BỘ TÀI LIỆU ÔN THÌ MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 ( ĐẦY ĐỦ + GIẢI CHI TIẾT)

ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

LỜI NĨI ĐẦU
Thân ái chào các bạn và các em học sinh!
Toán là một mơn học hay, gắn bó với các em từ những ngày đầu tiên tuổi học trị.
Mơn học đó càng trở nên quan trọng hơn nữa khi các em đứng trước kì thi Tuyển sinh
vào các trường THPT. Chương trình Tốn 9 – sau nhiểu lần chỉnh sửa của Bộ GDĐT,
đến nay đã khá hoàn chỉnh, phù hợp với năng lực học tập của các em. Tuy nhiên một
năm học đi qua thật nhanh, với những áp lực rất lớn của các môn học khác, rất nhiều
em học sinh chưa thật sự nắm vững nội dung chương trình Tốn 9.
Để cùng các em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng hơn là giúp các
em có phương pháp học tốt mơn Tốn 9, tơi soạn cuốn TÀI LIỆU ƠN TẬP VÀ LUYỆN
THI TỐN VÀO LỚP 10. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ giúp các em nhìn nhận lại một cách
tồn diện nội dung chương trình Tốn 9, có phương pháp giải Tốn tốt hơn, nắm vững
một số chuyên đề Toán 9.
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Tốn 9:
Phần này trình bày các dạng bài tập cơ bản về Đại số và Hình học thường gặp
trong cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10. Mỗi dạng Tốn có các ví dụ minh họa có
lời giải, tiếp đó là các bài tập tương tự dành cho các em tự luyện.
PhầnII: Tuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp:
Phần này trình bày 10 đề thi mơn Tốn tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề
thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết. Với mỗi bài giải có phân bổ biểu điểm cụ thể
để các em tiện đánh giá năng lực bản thân, cũng như nắm vững các bước giải quan
trọng trong một bài toán.
Phần III: Một số đề tự luyện:
Phần này gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp các em thử sức
với đề thi.
Mặc dù đã rất cố gắng, song chắc hẳn cuốn tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót, rất
mong nhận được sự góp ý của các bạn và các em để cuốn tài liệu được hoàn thiện

hơn!
Email:
Chân thành cảm ơn các bạn và các em!

Thầy Huy
Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

1


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

PHẦN I:
HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9
---***--VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

A. Kiến thc cn nh:
A.1. Kiến thức cơ bản

A.1.1. Căn bậc hai

a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai sè häc cđa 0
x ≥ 0

- Mét c¸ch tỉng qu¸t: x = a ⇔ 

2

x = a

b. So s¸nh c¸c căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có: a < b a < b
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A đợc
gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
A xác định (hay có nghĩa) A 0
b. Hằng ®¼ng thøc A2 = A
- Víi mäi A ta cã A2 = A
- Nh vËy: + A2 = A nÕu A ≥ 0
+ A2 = − A nÕu A < 0

A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a. Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: A.B = A. B
+ Đặc biệt với A ≥ 0 ta cã ( A )2 = A2 = A
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không
âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm,
ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a. Định lí: Với mọi A ≥ 0 vµ B > 0 ta cã:

A
=
B

A
B

b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a
không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b råi lÊy kÕt qu¶ thø
nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b
d¬ng ta cã thĨ chia sè a cho sè b rồi khai phơng kết quả đó.
Hc thờm toỏn Thy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

2


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

A.1.5. BiÕn đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thøc A, B mµ B ≥ 0, ta cã A2 B = A B , tøc lµ
+ NÕu A ≥ 0 và B 0 thì A2 B = A B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A2 B = A B
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 th× A B = A2 B
+ NÕu A < 0 và B 0 thì A B = A2 B
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có

A
=
B

AB

B

d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta cã
A
A B
=
B
B

- Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ 0 vµ A ≠ B 2 , ta cã
C
C ( A ± B)
=
A − B2
A±B

- Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ 0, B ≥ 0 vµ A ≠ B , ta cã
C ( A B)
C
=
A B
A B

A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a lµ sè x sao cho x3 = a
- Víi mäi a th× ( 3 a )3 = 3 a3 = a
b. TÝnh chÊt
- Víi a < b th× 3 a < 3 b

