Tuyển tập 44 đề thi HSG lớp 10 có lời giải chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 44 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

ĐỀ 1.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

CỤM CHUYÊN MÔN 4 NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1: (2 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số 2

( ) :P yx 3x2 cắt đường thẳng ( ) :d y  x m tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ trung điểm I của AB đến hai trục tọa độ bằng nhau.
Câu 2: (5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình:

a) 3 2





3 2 2 6 0

x  x  x  x





2 3 2

4 2

1
2 1 1

x x y xy xy y

x y xy x

     




   



Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa x  y z xyz. Chứng minh
2

2 2

1 1

1 1 x y 1 1 z

xyz

x y z

 

      

Câu 4: (2 điểm) Giải bất phương trình: 
2

1 1

0
2 4
4 3 x

x x

 


  

Câu 5: (4 điểm) Cho hình vng ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = 2BE. Lấy điểm F 
trên đường thẳng CD sao cho 1

CF  AB. Đường thẳng AE và BF cắt nhau tại I.

a) Tính AI CI; theo AB và AD
b) Chứng minh AIC900

Câu 6: (4 điểm) Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Đỉnh (0, 2)A và M(1, 1) là
trung điểm BC. Tìm tọa độ B và C.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 1 (2,0 điểm). Cho parabol (P): 2

4 5

yx  x .

a) Khảo sát và vẽ parabol (P).

b) Tìm m để phương trình x24x  5 m 0có đúng một nghiệm thuộc



;0

 

 5;



.
Câu 2 (4,0 điểm). Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) 3x  2 4x221x22

b) 4 x 1 2 2x  3



x 1





x22



Câu 3 (3,0 điểm). Cho hệ phương trình:

2 2
8
( 1)( 1)

x y x y

xy x y m

    


  



a) Giải hệ phương trình khi m12 .

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm.
Câu 4 (3,0 điểm).

Cho các số thực dương

x x x

1

,

2

, ,....

3

x

2018 thỏa

x

1

   

x

2

x

3

...

x

2018



1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 x1 1x2  1  x3 ... 1x2018 .
Câu 5 (4,0 điểm).

Cho tam giác ABC có ABc BC, a CA, b, 0
60

BAC  . Gọi M N P, , là các điểm thỏa mãn:





2MB MC 0, 3NA NC 0, APk AB k.  .
a) Tính k theo a, b, c để AM vng góc PN.

b) Gọi I điểm thỏa IA7IM 8IC0. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABC và tam giác AIC.
Câu 6 (4,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có tâm I

 

1;1 . Các điểm M



2; 2 ,

 

N 2; 2



lần lượt thuộc cạnh AB CD, . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng ABCD biết đỉnh A có hồnh độ
dương.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

CỤM CHUYÊN MÔN 4 NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (2,0 điểm). Cho parabol 2

( ) :P yx 4x3.
a) Khảo sát và vẽ parabol ( )P .

b) Tìm m để phương trình x24x  4 m 0 khơng có nghiệm thuộc đoạn [ 1, 0] .
Câu 2 (4,0 điểm). Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) x 2 x 1 3 1

x x

   
b) x2 1 2x x22x

Câu 3 (3,0 điểm). Cho hệ phương trình: x y xy m

x y m

   



 



a) Giải hệ phương trình khi m 3 .

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thỏa a2b2c2 1. Chứng minh rằng:
a) 1 2 3 3

(1 ) 2

a a 

b) 2 2 2 2 2 2 3 3
2

a b c

b c a c a b 

Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, gọi M là điểm bất
kì trên đường trịn. Chứng minh rằng:

a) MA22MB MC. 3R2

b) MA2 MB2MC24MB MC. .

Câu 6 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, trên đoạn AC lấy điểm M

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số

 





2 1

y f x x  m xm
1. Tìm m để bất phương trình f x

 

0 có tập nghiệm là .

2. Tìm m để bất phương trình f x

 

0 có hai nghiệm x x1, 2 lớn hơn 1.
Câu 2 (4 điểm)

1. Giải phương trình: 2 x 1 3 x 3 x2 4x 3 6,



x



2. Giải phương trình:





3 2 2

2 2 2

2 1 2 1 2 1

x x y y xy x

x y

x y x y

    

 



     



Câu 3 (4 điểm)

1. Giải bât phương trình: 3x 2 x 3 x33x1
2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:



 



4 4 2 3 4 4 6 6

cos sin 2sin 3 sin cos 2 sin cos

A  x x x x x  x x

Câu 4. (6 điểm)

1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có



2 2 2



. . . .

GA GB GB GC GC GC  AB BC CA

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (1;2). Đường thẳng chứa canh
BC có phương trình: x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ B và C, biết AB = 2AC.

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
(C1):



 



2 2

1 3 0

x  y  và (C2):



 



2 2

2 2 5

x  y 

Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt

tại M, N (M, N không trùng A)

Câu 5. (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

3 2 3 2 3 2 1

a b c

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

CỤM TRƯỜNG HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1. ( 5,0 điểm)

a) Tìm m để phương trình mx22



m2



x2m 7 0 (m là tham số) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa
mãn: 1 2

4
3

x x  .

b) Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình

2
2

4 4

2
2( 1) 16

x x

x m x

 



   thỏa với mọi x .
Câu 2. ( 5,0 điểm)

a) Cho phương trình x42



m2



x22m 3 0(mlà tham số). Tìm tất cả giá trị của tham số m để
phương trình có 4 nghiệm phân biệt x x x x1, 2, 3, 4 thỏa mãn x14x24x34x44 52.

b) Giải phương trình 4x212x x 1 27



x1



.
Câu 3. ( 5,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC có BC , a AC , b AB c, độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh , , A B Clần lượt
là h h ha, b, c. Biết rằng a sinA b sinB  c sinChahbhc, chứng minh tam giác ABC đều.

b) Cho hai tia Ax, By với AB100

 

cm , xAB450 và

ByAB. Chất điểm X chuyển động trên tia Axbắt đầu từ A

với vận tốc 3 2



cm s/



, cùng lúc đó chất điểm Y chuyển
động trên tia By bắt đầu từ B với vận tốc 4



cm s/



. Sau t

(giây) chất điểm X di chuyển được đoạn đường AM, chất
điểm Y di chuyển được đoạn đường BN. Tìm giá trị nhỏ nhất
của MN.

Câu 4. ( 5,0 điểm)

a) Cho hệ phương trình 1
2

mx y m

x my

  


  

 . Khi hệ có nghiệm duy nhất



xo;yo



, hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức Axo22yo5.

b) Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c, độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ , ,A B C lần lượt

là m m ma, b, c. Chứng minh rằng: 2 3

a b c

m m m  .

---HẾT---

y x

450

A B

M

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 1. Cho hàm số yx22x2

 

1 .

