Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình Diophantine dạng Ax2-By2=C

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

LƢƠNG THỊ MAI ANH

VỀ PHƢƠNG TRÌNH
DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

LƢƠNG THỊ MAI ANH

VỀ PHƢƠNG TRÌNH
DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
(Xác nhận)

PGS.TS. Nơng Quốc Chinh

THÁI NGUYÊN - 2018


Mục lục
Mở đầu

2

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Liên phân số vơ hạn tuần hồn . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 2. Về phương trình Diophantine bậc 2 dạng Ax2 −
By 2 = C

12

2.1

Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = N . . . . . . . . . .

12

2.2

Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By 2 = C . . . . . .

16

2.3

Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

2

Mở đầu
Số học là một bộ mơn tốn học có đối tượng nghiên cứu là các số
ngun. Khơng có gì đơn giản và quen thuộc hơn đối với chúng ta là các số
nguyên. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học và công nghệ, đặc biệt là
công nghệ số hóa, đã địi hỏi con người khơng ngừng nghiên cứu và khám
phá các quy luật, các thuật giải cho các bài toán liên quan tới số nguyên.
Bao hàm trong mảng số học, là giải phương trình nghiệm ngun hay cịn
gọi là phương trình Diophantine. Lớp phương trình này cịn tồn tại nhiều
bài tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời. Nó ln là vấn đề thu hút được
nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu và tìm hiểu. Chính việc đi tìm
lời giải cho các bài tốn hay chứng minh các giả thuyết về phương trình
Diophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phương pháp khác của Toán
học. Lớp bài tốn liên quan tới phương trình Diophantine khơng có quy
tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Đó
cũng là nguyên nhân để lớp phương trình này thu hút sự khám phá nghiên
cứu của các nhà Toán học. Trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi
học sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế,... các bài tốn liên quan đến phương
trình Diophantine thường xuyên được sử dụng để đánh giá học sinh.
Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nơng Quốc Chinh,
tôi đã chọn hướng đề tài luận văn của mình liên quan tới lớp phương trình
Diopantine này. Cụ thể là nghiên cứu về tính chất nghiệm và mối liên hệ
của phương trình Diophantine dạng Ax2 −By 2 = C với biểu diễn liên phân
số liên tục.


3

Luận văn với tên đề tài "Về phương trình Diophantine dạng Ax2 −By 2 =
C", với mục đích là trình bày kết quả nghiên cứu của Mollin (2002) [8] được
công bố trên tạp chí Acta Math. Univ. Comenianae năm 2002. Nội dung
luận văn gồm 2 chương. Chương 1 tập trung trình bày một số kiến thức
về liên phân số, sẽ được dùng để nghiên cứu các kết quả trong chương
sau. Nội dung chương 2 gồm ba phần, cụ thể nghiên cứu về phương trình
Diophantine dạng x2 − Dy 2 = N và dạng Ax2 − By 2 = C và phần cuối là
một số ví dụ minh họa.
Để hồn thành được luận văn, lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn
sự hướng dẫn tỉ mỉ và tận tình của PGS.TS. Nơng Quốc Chinh. Em xin
bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học
– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và
động viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo và khoa
Tốn – Tin. Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cơ.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Tồn
Thắng, Tiên Lãng, Hải Phịng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bè
đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong q trình học
tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 4 năm 2018
Học viên

Lương Thị Mai Anh


4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn
bị
Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày về liên phân số và
một số kết quả của nó để áp dụng cho việc nghiên cứu về phương trình
Diophantine bậc hai, sẽ trình bày trong chương 2.

1.1

Liên phân số hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1. Liên phân số hữu hạn hay phân số liên tục là một
biểu thức có dạng
1

a0 +

1

a1 +

a2 + · · · +

1
an−1 +

1
an

trong đó a0 , a1 , . . . , an là các số thực a1 , . . . , an = 0. Một liên phân số như
vậy được ký hiệu là [a0 ; a1 , . . . , an ].
Từ định nghĩa dễ thấy
[a0 ; a1 , . . . , ak+1 ] = a0 +

1
.
[a1 ; a2 , . . . , ak+1 ]


5

Nếu a0 ∈ Z và a1 , . . . , an là các số ngun dương thì ta nói [a0 ; a1 , . . . an ] là
một liên phân số hữu hạn có độ dài n. Rõ ràng một liên phân số hữu hạn
là một số hữu tỷ. Ngược lại ta có:
Định lý 1.1.2. Mỗi số hữu tỷ đều có thể biểu diễn dưới dạng một liên
phân số hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử x =

a
b

trong đó a, b ∈ Z và b > 0. Đặt r0 = a, r1 = b.

