Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN

BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG LỚP HÀM SIÊU VIỆT

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội - Năm 2015


1

Mục lục
Mở đầu

2

1 Một số tính chất của hàm mũ và logarit
1.1 Hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm lồi, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số mũ và hàm logarit . .
1.3.1 Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm logarit . . . . .
1.3.2 Tính lồi, lõm của hàm số mũ và hàm logarit . . . . . .
1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng minh các bất
đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
5
5
5
6
6
9

2 Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, hàm logarit
13
2.1 Bất đẳng thức hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Bất đẳng thức hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Một số bài toán áp dụng
3.1 Các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ và hàm logarit . .
3.2 Bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới hạn . . . . . . .
3.3 Bất đẳng thức siêu việt trong phương trình và hệ phương trình

34
34
42
50

KẾT LUẬN

58

Tài liệu tham khảo

59


2

Mở đầu
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình tốn học phổ
thơng, song nó lại ln có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tịi, óc sáng tạo của
học sinh. Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kỳ thi tuyển
sinh cao đẳng đại học, thi học sinh giỏi hay các kỳ thi Olympic. Lý thuyết
bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và
cực kỳ đa dạng. Đặc biệt bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt là một phần
chun đề rất hay, đóng vai trị quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi.
Để góp phần đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học
sinh giỏi về bất đẳng thức, luận văn "Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt"
đưa ra một số bài toán bất đẳng thức trong lớp hàm mũ và logarit, một số
bài toán áp dụng cúa bất đẳng thức siêu việt vào việc tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số, các bài toán dãy số và giới hạn và khảo sát
một số phương trình và hệ phương trình. Luận văn "Bất đẳng thức trong
lớp hàm siêu việt" chủ yếu là sưu tầm, nghiên cứu tài liệu và các sách tham
khảo liên quan đến bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit và các bài toán
ứng dụng liên quan. Luận văn là một chuyên đề nhằm góp phần hướng tới
bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thơng (xem [1-9]).
Ngồi phần Mở đầu và Kết luận, Luận văn được chia làm ba chương

như sau:
Chương 1. Các kiến thức bổ trợ.
Chương này trình bày một số tính chất của hàm số mũ và hàm logarit
(tính đơn điệu, tính lồi lõm); ý nghĩa của hàm số mũ, hàm logarit trong
chứng minh các bất đẳng thức cổ điển và một số bất đẳng thức cổ điển được
sử dụng trong luận văn.


3

Chương 2. Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit.
Chương này đưa ra các bài toán về bất đẳng thức mũ, logarit được
nghiên cứu và tổng hợp trong các tài liệu tham khảo.
Chương 3. Một số bài toán áp dụng.
Chương này đưa ra các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ, hàm
logarit; các bài toán áp dụng bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới
hạn, trong khảo sát phương trình và hệ phương trình.
Trong thời gian thực hiện luận văn này, tác giả đã nhận được sự hướng
dẫn, chỉ bảo tận tình của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Thông qua luận
văn này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những
công lao, sự quan tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầy
Nguyễn Văn Mậu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin
học đã dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn các thầy cơ trong Ban giám
hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường
Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn.

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015
Học viên

Nguyễn Thị Hồng Duyên


4

Chương 1
Một số tính chất của hàm mũ và
logarit
1.1

Hàm đơn điệu

Định nghĩa 1.1 (Xem [1-3]). Cho hàm số f : R → R xác định trên tập

I(a; b) ⊂ R, trong đó I(a, b) là ký hiệu một trong các tập hợp (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]
với a < b. Khi đó, nếu ứng với mọi x1 , x2 ∈ I(a, b), ta đều có với x1 < x2
suy ra f (x1 ) ≤ f (x2 ) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a; b).
Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x1 , x2 ∈ I(a; b), ta đều có

f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 < x2
thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a; b), hay còn
gọi là hàm đồng biến.
Ngược lại, nếu ứng với mọi x1 , x2 ∈ I(a, b), ta đều có với x1 < x2 suy
ra f (x1 ) ≥ f (x2 ) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu giảm trên I(a; b).
Nếu

f (x1 ) > f (x2 ) ⇔ x1 < x2 ; ∀x1 , x2 ∈ I(a; b)
thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a; b), hay còn
gọi là hàm nghịch biến.
Định lý 1.1. Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f (x) > 0

với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng đó. Ngược lại, nếu

f (x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng đó.