- Víi mäi a, b th× 3 ab = 3 a . 3 b
- Víi mäi a vµ b ≠ 0 th×

3

a 3a
=
b 3b

Học thêm tốn – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

3


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

A.2. KiÕn thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n ( 2 ≤ n ∈ N ) cña sè a lµ mét sè mµ lịy thõa n b»ng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
ã Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
ã Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
ã Căn bậc lẻ của số âm là số âm
ã Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
ã Số âm không có căn bậc chẵn
ã Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
ã Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là

2k

a và 2k a

d. Các phép biến đổi căn thức.
ã
ã

A. xác định với A
2k
A. xác định víi ∀A ≥ 0
2 k +1
A2 k +1 = A víi ∀ A
2 k +1

2k

•

2 k +1
2k

•

A2 k +1.B = A.2 k +1 B víi ∀ A, B

A2 k .B = A .2 k B víi ∀ A, B mµ B ≥ 0

2 k +1

2k

A.B = 2 k +1 A.2 k +1 B víi ∀ A, B

A.B = 2 k A .2 k B víi ∀ A, B mµ A.B ≥ 0

2 k +1
2k

•

A2 k = A víi ∀ A

A
=
B

A
=
B

•

m n

ã

m

2 k +1

2 k +1

2k

A

2k

B

A
với A, B mà B ≠ 0
B

víi ∀ A, B mµ B ≠ 0, A.B ≥ 0

A = mn A víi ∀ A, mµ A ≥ 0
m

An = A n víi ∀ A, mµ A ≥ 0

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

4


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI.

Bài 1: Tính:
3- 3

a. A =

2 - 3 +2 2
b. B = +
c. C = 5. + . +

3 +3

+

2+ 3 - 2 2

HƯỚNG DẪN GIẢI:
a. A =

3- 3
2=

+

3 +2 2
2( 3 - 3)

3 +3
2+ 3 - 2 2
2( 3 + 3)

.

+
4- 2 3 +4
4 +2 3 - 4
2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
=
+
3 - 1+ 4
3 +1- 4
2( 3 - 3) 2 + 2( 3 + 3) 2
=
3- 9
24 2
=
=- 4 2
- 6
b. B = + =
= = =3

c. C = 5. + . + = 5. + . +
= + + =3
Bài 2: Cho biểu thức A =

 1

+

x− x


:

x −1 
1

(

x +1

)

x −1

2

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =

1
3

.

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện 0 < x ≠ 1

Với điều kiện đó, ta có: A = x
b). Để A =

1
3

thì

x −1
x

x

=

(

x +1

:

) (

x −1

x +1

)

x −1

2

=

x −1
x

1
3
9
⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện)
3
2
4

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

5


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

Vậy x =

9
thì A =
4

c). Ta có P = A - 9

1
3
x


1 
− 9 x = −9 x +
÷+ 1
x
x


x −1

=

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x +
Suy ra: P ≤ −6 + 1 = −5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x =
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = −5 khi x =

1
x

⇔x=

1
x

≥ 2 9 x.

1
x

=6

1
9

1
9

x +4
. Tính giá trị của A khi x = 36
x +2

Bài 3: 1) Cho biểu thức A =



x
4  x + 16
+
(với x ≥ 0; x ≠ 16 )
÷:
x +4
x −4÷ x +2




2) Rút gọn biểu thức B = 


3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá
trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
HƯỚNG DẪN GIẢI:

1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A =

36 + 4 10 5
=
=
36 + 2 8 4

2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có :
 x( x − 4) 4( x + 4)  x + 2
(x + 16)( x + 2)
x +2
+
÷
÷ x + 16 = (x − 16)(x + 16) = x − 16
x − 16 
 x − 16

B= 


3) Ta có: B( A − 1) =

x +2  x +4 
x +2
2
2
.
 x + 2 − 1 ÷ = x − 16 . x + 2 = x − 16 .
÷
x − 16 


Để B( A − 1) nguyên, x nguyên thì x − 16 là ước của 2, mà Ư(2) = { ±1; ±2 }
Ta có bảng giá trị tương ứng:
x − 16 1
−1
−2
2
x
17
15
18
14
Kết hợp ĐK x ≥ 0, x ≠ 16 , để B( A − 1) nguyên thì x ∈ { 14; 15; 17; 18 }
Bài 4: Cho biÓu thøc:
P =

x
( x +

y )(1 −

y )

−

y
x +

y)

(

)

x +1

−

(

xy

)(

x +1 1 y

)

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mÃn phơng trình P = 2.