Thuật chia Euclide cho ta
r0 = r1 q1 + r2 ,

0 < r2 < r1 ,

r1 = r2 q2 + r3 ,

0 < r3 < r2 ,

...
rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , 0 < rn < rn−1 ,

rn−1 = rn qn .
Từ đó dễ thấy
a
= [q1 ; q2 , . . . , qn ].
b
Ta có điều phải chứng minh.
Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , . . . , an ]. Với mỗi k ≤ n liên phân số
Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] gọi là giản phân thứ k của [a0 ; a1 , . . . , an ].
Cơng thức tính các giản phân được cho bởi định lý sau.
Định lý 1.1.3. Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , . . . , an ]. Giả sử hai dãy
số nguyên dương p0 , p1 , . . . , pn và q0 , q1 , . . . , qn được xác định truy hồi như
sau
p0 = a0 ,

q0 = 1,

p1 = a0 a1 + 1

q 1 = a1 ,

...
pk = ak pk−1 + pk−2 ,

qk = ak qk−1 + qk−2 .

6

Khi đó giản phân thứ k là Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] được cho bởi
Ck =

pk
.
qk

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với k = 0 ta có
C0 = [a0 ] = p0 /q0 .
Với k = 1 ta có
C1 = [a0 ; a1 ] = a0 +

a0 a1 + 1
1
=
= p1 /q1 .
a1
a1

Giả sử định lý đúng cho mọi 0 ≤ k < n. Khi đó với 2 ≤ k < n,
Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] =

pk
ak pk−1 + pk−2
=
.

qk
ak qk−1 + qk−2

Vậy
Ck+1 = [a0 ; a1 , . . . , ak , ak+1 ] = a0 ; a1 , . . . , ak − 1, ak +
=

(ak +
(ak +

1
ak+1 )pk−1
1
ak+1 )qk−1

1
ak+1

+ pk−2
+ qk−2

ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1
ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1
ak+1 pk + pk−1
pk+1
=
=
.
ak+1 qk + qk−1
qk+1

=

Định lý được chứng minh.
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được đẳng thức
quan trọng sau giữa các (pk ) và (qk ).
Định lý 1.1.4. pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 .
Hệ quả 1.1.5. (pk , qk ) = 1.
Tiếp theo, ta sẽ mô tả các quan hệ của giản phân.


7

Định lý 1.1.6. Giả sử (Ck ) là dãy giản phân của liên phân số hữu hạn
[a0 ; a1 . . . , an ]. Ta có
Ck − Ck−1
Ck − Ck−2

(−1)k−1
=
,
qk qk−1
ak (−1)k
=
,
qk qk−2

1 ≤ k ≤ n,
2 ≤ k ≤ n.

Chứng minh. Với đẳng thức thứ nhất ta có
Ck − Ck−1

(−1)k−1
pk qk−1 − pk−1 qk
=
.
=
qk qk−1
qk qk−1

Với đẳng thức thứ hai ta có
Ck − Ck−2 =

pk qk−2 − pk−2 qk
.
qk qk−2

Thay pk = ak pk−1 + pk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 vào tử số và áp dụng đẳng
thức thứ nhất ta thu được điều phải chứng minh.
Từ định lý trên ta thu được kết quả quan trọng sau.
Định lý 1.1.7. Ta có
C1 > C3 > C5 > . . . ,
C0 < C2 < C4 > . . .
Hơn nữa mỗi giản phân lẻ C2j−1 đều lớn hơn mỗi giản phân chẵn C2i .
Chứng minh. Từ định lý trên ta thấy nếu k lẻ thì Ck < Ck−2 và nếu k chẵn
thì Ck > Ck−2 . Cũng theo định lý trên, ta có
C2m − C2m−1

(−1)2m−1

=
<0
q2m q2m−1

Vậy C2j−1 > C2j−1+2i > C2j+2i > C2i .

suy ra

C2m < C2m−1 .


8

1.2

Liên phân số vô hạn

Như kết quả mục trên, ta biết rằng mỗi số hữu tỷ sẽ được biểu diễn một
cách duy nhất bằng một liên phân số hữu hạn. Chuyển sang tình huống
các số vơ tỷ, ta sẽ thấy, mỗi số vô tỷ sẽ được biểu thị duy nhất dưới dạng
một liên phân số vô hạn.
Định lý 1.2.1. Cho a0 , a1 , a2 . . . là dãy vô hạn các số nguyên sao cho
ai > 0 với i ≥ 1. Đặt
Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ].
Khi đó tồn tại giới hạn
lim Ck = α.

k→∞

Ta gọi α là giá trị của liên phân số vô hạn [a0 ; a1 , a2 . . .] và viết

α = [a0 ; a1 , a2 , . . .].
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.7 ta có
C1 > C3 > C5 > . . . > C2n−1 > C2n+1 > . . .
C0 < C2 < C4 < . . . < C2n−2 < C2n < . . .
Hơn nữa dãy (C2k+1 ) là dãy giản và bị chặn dưới bởi C0 còn dãy (C2k ) tăng
và bị chặn trên bởi C1 . Vậy tồn tại
lim C2k+1 = α1

k→∞

và

lim C2k = α2 .

k→∞

Ta cần chứng minh α1 = α2 . Thật vậy theo Định lý trên ta có
C2k+1 − C2k =

1
q2k+1 q2k

.

