Chương 8_ Chuyển động song phẳng của vật rắn

-99-
Chơng 8
Chuyển động song phẳng Của vật rắn
8.1. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của cả
vật.
8.1.8.Định nghĩa và phân tích chuyển động song phẳng.
Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động khi mỗi điểm thuộc
vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt
phẳng quy chiếu đã chọn trớc ( mặt phẳng cơ sở ). Nói cách khác chuyển động
song phẳng là chuyển động của vật khi mỗi điểm của nó trong quá trình chuyển
động có khoảng cách đến mặt phẳng cơ sở là không đổi .
Trong kỹ thuật có nhiều chi tiết máy chuyển động song phẳng nh bánh
xe lăn trên một đờng thẳng, thanh biên trong cơ cấu biên tay quay, ròng rọc
động ..v..v...
a

x
y
O
(s)


Hình 8.1
x

B
(S)
A
x
A

y
1
y
O
b
M'

x
1
.Xét vật rắn A chuyển động song
phẳng có mặt phẳng cơ sở (hình 8.1 )
Đờng thẳng ab thuộc vật vuông góc
với mặt phẳng cơ sở, sẽ thực hiện chuyển
động tịnh tiến. Mọi điểm nằm trên đờng
thẳng này có chuyển động nh nhau và đợc
đặc trng bởi chuyển động của điểm M năm
trên ab. Nếu xem vật là tập hợp vô số các
đờng ab nh vậy suy ra chuyển động của
vật đợc đặc trng bởi tiết diện S trên mặt
phẳng oxy. Mô hình bài toán chuyển động
song phẳng của vật rắn đợc đa về nghiên
cứu chuyển động của một tiết diện (S) trong
mặt phẳng oxy của nó (hình 8.2) gọi tắt là
Hình 8-2

-100-
chuyển động phẳng của tiết diện S.
Vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy đợc xác định khi ta biết đợc
vị trí của một đoạn thẳng AB thuộc tiết diện (S).
Xét chuyển động của tiết diện (S) từ

vị trí (1) xác định bởi vị trí đoạn thẳng A
1
B
1

đến vị trí (2) xác định bởi vị trí của đoạn
thẳng A
2
B
2
( hình 8.3).


Dễ dàng thấy rằng ta có thể thay thế
chuyển động của tiết diện (S) bằng hai
chuyển động cơ bản sau :
Cho tiết diện (S) chuyển động tịnh tiến theo cực A hay cực B từ vị trí A
1
B
1

đến vị trí A
'
1
B
2
hay A
2
B
'

1
. Tiếp theo ta quay tiết diện S quanh A
2
hay B
2
một góc

1
hay
2
. Vì A
2
B'
1
//A'
1
B
2
nên ở đây
1
=
2
= .
Có thể đi đến kết luận ; chuyển động của tiết diện (S) trong mặt phẳng của
nó (chuyển động song phẳng ) luôn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động:
tịnh tiến theo một tâm cực và chuyển động quay quanh tâm cực đó. Chuyển động
tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực nhng chuyển động quay không phụ thuộc vào
tâm cực. Nh vậy chuyển động song phẳng chính là chuyển động tổng hợp của
vật rắn khi nó đồng thời tham gia hai chuyển động quay quanh một trục có
phơng không đổi và tịnh tiến theo phơng vuông góc với trục quay.

8.1.2. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của vật .
Xét tiết diện (S) chuyển động trong
mặt phẳng oxy chứa nó. Nếu chọn A là tâm
cực và dựng đoạn thẳng AB trên tiết diện ta
sẽ thấy vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng
oxy sẽ đợc xác định nếu ta biết vị trí của cực
A và phơng của AB so với trục ox. Nói khác
đi, thông số định vị của tiết diện (S) trong
mặt phẳng oxy là x
A
, y
A
, và (hình 8.4).
A
1
B
1
(S)
A
2
B
2
B'
1
A'
1

2

1

Hình 8-3
x

B
(S)
A
x
A
y
O
y
A
Hình 8-4

-101-
Trong thời gian chuyển động các thông số này biến đổi theo thời gian ta
có :
x
A
= x
A
(t)
y
A
= y
A
(t) (8.1)
= (t)
Biết quy luật biến đổi (8.1) ta có thể xác định vị trí của tiết diện (S) ở bất
kỹ thời điểm nào. Các phơng trình (8.1) là phơng trình chuyển động của tiết

diện phẳng (S) trong mặt phẳng của nó (phơng trình chuyển động song phẳng ).
Từ phơng trình chuyển động (8.1) ta thấy vận tốc và gia tốc của vật đợc
biểu diễn bởi hai thành phần : vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến theo
tâm cực A là :
AA
w,v
rr
. Vận tốc góc và gia tốc góc của tiết diện trong chuyển
động quay quanh tâm cực A là , .
Vì chuyển động tịnh tiến phu thuộc tâm cực A nên vận tốc và gia tốc trong
chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực A. Ta có :
Ai2A1A
vvv
rrr