HNG DN GIẢI:
Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

6


ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

a). §iỊu kiện để P xác định là :;
x(1 +

P=

(

=

=

=

x ) y (1 −

(

x +

) (1 +

x +

y

)(

x −

y

(

y ) − xy

)(

x

(

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠1 ; x + y ≠ 0

x +

y

) (1 − y )

y +x−

)

xy + y − xy

=

(

( x − y ) + x x + y y − xy

(

)

x +

)(

y 1+

)( y)
x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( 1 + x ) ( 1 − x )
(1 + x ) (1 − y )
x (1 − y ) (1 + y ) − y (1 − y )
x − y + y − y x
=
(1 − y )
(1 − y )
x +

y 1+

VËy P =
b) ĐKXĐ:
P=2 ⇔

)

.

)(

(

x 1−

x +
y

)

y

)

x 1−

x +

xy −

=

x +

xy −

y.

y.

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠1 ; x + y ≠ 0
x +

(

xy −

⇔ x1+

(

⇔

)(

y.

=2

) (

y −

x −1 1 +

)

)

y +1 =1

y =1

Ta cã: 1 + y ≥ 1 ⇒ x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (tho¶ m·n).
2 x −9

Bài 5:Cho biĨu thøc M =

x −5 x + 6

+

2 x +1
x −3

+

x +3

2− x

a. T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ M cã nghÜa vµ rót gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x ∈ Z ®Ĩ M ∈ Z.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
M=

2 x −9
x 5 x + 6

a.ĐK

+

2 x +1
x 3

+

x +3
2 x

0,5đ

x 0; x ≠ 4; x ≠ 9

Rót gän M =

2 x −9 −

(

)(

) (

)(

x + 3 x − 3 + 2 x +1
x −2 x −3

(

BiÕn ®ỉi ta cã kÕt qu¶: M =

(

)(

)

x − x −2
x −2

)(

x −3

x −2

)

)

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

7


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
M=
x −1

b. . M = 5 ⇔

(

x −3

⇒ x +1 = 5

(
(

)(
x − 3)(
x +1

) ⇔M =

x − 2)

x −2

www.facebook.com/hocthemtoan
x +1
x −3

=5

)

x −3

⇔ x +1 = 5 x −15
⇔16 = 4 x
⇒ x=

16
= 4 ⇒ x =16
4

§èi chiÕu §K: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
c. M =

x +1
x −3

=

Do M z nên

x 3 + 4
x 3
x 3 là

=1+

Vậy x = 16 th× M = 5
4
x −3

íc cđa 4

x 3

nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4

Lập bảng giá trị ta đợc:
x {1;4;16;25;49}

vì x 4 ⇒

x ∈{1;16;25;49}

Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P < 0
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1

P =(

a
1 2 a −1
a +1
−
) .(
−
)
2 2 a
a +1
a −1

a a − 1 2 ( a − 1)2 − ( a + 1)2
P =(
).
2 a
( a + 1)( a − 1)
P =(
P=

a −1 2 a − 2 a +1− a − 2 a −1
).
a −1
2 a

−(a − 1)4 a 1 − a
=
4a
a

Vâ ̣y P =

1− a
Víi a > 0 và a ≠ 1
a

b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên > 0
Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

8


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

 P = < 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK)
Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) :
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Rút gọn:
Q= -(1+):
= -.
= - =
= =
b) Khi có a = 3b ta có:

Q= = =

Bài 8: Cho biểu thức
 1
1 
2
.
A = 
+
 x
 x+
y



+

y

1 1
+ :
x y


x3 + y x + x y +

y3

x 3 y + xy 3

a ) Rút go ̣n A;

b) Biế t xy = 16. Tim các giá tri của x, y để A có giá tri nhỏ nhấ t, tim giá tri đó.
̣
̣
̣
̀
̀
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
a)

 1
1 
2
.
A = 
+
 x
 x+
y



=



=


=

(

b) Ta có

x3 + y x + x y + y3
1 1
+ :
y x y
x 3 y + xy 3

x+ y
2
x+y
 : x + y x − xy + y + xy
.
+
xy 
xy
x+ y
xy x + y

x + y ( x + y)
2
x+y
:
+

xy 
xy

xy ( x + y )
+

(

(

x+ y
xy




)

2

x −

x+

y

=

x+
xy

2

y  ≥0 ⇔ x +



y

A=

x+
xy

y

≥

2

xy
xy

=

2

)

)

(

x+

y

)

.

y −2

xy ≥0

⇔ x +

Do đó

(

)

xy

.

