Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (369 KB, 62 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------
VŨ ĐỨC THẮNG
GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội, 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------
VŨ ĐỨC THẮNG
GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
Chuyên ngành:
Mã số:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
60.46.01.06
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Phan
Viết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho
tơi để hồn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự
giúp đỡ của các thầy giáo, cơ giáo trong Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác
suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội,
những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn
khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng
góp q báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội,tháng 11 năm 2014
Vũ Đức Thắng
1
Mục lục
BẢNG KÝ HIỆU
5
MỞ ĐẦU
6
1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1.1 Những khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc .
1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . .
1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ -trường . .
1.1.5 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . .
1.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Vài tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown
1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown . . . . . .
1.4 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Quá trình đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson . . . .
1.5 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
9
10
10
12
13
17
17
17
18
18
19
19
20
20
20
20
21
21
21
22
3
MỤC LỤC
1.5.3
Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Phần I. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . .
2.1 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Định nghĩa tích phân Itơ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . .
2.1.4 Các thí dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . .
Phần II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Định lý tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Sự duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Tính Markov của lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
Phần I. Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua và bán . . . . . . . . .
3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio)
3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ . . . . . . . . . . . .
3.3 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy) . . . . . . . . .
3.3.2 Phái sinh đạt được trong thị trường M. . . . . . . . . . .
3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market). . . . . . . . . . . .
3.4 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) .
3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu. . . . . . . . . . . .
23
23
23
23
24
26
28
29
29
30
32
32
33
33
35
39
41
41
41
42
42
44
44
45
45
45
45
46
46
46
46
4
MỤC LỤC
3.4.2
Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ
chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale . . . . .
3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Quyền chọn mua (Call) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Quyền chọn bán (Put) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần II. MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES . . . . . . . . . . . . .
3.6 Mơ hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Định nghĩa mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Giá cổ phiếu trong mơ hình Black-Scholes . . . . . . . . .
3.6.3 Các giả thiết trong mơ hình Black-Scholes. . . . . . . . .
3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Xây dựng cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu
châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Cách xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Công thức Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Những mơ hình quyền chọn liên quan . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
49
50
51
51
52
52
52
53
53
54
.
.
.
.
55
55
56
57
KẾT LUẬN
59
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập các số tự nhiên
Q Tập các số hữu tỷ
R Tập các số thực
R+ Tập các số thực không âm
R Tập các số thực và −∞, ∞
Z Tập các số nguyên
C Tập các số phức
R⋉ Không gian n− chiều
∅ Tập rỗng
(xn ) = {xn } Dãy số (hoặc dãy các phần tử)
|x| Giá trị tuyệt đối của x
x Chuẩn của x
f := g Định nghĩa f là g
lim = lim sup Giới hạn trên
n→∞
n→∞
lim = lim inf Giới hạn dưới
n→∞
Ω
t
n→∞
f (ω) dµ Tích phân Lebesgue
f (s, ω) dWs Tích phân Wiener
0
5
MỞ ĐẦU
Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX. Đầu tiên phải
kể đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trình
Wiener đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905). Đặc biệt
là sự sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bài
toán ngẫu nhiên trong kinh tế, vật lý,. . . mà Giải tích tất định cổ điển khơng
sử lý được.
Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba bộ phận chính :
1. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.
2. Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên.
3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Trong hơn một thế kỷ qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và là
những công cụ khơng thể thiếu được trong nghiên cứu về tài chính. Lý do là
bản thân giá chứng khoán và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫu
nhiên nên có thể xem chúng như các q trình ngẫu nhiên .
Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mơ hình hóa các biến động giá cả
trên thị trường tài chính. Một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong
đó có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itơ, tích phân Stratonovich,
Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên
cứu thị trường tài chính. Các mơ hình định giá , chẳng hạn như mơ hình Black
– Scholes, đều dựa trên kiến thức về Giải tích ngẫu nhiên .
Luận văn này gồm 3 chương :
Chương I. Quá trình ngẫu nhiên
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng
6
MỤC LỤC
MỤC LỤC
trong nghiên cứu về tài chính. Ngồi những khái niệm chung, thì các quá trình
Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đề
cập
Chương II. Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu
nhiên
Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố
cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu
nhiên Itơ và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi
phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ
minh họa.
Chương III. Vài ứng dụng trong thị trường tài chính
Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các q
trình ngẫu nhiên, các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương
pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và
đặc biệt đề cập đến mơ hình quyền chọn Black - Scholes
7
Chương 1
Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng
trong nghiên cứu về tài chính. Ngồi những khái niệm chung, thì các quá trình
Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đề
cập.
