Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông

Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông
qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong
chương trình Toán trung học phổ thông


Bùi Thị Thanh Hoa


Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS. ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Quốc
Năm bảo vệ: 2012


Abstract. Hệ thống hoá và làm rõ hơn lý luận về phương pháp dạy học tự học. Các
biểu hiện năng lực tự học, kỹ năng tự học. Điều tra, tìm hiểu thực trạng tự học của
200 học sinh ở các lớp tại 2 trường THPT của Hải Phòng. Tìm các biện pháp nhằm
rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức
trong chương trình toán trung học phổ thông. Thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết
quả thực nghiệm.

Keywords. Toán học; Kỹ năng tự học


Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cuộc sống luôn đòi hỏi con người không ngừng mở rộng sự hiểu biết. Để người học
có thể cập nhật được tri thức của nhân loại, hoạt động đạt hiệu quả và tiếp tục học ngay cả khi
không còn ngồi trên ghế nhà trường thì cần phải được rèn luyện năng lực tự học thường

xuyên.
Muốn vậy, quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học, phải biến quá trình dạy học
thành quá trình tự học. Người GV phải đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện năng lực tự
học cho HS, để rút ngắn thời gian học tập trên lớp mà vẫn đạt hiệu quả cao.
Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức là một nội dung rất hay, có khả năng
rèn luyện rất tốt tư duy cho học sinh, có nhiều ứng dụng trong giải toán. Tuy nhiên, số lượng
tiết học trên lớp còn ít, nhiều học sinh chưa biết cách tự học hiệu quả. Vì vậy, tôi chọn đề tài
nghiên cứu “Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng
thức trong chương trình toán trung học phổ thông”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Chủ tịch Hồ Chí Minh là người nêu cao tấm gương sáng ngời về tinh thần và phương
pháp tự học. Bàn về việc học, Bác Hồ đã viết: “Cách học tập, phải lấy tự học làm cốt, phải
biết tự động học tập ”.
Những năm tám mươi, nhóm nghiên cứu của GS. Nguyễn Cảnh Toàn cũng đã đưa ra
phương pháp dạy – tự học.
Gần đây, có nhiều công trình của các nhà khoa học, nhiều luận văn thạc sĩ cũng đã
nghiên cứu, khai thác thêm và vận dụng vào thực tế những biện pháp tổ chức hoạt động tự
học cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
3. Mục đích nghiên cứu
Tìm các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội
dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Học sinh và giáo viên trường THPT Ngô Quyền, THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng.

4.2. Đối tượng nghiên cứu
Các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất
đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông.
5. Câu hỏi nghiên cứu
Các biện pháp nào rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung

bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông?
6. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu giáo viên biết gợi động cơ học tập cho học sinh; hướng dẫn học sinh tự đọc tài
liệu, tổng kết kiến thức; xây dựng hệ thống các bài tập theo chủ đề cho học sinh thì có thể rèn
luyện năng lực tự học cho học sinh.
7. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hoá về phương pháp dạy học tự học, kỹ năng tự học, năng lực tự học
- Tìm hiểu thực trạng tự học của học sinh ở 2 trường THPT của Hải Phòng. - Tìm các
biện pháp nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng
thức trong chương trình toán trung học phổ thông.
- Thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết quả thực nghiệm
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận
8.2. Điều tra, quan sát
8.3. Thực nghiệm sư phạm
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung
chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học
nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm tự học, năng lực tự học
1.1.1. Khái niệm tự học
Có nhiều quan niệm về tự học:
- Theo Hồ Chủ Tịch, tự học là học một cách tự động.
- Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn: “Tự học là tự mình động não, suy nghĩ…để chiếm

lĩnh một lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của mình”.
- Theo nghĩa từ điển: “Tự học là quá trình chủ thể nhận thức tự mình hoạt động lĩnh
hội tri thức và rèn luyện kĩ năng thực hành, không có sự hướng dẫn trực tiếp của giáo viên và
sự quản lí trực tiếp của cơ sở giáo dục đào tạo”.
1.1.2. Ý nghĩa của tự học
Tự học là cách hữu hiệu để chuẩn bị cho mỗi người có năng lực học tập suốt đời.
Đồng thời, phương pháp tự học là cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học.
1.1.3. Mối quan hệ giữa dạy học và tự học
Giữa dạy học và tự học tồn tại mối quan hệ biện chứng. Thực chất đó là mối quan hệ
giữa ngoại lực và nội lực. Nội lực - năng lực tự học là yếu tố quyết định, còn ngoại lực - tác
động dạy của thầy, của môi trường xã hội sẽ thúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển đó. Bởi
vậy, muốn bản thân người học phát triển cao nhất thì tác động của người thầy phải “cộng
hưởng” với năng lực tự học của trò.
1.1.4. Những kỹ năng cần thiết của người tự học môn Toán
a) Đào sâu suy nghĩ, lật đi lật lại vấn đề, tìm ví dụ và phản ví dụ, khai thác bài toán,
tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán, Chẳng hạn, tập trung thời gian vào một
số bài lí thú, suy nghĩ về đường lối giải bài toán đó,
b) Tự mình cố gắng hết sức để giải các bài toán, nếu bài toán có nhiều hướng giải cần
suy nghĩ để tìm lời giải hay, mới, độc đáo. Đồng thời, học xong một chủ đề hay một chương
nào đó cần phải tự tổng kết các vấn đề. Chẳng hạn: các câu hỏi phụ của bài toán khảo sát, các
phương pháp chứng minh bất đẳng thức,
c) Biết ghi chép sau khi đọc một tài liệu, một quyển sách, một vấn đề.
1.1.5. Các biểu hiện năng lực tự học của học sinh
1.1.5.1. Năng lực nhận biết, tìm tòi và phát hiện vấn đề
1.1.5.2. Năng lực giải quyết vấn đề
1.1.5.3. Năng lực tư duy quyết định đúng
1.1.5.4. Năng lực vận dụng phương pháp tư duy biện chứng, tư duy logic vào việc phát hiện
vấn đề, giải quyết vấn đề và quyết định đúng, năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn
1.1.5.5. Năng lực đánh giá và tự đánh giá
1.2. Một số hình thức tự học