)(

16
16

y ≥2

=1

xy .

( vì xy = 16 )

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

9


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

 x= y

⇔ x = y = 4.

xy =16


Vâ ̣y min A = 1 khi
Bài 9: Cho biểu thức:

1
P =
−

 x − x −1


2

−

x − 1 − 2  2 − x

x+ 2

2x − x 


x −3

a) Tim điề u kiên để P có nghia.
̣
̀
̃
b) Rút go ̣n biể u thưc P.
́

c) Tính giá tri của P với
̣

x =3 −2 2 .

HƯỚNG DẪN GIẢI:




a. Biể u thức P có nghia khi và chỉ khi : 
̃




 x> 0
 x≥ 1  x≥ 1
 
⇔  ⇔  x≠ 2
 x≠ 2  x≠ 3
 x ≠ 3 

b) Đkxđ :

x>0
x−1≥ 0
2− x ≠ 0
x−1− 2 ≠ 0

x ≥1; x ≠ 2; x ≠ 3


1
P =

−
 x − x −1

(


2

−

x − 1 − 2  2 − x

x+ 2

2x − x 


x −3

)

(

)


x + x −1
( x − 3) x − 1 + 2   2 −
=
−

x − 1 − 2 x −1 + 2  2 − x
 x − x −1 x + x −1

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  2 x − x − 2
=
−
.
( x − 1) − 2
x 2− x
 x − ( x − 1)


(

)(

(

) (

(

)(

)

)

(

(

)

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  − 2 − x
.
=
 x − x +1 −
 x 2− x
x −3



=

(

) −1 = (

x + x −1 − x −1 − 2 .

c) Thay

x = 3 −2 2 =

(

x

(

)

x − 2 .( − 1)
x

) vào biể u thức

2 −1

2

)

x

(



2− x 

x+ 2

)

)

)

=

2− x

x
2− x
P=
x

, ta có:

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

10


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
P=

2−

(

(

)

2 −1

)

2 −1

2

www.facebook.com/hocthemtoan
2

=

2−

2 −1

2 −1

=

2 − 2 +1
2 −1

=

1
= 2 +1
2 −1

Bài 10: Cho biể u thưc:
́
4 x
8x
x −1
2

+
):(
−
)
P =(
2+ x 4−x
x −2 x
x
a) Rút go ̣n P
b) Tim giá tri của x để P = -1
̣
̀
c) Tim m để với mo ̣i giá tri x > 9 ta có: m( x − 3) P > x + 1
̣
̀
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: x − 2 x = x ( x − 2)
x ≥ 0

x > 0
 x ≠0
⇔
• ĐKXĐ: 
x ≠ 4
4 − x ≠ 0
 x −2≠ 0

•

Với x > 0 và x ≠ 4 ta có:

P= (

4 x
8x
x −1
2
−
):(
−
)
2+ x x −4
x ( x − 2)
x

=

4 x ( x − 2) − 8 x
:
( x − 2)( x + 2)

=

4 x − 8x − 8x
:
( x − 2)( x + 2)

=

− x −8 x
4

:
( x −2)( x + 2)

=
=
=

x −1 − 2( x − 2)
x ( x − 2)
x −1 − 2 x + 4
x ( x − 2)
− x +3
( Đk: x ≠ 9)
x ( x −2)

−4 x ( x + 2)
x ( x − 2)
.
( x − 2)( x + 2)
3− x
−4 x . x ( x − 2)
Với x > 0 , x ≠ 4, x ≠ 9 thì P =
(3 − x )( x − 2)
4 x Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97
x −3

4x
x −3

11

ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

b) P = - 1
4x
⇔
= −1 ( ĐK: x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9 )
x −3
⇔ 4x = 3 − x
⇔ 4x − 3 − x = 0

x = y đk y > 0
Ta có phương trình: 4 y 2 − y − 3 = 0

Đă ̣t

Các hê ̣ số : a + b + c = 4- 1-3 =0

⇒ y1 = −1 ( không thoả man ĐKXĐ y > 0),
̃

Với y =

y2 =

3
( thoả man ĐKXĐ y > 0)
̃

4

3
9
= x thì x =
( thoả man đkxđ)
̃
16
4

Vâ ̣y với x =
c) m( x − 3) P > x +1
⇔ m( x − 3)

9
thi ̀ P = - 1
16

(đk: x > 0; x ≠ 4, x ≠ 9 )