Bằng quy nạp, ta có qk ≥ k. Do đó
lim (C2k+1 − C2k ) = 0.

k→∞

Vậy α1 = α2 . Định lý được chứng minh.

9

Định lý 1.2.2. α = [a0 ; a1 , a2 , . . .] là một số vô tỷ.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trái lại α = a/b ∈
Q. Theo Định lý 1.1.7 ta có C2n < α < C2n+1 . Vậy
0 < α − C2n < C2n+1 − C2n =

1
q2n+1 q2n

.

Điều này tương đương với
p2n
1
<
q2n
q2n+1 q2n
1
⇔ 0 < αq2n − p2n <
q2n+1
1
⇔ 0 < αq2n − bp2n <
q2n+1
1
⇔ 1 < αq2n − bp2n <
.
q2n+1

0<α−

Cho k → ∞ ta có điều mâu thuẫn. Như vậy phép chứng minh được kết
thúc.
Định lý 1.2.3. Mỗi số vô tỷ đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
một liên phân số vô hạn.

1.3

Liên phân số vô hạn tuần hồn

Ta gọi liên phân số vơ hạn [a0 ; a1 , a2 , . . .] là tuần hoàn nếu dãy (an ) là
tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó, nghĩa là tồn tại số nguyên dương m và
k với mọi n

m ta có an = an+k . Số nguyên dương k được gọi là chu kỳ.

Trong trường hợp đó ta viết
[a0 ; a1 , a2 , . . . , am−1 , am , am+1 , . . . , am+k−1 ].
Bài toán đặt ra là đặc trưng tất cả các số vơ tỷ có biểu diễn liên phân số
vơ hạn tuần hồn. Ta có khái niệm sau:


10

Định nghĩa 1.3.1. Số vô tỷ α gọi là số vơ tỷ bậc hai nếu nó là nghiệm
của một tam thức bậc hai với hệ số nguyên, tức là
aα2 + bα + c = 0, với a, b, c ∈ Z,
Ví dụ 1.3.2. Số vơ tỉ α = 2 +

√

3 là số vơ tỷ bậc hai, vì nó là nghiệm của

x2 − 4x + 1 = 0
Bổ đề 1.3.3. Số thực α là số vô tỷ bậc hai khi và chỉ khi tồn tại các số
nguyên a, b, c với b > 0, c = 0 và b khơng chính phương sao cho
√
a+ b
α=
.
c
Bổ đề 1.3.4. Nếu α là số vơ tỷ bậc hai thì
rα + s
với r, s, t, u là các số nguyên
tα + u
là số vô tỷ bậc hai hoặc là số hữu tỷ.
Định nghĩa 1.3.5. Giả sử
√
a+ b
α=
.
c
là số vơ tỷ bậc hai, khi đó liên hợp của nó được ký hiệu là α xác định như
sau

√
a− b
α =
.

c
Từ định nghĩa về số vô tỷ bậc hai, ta có các tính chất sau:

Bổ đề 1.3.6. 1. Nếu số vô tỷ bậc hai α là nghiệm của phương trình Ax2 +
Bx + C = 0 thì liên hợp của nó cũng là nghiệm của phương trình đó.
2. Giả sử α1 , α2 là các số vô tỷ bậc hai thì (α1 ± α2 ) = α1 ± α2 ; (α1 α2 ) =
α1 α2 và (α1 /α2 ) = α1 /α2 .
Kết quả sau được Lagrange tìm ra


11

Định lý 1.3.7. Số vơ tỉ α có biểu diễn liên phân số tuần hồn khi và chỉ
khi nó là số vô tỷ bậc hai.
Bổ đề 1.3.8. 1. Giả sử α là số vơ tỉ bậc hai. Khi đó nó có thể viết dưới
dạng

√
P+ D
,
α=
Q

trong đó P, Q và D là các số nguyên, Q = 0, D > 0 khơng chính
phương và Q | D − P 2 .
2. Giả sử α là số vô tỉ bậc hai, biểu diễn dạng
√
P0 + D
α=
,

