ hạt thứ cấp là ở cùng thời điểm đó. Biên độ tán xạ của q trình khơng đàn
tính có dạng:
Tinel ( p1 , p2 ; q1 , q2 | k1 , k2 ...k N )   d 4 xei ( p1  q1 ) x 

 k  p1  q1   k  p1  q1 

D   k  p1  q1   k  p1  q1 

1
 i 2

 2 2

4
ikx 


 exp  
d
kD
e
J
(

k
)
J
(
k
)
exp
( DJ i   m 2 ) 


1
2



4 
 2 i 1

 (2 )

0
i
iki x

 iki x
  (ki )
1 N

(i )  J1 (ki )e 2  J 2 (ki )e 2  ,
(2.15)

3


N ! i 1 (2 ) 2 2k0 i

Nếu chúng ta thừa nhận giả thiết rằng tất cả các graviton là “mềm” thì graviton tạo ra có
xung lượng nhỏ, ta có thể đặt ki  0; i  1,2,3...N trong biểu thức exp(iki x / 2) của phương trình
(2.15). Nói cách khác, chúng ta chỉ quan tâm tới sự sinh các graviton “mềm” mà chúng
không làm ảnh hưởng tới chuyển động của các “nucleon” tán xạ năng lượng cao.
2.3.3. Đóng góp bổ chính cho biên độ tán xạ đàn tính ở vùng năng lượng Planck
Với cách tương tự như đã thiết lập trong mơ hình tự tương tác hạt vơ hướng ở mục 2.2,
số hạng bổ chính bậc nhất trong trường hợp trường hấp dẫn lượng tử có dạng:
14


 i 2 s

S( n 1) tensor  exp 
K 0   x   
 2

2
 i s   x

 1 
  x (  x )  x ( x )  K1   x
2 s x


-



.

4 2 2 2

 2 s 2
 x  x  K0   x   i s 2   x  x  K12   x 
4 s
8 s


(2.16)
Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là khác với mơ hình vơ hướng tự tương tác  , các số
hạng bổ chính tương ứng trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử là tăng theo sự tăng của năng
lượng.
Sau khi lấy tích phân theo dx+, dx- và d cho biên độ tán xạ ở giới hạn năng lượng cao
2
s  M PL
 t , chúng ta thu được dạng eikonal tiếp theo:
3

i x s

T (s, t )tensor  2is  d 2 xei x e    1 ,



(2.17) ở đây hàm pha eikonal

  x s  mô tả sự trao đổi graviton tăng theo năng lượng.

Chương 3:
TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ

15


Nội dung chương này, tìm biểu thức cho biên độ tán xạ bằng phương pháp nhiễu loạn
cải biến từ phương trình chuẩn thế Logunov –Tavkhelidze. Kết quả được tính tới số hạng
gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác g, kết quả được tính trong giới hạn năng lượng
cao và xung lượng truyền cố định. Số hạng chính cho ta biểu diễn eikonal đã biết, còn các số
hạng bổ chính bậc nhất có bậc nhỏ hơn số hạng chính là  t  . Phép gần đúng được sử
s

dụng ở đây là gần đúng eikonal, vì số hạng bậc không của chuỗi nhiễu loạn cho ta biểu diễn
eikonal của biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ. Trong chương
này chúng tôi cũng thiết lập mối liên hệ giữa hai phương pháp chuẩn thế và tích phân quỹ
đạo đồng thời đưa ra sự so sánh sơ đồ tính tốn tương ứng. Chúng tơi sẽ áp dụng các kết quả
tìm biên độ tán xạ hai “nucleon” đã trình bày ở đây trong một chuẩn thế cụ thể là thế
Yukawa để từ đó rút ra kết luận rõ ràng hơn về tính tin cậy của các kết quả thu được
3.1. Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze cho tán xạ hai hạt vô
hướng
Trong biểu diễn xung lượng phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán xạ hai

hạt vơ hướng có dạng.
T  p, p '; s   gU  p  p '; s   g  dqK  q 2 ; s U  p  q; s  T  q, p '; s  , (3.1)
với s  4  p2  m2   4( p '2  m2 ) là năng lượng khối tâm;
Nói chung, chuẩn thế U là hàm phức của năng lượng và xung lượng tương đối của hai
hạt. Phương trình chuẩn thế sẽ trở nên đơn giản hơn nếu chuẩn thế U là “nhẵn” hay nói cách
16