4x
> x +1
x −3

⇔ m.4 x > x +1
x +1
⇔m >
4x
( Do 4x > 0)
x +1

x
1
1
1
=
+
= +
• Xét
4x
4x 4x
4 4x
Có x > 9 (Thoả man ĐKXĐ)
̃
⇔

1 1
< ( Hai phân số dương cùng tử số , phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
x 9

1
1
⇔
<
4x
36
1
1
1
1
⇔ +

< +
4
4x
4
36
1
1
5
⇔ +
<
4
4x
18

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

12


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

 5 x +1
18 > 4 x
5

⇒m≥
Theo kế t quả phầ n trên ta có : 
18
m > x + 1


4x


Kế t luâ ̣n: Với m ≥

5
, x > 9 thì m( x − 3) P > x + 1
18

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức :
A=(

1
x −1

+

1
x +1

)2.

x 2 −1
− 1− x2
2

1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa .
2) Rót gọn biểu thức A .

3) Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 .
C©u2 Cho biểu thức :

A=(

2 x +x
x x −1

a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của A khi
C©u3 Cho biểu thức :

A=


x +2 

):
 x + x +1 
x −1 

1

−

x = 4 +2 3

x +1
1
:

x x + x + x x2 − x

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
 1

1



1

1



1

+

Câu4 Cho biu thc : A=
ữ:
ữ+
1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
 a a −1 a a + 1  a + 2
−
÷:

a− a a+ a ữ a2



Câu 5 Cho biu thc : A =


a. Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.


x 1
2 x

Câu 6 Cho biu thc P = 1 +
ữ:
ữ 1
x +1   x −1 x x + x − x −1 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trịn nguyên của x để P − x nhậ giá trị nguyên.
Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

13


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

 a + a 
a− a 
C©u 7 Cho P = 1 +
÷1 −
÷; a ≥ 0, a ≠ 1
a + 1  −1 + a 

a) Rót gọn P.
b) T×m a biết P > − 2 .
c) T×m a biết P = a .
1 − 2x )
C©u 8 Cho P = (

2

− 16x 2
1
; x≠±
2
1 − 4x
2
−2
a) Chứng minh P =
1 − 2x
3
b) Tính P khi x =
2

2 + 5 − 24
12

 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
−
−
−
C©u 9 Cho biểu thức B = 
÷: 
÷
x +1 x −1  x −1
x −1 
 x −1
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 2 2 .
c) Chứng minh rằng B ≤ 1 với mọi gía trị của x thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1 .

 1
 1
+ 1 a ữ:
+ 1ữ
Câu 10 Cho M = 
 1+ a
  1− a2

a) Tìm TXĐ
b) Rút gọn biểu thức M.
3
c) Tính giá trị của M tại a =
.
2+ 3

2.Tính Q =

C©u 11 Cho biểu thức:

a + a
 a − a

 

A =
 a + 1 + 1 ⋅  a −1 −1 ; a ≥ 0, a ≠ 1 .

 


1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
C©u 12 Cho biểu thức:


y
y  2 xy
:
S =
+
; x > 0, y > 0, x ≠ y .
 x + xy
x − xy  x − y




1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
C©u 13 Cho biểu thức:


x +2
x −2

Q =
 x + 2 x + 1 − x −1  ⋅



a. Chứng minh

Q=

x +1
x

; x > 0, x ≠ 1 .

2
x −1

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

14

ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
 1
A =
−

 x

C©u 14 Cho biểu thức:

  x +2
: 
−

x −1   x −1

1

x +1 
 ; x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 .
x −2 


1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
C©u 15 Rút gọn biểu thức:

C©u 16 Cho biểu thức:

a +1

A=

+

1
a3 − a
+
; a >1.
a −1 + a
a −1

a 2 −1 − a2 + a
x +2
x +1
x +1
T =
+
−
; x > 0, x ≠ 1 .
x −1
x x −1 x + x +1

1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 ln có T<1/3.
C©u 17 Cho biểu thức: M =

1− x
1− x

−

1−

( x)

3

1+ x + x

; x ≥ 0; x ≠ 1.