Q0
trong đó P0 , Q0 và D là các số nguyên, Q0 = 0, D > 0 khơng chính
phương và Q0 | D − P02 . Dãy số (αk ) xác định như sau
√
Pk + D
D − Pk2
αk =
, ak = [αk ], Pk+1 = ak Qk − Pk và Qk+1 =
.
Qk
Qk
Khi đó α = [a0 ; a1 , a2 , . . .].
Ví dụ 1.3.9. Tìm x, biết rằng x = [3; 1, 2].
Lời giải: Ta có x = [3; y] với y = [1, 2]. Ta có y = [1; 2, y] do đó
√
√
1+ 3
4+ 2
1
y =1+
−→ y =
suy ra x =
.
2 + y1
2
2
Ví dụ 1.3.10.
√
√
√

√
√
√

23 = [4; 1, 3, 1, 8]
29 = [5; 2, 1, 1, 2, 10]
31 = [5; 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10]
46 = [6; 1, 2, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 2, 1, 12]
76 = [8; 1, 2, 1, 1, 5, 4, 5, 1, 1, 2, 1, 16]
97 = [9; 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 18]


12

Chương 2

Về phương trình
Diophantine bậc 2 dạng
Ax2 − By 2 = C
2.1

Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = N

Mục này sẽ tập trung thảo luận ứng dụng của liên phân số trong các
phương trình Pell.
Nhắc lại, ta gọi phương trình Pell là các phương trình có dạng
x2 − Dy 2 = ±1.
√
Định lý 2.1.1. Giả sử chu kỳ của biểu diễn liên phân số của D là r.
√

Gọi pk /qk là giản phân thứ k của D. Nếu r chẵn thì x = ptr−1 , y = qtr−1
với t = 1, 2 . . . là nghiệm của phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1. Nếu r lẻ
thì x = p2tr−1 , y = q2tr−1 , với t = 1, 2, . . . là nghiệm của phương trình Pell
x2 − Dy 2 = 1.
Chứng minh. Vì

√

D = 0+

√

D/1 nên Q0 = 1, suy ra Qkr = Q0 = 1 với

mọi k. Theo Bổ đề 1.3.8 ta có
2
p2kr−1 − Dqkr−1
= (−1)kr−2 Qkr = (−1)kr .


13

2
Như vậy nếu n chẵn thì p2kr−1 − Dqkr−1
= 1 với mọi k ∈ N, nếu r lẻ thì
2
p22tr−1 − Dq2tr−1
= 1.

Bổ đề 2.1.2. Ta có Qi = 1 với mọi i = 1, 2 . . . và Qk = 1 khi và chỉ khi k

chia hết cho r.
Bổ đề 2.1.3. Cho α là một số vô tỷ và r/s là số hữu tỷ tối giản với r > 0
và
r
1
< 2.
s
2s
Khi đó r/s phải là một giản phân của α.
α−

Bổ đề 2.1.4. Giả sử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 − Dy 2 = n
√
√
và |n| < D. Khi đó x/y là một giản phân của D.
√
√
Chứng minh. Xét trường hợp n > 0. Ta có (x + y D)(x − y D) = n suy
√
√
ra x > y D. Vậy 0 < xy − D. Ta có
√
√
x √
x2 − Dy 2
x− D
n
D
1
√ <

√ <
√ = 2.
− D=
=
y
y
2y
y(x + y D
y(2y D
2y 2 D
√
Theo Bổ đề 2.1.3 thì x/y là một giản phân của D.
Giả sử n < 0. Khi đó
y 2 − (1/D)x2 = −n/D.
√
Ta có −n/D > 0, −|n|/D < 1/ D. Vậy theo bước trước y/x là một
√
giản phân của 1/ D. Nhưng khi đó x/y = 1/(y/x) là một giản phân của
√
√
1/(1/( D) = D. Định lý được chứng minh.
Định lý 2.1.5. Cho phương trình Pell
x2 − Dy 2 = 1.
Gọi r là chu kỳ của biểu diễn liên phân số của

√

D.

14

Nếu r chẵn thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là x = pkr−1 ,
y = qkr−1 .
Nếu r lẻ thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là x = p2tr−1 ,
y = q2tr−1 với t ∈ N∗ .
Chứng minh. Giả sử (x, y) là nghiệm của phương trình Pell. Theo Bổ đề
2.1.4, tồn tại i để x = pi , y = qi . Từ đó
p2i − Dqi2 = 1.
Từ Bổ đề 1.3.8 rút ra (−1)i−1 Qi+1 = 1. Suy ra Qi+1 = ±1. Vì qk+1 = −1
nên Qi+1 = 1 và i lẻ. Theo Bổ đề 2.1.2 ta rút ra tồn tại ki + 1 = kr, kéo
theo i = kr − 1 và kr chẵn. Thành thử nếu r lẻ thì k chẵn, k = 2t.
Ví dụ 2.1.6. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2 − 13y 2 = 1. Ta
√
có 13 = [3; 1, 1, 1, 1, 6] = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, . . .] Chu kỳ n = 5 là số
lẻ. Vậy ta tính giải phân
C9 = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1]
1
=3+
1
1+
1
1 + ... +
1+
=