Ai2A1A
www
rrr



S

A
O

Chuyển động quay không phụ thuộc vào
tâm A nên có :

A1
=
A2
=
Ai
=
Hình 8.5

A1
=
A2
=
Ai
=
Vận tốc góc và gia tốc góc có thể biển diễn bằng véc tơ vuông góc với
tiết diện (S) nh hình( 8.5) . Khi hai véc tơ này cùng chiều ta có chuyển động
quay nhanh dần và nếu chúng ngợc chiều có chuyển động quay chậm dần.

-102-
8.2. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của điểm
Trên vật chuyển động song phẳng
8.2.1. Phơng trình chuyển động
Xét điểm M bất kỳ trên tiết diện. Giả thiết chọn tâm cực A có toạ độ x
A
y
A

(hình 8-6).
M

r'

r
A

r
A



O
x
y
Ký hiệu góc hợp giữa AM với phơng
ox là và khoảng cách AM = b.Toạ độ của
điểm M trong chuyển động tuyệt đối so với hệ
quy chiếu oxy có thể xác định :
x
M
= x
A
+b.cos ;
Hình 8.6
y
M
=y

A
+ b.sin ;
Các thông số x
A
, y
A
và là các hàm của tthời gian, nghĩa là :
x
A
= x
A
(t) y
A
= y
A
(t) = (t)
Do đó x
M
, y
M
cũng là hàm của thời gian . Ta có :
x
M
=x
M
(t) = x
A
(t)+b.cos(t) ;
y
M

=y
M
(t)=y
A
(t)+ b.sin (t); (8.2)
(8.2) là phơng trình chuyển động của điểm M.
Cũng có thể thiết lập phơng trình chuyển động của điểm M dới dạng
véc tơ. Trên hình 8-6 có : r =r(t)=r
A
+ r' (8.2a)
ở đây r' =AM có độ lớn không đổi bằng b, và quay quanh trục A với vận
tốc góc là .
8.2.2. Các định lý vận tốc của điểm
8.2.2.1. Các định lý vận tốc của điểm trên vật chuyển động song phẳng
Định lý 8-1: Vận tốc của một điểm bất kỳ trên tiết diện chuyển động song
phẳng bằng tổng hình học của vận tốc tâm cực A và vận tốc góc của điểm đó
trong chuyển động của tiết diện quay quanh trục A với vận tốc góc . Ta có :

-103-
MAAM
vvv
rrr
+=
.
Chứng minh định lý : Từ phơng trình chuyển động (8-2a) ta có :
dt
'rd
d
t
rd

d
t
rd
v
A
M
r
r
r
r
+==
.
Thay
AMv
d
t
'rd
;v
d
t
rd
MAA
A
ì===
r
r
r
r
r

Ta sẽ có
MAAM
vvv
rrr
+=
, định lý đợc chứng minh. Cần chú ý véc tơ vận
tốc của điểm M quay quanh A ký hiệu là
AM
v
r
có phơng vuông góc với AM, có
chiều hớng theo chiều quay của vận tốc (hình 8-6).
Định lý 8-2 : Định lý về hình chiếu vận tốc hai điểm
Trong chuyển động song phẳng của tiết diện S (chuyển động song phẳng)
hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ trên tiết diện lên phơng nối hai điểm đó
luôn luôn bằng nhau.
( ) ( )
AB
B
AB
A
vv
rr
=

Chứng minh định lý : Theo định lý 8-1, nếu chọn A làm tâm cực thì vận
tốc điểm B xác định theo biểu thức :
BAAB
vvv
rrr

+=
với vuông góc
AB. Chiếu biểu thức trên lên phơng AB ta
có :
()
BA
v
r
() ( )
AB
BA
AB
A
AB
B
vvv
rrr
+=
. Trong đó :
()
0v
AB
BA
=
r
vì
ABv
BA

r

.
A
v
B

v
BA

v
A
v
A



90

B
b
a
Định lý đã đợc chứng minh.
Hình 8.7
Ta có thể minh họa định lý trên bằng
hình vẽ( 8-7). Trên hình vẽ ta có :
Aa = Bb hay v
A
cos

= v
B

cos

.
8.2.2.2. Tâm vận tốc tức thời - Xác định vận tốc của điểm trên tiết diện
chuyển động phẳng theo tâm vận tốc tức thời
- Tâm vận tốc tức thời là điểm thuộc tiết diện có vận tốc tức thời