1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 18: Cho biểu thức :

2mn
2mn 
1
A=  m+
+ m−
1+ 2
2
2 ÷
1+n
1+ n 
n



với m ≥ 0 ; n ≥ 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A với m = 56 + 24 5 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.


 a + 3 a + 2 − a + a  : 1 + 1 
Bài 19: Cho biểu thức P =
÷
 a + 2 a −1
a −1   a +1
a −1



a) Rút gọn P.
1
a +1
b) Tìm a để −
≥1
P
8


x   1
2 x
−

Bài 20: Cho biểu thức P = 1 +
÷: 
÷− 1
x +1   x −1 x x + x − x −1 

a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P − x nhận giá trị nguyên.

(

)(

)

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

15


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A. KIẾN THỨC CN NH:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
ax 2 + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)

∆ = b 2 − 4ac

*) Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt :
x1 =

−b + ∆
−b − ∆
; x2 =
2a
2a

*) Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép :
x1 = x 2 =

*) Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.

b
2a

III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) vµ b = 2b '
∆ ' = b '2 − ac
−b '+ ∆ '
−b '− ∆ '
*) NÕu ∆ ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 =
; x2 =

*) NÕu ∆ ' = 0 phơng trình có nghiệm kép : x1 = x 2 =

b '

a

a

a

*) Nếu ' < 0 phơng trình vô nghiƯm.
IV. HƯ thøc Vi - Et vµ øng dơng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) th× :
b

 x1 + x 2 = − a


x x = c
1 2 a


2. Muốn tìm hai số u và v, biÕt u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
x 2 Sx + P = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 − 4P ≥ 0 )
3. NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) cã hai nghiÖm :
Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

16


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

c
x1 = 1; x 2 =
a
NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) cã hai nghiÖm :
c
x1 = −1; x 2 = −
a

IV: Các bộ điều kiện để phương trỡnh cú nghim tha món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) cã:
1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. V« nghiƯm ⇔ ∆ < 0
3. NghiƯm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiƯm cïng dÊu ⇔ ∆≥ 0 vµ P > 0
6. Hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ ∆ > 0 vµ P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiƯm d¬ng(lín h¬n 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ∆≥ 0; S < 0 vµ P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI:
Bµi 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 − 8 = 0

c / −2x 2 + 3x + 5 = 0

b / 3x 2 − 5x = 0

d / x 4 + 3x 2 − 4 = 0
x+2
6
f/
+3=
x −5
2−x

e / x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0

Gi¶i
a / 2x − 8 = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 ⇔ x = 2
Vậy phơng trình có nghiệm x = 2
2

2

2

x = 0
x = 0
b / 3x − 5x = 0 ⇔ x(3x − 5) ⇔ 
⇔
x = 5
3x − 5 = 0

3


5
VËy phơng trình có nghiệm x = 0; x =
3
2
c / −2x + 3x + 5 = 0
2

NhÈm nghiÖm :
Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

17


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

Ta cã : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm : x1 = −1; x 2 = −
d / x 4 + 3x 2 4 = 0

5 5
=
2 2

Đặt t = x 2 (t ≥ 0) . Ta cã phơng trình : t 2 + 3t 4 = 0
a+b+c=1+3-4=0
4
= −4 < 0 (lo¹i)
1
Với: t = 1 ⇔ x 2 = 1 x = 1
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

=> phơng trình có nghiệm : t1 = 1 > 0 (tháa m·n);

t2 = −

e / x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0 ⇔ (x 3 + 3x 2 ) − (2x + 6) = 0 ⇔ x 2 (x + 3) − 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x 2 − 2) = 0
 x = −3
x + 3 = 0
 x = −3
⇔ 2
⇔ 2
⇔
x − 2 = 0
x = 2
x = 2

V

ậy phơng trình có nghiệm x = −3; x = ± 2
x+2
6
+3=
(§KX§ : x ≠ 2; x 5 )
x 5
2x
x+2
6
+3=
Phơng trình :
x 5

2x
(x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x)
6(x − 5)
⇔
+
=
(x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x)
⇒ (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5)
f/

⇔ 4 − x 2 + 6x − 3x 2 − 30 + 15x = 6x − 30
⇔ −4x 2 + 15x + 4 = 0
∆ = 152 − 4.(−4).4 = 225 + 64 = 289 > 0; ∆ = 17
−15 + 17
1
= (thỏa mÃn ĐKXĐ)
=> phơng trình có hai nghiệm : x1 =
2.( 4)
4
15 17
x2 =
= 4 (thỏa mÃn ĐKXĐ)
2.(4)

Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
2
3
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình. TÝnh x1 + x 2 ; x1 + x 3 theo m.
2