Có thể nêu lên ba hình thức tự học cơ bản sau đây:
Một là, người học tự đọc tài liệu tìm vấn đề, tự suy nghĩ, tự xoay sở giải quyết vấn đề,
tự rút ra kinh nghiệm và không cần có sự điều khiển của giáo viên.
Hai là, học sinh tự sắp xếp thời gian, điều kiện vật chất để tự ôn tập, tự đào sâu những
tri thức và tự hình thành những kỹ năng, kỹ xảo theo yêu cầu của giáo viên.
Ba là, hoạt động tự học của HS diễn ra dưới sự điều khiển trực tiếp của GV.
1.3. Thực trạng dạy học tự học hiện nay
Học sinh bị lệ thuộc vào giáo viên, chỉ biết giải quyết các dạng bài mà giáo viên giao
cho, không biết tổng kết kiến thức đã học theo quan điểm của riêng mình.
Đại đa số còn lại các em không có khả năng tự học; cách học tập còn thụ động, thiên
về ghi nhớ, ít chịu khó suy nghĩ, không có khả năng liên kết những kiến thức toán học thành
hệ thống.
1.4. Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh
- Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học của học sinh.
- Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu, tự tổng kết những tri thức, kĩ năng đã học.
- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh.

CHƢƠNG 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH THÔNG
QUA DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Nội dung bất đẳng thức ở trƣờng THPT
2.1.1. Khái niệm BĐT
2.1.2. Các tính chất của BĐT
2.1.3. Một số BĐT cơ bản trong chương trình phổ thông
2.1.3.1. Các BĐT gốc
x
1
2m
+ x

2
2m
+ …+ x
n
2m


0 (*) với

x
1
, x
2
,…, x
n

R;
m, n

N
*
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x
1
= x
2
=….= x
n
= 0.
2.1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả
Với a

1
, a
2
,…, a
n
là các số thực không âm, ta có:
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a
1
=….= a
n
.
2.1.3.3. Bất đẳng thức BunhiaCôpxki và các hệ quả
* Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với 2n số thực
Cho hai dãy số a
1
, a
2

, …, a
n
và b
1
, b
2
,…, b
n
ta có
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+
…+ a
n
b
n
)
2
≤
(a
1
2
+ a
2

2
+ …+a
2
n)
(b
1
2
+b
2
2
+…+b
2
n
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2 1 2
: : : : : :
nn
a a a b b b


Hệ quả: Với x
1
, x
2
, , x
n
là các số dương, ta có:
 

  
   
  
2
2
22
12
12
1 2 1 2



n
n
nn
a a a
a
aa
x x x x x x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


1 2 1 2
: : : : : :
nn
a a a x x x
.
2.1.3.4. Một số BĐT hình học


Cho hai véc tơ
, vu

ta luôn có:
+ vu v u
   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
, vu

cùng hướng.

Cho hai véc tơ
, vu

ta luôn có:
vuv u
  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
, vu

cùng phương.
2.1.3.5. Một số BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối

   0; ;x x x x x


    x a a x a
(với a > 0)







xa
xa
xa
(với a > 0)

    a b a b a b


2.2. Vị trí và vai trò của bài tập chứng minh bất đẳng thức
Bài tập chứng minh BĐT có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là bài tập
có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện
những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc hay
phương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán
học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
2.3. Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội
dung bất đẳng thức
2.3.1. Biện pháp 1: Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học của học sinh
Thứ nhất, GV cần tác động đến tình cảm của học sinh. GV bồi dưỡng cho học sinh ý
chí vươn lên trong học tập. Theo GS. TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “Tự học là tự mình động
não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ …rồi cả động cơ, tình cảm, cả nhân sinh quan, thế
giới quan (như trung thực, khách quan, có chí tiến thủ, không ngại khó ngại khổ, lòng say mê
khoa học, ý muốn thi đỗ, biết biến khó khăn thành thuận lợi,…) để chiếm lĩnh một lĩnh vực
hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của mình”.

Thứ hai, gợi động cơ xuất phát từ nội bộ toán học và thực tiễn. GV hướng dẫn cho HS
thấy ý nghĩa của môn toán. Với mỗi phần toán học, giáo viên hướng dẫn cho học sinh các
ứng dụng của nội dung đó trong các nội dung toán học khác hoặc ứng dụng trong thực tiễn.
Thứ ba, yêu cầu của GV phải vừa sức với từng đối tượng học sinh.
2.3.2. Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu
2.3.2.1. Hướng dẫn HS sử dụng sách giáo khoa trong giờ học bất đẳng thức
Để rèn luyện phương pháp tự đọc cho học sinh, cần có những hoạt động sau:
- Xác định rõ mục tiêu: Đọc một nội dung nào đó để nắm được những vấn đề gì? Trả
lời được những câu hỏi nào? Làm được việc gì?
- Hoạt động làm mẫu: Giáo viên có thể hướng dẫn tại lớp cách đọc, cách ghi chép một
chương, một bài nào đó trong sách giáo khoa.
- Rèn luyện các kỹ năng: đào sâu suy nghĩ, tự tổng kết; biết ghi chép sau khi đọc,….
Rèn luyện năng lực tự đọc thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập sẽ giúp học sinh
nhận biết và lựa chọn được những kiến thức cần ghi nhớ, đồng thời các em cũng đánh giá
được kiến thức trọng tâm của từng bài học.
Chẳng hạn, khi dạy bài “Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức” giáo viên có
thể yêu cầu học sinh đọc nội dung phần đầu rồi ghi những nội dung mà mình cho là cần thiết
ra giấy. Sau đó, giáo viên phát cho mỗi học sinh hệ thống câu hỏi và bài tập dưới đây và yêu
cầu học sinh trả lời và giải các bài tập đó bằng những kiến thức mà các em đã ghi lại:
Câu 1: Hãy nêu các tính chất của bất đẳng thức? Phát biểu thành lời các tính chất?
Câu 2: Để chứng minh bất đẳng thức
2
x 1 x 1
22