1.1
Những khái niệm chung
Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm
•
Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho
một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào
đó
•
F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm
được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ -trường các tập con của Ω.
Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
•
P là một độ đo xác suất xác định trên khơng gian đo được (Ω, F)
1.1.1
Q trình ngẫu nhiên
Một quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu nhiên X = (Xt (ω), t ∈
T ) trong đó T là một tập các chỉ số thực, T ⊆ R. T có thể hữu hạn, đếm được
hoặc vơ hạn khơng đếm được. Đơi khi ta cũng kí hiệu Xt (ω) = X(t, ω). Vậy với
(a)
8
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
mỗi t, Xt là một hàm đo được từ (Ω, F ) vào (T, BT ) trong đó BT là σ -trường
Borel trên T ⊆ R
Một quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) gọi là đo được là một hàm hai biến
X(t, ω) xác định trên tích BR+ ×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được
đối với σ -trường tích BR+ × F , trong đó BR+ là σ -trường các tập Borel trên
R+ = [0, ∞).
Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp
(b)
(t, ω) ∈ R+ × Ω : X (t, ω) ∈ B
là một phần tử của σ -trường tích BR+ × F , σ -trường này là σ -trường nhỏ nhất
chứa các tập có dạng
[0, t] × A : t ∈ R+ , A ∈ F
khi cố dịnh một ω ∈ Ω, thì ánh xạ riêng phần
(c)
t → X (t, ω)
từ R+ vào R được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0),
ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω ấy.
Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn (n ≥ 1) thì ta có một q trình ngẫu
nhiên n-chiều.
(d)
Trong tài chính, các q trình giá chứng khốn St , giá trái phiếu Pt , giá
sản phẩm phái sinh Ct ... đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên.
(e)
1.1.2
Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
Một họ các σ -trường con (Ft, t ≥ 0) của F , Ft ⊂ F , được gọi là một bộ lọc
thỏa mãn các điều kiện thơng thường nếu
(a)
•
Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t,
•
Họ đó là liên tục phải, tức là Ft =
•
ε>0
Ft+ε
Nếu A ∈ F và P (A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft ).
9
CHƯƠNG 1. Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
Cho một q trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0). Ta xét σ -trường FtX sinh
bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ(Xs , s ≤ t). σ−trường này
chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời
điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay là lịch sử của
X , hay cũng cịn gọi là trường thơng tin về X .
(b)
Một không gian xác suất (Ω, F , P ) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (Ft ),
được gọi là một không gian xác suất có lọc và kí hiệu là (Ω, F , (Ft ), P ).
(c)
1.1.3
Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Cho một khơng gian xác suất có lọc (Ω, F , (Ft ), P ).
(a)
Một biến ngẫu nhiên T được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0
{ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} ∈ Ft
Một thời điểm Markov T được gọi là thời điểm dừng nếu T là hữu hạn hầu
chắc chắn, tức là:
(b)
P {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} = 1
.
1.1.4
Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường
1.1.4.1 Định nghĩa
Cho (Ω, F , P ) là không gian xác suất, G là một σ -trường con của F , G ⊂ F
và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F ) vào (R, BR )
trong đó BR là σ -trường các tập Borel tập đường thẳng R.
Khi đó, một biến ngẫu nhiên X ∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X
đối với σ -trường G , nếu:
• X ∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G .
• Với mọi tạp A ∈ G thì ta có
(a)
X ∗ dP =
A
XdP
A
Biến ngẫu nhiên X ∗ này sẽ được ký hiệu là E(X|G). Ta chú ý rằng kỳ vọng có
điều kiện E(X|G) là một biến ngẫu nhiên.
10
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Nếu ta chọn σ -trường G là σ−trường σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên
Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được kí
hiệu là E(X|Y ).
(b)
1.1.4.2 Các tính chất
Ta có các hệ thức phát biểu dưới đây đều được hiểu theo nghĩa hầu chắc
chắn:
(1)
Nếu G là σ -trường tầm thường {φ, Ω} thì
E (X|G) = EX
(2)
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì
E (X + Y |G) = E (X|G) + E (Y |G)
(3)
Nếu X là đo được đối với G thì
E (XY |G) = XE (Y |G)
Nói riêng, nếu c là một hằng số thì
E (cY |G) = cE (Y |G)
(4)
Nếu G1 ⊂ G2 thì
E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 )
Nói riêng
E (E (X|G)) = E (X)
(5)
Nếu X độc lập đối với G thì
E (X|G) = E (X)
Nếu G và H là hai σ−trường con của F và độc lập đối với nhau, và X là
biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì
(6)
E (X|σ (G, H)) = E (X|H) .
trong đó σ (G, H) là σ -trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn H.