2
2
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : x1 + x 2 = 9 .
2
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá
trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
Hc thờm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

18


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan
x − 2x + 1 = 0
2

⇔ (x − 1) 2 = 0
⇔ x −1 = 0
⇔ x =1

VËy víi m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phơng trình : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1) Ta có: ∆ = m 2 − 4(m + 3) = m 2 − 4m 12
Phơng trình có nghiệm x1; x 2 ≥ 0
 x1 + x 2 = − m
 x1 x 2 = m + 3

(a)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta cã : 

(b)

*) x + x = (x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = ( −m) − 2(m + 3) = m − 2m − 6
*) x + x = (x1 + x 2 )3 − 3x1x 2 (x1 + x 2 ) = (−m)3 − 3(m + 3)(−m) = −m 3 + 3m 2 + 9m
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 ⇔ ∆ ≥ 0
Khi ®ã x12 + x 2 = m 2 − 2m − 6
2
2
2
Do ®ã x1 + x 2 = 9 ⇔ m 2 − 2m − 6 = 9 ⇔ m 2 − 2m − 15 = 0
2
1
3
1

2
2
3
2

2

2

2

∆ '(m) = (−1) 2 − 1.(−15) = 1 + 15 = 16 > 0; ∆ (m) = 4
1+ 4
1− 4
= 5; m 2 =
= −3
1
1
+) Víi m = 5 ⇒ ∆ = −7 < 0 => lo¹i.
+) Víi m = −3 ⇒ ∆ = 9 > 0 => thỏa mÃn.

=> phơng trình có hai nghiệm : m1 =
Thử lại :

2
Vậy với m = - 3 thì phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1; x2 tháa m·n : x1 + x 2 = 9 .
2
d/ Theo phÇn b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0

 x1 + x 2 = − m
 x1 x 2 = m + 3

Khi đó theo định lý Vi-et, ta cã : 

(a)
(b)

HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :

x1 + x 2 = −m
3x + 3x 2 = −3m
 x = −3m − 5
 x = −3m − 5
⇔ 1
⇔ 1
⇔ 1

 2x1 + 3x 2 = 5
2x1 + 3x 2 = 5
 x 2 = − m − x1
 x 2 = 2m + 5
 x1 = 3m 5
vào (b) ta có phơng trình :
x 2 = 2m + 5

Thay 

(−3m −5)(2m +5) = m +3
⇔−6m 2 −15m −10m − 25 = m +3
⇔−6m 2 − 26m − 28 = 0
⇔3m 2 +13m +14 = 0
∆( m) =132 − 4.3.14 =1 > 0

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

19


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10

www.facebook.com/hocthemtoan

−13 + 1
m1 =
= 2
2.3
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
−13 − 1
7
m2 =
=−
2.3
3
Thư l¹i :
+) Víi m = −2 ⇒ ∆ = 0
=> tháa m·n.
−7
25
+) Víi m = ⇒ ∆ = > 0 => tháa m·n.
3
9
7
VËy víi m = 2; m = phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
3
e/ Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm x1 = −3 ⇔ (−3) 2 + m.(−3) + m + 3 = 0 ⇔ −2m + 12 = 0 ⇔ m = 6
Khi ®ã : x1 + x 2 = −m ⇔ x 2 = −m − x1 ⇔ x 2 = −6 − (−3) ⇔ x 2 = −3

VËy víi m = 6 th× phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac < 0 ⇔ 1.(m + 3) < 0 ⇔ m + 3 < 0 ⇔ m < −3
VËy víi m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
x1 + x 2 = −m
 m = − x1 − x 2
⇔
⇔ − x1 − x 2 = x1x 2 − 3

 x1x 2 = m + 3
 m = x1 x 2 − 3

Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) 3 = 0
Bài 3:
Cho phơng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m ®Ĩ (1) cã nghiƯm duy nhÊt? t×m nghiƯm duy nhÊt ®ã?
c) T×m m ®Ĩ (1) cã 1 nghiƯm b»ng 2? khi đó hÃy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + NÕu m-1 = 0 ⇔ m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 ⇔ x =

3
2

(là nghiệm)

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: =12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiÖm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥

2
3

+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m

2
3

thì phơng trình có nghiệm

b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =

3
2

(lµ nghiƯm)

+ NÕu m ≠ 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) cã nghiÖm duy nhÊt ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m =

2
3

(tho¶ m·n m ≠ 1)