có bạn đã làm như sau:
 
2
2 2 2 2

2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2x 1
x 1 0
2 2 2 2 2 4
      

       



Hãy nhận xét tính đúng, sai của lời giải trên?
Câu 3: Hãy chứng minh rằng với mọi số thực x,
 
2
4x 2 2x 1

Câu 4: Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì
11
ab

.
Câu 5: Không dùng bảng số hay máy tính, hãy so sánh:
2010 2015
và
2012 2013

2.3.2.2. Hướng dẫn HS chọn tài liệu tham khảo
Phải biết chọn sách để đọc.
Sau khi đã chọn sách, chúng ta cần có thêm kỹ năng và phương pháp đọc sách.
Sau khi đọc sách, HS viết kinh nghiệm theo từng mức độ:

2.3.2.4. Hướng dẫn học sinh tổng kết những tri thức đã học
GV có thể phát phiếu học tập cho HS tự học ở nhà. Nội dung phiếu học tập bao gồm
các yêu cầu cụ thể, những lý thuyết cần hệ thống, các câu hỏi, các bài tập với phương pháp
giải cần tổng hợp. Học sinh khắc sâu được kiến thức đã học, lập được mối liên hệ hữu cơ các
kiến thức toán học với nhau.
2.3.3. Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm rèn luyện năng lực tự học
cho học sinh
2.3.3.1. Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề
Chủ đề 1: Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Việc giải quyết các bài tập trong hệ thống này một mặt giúp học sinh nắm được cách
sử dụng bất đẳng thức Cauchy, mặt khác cũng giúp học sinh củng cố các tính chất của bất
đẳng thức. Các em được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, so sánh, tổng hợp,
Đồng thời, thông qua việc giải quyết từng bài tập trong hệ thống, học sinh cần phải linh hoạt,
điều chỉnh cách thêm bớt hằng số, cách nhóm các số hạng… sao cho đẳng thức xảy ra. Do đó
góp phần bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề, năng lực vận dụng phương pháp tư duy biện
chứng, tư duy logic.
Phương pháp 1: Thêm bớt hằng số khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Ví dụ: Cho a, b, c là những số dương, thỏa mãn
3
a b c
4
  
. Chứng minh rằng:

3 3 3
a 3b b 3c c 3a 3     
.
Phân tích: Nhận xét giả thiết a, b, c dương nên có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Có
căn bậc 3 nên sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=

1
4
, khi đó a+3b=1 nên ta sử dụng hằng số 1.

Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: Cho a, b, c là những số dương, thỏa mãn
a b c 3  
. Chứng minh rằng:

3 3 3
5a 3b 5b 3c 5c 3a 6     
.
Bài 2: Cho
x 2;y 3;z 1  
. Chứng minh:

xy z 1 yz x 2 zx y 3
1 1 1
1
xyz 2
23
    

  



Bài 3: Cho a, b, c là những số dương, thỏa mãn
3
a b c

4
  
. Chứng minh rằng:

     
444
3
c a 3b a b 3c b c 3a
2
     
.
Bài 4: Cho
1x1  
. Chứng minh
2
4
44
1 x 1 x 1 x 3     

Bài 5: Cho ba số dương x, y, z và x+y+z=1. Chứng minh:

3
4
3
  x xy xyz

Bài 6: Với a, b, c là các số dương, 2a+2b+ab=12, chứng minh rằng
33
16ab
.

Bài 7: Với a, b, c là các số dương, a+4b+27c=90, chứng minh rằng
23
32a b c  

Bài 8: Cho
a, b, c 0
và
a+b+c = 3
. Chứng minh rằng:
5 5 5 3 3 3
a +b +c a +b +c
.
Bài 9: Cho
a, b, c
dương, chứng minh:
3 3 3
a b c a b c
+ + + +
b c a b c a
     

     
     

Bài 10: Cho
a, b, c
dương, chứng minh:
3 3 3
2 2 2
a b c a b c

+ + + +
b c a b c a
     

     
     
.
Tổng kết về phƣơng pháp:
Thông qua việc giải các bài tập trên đây học sinh có thể nhận thấy rằng:
- Có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giả thiết cho a, b, c là những số không âm.
- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiêu số tùy thuộc vào dấu căn trong bất
đẳng thức cần chứng minh.
- Để sử dụng phương pháp thêm bớt hằng số ta cần chú ý đẳng thức xảy ra khi nào để
chọn hằng số cho phù hợp.
Phương pháp 2: Thêm bớt biến khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cũng như phương pháp 1, việc thêm bớt biến nào, bậc bao nhiêu, cần khéo léo, sao
cho đẳng thức xảy ra.
Ví dụ: Với a, b, c là các số dương, abc=1, chứng minh rằng
        