1
1

649

180

Vậy nghiệm nhỏ nhất là (649, 180). Trở lại phương trình x2 − 61y 2 = 1. Ta
có

√

76 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14]


15

Chu kỳ n = 11 là số lẻ. Ta tính giản phân
C21 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1]
1
=7+
1
1+
1
4+
1
3 + ... +
1
4+
1
1766319049
=
226153980
Vậy nghiệm nhỏ nhất là (1766319049, 226153980)
Xét phương trình

x2 − Dy 2 = −1

(2.1)

Ta có kết quả sau
Định lý 2.1.7. Phương trình x2 − Dy 2 = −1 có nghiệm khi và chỉ khi chu
√
kỳ r của biểu diễn liên phân số của D là số lẻ. Trong trường hợp ấy các
nghiệm của nó là x = p(2tr−r−1) , y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, . . ..
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.8 dễ thấy nếu chu kỳ r của biểu diễn liên phân
√
số của D là số lẻ thì x = p(2tr−r−1) , y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, . . . là
nghiệm.
Giả sử (x, y) là nghiệm của phương trình (2.1). Theo Bổ đề 2.1.4 tồn
tại i để x = pi , y = qi . Từ đó
p2i − Dqi2 = −1.
Từ Bổ đề 1.3.8 ta rút ra (−1)i−1 Qi+1 = −1, suy ra Qi+1 = ±1. Vì Qi+1 =
−1 nên Qi+1 = 1 và i chẵn. Theo Bổ đề 1.3.8 tồn tại k ∈ N sao cho
i + 1 = kr, suy ra i = kr − 1 và kr lẻ. Thành thử nếu r chẵn thì kr ln
chẵn do đó phương trình vơ nghiêm.
Trong trường hợp r lẻ lý luận tương tự như trong trường hợp phương
trình Pell x2 − Dy 2 = 1 tất cả các nghiệm phải có dạng x = pkr−1 , y =
qkr−1 trong đó kr lẻ tức là khi k lẻ hay x = p(2tr−r−1) , y = q(2tr−r−1) với
t = 1, 2, . . ..


16

Định lý 2.1.8. Giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn gcd(a, b) = 1
và a là số khơng chính phương và xét c là số ngun khác không. Đặt

D = ab , N = ac. Khi đó (u, v) là nghiệm của phương trình
x2 − Dy 2 = N
khi và chỉ khi (u/a, v) là nghiệm của phương trình ax2 − by 2 = c.
Chứng minh. Cho (x, y) là nghiệm của phương trình ax2 − by 2 = c. Nhân
cả hai vế của phương trình này với a ta được (ax)2 − aby 2 = ac, suy ra
(ax, y) là nghiệm của phương trình dạng x2 − Dy 2 = N với N = ac.
Ngược lại, nếu (u, v) là nghiệm của phương trình dạng x2 − Dy 2 = N
thì từ u2 − abv 2 = ac suy ra a | u2 vì a khơng phải số chính phương nên
a | u. Vì vậy u = a1 a và (a1 a)2 − abv 2 = ac hay a21 a − bv 2 = c, tức là (u/a, v
là nghiệm của phương trình ax2 − by 2 = c

2.2

Phương trình Diophantine dạng Ax2 −
By 2 = C

Ta sẽ nghiên cứu nghiệm của phương trình Diophantine bậc 2 tổng
quát, dạng
Ax2 − By 2 = C, với A, B ∈ N, C ∈ Z.

(2.2)

và A, B không đồng thời là số chính phương. Với x, y ∈ Z là nghiệm của
phương trình (2.2), gọi là nghiệm dương nếu x, y ∈ N, cặp x và y được gọi
là nghiệm nguyên thủy nếu nó là nghiệm dương và gcd(x, y) = 1.
√
√
√
√
Dễ thấy rằng, với hai nghiệm dương x A + y B và u A + v B của

phương trình (2.2), thì khẳng định sau là tương đương:
1. x < u
2. y < v
√
√
√
√
3. x A + y B < u A + v B


17

Do đó, trong số các nghiệm nguyên thủy của phương trình (2.2), tồn tại
một nghiệm để x có giá trị bé nhất, một nghiệm để y có giá trị bé nhất.
Nghiệm như vậy gọi là nghiệm cơ bản. Giả sử
√
√
α=x A+y B
là một nghiệm dương của phương trình (2.2), ta kí hiệu
N (α) = Ax2 − By 2 ,
N (α) gọi là chuẩn của α.
Ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa các nghiệm cơ bản với biểu diễn
liên phân số liên tục đơn. Như đã trình bày ở Chương 1, ta đã biết 1 số vô
tỉ bậc hai là số có dạng
(P +

√
D)/Q

trong đó P, Q, D ∈ Z với D > 1 khơng là số chính phương, P 2 ≡ D(

mod Q), và Q = 0.
Ta đặt
P0 = P, Q0 = Q, và đệ quy cho j
√
Pj + D
qj =
Qj

0,
(2.3)

Pj+1 = qj Qj − Pj ,

(2.4)

2
Qj+1 = (D − Pj+1
)/Qj .

(2.5)

và

Vì vậy, ta có biểu diễn của liên phân số liên tục đơn:
√
√
P0 + D
P+ D
=
= q0 ; q1 , . . . , q j , . . .