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

 

P của hàm số

 

1 .

b) Tìm m để phương trình x2 2x  2 m 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1   1 3 x2 .
Câu 2.

a) Giải bất phương trình sau:





4 2 5 3 0

x  x x  x  .
b) Giải hệ phương trình sau :

2 2

2 5 2 0

4 0

x xy y x y

x y x y

      





    

 .

c) Tìm m để bất phương trình

2
2

2 3

x x m

x x

 

  

  nghiệm đúng  x ?
Câu 3. Cho tam giácABC. Đặt aBC, bAC, cAB. Gọi M là điểm tùy ý.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PMA2MB2MC2 theo a,b,c.

b) Giả sử a 6 cm, b2 cm, c 



1 3 cm



. Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện
tích tam giác ABC.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD;

I là trung điểm của BH. Biết đỉnhA

 

2;1 , phương trình đường chéo BD là:x5y190, điểm
42 41

;
13 13

I 

 .

a) Viết phương trình tham số của đường thẳngAH. Tìm tọa độ điểmH?
b) Viết phương trình tổng quát của cạnh AD.

Câu 5. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2b2c2 1. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2

3 3
2

a b c

b c c a a b  .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu I (1,5 điểm)

1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số

10 10

x x

y

x x

  

 

2) Cho các nửa khoảng A( ; a a1], B[ ; b b2). Đặt C A B. Với điều kiện nào của các số
thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó.

Câu II (2,0 điểm)

1) Tìm m để phương trình 2 4 2

1 1

x  m m  có bốn nghiệm phân biệt.
2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình:





2 1

m x

m
x

 

 

 .

Câu III (2,5 điểm)

1) Giải phương trình: x27x 8 2 x.

2) Giải hệ phương trình: 7 2 5
2 1.

x y x y

    





   


Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC60 .0 Các điểm M, N được xác định bởi
2

MC  MB và NB 2NA. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vng góc với nhau.
2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và

C Gọi Sa, Sb, Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB C' ', BC A' ', CA B' ' và ABC.

Chứng minh bất đẳng thức 3 .
2

a b c

S  S  S  S Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Câu V (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần
lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường
trịn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu I (6 điểm)

1. Cho parabol

 

P :y2x26x1. Tìm giá trị của k để đường thẳng :y



k6



x1cắt parabol

 

P tại hai điểm phân biệt M N, sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng

: 2

d y  x .

2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x22



m1



x m 3



m1



2 0 có hai nghiệm
1

x , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:





3 3

1 2 1 2 3 1 3 2 8

Px x x x x  x  .
Câu II (5 điểm)

1. Giải bất phương trình:



x1



x 4



5 x25x28



x



.
2. Giải hệ phương trình







 







2 2

2 2 2 2

2 6 2 2 3 0

3 3 2

x y y y

x y

x y x xy y x y

      

   



      

 .

Câu III (2 điểm) Cho ;x y0 là những số thay đổi thỏa mãn 2018 2019 1.

x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P x y.
Câu IV (4 điểm)

1. Cho tam giácABCcó BC a AC b ;  và diện tích bằng S. Tính các góc của tam giác này biết



2 2



1
4

S a b .

2. Cho tam giác ABClà tam giác đều cạnh a. Trên các cạnh BC CA AB, , lần lượt lấy các điểm
, ,

N M P sao cho ; 2a;





3 3

a

BN  CM  APx  x a . Tìm x theo a để đường thẳng AN vng
góc với đường thẳngPM.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2013 - 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (5 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình 2
4 1

y x  , đường thẳng d có phương trình

y x

1. Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d sao cho ∆ cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B và AB = 1.

2. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho IA vng
góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi.

Câu 2 (5 điểm)

1. Giải phương trình: x 1 x2 1 x x
2. Giải hệ phương trình:

2 2

21 1

x y y

y x x

    




   



Câu 3 (5 điểm)

1. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB,
AC. Đường phân gisc trong của góc C cắt DE tại P. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc
với AB, BC lần lượt tại N, M.

a) TínhBM BN BP, , theo hai vectoBA BC, và theo a, b, c
b) Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng

2. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c là độ dài ba cạnh của tam giác; m m ma, b, c là độ dài
ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C. Gọi R, S lần lượt là bán kính đường trịn ngoại
tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu 1 1 1 3

c a b

abm bcm cam  RS thì tam giác

ABC đều.

Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC 
có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua
điểm M(1;6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.

Câu 5. (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2b2c2 12. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 8 8 8

28 28 28

a b b c ca a  b  c 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho đường thẳng dm:ymx2m1 và parabol (P): yx23x2 (m là tham số thực).
Chứng minh dm luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Tìm m để khoảng

cách từ đỉnh I của parabol (P) đến đường thẳng dm đạt giá trị lớn nhất.

2. Cho phương trình x43x3(2m3)x212x160

(m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị
của m để phương trình đã cho có nghiệm thực.

Câu 2. (5,0 điểm) 
 1. Giải phương trình

7 4 2 1 2 1

2 3 3

2 2 1

2 2

x x x

x x

x

  

  

 

 (x ).
 2. Giải hệ phương trình

8 5 1 3 2

8 5

x y x y x

xy x y

x

       




   






x y; 



.
Câu 3. (5,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi d là đường thẳng cố định đi qua G và d’ là đường thẳng 
bất kỳ song song với d. Chứng minh rằng tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác
ABC đến đường thẳng d khơng vượt q tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác
ABC đến đường thẳng d’.

2. Cho tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn



sinA



2018



sinB



2018



sinC



2018. Chứng minh rằng
tam giác ABC có 3 góc nhọn.

Câu 4. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD (cạnh đáy AB), AB = 2CD,

135

ADC . Gọi I là giao điểm của AC và BD, đường thẳng d đi qua I và vng góc với hai cạnh đáy
của hình thang có phương trình x3y 4 0. Tìm tọa độ điểm A biết diện tích của hình thang ABCD
là 15

2 , hoành độ của điểm I là 3 và trung điểm của AB có tung độ khơng âm.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN

Câu 1. (5.0 điể .

1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol

 

P :yx2mx3m2, đường thẳng

 

d :x  y m 0 (m

là tham số thực) và hai điểm A



 1; 1



, B



2; 2



. Tìm m để đường thẳng

 

d cắt parabol

 

P tại hai
điểm phân biệt M N, sao cho A B M N, , , là bốn đỉnh của hình bình hành.

2. Cho các số thực ,x y thỏa mãn: 2



x2y2



 1 xy. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P7



x4y4



4x y2 2. Tính M m.

Câu 2. (5.0 điể

1. Giải phương trình



x1



6x26x2523x13.
2. Giải hệ phương trình

3 3 2

2
3 6 3 4 0

( 1) 1 ( 6) 6 5 12

x y x x y

x y x y x x y

      




       

 .

Câu 3. (2.0 điể

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giácABC cân tại ( 1;3)A  . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho
3

AB AD và Hlà hình chiếu vng góc của B trên CD. Điểm 1; 3
2 2

M  

 là trung điểm HC. Xác
định tọa độ đỉnh C, biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y 7 0.

Câu 4. (6.0 điể

1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15. Lấy các điểm M N P, , lần lượt trên các cạnh
, ,

BC CA AB sao choBM 5,CM 10, AP4. Chứng minh rằng AM PN.

2. Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c và ,R r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp,
nội tiếp tam giác ABC thoả mãn

3 3 3
2

a b c r

abc R

   

. Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều.

3. Cho tứ giác lồi ABCD có ACBD và nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R1. Đặt diện tích tứ
giác ABCD bằng S và ABa BC, b CD, c DA, d. Tính giá trị biểu thức



ab cd



ad bc



T

S

 

 .

Câu 5. (2.0 điể Cho các số thực dương , ,a b cthỏa mãn a b c  3. Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 1 2 1 2 1 6

a b c a b c

a b c a b c

 

  

      .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho hàm số yx22mx3m và hàm số y  2x 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại
hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.

b) Giải bất phương trình:  x2 8x1210 2 x

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình: 3 3 3 3

(4 3)

x  x x 

b) Giải phương trình: 2x211x234 x1
Câu 3 (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1; 4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A
(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện
tích tam giác OAB.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)2 (y 3)2 9 và điểm (1; 2)A  . Đường

thẳng  qua A,  cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

2 2 2 2 2 2

AB BC CD DA  AC BD .

b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa 12 12 12

a

h b c (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là ha).

Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:



 







2 2 2

3 a b b c c a

a b c

b c c a a b a b c

    

   

    

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2012 - 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Cho hàm số

y



x

2 3 2

 

x

và hàm số y  x m. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau

tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa
độ bằng nhau.

b) Giải bất phương trình:
2

1 1

0
2 4
4 3 x

x x   

  
Câu 2 (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABC có B(1; 2) . Đường thẳng  là đường phân
giác trong của góc A có phương trình 2x  y 1 0; Khoảng cách từ C đến  gấp 3 lần khoảng cách
từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.

b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi  là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác.
Chứng minh rằng sin 3

5
 
Câu 3 (2,5 điểm)

a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: 2 ;
3

BD BC 1AC

AE . Tìm vị
trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.

b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:

2 2 2

2 0

b IBc IC a IA ; Tìm điểm M sao cho biểu thức (b MB2 2c MC2 22a MA2 2) đạt giá trị lớn

nhất.

Câu 4 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình:









1 6x2 2x  1 2 5x 4x

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y z xyz. Chứng minh rằng:
2

2 2

1 1

1 1 x y 1 1 z

xyz

x y z

 

      

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu I (2,0 điểm):

Cho parabol (P): y – 2 4 x2 x  và các đường thẳng (dm): y  3 x  2 m  1 (m là tham số)

1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m.

2) Khi (dm) cắt (P) tại hai điểm A, B (A và B có thể trùng nhau), tìm tập hợp trung điểm I của AB

khi m thay đổi.
Câu II (3,0 điểm):

1) Giải bất phương trình:



2x 5 x2 x 25



x25x6  0
2) Giải hệ phương trình:

3 3 3

2 2

2 5(8 )

2 4 31 0

x y x y

   




    


Câu III (3,0 điểm):

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa cạnh

AB là: x2y 2 0, phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: 2x y 1  0. Điểm M(1;2)
thuộc đoạn thẳng BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DC. có giá trị nhỏ nhất.

2) Cho tứ giác ABCD; hai điểm M, N thay đổi sao cho AM k AB; DN k DC (0 k 1). Gọi I
là điểm thỏa mãn 3IM   2IN. Tìm tập hợp các điểm I khi M, N thay đổi.

Câu IV (2,0 điểm):

1) Tam giác ABC có S b2 (a c)2 với S là diện tích tam giác, Tính tanB.

2) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa a2b2c2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2

5 10 10 5 10 10 5 10 10

ab bc ca

M

a ab b b bc c c ca a

  

     

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu I(2,0 điểm) Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm (0; 1)I  và có hệ số góc là

k. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hồnh độ là x x1, 2.
1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

2) Chứng minh rằng x13x23 2 với mọi k .
Câu II(3,0 điểm)

1) Giải phương trình: 3x 1 5x 4 3x2 x 3
2) Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2

1
(2 1) 1

x x y xy xy y

x y xy x

     




   


Câu III(4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (2; 6)A , chân đường phân giác trong kẻ

từ đỉnh A là điểm 2; 3
2

D  

 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm
1

;1
2

I 

 . Viết
phương trình của đường thẳng BC.

2) Cho tam giác ABC thỏa 2ma2 mb2mc2. Chứng minh rằng a2 4 .cotS A

Câu IV(1 điểm) Cho ; ; a b c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 3 3
2

a b c   . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức 2 12 2 12 2 12

3 3 3

M

a b b c c a

  

      .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu I (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2
2

6 4 2018
( 1) 2( 1) 4

x x

y

m x m x

 


    có tập xác định là

2) Cho hai hàm số yx22



m1



x2m và y2x3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại
hai điểmAvà B phân biệt sao cho OA2OB2 nhỏ nhất (trong đó Olà gốc tọa độ).

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải phương trình 3 5 x 3 5x 4 2x7

2) Giải bất phương trình 11x219x19 x2  x 6 2 2x1
3) Giải hệ phương trình













4 4 2 5 1

2 2 14 0

xy xy y y y

xy x y x y

     




   


Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giácABCcóAB6;BC7;CA5.GọiMlà điểm thuộc cạnhABsao cho
2

AM  MB và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC (k ).Tìm k sao cho đường thẳngCM

vng góc với đường thẳngBN.

2) Cho tam giácABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và p là nửa chu vi tam giác. Biết

2 2 2

( ) ( ) ( ) 9

c p a a p b b p c

IA IB IC

     

. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng ABlà
2 1 0

x y  . Biết phương trình đường thẳng BD là x7y140và đường thẳng ACđi qua điểm

(2,1)

M .Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN

Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số 2

4x 3

yx   có đồ thị

 

P . Tìm giá trị của tham số m để đường
thẳng

 

dm :y x m cắt đồ thị

 

P tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn

1 2
1 1

x x 

2) Cho hàm số y(m1)x22mx m 2 (mlà tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên
khoảng (; 2).

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:







 



2 2 2 2

2 2

3 3 2

2 12 0

x y x xy y x y

x y x x

       




   



2) Giải phương trình



x3



1 x x 4 x 2x26x3
3) Giải bất phương trình x3(3x24x4) x 1 0

Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB3NC 0. Gọi

P là giao điểm của AC và GN, tính PA

PC.

2) Cho tam giác nhọn ABC, gọi , ,H E K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh , ,A B C. Gọi diện

tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK . Biết rằng SABC 4SHEK, chứng minh

2 2 2 9

sin sin sin

A B C  .

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình
3 0

x  y , đường thẳng AC có phương trình x7y 5 0. Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC,
tìm tọa độ các đỉnh , ,A B C.

Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một 
máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm
việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc
trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi
400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu
kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyyzzx3. Chứng minh rằng:

2 2 2

3 3 3 1

8 8 8

x y z

  

   .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số 2

yx  x

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A, B thỏa
mãn độ dài đoạn thẳng AB bằng khoảng cách từ O đến ∆.