khác chuẩn thế U là hàm của hiệu xung lượng tương đối giữa hai hạt ( p  p ') và năng lượng
toàn phần (được gọi là chuẩn thế định xứ). Sự tồn tại của chuẩn thế định xứ đã được chứng
minh chặt chẽ trong trường hợp tương tác yếu và đây cũng là cách để chúng ta xây dưng
chuẩn thế. Chuẩn thế định xứ được xây dựng theo cách này sẽ đưa ra nghiệm của phương
trình (3.1), nghiệm này đươc xem như là biên độ vật lý của quá trình tán xạ hai hạt trên mặt
khối lượng.
Trong khn khổ của cách tiếp cận chuẩn thế thì chuẩn thế được xác định bằng cách
khai triển thành chuỗi vô hạn theo hằng số tương tác, nó tương ứng với việc khai triển nhiễu
loạn biên độ tán xạ trên mặt khối lượng. Nghiệm gần đúng thu được của phương trình trên
(3.1) chỉ được tìm ở thứ tự bậc thấp nhất của chuẩn thế. Để giải quyết được bài toán một
cách thuận lợi thì ta phải cải tiến phương pháp này trong phép khai triển mà nó có tên gọi
phương pháp nhiễu loạn cải biến.
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao
Trong biểu thức tiệm cận của biên đô tán xạ chúng ta giữ lại hai số hạng gần đúng đầu
tiên (số hạng chính tắc và số hạng gần đúng tiếp theo)
Số hạng thứ nhất mô tả dáng điệu eikonal cho biên độ tán xạ, cịn các số hạng bổ chính
tiếp có bậc nhỏ hơn số hạng chính cỡ ~ ( 1 s ). Sự phụ thuộc vào năng lượng s của số hạng
chính và số hạng bổ chính cũng tương tự như kết quả mà ta thu được bằng cách qua biểu diễn
toạ độ .
17

Một hiệu ứng tương tự cũng được quan sát ở đây, đó là sau khi lấy tích phân các số
hạng này sẽ dẫn đến sự biến mất các hệ số của chuỗi bán nguyên của s. Trái lại nếu chấp
nhận có các số hạng trong chuỗi bán nguyên của s khi tính các số hạng bổ chính tiếp theo thì
sẽ dẫn đến hiệu ứng trễ, điều này vắng mặt trong các số hạng tiệm cận chính tắc.
3.3. Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa
Xét tương tác của hệ hai nucleon bằng cách trao đổi hạt vô hướng trong trường hợp thế
năng tương tác là thế Yukawa. Tuy nhiên do tính chất phức tạp của các tích phân nên trong
mục này chúng ta chỉ đi tính các kết quả cho số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất của
biên độ tán xạ.
Thay thế năng Yukawa vào biều thức của số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất
của biên độ tán xạ, sau đó thực hiện một số tính tốn cần thiết, chúng ta thu được kết quả
sau:
(0)
Tscalar
 s; t  

(1)
Tscalar
 s; t  

g4
4  2 

4

 1

g3
g6


F
(
t
)

F2 (t )  ,
1
2 2
5 4
2  2
48(2 ) s
s    t 8(2 ) s


3g 4
4  2  s 2
6

 2

g3
g6

F
(
t
)

F2 (t )  .
 2

1
2 2
5 4
8(2 ) s
s    t 2(2 ) s


(3.2)
(3.3)

Từ các biểu thức trên, chúng ta thấy ngay rằng biểu thức eikonal của biên độ tán xạ thu
được trong vùng năng lượng cao và cố định xung lượng truyền có số hạng bổ chính giảm rất
nhanh. Lưu ý rằng nếu tiếp tục tính các gần đúng bậc cao hơn theo hàm pha số hạng chính và
số hạng bổ chính bậc một thì kết quả thu được cũng sẽ giảm dần bậc 1/ s n . Điều này cho thấy
18


rằng các kết quả mà chúng ta thu được ở chương trước bằng lý thuyết nhiễu loạn là khá chính
xác. Các kết quả thu được trong (3.2) và (3.3) có thể tính tốn chính xác đến bậc bất kỳ, tuy
nhiên trong chương này chúng ta bằng cách tính tốn các số hạng bậc thấp chúng ta cũng
thấy rằng chuỗi khai triễn mà chúng ta thực hiện là hội tụ. Vì vậy, việc tính các số hạng bậc
cao là khơng cần thiết khi chúng ta xét đến vùng năng lượng Planck trong phép gần đúng
eikonal.
Nghiên cứu bài toán cho biên độ tán xạ gần đúng eikonal ở năng lượng cao và xung
lượng truyền cố định, bằng phương pháp chuẩn thế nhận được kết quả thật thú vị, bởi vì nó
khơng những thừa kế được vấn đề cũ mà còn khắc phục và tìm được bổ chính bậc nhất cho
biên độ tán xạ. Cụ thể là:
Số hạng chính cho biên độ tán xạ trùng với biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trong
cơ học lượng tử phi tương đối. Cũng như số hạng chính trong biểu diễn toạ độ và biểu diễn
xung lượng, khi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở cùng điều kiện. Số hạng