-104-
bằng không. Nếu gọi P là tâm vận tốc tức thời thì : v
P
= 0.
Định lý 8-3 : Trong chuyển động song phẳng của vật rắn tại mỗi thời
điểm luôn luôn tồn tại một và chỉ một tâm vận tốc tức thời.
Chứng minh định lý :
Xét tiết diện (S) chuyển động phẳng với vận tốc của tâm cực A là
A
v
r
và
vận tốc góc trong chuyển động quay là

. Quay véc tơ V đi một góc bằng 90
theo chiều quay của

ta sẽ dựng đợc tia
. Trên tia lấy một điểm P cách A một
đoạn


=

A
v
AP
(hình 8.8)
Theo biểu thức (8-2) ta có :
. ở đây
PAAP
vvv
rrr
+=

==
A
PA
v
PA.v

= v
A
.


v
A
A
d
(S)

A
v

A
P
v
PA
Phơng của
PA
v
r
vuông góc với AP
hớng theo chiều quay vòng của

nghĩa là
PA
v
r
có độ lớn bằng với độ lớn của
v
A
, cùng phơng nhng ngợc chiều với
A
v
r
.
Hình 8.8
Thay vào biểu thức tính
P
v
r
ta đợc v
P

= v
A
- v
A
= 0 chính là tâm vận tốc
tức thời.
Chứng minh tính duy nhất của tâm vận tốc tức thời :
Giả thiết tại thời điểm trên vật có hai tâm vận tốc tức thời P
1
và P
2
với v
P1
=
0 và v
P2
= 0.
Theo định lý 8-1 ta có :
1P2P1P2P
vvv
rrr
+=
hay
1P2P
v00
r
+=
.
Thay v
P2P1

=

. P
2
P
1
ta thấy v
P2P1
= 0 khi

= 0 hoặc P
2
P
1
= 0. Vì vật
chuyển động song phẳng nên
0
vậy chỉ có thể P
2
P
1
= 0. Điều này có nghĩa
P
1
trùng với P
2
. Không thể có hai tâm vận tốc tức thời khác nhau cùng tồn tại ở
một thời điểm.

-105-

- Xác định vận tốc trên vật chuyển động song phẳng theo tâm vận tốc tức
thời P.
Xét vật chuyển động song phẳng có vận tốc góc

và tâm vận tốc tức thời
P. Theo biểu thức (8-2) nếu lấy P làm tâm cực ta viết biểu thức vận tốc của điểm
M nh sau :
90
0
90
0

(S)
v
B
B
v
A
A
a
b

P
MPPM
vvv
rrr
+=

Thay v
P

= 0 ta có :
MPM
vv
rr
=

Nh vậy vận tốc tức thời của điểm M đợc
tính nh vận tốc của điểm M trong chuyển động của
vật quay tức thời quanh tâm vận tốc tức thời P.
Hình 8.9
M
v
r
có phơng vuông góc với PM, hớng
theo chiều quay vòng của

quanh P, có độ lớn v
M
=PM .


Ta có kết luận : vận tốc của điểm bất kỳ trên vật chuyển động song phẳng
luôn luôn hớng vuông góc và tỷ lệ thuận với khoảng cách từ tâm vận tốc tức
thời đến điểm. Quy luật phân bố vận tốc các điểm biểu diễn trên hình ( 8-9.).
Trong thực hành có thể xác định tâm vận tốc tức thời P theo một số trờng hợp
sau :
Trờng hợp 1 : Vật chuyển động lăn không trợt trên một đờng thẳng
hay đờng cong phẳng cố đ ịnh (hình 8-10a) có thể xác định ngay điểm tiếp xúc
chính là tâm vận tốc tức thời vì rằng điểm đó có vận tốc bằng không.
Trờng hợp 2: Khi biết phơng vận tốc hai điểm hay quỹ đạo chuyển động

của hai điểm trên vật chuyển động song phẳng thì tâm vận tốc tức thời là giao
điểm của hai đờng thẳng kẻ vuông góc với hai phơng vận tốc hay hai phơng
tiếp tuyến của quỹ đạo tại hai điểm đó (hình 8-10b). Trong trờng hợp này nếu
hai đờng đó song song với nhau có nghĩa tâm P ở xa vô cùng, ta nói vật tức thời
chuyển động tịnh tiến (hình 8-10b).
Trờng hợp 3: Khi biết độ lớn và phơng chiều vận tốc hai điểm nằm trên
cùng một đờng thẳng vuông góc với vận tốc hai điểm đó (hình 8-10c), tâm P là