11
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu g(x) là một hàm
lồi trên tập I ⊂ R, tức là
(7)
g (λx + (1 − λ) y) ≤ λg (x) + (1 − λ) g (y)
với mọi x, y ∈ I với mọi λ ∈ [0, 1], và nếu X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị
trên I thì
g (E (X|G)) ≤ E (g (X) |G)
Nói riêng, với g(x) = |x| thì
|E (X|G)| ≤ E (|X| |G)
Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu 0 ≤ Xn và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) với E|X| < ∞
thì
(8)
E (Xn |G) ↑ E (X|G)
(9)
Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu 0 ≤ Xn thì
E lim inf Xn |G ≤ lim inf E (Xn |G) .
n
n
Sự hội tụ bị làm trội đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu lim Xn = X hầu chắc chắn và Xn ≤ Y với EY < ∞ thì
(10)
x→∞
lim E (Xn |G) = E (X|G)
x→∞
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ(x, y) là một hàm hai biến
sao cho E|φ(X, Y )| < ∞. Khi đó thì
(11)
E (φ (X, Y ) |Y ) = E (φ (X, Y ))
1.1.5
Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.1.5.1. Xác suất có điều kiện P (A|G) của một biến cố A ∈ F là
một biến ngẫu nhiên xác định bởi
P (A|G) = E (½A |G)
12
CHƯƠNG 1. Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
trong đó
½A là hàm chỉ tiêu của biến cố A, tức là
½A (ω) =
nếu ω ∈ A
1
nếu ω ∈
/A
0
Tính chất 1.1.5.1.
(1) P (Ω|G) = 1 (hầu chắc chắn)
(2) ∀A ∈ F : P A|G = 1 − P (A|G) (h.c.c), trong đó A là biến cố đối lập của
A: A = Ω\A.
(3) ∀A1 , A2 , ... ∈ F rời nhau từng đơi một thì
P
∞
n=1
1.1.6
An |G
=
∞
n=1
P (An |G)
(h.c.c)
Martingale
1.1.6.1.Định nghĩa
Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) thích nghi với bộ lọc (Ft ) và
khả tích: E|Xt | < ∞ với mọi t ≥ 0
Giả thử s và t là hai giá trị ≥ 0 bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó:
(1)
Nếu E(Xt |Fs ) ≤ Xs thì X gọi là martingale trên (supermartingale)
(2)
Nếu E(Xt |Fs ) ≥ Xs thì X gọi là martingale dưới (submartingale)
(3)
Nếu E(Xt |Fs ) = Xs thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (Ft , t ≥ 0)
Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng (Ft ) là bộ lọc tự nhiên của Xt ,
tức là Ft = σ(Xs , s ≤ t) = FtX (ký hiệu)
1.1.6.2.Một số ví dụ
Cho Z là một biến ngẫu nhiên bất kì sao cho EZ < ∞ (khả tích) và cho
(Ft ) là một bộ lọc bất kì trên (Ω, F , P ).
Khi đó, q trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) xác định bởi
(1)
Xt = E (Z|Ft )
là một martingale đối với (Ft ).
13
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Cho X = (Xt , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên khả tích thích nghi với bộ
lọc (Ft ), và giả thử rằng:
Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s < t thì Xt − Xs độc lập với (Fs )(∗). Tính chất (∗) được
gọi là tính chất có số gia độc lập với q khứ.
Khi đó, q trình ngẫu nhiên Z = (Zt , t ≥ 0) xác định bởi
(2)
Zt = Xt − E (Xt )
là một martingale đối với (Ft ).
Cho (Xt ) là một quá trình số gia độc lập, khơng nhất thiết phải khả tích.
Gọi ϕXt (u) là hàm đặc trưng của Xt , tức là
(3)
ϕXt (u) = EeiuX t =
eiuX t dP
. Khi đó q trình ngẫu nhiên Y = (Yt , t ≥ 0) xác định bởi:
Yt =
eiuX t
ϕXt (u)
là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của X : FtX = σ(Xs , s ≤ t).