này tương ứng với biểu thức được tính với gần đúng quĩ đạo thẳng cổ điển trong cơ học
lượng tử.
Số hạng bổ chính bậc nhất trong biểu diễn toạ độ và biểu diễn xung lượng là trùng
nhau. Số hạng bổ chính trong phương pháp chuẩn thế chính xác hơn so với phương pháp tích
phân phiếm hàm và phương pháp giản đồ Feyman. Cụ thể là ở vùng năng lượng nói trên
trong phương pháp tích phân phiếm hàm thì biên độ chỉ chính xác tới gần đúng bậc một, cịn
19


phương pháp giản đồ Feyman thì dường như bị triệt tiêu khi tính tổng các đóng góp của từng
giản đồ cho biên độ tán xạ, trong khi phương pháp chuẩn thế lại chính xác tới gần đúng bậc hai.
Ở đây, cũng cần nói thêm rằng với các tính tốn tương tự trong các trường hợp tương
tác của hạt có spin chúng tôi thu được các kết quả sau:
 Trong trường hợp hạt vơ hướng tương tác với trường vector, thì chuẩn thế khơng
phụ thuộc vào năng lượng đã tìm được:
(0)
Tvector
 s; t  

(1)
Tvector
 s; t  

 1

g3
g6

F
(

t
)

F2 (t )  ,
1
 2
4
2
5 2
12(2 ) s
2  2  s    t 4(2 ) s

g4

 2

g3
g6

F
(
t
)

F2 (t )  .
1
 2
6
2
5 2

2(2 ) s
2  2  s s    t (2 ) s

3g 4

 Trong trường hợp hạt vô hướng tương tác với trường tensor như đã xét ở mục 2.3 có
chuẩn thế tăng theo năng lượng đã tìm được:
(0)
Ttensor
 s; t   

(1)
Ttensor
 s; t   

4
4
 2 

 1

3
6

F
(
t
)

F (t )  ,

 2
2 1
5 2
3(2 )
   t 2(2 )


3 4

 2

2 3
2 6

F
(
t
)

F (t )  .
 2
2 1
5 2
(2 )
s    t (2 )


 2 
Để kết thúc mục này, điều quan trọng chúng tôi muốn chỉ ra ở đây là trong khuôn khổ
lý thuyết trường chuẩn cho biên độ tán xạ năng lượng cao, các phương pháp khác nhau đã

được phát triển để khảo sát tính chất tiệm cận của các giản đồ Feynman riêng rẽ và lấy tổng
6

20


của các giản đồ này. Trong các lý thuyết khác nhau bao gồm cả lý thuyết hấp dẫn, việc tính
tốn các giản đồ Feynman được tiến hành tương tự như cách chúng ta đã thực hiện trong
chương 2 với QED. Sự tin cậy của phép gần đúng eikonal phụ thuộc vào spin của hạt trao đổi
tương tác. Bằng phương pháp nhiễu loạn, các bậc khác nhau trong số hạng chính của biên độ
tán xạ thu được ở mỗi mơ hình là đáng tin cậy, tuy nhiên khi lấy tổng của các số hạng này thì
chúng ta lại thấy nó khơng trội hơn so với các số hạng mà chúng ta đã bỏ qua trong phép gần
đúng này. Sự tin cậy của biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là khơng chắc chắn.
Vì thế, thay cho phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, cách tiếp cận chuẩn thế của chúng tơi
trong chương này dựa trên biểu thức chính xác của biên độ tán xạ và lý thuyết nhiễu loạn cải
biến mà ở bậc thấp nhất chính là biên độ tán xạ eikonal chính, cịn các bậc tiếp theo chính là
các bổ chính của nó.
3.4. Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích phân quỹ đạo
Feynman
Bức tranh vật lý thực sự tương ứng với các kết quả chúng ta đã đưa ra ở biểu thức
(3.2.20) là gì? Để trả lời câu hỏi này chúng ta sẽ đi thiết lập mối liên hệ giữa phương pháp
chuẩn thế với phương pháp tích phân quỹ đạo Feynman, bằng cách chúng ta xem xét phương
trình chuẩn thế theo quan điểm tích phân phiếm hàm. Với giả thiết như vậy thì chúng ta thu
được mối liên hệ
21