Đáp án HSG Toán học ngày 2 lớp 12 Kiên Giang 2011-2012 - Học Toàn Tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TÌNH LỚP 12 THPT

TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012

--- ---
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MƠN TỐN
Ngày thi 02/11/2011

(Hướng dẫn chấm này gồm có 02 trang)
Bài 1

(7 điểm) Đặt S x y P, xy

= + = . ĐK : S2 ≥4P.

Ta có x2 +y2 +xy= ⇔3 S2− = ⇔P 3 S2 = + ≥ ⇒ ≥ −P 3 0 P 3.
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x= = −y 3.

Vì S2 ≥4P và S2 = +P 3 nên P+ ≥3 4P⇔P≤1.
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x = y = 1.
Tóm lại, tập giá trị của P là [−3 ; 1].

Ta có, M =x y3 3−3xy x( 2+y2+xy+xy)=P3−3 (3P +P)=P3−3P2−9P.

Và / 3 2 6 9 ; / 0 3 [ 3;1]

1 [ 3;1]

P

M P P M

P

= ∉ −


= − − _{= ⇔ }

= − ∈ −

 .

( 3) 27, ( 1) 5, (1) 11

M − = − M − = M = −

[ 3;1]

minM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 3) 27

− = − − = − = −
[ 3;1]

maxM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 1) 5

− = − − = − = .

0,5đ
1,5đ

1,0đ

0,5đ
1,0đ
1,0đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2

(6 điểm)

1.

Ta có

∆

AOB cân đỉnh O nên

0

180 2

AOB= − BAO

Ta có

∆

AO’C cân đỉnh O’ nên

0

’ 180 2 ’

AO C= − CAO

Do đó,

0

(

)

0

’ 360 2 ’ 180

AOB+AO C = − BAO CAO+ =

Suy ra OB // O’C .

Gọi I là giao điểm của BC và OO’ ta có

IC O C' R' IC R'IB
IB = OB = R ⇒ = R

Vậy I là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’).

Vì vậy, BC ln luôn đi qua điểm I cố định ( đpcm ).

2.

Gọi M là trung điểm của BC ta có

2

3
AG= AM

.

Gọi K là trung điểm của OO’. Vì MK là đường trung bình của hình thang

CO’OB nên

'

2
R R

KM = +

.

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang 2

Do đó M thuộc đường trịn tâm K bán kính bằng

'

2
R+R

.

* Ta có

2

( , )
3

( )

A

V M =G

và M thuộc đường tròn (K ,

'

2
R+R

) cố định nên G chạy trên đường tròn cố

định, là ảnh của đường tròn ( K ,

'

2
R+R

) qua phép vị tự tâm A tỷ số k =

2

3

.

K

M

I

C

O

A

O'

B

0,5đ
0,5đ

0,5đ

Bài 3
(7 điểm)

* Xây dựng được các bộ nghiệm.

* Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng.
* Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng.
Chẳng hạn,

Ta xây dựng các bộ nghiệm nguyên dương ( , , )x y z như sau :
Đặt z= +y 1 ta có y2−z2 = −(2y+1).

Khi đó ta có

2

2 2 2 1

2
x n
x +y −z = ⇔ =n y − − .

Ta có tập *

{ 2k | | 1: }

A= x= + n + k∈ℕ gồm vô số phần tử x là số nguyên dương, khác
tính chẵn−lẻ với n.và thỏa điều kiện x2− − >n 1 0. Vì vậy,

2

1
2
x n

y= − − là số nguyên
dương với mọi x thuộc A.

Rõ ràng mỗi bộ

2 2

1 1

( , , ) ( , , )

2 2

x n x n

x y z = x − − − + , với x∈A, đều là nghiệm của
phương trình đã cho.

4đ
2đ
1đ

</div>

<!--links-->