Trên không gian xác suất (Ω, F , P ) cho Q là một độ đo xác suất liên tục
tuyệt đối đối với P : Q ≪ P (điều này có nghĩa là nếu A là một tập thuộc F sao
cho P (A) = 0 thì ta cũng có Q(A) = 0).
Gọi hạn chế của P trên Ft là Pt và hạn chế của Q trên Ft là Qt . khi đó đạo
t
hàm Radon - Nikodym Lt = dQ
dPt tồn tại, và quá trình L = (Lt , t ≥ 0) là một
martingale đối với Ft .
(4)
1.1.6.3.Phân tích Doob-Meyer và ứng dụng trong tốn tài chính
Định lý 1.1.6.1. Nếu X = (Xt , t ≥ 0) là một martingale dưới đối với (Ft ), khả
tích (tức E|Xt | < ∞, ∀t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân
tích như sau:
Xt = Mt + At
trong đó Mt là một martingale đối với (Ft ) liên tục phải và At là một q trình
tăng và thích nghi với (Ft ).
14
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(∗) Ứng dụng của lý thuyết martingale trong tốn học tài chính
Ý tưởng chính là như sau:
Trong tốn học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ
phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các tài sản phái sinh (như giá
Quyền chọn Vt ) đều được xem là các q trình ngẫu nhiên. Nói chung chúng
không phải là những martingale đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét.
Giả thử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung
Xt khơng phải là một martingale. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được
Xt thành một quá trình Zt = ϕ(Xt ) là một martingale và giả thử ta biết giá trị
đáo hạn XT . Khi đó, vì
E (ZT |Ft ) = Zt
(t < T )
nên ta có thể tính được giá trị Xt tại thời điểm t < T bởi
Xt = ϕ−1 [E (ZT |Ft )]
(t < T )
có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:
(a).Áp dụng phân tích Doob-Meyer
Giả thử Xt là một martingale dưới. Ta có phân tích
Xt = martingale Mt + q trình tăng At
Nếu tìm được có thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một
martingale cụ thể Mt = Xt − At . Nếu (Xt ) là một martingale trên thì (−Xt ) là
một martingale dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự.
(b).Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất
Khi ta nói Xt nói chung khơng phải là martingale, ấy là ta xét dưới độ đo
xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả thử ta tìm được một độ đo xác suất mới
P tương đương với độ đo xác suất P (có nghĩa là nếu P (A) = 0 với A ∈ F thì
P (A) = 0 và ngược lại cũng đúng) và một phép biến đổi quá trình Xt thành một
15
CHƯƠNG 1. Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
q trình Xt sao cho dưới xác suất P mới này thì Xt trở thành một martingale.
Giả thử bằng cách nào đó ta biết giá trị đáo hạn Xt , tức là biết XT . Khi đó,
do tính chất martingale của Xt ta có
EP (XT |Ft ) = Xt ,
(∀t < T )
gọi ϕ là phép biến đổi từ Xt sang Xt , vậy Xt = ϕ−1 (Xt ) và ta định giá được tài
sản Xt tại thời điểm t bởi công thức
Xt = ϕ−1 [EP (XT |Ft )].
Ta lưu ý hai điều quan trọng:
•Thơng thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu khơng rủi ro (tức là
một phép tính lùi), sao cho
Xt = e−r(T −t) XT ,
(t < T )
với hằng số r > 0 là lãi suất khơng rủi ro, cịn T là thời điểm đáo hạn. Vì
EP (XT |Ft ) = Xt = e0 Xt
nên cuối cùng ta có cơng thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là
Xt = e−r(T −t) EP (XT ).
•Xác suất P ở đây sẽ gọi là xác suất trung hòa rủi ro hay cịn gọi là độ đo
martingale, và kí hiệu là Q.
người ta đã chứng minh được rằng:
Sự tồn tại của một độ đo martingale Q như vậy thì tương đương với sự kiện
"thị trường đang xét là không có độ chênh thị giá", có nghĩa là tương đương với
Nguyên lý AAO (định nghĩa Nguyên lý AAO mục 3.2.2)
• Thông thường phép biến đổi ϕ : Xt → Xt là một phép chiết khấu, chẳng
hạn
Xt → Xt+u = e−ru Xt+u ,
(0 < u < T − t)
16
CHƯƠNG 1. Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
thì Xt là martingale đối với (Ft ) và xét dưới độ đo P , cho nên:
EP (Xt+u |Ft ) = Xt .