3 3 3
4 4 4
3
1 1 1 1 1 1
  
     
a b c
b c c a a b

Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Ta xét từng biểu thức. Với

  
3
4
11
a
bc
cần thêm bớt biểu thức (1+b) và (1+c) để khử
mẫu. Tuy nhiên, để đảm bảo đẳng thức xảy ra, ta cần khéo léo chọn biểu thức cho cân bằng
giá trị. Khi a=b=c=1 thì
  
3
4
1
11


a
bc
,
 
1
1
2


b
,
 
1
1

2


c
, vì vậy ta chọn thêm bớt
 
1
2
 b
,
 
1
2
 c
.
Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
5 5 5
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
    

Bài 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng

     
3 3 3
2 2 2

4

  
  
a b c a b c
b c c a a b

Bài 3: Cho a, b, c là các số dương, a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

     
3 3 3
2 2 2
1 1 1
  
  
abc
P
abc

Bài 4: Cho x>0, y>0, z>0 và xyz=1. Chứng minh
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
  
  
.
Tổng kết về phƣơng pháp:
Thông qua việc giải các bài tập trên đây học sinh có thể nhận thấy rằng:
- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giả thiết cho a, b, c là những số không âm.
- Chọn biến để thêm bớt cần căn cứ vào những yếu tố: Bậc của biến, giá trị của biểu

thức khi đẳng thức xảy ra.
Phương pháp 3: Nhóm các số hạng khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Khi chứng minh bất đẳng thức, có khi ta cần tách, nhóm các số hạng, chứng minh
nhiều bất đẳng thức phụ. Để dấu bằng trong bất đẳng thức chính xảy ra, ta cần đồng thời có
dấu bằng trong các bất đẳng thức phụ. Việc nhóm các số hạng trong biểu thức của bất đẳng
thức ban đầu phải đảm bảo được tiêu chí này.
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2005)
Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có
12 15 20
345
5 4 3
     
    
     
     
x x x
x x x

Phân tích: Nếu áp dụng bđt Cauchy cho ba số
12 15 20
3 60
5 4 3
     
  
     
     
x x x
x
, chưa được
đpcm. Ta thử nhóm hai số theo vòng tròn, áp dụng bđt Cauchy cho hai số không âm

12 15
,
54
   
   
   
xx
ta có
12 15
12 15
54
.3
2 5 4
   

   
   
   

   
   
xx
xx
x
.
Viết tương tự, cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta có đpcm.
Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2005)
Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
3 3 3 3

33
11
1
33
   

  
x y y z
zx
xy y zx

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối A năm 2007)
Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
     
2 2 2
2
2 2 2

   
  
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y

Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2007)
Cho x, y, z dương. Chứng minh rằng
1 1 1 9
2 2 2 2
   


      
   


   
x y z
P x y z
yz zx xy

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2010)
Cho x, y dương thỏa mãn 3x+y≤1. Chứng minh rằng
11
8  P
x
xy

Bài 5: Cho x, y, z là các số không âm. Chứng minh rằng

3 2 4 3 5    x y z xy yz zx

Bài 6: Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh

x y z y z x z x y 15
S
y z x z x y x y z 2
  
      
  

Bài 7: Cho x > 0, y > 0 và

22
x y 1
. Chứng minh

   
11
S 1 x 1 1 y 1 3 2 4
yx


       





Bài 8: Cho a > 0, b > 0 và a + b  4. Chứng minh
23
2
3a 4 2 b 9
4a b 2


.
Bài 9: Cho a > b > 0. Chứng minh
  
2
4
a3
a b b 1



.
Bài 10: Cho x > 0, y > 0 và x+y=1. Chứng minh
33
11
4 2 3  
x y xy

Bài 11: Cho x > 0, y > 0 và x+y=1. Chứng minh
2
11


xy
xy

Bài 12: Cho ba số không âm x, y, z và
1 1 1
2
1 x 1 y 1 z
  
  
. Chứng minh
1
xyz
8


Bài 13: Cho ba số dương a, b, c và

2 2 2
a b c 1  
. Chứng minh

2 2 2 2 2 2
x y z 3 3
y z z x x y 2
  
  

Bài 14: Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh

     
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4 4 4 2 12

         


x y z
P x y y z z x
y z x

Tổng kết phƣơng pháp:
Thông qua giải các bài tập trên, HS nhận xét :
- Tùy theo bậc của ẩn để lực chọn chiều bất đẳng thức phù hợp
- Việc tách nhóm, cần đảm bảo các đẳng thức phụ cũng xảy ra đồng thời.
Chủ đề 2: Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki

Để chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều bài toán ta cần sử dụng bất đẳng thức
Bunhia Côpxki. Tuy nhiên, sử dụng trực tiếp bđt Bunhia Côpxki hay hệ quả của nó lại tùy
thuộc vào đặc điểm của bất đẳng thức. Từ đó, rèn luyện được năng lực giải quyết vấn đề,
năng lực đánh giá, năng lực tư duy quyết định đúng cho học sinh.
Ví dụ 1: Cho x, y thỏa mãn
22
1xy
, chứng minh rằng
3 4 5xy
.
Phân tích: Để sử dụng giả thiết
22
1xy
, từ biểu thức
34xy
ta nghĩ đến bất đẳng thức
Bunhia Côpxki để xuất hiện bình phương.
Ví dụ 2: Cho a, b dương thỏa mãn
a+b = 1
, chứng minh rằng:
2
2 2 3


ab
ab
(1)
Phân tích: Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa ẩn ở mẫu. Giả thiết
a, b

dương thỏa mãn
a+b = 1
.
Vì có chứa ẩn ở mẫu nên ta biến đổi
11
22
2 2 2 2

   

   

ab
a b a b
(2)
Khi đó, xuất hiện biểu thức dạng
11

xy
. Liên hệ với hệ quả bất đẳng thức Bunhia Côpxki
1 1 4

x y x y
(với x>0, y>0).
Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: Cho x, y là hai số thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
= 1. Xác định giá trị lớn

nhất của biểu thức
A x y 1 y x 1   
.
Bài 2: Cho x, y là hai số thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện
   
22
x 4y 2x 8y 4
. Chứng
minh rằng
   20 3x 8y 10
.
Bài 3: Cho x>0, y>0 và
5
x+y =
4
. Chứng minh
41
5
4

xy
.