Câu 2 (6 điểm)

1. Giải hệ phương trình:







2 2

10 10 81
10 10 18 0

xy x y

x y x y

   




    



2. Giải phương trình: 2 x25x 7 3



x1



x 4



3. Tìm m để phương trình: 4 x 4 x 2 16x2 m có nghiệm duy nhất.
Câu 3 (4 điểm)

1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:











1 1 1 a b c

ab ac bc ba ca cb a b b c c a

 

  

     

2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x  y z 0 và x2y2 z2 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S  x y z

Câu 4. (3 điểm)

1. Cho tam giác ABC thỏa mãn

2 2
cot cot

a b

A B

S



  . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
2. Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác. M là một điểm nằm trong tam giác M khác O.Gọi
D E F lần lượt là hình chiếu vng góc của m lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng đường
thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF.

Câu 5. (3 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có (1;3)B . Đường trung tuyến AM và

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT KIM LIÊN NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1. Cho phương trình x 3 6 x 18 3 xx2 m, (1), (với mlà tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m3.

b) Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình (1) có nghiệm.

Câu 2. a) Giải hệ phương trình

4 2 2 3

3 2

1
1

x x y x y

x y xy x

   




   

 .

b) Một cầu treo có dây truyền đỡ có dạng là Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn
vào các điểm ,A B trên mỗi trục AA'và BB' với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn A B' ' trên nền cầu bằng
200 m. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là '

CC  m. Gọi Q P H C I J K', ', ', ', ,' ', ' là các
điểm chia đoạn ' '

A B thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền
' ' ' ' ' ' '

, , , , , ,

QQ PP HH CC II JJ KK gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo ?

Câu 3. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ.

a) Chứng minh rằng (b2c2) cosAa c( cosC b cos )B .
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB2MC2 MA2

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (3;1)A , ( 1; 2)B  .

a) Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành Ox sao cho khoảng cách AN nhỏ nhất

b) Cho điểm M di động trên đường thẳng d: yx. Đường thẳng MA cắt trục hoành tại P và đường

thẳng MB cắt trục tung tại Q. Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 1 (2 điểm)

1. Cho hàm số yx22mx3mvà hàm số y = –2x + 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại
điểm phân biệt và hồnh độ của chúng đều dương.

2. Giải bất phương trình:  x2 8x1210 2 x
Câu 2 (2 điểm)

1. Giải phương trình:





3 3 3

4 3

x  x x 

2. Giải phương trình: 2x211x234 x1
Câu 3 (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A
(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện
tích tam giác OAB

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):



x2

 

2 y3



2 9 và điểm A (1;-2). Đường

∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

Câu 4. (3 điểm)

1. Chứng minh tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB2BC2CD2 AC2BD2
2. Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 12 12 12

a

h b c .

Câu 5. (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:



 







2 2 2

3 a b b c c a

a b c

b c c a a b a b c

    

   

    

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN NĂM 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1. (2.5 điểm) Cho phương trình :



x23x2



x29x20



  m 1 0 (1)
a. Giải phương trình (1) với m5.

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x26x 7 0.
Câu 2. (1.0 điểm) Giải phương trình: x4x2 4 x420x2 4 7x
Câu 3. (1.0 điểm) Giải bất phương trình: 3x22x15 3x22x 8 7
Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 3
6

1 19

y y x x

x y x

   




 



Câu 5. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M N P, , lần lượt trên các cạnh
, ,

BC CA AB sao cho , 2 , 4

a

BM a CN  a AP . Chứng minh AM PN.

Câu 6. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A



1;3



. Gọi D là điểm trên
cạnh AB sao cho AB3AD và H là hình chiếu vng góc của B trên CD. Điểm 1; 3

2 2

M  

  là
trung điểm đoạn HC. Xác định tọa độ đỉnh C, biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình

7 0

x  y .

Câu 7. (1.0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c  3. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P 3 a2 3 b2 3 c2

a b c b c a c a b

  

     

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số 2 2

2 2 4

yx  mx m  m có đồ thị là

 

Pm .
1. Tìm m để

 

Pm cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu.
2. Tìm các giá trị của k để phương trình x24x k có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2. (4 điểm)

1. Tính tổng các nghiệm của phương trình: 2 2

3x 15x2 x 5x 1 2.
2. Giải phương trình



x 3 x1





x2 x24x3



2x

Câu 3. (2 điểm) Chứng minh rằng:





2 2 2

sin sin sin

a b c

m m m

a A b B c C

R

 

   với mọi tam giác

ABC.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1. Viết phương trình đường cao AD, phân giác trong CE của ABC biết A



4; 1



, B

 

1;5 ,



4; 5



C   .

2. Cho B

 

0;1 , C

 

3; 0 . Đường phân giác trong góc BAC của BC cắt Oy tại 0; 7
3

M  

  và chia

ABC

 thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 10

11 (phần chứa điểm B có diện tích nhỏ hơn diện tích
phần chứa điểm C). Gọi A a b



;



và a0. Tính T a2b2.

Bài 5. (2 điểm). Cho các số thực dương , , 3 32
3

a b c thỏa a b c  2 93 . Chứng minh rằng:

3 3 3

1 1 1 1

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1. (5,0 điểm)

1) Cho hàm số yx2 x 1 có đồ thị là (P). Tìm m để đường thẳng d y:   2x m cắt đồ thị (P) tại
hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m m



R



để phương trình: x4



3m1



x26m 2 0 có bốn
nghiệm phân biệt đều lớn hơn 4.

Câu 2.

1) ( 3,0 điểm) Giải bất phương trình



2x 5 x2 x 25



x25x 6 0.
2) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 2 1 5

2 2 1 5 10 9

x y x y

     




    



Câu 3. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa S b2 (a c)2. Tính tanB.

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ABc AC, b và BAC600. Các điểm M N, được xác
định bởi MC 2MB và 1

NA  NB. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CNvng góc
với nhau.

Câu 5. (3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A

 

1; 2 , B



3; 4



. Tìm tọa độ điểm C sao cho

ABC

 vng tại C và có góc B bằng 60.

Câu 6. (2,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:
3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 x y 2 z 1 1 1

x y  y z z x  x  y z

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Câu 1: (6 điểm) Cho 2





( ) 2 1 1

f x x  m x m 

a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f x( )mx m 21 có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để f x

 

0 có tập nghiệm là .