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

20


ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

Khi ®ã x =

1
1

=
=3
2
m 1
1
3

+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

2
3

3
2

thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3

c) Do phơng trình cã nghiƯm x1 = 2 nªn ta cã:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 m =
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 =
VËy m =

3
4

3
4
3
1
-1= −
4
4

≠ 0)

−3
−3
=
= 12 ⇒ x 2 = 6
1
m 1

4

và nghiệm còn lại là x2 = 6

Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phơng trình thoả mÃn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) HÃy biểu thị x1 qua x2
HNG DN GIẢI:

a) Ta cã: ∆’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =
Do

2

1

m −  ≥ 0
2


víi mäi m;

15
>0
4

2

1
15

m − +
2
4


> 0 với mọi m

Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
VËy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 vµ P > 0
Học thêm tốn – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

21


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

 2(m 1 <− 0)  m< 1
⇔  ⇔  ⇔ m< − 3
 − (m 3 >+ 0)  m< − 3
VËy m < -3
d) Theo ý a) ta cã phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3)
Khi ®ã A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bµi A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0

  m≥ 0

  m≥ 0  3
    m≥  3
 2m ≥− 03   2  m≥
⇔ ⇔ ⇔ 2
  m≤ 0  m≤ 0 

     m≤ 0
  2m ≤− 03   3
  m≤
 2
VËy m ≥

3
2

hc m ≤ 0

e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiƯm

Học thêm tốn – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

22


ễN TP V LUYN THI TON VO LP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

Theo định lÝ Viet ta cã:

 x1 + x2 = 2(m− 1)  x1 + x2 = 2m− 2
 ⇔ .
 1.xx 2 −= (m+ 3)  2 1.xx 2 −= 2m− 6

⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8
VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 kh«ng phơ thc m
8+ x

2
f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔ x1 = − 1 + 2 x

2

8+ x

2
VËy x1 = − 1 + 2 x

2

( x2

≠−

1
)
2

Bµi 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n 3x1+2x2 = 1
c) Lập phơng trình ẩn y thoả mÃn

y1 = x1 +

1
x2

;

y 2 = x2 +

1
x1

với x1; x2 là nghiệm của

phơng trình ë trªn
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta cã ∆ = 1 – (m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau


2

0 m 02 m≤ 2
⇔  ⇔  ⇔  m=⇔ 2
P = 1 m− 1= m= 2
'

VËy m = 2
b) Ta cã = 12 (m-1) = 2 m
Phơng trình cã nghiÖm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3)
Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

23


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

Tõ (1) vµ (3) ta cã:

x+ 21 = −2 2x+ 21 = −42 x1=5 x1= 5
 ⇔ ⇔ ⇔
3 x 221 =+ 1 3x 221 =+ 1 x+ 21 = −2 x2= −7

ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (tho¶ m·n (*))
VËy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đà cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
1

1

x +x

−2

2m

Khi ®ã: y1 + y 2 = x1 + x2 + x + x = x1 + x2 + 1x x 2 = −2 + m − 1 = 1 − m (m≠1)
1
2
1 2

y1 y 2 = ( x1 +

1
1
1
1
m2
)( x 2 + ) = x1 x 2 +
+ 2 = m −1 +
+2=
x2
x1
x1 x 2
m 1
m 1

y1; y2 là nghiệm của phơng trình: y2 -

2m
1 m

.y +

m2
m 1

(m1)

= 0 (m1)

Phơng trình ẩn y cần lËp lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

24


ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN VÀO LỚP 10
www.facebook.com/hocthemtoan

C. MỘT S BI TP T LUYN
Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
T×m tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) cã nghiƯm nguyªn.
HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1
m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ⇒ x1 = 1 ;
⇒ m −1 = ±1;±2 ⇒ m ∈{−1;0;2;3}
2
Bµi 2: Cho phơng trình x + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiƯm lµ 3 vµ -2.
* m≠1 :

HDÉn :

 6m − 3n = 6

 4m + 3n = 14

x2 =

m +1

2
=1+
m 1
m 1

m= 2

n= 2

Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất lµ

1
2

:

mx2 + (mn + 1)x + n = 0

HDÉn :


m ≠ 0

∆ = 0
m
1
 + ( mn + 1) . + n = 0
2
4

m= −2

⇔ 1
 n = − 2

Bµi 4: Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Víi mäi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiÖm .
HDÉn : ∆1 + ∆ 2 = 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x +

m
4

=0

(1)

Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97

25