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối A năm 2005)
Cho x, y, z dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
  
. CMR

111
1
2x y z x 2y z x y 2z
  
     

Bài 5: Cho x>0, y>0, z>0 và x+y+z=1. Chứng minh
3
1 1 1 4
  
  
x y z
x y z

Bài 6: Cho x>0, y>0 và x+y≤1. Chứng minh
22
15
1 1 2
    
  
xy
xy
x y x y

Bài 7: Cho x, y z là các số dương,
3
2
x y z  
. Chứng minh rằng:

1 1 1 7
2 2 2 2
     
  
x y z
x y y z z x

Bài 8: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh
x y z
1
y 2z z 2x x 2y
  
  

Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh

6
2
1 1 1
  
  
abc
abc


Bài 10: Cho a, b, c dương thỏa mãn a
2
+b
2
+c

2
=3. CMR

2 2 2
1 1 1 4 4 4
a b b c c a a 7 b 7 c 7
    
     

Bài 11: Cho x, y, z dương thỏa mãn
2 2 2
x y z xyz  
. CMR

2 2 2
x y z 1
x yz y xz z xy 2
  
  

Chủ đề 3: Phƣơng pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số
Trong quá trình giải quyết các bài tập trong hệ thống học sinh có thể gặp khó khăn,
mâu thuẫn trong việc chọn hàm số, chọn ẩn, tìm điều kiện Do đó cần phải điều chỉnh lại
cách xem xét vấn đề, giải quyết vấn đề để giải quyết được bài toán. Và như vậy học sinh
được bồi dưỡng các năng lực giải quyết vấn đề, năng lực đánh giá và tự đánh giá, năng lực
vận dụng tư duy logic, tư duy biện chứng vào việc phát hiện và giải quyết vấn đề.

Phƣơng pháp 1: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số
Ví dụ 1: Cho x, y không âm, x+y=1. Chứng minh
2 x y

1
3 y 1 x 1
  


Phân tích: Từ giả thiết được y=1-x. Khi đó A=
 
x 1 x
fx
2 x x 1



.
Do x, y không âm nên
0 x 1
. Khảo sát hàm số f(x) trên [0;1], ta có đpcm.
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2009)
Cho các số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Chứng minh
  
22
191 25
4x 3y 4y 3x 25xy
16 2
    

Phân tích:
  
22
A 4x 3y 4y 3x 25xy   

Nhận xét từ x+y=1 có y=1-x, thay vào biểu thức A sẽ đưa A về hàm bậc 4 đối với x,
x[0;1], sau đó dùng đạo hàm. Cách này dài vì biểu thức của S không thuận lợi lập bảng biến
thiên. Biến đổi cách khác:
 
 
2 2 3 2
22
22
A 16x y 12 x y 9xy 25xy
16x y 12 1 3xy 34xy
16x y 2xy 12
    
   
  

Đặt t=xy, A là hàm biến t. Vì
 
2
xy
11
0 xy t 0;
4 4 4


    



Các bài tập tƣơng tự

Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2003)
Chứng minh
2
2 x 4 x 2 2    

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2010)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
22
y x 4x 21 x 3x 10       

Bài 3: CMR
2
cos 2
2
   
x
x
e x x

Bài 4: Với x, y là các số không âm thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P=9
x
+ 3
y

Bài 5: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2007). Cho x, y, z là ba số thực
dương thay đổi. Chứng minh

1 1 1 9
2 2 2 4

   

      
   


   
x y z
S x y z
yz zx xy

Bài 6: Cho
22
1, 3   a b c d
. CMR
9 6 2
4

   F ac bd cd

Tổng kết phƣơng pháp:
Trong bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chiều biến thiên hàm số,
có hai vấn đề cần được nhấn mạnh:
i) Cách sử dụng phép thế để quy về một biến, xem xét xem biến nào còn lại sau phép
thế.
ii) Tìm hiểu các điều kiện cho biến còn lại nhờ vào điều kiện giả thiết và sử dụng các
bất đẳng thức cơ bản.
Phương pháp 2: Sử dụng tính đống biến, nghịch biến của hàm số
Để chứng minh bất đẳng thức, nhiều khi chúng ta biến đổi, đưa bất đẳng thức về dạng
   

,  f x f y x y D
.
Bằng cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f, chúng ta chứng minh được
bất đẳng thức.
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007)
Cho a  b >0. Chứng minh rằng
11
22
22
   
  
   
   
ba
ab
ab

Phân tích:
11
22
22
   
  
   
   
ba
ab
ab
(1)
   

ln 1 4 ln 1 4

ab
ab
(2)
Bất đẳng thức cần chứng minh đưa về 2 vế có cùng kiểu biểu thức
 
ln 1 4
t
t
. Khi đó, ta xét
hàm
 
 
ln 1 4

t
ft
t
với t>0.
Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: Cho
0 x y 1  
. Chứng minh
1 y x
ln ln 4
y x 1 y 1 x




  