5

1.2

Hàm lồi, lõm

Định nghĩa 1.2 (Xem [1-3]). Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi xuống
dưới) trên tập I(a; b) ⊂ R nếu với mọi x1 , x2 ∈ I(a; b) và với mọi cặp số
dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ).
Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 ta nói hàm số f (x) là hàm
lồi thực sự (chặt) trên I(a; b).
Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tập I(a; b) ⊂ R nếu với mọi

x1 , x2 ∈ I(a; b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có
f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ).
Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 ta nói hàm số f (x) là hàm
lõm thực sự (chặt) trên I(a; b)
Định lý 1.2 (Xem [1-3]). Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f (x) lồi
(lõm) trên I(a; b) khi và chỉ khi f (x) ≥ 0 (f (x) ≤ 0) trên I(a; b).

1.3

Tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số mũ và

hàm logarit

1.3.1

Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm logarit

- Xét hàm số y = ax , a > 0, a = 1 liên tục trên R, ta có

y = ax ln a (a > 0, a = 1).
Khi a > 1 thì y > 0 nên hàm số đồng biến trên R.
Khi 0 < a < 1 thì y < 0 nên hàm số nghịch biến trên R.
- Xét hàm số y = loga x, a > 0, a = 1; x > 0 ta có

y = (loga x) =

1
.
x · ln a

Khi a > 1 thì y > 0 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞).
Khi 0 < a < 1 thì y < 0 nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞).


6

1.3.2

Tính lồi, lõm của hàm số mũ và hàm logarit

- Xét hàm số y = ax , a > 0, a = 1, ta có

y = ax ln a (a > 0, a = 1),
y = (ln a)2 ax .
Ta thấy y > 0 với mọi 0 < a = 1, x ∈ R do đó hàm số y = ax là hàm lồi
trên R.
- Tương tự, với hàm số y = loga x, a > 0, a = 1; x > 0, ta có
1
.
y = (loga x) =
x · ln a
−1
y = 2
.
x ln a
Nếu a > 1 tức ln a > 0 thì y < 0 suy ra hàm số lõm trên (0; +∞).
Nếu 0 < a < 1 tức ln a < 0 thì y > 0 suy ra hàm số lồi trên (0; +∞).

1.4

Một số bất đẳng thức cổ điển

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức AM - GM, Xem [1-3]). Giả sử x1 , x2 , . . . , xn là
các số không âm. Khi đó
√
x1 + x2 + · · · + xn
≥ n x1 x2 . . . xn .
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Định lý 1.4 (Bất đẳng thức dạng Karamata, Xem [1]). Cho hai dãy số

xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, . . . , n, thỏa mãn các điều kiện
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn

x1 ≥ y1 ,




x1 + x2 ≥ y1 + y2 ,
· · · · · · ··


x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1 ,



x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn .
Khi đó, ứng với mọi hàm lồi thực sự f (x) (f (x) > 0) trên I(a, b), ta đều có

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ).


7

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen, Xem [1]). Cho hàm số y = f (x) liên
tục và lồi trên [a, b]. Cho các số k1 , k2 , . . . , kn ∈ R+ ; k1 + k2 + · · · + kn = 1.
Khi đó với mọi xi ∈ [a, b]; i = 1, 2, . . . , n, ta ln có
n

n

ki f (xi ) ≥ f (
i=1

ki xi ).
i=1

Nếu hàm số y = f (x) lõm trên [a, b] thì bất đẳng thức trên đổi chiều, tức là
n

n

ki f (xi ) ≤ f (
i=1

ki xi ).
i=1

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Bernoulli (dạng liên tục), Xem [1]). Cho x > 0.
Khi đó

xα + (1 − x)α ≥ 1

Khi α ≥ 1 hoặc α ≤ 0.

xα + (1 − x)α ≤ 1

Khi 0 ≤ α ≤ 1.

Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bernoulli đối với tam thức bậc (α, β) , Xem [1]

). Cho cặp số (α, β) thỏa mãn điều kiện α > β > 0. Khi đó, với mọi x ∈ R+

xα +

α
α
− 1 ≥ xβ .
β
β

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Schur). Với các số thực dương a, b, c và k ∈ R+
bất kỳ ta ln có

ak (a − b)(a − c) + bk (b − c)(b − a) + ck (c − a)(c − b) ≥ 0.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b và c = 0 cùng các
hốn vị của nó.
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k = 1 và k = 2 tức là
(i) a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ 0.
(ii) a2 (a − b)(a − c) + b2 (b − c)(b − a) + c2 (c − a)(c − b) ≥ 0.


8

Phương pháp đổi biến p, q, r
Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến khơng âm
ta có thể đổi biến như sau Đặt p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc. Ta
có một số bất đẳng thức sau

• ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq − 3r
• (a + b)(b + c)(c + a) = pq − r
• ab(a2 + b2 ) + bc(b2 + c2 ) + ca(c2 +2 ) = p2 q − 2q 2 − pr
• (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b) = p2 + q
•

2

+ b2 + c2 = p2 − 2q

• a3 + b3 + c3 = p3 − 3pq + 3r
• a4 + b4 + c4 = p4 − 4p2 q + 2q 2 + 4pr
• a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = q 2 − 2pr
• a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 = q 3 − 3pqr + 3r2
• a4 b4 + b4 c4 + c4 a4 = q 4 − 4pq 2 r + 2p2 r2 + 4qr2
Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các
biến p, q, r mà các biến a, b, c ban đầu không có như

• p2 ≥ 3q
• p3 ≥ 27r
• q 2 ≥ 3pr
• pq ≥ 9r
• 2p3 + 9r ≥ 7pq
• p2 q + 3pr ≥ 4q 2
• p4 + 4q 2 + 6pr ≥ 5p2 q
p(4q − p2 )
• r≥
9
(4q − p2 )(p2 − q)
• r≥

6p


9

1.5

Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng
minh các bất đẳng thức cổ điển

Định lý 1.9 (Bất đẳng thức AM - GM suy rộng, [1]). Giả sử cho trước hai
cặp dãy số dương x1 , x2 , . . . , xn ; p1 , p2 , . . . , pn . Khi đó:

xp11

·

xp22

· · · xpnn ≤

x1 p1 + x2 p2 + · · ·xn pn
p1 + p2 + · · ·pn

p1 +p2 +···pn

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Chứng minh. Đặt

s=

x1 p1 + x2 p2 + · · ·xn pn
.
p1 + p2 + · · ·pn

Sử dụng bất đẳng thức hàm mũ

ex−1 ≥ x, ∀x ∈ R,
ta thu được

Từ đó ta thu được hệ

Suy ra

x1
x1
x1
≤ e s −1 ⇔ x1 ≤ se s −1 .
s


x1
s −1 ,
x
≤
se

1


x2

x2 ≤ se s −1 ,

···········


xn
xn ≤ se s −1 .
 p1
x
p1 ( s1 −1)p1
x
≤
s
e
,


x
 1p2
p2 ( s2 −1)p2
x2 ≤ s e
,

···········

 pn
xn

xn ≤ spn e( s −n)pn .

Vậy nên

xp11 · xp22 · · · xpnn ≤ sp1 +p2 +···pn e

x1 p1 +x2 p2 +···+xn pn
−(p1 +p2 +···+pn )
s

hay

xp11 · xp22 · · · xpnn ≤ sp1 +p2 +···+pn , (đpcm).
x1
x2
xn
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
=
= ··· =
= 1 hayx1 = x2 =
s
s
s
· · · = xn .


59

Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáo

dục.
[2] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương
trình, NXB Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn,
2006 Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Các bài thi Olympic Tốn trung học phổ thơng Việt
Nam, 1990 - 2014, NXB Giáo dục.
[5] D.S. Mitrinovic (1970), Analytic Inequalities, Springer.
[6] Rajendra Bhatia (2008), The Logarithmic Mean, Indian Statistical Institute.
[7] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems
in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer.
[8] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, 2005, Giáo trình
giải tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[9] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang,Nguyễn Viết Triều Tiên, Hồng
Quốc Tồn, 2001, Bài tập giait tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.