Câu 2: ( 6 điểm )

a) Giải phương trình: x2. 7 x 2. x   1 x2 8x 7 1.
b) Giải hệ phương trình:

2 1 1

3. 6 3. 2 3 7 2 7

xy y y x y x

y x y x

       




     


Câu 3: ( 6 điểm )

a) Cho tam giác ABC có các điểm M, N, P thỏa MA 2.MC, NB 3.NM , PBk PC. . Tìm k để
ba điểm A, N, P thẳng hàng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình
chiếu vng góc của điểm A lên BD và E là trung điểm của HD. Giả sử H



1;3



, phương trình
đường thẳng AE: 4x  y 3 0 và 5; 4

C 

 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.
Câu 4: (2 điểm) Cho các số thực ,x y thỏa mãn điều kiện x2y2 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:

2
2

4 2 1

2 2 3

x xy

P

xy y

 


 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT THANH MIỆN NĂM 2017 - 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho parabol (P):

y

 

x

24x5 và điểm I(1; 4). Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua
điểm I.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình x2 2 m4m2 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2 (3 điểm)

a) Giải bất phương trình: (x1) x  2 (x 6) x 7 x27x12
b) Giải hệ phương trình:

2 2

( 1)( 6) ( 1)
( 1)( 6) ( 1)

x y y x

y x x y

    




   



c) Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 24 x21 có nghiệm.
Câu 3 (3 điểm)

a) Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định bởi các hệ thức:
2

2 ;

AD AB AE AC. Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng

b) Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng . 1 2
4

MH MA BC

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M( 2; 0) là trung điểm của cạnh
AB, điểm (1; 1)H  là hình chiếu của B trên AD và điểm 7;3

G 

  là trọng tâm tam giác BCD. Đường
thẳng HM cắt BC tại E, đường thẳng HG cắt BC tại F. Tìm tọa độ các điểm E, F và B

Câu 4 (1 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2 2
1

x y  . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

2 2
( ) 3

x y y

S

xy

 


 .

Câu 5 (1 điểm) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2

( 1) ( 1) 2

A x y  x y  y

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Câu 1. (3.0 điể . Cho hàm số 2

 

4 4 ; m

yx  x m P .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1.

b) Tìm m để

 

Pm cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ cùng thuộc đoạn



1; 4



Câu 2. (3.0 điể Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x23x a 0; x3 và x4 là hai
nghiệm của phương trình x212x b 0. Biết rằng 2 3 4

1 2 3

x

x x

x  x  x . Tìm ,a b.

Câu 3. (6.0 điể

a) Giải phương trình:



x2 x 2



x 1 0
b) Giải hệ phương trình:





3 2 3

3 4 2

4 6 1 7 4 1

x x x y y

x x x y

     




    


Câu 4. (3.0 điể

a) Cho tam giác OAB. Đặt OAa OB, b. Gọi C, D, E là các điểm sao cho

1 1

2. , ,

2 3

AC AB OD OB OE  OA. Chứng minh C, D, E thẳng hàng.

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh ECED.

Câu 5. (3.0 điể Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A



1;1 ;

  

B 2; 4 .

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vng cân tại A.

Câu 6. (2.0 điể Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x y 2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức

2019 2019

x y

P

x y

 

 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT TÔ HIỆU NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (1,5 điểm) Cho hàm số 2

3 2

yx  x và hàm số y  x m. Tìm m để đồ thị các hàm số đó
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến

các trục tọa độ bằng nhau.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3x 1 x 1 9x.
b) Giải bất phương trình sau: 9 2

5 3 x

x    .

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2
2 2

2 3 3 2 1 0

4 4 2 4

x y xy x y

x y x x y x y

      




      



Câu 4 (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABC có B(1; 2). Đường thẳng  là đường phân giác
trong của góc A có phương trình 2x  y 1 0, khoảng cách từ C đến  gấp 3 lần khoảng cách từ B
đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.

b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b IB2 c IC2 2a IA2 0. Tìm
điểm M sao cho biểu thức 2 2 2 2 2 2

Pb MB c MC  a MA đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng các biểu thức E sin4x4 cos2x cos4x4sin2x không phụ thuộc vào x.
b) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB2KC, gọi L là hình chiếu của B trên
AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB 2 KAC. Chứng minh rằng FL vng góc AC.

Câu 6 (1,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x  y z xyz. Chứng minh rằng:
2

2 2

1 1

1 1 x y 1 1 z

xyz

x y z

 

      

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu 1.

1. Giải phương trình: 2



x6



3 x 5 x3.

2. Cho các số thực a b c, , thỏa mãn điều kiện: a2b5c0. Chứng minh phương trình
2

ax bx c  có nghiệm.
Câu 2. Giải hệ phương trình:

4 2 2 2

4 2 0

8 3 4 0

x xy x y

x x y x y

    




   



Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A

  

1;3 ,B  5; 3



. Xác định tọa độ điểm M
trên đường thẳng :d x2y 1 0 sao cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cotAcotCcotB.

1. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi 1
2
  .
2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2.

Câu 5. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn: 12 12 12 1

a b c  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

5 2 2 5 2 2 5 2 2

P

a ab b b bc c c ca a

  

     

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1. (4 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 2 2

2 2 4

x y m

x y x y m

  




     



a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Axy2



xy



2011
Câu 2. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

2 2

3 3 4

x y xy

x y

   




   



Câu 3. (1 điểm) Chứng minh rằng nếu x y, là các số thực dương thì



 



1 1 1

1
1x  1y  xy

Câu 4. (3,5 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A

 

1; 2 và B

 

4;3 . Tìm tọa độ điểm M
trên trục hoành sao cho AMB 45 .

2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Các đường thẳng
AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác
C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng

   

2;1 , 3; 4 , 6 17;

5 5

D E F 

 .

3. Cho tam giác ABC, có aBC b, CA c,  AB. Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, nửa
chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng













2 2 2

IA IB IC

c pa a p b b p c 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Câu 1:

1. Giải phương trình x2  x 1 x2  x 1 2



x



2. Giả sử phương trình bậc hai x22



m1



x m 3



m1



2 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều
kiện x1 x2 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Px13x23x1x2



3x13x28



Câu 2: Giải hệ phương trình:









2 3 2

4 2

1
,
2 1 1

x x y xy xy y

x y

x y xy x

     

 



   



Câu 3: Cho ,x y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện



x 1x2



y 1y2



2012. Tìm giá
trị nhỏ nhất của P x y.

Câu 4.

1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua
các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP.
Chứng minh rằng OA OB OC  OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng.

2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Các
đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm M



1; 5 ,



7 5 13 15

; , ;

2 2 2 2

N  P 

    (M, N, P khơng trùng với các đỉnh của ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q



1;1



và điểm A có hoành độ dương.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2012 - 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (3 điểm) 
1. Giải phương trình:

1 1

2
2

x x 

2. Cho phương trình bậc hai x22mxm22m 4 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm khơng âm x x1, 2. Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của P x1 x2 .

Câu 2 (2 điểm) Giải hệ phương trình:





2 2

2 0
,

2 2

x xy y x y

x y

x xy y

     




  


Câu 3 (1 điểm) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng:



2 2 2



2 2 2
1 1 1

a b c

 

     

 

Câu 4. (3 điểm)

1. Cho tam giác ABC, nhọn, khơng cân và nội tiếp đường trịn (O;R). Gọi G và M lần lượt là trọng
tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng OG vng góc với
đường thẳng OM thì AC2

+ AB2 + 2BC2 = 12R2.