α=
Q
Q0
trong đó j

0. Để nghiên cứu mối liên hệ với liên phân số liên tục, trước

tiên là chú ý rằng mọi số thực có biểu diễn liên phân số liên tục tuần hồn
khi và chỉ khi nó là số vô tỉ bậc hai (xem [18], Định lý 5.1.3, tr. 240). Ngoài


18

ra, số vơ tỉ bậc hai có thể biểu diễn thành liên phân số liên tục vơ hạn
tuần hồn, ta ký hiệu
α = q0 ; q1 , . . . , ql−1
nghĩa là qn = qn+l với mọil n

0, trong đó l = l(α) là độ dài của biểu

diễn liên phân số liên tục đơn. Ta đã biết rằng số vơ tỉ bậc hai α có biểu
diễn thành liên phân số tuần hoàn thuần túy khi và chỉ khi α > 1 và
−1 < α < 0. Mọi số vô tỉ bậc hai thỏa mãn hai điều kiện trên được gọi
là thu gọn (xem [18], Định lý 5.3.2, tr. 241). Nếu α là số vơ tỉ bậc hai rút
gọn, thì với mọi j

0, ta có

√
√

0 < Qj < 2 D, 0 < Pj < D và qj

√
D .

(2.6)

Giả sử D0 > 1 là số ngun khơng chính phương và đặt:




2,

nếu D0 ≡ 1 (mod 4)



1,

nếu D0 ≡ 1 (mod 4)

σ0 = 
Kí hiệu
ω0 = (σ0 − 1 +

√

D)/σ0 , và ∆0 = (ω0 − ω0 )2 = 4D0 /σ 2 ,

trong đó ω0 là liên hợp của ω0 , tức là
ω0 = (σ0 − 1 −

√
D)/σ0

Giá trị ∆0 được gọi là biệt thức cơ bản phù hợp với căn của D0 , và ω0 được
gọi là giá trị cơ bản phù hợp với ∆0 . Đặt ∆ = f∆2 ∆0 với mỗi f∆ ∈ N. Nếu
ta kí hiệu
g = gcd(f∆ , σ0 ), σ = σ0 /g, D = (f∆ /g)2 D0 , và ∆ = 4D/σ 2
thì ∆ được gọi là biệt thức phù hợp với căn của D. Hơn nữa, giả sử
ω∆ = (σ − 1 +

√
D)/σ


19

với h ∈ Z, thì ω∆ được gọi là giá trị chính phù hợp với biệt thức
∆ = (ω∆ − ω∆ )2
Ghi chú: O∆ là vành gồm các phần tử là các số nguyên đại số trong trường
√
K = Q( ∆) ( một số được gọi là số nguyên đại số nếu nó là nghiệm của
đa thức f (x) ∈ Z[x], trong đó f (x) là đa thức có hệ tử cao nhất bằng 1.
Giả sử [α, β] = αZ + βZ là Z−module. Khi đó O∆ = [1, ω∆], là một
√
√
vành sắp thứ tự trong trường K = Q( ∆) = Q( D0 ). Khi f∆ = 1, thì
O∆ được gọi là vành sắp thứ tự cực đại trong K. Tất cả các phần tử khả

nghịch của O∆ tạo thành một nhóm được kí hiệu là U∆ . Các phần tử khả
nghịch dương trong U∆ có phần tử sinh là khả nghịch nhỏ nhất lớn hơn 1
phần tử này là duy nhất, được gọi là đơn vị cơ bản của K, ký hiệu là ε∆ .
Ta có thể chứng minh được rằng bất kì Z−module I = (0) của O∆ có biểu
diễn dạng [a, b + cω∆ ], trong đó a, c ∈ N với 0

b < a. Ta nhận thấy khi

I là Z−module nguyên thủy của O∆ được xác định bởi
σa = Q và b = (P − 1)/2 nếu σ = 2, trong khi b = P nếu σ = 1
với P, Q ∈ X, tức là
I = [Q/σ, (P +

√
D)/σ].