1.2
1.2.1
Quá trình Gauss
Định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Gauss,
nếu mỗi tổ hợp tuyến tính có dạng
N
αi X t i
Z=
i=1
là một biến ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss), với mọi (α1 , ..., αn ) ∈ RN
và mọi N .
Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn.
Một điều kiện cần của quá trình Gauss (Xt ) là với mọi t thì Xt là một biến
ngẫu nhiên chuẩn.
Nhưng nó khơng phải là điều kiện đủ. Một điều kiện cần và đủ được cho bởi
định lý sau đây
1.2.2
Định lý
Phát biểu
Một quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) là một quá trình Gauss nếu và chỉ nếu:
(a) EXt2 < ∞ với mọi t ≥ 0.
(b) Với mọi tập hữu hạn giá trị (t1 , ..., tN ), ts ≥ 0, s = 1, ..., N , thì
N
E exp
u j Xt j
i
j=1
trong đó
N
= exp i
j=1
17
1
uj µ(tj ) −
2
N
k,l=1
uk ul R(tk , tl )
CHƯƠNG 1. Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
µ(t) = EXt và
R(t, s) = E [(Xt − µ(t))(Xs − µ(s))] (hàm tương quan của X).
Ý nghĩa
Theo định lý nói trên thì một q trình Gauss (Xt ) sẽ hồn tồn được xác
định một khi ta biết kỳ vọng µ(t) và hàm tương quan R(t, s) của nó.
Bay giờ ta sẽ xét một trường hợp riêng của q trình Gauss, đó là chuyển
động Brown.
1.3
1.3.1
Q trình Wiener hay chuyển động Brown
Các định nghĩa
Định nghĩa 1
Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Wiener
tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn, nếu X là một quá trình
Gauss sao cho
(a) E(Xt ) = 0, ∀t, tức là Xt là qui tâm.
(b) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s) =
t + s − |t − s|
.
2
Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai
σ là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là
•
R(t, s) = σ 2 min(t, s).
Định nghĩa 2
Một quá trình ngẫu nhiên X là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu:
(a) X0 = 0 hầu chắc chắn
(b) Hiệu Xt − Xs là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai
là t − s, (s < t).
(c) Các số gia Xt4 − Xt3 và Xt2 − Xt1 (với mọi t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 ) là các biến
ngẫu nhiên độc lập.
18
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai của Xt − Xs
là σ 2 (t − s).
•
1.3.2
Vài tính chất quan trọng
Từ bây giờ, ta kí hiệu W = (Wt , t ≥ 0) là một chuyển động Brown.
(a)
Wt là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó Ft , với
Ft = FtW = σ(Ws , s ≤ t): σ−trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính cho
đến thời điểm t.
Hầu chắc chắn là Wt không khả vi theo t.
(b)
Hầu chắc chắn là Wt khơng có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu
hạn nào của t.
(c)
W tuân theo luật logarit-lặp như sau:
(d)
lim sup √
t→∞
1.3.3
Wt
2t ln ln t
(hầu chắc chắn).
=1
Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown
Định lý
Cho (Wt ) là một chuyển động Brown và Ft = FtW . Khi đó ta có 3 martingale
quen biết là:
(a)
Bản thân Wt là một martingale đối với Ft .
(b)
Wt2 − t là một martingale đối với Ft .
(c)
Với mọi u ∈ R thì euWt − 2 t là một martingale đối với Ft .
u2
19
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1.3.4
Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown
Định lý
Cho W = (Wt , t ≥ 0) là một q trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều
kiện cần và đủ để cho Wt là một chuyển động Brown là
(∗)
là một martngale, W0 = 0
Wt
Wt2
−t
h.c.c, và
là một martingale (đối với Ft = FtW )
Điều kiện (∗) được gọi là đặc trưng Lévy của chuyển động Brown.
1.4
1.4.1
Quá trình Poisson
Quá trình đếm
Một quá trình ngẫu nhiên (Nt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình đệm (hay
quá trình đếm) nếu Nt biểu thị tổng số lần một biến cố ngẫu nhiên nào đó xẩy
ra cho đến thời điểm t. Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gian
liên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiên
T0 , T1 , T2 , ... sao cho
T0 = 0 ≤ T1 < T2 < ...và lim Tn = ∞
n→∞
Khi đó có thể viết
Nt =
nếu t ∈ [Tn , Tn+1 ] , n ≥ 0
n
nếu t = ∞
∞
hoặc
Nt =
∞
n½[Tn ,Tn+1 )
n=0
1.4.2
Quá trình Poisson
Định nghĩa
Một quá trình đếm (Nt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Poisson, nếu:
(a) N0 = 0
(b) {Nt , t ≥ 0} có số gia độc lập.