Bài 2: Cho
x y 0
. Chứng minh
x y x y
2 lnx lny




Bài 3: Cho
0 x 2y
. Chứng minh
2012
2
log 2




y
xy
x


Tổng kết phƣơng pháp:
Trong bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính đồng biến,
nghịch biến của hàm số, có một số điểm cần lưu ý:

- Biến đổi bđt về dạng
   
,  f x f y x y D
hoặc
   
,  f x f y x y D
để
chọn được hàm số f(t), tD.
- Dựa vào giả thiết để tìm miền xác định D cho hàm số.
- Chứng minh hàm số
f
đồng biến hoặc nghịch biến trên D.
Chủ đề 4: Phƣơng pháp miền giá trị
Giả sử ta phải chứng minh một bất đẳng thức có dạng
f(x)   
với xD.
- Gọi m là giá trị tùy ý của f(x) trên miền xD. Khi đó, phương trình sau
f(x) m
xD






có nghiệm.
- Tùy đặc điểm của phương trình, ta tìm được điều kiện cho m để phương trình có
nghiệm. Từ đó, ta chứng minh được bất đẳng thức.
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2008)
Với x, y thỏa mãn

22
1xy
, chứng minh
 
2
2
26
63
1 2 2

  

x xy
xy y

Phân tích: Vì
22
1xy
nên đưa bất đẳng thức về dạng tương đương sau:
 
2
22
26
63
23

  

x xy
x xy y

(1)
Nhận xét biểu thức
 
2
22
26
23


x xy
x xy y
có bậc ở tử và mẫu bằng nhau. Ta hoàn toàn có thể
sử dụng cách giải của phương trình đẳng cấp, đưa về phương trình một ẩn, sử dụng điều kiện
có nghiệm của phương trình.
Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: Với a, b thỏa mãn
22
3a ab b  
, chứng minh rằng

22
3 4 3 3 3 4 3a ab b       

Bài 2: Cho x, y thỏa mãn
22
21  x y xy
. Chứng minh
22
6 2 2
7


xy

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi x thuộc

, ta có
1 2sin cos 1
2
2 sin 2cos 3

  

xx
xx

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x thuộc

, ta có
2
2
3 23 7 2 5
2 2 10 2



xx
xx

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi x thuộc


, ta có
 
24
2
2
5 3 4 3
3
2
1



xx
x

Bài 6: Cho x, y, z là các số dương,
3
  
yz
x y z
x
. Chứng minh rằng

 
2 3 3
6

x y z

Bài 7: Cho x, y, z là các số thỏa mãn

01  yx
. Chứng minh
1
4
x y y x
.
Bài 8: Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện
 
2
2 2 2 2 2 2
x y 1 4x y x y 0     
.
Chứng minh
22
3 5 3 5
xy
22

  

Chủ đề 5: Phƣơng pháp lƣợng giác hóa
Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bởi một
hệ thức cho trước, thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ là bài toán đại số thuần túy nhưng nếu biết
biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên
đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc+a+c=b. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 3 10
a 1 b 1 c 1 3
  

  


Phân tích: Vì a, b, c dương nên
ac
abc a c b ac 1
bb
      
.
Đặt
A 1 B C
a tan , tan ,c tan
2 b 2 2
  
, chuyển bài toán về chứng minh bđt lượng giác.
Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: Cho a, b, c dương, ab+bc+ca=1. Chứng minh

22
2
a b 3c
10
a 1 b 1
c1
  



Bài 2: Cho x, y, z dương thỏa mãn x+y+z=xyz. CMR

2 2 2
xy yz zx 3 1 x 1 y 1 z        


Bài 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2008)
Với x, y thỏa mãn
22
1xy
, chứng minh
 
2
2
26
63
1 2 2

  

x xy
xy y

Bài 4: Cho x, y, z thuộc (0;1) và
1xy yz zx
, chứng minh

2 2 2
33
1 1 1 2
  
  

x y z
x y z

Bài 5: Cho x, y, z là những số thực dương thỏa mãn
  x y z xyz
. Chứng minh
2 2 2
2 1 1 9
4
1 1 1
  
  x y z

Bài 6: Cho a, b, c không âm,
2 2 2
a b c 2abc 4   
. Chứng minh rằng

a b c abc 2   

Bài 7: Cho a, b, c không âm,
2 2 2
a b c abc 4   
. Chứng minh rằng
a b c 3  

Bài 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2009)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x (x+y+z) = 3yz, ta có (x +
y)
3

+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤5(y + z)
3
.
Bài 9: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn
2 2 2
1 16xyz
x y z
4

  
. Chứng minh
 
x y z 4xyz 13
1 4 xy yz zx 28
  

  


Bài 10: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh

xyz
x y 3 3
P1
x yz y zx z xy 4
    
  

Tổng kết phƣơng pháp:
Nhiều bài toán chứng minh bđt phức tạp, nếu sử dụng phương pháp lượng giác hóa,
bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều.
- Từ điều kiện a, b, c dương, ab+bc+ca=1, luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao
cho
A B C
a tan ,b tan ,c tan
2 2 2
  
.
- Từ điều kiện a, b, c dương, ab+bc+ca=abc, luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao
cho
a tanA,b tanB,c tanC  
.
- Từ điều kiện
 
2 2 2
a b c 2abc 1,a,b,c 1;1     
, luôn tồn tại a=cosA,
b=cosB, c=cosC với
A B C   

Chủ đề 6: Phƣơng pháp sử dụng vectơ
Ví dụ: Chứng minh rằng
     
22
7 1 13x x x x

Phân tích: Các biểu thức trong căn có bậc hai, luôn dương với


x. Nên có thể:

Biểu diễn mỗi căn bậc hai dưới dạng độ dài các véc tơ.
f(x) =
2 2 2 2
1 3 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
xx    


Tìm hai véc tơ
, vu

sao cho
+ vu

không đổi.
Chọn
1 3 3
( ; )
22
ux

;
13
( ; )
22
vx  




+ v (1;2 3)u 

.