2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa
đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là x2y0,x 2 0,x  y 3 0. Tìm tọa độ các đỉnh A,
B, C biết rằng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 10 và đỉnh A có hồnh độ âm.
Câu 5. (1 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M nằm trên trong tứ giác đó (M khơng nằm trên 
các cạnh của tứ giác ABCD). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các góc

, , ,

MAB MBC MCD MDA có số đo khơng lớn hơn 45 . 0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Câu 1 (3 điểm)

1. Cho phương trình bậc hai x22mx3m 2 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương
trình đã cho có hai nghiệm x x1. 2 thỏa Px12x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Cho tam thức bậc hai f x

 

ax2bx c a , 0. Chứng minh rằng nếu f x

 

0 với mọi x

thì 4a c 2b.
Câu 2 (2 điểm)

1. Giải phương trình: x 2 3x  1 2x3

2. Giải hệ phương trình:







 







2 2 2 2

3 3 2

6 3 2 8

x y x xy y x y

x y

x y x x

       

 



      


Câu 3 (2 điểm)

1. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c  1. Chứng minh rằng





2 2 2

2 2 2
3

a b c

b  c  a   

2. Giải bất phương trình: 33  x 1 x2
Câu 4. (3 điểm)

1. Cho tam giác ABC, dựng về phía ngồi tam giác ABC hai tam giác vuông ABE và ACF với
0

BAECAF  sao cho tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF. Gọi M là trung điểm BC,
chứng minh rằng AM vng góc với EF.

2. Cho tam giác ABC không vuông thỏa a2b2 2c2 và tanAtanB2 tanC thì ABC là một tam
giác cân.

3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp và

ttrong tâm lần lượt có tọa độ là I (4;0), G (11 1;

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2014 - 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số:

 

2 2

2014 2015

2 3 2

f x

x x x x

 

   

Câu 2 (1,0 điểm) Chứng minh rằng hàm số

 

x
f x

x



 đồng biến trên khoảng



 1;



Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2

19 3 x4    x x 6 6 2 x 12 3x
Câu 4. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

2 2
2 2

2 3 1 0

3 0

x y xy y

x y y

     




   



Câu 5. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị m sao cho bất phương trình



m1



22



m 2



2m 2 0
vơ nghiệm.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam 
giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, và G’ là trọng tâm tam giác
MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng.

Câu 7. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn 
2 2 2

a b  c và tanAtanC2 tanB thì tam giác ABC đều.

Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC khơng vng và nội tiếp 
đường trịn tâm I; điểm H(2; 2) là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN của đường trịn
(I). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết M(5; 3) N(1; 3) và đường thẳng BC đi qua điểm P (4;2).

Câu 9. (1,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa điều kiện a b c  2015. Chứng minh rằng

2 2 2

2015 2015 2015 2015 2015 2015

6 2 2

a a b b c c a b c

bc ca ab a b c

 

           

 

 

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Câu 1 (1,5 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là .
2

2015 2016
( 1) 2( 1) 4

x
y

m x m x




   

Câu 2 (2,5 điểm).

a) Giải bất phương trình x  2 2 2x 5 x1.

b) Giải phương trình x42x3  2



x2x



x.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình 3 2

(2 1) ( 2) 2 0

x  m x  m x m   , trong đó m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3 thỏa mãn

2 2 2
1 2 3 17.

x x x 

Câu 4 (3,0 điểm).

a) Cho hình vng ABCD,M là trung điểm của CD. Tìm vị trí điểm K trên đường thẳng BD sao
cho K không trùng với D và đường thẳng AK vng góc với KM.

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A



5;1



, điểm C nằm trên
đường thẳng :d x2y 3 0. Gọi giao điểm của đường trịn tâm B bán kính BD với đường thẳng

CD là (E ED). Hình chiếu vng góc của D trên đường thẳng BE là điểm N



4; 2 .



Tìm tọa độ
các điểm , , .B C D

c) Cho tam giác ABC không vuông với độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh ,B C lần lượt là h hb, c, độ
dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A là ma . Tính cosA , biết hb 8,hc 6,ma 5.

Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

3 3 2 2

2 2

2 4 5 0

2 4 13 7 0

x y x y

     




    



Câu 6 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn ab và 1 ab 3

b a




 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức







2 2

1 1

a b

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Tìm tập xác định của hàm số

2
1 2016

2017 3

y

x x x

 

  .

b. Chứng minh rằng hàm số 1
2

y
x



 nghịch biến trên tập xác định.
Câu 2 (1,5 điểm). Giải phương trình 3x 1 x 2 2x 7 2.
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tham số m để hàm số 2

2 3

y  x mx m có tập xác định là một đoạn có
độ dài bằng 4.

Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình









3 3 2 2

2
3 6 16 7 11

2 4 9 2 9 9 1

y x x y y x

y x x y x x x

      




        

 .

Câu 5 (3,0 điểm)

a. Cho tam giác ABC với các cạnh tương ứng là BC a CA, b AB, c. Chứng minh rằng nếu
sin 2sin

sin

2 cos cos

B C

A

B C




 thì tam giác ABC vng.

b. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn

2 2

OM  OA OB  OC. Biết rằng OM vng góc với BI và AC2 3BC BA. . Tính góc ABC.

c. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có góc ABC tù. Hai điểm

  

4;1 , 2; 1



D E  lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và B của tam giác ABC. Trung điểm của
cạnh AB là điểm N

 

1; 2 , trung điểm của cạnh AC là điểm M nằm trên đường thẳng có phương trình

2x6y 5 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm M có hoành độ lớn hơn 3.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương , ,a b c. Chứng minh rằng:

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c

 

   

    

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số

2
2019
2018

5 4

y x

x x

  

 
Câu 2. Cho hai phương trình: 2 2

2 1 0

x  x a  

 

1 và 2









2 1 1 0

x  a xa a 

 

2 .
a) Tìm a để phương trình

 

2 có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình

 

1 và x3; x4 là hai nghiệm của phương trình

 

2 với
3 4

x x . Tìm tất cả các giá trị a để x1; x2



x3; x4



Câu 3. Cho ,a bR và a0. Xét hai hàm số f x

 

2x24x5và g x

 

x2+ax b+ . Tìm tất cả
các giá trị của a và b biết giá trị nhỏ nhất của g x

 

nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của f x

 

là 8 đơn vị và
đồ thị của hai hàm số trên có đúng một điểm chung.

Câu 4. Giải phương trình 2x22x 3 3 x2  x 1 0.

Câu 5. Tìm m để bất phương trình x22x 2 2m 1 2x24x có tập nghiệm là .
Câu 6. Giải hệ phương trình:

2 2

2 5 2 3 2 0

xy

x y

x x x y x

   

 



      


Câu 7. Cho tam giácABC, M là điểm di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm vị trí

điểm M để PMB2MC22MA2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 8. Cho tam giác ABCcó ABC60 . GọiD là giao điểm của chân đường phân giác trong góc A

với BC, điểm E và F lần lượt là hình chiếu vng góc của D lên AB và BC. Đặt AB x

AC  , tính tỉ

số DEF
ABC

S

S theo x và tính tỉ số đó khi BD3,BC9.

Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có AC2AB, phương

trình đường chéo BD x:   y 1 0, điểm B có hồnh độ âm. Gọi M là trung điểm cạnh BC và

 

3; 4

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨNG TÀU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Bài 1 (4,0 điểm) Cho parabol

 

: 2 3

P

y



x

 x và đường thẳng

 

d :

y

 

x m

.

Tìm tất cả các
giá trị

m

để đường thẳng

 

d cắt

 

P tại hai điểm phân biệt A,B nằm về hai phía của đường thẳng có
phương trình

y



1.

Bài 2 (6,0 điểm)

1. Giải phương trình: 1 2 x 1 2 x  2 x2

2. Giải hệ phương trình: 2 ( )( 1) 4 3
3 1 3 5

x x y y y x

y x y

     





  


Bài 3 (4,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB AC, lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 4MA3MB,
2NA NC = . Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng:

4 AI



3 IB



2 IC

2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và H là trực tâm. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là chân đường cao hạ từ

A,B,C của tam giác ABC. Chứng minh rằng

1 1 1

AH BH CH

HA HB HC  . Tìm điệu kiện của tam giác ABC

để bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng.

Bài 4 (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có M



0;10



là trung điểm của cạnh
.

AB Gọi H là hình chiếu của A trên BD, E là điểm đối xứng của D qua H;K là hình chiếu của

B trên đường thẳng AE. Biết K



9; 3



và điểm H thuộc đường thẳng d có phương trình

3 20 0.

x y  Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 1 1 1 1.

1a1b1c Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức Pa. 4b2 b. 4c2 c. 4a2.

Bài 6 (2,0 điểm) Trong một buổi lễ tuyên dương học sinh giỏi, có 9 học sinh được nhận giải thưởng. 
Biết rằng cứ ba học sinh bất kì trong nhóm thì ln có hai học sinh quen biết với nhau. Chứng minh
rằng trong số 9 học sinh này ln có thể chọn ra 4 học sinh đôi một quen biết nhau.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Câu 1 (6,0 điểm):

1) Giải phương trình x3 + x2 = x23x2
2) Giải hệ phương trình

3 3 2 2

2
1

2 3 2 2 3 4

x y x y xy y x

x y x y x y

       




      


Câu 2 (4,0 điểm):

1) Cho tam giác ABCcó diện tích Svà bán kính của đường trịn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức





2 3 3 3

= sin sin sin
3

S R A B C . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

2) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh BC CA AB, , lần lượt lấy các điểm
, ,

N M P sao cho BN 1, CM 2, APx (0 x 3).
a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB AC, .

b) Tìm giá trị của x để AN vng góc với PM.

Câu 3 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng tại A D, và
2

ADCD AB. Điểm I thuộc đoạn AC sao cho 3 .
4

AI  AC Biết điểm (5;3),B đường thẳng DI

có phương trình 3x  y 8 0 và điểm D có hồnh độ dương. Tìm tọa độ điểm D.
Câu 4 (3,0 điểm): Cho phương trình 2





4 1 3 2 0

x  m x m  m (m là tham số).

1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn
3 3

1 2 18

x x  .

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Câu 5 (3,0 điểm): Cho 4 số thực dương , , ,a b c d thỏa mãn a b c d   4. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

1 1 1 1

a b c d

b c c d  d a a b

    .

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2 NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1. (4 điểm). Cho hàm số 2





 

2 3 2 2 1

yx  m x m
1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 

1 khi m0 .

2) Xác định m để đồ thị hàm số

 

1 cắt đường thẳng y3x1 tại hai điểm A B, phân biệt sao cho

OAB

 vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).

Câu 2. (2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 2
2

x

y x m

x m

   

  xác định
trên khoảng



1;3



Câu 3. (5 điểm). Giải phương trình: 
1) x23x  1 7 2x

2) 3x 1 4x 3 5x4

3) 3x 3 5 2 x x3 3x210x260
Câu 4. (2 điểm). Giải hệ phương trình:





2 3 2

4 2

1
2 1 1

x x y xy xy y

x y xy x

     


    



Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB1, ACx và BAC 60 . Các điểm M, N được xác
định bởi MC 2MB và NB 2NA. Tìm x để AM và CN vng góc với nhau.

Câu 6. (2 điểm). Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có

2 2 2

. . . ( )

GA GB GB GC GC GA  AB BC CA

Câu 7. (2 điểm) . Cho x y z, , 



2018; 2019



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2018.2019 2018.2019 2018.2019

( ) ( ) ( )

xy yz zx

P

x y z y z x z x y

  

  

  

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình: 
a) 2x27x 4 (x2) 2x1

2 2 2

3 2
1 2

( 1)(2 ) 2

x y y

xy y x x y

  




  



Câu 2: (2 điểm) Cho hàm số y   2 x2 6x5 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho
khoảng cách từ M đến A(6, 2) là nhỏ nhất

Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương ,x y thỏa x y 1. Chứng minh:
2 2 3 2

4x 4y x y 8x 12y 5

y x

     

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi D là điểm bất kì trên đoạn AM. Đường 
thẳng BD cắt AC tại E, CD cắt AB tại F.

a) Chứng minh EF song song BC.

b) Gọi H là điểm bất kì trên cạnh BC, đường thẳng qua H và song song CD cắt AB tại P. Đường
thẳng qua H và song song BD cắt AC tại Q. Đường thẳng PQ cắt DB và DC lần lượt tại R và S. Chứng
minh PR = SQ.

Câu 5: (3 điểm) Trên bảng người ta viết các số 1, 2,3..., 2015 sau đó thực hiện trị chơi như sau: mỗi 
lần xóa hai số tùy ý ,a b và viết lên một số mới bằng a b ab  , cứ làm như vậy cho đến khi trên bảng

chỉ còn một số duy nhất. Hỏi số cịn lại đó là bao nhiêu?

Câu 6: (4 điểm) Bảng giá cước taxi Mai Linh như sau: 10.000đ cho 0,6km đầu tiên, 13.000đ/km cho 
đoạn tiếp theo từ 0,6km cho tới 25km và 11.000đ/km cho đoạn tiếp theo từ 25km trở đi.

a) Hãy thiết lập hàm số ( )f x để tính giá tiền phải trả cho quãng đường đi x km.
b) Vẽ đồ thị hàm số y f x( ) với 0 x 50

c) Bạn An sau khi xuống xe đã trả tài xế số tiền là 371.200đ. Hỏi quãng đường bạn An đã đi là bao
nhiêu?

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 2

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2015 – 2016

MƠN: TỐN - THỜI GIAN: 150’

Câu 1: (6 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình:

a) 2

2x 1 x 3x1

2 2

2 2
5

4
5

5 5

x y

x y x y

x y

xy

  

  






   



Câu 2: (3 điểm) Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có (1; 2), (3; 2); (2;3)A B  C . Viết phương trình
đường thẳng d đi qua B và cắt AC tại D khác A sao cho ABBD.

Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương a b, . Chứng minh rằng

2 2
2

a b

a b  ab 

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD2CD và E là trung
điểm AD. Một đường thẳng bất kì qua E cắt AB AC, tại M và N .

a) Chứng minh AB 2AC 6

AM  AN  .

b) Tìm vị trí điểm M trên AB sao cho diện tích tam giác AMN bằng 1

3 diện tích tam giác ABD.
Câu 5: (2 điểm) Một cửa hàng có 350 món đồ lưu niệm được bán với các mức giá lần lượt là 1 ngàn, 
2 ngàn, 3 ngàn,…, 349 ngàn, 350 ngàn. Bạn Nam có 50 tờ 2 ngàn và 50 tờ 5 ngàn và khơng có tờ tiền
nào khác. Bạn ấy muốn mua một món đồ lưu niệm và chỉ trả chính xác số tiền của món đồ đó (khơng
thối lại). Hỏi có bao nhiêu trong số 350 món đồ lưu niệm mà Nam có thể chọn?

Câu 6: (4 điểm) Trên một đường cao tốc hình trịn có 3 trạm thu phí được đặt tại một chiếc cầu, một 
con kênh và một đập thủy điện theo chiều kim đồng hồ. Khi qua trạm thu phí tại cầu phải trả 1000đ,
qua trạm tại kênh phải trả 1.500đ, qua trạm tại đập thủy điện phải trả 1.800đ. Một người xuất phát ở vị
trí giữa đập thủy điện và cây cầu đi theo chiều kim đồng hồ cho đến khi phải tổng cộng là 58.400đ.
Hỏi người đó phải trả bao nhiêu ở trạm tiếp theo?

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Câu 1: (6 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình: 
a) 2x2  x 9 2x2   x 1 x 4

3 3

3 8 2

2 6

x y x

xy x

  




 


Câu 2: (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 2 2

( ) :C x y 2x4y 5 0 và điểm
(0, 1)

A  . Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC đều.

Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương x y, thỏa x y 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
12 32

P x

x y

  

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại 
tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng AM OI khi và chỉ khi

2 1 1

BC  AB AC .

Câu 5: (2 điểm) Nhà toán học Hy lạp cổ đại Archimedes đã tìm ra định luật về lực đẩy khi đang 
ngâm mình trong bồn tắm. Nhờ lực đẩy này mà một vật thể sẽ có trọng lượng giảm đi khi ở trong
nước. Biết rằng vàng nguyên chất sẽ nhẹ hơn 1

20 lần và bạc nguyên chất sẽ nhẹ hơn
1

10 lần khi ở
trong nước. Một chiếc vương miện làm bằng vàng và bạc nặng 0,9kg và trở nên nhẹ hơn 1

18 lần khi ở

trong nước. hỏi khối lượng bạc trong chiếc vương miện là bao nhiêu?

Câu 6: (3 điểm) Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia và đấu vòng tròn 1 lượt. Đội thắng được 3 
điểm, hòa được 1 điểm và thua là 0 điểm. Sau khi kết thúc giải người ta nhận thấy đội vơ địch có số
điểm bằng tổng số điểm của hai đội hạng nhì, hạng ba và cũng bằng tổng số điểm của ba đội cịn lại.
Tính số điểm của đội vô địch và đội xếp cuối biết rằng đội vô địch thua đúng một trận.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 4

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2017 – 2018

MƠN: TỐN - THỜI GIAN: 150’

Câu 1: (5 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình: 
a) Giải phương trình: x2 8 3 x38

b) Cho tam thức bậc hai ( )P x hệ số thực thỏa x2 2x 3 P x( ) 15 x230x17,x.
Biết rằng P(13)2018, tính P(0).

Câu 2: (3 điểm) Trong hệ trục Oxy cho (3; 0), (0; 4)A B . Biết rằng tồn tại đúng một hình vng có hai
đỉnh nằm trên đoạn AB và hai đỉnh còn lại nằm trên các đoạn OA OB, . Hãy tìm tọa độ tâm I của
hình vng đó?

Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương x y z, , thỏa 1 1 1 2

x  y z . Chứng minh rằng

2
2 6

x y z  ,

đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O có ABAC. Gọi I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC, gọi D E, lần lượt là giao điểm của AI với BC và đường tròn ( )O .
Đường thẳng qua I, vng góc AI cắt BC tại K, đường thẳng KA KE, cắt lại ( )O tại M N, . Các
tia ND NI, cắt lại đường tròn ( )O tại ,Q P.

a) Chứng minh tam giác INE vuông.
b) Chứng minh rằng PM PQ.

Câu 5: (2 điểm) Trong một câu lạc bộ có 100 học sinh, trong đó có 90 học sinh chơi cầu lông, 80 học 
sinh chơi bóng bàn và 70 học sinh chơi bóng đá. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh chơi cả ba mơn?
Câu 6: (3 điểm) Tại một cơng ty có 10 chiếc xe đưa rước nhân viên xuất phát cùng lúc từ một bến xe 
đi đến công ty. Mỗi tài xế có hai lựa chọn là:

1) Đi đường quốc lộ không kẹt xe nhưng xa hơn nên mất 40 phút tới công ty.

2) Đi đường nội thành ngắn hơn và chỉ mất 15 phút nếu một xe chạy, nhưng do đường nhỏ nên nếu có
thêm một xe nữa cùng chạy (chỉ xét xe của công ty) thì thời gian đi của các xe sẽ cùng tăng lên 5 phút.
Cứ như thế thời gian sẽ tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm.

Hỏi các tài xế nên thảo luận và chọn ra bao nhiêu xe đi trong nội thành để tổng thời gian đi của 10 xe
là ít nhất?

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Câu 1: (6 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình: 
a)



3x1



x2  x 1 3x2 x 1

2 2

2 3

2 4

x y xy

x xy y

  




  


Câu 2: (5 điểm)

a) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M là trung điểm BC và D là hình chiếu
vng góc của M lên AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt cạnh BC tại E. Chứng minh
rằng E là trung điểm CH.

b) Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC với các điểm được định nghĩa như trên, biết rằng
(7; 4), (4; 3)

C  E  và diện tích tam giác AEC bằng 5. Tìm tọa độ điểm A.

Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương ,a b thỏa a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4

1 1

a b

P

a b

 

 

Câu 4: (3 điểm) Một nhóm cướp biển gồm 10 tên có một cái rương chứa các đồng tiền vàng. Họ đồng 
ý chia số tiền theo quy tắc như sau: Tên cướp thứ nhất nhận dược 1

10 số vàng, tên cướp thứ 2 nhận
được 2

10 số vàng còn lại,… cứ như thế tên cướp thứ k nhận 10

k

số vàng còn lại. Biết rằng số đồng
tiền vàng là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn cách chia trên. Hỏi tên cướp thứ 10 nhận được bao nhiêu

đồng tiền vàng?

</div>

Tuyển tập 44 đề thi HSG lớp 10 có lời giải chi tiết

<b>TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 </b>











 











<i>x x x</i>

,

, ,....

<i>x</i>

<i>x</i>

   

<i>x</i>

<i>x</i>

...

<i>x</i>



1





 



 



 





 

 











 









 





 















 













 

 

 









 





 





 