(2.7)

Một Z−module I được xác định bởi (2.7) được gọi là ideal nguyên thủy
trong O∆ nếu và chỉ nếu P 2 ≡ D (mod Q) (xem [7, Định lý 3.5.1, p. 173]).
Khi I là ideal nguyên thủy trong O∆ , ta sẽ nói Q/σ được gọi là chuẩn của
I, ký hiệu là N (I). Rõ ràng I là ideal nguyên thủy của O∆ −ideal nếu và
√
chỉ nếu α = (P + D)/Q là số vô tỉ bậc hai. Ta nói I một O∆ −ideal thu
√
gọn của O∆ nếu I chứa phần tử β = (P + D)/σ thỏa mãn I = [N (I), β],
trong đó β > N (I) và −N (I) < β < 0. Ta có kết quả sau.
Định lý 2.2.1. ( [16], hệ quả 1.4.2-1.4.4, tr19, tr.23-28) Cho ∆ là một biệt
thức phù hợp với căn D. Khi đó I = [Q/σ, b+ω∆ ] là một ideal trong O∆ rút
√

√
gọn nếu Q/σ < ∆/2. Ngược lại, nếu I là ideal rút gọn thì Q/σ < ∆.
√
Ngoài ra, nếu 0 b < Q/σ và Q > ∆/2, thì I là rút gọn nếu và chỉ nếu
Q/σ − ω∆ < b < −ω∆ .


20

Định lý 2.2.2. ([18], định lý 5.5.2, tr 261-266) Giả sử ∆ ∈ N là một biệt
thức, các số Pj , Qj được xác định như trong (2.3)-(2.5) và
√
Ij = [Qj−1 /σ, (Pj−1 + D)/σ]
với mỗi số không âm j ∈ Z. Khi đó I1 ∼ Ij với mọi j ∈ N. Ngoài ra, tồn
tại số tự nhiên bé nhất n thỏa mãn In+j là một ideal rút gọn với mọi j

0,

và In+j là các ideal rút gọn tương đương với I1 . Nếu l ∈ N là giá trị bé nhất
n − 1,
√
αj = (Pj + D)/Qj

thỏa mãn In = Il+n , khi đó với j

tất cả có cùng chiều dài tuần hoàn l = l(αj ) = l(αn−1 )
Chú ý 2.2.3. Từ thuật toán liên phân số liên tục, ta thấy rằng nếu
√
I = [Q/σ, (P + D)/σ]
là một ideal rút gọn trong O∆ thì tập hợp đặt

{Q1 /σ, Q2 /σ, . . . , Ql /σ}
biểu diễn chuẩn của tất cả các ideal rút gọn tương đương với I. Điều này
√
thu được từ biểu diễn của liên phân số liên tục đơn của α = (P + D)/Q.
Từ thuật toán về liên phân số liên tục ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.4. Cho ∆ là biệt thức phù hợp với căn D và cho c ∈ N thỏa
√
mãn c < ∆/2. Khi đó phương trình
x2 − Dy 2 = ±σ 2 c
có nghiệm nguyên thủy nếu và chỉ nếu c = Qj /σ với j

0 trong biểu diễn

liên phân số liên tục đơn của ω∆ .
Hệ quả 2.2.5. (xem [15], Bổ đề 3.5, tr. 831) Cho ∆ là một biệt thức, và
Qj /σ = 1, trong biểu diễn liên phân số liên tục đơn của ω∆ . Nếu Qj /σ là
ước số khơng chính phương của ∆, thì l = l(ω∆ ) = 2j. Ngược lại, nếu l là
số chẵn, thì Ql/2 /σ|∆ (trong đó Ql/2 /σ khơng nhất thiết là số khơng chính
phương)


21

Tiếp theo, ta trình bày một kết quả quan trọng được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính ở phần sau.
Định lý 2.2.6. ([18, định lý 6.2.7, tr.302-303]) Cho D ∈ N khơng là số
chính phương và n ∈ Z thỏa mãn phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = n
√
có nghiệm nguyên thủy X0 + Y0 D, khi đó tồn tại duy nhất P1 ∈ Z với
−|c|/2 < P1

|c|/2 thỏa mãn đẳng thức
√
√
√
P1 + D = (X0 − Y0 D)(x + y D)

với x, y ∈ Z xác định bởi
x=

Y0 P1 − X0
X0 P1 − Y0 D
và y =
n
n

Xét số vô tỉ bậc hai
√
P+ D
α=
= q0 ; q1 , . . .
Q
và dãy các số nguyên {Aj } và {Bj } xác định như sau:
A−2 = 0, A−1 = 1, Aj = qj Aj−1 + Aj−2 (với j

0),

(2.8)

0),

(2.9)

(xem [18], định lý 5.3.4, tr.246)
B−2 = 1, B−1 = 0, Bj = qj Bj−1 + Bj−2 (với j
Ta có
2
A2j−1 − Bj−1
D = (−1)j Qj Q0 ( với j