Áp dụng bất đẳng thức:
+ vu v u
   
. Ta có f(x) =
+ vu

≥


13uv

Dấu “=” xảy ra


, vu

cùng hướng


k > 0:
=k vu



k = 3; x =
1
4
.

Kết luận f(x) 
13
. Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi x =
1
4
.
Các bài tập tƣơng tự
Bài 1: Cho 2x - y = 2. Chứng minh rằng A =
     
2 2 2 2
( 1) ( 3) 2 5x y x y

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2003)
Cho x, y, z dương, x+y+z≤1. CMR
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P x y z 82
x y z
      

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x:
     
22

2 5 2 10 29x x x x

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có

     
22
os 2 os 2 os 6 os 13 5c x c x c x c x

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có
M =
        
2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y

Bài 6: Chứng minh rằng
     
22
4 5 10 50 5x x x x

Bài 7: Cho 2 số a, b thỏa mãn: a – b + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: Q =
2 2 2 2
( 3) ( 5) ( 5) ( 7)a b a b      

Bài 8: Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=8. Chứng minh rằng

2 2 2
2 2 2
P log x 1 log y 1 log 1 3 2      

Bài 9: Chứng minh
2 2 2 2
P x y 4y 4 x y 4y 4 x 4 2 3          

Bài 10: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006)
Chứng minh
   
22
22
A x 1 y x 1 y y 2 2 3         

Tổng kết phƣơng pháp:
Bước 1: Biểu diễn mỗi căn bậc hai dưới dạng độ dài các véc tơ
, vu

.
Bước 2: Tìm hai véc tơ
, vu

sao cho
uv

không đổi.
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức
+ vu u v
   
.
Bước 4: Kết luận.
Các bước giải này còn được áp dụng cho nhiều vectơ.
Sau khi làm các bài tập, GV yêu cầu học sinh tự tổng kết lại các phương pháp thường

dùng khi chứng minh bất đẳng thức. Với mỗi phương pháp nêu chú ý, điều kiện để áp dụng,
đề xuất một số bài toán có sử dụng phương pháp. Bên cạnh đó, GV yêu cầu HS tự đọc sách
tham khảo, tìm hiểu các phương pháp khác để chứng minh bđt. HS rèn luyện được năng lực
tự đọc, tự tổng kết, khắc sâu được kiến thức, kỹ năng.
2.3.3.2. Xây dựng hệ thống bài tập có nhiều hướng giải quyết
Hệ thống bài tập này được xây dựng nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh tìm nhiều
giải pháp trước một bài toán cho trước. Làm được điều này không chỉ giúp học sinh củng cố,
khắc sâu kiến thức mà còn làm cho học sinh có hứng thú và tích cực hơn, sáng tạo hơn trong
quá trình học tập. Từ đó, bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học như: năng lực nhận biết, tìm
tòi nhiều cách giải, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực đánh giá và tự đánh giá. Năng lực tư
duy quyết định đúng cũng phần nào được bồi dưỡng thông qua việc đánh giá từng lời giải và
đưa ra sự lựa chọn lời giải hay trong các lời giải đã tìm được. Dưới đây, tôi hệ thống một số
bài tập có nhiều hướng giải:
Bài 1: Cho x, y là các số dương, thỏa mãn x+y=4. Chứng minh rằng
11
1
xy


Bài 2: Cho x, y là các số không âm thỏa mãn
22
x 4y 1
. Chứng minh rằng

22
3 3 2 3 6 3 2
x y xy
2 2 4

   

Bài 3: Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh
x y z
1
y 2z z 2x x 2y
  
  
.
Bài 4: Với x, y là các số dương thỏa mãn
x 2y 3
. Chứng minh
1 1 3 2 2
x y 3


.
Bài 5: Chứng minh rằng
22
P x 2x 5 x 4x 8 17      

Bài 6: Cho a>c>0 và b>c>0. Chứng minh rằng
   
c a c c b c ab   
(1)
Bài 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2003)
Cho x, y, z dương, x+y+z≤1. CMR
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P x y z 82

x y z
      

2.3.3.3. Hướng dẫn sử dụng hệ thống bài tập
Mỗi hệ thống câu hỏi và bài tập có thể sử dụng làm tài liệu hướng dẫn tự học cho học
sinh ở trên lớp cũng như ở nhà, cũng có thể sử dụng trong các buổi học chuyên đề, trong các
tiết ôn tập chương. Ngoài ra, cũng có thể sử dụng hệ thống câu hỏi và bài tập này làm đề
kiểm tra năng lực, khả năng tự học và sự sáng tạo của học sinh.

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm
Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm
- Biên soạn giáo án và các phiếu học tập của học sinh.
- Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm, thao giảng,
dự giờ và ghi nhận tình hình học tập của HS trong các tiết dạy.
- Tiến hành kiểm tra, so sánh kết quả giữa các lớp.
3.3. Phƣơng pháp thực nghiệm: Điều tra, quan sát và tổng kết kinh nghiệm.
3.4. Tổ chức thực nghiệm
3.4.1. Đối tượng thực nghiệm: Chọn 4 lớp 10 có trình độ tương đương nhau.
3.4.2. Kế hoạch thực nghiệm
Ở các lớp thực nghiệm, bài giảng được soạn theo hướng sử dụng các biện pháp rèn
luyện năng lực tự học cho học sinh. Ở lớp đối chứng, bài giảng được thiết kế theo hướng dẫn
ở sách giáo viên, theo phân phối chương trình của Sở Giáo dục và Đào tạo .
3.5. Nội dung thực nghiệm
Giảng dạy tiết 35 - Bài 1: "Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức" thuộc chương
IV sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao. Sau giờ dạy chúng tôi tiến hành kiểm tra lần 1. Sau 2
tuần phát bài tập cho học sinh, chúng tôi tiến hành kiểm tra lần 2.
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm

- Về mặt định lượng:Lượng học sinh đạt điểm 9 và 10 chiếm tỉ lệ cao nhất là ở lớp
thực nghiệm. Điều đó cho thấy, những học sinh có năng lực tự học được rèn luyện tốt, các em
có năng lực giải quyết vấn đề tốt hơn, năng lực tư duy logic, năng lực đánh giá và tự đánh giá
tốt hơn, đồng thời khả năng bao quát các tình huống cũng tốt hơn.
- Về mặt định tính: Sự hào hứng của học sinh với bài toán chứng minh bđt thức được
cải thiện đáng kể. Điều này cho thấy, các biện pháp rèn luyện năng lực tự học đã có hiệu quả,
làm cho học sinh tự tin hơn, hứng thú học hơn, chất lượng dạy và học được nâng cao.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Luận văn đã có được những kết quả chính sau đậy:
- Hệ thống hoá và làm rõ hơn lý luận về tự học, phương pháp dạy học tự học, các biểu
hiện năng lực tự học.
- Điều tra, tìm hiểu thực trạng tự học của 200 học sinh.
- Đề xuất 3 biện pháp cơ bản nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh.
- Thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết quả thực nghiệm cho thấy các biện pháp rèn
luyện năng lực tự học đem lại hiệu quả nhất định. Các giáo viên môn toán THPT hoàn toàn
có thể vận dụng các biện pháp này.
2. Khuyến nghị
Để thực hiện được nhiệm vụ và chiến lược đề ra, cần có sự thay đổi mang tính đồng
bộ mà trước tiên là thay đổi về quan điểm, nội dung chương trình và phương pháp dạy học.
Phương pháp dạy học hiện đại là sự kết hợp nhiều yếu tố một cách hợp lý, khoa học, là sự kết
hợp giữa truyền thống và hiện đại, giữa nội lực và ngoại lực, giữa lý luận và thực tiễn.
Bộ Giáo dục và Đào tạo cần quan tâm chỉ đạo và tạo điều kiện vật chất, tinh thần
thuận lợi cho hoạt động tự học của học sinh như: có đủ các phương tiện, giáo trình, tài liệu
tham khảo, phòng đọc đồng thời, cần xây dựng phong trào tự học trong tập thể một cách
thường xuyên.
Hướng nghiên cứu tiếp của luận văn:
- Rèn luyện năng lực tự học của học sinh thông qua dạy học nội dung ứng dụng bất
đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông.

- Thiết kế tài liệu tự học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học
phổ thông.



References
1. Phạm Quang Anh (2008), Dạy học phần vectơ của sách giáo khoa hình học 10 nâng cao
theo hướng tăng cường hoạt động tự học của học sinh. Luận văn thạc sĩ.
2. Vũ Quốc Chung, Lê Hải Yến (2003), Để tự học đạt được hiệu quả. NXB Đại học Sư
phạm Hà Nội.
3. Nguyễn Trung Hiếu (2010), Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh
lớp 10 trung học phổ thông qua dạy học giải phương trình. Luận văn thạc sĩ.
4. Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng. Nhà xuất bản giáo
dục Việt Nam.
5. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm
Hà Nội.
6. Nguyễn Thị Mỹ Lộc – Đinh Thị Kim Thoa – Trần Văn Tính (2009), Tâm lý học giáo
dục. Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
7. Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên) – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng, Các bài giảng
về bất đẳng thức Cauchy. Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
8. Luật giáo dục (1998), Nhà xuất bản chính trị quốc gia.
9. Trần Thị Thanh Nga (2008), Dạy học tự học cho học sinh thông qua chương “Vectơ
trong không gian Quan hệ vuông góc” hình học lớp 11 nâng cao trung học phổ thông. Luận
văn thạc sĩ.
10. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ
thông. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
11. Hoàng Phê (chủ biên) (1996), Từ điển Tiếng Việt. Nhà xuất bản Đà Nẵng.
12. Trần Phƣơng (2000), Các phương pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức. Nhà xuất
bản thành phố Hồ Chí Minh.
13. Trần Phƣơng–Nguyễn Đức Tấn–Nguyễn Anh Hoàng–Tạ Hoàng Thông (2011),

Những con đường khám phá lời giải bất đẳng thức. Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
14. Polya G (1997), (Hồ Thuần, Bùi Tường dịch). Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất
bản giáo dục.
15. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm –
Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao. Nhà
xuất bản giáo dục.
16. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm –
Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2006), Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao. Nhà
xuất bản giáo dục.
17. Đào Tam (2008), Tiếp cận các phương pháp dạy học không truyền thống trong dạy học Toán ở
trường đại học và trường phổ thông. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
18. Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) – Nguyễn Hải Châu – Quách Tú Chƣơng – Nguyễn
Trung Hiếu – Đoàn Thế Phiệt – Phạm Đức Quang – Nguyễn Thị Quý Sửu (2009),
Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10. Nhà xuất bản giáo dục Việt
Nam.
19. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu Toán học. Nhà xuất bản giáo dục.
20. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu
Toán học. Nhà xuất bản giáo dục.
21. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Quá trình dạy – Tự học. NXB Giáo dục.
22. Radmila Bulajich Manfrino – José Antonio Gosmez Ortega. Rogelio Valdez Delgado
(2009), Inequalities A mathematical olympiad Approach.