20
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(c) Số biến cố xẩy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào đó có độ dài t là một
biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là λt(λ > 0). Điều đó có
nghĩa là, với mọi s, t ≥ 0 ta có
P {Nt+s − Ns = n} = e−λt
(λt)n
;
n!
n = 0, 1, 2, ...
Từ đó ta có E(Nt ) = λt. Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson.
1.4.3
Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson
Cho Nt là một q trình ngẫu nhiên có số gia độc lập, N0 = 0. Điều kiện cần
và đủ để Nt là một q trình Poisson có cường độ λ là
(∗∗) Nt − λt
là một martingale đối với (FtN ).
Diều kiện (∗∗) được gọi là đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson. Martingale
Mt = Nt − λt được gọi là martingale Poisson ứng với quá trình Poisson Nt . Nếu
Nt là một quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì Mt = Nt − t.
1.5
Quá trình Markov
Lớp các quá trình Markov rất rộng, bao gồm các q trình có đặc tính là diễn
biến tương lai khi đã biết hiện tại thì khơng phụ thuộc vào diễn biến trong q
khứ. Đặc tính này gọi là tính chất Markov, hay tính chất mất trí nhớ (loss of
memory).
Nói một cách chính xác hơn, ta có
1.5.1
Định nghĩa
Một q trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Markov,
nếu với mọi thời điểm bất kỳ 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn−1 < tn , ta có:
(a)
P {Xtn ≤ xn |Xt1 = x1 , Xt2 = x2 , ..., Xtn−1 = xn−1 } = P {Xtn ≤ xn |Xtn−1 = xn−1 }
Cho A là một khoảng trên đường thẳng thực. Khí đó hàm số P (x, s; t, A)
xác định bởi
(b)
P (x, s; t, A) = P {Xt ∈ A|Xs = x} ,
s < t,
được gọi là hàm xác suất chuyển, hoặc hàm chuyển, hoặc xác suất chuyển.
21
CHƯƠNG 1. Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
Một q trình Markov có khơng gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm được
thì gọi là một xích Markov.
(c)
1.5.2
Phương trình Chapman-Kolmogorov
Cho Xt là một q trình Marlov. Khi đó với mọi 0 ≤ s ≤ u ≤ t, mọi x ∈ R và
mọi A ∈ BR thì hàm chuyển thỏa mãn điều kiện:
P (x, s; t, A) =
P (x, s; u, dy)P (y, u; t, A)
(C − K)
Điều kiện (C − K) được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov.
1.5.3
(a)
Chú ý
Hai quá trình Markov điển hình là chuyển động Brown và quá trình Poisson.
Quá trình Lévy (quá trình có số gia độc lập và dừng) là một q trình
Markov.
(b)
Một q trình Markov cũng có thể là một q trình Gauss hoặc có thể
khơng. Khi một q trình vừa là Gauss vừa là Markov thì người ta gọi đó là
một q trình Gauss-Markov. Chuyển động Brown là một quá trình GaussMarkov. Nhưng quá trình Poisson tuy là Markov nhưng khơng phải là Gauss.
Một q trình Gauss qui tâm với hàm tương quan cho bởi
(c)
R (t, s) =
1
|t|α + |s|α − |t − s|α
2
(0 ≤ α ≤ 2)
nói chung khơng phải là một qua trình Markov (với α = 1). Người ta gọi đó là
một chuyển động Brown phân thứ, nó mơ tả những q trình có trí nhớ lâu dài.
Ngồi ra, ta cũng biết rằng các q trình Xt = |Wt | và Xt = eWt (với Wt là chuyển
động Brown thường) khơng phải là các q trình Gauss nhưng là Markov; trong
khi đó thì q trình Xt =
q trình Gauss.
t
Ws ds tuy khơng phải là Markov nhưng lại là một
0
22
Chương 2
TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN
Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố
cơ bản cấu thành mơn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu
nhiên Itơ và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân
ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh
họa.
Phần I
TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
2.1
2.1.1
Tích phân Ito
Mục đích
Ta biết rằng một hàm thực F (t) được gọi là có biến phân giới nội (hay còn
gọi là biến phân hữu hạn) trên đoạn [a, b] nếu tồn tại một hằng số C sao cho với
23
