Đáp án HSG Toán học ngày 1 lớp 12 Kiên Giang 2011-2012 - Học Toàn Tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TÌNH LỚP 12 THPT

TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012

--- ---
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MƠN TỐN
Ngày thi 01/11/2011

(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)

BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM

Bài 1.1
(2,5 điểm)

Điều kiện : 0≤ ≤x 4.

BPT đã cho tương đương với BPT

2 2

2

3

6

11

4

x

−

x

+ −

x

−

x

+

>

− −

x

x

2 2

4( 2) 2( 2)

4

2 3 6 11

x x

x x

x x x x

− − −

⇔ >

− +

− + + − +

2 2

4

2

(

2)

0

2

4

2

3

6

11

x

x

x

x

x

x

x

x





⇔

−

_

+

_

> ⇔ >

− +

−

+ +

−

+





Kết hợp với điều kiện, nghiệm của BPT đã cho là 2< ≤x 4.

0,5đ

1,0đ

0,5đ
0,5đ
Bài 1.2

(2,5 điểm) Hệ đã cho được viết lại :

2
2

( ) ( ) ( ) 7

( )( ) 6 13( )

x y x y x y

x y x y x y

+ + − − =

+ − + = −

 −




Đặt u= +x y v, = −x y ta được hệ
2

2 4 3 2

2
7

6 13 7 13 6 0

(1)
(

7

2)

u v v

v u v

uv v v v v v

 + − =  = − + +

+ = − − + − =

 

⇔

 

 

 

2

1

(2)

(

3)(

2)(

1)

0

2

3

v

v

v

v

v

v

=





⇔

+

−

=

= −

−

⇔

_

=



Hệ (1) và (2) có 3 cặp nghiệm : (7 ; 1), (5 ; 2), (−5 ; −3).
Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm : (4;3), ( ; ), ( 4; 1)7 3

2 2 − − .

1,0đ

0,5 đ

0,5đ

0,5đ
Bài 2

(5 điểm) Xét hàm số

2

( ) sin x

f x x

π

= − _.
Ta có f/( )x cosx 2

π

= − và f/( )x =0 có duy nhất nghiệm ₀ (0; )
2
x=x ∈

π

.

.

Dựa vào BBT ta có ngay ( ) sin 2 0, (0; )
2
x

f x x x

π

π

= − > ∀ ∈ .

1,0đ

1,0đ
x

/
( )
f x

( )
f x

0 x0

2

π

0 −

+

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang 2
Vì hàm số y=cosx và hàm số

2
2
4

1 x

y

π

= − là các hàm số chẵn nên ta chỉ cần chứng

minh

2
2
4

cosx 1 x

π

≤ − đúng với mọi [0; )
2
x∈

π

.

Theo trên, [0; )
2

x

π

∀ ∈ ta có sinx 2x 0

π

≥ ≥ . Do đó,

2 2

2 2

2 2

4 4

sin x x cos x 1 x

π

π

≥ ⇔ ≤ − .

Mặt khác, cos 0, [0; )
2

x> ∀ ∈x

π

nên ta được

2
2
4

cosx 1 x

π

≤ − đúng với mọi [0; )
2
x∈

π

.

1,0đ

1,0đ

1,0đ
Bài 3

(5 điểm) ∆ABC vuông tại B nên

2 2

5

AC

=

AB

+

BC

=

.
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC).

Vì AC vng góc đoạn xiên SA nên AC vng góc hình chiếu HA.
Tương tự, BC ⊥ HC. Suy ra HC song song AB.

Do đó, HCA=CAB. Vì vậy, ∆ACH _∼∆BAC.
Vì AH AC

BC BA

= _nên 15

4

AH = . Suy ra,

SH

=

SA

2

−

AH

2

=

5

.

Ta có 1 . 1 1. . . 10 3

3 3 2

SABC ABC

V = S SH = AB BC SH = cm .

H C

S

A B

0,5đ
1,0đ

1,0đ
1,0đ
1,0đ

0,5đ

Bài 4

(5 điểm)

ĐK

sinx 0 x k

π

≠ ⇔ ≠

_{. Đặt}

t=cosx

,

−

1 < t < 1

PT đã cho trở thành :

4 3 2

2 2t +(2 3 2)+ t −(4 2−3)t −(2 3 2)+ t+2 2 =0

Vì t = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho

2

t

ta được

2

2

1 1

2 2(t ) (2 3 2)(t ) 3 4 2 0

t t

+ + + − + − =

₍₁₎

0,5đ
1,0đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trang 3

Đặt

y t 1

t

= −

_{ta được}

2 2
2
1

2

t y

t

+ = +

(1) trở thành

2

3
2

2 2 (2 3 2) 3 0

2
2
y

y y

y


= −



+ + + = ⇔


= −


Với

3

2

y= −

ta được

t= −2

(loại ) và

1 2

2 3

t= ⇔ = ±x

π

+k

π

Với

2
2

y= −

ta được

t

= −

2

( loại ) và

2 2

2 4

t= ⇔ = ±x

π

+m

π

Vậy nghiệm PT là

2
3

x= ±

π

+k

π

và

2

4

x= ±

π

+m

π

.

0,5đ

1,0đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

</div>

<!--links-->