1),

(2.10)

Ta có kết quả sau.
Định lý 2.2.7. Cho ∆ > 0 là biệt số, I = [Q/σ, (P +
gọn trong O∆ , và
α = (P +

√

D)/σ] ideal rút

√
D)/Q

Nếu Pj và Qj với j = 1, 2, . . . , l(α) = l được xác định bởi các phương trình
(2.3)-(2.5) trong biểu diễn liên phân số liên tục đơn của α, thì
l

ε∆ =

(Pi +
i=1

√
D)/Qi


22

và
N (ε∆ ) = (−1)l .
Ngoài ra

hoặc

√
ε∆ = Al−1 + Bl−1 D
√
ε3∆ = Al−1 + Bl−1 D

.
( Xem [16], định lý 2.1.3–2.1.4, tr. 51–53)

√
Cho b ∈ N không là số chính phương, giả sử T1,b + U1,b b là nghiệm cơ
bản của phương trình Pell (loại 1)
x2 − by 2 = 1.

(2.11)

Khi đó các số nguyên Tk,b và Uk,b được xác định bởi
√
√
(T1,b + U1,b b)k = Tk,b + Uk,b b.
√
Chú ý rằng, mọi nghiệm dương x0 + y0 b của phương trình (2.11) là lũy
√
√
thừa của nghiệm cơ bản. Mặt khác, x0 + y0 b = Tk,b + Uk,b b với k ∈ N
nào đó. ([17], định lý 2.3, tr.340-341)
Định lý 2.2.8. ([17], định lý 2.1, tr. 221) Cho a, b, c ∈ N, b khơng là số
chính phương, sao cho phương trình đồng dư a2 ≡ bP 2 (mod c) giải được
với mỗi số nguyên P , và xét |t| ∈ N, là giá trị bé nhất thỏa mãn phương
trình a2 − bP 2 = ct. Giả sử có một trong hai điều kiện sau, hoặc
√
(a) a|Tk,b với mỗi k ∈ N và c < a b, hoặc
√
(b) |t| < a b.
Khi đó hai khẳng định sau là tương đương
(1) Tồn tại nghiệm nguyên thủy của phương trình
|ax2 − by 2 | = c.

(2.12)


23

(2) Với một vài số nguyên j 0 trong biểu diễn liên phân số liên tục đơn

√
của a2 b, ta có c = Qj khi (a) thỏa mãn hoặc |t| = Qj khi (b) thỏa
mãn.
Chứng minh. Trước tiên ta giả sử có (1), khi đó phương trình (2.12) có
√
nghiệm ngun thủy α = x0 a + y0 b. Nếu (a) thỏa mãn, thì a|Tk,b với mỗi
k ∈ N, do đó tồn tại u, v ∈ N sao cho a2 u2 − bv 2 = 1. Vì vậy, với D = a2 b,
ta có
±c = (a2 u2 − bv 2 )(a2 x20 − by02 ) = (a2 x0 u + bvy0 )2 − (x0 v + y0 u)2 D.
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng x = a2 x0 u + bvy0 và y = x0 v + y0 u cho
ta một nghiệm nguyên thủy của phương trình x2 − Dy 2 = ±c. Dễ thấy
x, y ∈ N. Nếu p là ước nguyên tố của cả x và y , thì ta có
a2 x0 u + bvy0 = pr,

(2.13)

x0 v + y0 u = ps,

(2.14)

và

với r, s ∈ Z. Bằng cách nhân a2 u vào hai vế của (2.14) và trừ đi v lần
phương trình (2.13), ta thu được,
y0 (u2 a2 − bv 2 ) = p(sa2 u − rv),
tuy nhiên a2 u2 − bv 2 = 1, nên ta có y0 = p(sa2 u − rv). Từ đó suy ra p|y0 .
Với kỹ thuật tương tự, bằng cách loại bỏ số hạng y0 ở hai phương trình
(2.13)–(2.14), ta chỉ ra được p|x0 . Như vậy, mâu thuẫn với tính nguyên
√
thủy của nghiệm ax0 + y0 b. Vì vậy, (x, y) cho ta một nghiệm nguyên

√
thủy của phương trình x2 − Dy 2 = ±c. Ta suy ra Hệ quả 2.2.4. Vì c < D,
khi đó tồn tại số ngun không âm j thỏa mãn c = Qj trong biểu diễn liên
√
phân số liên tục đơn của D. Như vậy ta có (2).
Ngược lại, ta giả sử có (b). Vì a2 x20 − by02 = ±c, khi đó với X0 =
by0 , Y0 = x0 và n = ±bc,
X02 − DY02 = b2 y02 − ba2 x20 = ±bc = n,